Otomatik Kontrol İbrahim B. Küçükdemiral 18 Şubat 2008 1 Giriş Dinamik sistemlerin kontrolü bir çok değişik özelliği üzerinde barındıran çok genel bir konudur. İnsanların bizzat kontrolü üslendiği sistemlere biz genellikle manuel kontrol sistemleri adını veririz. Bu tip sistemlere örnek olarak bisiklet kullanan bir adamı örnek gösterebiliriz. Şayet burada bisiklet kullanan kişi bir makina olsaydı bu sistem bir otomatik kontrol sistemi olarak adlandırılırdı. O halde, bir sistemin otamatik kontrol sistemi olabilmesi için tam olarak makina kontrollü bir sistem olması gerekmektedir. Örneğin sıcaklık kontrol sistemleri, robotlar, titreşim azaltıcı sistemler, Otomatik iniş sistemleri, otomatik uçuş kontrol sistemleri, otomatik kontrollü füze sistemleri v.b. Bu durumda, bir otomatik kontrol sisteminde olmazsa olmaz olan bileşen geri-besleme sistemidir. Zira sistemi yöneten beyin (kontrolör) muhakka suretle anlık olarak sistemin kontrol edilen büyüklüklerini ölçmeli (ölçemiyorsa kestirmeli) ve değerlendirmelidir. Çoğunlukla kontrol sistemlerinin bir kaç temel amacı vardır. Bunlar temel olarak: kapalı çevrim sistemin kararlı kılmak, belli performans ölçütlerini yerine getirmektir. Burada kararlılık en önemli unsurdur. Zira kararsız bir sistemin düzgün olarak çalışması beklenemez. Yani istenilen görevleri yerine getiremez. Bu durumda sistem kararlı ise ikinci olarak sistemin belli performans ölçütlerini yerine getirmesi istenir. Bu istekler ise çoğunlukla üç ana grupta toplanabilir. Belli bir referans yörüngenin izlenmesi (tracking problem), sabit bit referansın izlenmesi (sıfır veya sabit bir değer)(regulator problem) ve sisteme etki eden bozucuların bastırılması (disturbance rejection problem). Bunlardan ilki referans bir yörüngenin izlenmesi problemidir. Bu problemde zamanla değişen bir referansa en yakın olarak çıkışın haraket etmesi istenir. Bu tür sistemleri, regülatör sistemlerden ayıran en önemli özellik, regülatör sistemlerin referans işaretleri zamanla değişmeyen türdendir. Örneğin ters sarkaç sisteminin referans işareti her zaman düşey düzlem ile sıfır derece açıdır. Bir derin dondurucunun referans ısısı 20 dir. Ancak güdümlü füze sisteminin konum Yıldız Teknik Üniversitesi, Elektrik Müh. Bölümü, 34349, Beşiktaş / İstanbul, beklan@yildiz.edu.tr 1
yörüngesi, zamanla değişen bir yörüngedir. Yada bir robot kolunun izlemesi istenen yörünge zamanın bir fonksiyonudur. En son tip kontrol sistemleri ise bozucu bastıran sistemlerdir. Örneğin bir radar antenine etki eden rüzgarın çıkış konumunu etkilememesi istenir. Bu türden sistemlerde bozucu bastıran kontrolörler kullanılır. Kontrol sistemleri, sistem üzerinde dolaşan sinyallerin değerlendirilmesine göre de sınıflandırılabilir. Şayet sistemi kontrol eden ünite, sistem çıkış işaretinin ölçümüne ihtiyaç duyuyor ise bu türden sistemlere kapalı çevrim sistemler (Closed- Loop Systems) adı verilir. Şayet sistemi kontrol eden ünite, sistem çıkış sistem üzerinde dolaşan işaretlere ihtiyaç duymuyor ise bu türden sistemlere açık çevrim sistemler (Open-Loop Systems) adı verilir. Bu durumda kapalı çevrim sistemlerde mutlaka geri-besleme (feedback) yapısı kullanılır. Biz bu derste açıkçevrim kontrol sistemlerine otomatik kontrol sistemi demeyeceğiz. Günümüzde güçlü, güvenilir ve hızlı bilgisayarların üretiliyor olması ve yaygınlaşması otomatik kontrol sistemlerinin gelişmesinde büyük pay sahibi olmuştur. Aynı zamanda üstün bilgisayar yazılımları vasıtası ile kontrol sistemlerinin daha kolay analizi ve tasarımı yapılabilir olmuştur. MATLAB ve SİMULINK kontrol sistemlerinin analiz ve tasarımında eşsizdir. Dünya üzerinde kontrol sistemlerinin kullanılmadığı yerler hemen hemen yok gibidir. Kiminin varlığı son kullanıcı için oldukça net olmasına rağmen kimi otomatik kontrol sistemi gizli olarak bazı sistemlerin içinde yer alır. Örneğin robotlar, otomatik hız kontrol sistemleri (otomatik seyrülsefer kontrolü-cruise control), otomatik iniş sistemleri, çamaşır makinaları vs. kullanıcının otomatik kontrol sisteminin varlığını net olarak bildiği sistemlere bir kaç örnek olarak listelenebilir. Buna karşın bazı sistemlerde ise otomatik kontrol sistemleri gizli olarak yer alır. Örneğin bir el kamerasında görüntünün titreşmesini engelleyen steady-shot mekanizması, yeni nesil bir çep telefonunda görüntü-ses uyumunu sağlayan faz kilitlemeli devreler buna örnek gösterilebilir. Son 200 yıl içinde otomatik kontrol sistemleri önemli bir gelişme göstermiştir. Bu gelişme kontrol sistemleri disiplini içinde oluşmuştur. 2 Kısa bir tarihçe Kontrol sistemlerinin tarihçesi çok eski dönemlere dayanır. İlk otomatik kontrol sistemleri su saatini aayar etmek maksadı ile kullanılan sıvı akış kontrolörleri ile şarap fıçılarını sürekli olarak dolu tutmaya yarayan sistemlerdir. Sonuncusunda kontrol sisteminin amacı, şarap fıçısından ne kadar kupa şarap alınırsa alınsın fıçıyı dolu tutmaktır. Bu sistemlerde kullanılan sıvı seviye kontrol sistemleri günümüzde bile hala kullanılmaktadır. Şekil 1 den görülebileceği gibi sıvı seviyesi yükseldikçe, özel olarak tasarlanmış tıpa su borusunun ağzını tıkayarak sıvı akışını azaltmakta, sıvı seviyesi gider vasıtası ile düştüğünde ise tıpa boruyu açarak su kaynağının akışını hızlandırmaktadır. Dikkat edilmesi gereken nokta bu sistemde geri besleme sensörü ve eyleyici (actuator) aynı elemandır. Bir diğer önemli kilometre taşı ise Cornelis Drebbel tarafından 1620 yılında üretilen kuluçka makinasıdır(bakınız Şekil 2). Amaç kuluçka sisteminin iç ısısını 2
su kaynagi gider Şekil 1: Sıvı seviye kontrol sistemi. istenilen sıcaklıkta tutmaktır. Sistemin basitleştirilmiş blok diyagramı şekilde gösterilmiştir. Burada sıcaklık kaynağı kontrollü şöminedir. Sensör ise içi alkol ve civa ile dolu cam bir borudur. Sistemin iç ısısı arttığında alkol ve civa içeren cam borudaki sıvı karışımı genleşerek l uzunluğundaki pistonu kaldırır. Bu hareket damperi aşağıya doğru hareket ettirerek bacayı kapatır ve sistemdeki oksijen miktarını düşürerek ateşin şiddetini azaltır. Benzer şekilde sıcaklık istenilen seviyenin altına düştüğünde ise bu sefer alkol ve civa içeren cam borudaki basınç düşmekte ve böylece damper yukarı haraket ederek bacayı açmaktadır. Bu durumda şöminenin ateşi daha da şiddetlenerek mekanizma ısısını arttırmaktadır. Sistemin referans sıcaklığını ayarlayan ise l uzunluğudur. Son olarak verebileceğimiz örnek ise fly-ball governer adı verilen sistemdir. Bu sistemin amacı buhar makinalarının hızını ayarlamaktır. Yine daha önceki sistemlerde olduğu gibi mekanik bir yapıdır.bu sistem James Watt tarafından 1788 de ortaya atılmıştır. Bir çok yöntemden sonra en iyi sonuç konik sarkaç sistemi ile elde edilmiştir. Sistemin basitleştirilmiş blok diyagramı Şekil 3 de gösterilmiştir. Çalışma prensibi şu şekilde özetlenebilir: Sistem hali hazırda sabit bir devirde çalışıyor olsun. Bu durumda milin dönüş hızı sabit olduğundan hareketli toplar merkez şaft etrafında belli bir açı ile dönüş yaparlar. Motor miline sni bir yük binmesi durumunda motorun dolayısı ile milin hızı düşeceğinden topların merkez eksenle yaptığı açı azalacaktır. Bu durumda topların bağlı olduğu mekanik bağlantı nedeni ile buhar makinasının kelebek açısı artacak ve sisteme daha fazla buhar girecek ve makinanın hızı tekrar artacaktır. Benzer durum mil hızı arttığında da kelebek açısının azalmasına neden olacak ve dolayısı ile buhar makinası daha az buhar üreterek motoru yavaşlatacaktır. 3 Basit bir geri-beslemeli sistem Şimdi bir odanın sıcaklığını istenilen bir noktada sabit tutan bir otomatik kontrollü ısıtıcı sistemin genel yapısını ele alalım. Açıktır ki, odanın iç ısısını sağlayan bir ısıtıcı Q in gibi bir ısı üretsin. Oda dış ortamdan tam izoleli olmadığı için dış 3
damper baca l su ates alkol civa Şekil 2: Kuluçka makinası. Şekil 3: Fly-ball governer. 4
ısıtıcı Q in Q out ısı sensörü Q out referans sıcaklık ön filtre termostat ısıtıcı Oda ısısı Oda Oda ısısı referans ON OFF t Şekil 4: Otomatik ısı kontrol sisteminin basitleştirilmiş blok diyagramı. sıcaklığın odaya etkisi ise Q out şeklinde olacaktır. Odanın termodinamik denklemlerini dikkate almaksızın oluşturulan genel yapı Şekil 4 de gösterilmiştir. Burada odanın sıcaklığı bir algılayıcı yardımı ile ölçülmekte ve arzu edilen ısı değerinin elektriksel karşılığı ile karşılaştırılmaktadır. Karşılaştırma neticesinde belli bir sıcaklık farkı ile orantılı belli bir elektriksel değer üretilmekte ve termostata gönderilmektedir. Termostat ta ısıtıcıyı belli oranda devreye sokarak oda ısısını arttırmaktadır. Şayet oda sıcaklığı istenilen sıcaklıktan yüksek bir değerde ise termostat ısıtıcıyı çalıştırmamakta ve oda sıcaklığının düşmesi dolaylı olarak sağlanmaktadır. Dikkat edilmesi gereken nokta ise burada bir soğutucu sisteminin bulunmayışıdır. Bu bakımdan oda sıcaklığı istenilen değerden büyükse sistem herhangi bir şey yapmamaktadır. Buradaki kontrolör ON/OFF şeklinde bir çalışma gösterdiğinden ayrık bir kontrol sistemidir. Zira kontrol işareti parçalı sürekli (piece-wise linear) bir fonskiyondur. Bu tarz bir kontrol işareti ile sıfır kontrol hatası asla elde edilemez. Daima çıkış ısısı, referans işaretin üzerinde küçük te olsa bir salınım gösterir. Burada arzu edilen sıcaklığın elektriksel karşılığını elde edebilmek için ön filtre adı verilen yapı kullanılmıştır. Termostat ısıtıcıyı çalıştırabilmek için ısıtıcı için gerekli olan gaz akışını bir elektriksel kontrollü vana üzerinden kontrol etmektedir. Burada vana ve ısıtıcıya birlikte eyleyici (actuator) adı verilir. Odaya etki eden dış ısıl kaynak ise sistem üzerinde bir bozucu(disturbance) etkisi yapmaktadır. Sistemin çıkışı odanın ısısıdır. Bu değer bir algılayıcı (sensör) vasıtası ile ölçülerek geri beslenmektedir. Burada dikkat edilmesi gereken nokta ise sensörün girdisinin bir ısıl değer, çıkışının elektriksel bir değer olduğudur. İyi bir sensör lineer bir çalışma gösterir ve çevre şartlarından fazla etkilenmez. 5
u 10 çıkış hızı 0.5 w Şekil 5: Otomobil modeli. 4 Neden geri-besleme kullanılır? Geri-beslemenin faydalarını ve gerekliliğini en güzel açıklama yöntemlerinden birisi otomatik seyrülsefer sistemidir (cruise-control). Bunun için bize otomobilin matematiksel modeli gerekir. Ancak biz burada geçici rejim davranışı ile ilgilenmeyeceğimiz ve aracın daima 65km/h hızın üzerinde seyrettiğini kabul edeceğimiz için matematiksel model diferansiyel ifadeler içermez. Diğer taraftan, aracın maruz kaldığı herhangi bir yol veya rüzgar kaynaklı sürtünme olmadığını kabul edeceğiz. Son kabullenmelerimiz ise 1 lik kelebek açısının 10km/h lik hız değişimine neden olduğu ve 1 lik eğimin 5km/h lik hız değişimine neden olduğudur. Kullanılan sistemde hız sensörünün hassasiyeti 1km/h şeklindedir. Bu bilgiler ışığı altında, hız sisteminin modeli kontrol girişi kelebek açısı u olmak üzere ve w yol eğimi olmak üzere Şekil 5 teki gibi gösterilebilir. İlk olarak takometre bulunmayan açık çevrim sistemi ele alalım ve referans hızı 1/10 genlikli sabit kazançlı bir kontrolör üzerinden sisteme uygulayalım. Bu durumda genel yapı Şekil 6 da gösterilmiştir. Burada r, km/h cinsinden aracın gitmesi gereken referans sürattir. Sistemin giriş çıkış ilişkisi ise ( r ) y OL = 10(u 0.5w) = 10 10 0.5w = r 5w (1) şeklindedir. Hız hatası ise olacaktır. Ortalama hata değeri ise bu durumda e OL = r y OL = 5w (2) %Hata = 500 w r (3) şeklinde hesaplanır. Durum ile ilgili olarak şu analizler yapılabilir: Şayet otomobilin hızı 65km/h ise ve w = 0 ise hız hatası e = 5w = 0 olur. Şayet eğim 6
otomobil modeli r 1/10 u 10 çıkış hızı 0.5 w Şekil 6: Açık çevrim kontrol. w = 1 olursa y OL = 60km/h olacağından e = 5km/h olacaktır. Bu durumda yüzde hata %hata = 7.69 olur. w = 2 olursa y OL = 55km/h saat olacağından e = 10km/h olur. Bu durumda ise yüzde hata %hata = 15.38 olur. Şimdide geri-beslemeli sistemi ele alalım. Yalnız bu sistemde kontrolör kazancı 10 olarak seçilmiş olsun. Bu seçimin niçin bu şekilde yapıldığını ilerki konularda anlayacağız. Şimdi bu noktaya odaklanmayalım. Bu durumda sistemin genel blok diyagramı Şekil 7 de gösterilmiştir. Bu durumda kapalı çevrim sistem için denklemler y CL = 10u 5w (4) u = 10(r y CL ) (5) şeklinde olur. İlgili düzenlemeler yapılırsa y CL = 100 101 r 5 101 w (6) e CL = r 101 5w (7) 101 şeklinde elde edili. Hatırlanırsa e OL = 5w şekline hesaplanmıştı. Yani geribeslemeli bir kontrolör kullanılması hız hatasının eğimden etkilenme oranını 101 kat azaltmıştır. Ancak w = 0 olduğunda açık çevrim sistemde hız hatası sıfır olmasına rağmen geri-beslemeli sistemde hız hatası küçükte olsa mevcut olmaktadır. Bu hata değeri çevrim kazancı büyükdükçe küçülecektir. Şimdi hızımız 65km/h saat olsun ve eğim w = 1 olsun. Bu durumda %hata = 0.0769 şeklinde hesaplanır. 7
otomobil modeli r 10 u 10 çıkış hızı 0.5 w Şekil 7: Kapalı çevrim kontrol. Dikkat edilirse eğimin hıza verdiği tepki 100 kat azalmıştır. Aslında bu azalma çevrim kazancıdır (loop gain). O halde, şu soru akla gelebilir: Acaba kontrolör kazancını ben çok çok büyük seçemezmiyim? Cevap: Hayır. Teorik olarak bu mümkün olsa bile kontrol sinyali belli bir değerin üzerine fiziksel olarak çıkamaz. Yani konrol sinyalinin alabileceği en büyük değer ilgili eyleyicinin fiziksel kısıtlamaları altındadır. Sonuç olarak bir kontrolör ancak ve ancak geri-besleme ile oluşturulabilir. Aksi taktirde kontrol sistemi istenilen performans şartlarını sadece belli durumlarda (ideal şartlarda) yerine getirebilir. Çoğu zaman iyi tasarlanmış bir geri-beslemeli kontrol sistemi bozuculara duyarlılığı azaltır, kararsız bir sistemi kararlı kılabilir. Gürültülere karşı dayanıklılığı arttırır. 8