STATİK VE MUKAVEMET AĞIRLIK MERKEZİ. Öğr.Gör. Gültekin BÜYÜKŞENGÜR. Çevre Mühendisliği

Transkript

1 STATİK VE MUKAVEMET AĞIRLIK MERKEZİ Öğr.Gör. Gültekin BÜYÜKŞENGÜR Çevre Mühendisliği

2 STATİK Ağırlık Merkezi Örnek Sorular 2

3 Değişmeyen madde miktarına kütle denir. Diğer bir anlamda cismin hacmini dolduran madde miktarıdır. Madde miktarı skaler bir büyüklüktür. Kuvvet uzayın her yerinde aynı değerdedir. Eşit kollu terazi ile ölçülür. SI birim sistemine göre birimi kilogramdır ve kg ile gösterilir. Birim kütleye etki eden yer çekimi kuvvetine yerin çekim alan şiddeti veya yer çekimi ivmesi denir ve g harfi ile ifade edilir. Cisimleri yerin merkezine doğru çeken bir yerçekimi kuvveti vardır. Bu kuvvet cismin kütlesiyle doğru orantılıdır. Bu çekim kuvvetine o cismin ağırlığı denir. Herhangi bir A cisminin diğer bir B cisminden daha ağır olması demek, A cismine etkiyen yerçekimi kuvvetinin, B cismine etkiyen yerçekimi kuvvetinden daha büyük olduğu anlamına gelir. Cismin ağırlığı m ise o cismin ağırlığı G = m. g bağıntısı ile bulunur. G : Cismin Ağırlığı (N) m : cismin kütlesi (kg) g : Yerçekimi İvmesi (m/s 2 ) 3

4 Nicelik Kütle Yerin Çekim Alan Şiddeti Ağırlık Sembol m g G Birim kg N/kg N Yeryüzünün çekim alan şiddeti vektörel bir büyüklük olduğundan ağırlıkta vektörel bir büyüklüktür. Çekim kuvveti cismin bulunduğu coğrafî enleme, yüksekliğe, gezegenlere göre değiştiğinden cismin ağırlığı da değişir. Bir başka deyişle bir cismin kütlesi değişmediği halde ağırlığı bulunduğu yüksekliğe ve enleme göre değişir. Ağırlık dinamometre ile ölçülür. 4

5 Gerçekte yükler yayılı olup, tekil yük problemlerin çözümünü kolaylaştıran bir idealleştirmedir. Şöyle ki, statikte çok küçük bir alana etki eden birbirlerine paralel yayılı kuvvetlerin toplamı, o alanın merkezinde tek bir tekil kuvvet olarak göz önüne alınabilmektedir. Buna örnek olarak bir cismin ağırlığı verilebilir. Cismin her bir küçük parçasının ağırlığı dünya merkezine doğru yönlenmiş olup, bunlar paralel kuvvetler oluştururlar. Bu yayılı kuvvetlerin toplamı cismin ağırlığıdır. Bu noktada akla gelen ilk soru Bu ağırlık kuvveti cismin hangi noktasında etkir? olmaktadır. Bu bölümde bu soruya yanıt aranacaktır, fakat önce iki önemli tanım verilerek işe başlanacaktır. Cismin ağırlığı: Dünyanın bir cisme uyguladığı yerçekimi kuvvetine o cismin ağırlığı denmektedir. Bu kuvvet, cismin üzerine yayılmış çok sayıda kuvvet ile gösterilir ve bunların bileşkesi de W olarak alınır. Bir cismin ağırlık merkezi: Cismin ağırlığı W nun, cismin her konumunda geçtiği C(x c,y c ) noktasına verilen addır. 5

6 6

7 Düzlem Alan ve Eğrilerin Ağırlık Merkezi Ağırlık merkezinin bilinmesi iki nedenden dolayı çok önemlidir. Önce ağırlık merkezinin bilinmesi meseleyi basitleştirir, çünkü bir cismin tüm ağırlığı, problemin koşullarını değiştirmeksizin ağırlık merkezine taşınabilir. Ayrıca ağırlık merkezinin bilinmesi denge koşullarının incelenmesini sağlar. y y O y 1 y 3 y 2 G 1 G 2 R G 3 0 x 1 x 2 x x 3 Ağırlık veya kütle merkezi koordinatlarının çıkarılması x 7

8 Düzlem Alan ve Eğrilerin Ağırlık Merkezi Yer tarafından bir cisim üzerine uygulanan yerçekimi kuvveti, cismin içerdiği her parçacığa etki eder. Cismin parçacıklarına etkiyen çekim kuvvetleri, paralel kuvvetler gibi düşünülebilir. Bu paralel kuvvetlerin bileşkesi cismin ağırlığını, uygulama noktası ise cismin ağırlık veya kütle merkezini verir. Bileşenlerin bir noktaya göre momentleri toplamı, bileşkenin aynı noktaya göre momentine eşittir. Bu teoreme göre aşağıdaki bağıntı yazılabilir. O noktasının apsisi için ise, yazılır. Rx = G 1 x 1 + G 2 x 2 + G 3 x 3 + x = G 1x 1 + G 2 x 2 + G 3 x 3 + R 8

9 Düzlem Alan ve Eğrilerin Ağırlık Merkezi Ağırlık merkezinin bilinmesi iki nedenden dolayı çok önemlidir. Önce ağırlık merkezinin bilinmesi meseleyi basitleştirir, çünkü bir cismin tüm ağırlığı, problemin koşullarını değiştirmeksizin ağırlık merkezine taşınabilir. Ayrıca ağırlık merkezinin bilinmesi denge koşullarının incelenmesini sağlar. y y O y 1 y 3 y 2 G 1 G 2 R G 3 0 x 1 x 2 x x 3 Ağırlık veya kütle merkezi koordinatlarının çıkarılması x 9

10 Düzlem Alan ve Eğrilerin Ağırlık Merkezi R bileşke kuvveti için R = G 1 + G 2 + G 3 + olduğundan x = G 1x 1 + G 2 x 2 + G 3 x 3 + R bulunur. Bu son formülde G 1 = m 1. g, G 2 = m 2. g, G 3 = m 3. g değerleri yerine konulduğunda Kütle Merkezi koordinatları (KM) apsisi için, x KM = m 1x 1 + m 2 x 2 + m 3 x 3 + m 1 + m 2 + m 3 + ordinatları için ise, bulunur. y KM = m 1y 1 + m 2 y 2 + m 3 y 3 + m 1 + m 2 + m

11 Aşağıdaki resimde verilen sistemin kütle merkezinin koordinatlarını bulunuz. y m 1 =4 kg 2 m m 2 =5 kg 4 m m 3 =11 kg x 11

12 Çözüm: x KM = m 1x 1 + m 2 x 2 + m 3 x 3 m 1 + m 2 + m 3 = = = 2, 2 m y KM = m 1y 1 + m 2 y 2 + m 3 y 3 m 1 + m 2 + m 3 = = 8 20 = 0, 4 m y m 1 =4 kg 2 m O(2,2;0,4) m 2 =5 kg 4 m m 3 =11 kg x Kütle merkezi O(2,2;0,4) noktasıdır. 12

13 Bazı Düzgün Geometrik Cisimlerin Ağırlık Merkezleri Kare, dikdörtgen, eşkenar dörtgen, paralelkenar ağırlık merkezleri köşelerinin kesiştiği noktalardır. b O a O a a/2 a/2 a/2 G Karenin Ağırlık Merkezi b/2 G Dikdörtgenin Ağırlık Merkezi 13

14 Bazı Düzgün Geometrik Cisimlerin Ağırlık Merkezleri L uzunluğundaki türdeş çubuğun ağırlık merkezi çubuğun tam orta noktasındadır. l l/2 G l uzunluğundaki Türdeş Çubuğun Ağırlık Merkezi 14

15 Bazı Düzgün Geometrik Cisimlerin Ağırlık Merkezleri Taban merkezlerini birleştiren doğrunun orta noktası silindirin ağırlık merkezidir. h O r h/2 G Silindirin Ağırlık Merkezi 15

16 Bazı Düzgün Geometrik Cisimlerin Ağırlık Merkezleri Çember, Daire ve Kürenin ağırlık merkezi şekillerinin geometrik merkezidir. O r O r r G G G Çember, Daire ve Kürenin Ağırlık Merkezi 16

17 Bazı Düzgün Geometrik Cisimlerin Ağırlık Merkezleri Kenarortaylarının kesiştiği nokta üçgenin ağırlık merkezidir. Bu nokta, yüksekliğin 3/1 inden geçer. Kenarortayların kesim noktası kenardan 1 birim, köşeden 2 birim uzunluğunda kesmektedir. O h a G Üçgenin Ağırlık Merkezi 17

18 Bazı Düzgün Geometrik Cisimlerin Ağırlık Merkezleri İki geometrik şekilli parçadan oluşan sistemin ağırlık merkezi, her bir parçanın ağırlık merkezlerini birleştiren doğru üzerinde bulunur. O 21 O O 1 G 21 G G 1 Farklı Şekillerin Ağırlık Merkezi 18

19 DÜZGÜN ŞEKİLLİ OLMAYAN CİSİMLERİN AĞIRLIK MERKEZLERİ İki boyutlu bir cismin ağırlık merkezi, şekildeki gibi iki değişik noktadan geçen yatay bir eksen etrafında serbestçe dönebilecek durumda, ayrı ayrı asarak her defasında, çekül doğrultularını işaretlemek suretiyle bulunabilir. İki çekül doğrultusunun kesim noktası (O) cismin ağırlık merkezidir. A B A O A A ( 1 ) B ( 2 ) 19

20 DÜZGÜN ŞEKİLLİ OLMAYAN CİSİMLERİN AĞIRLIK MERKEZLERİNE ÖRNEK Türdeş olmayan cisim, iplerle asıldığında Şekil I ve Şekil II deki gibi denge kaldığına göre, cismin ağırlık merkezi hangi noktadır? K K P L N N M P L M ŞEKİL - I ŞEKİL - II 20

23 ÖRNEK 2 Türdeş ve uzunlukları 200 cm olan iki metal çubuk şekildeki gibi T şeklinde birleştirilmiştir. Elde edilen cismin ağırlık merkezi birleşme noktasından kaç cm uzaktadır? A D B C 23

24 ÖRNEK 2 Çözüm : AB =200 cm ve CD =200 cm lik iki metal çubuğun T şeklinde birbirine sabitlenmesi ile AB çubuğunun ağırlık merkezi D, CD çubuğunun ağırlık merkezi O 1 dir. Sistemin ağırlık merkezi ise O 1 D nin orta noktası olan O noktasıdır. A O 1 O D B CO 1 = O 1 D =200/2=100 cm dir. Bu durumda cismin ağırlık merkezi birleşme noktasından OD =100/2=50 cm olarak bulunur. C 24

25 ÖRNEK 3 Kare şeklindeki türdeş kartonun 1 numaralı parçası kesilerek aşağıdaki gibi yapıştırılıyor. Yeni oluşan şeklin ağırlık merkezi neresidir?

26 ÖRNEK 3 Çözüm : Yeni şekli iki parçadan oluşmuş gibi düşünerek O birinci K da ikinci parçanın ağırlık merkezi olsun. OK doğru parçasının orta noktası cismin ağırlık merkezidir. O K G 1 =2br 1 R=4br G 2 =2br 26

27 ÖRNEK 4 Yarıçapları 4r ve 2r olan bitişik iki türdeş ahşap dairenin ağırlık merkezi K noktasından kaç r uzaktadır? K 4r 2r L 27

28 ÖRNEK 4 Çözüm : Levhalar iki boyutlu oldukları için ağırlıkları yerine alanları kullanılabilir. Levhaların alanları yarıçapları ile orantılı olduğu için G 1 =4 br ve G 2 =1 br alınabilir. K x 6r 6r-x L K ve L noktaları arasındaki uzaklık 6r dir. G 2.(6r-x)=G 1.x 2.(6r-x)=4x 12r=6x ise x=2r olarak bulunur. G 2 G 1 R 28

29 BİLEŞİK PLAK VE TELLER Ağırlık merkezi aranan cisim dikdörtgen, üçgen, daire ya da aşağıdaki tabloda sunulmuş olan diğer bazı iyi bilinen basit geometrilerin bir araya gelmesiyle oluşturulmuş olabilir. z W3 y W2 A2 A3 W1 O A1 t 29 x

30 BİLEŞİK PLAK VE TELLER Bu özel düzlemsel geometrilerin ağırlık merkezleri ile alanları ya da tel boyları sade bağıntılardır. Yukarıdaki örnekte olduğu gibi sabit t kalınlıkta homojen plak, bir dikdörtgen, bir üçgen ve bir yarım dairenin birleşimiyle oluşmuştur. Eğer bir cisim geometrik özellikleri bilinen şekillerden oluşuyorsa, kendisini oluşturan alt geometrilerin toplamı olarak düşünebiliriz. Cismin üstünde ayrıklaştırılan toplam bölge veya parça sayısına n dersek, integralleri sabit kalınlıkta olan, homojen, birleşik plaklar için, i=1 n x M = x i A i A y M = i=1 n y i A i A şeklinde toplamlar halinde yazılır. Burada, dir. A = n i=1 A i 30

31 BİLEŞİK PLAK VE TELLER Alttaki şekildeki gibi düzgün geometrili, sabit kesit alanlı, homojen bir tel basit alt parçalara ayrılabiliyorsa ağırlık merkezi x i L i x M = L y M = i=1 n y i L i L biçiminde toplamlara dönüşür. Cismin üstünde ayrıklaştırılan toplam bölge veya parça sayısına n ve (i=1,2,3,.,n) tel boyları ise, toplam tel boyu şeklinde yazılabilir. L = n i=1 i=1 n L i A L1 L i y x B D O L2 31 C

32 BİLEŞİK PLAK VE TELLER A O y x L2 B D O y M1(x1,y1) x M2(x2,y2) M(xM,yM) M3(x3,y3) C 32

33 ÖRNEK 5 Şekildeki gibi üç doğrusal parçadan oluşan homojen telin ağırlık merkezini, (x,y) koordinat takımını kullanarak bulunuz. Tel üzerindeki noktalar ile bunların koordinatları A(0,0), B(5,3), C(5, -8) ve D(14, -8) dir. y 3 A B 5 14 x -8 C D 33

34 ÖRNEK 5 Çözüm : Tel L i x M i y M i AB BC CD y x M L i y M L i 3 B A 5 14 x -8 C D 34

35 ÖRNEK 5 Çözüm : Tel L i x M i y M i x M L i y M L i x M = y M = i=1 3 AB 5,83 2,5 1,5 14,58 8,75 BC 11,00 5,0-2,5 55,00-27,50 CD 9,00 9,5-8,0 85,50-72,00 i=1 3 25,83 155,08-90,75 x M L i 3 = L i i=1 y M L i 3 = L i i=1 5,83 2,5 + 11, ,0 9,5 5, ,0 + 9,0 5,83 1,5 + 11,0 2,5 + 9,0 8,0 5, ,0 + 9,0 y B = 155,08 25,83 6,0 = 90,75 25,83 3,5 M(6,-3,5) x C 35 D

36 ÖRNEK 6 Şekildeki gibi sabit kalınlıklı homojen, düzlemsel plağın (taralı alanın) ağırlık merkezi M(x M, y M ) nin koordinatlarını (x,y) eksen takımında hesaplayınız. Plak boyutları t=1cm ve a=2,5 cm dir 36

37 ÖRNEK 6 Çözüm : Şekildeki gibi taralı düzlemsel alan parçalanarak eşdeğer alanlar sistemi kurulabilir. Dolu dikdörtgeni (1) ve ondan çıkartılacak küçük dikdörtgeni (2), üçgeni (3) diye numaralandıralım. Daha sonra tablo oluşturalım Alan A i x M i y M i x M A i y M A i

38 ÖRNEK 6 Çözüm : Şekildeki gibi taralı düzlemsel alan parçalanarak eşdeğer alanlar sistemi kurulabilir. Dolu dikdörtgeni (1) ve ondan çıkartılacak küçük dikdörtgeni (2), üçgeni (3) diye numaralandıralım. Daha sonra tablo oluşturalım Alan A i x M i y M i x M A i y M A i , , ,5 3,

39 ÖRNEK 6 Alan A i x M i y M i x M A i y M A i , , ,5 3, Son satırında bütün plak için ağırlık merkezinin koordinatlarının hesabında kullanılan toplam biçimindeki sonuçlar görülmektedir. Böylece düzlemsel alanın ağırlık merkezinin koordinatları; x M = y M = i=1 3 x M A i 3 = 80 = 2,5 cm A i 32 i=1 i=1 3 y M A i 3 = 144 = 4,5 cm A i 32 i=1 39

40 ÖRNEK 7 Şekildeki sabit kalınlıklı, düzlemsel, homojen plağın ağırlık merkezi M(x M, y M ), verilmiş olan (x,y) koordinat takımında bulunuz. Plak boyutları a=40cm, b=10cm, daire yarıçapları r=10cm ve dairesel deliğin merkezi A( 25,15) dir. Sonuçları çizelge yardımı ile hesaplayınız. (π = 3,14 ) 40

41 ÖRNEK 7 Çözüm : Boyutları a olan kareye ❶, üçgene ❷, daireye ❸, çeyrek daireye ❹ diyelim. Buna göre ; Alan A i x M i y M i x M A i y M A i

42 ÖRNEK 7 Çözüm : x M = y M = i=1 4 i=1 4 x M A i 4 = A i i=1 y M A i 4 = A i i= ,3 = 7,382 cm 1.807, ,3 = 17,839 cm 1.807,5 42

43 ÖRNEK 8 Şekilde görülen gölgeli bölgenin ağırlık merkezine ait M(x M, y M ) koordinatları, verilmiş olan (x,y) koordinat takımını kullanarak hesaplayınız. Çeyrek dairenin yarıçapı r=12cm, a=6 cm, b=12cm dir. İkizkenar dik üçgenin kısa kenarlar boyları a dır. Sonuçları çizelge yardımı ile hesaplayınız. (π = 3,14 ) 43

44 ÖRNEK 8 Çözüm : Yüksekliği r+2a=24cm, genişliği 2a+r+b=36cm olan dikdörtgene ❶, üçgene ❷, çeyrek daireye ❸ diyelim. Buna göre ; Alan A i x M i y M i x M A i y M A i

45 ÖRNEK 8 x M = i=1 3 x M A i 3 = 1422,72 A i 732,96 i=1 = 1,941 cm y M = i=1 3 y M A i 3 = 9540 = 13,016 cm A i 732,96 i=1 45

46 ÖRNEK 9 Şekilde sabit kalınlıklı, homojen, düzlemsel plağın ağırlık merkezi M(x M, y M ) verilmiş olan (x,y) koordinat takımını kullanarak hesaplayınız. Plak üstünde ikizkenar dik üçgen biçimli çentiğin kısa kenar boyutları a=3 cm olup, plak boyutları b=6cm ve c=9cm dir. Sonuçları çizelge yardımı ile hesaplayınız. 46

47 ÖRNEK 9 Şekilde görüldüğü gibi kenar boyutu 9 cm olan kare alanından, çentiği oluşturan dik ikizkenar üçgen alanı çıkararak çokgenin ağırlık merkezi hesaplanabilir. Alan A i x M i y M i x M A i y M A i ,5 4,5 364,5 364,5 2 4, , , ,5 x M = y M = i=1 2 2 i=1 A i i=1 2 x M A i 2 = 360 = 4,705 cm A i 76,5 y M A i 1 2 = 328,5 = 4,294 cm A i 76,5 i=1 2 47

48 PAPPUS-GULDINUS TEOREMLERİ Bu teorem 3 boyutlu dönel simetrik cisimlerin yüzey alanlarının ve hacimlerinin hesabında kullanılır. Teorem 1 : L uzunluğunda bir düzlemsel eğri kendini kesmeyen I-I ekseni etrafında dönerek bir yüzey meydana getirsin. Bu yüzeyin A alanı, L eğrisinin ağırlık merkezinin dönüş esnasında katettiği yol ile eğrinin L uzunluğunun çarpımına eşittir. Matematiksel olarak A = 2 П y L yazılır. Burada A Yüzeyin alanı y Ağırlık merkezinin eksene uzaklığı L Eğrinin boyu 48

49 PAPPUS-GULDINUS TEOREMLERİ Teorem 2 : Alanı A olan bir düzlemsel alan I-I ekseni etrafında döndürüldüğünde meydana gelen cismin hacmi, şeklin ağırlık merkezinin bu dönüş esnasında katettiği yolla, şeklin A alanının çarpımına eşittir. V = 2 П y A yazılır. Burada V Cismin hacmi y Ağırlık merkezinin eksene uzaklığı A Şeklin alanı 49

50 ÖRNEK - 10 Şekilde kenar boyutları a=6cm olan ve ekseninden c=10 cm kadar uzaklıkta duran bir kare görülmektedir. Bu karenin y ekseni etrafında bir tam dönüş yaptırılması sonucu oluşacak üç boyutlu cismin, yüzey alanını ve hacmini hesaplayınız. y O c a a x 50

51 ÖRNEK - 10 Çözüm : Karenin y-ekseni etrafında dönmesi sonucu ortaya çıkacak 3 boyutlu cismin yüzey alanı, karenin çevresi ile karenin ağırlık merkezinin kat ettiği mesafenin çarpımıdır. Buna göre; Karenin alanı : A = a 2 = 6x6 = 36cm 2 Karenin çevresi : L = 4a = 24cm Karenin ağırlık merkezi : x M = c + 1 a = = 13cm 2 olduğuna göre, şekildeki dönel cismin; Yüzey alanı : A S = 2 П x M L 1960cm 2 Hacmi : V = 2 П x M A 2941cm 3 51

52 ÖRNEK 11 AĞIRLIK MERKEZİ ÖRNEK SORULAR Şekildeki gibi sabit kalınlıklı ince levhanın ağırlık merkezini bulunuz. y 1 m 2 m x 1 m 2 m 3 m 52

53 ÖRNEK 11 AĞIRLIK MERKEZİ ÖRNEK SORULAR Parça A (m 2 ) x (metre) y (Metre) xa(metreküp) ya(metreküp) 1 ½(3)(3)=4, ,5 4,5 2 (3)(3)=9-1,5 1,5-13,5 13,5 3 -(2)(1)=-2-2, A = 11, 5 xa = 4 ya = y. G2 1,5m 1 m. G1 x 1,5m 1 m -3-. G3 y 2m 2,5m x 53

54 ÖRNEK 11 Parça A (m 2 ) x (metre) y (Metre) xa(metreküp) ya(metreküp) 1 ½(3)(3)=4, ,5 4,5 2 (3)(3)=9-1,5 1,5-13,5 13,5 3 -(2)(1)=-2-2, y A = 11, 5 xa = 4 ya = 14 1,5m -3-. G2 1,5m 1 m 1 m. G1 x x = xa A = 4 11,5 y = ya A = 14 11,5 = 0,348 metre = 1,22 metre. y G3 2m 2,5m x 54