Ayrı ca sevgili aile me ve ar kadaşları ma destekleri nden ve bana karşı ol an güvenl eri nden dol ayı teşekkür et mek isteri m.

ÖNS Ö Önceli kle danış manı m Pr of. Dr. El burus Caferov a Li sans ve Yüksek Li sans eğiti mi m boyunca yardı ml arı ndan ve bana böyl e bir konuda çalışma i mkanı sağladı ğı içi n teşekkür ederi m. Ayrı ca sevgili aile me ve ar kadaşları ma destekleri nden ve bana karşı ol an güvenl eri nden dol ayı teşekkür et mek isteri m. Haziran, 4 Emek Akgezer ii

İ Çİ NDEKİ LER KI SAL ALAR ABLO Lİ SESİ ŞEKİ L LİSESİ SEBOL Lİ SESİ ÜRKÇE ÖE SUARY v vi vii vii-viii ix x. Gİ Rİ Ş.. Heli kopt eri n gelişi mi.. Heli kopt er içi n özel iti yaçlar. 3. Heli kopt erle uçuşun prensi pleri. 4. e mel Heli kopt er kontrol ü. 5. Probl e mi n ve kullanılan met odun kısaca açı klanması 4. DÖNEL Bİ R SİSEİ Çİ N EULER DENKLE LERİ 5.. Açısal mo ment um ve açısal areket denkl e ml eri 5.. Kararlılık denkl eml eri 9 3. HAREKE DENKLELERİ Nİ N OLUŞURUL ASI 3. Denge denkl e ml eri nin ol uşt urul ması 3. Denge denkl e ml eri nin areket denkl e ml eri ne çevril mesi 5 3. 3 Hareket denkl e ml eri nin lineerleştiril mesi 7 4. ÖRNEK HELİ KOPER İ Çİ N DURU UAYI NI N OLUŞURUL ASI 4. Kararlılık türevleri n ol uşt urul ması 4. Uzunl a ması na uçuşta denge ( ri m) durumu 4. 3 Ör nek eli kopt er içi n uzunl a ması na eksende Dur um Uzayı 3 iii

4. 4 Ör nek eli kopt er içi n fizi ksel para metreler 7 4. 5 Uzunl a ması na ransfer fonksi yonl arı. 3 4. 6 Karakt eristik denkl em 33 4. 6. Karakt eristik denkle mi n genel çözümü 33 4. 6. Ör nek Heli kopter İçi n Karakt eristik Denkl e mi n Çözü mü 34 4. 6. 3 Ör nek Heli kopter içi n root-l ocus 36 4. 6. 4 Açı k siste mcevapl arı 37 5. ÖRNEK HELİ KOPER İ Çİ N UUNLAASI NA EKSENDE YUNUSLAA KONROL SİSEİ ASARI I 38 5. İleri doğru uçuşta Statik Kararlılık 38 5.. Ana mot orun statik kararlılığı 38 5... Hı z 38 5... HücumAçı sı 39 5.. Gövdeni n statik kararlılığı 4 5.. 3 Yat ay stabilizer 4 5. Heli kopt er Ot omati k uçuş kontrol siste ml eri.( AFCS) 4 5.. Kararlılık Arttırıcı siste ml er( SAS) 4 5.. Ot omati k kararlılık siste mi.( ASE) 4 5. 3 PD Kontrolcusu ile asarı m 4 5. 3. Kapalı siste mi n incelenmesi 44 5. 4 Kök yerleşi mi(pol e place ment) yönt e mi 46 5. 4. Kapalı sistemi n i ncelenmesi 48 6. SONUÇ 5 KAYNAKLAR 5 EK A 54 EK B 59 ÖGEÇİ Ş 6 iv

KI SAL ALARI N LİSESİ AFCS ASE I O SISO SAS : Ot omati k uçuş kontrol siste mi : Ot omati k kararlılık sisteml eri : Çok girişli çok çı kışlı : ek girişli tek çı kışlı : Kararlılık arttırıcı sistem v

ABLO Lİ SESİ Sayf a No abl o 4. : Ana rot or içi n bağı msı z değişkenl er ve tabl olardan el de edilen türevl er abl o 4. : Kuyr uk rot or içi n bağı msız değişkenl er ve tabl olardan el de edilen türevl er. abl o 4. 3 : Aerodi na mi k t ürevler 5 abl o 4. 4 : Kontrol türevl eri 6 abl o 4. 5 :İleri doğru uçuşta ana rotor içi n. derece boyutsuz t ürevler 7 abl o 4. 6 :İleri doğru uçuş içi n ana rot or türevleri 8 abl o 4. 7 : Ana rot or fizi ksel para metreler 9 abl o 4. 8 : Yat ay Stabilizer fizi ksel para metreler 3 abl o 4. 9 : Gövde fizi ksel para metrel er 3 abl o 4. : Özdeğer ve sönü ml e me ve frekans tabl osu 35 vi

ŞEKİ L LİSESİ Sayf a No Şekil. Heli kopt er kontrol siste mi 3 Şekil. Heli kopt erde eksenl eri n yerleşi mi Şekil 3. Heli kopt er üzeri ndeki ele manl ara et ki eden kuvvet ve mo mentleri n gösteri mi 5 Şekil 3. Hareket denkleml eri para metreleri 6 Şekil 4. Ör nek eli kopt er üstten ve yandan görünüş 3 Şekil 4. Açı k siste mkökl eri n yerleşi mi 36 Şekil 4. 3 Açı k siste madı mcevapl arı 37 Şekil 5. Ana rot orun ıza göre statik kararlılığı 39 Şekil 5. Ana rot orun ücu maçısı na göre statik kararlılığı 4 Şekil 5. 3 ekani k atve siste mi 4 Şekil 5. 4 SI SO Kontrol siste mi 43 Şekil 5. 5 PD Kontrol siste mi 44 Şekil 5. 6 Kp değerleri içi n rootl ocus grafi ği 45 Şekil 5. 7 Kp=3, Kd= değerler içi n adı mcevabı 46 Şekil 5. 8 Kkazanç matrisi yle geri besle me ol uştur ul muş siste m 48 Şekil 5. 9 Yunusl a ma açısı içi n adı mcevabı 48 Sekil 5. Rast gele Bozunt uları n Dağılı mı 49 Şekil 5. Bozunt uya karşı siste mcevabı 49 vii

SEBOL Lİ SESİ A a o B B C F Gs g m F v xx : Dur um matrisi : Orijini n ızı : Kontrol matrisi : Saykılik yunusla ma girişi : Çı kış matrisi : opl a mkuvvet : Act uat or transfer fonksiyonu : Yerçeki mi ivmesi : Açısal mo ment um : Ana rot orun yal pa mo ment kol u : Kuyr uk rot orunun yal pa mo ment kol u : Gövdeni n yal pa mo ment kol u : Yat ay stabilitörün yal pa mo ment kol u : Di key stabilitörün yal pa mo ment kol u I : yönünde eyle msi zlik mo menti I : Yyönünde eyle msi zlik mo menti yy I zz l m K Kp Kd l f l v l l m N N F m F m : yönünde eyl e msi zlik mo menti : Ana rot orun yunusla ma mo ment kol u : Kazanç matrisi : Orantsal kazanç :ürevsel kazanç : Gövdeni n yunusla ma mo ment kol u : Di key stabilitörün sapma mo ment kol u : Yat ay stabilitörün yunuslama mo ment kol u : Kuyr uk rot orunun yunuslama mo ment kol u : Kütle : Gövdeni n yunusla ma mo menti bileşeni : Ana rot orun yunusla ma mo menti bileşeni : Kuyr uk rot orunun yunuslama mo menti bileşeni : Gövdeni n sapma mo menti bileşeni : Gövdeni n yunusla ma mo menti bileşeni Q m : Kollektif yunusla ma girişi q : Yunusla ma açısı nı n ızı R : Ana rot orun yal pa mo menti bileşeni m viii

r r g s u u g : Pozisyon vekt örü : Pozisyon vekt örü : Lapl ace değişkeni : Dış kuvvetleri n orijine uygul adı ğı kuvvetler :İleri ız : Kontrol girişi : Parçacı k ızı : Parçacı k siste mi ni n yerçeki mi mer kezi ni n ızı o : Orijini n ızı W : Ağırlık w : Düşey ız m : Ana rot orun uzunl a masına kuvvet e et kisi : Kuyr uk rot orun uzunl a ması na kuvvet e et kisi H : Yat ay stabilitörün uzunla ması na kuvvet e et kisi V : Di key stabilitörün uzunlaması na kuvvet e et kisi F : Gövdeni n uzunl a ması na kuvvet e et kisi x : Dur um değişkenl eri Y m : Ana rot orun yanal kuvvet e et kisi Y : Kuyr uk rot orun yanal kuvvet e et kisi Y v : Di key stabilitörün yanal kuvvet e et kisi Y F : Gövdeni n yanal kuvvet e et kisi m : Ana rot orun düşey kuvvet bileşeni : Kuyr uk rot orunun düşey kuvvet bileşeni H : Yat ay stabilitörün düşey kuvvet bileşeni V : Düşey stabilitörün düşey kuvvet bileşeni F : Gövdeni n düşey kuvvet bileşeni : Ekseni n açısal ızı : Yunusla ma açısı : Yoğunl uk n : Doğal Frekans : Sönü ml e me frekansı d ix

HELİ KOPER İ Çİ N YUNUSLAA Dİ NAİ Ğİ VE KONROL SİSE İ ASARI I ÖE Bu çalış manı n a macı örnek eli kopt er i çi n yunusla ma kontrol siste mi tasarı mı dır. Çeşitli çalış mal arda elikopt er i çi n kontrol sistemi di zaynı ör nekl eri veril mi ş a ma kontrol siste mi kazançl arı nı n esapl anması na det aylıca deği nil memi ştir. Bu çalış mada ör nek bir eli kopt er i çi n aerodi nami k bil gilerden areket edilerek eli kopt er eksenl eri nde areket denkl e ml eri oluşt urul muşt ur. Bu a maçla il k önce rijit bir cisi m i çi n Eul er denkl e ml eri ol uşt urul muş ve küçük açı ve küçük değişi ml er teorisi uygul anmı ştır. Bu denkl e ml er non-li neer ol duğu i çi n ayl or serisine açarak ve biri nci dereceden katsayılar di kkate alı narak lineer denkl e ml er ol uşt urul muşt ur ve denge konu mu etrafı nda çözül müşt ür. Bu denkl eml er daa sonra dur um değişkenl eri ci nsi nden ifade edil miş ve dur um uzayı nda di nami k bir model ol uşt urulmuşt ur. Bu a maçl a ALAB pr ogra mı nda yazılan kararlılık t ürevl eri ni esapl ayan ve dur u m uzayı nı ol uşt uran bir fonksi yon kullanıl mıştır.. Daa sonra eli kopt erin di na mi k kararlılığı karakt eristik denkl e mi n çı karıl ması yla i ncele mi ş yunusla ma ekseni nde ot omati k kontrol siste mi i ti yacı gösteril miştir. Bu a maçl a benzer çalış mal ardan ör nek kontrol siste mi ALAB/ Si muli nk pr ogra mı ile ol uşt urul muş il k önce PD kontrol ele manı siste mi n ek girişli ek çı kışlı(si SO) siste me i ndirgen mesi yl e uygul anmı ş r oot-l ocus yönt e mi yl e en uygun katsayılar bul unmuşt ur. Daa sonra alt ernatif bir yönt e m ol arak Çok girişli Çok çı kı şlı( I O) si ste me kökyerleşi mi(pol e-place ment) yönt e mi uygul anmı ş, kapalı siste m cevapl arı ve i stenen perfor mansı sağlayı p sağlamadı ğı incelenmi ştir. x

PI CHI NG DYNAI CS AND CONROL SYSE DESI GN FOR A HELI COPER SUARY e ai m of t is t esis is t o desi gn an aut omatic control syste m f or an exa mpl e elicopt er i n pitci ng axe. In vari ous st udi es exampl e control syste ms f or elicopt er is gi ven but calculati ng of control syste m gai ns are not expl ai ned i n detail. In t is manner first t e li nearized dyna mi c model of an exa mpl e elicopt er as been obt ai ned by appl yi ng small pert urbati ons and small angl es appr oac t o si x degrees of freedo m non-li near equati ons of moti on i n exampl e elicopt er s body axes. Wil e doi ng t is, s mall pert urbati ons from t e st eady stat e conditions as been consi dered and equati ons of moti on expanded t o ayl or series but onl y first order t er ms i s investi gated. Al so f or t e sake of si mplicity coupli ng bet ween l at eral and longit udi nal as been i gnored. As t e st udy is f ocused on l ongit udi nal axe conditi ons and constrai nts related wit l ongit udi nal axe as been i mpl e ment ed. en partial deri vati ves of t e aerodyna mi c f orces and mo ments wi c is called st ability deri vati ves as been i mplement ed and over all syste m as been put i nt o state space for m by usi ng cust om progra m written i n ALAB. Aft er obt ai ni ng t e state space for m it as been appr oaced as a İ O syst e m wi c is su m of f our SISO syst e ms and a PD controller is simul ated on t e pitci ng axe by ALAB/ Si mul ink. Aft er investi gati ng of vari ous controller gai ns by r oot l ocus t ecni que most appr opriate gai ns as been cosen. Alt oug t is gai ns meet some of t e desi gn criteria suc as maxi mu m over soot and st eady st ate error, settling ti me was not sort enoug t o be consi dered accept abl e. As an alternati ve appr oac pol e pl ace ment met od as been applied by fi ndi ng appr opriate controller gai ns correspondi ng t o arbitrary appoi nt ed roots of t e caracteristic equati on. Fi nall y step responses of t e syste m as been investi gated and as been f ound t at pol e pl acement met od was muc successful in meeti ng engi neeri ng criterias in ti me domai n desi gn. xi

xii

xiii

xi v

xv

. Gİ Rİ Ş. Heli kopteri n gelişimi Heli kopt er avacılığa sabit kanatlı uçak a göre daa geç bir giriş yap mı ştır. 9 ni n sonu ve 93 larda autogyr o l ar ila bir çok deney yapıl mış a ma 94 a kadar Heli kopt er konusunda ciddi bir geliş me başla mamı ştır.. Krali yet ava kuvvetleri ni n Ci evra di zaynı Avr o t arafı ndan lisanslandırıl mış aut ogyro yu ve bazı Si korsky overfl y ve yi sı nırlı i z met ve deneysel a maçlı kullanmaya başla ması II dünya savaşı ndan sonraki yıllara rastlar. Daa sonra İ ngiltere de 953 yılında servise giren Syca more ype 7 üretilir daa sonra aynı eli kopt er çift mot orl u ol arak 73 adı yl a üreti me geç mi ştir. Daa sonra or du i çi n 9 di ğer adı yla Bel vedere üretilmi ştir. bu üreti ml er Ameri ka da Dragonfl y, Wirl wi nd, Wessex ve Seaki ng adı yla üretilen eli kopt erleri n İ ngiliz ör nekl eri ydi. 96 ların sonunda ve 97 lerin başı nda Westland eli kopt erleri üreti me Aer ospatile France ile gir miş ve Gazelle, Lynx ve Pu ma adlı eli kopt erleri n üreti mi ni yapmı ştır. Heli kopt er 96 ları n sonunda il k kez Vi et na m savaşı nda savaş a maçlı kullanıl mı ş ilerleyen yıllarda İ ngilizleri n Fal kland savaşı ve daa güncel bir ör nek olarak Ağır sal dırı silaı Apace ve roket pl atfor mu ol arak Lynx körfez savaşı nda görev al mı ştır. Heli kopt eri n r olleri geliştikçe, buna paralel ol arak daa kar maşı k ve sofistike al e gel mi şlerdir. Daa büyük ve daa zor görevl erin başarısı içi n daa çok siste mi n ent egre edil mesi yle daa fazla it ki gücüne ve daa fazla sayı da mot ora i ti yaç art mıştır.. Heli kopter içi n özel i ti yaçl ar Sabit kanatlı Hava araçları na kı yasla eli kopt eri n farklı doğası ava aracı siste ml eri nde de özel i ti yaçları doğur muştur. Di ğer büt ün prensi pl eri n uygul anması nı n yanı nda Heli kopt eri n yat ay i niş kal kış özellikleri yapısal anl a mda

farklılıklar yaratır. Yat ay i niş kal kış yüksek güç ağırlık oranı gerektir mekt edir Bir ava uzay aracı nı kontrol edilebilir di key kal kış yapabil mesi i çi n itiş ağırlık oranı nı n. 5 e gi bi yüksek oranda kabul edilir. Bu oran di ğer büt ün akt ar ma kayı pları di kkate alı ndı ktan sonra uygul anır. Böyl ece ta ma men farklı yapısı ndan dol ayı eli kopt eri n kontrol ü sabit kanatlı ava araçları na kı yasla çok farklıdır. Bunu yanı nda askı(over) ve kapalı alanl ara i niş gibi değişi k özellikleri nden dol ayı gereksi nmel eri de farklı dır. Bu da ot o-over i çi n oto pil ot modl arı gi bi özel siste ml eri beraberi nde getirir. Bunun yanı nda askı pozisyonunda vi nç siste mi yada deni z üzeri nde areketli pl atfor ml ara i niş gereksi nmel eri özel navi gasyon siste ml eri ne itiyacı arttırır.. 3 Heli kopterle uçuşun prensi pl eri Sabit kanatlı siste mde kal dır ma kuvveti kanat profilini n üzeri nden geçen avanı n et kisi yle ol uşurken elikopt erde paller ağırlığı karşılayan kal dır ma kuvveti ni ol uşt urur. Genellikle t ek r ot orl u ol ması na rağmen gövdeni n ar kası na yerleştirilen tande m adı yla anılan çift rot orl u t ürevleri de vardır. Paller sayı ca ile 6 arası nda değişir. Bu arada ana r otor t arafı ndan üretilen kaldır ma kuvveti eli kopt ere fazl adan kar maşı klı k ekl er. Çünkü eli kopt eri n r ot oru bir yöne dönerken ol uşan Ne wt oni an kuvveti de gövdeyi t ers yöne it meye çalışacaktır. Bu et ki kuyr uğa yerleştirilen kuyr uk rot orunda ol uşt urul an yatay itki kuvveti yle dengel enir.. 4 e mel Heli kopter kontrol ü Heli kopt erde uzunl a masına ve yanal yönde areket rot orun uygun yöne eğil mesi yl e sağlanır. Bu da r ot orun saykılik(cyclic) [9] at ve kontrol ü ile mü mkün ol ur. pil ot kontrol kol unu ileri itmesi yle r ot or ileri doğru eğilir böyl ece ol uşan kal dır ma kuvveti ne ileri ye doğr u bir bileşe ekl enir böyl ece eli kopt er istenen areketi yap mı ş ol ur. Aynı şekil de kontrol kol unun geri ye çek mek rot oru geri ye doğr u yatıracağı ndan eli kopt er geri ye doğr u areket e başlayacak yada yavaşlayacaktır. Şekil. de Bu areketi ni n kontrol ünü yapan siste mi n şekli verilmi ştir.

Şekil. Heli kopt er kontrol siste mi Kontrol kol unun sağ yada sol a eğil mesi ise aynı şekil de Heli kopt eri n eğilen yöne doğr u areketi n böyl ece yal pa areketi ni sağl ayacaktır. Dön me areketi i se sabit kanatlı ava araçları nda ol duğu gi bi pedallarla sağlanmakt adır. Sağ t araftaki pedal kuyr uk mot orunun sağ tarafı na doğr u ol uşt urduğu it meyi arttıracak ve eli kopt er sağa dönecektir sol tarafa dönerken ise tamtersi yönde bir itki uygul anır. Di key areket ise büt ün palleri n yunusl a ma açısını n arttırıl ması yla ve azaltıl ması ile böyl ece t opl a m it ki ni n arttırıl ması ve azaltıl ması yla el de edilir. Burada palleri n 3

yunusla ma açısı nı n değişi mi ni n palleri n üzeri ne et ki eden sür ükl e me kuvveti ni de art ması yada azaltıl ması sonucunu da doğuracaktır. Bu yüzden ol uşacak sürükl e me kuvveti değişi mi ne karşılık verecek r ot or ı zı nı kontrol edecek bir sisteml e beraber kullanıl makt adır. Pallerin yunusl a ma açıları kollektif(collecti ve)[9] kontrol çubuğunun areketi yle sağl anır. ot or kuvveti ve t ork çubuğun sonundaki bir el ci k ile sağlanır. Bu yüzden açı kça gör ülmekt edir ki eli kopt eri n uçur ul ması yunusla ma ve yal pa kontrolleri ile beraber dön me ve di key areketi de kapsayan kar maşı k bir işle mdir. Genel ol arak eli kopt er sabit kanatlı ava araçlarından daa kararsız bir yapı sergiler. Bunun dışı nda eli kopter kontrolleri ni n i ki ncil et kileri görece ol arak daa fazl a öne mli dir ve pil ot tarafı ndan sürekli düzeltil meli dir. Bu da eli kopt eri n operasyonunun sabit kanatlı ava araçları na kıyasla özellikle bozuntunun çok ol duğu ve t ürbül anslı dur uml arda daa zor ol duğu sonucunu doğur ur. Bu nedenl e pil ot un yükünü afiflet mek i çi n bazı geliş mi ş elikopt erlerde ot omati k kararlılık ve çok modl u ot opil ot sisteml eri uygul anmakt adır. [,, 5]. 5 Probl e mi n ve kull anıl an met odun kısaca açı kl anması Yukarı daki sebepl er elikopt er i çi n kararlılık arttırıcı ve kontrol arttırıcı siste ml eri zorunl u kıl makt adır. Bazı çalış mal arda[,,, 4] ancak daa küçük öl çekli siste ml er i çi n kontrol siste mi di zaynı ör nekl eri veril miştir. Çeşitli çalışmal ar da i se [, 3, 5, 3, 5] eli kopt er içi n kontrol siste mi di zaynı ör nekl eri veril miş ama kontrol siste mi kazançl arı nı n esapl anması na det aylıca deği nil me mi ştir. Bu çalış mada ör nek bir eli kopt er i çi n[]aerodi na mi k bil gilerden areket edilerek eli kopt er eksenl eri nde areket denkl e ml eri ol uşturul muşt ur. Bu a maçl a ilk önce rijit bir cisi m i çi n Eul er denkl e ml eri ol uşt urul muş ve küçük açı ve küçük değişi ml er t eorisi uygul anmı ştır. Bu denkl e ml er non-li neer ol duğu i çi n ayl or serisi ne açarak ve biri nci dereceden katsayılar di kkate alı narak li neer denkl e ml er oluşt urul muşt ur ve denge konu mu etrafı nda çözül müşt ür. Bu denkl e ml er daa sonra dur um değişkenl eri ci nsinden ifade edil miş ve dur um uzayı nda di na mi k bir model ol uşt urul muşt ur. Bu a maçl a ALAB pr ogra mı nda yazılan kararlılık t ürevl erini esapl ayan ve dur um uzayı nı ol uşt uran bir f onksi yon kullanıl mıştır. Daa sonra eli kopt eri n di na mi k kararlılığı karakt eristik denkl e mi n çı karıl ması yla i ncelemi ş yunusla ma ekseni nde ot omati k 4

kontrol siste mi i ti yacı gösteril miştir. Bu a maçla benzer çalış mal ardan[5, 3] ör nek kontrol siste mi ALAB/ Si muli nk pr ogra mı ile ol uşt urul muş il k önce PD kontrol el e manı siste mi n ek girişli ek çı kışlı(si SO) siste me i ndirgenmesi yle uygul anmı ş root-l ocus yönt e mi yl e en uygun katsayılar bul un muşt ur. Daa sonra alternatif bir yönt e m ol arak Çok girişli Çok çı kışlı( I O) siste me kök- yerleşi mi(pol e-pl ace ment) yönt e mi uygul anmı ş, kapalı siste m cevapl arı ve istenen perfor mansı sağl ayı p sağla madı ğı incelenmi ştir. 5

. DÖNEL Bİ R Sİ SEİ Çİ N EULER DENKLE LERİ. Açısal mo ment umve açısal areket denkl eml eri Açısal mo ment um ve açısal areket denkl e ml erini gövdeyi ol uşt uran partikülleri n ol uşt urduğu siste mi n göreceli açısal mo ment umunu () ile ifade edersek, r r m (.. ) Burada r, m kütlesi ndeki partikül ün pozisyon konvekt örünü ve rel de partikül ün orijine göre ızı dır. Büt ün siste miçi n topl adı ğı mı zda, dr / dtm r md dt d / dt (.. ) rel rel / Eğer parçacı ğı n kesi n ızı ve da orijini n ızı ise, rel dr / dt (.. 3) ve d rel dt d / dt d / dt (.. 4) / dr / dt dr / dtd / d (..5) rel r t ol duğundan,.. denkl emi ni n ilk ifadesi sıfırdır bu yüzden, md / dt r md dt d dt r / (.. 6) / Ancak md / dt F ol duğundan burada F parçacı k üzerine et kileyen t opl a m kuvvettir. md dt r F r / dir. (.. 7) dı ş kuvvetl eri n orijine göre uygul adı ğı mome nt dir. Ayrı ca siste mdeki parçacı klar için sabit ol duğundan, d / dt büt ün md / dt r a g r (.. 8) 6

mr orijine göre siste mi n kütlesel mo menti, m sistemi n t opl a m kütlesi, yerçeki mi mer kezi ni n r g pozisyon vekt örü ve a da orijini n ızlan ması ol duğunda, d / dt r g a (.. 9) yazabiliriz. Eğer kati açısal mo ment um t anıml arsak alternatif bir for mül el de edebiliriz. H r ( m ) (.. ) burada yukarı da ol duğu gi bi parçacı ğı n kati ı zı dır. Yukarı daki ne benzer bir düzenl e me yaparsak, dh / dt (.. ) g for mül ünü el de ederiz. Burada g parçacı k siste mi nin yerçeki mi mer kezi ni n ı zı dır. Şi mdi.. 9 ve.. genel vekt ör denkl e ml eri ni seçilen referans çerçevesini n er bir parçası içi n açarsak, denkl e m.. ve.. den H r m r (.. ) g for mül ünü el de ederiz. Bundan sonraki uygul amal ar i çi n areketli cisim i çi n sabit eksenl er seç meli yiz, böyl ece cis mi n eyl e msi zlik özellikleri za mana göre sabit kal acaktır. Parçacı k ı zı r yi şu şekil de yazılabiliriz, r r (.. 3) Burada cis mi n ve eksenleri n açısal ızı dır. Böyl ece.. den Aşağı da tanı ml arı yapacak ol ursak, m r mr. r mr r r. (.. 4) r xi yj zk (.. 5) j k (.. 6) i 3 7

ol arak ifade edil ebilir. Bur ada i,j, k vekt örlerdir. Ayrıca, ci si m üzeri ndeki sabit ort ogonal biri m 3 i j k (.. 7) ol arak ifade edilebil mekt edir... 4 denkl e mini açarsak açısal moment umun unsurları, A F E 3 B D 3 F (.. 8) 3 C 3 E D denkl e mi ile veril miştir. Burada A. B. C. D. E. F eyle msi zli k mo ment ve ür ünl eri dir ve şu şekil de ifade edilebilirler, A my z B mx z C mx y D myz E mxz F mxy (.. 9 ).. 8 i matris for munda ifade edersek eğer, 3 A F E F B D E D C 3 (..) Buradaki kare matris genellikle eyl e msi zli k t ensör ü ol arak ifade edilir. Eyl e msi zli k tensörü açısal ı z vekt örünü açısal mo ment um vekt örüne çeviren operatör ol arak kabul edilebilir. Her za man eyl e msi zli k ür ünl eri D, E, F ni n yok ol acağı bir eksen t akımı seç mek mü mkündür. Bu eksenl er prensi p eksenl eri olarak adl andırılır. 3 A i B j C k (.. ) Eğer eksenl eri n orijini yerçeki mi mer kezi nde ya da sabit ise, 8

d / dt dh / dt (.. ) ifadesi ni bul abiliriz. Her i ki şekil de de r a g ve ya da g içi n genel olarak eksenl er areket edeceği içi n, g ol duğu d / dt / t (.. 3) Sabit nokt a etrafı nda dönen özel dur um ve prensi p eksenl eri ni n areketi ni düşünürsek denkl e m..8.,.. 9 ve.. dan, B C L A (.. 4) 3 C A B (.. 5) 3 A B N C (.. 6) 3 Denkl e ml eri el de edilir. Burada L,, N t ork nın unsurları dır... 4,.. 5 ve.. 6 Eul eri n di na mi k denkl e ml eri ol arak bilinir ve devirli for ml arı ndan dol ayı kol ayca atırlanabilir.[]. Kararlılı k denkl e ml eri.. de çı kar mı ş ol duğu muz t eori k denkl e mler, eli kopt er i çi n kararlılık denkl e ml eri ni n el de edil mesi nde kullanılabilir[]. Orijini eli kopt eri n yerçeki mi mer kezi nde ol acak şekilde bir ort ogonal eksen t akı mı nı kabul ederiz. Burada eli kopt eri nde sabit kanatlı ava araçları nda olduğu gi bi uzunl a ması na si metri k ol duğu kabul edilir. Eksenl er x ve z ni n uzunla ması na düzl e mde y ni n de sancak tarafı na olacak şekil de seçilir. 9

Şekil. Heli kopt erde eksenl eri n yerleşi mi Heli kopt eri n areket denkl e ml eri rijit cisi mkabulüyl e, F md / dt (.. ) d / dt (.. ) ol arak el de edil mekt edir. Burada F eli kopt ere uygul anan t opl a m dış kuvvet m kütle ve de de t opla m mo menttir. Önceli kle düzgün bir uçuş ol duğunu yani kay ma areketi ni n ol madı ğı nı n başka bir deyişle x, y, z doğr ult usundaki kuvvetleri n sırası yla U, O, W ol duğu kabul edilir. Uçuş sırasında ol uşan bozunt ular ifade edilebilir, böyl ece ız vekt örü şu şekil de ifade edilir, u,,w ile U ui j W wk (.. 3) Burada bozunt uları n asıl ı zlara göre göreceli olarak küçük ol duğu kabulü yapılır. Düzgün uçuşta eli kopt erin açısal ızı şu şekil de ifade edilir, pi qj rk (.. 4) Böyl ece, Y,, F kuvveti ni n bileşenleri ol mak üzere kuvvet denkl e mleri.. den şu şekil de ifade edilir. m u qw wr (.. 5) ru u pw w Y m (.. 6)

m w p qu u Açı sal mo ment um denkle mi.. şu şekil de yazılabilir, (.. 7) / t (.. 8) o ment umun bileşenleri.. 8 denkl e mi ne göre, Ap Eq Er Bq Dr Fp (.. 9) 3 Cr Ep Dq Li j Nk ile denkl e m.. 8 in açılması yla, B Cqr Dr q Epq r F( pr q L Ap ) (.. ) C Arp Ep r Fqr p D( qp r Bq ) (.. ) A Bpq Fq p Drp q E( rq p N Cr ) (.. ) el de edilir.. 5.,.. 7 ve... ve.. denkle m t akı ml arı bozunt u bileşenl eri ni n kareleri ni n ve çarpı ml arını n i mal edilebilir kadar küçük ol acak şekli ndeki kabul ile daa da basitleştirilebilir. Buna paralel ol arak D, F eyl e msi zlik ür ünl eri elikopt eri n si metri ekseni ol duğu kabul üyl e yok ol urlar, böylece 3 eksen i çi n kuvvet ve mo ment denkl e ml eri şu şekil de basitleştirilebilir, mu qw (.. 3) m ru pw Y (.. 4) mw qu (.. 5) Ap Er L (.. 6) Bq (.. 7)

Cr Ep N (.. 8) Eğer r üzgar eksenl eri seçilir, eksenl eri uçuş yönüne paralel seçilirse w= ol ur.. 3,.. 4 içi nde Wbul unan teri ml er düşer.

3. HAREKE DENKLELERİ Nİ N ÇI KARI L ASI 3. Denge Denkl e ml erini n ol uşt urul ması Heli kopt er di na mi kl eri çözül ürken er pali n yaptığı areket bağı msı z ol arak yaptı ğı areketi n göz önüne alı nması di na mi k analiz açısından çok daa fazla karmaşı klı ğa neden ol acaktır. Bu yüzden bir kaç özel dur um dı şı nda rot or t ek bir ci si m ve davranışı t ekmi ş gi bi farz edilir[] Di na mi k analize geç meden önce uçuş di na mi kl eri ve di na mi k kararlılığı n kl asi k bi çi mde el e alı nabil mesi i çi n benzer çalış mal ardaki kabulleri n yapıl ması gerekir. ) Düz uçuşta r ot orun areketleri anlı k dur uml arı n bir di zisi gi bi düşünül ür. Ör nek ol arak eli kopt eri n i vmel enmesi rot orun üzeri nde et ki uyandır mayacak kadar küçük kabul edilir. Dönen bir pali n doğal frekansı r ot orun açısal frekansı ile aynı ol acak şekil de. Derece bir siste m ol arak farz edilir. Ol uşan bozuntuları n frekansı nı n pali n üzeri nde sabit bir kuvvet ol uştur duğu kabul üne uyacak kadar küçük ol duğu kabul edilmi ştir. Bu yüzden r ot orun ı za ve açısal ı zlara anlı k cevap verdi ği kabul edilir. ) Rot orun açısal ı zı mot or t arafı ndan kontrol edildi ği ve düzgün uçuşt a t or kda ol uşacak değişi ml er az ol duğundan sabittir. 3) Sabit kanatlı ava araçlarında ol duğu gi bi yanl a ması na ve uzunl a ması n areketler birbiri nden bağı msı zdır. Bi r önceki böl ümde, Y,, L,, N ile ifade edilen eli kopt eri n üzeri nde et ki eden aerodi na mi k mo ment ve kuvvetler Şekil 3. de gösteril miştir. Bu kuvvetler ana rot or, kuyruk rot oru yatay ve düşey dengel eyi cilerin er biri içi n ayrıl mıştır. Uzunl a ması na kuvvet H V F W. sin (3. ) 3

4 Yanl a ması na kuvvet sin W. Y Y Y Y F V (3. ) Düşey kuvvet cos W. F V H (3. 3) Yal pa mo menti F F F R Y Y y Y R (3. 4) Yunusla ma mo menti F F F F F V V H H H H l l l l (3. 5) Sap ma mo menti F F F V V t l Y N l Y Yl l Y N (3. 6)

5 Şekil 3. Heli kopt er üzeri ndeki ele manl ara et ki eden kuvvet ve mo mentlerin gösteri mi 3. Denge denkl e ml erini n areket denkl e ml eri ne çevril mesi Yukarı da çı kardı ğı mı z denge denkl e ml eri (3. -3.7) açısal ve li neer ı zlanmal arı n ve ı zları n ko mbi nasyonl arını n eyl e msi zli k et kileri yle ilişkilendirilen kuvvet ve mo mentlerle ifade edil mesi yle areket denkl e ml eri ali ne getirilebilir. zq yr m x W F V H sin. (3. 7) zp xr m y W Y Y Y Y Y F V H sin. (3. 8) yp xq m z W F V H cos. (3. 9) zz yy xx F V V I I qr p I R Y Y y Y R (3. ) F V V H H H H l l l

F F F F yy l I q pr I I (3. ) zz xx N Y l Y l Y l N Y l I r pq I I (3. ) V V F F F zz xx yy Aşağı da, Hareket denkle ml eri para metreleri Şekil 3. de belirtil miştir. Şekil 3.. Hareket denkl eml eri para metreleri Burada pallerden er birini n çırpma (flappi ng) areketi ni n za man sabitinin r ot orun çeyrek ya da yarı m dönüşü arası nda ortaya çı ktı ğı kabul ü yapıl mıştır. Bu ızlı cevap quasi-static kabul ünün yapıl ması na ol anak sağlar. Böyl ece eli kopt eri n üst ündeki rot or üzeri nde ol uşan uçuş dur uml arı ve giriş değeri ne karşı anı nda kuvvet ve mo mentlerle karşılık veren bir siste molarak değerlendirilebilir. Quasi-static kabul ünden sonra 6 adet areket denkl e mi, eli kopt eri n genel uçuşunu tasvir et mek i çi n bil gisayarda ya da uçuş si mül at örü kullanmak sureti yle müke mmel e yakı n ol arak uygul anabilir. Böyl ece uçuşun erangi bir anı nda aer odi na mi k değerleri uçuş durumdeğişkenl eri ni n bir fonksi yonu olarak esapl anabilir. 6

Bil gisayar orta mı nda kullanılacaksa bile areket denkl e ml eri li neer parçalı diferansi yel küçük bozunt ul ar denkl e ml eri ali ne getirilerek ve çok dereceli yayda mper ağırlık siste mine benzetilerek çözül ebilir. Li neer diferansi yel denkl e ml eri yle analiz yönt e mi di na mi k sistemi n dur umundaki değişikli kleri n, bağı msı z değişkenl erdeki li neer değişi ml eri n süper pozisyonu ile el de edilebileceği kabul üne dayanır. Bir ava aracı ndaki gi bi bir siste mde li neerite sadece bağı msı z değişkenl erdeki küçük değişi ml er i çi n geçerlidir. Ama deneyl erle bu yakl aşı mı n kullanışlı bir met ot içi n yet erli bir kabul ol duğunu göster mi ştir.[] 3. 3 Hareket denkl e ml eri ni n li neerleştiril mesi Ör nek ol arak uzunl a masına kuvvet denkl e mi ni kullanırsak ( 3. 7) bir önceki böl ümde bul unan sol t araftaki aerodi na mi k t eri ml er t ek bir t eri mi altında t opl anır. Sağ t arafa küçük açı kabul ü uygul anır W. m x yr zq (3. 3) Di kkat edil meli dir ki analizde cisi m üzeri ndeki eksenlerdeki li neer yer değiştir mel er,, Y, ile ifade edil miştir. Bu eksenl er karşılık gelen ı zlar u, v, w ile ifade edil miştir. Bunun sebebi cis mi n üzerine et kileyen kuvvet ve mo mentler, ı zlar ve i vmel eri n bir fonksi yonu ol ması dır. Şi mdi sol t araftaki t eri mi kararlılık değişkenl eri ve uygun serbestlik dereceli ve 4 giriş değerleri ni n çarpımı ci nsi nden yaz mak mü mkündür. Burada t eri ml eri n denge değerleri nden farkları t e msil ettiği ve sadece ayl or serisi ni n ilk teri ml eri, diğer teri ml er imal edilerek kullanıl mıştır. U u v v w w q q p p r r A. A B B (3. 4) Sağ taraftaki değişkenl erin çarpı ml arı şekli nde yazarsak, yr zq W mx yr yr zq zq W. m x. (3. 5) Burada üst çi zgi denge dur umundaki değişi klikl eri ifade et mi ştir. Bu çalış mada eli kopt eri n düz uçuş duru munda ol duğu içi n aşağıdaki ızlar kabul edilir. 7

8 j r p q (3. 6) x V (3. 7) body V z (3. 8) V z (3. 9) Di key kuvvetler i çi n ağırlığı serbestlik derecesini n bir fonksi yonu ol madı ğı i çi n imal edebiliriz. ekseni nde kararlılık türevleri, W q mv w v u mx q w v U,. B A r p B A r p (3. ) Y ekseni nde kararlılık türevleri,., W p mv Y q Y w Y Y v mv u Y Y p q w v u B Y A Y Y Y r mv Y B A r (3. ) ekseni nde kararlılık türevl eri, r p q WV w W w v u r p q w w v U,. B A B A (3. ) ekseni nde mo ment türevl eri, r R p R p I q R w R R v u R R r p xx q w v U,

9. B R A R R R B A (3. 3) Y eseni nde mo ment türevl eri, r p q q I w w v u r p q yy w w v U,. B A B A (3. 4) ekseni nde mo ment türevl eri, r N r I p N q N w N v N u N N r zz p q w v U,. B N A N N N B A (3. 5) Burada giriş değişkenl eri, ana mot or kollektif atve kuyr uk mot oru, kollektif at ve ana mot or, saykılik(cyclic) at ve denkl e mi n sağ t arafı nda dur um uzayı analizi ni n yapıl ması içi n topl anmı ştır.

4. ÖRNEK HELİ KOPER İ Çİ N DURU UAYI NI N OLUŞURUL ASI 4. Kararlılı k türevl erini n el de edil mesi Kararlılık t ürevleri bir çok yol dan el de edilebilir. Bunl arı n en doğr usu ve aynı za manda en paalısı bir bil gisayar pr ogra mı yardı mı yl a değişkenl eri n değerleri ni n denge dur umundan başlanarak aerodi na mi k kuvvet ve mo mentleri n kontrol ve dur u m değişkenl eri ne göre iteratif ol arak çözül mesi ve er adı m i çi n yeni değerlere ul aşıl ması dır. Kararlılık türevl eri ni esapl ayan ve dur um uzayı nı ol uşt uran pr ogra m bu çalış manı n sonunda belirtil miştir. Bu gün birçok eli kopt er fir ması nda bu i ş i çi n daa geliş miş bil gisayar pr ogra ml arı kullanıl makt adır. Bu pr ogra ml ar erangi bir anda ana ve kuyr uk rot orunu analiz edecek bir al gorit ma kullanarak analizi yap makt adır. Daa detaylı bilgi [] den el de edilebilir. Bu çalış mada, yukarı da basedilen bil gisayar pr ogra mı na t e mel t eşkil eden çı karı ml ar ve grafi kler [] de geniş ol arak işlenmi ştir. Bu çalış manı n sonunda da ör nekl er belirtil miştir. Hareket denkl e ml eri nden dur um uzayı na geçerken kuvvetler içi n kararlılık t ürevl eri, kütleye ve mo ment değişkenl eri eyl e msi zli k mo menti ne böl ünerek gerekli boyutsuzlaştır ma yapıl mıştır. Böyl ece denkl e ml er daa ko mpakt al e getiril miş ve iki değişi k araç arası nda kı yasa imkan sağl anmı ştır. 3 t ane bağı msı z değişken,, ', 5 sırası yla ı z para metresi(tip speed rati o), Kollektif at ve, pal konisine giren akı m ı zı(infl ow r ati o wit respect t o pat pl ane) içi n ana r ot or ve kuyr uk rot oru i çi n değerleri 5 knotta.3 uçan bir eli kopt er içi n esapl anmı ş Bağı mlı değişken/ Ba ğımsı z Değişken şekli nde t abl o 4. ve t ablo 4. de belirtil miştir. Ek A. de gösterildi ği gi bi r ot or türevl eri ni n C / göre değişimi çi zil di ği nden ve orta öl çekli değişken ol arak kabul

edil miştir. Aynı şekil de türevl eri n el de edil mesi de gösteril miştir. Aşağı da kullanılan bağı msı z ve bağı mlı değişkenl eri n tabl osu veril miştir. abl o 4. Ana rot or içi n bağı msı z değişkenl er ve tabl olardan el de edilen t ürevl er Bağı mlı Değişken Ana Rot or Bağı msı z Değiş ken Ana rot or ( Denge) Kuyr uk rot oru ( Denge) C / C H / a s C q / a (rad) s b s (rad). 3. 3 -. 4. 8 -. 5. 33 -. 5 5 3. 5 7.. 46 -. 4. 5. -. 5 ' -. 3. 5. 79 -. 7... 59

abl o 4. Kuyr uk rot oru içi n bağı msı z değişkenl er tabl olardan el de edilen değişkenl er Kuyr uk Rot oru Bağı msı z Değişken C / C H / a s C q / a (rad) s a (rad) s -. 7. 4 -.. -.. 659.. 5. 6 5 '. 4 -. -. 6. 7 7 4. Uzunl a ması na uçuşta denge ( ri m) durumu Her angi bir ava aracı ancak yunusla ma yuvarlanma ve dön me eksenl eri ni n epsi ndeki mo mentler a eşit ol duğunda denge dur umunda denebilir. Bu yüzden denge gerekli a ma yet erli değil dir. Bunun dışı nda aracı n sabit bir ı zda erangi bir eksende dön me areketi de denge dur umu ol arak kabul edilebilir. Bu çalış mada i se denge dur umu aracı n er üç eksende açısal ı zı nın ol duğu kabul edil miştir. Pil otlar içi n ise denge dur umundan kasıt aracı n kontrol aksa mı nı n bırakıl masıyl a denge dur umunun kor un ması dır ki bu da sıfır mo ment yanı nda sıfır kontrol kuvveti de mektir. Denge ali nde areket denkl e ml eri mi z şu 3 denkl e me i ndirgenebilir. W sin H F W cos (4. ) l l H H l F F

Anali z i çi n seçil en 3 deği şken,, a s uzunl a ması na çırpma. Bu üç değişken ci nsi nden denkl e ml er ( im a s) sırası yla yunuslama açısı, rot or it kisi, W DV DV W (4. ) W W F d da s a s V V i a l Q l l s l D W H D w F Bu denkl e ml eri n çözümü[] den şu şekil de alınmı ştır. 9337.8,.9, a. (4.3) s 4. 3 Örnek Heli kopter içi n uzunl a ması na eksende Durum Uzayı. Böl ümde ör nek eli kopt er i çi n areket denkl eml eri ni küçük bozunt ular ve küçük açı yakl aşı mı n kullanarak denge konu mu etrafı nda çözül müşt ür. Bu böl ümde areket denkl e mel eri nde uçuş şartları nı, denge değerleri ni ve kararlılık katsayıları nı yerleştirerek eli kopt er i çi n yunusla ma ekseni nde dur um uzayı nı ol uşturabiliriz. Dur um uzayı nı ol uşt urur ken Yunusla ma düzle mi ni analiz ettiği mi z i çi n il gili denkl e ml eri (3. ),(3. ),(3. 4) di kkate alınarak Dur um uzayı: x Ax Bu y Cx Du (4. 4) 3

4 Burada, m Iyy q Iyy m Iyy w Iyy m Iyy u Iyy m m m g m m m A w q w w w u q w u q w u (4. 5) m Iyy Iyy m Iyy Iyy m m m m B B w B om w om B om B om C D Bur ada g m W, yer çeki mi i vmesi ol arak ifade edil miştir ayrıca q ve w düşey ivmeni n mo ment e et kisi a yakı n kabul edilir. Bununl a ilgili teri ml er de düşer. Dur um değişkenl eri ve kontrol girişleri q w u x (4. 6) B u om (4. 7) burada om kollektif yunuslama girişi B saykılik yunusla ma girişidir.

Aer odi na mi k katsayıların bul unması nda aşağı daki met ot i zlenmi ştir. Bağı msı z değişkenl er, At mosfer ve Ör nek eli kopt er i çi n fiziksel para metreler yerleştirilerek. Derece t ürevl er ol uşt urulur. Di ğer t ürevler NACA kanat pr ofili içi n kullanılan grafi klerden el de edilir. Bu grafi kler ek de veril miştir. Daa sonra bu değerler ana türev denkl e ml eri nde konul arak ana t ürevl er el de edil miştir Bu çalış mada değerleri n esapl anması i çi n ALAB orta mı nda l ongderi vat e adı yla bir bil gisayar pr ogr a mı yazıl mıştır. Progra m Ek B de mevcutt ur Pr ogramı n girişi ne bağı msı z değişkenl er uygul andı ğı nda pr ogram dur um uzayı, giriş çı kış transfer fonksi yonl arı nı ve özdeğerleri ver mekt edir. Aynı pr ogra m at mosfer ve fizi ksel para metreler aynı ol mak koşul uyl a farklı uçuş şartları n si mul e et mek ve müendislik para metrelerine ul aş mak içi n kullanılabilir. Aşağı da uzunl a ması na di na mi kl er i çi n kullanılan t ürevl eri n fizi ksel anla ml arı tabl o ali nde belirtil miştir. [3] abl o4. 3 Aer odi na mi k türevl er ürev Genel Gösteri mi Fi zi ksel Anl a mı u, u, u,, x x x İleri ızdan kaynakl anan ileri kuvvet, düşey kuvvet ve yunusla ma momenti,, w w w z,, Düşey ızdan kaynakl anan ileri kuvvet, düşey z z z kuvvet ve yunusla ma momenti,, Yunusla ma ızı ndan kaynakl anan ileri kuvvet, q, q, q q q q düşey kuvvet ve yunuslama mo menti 5

6 abl o 4. 4 Kontrol türevleri ürev Genel Gösteri m Fi zi ksel Anl a mı m m m,, om om om,, kollektif yunusla ma girişinden kaynakl anan ileri kuvvet, düşey kuvvet ve yunusla ma momenti,, B B B,, B B B Saykılik yunusla ma girişinden kaynakl anan ileri kuvvet, düşey kuvvet ve yunusla ma momenti

7 abl o 4. 5 İleri doğru uçuşta ana rot or içi n. derece boyutsuz türevler ürev Denkl e m x ' PP C C z ' ' / C R s b s C a C Y H, 8 ' a C q a s 4 6 4 3 R e R e R e p a s 4 9 4 5 R e R e B a s 3 s db s dr da d, a R R A R e b 4 3

8 abl o 4. 6 İleri doğru uçuş içi n ana rot or türevl eri x x C i a a a C C x C i a a a C C R A H H H H b s s s s s s ' ' ' ' z z C i a a C C R A H b s s ' ' ' ' q H b x q a a C R A s s / / H H b C i a a a C C R A s s s B / B a a C R A s s H b x x C x C R A b ' ' z z C R A b ' ' / B ' ' / B a a C R A s s b / b C R A x m l x x x a x a da d s s s ' '

9 z l z x z a da d s s ' q q q a da d s s l a da d s s db d B B a da d s s 4. 4 Örnek eli kopter için fizi ksel para metrel er Ör nek eli kopt er içi n geo metri k para metreler[] den alınmı ştır. abl o 4. 7 Ana rot or fizi ksel para metreler Çap, R 9m Pal Al anı. 96 m² Di sk Al anı, A 6. 6m² Kanat Profili NACA Pal uç ızı, R 98 m/ s Bur ul ma - Kor d. 695 m Çı rpma eyl e msi zli k mo menti b I 389. 34kg m² Pal sayısı 4 Lock numarası 8. Rijitlik,. 85 afsal Açı klı k Oranı R e. 5

abl o 4. 8 Yat ay St abilizer fizi ksel para metreler Al an A H 6. 48 m² o ment kol ul. 584 m Genişlik b H 5. 4 m Kanat Profili NACA Açı klı k Oranı 6. 8 Yer çeki mi er kezi nden yüksekli k. 457 m abl o 4. 9 Gövde fizi ksel para metreler Uzunl uk L F 7. 37 m Wett ed alanı S w f 63. 7 m² Genişlik W F. 4384 m Haci mv F 3. 8m³ Yüksekli kh F 3. 48 m Yer çeki mi er kezi nden yüksekli k. 54 m Eyl e msi zli k mo menti I yy 543. 8 kgm² Ağırlık W 96kg 3

3 Şekil 4. Ör nek eli kopter üstten ve yandan görünüş 4. 5 Uzunl a ması na ransfer fonksi yonl arı Yukarı da Açı klanan metot ile aerodi na mi k t ürevl eri n ol uşt urul ması ve bağı msı z değişkenl eri n ALAB ile yazılan l ongderi vate pr ogra mı na giril mesi yl e aşağı daki durumuzayı elde edil miştir. - 9.6 8.75 9.3-78.5 9.95 -.85 -.75 -.5.7875 93.9 -.4643.7869-3. 6.9 -.368 -.369 B q w u y B q w u q w u m m (4. 8) Yukarı da bul unan dur um uzayı ALAB pr ogramı nda tf f onksi yonu kullanılarak transfer fonksi yonl arı nı şu şekil de el de edil miştir.

Kollektif kanalı; u w s 3 s -.85 s 9.86 s - 68.s -36.6 4 3 s s.47 s.3s.97 s.4 m 3-78.5 s 66 s 36.44 s - 66 4 3 s s.47 s.3s.97 s.4 m (4. 9) (4. ) 3 q(s) 8.75 s 4.44 s.9 s.87 * 4 3 ( s) s.47 s.3s.97 s.4 m -7 (4. ) (s) 8.75 s 4.44 s.9 4 3 m( s) s.47 s.3s.97 s.4 (4. ) Saykılik kanalı; u B 3 s 9.95 s 7.534 s 35.3 s 45 4 3 s s.47 s.3s.97 s.4 (4. 3) w(s) B 9.3 s 3-568 s -.53 s 5.8 4 3 s s.47 s.3s.97 s.4 (4. 4) 3 q(s) - 9.6 s B - 4.563 s -.65s - 8.563* 4 3 s s.47 s.3s.97 s.4-7 (4. 5) (s) B - 9.6 s - 4.563s -.65 4 3 s s.47 s.3s.97 s.4 (4. 6) 3

4. 5 Karakteristi k denkle m r ansfer fonksi yonl arı nın paydası i ncelenerek erangi bir siste m i çin kararlılık analizi yapılabilir aşağıda il k önce eli kopt erler i çi n genel al daa sonra ör nek eli kopt er içi n incele me yapıl mıştır 4. 5. Karakteristi k denkl e mi n genel çözümü İleri doğr u uçuşta karakteristik denkl e m 4 köke ayrılabilir. Fakat sabit kanatlı ava araçları nda ol duğu gi bi genelleştir mek kol ay değil dir. Uçakt a karakt eristik denkl e m iki çift ko mpl eks köke ayrılır. Bunl ardan kısa peri yotl u ve yüksek sönü ml e meli di ğeri uzun peri yotl u ve afif sönü ml e meli dir(pugoi d). Heli kopt er i çi n i se dur um farklı dır karakt eristik denkl e m bir uçuş dur umunda i ki çift ko mpl eks kök bir di ğeri nde gerçek ve ko mpl eks kök ve bir di ğerinde 4 t ane gerçek köke ayrılabilir. Bunun nedeni Aer odi nami k t ürevleri n uçuş saası i çi nde çok büyük değişi kli kl er göster mel eri dir. Uzunl aması na arekette w en büyük et ki yi gösterirken q, u ve w den sonuçl ara et ki eden t ürevl erdir. Bu bakı mdan aynı ol masa da uçak i çi n geçerli uzun ve kısa modları andıran areketleri yaparlar. [3] Dur um uzayı nı n 4. Dereceden l apl ace f onksi yonu ol uşt urul duğunda ve aer odi na mi k değişkenl er uygun ol arak yerleştirildi ği nde denkl e m sayısal ol arak çözül ebilir. Heli kopt erler içi n genel ol arak karakteristik denkle mşu şekil de ifade edilebilir. s s s n n (4. 7) ) Di key ı z modu: s ile belirtilen yat ay ı z modu kararlı aşırı sönü ml e meli areketi ifade eder. Hareket ı za ve yunusla ma açısı na bağlı değil dir ve sani ye arası nda za man sabitine sai ptir. ) Yat ay Hı z modu: s ile belirtilen yönündeki ız modu kararlı aşırı sönü ml e meli dur uma işarettir. Hareket yunusla ma açısı na ve yunusla ma ı zı na Kupl ajlıdır.. 5 sani ye gibi düşük bir za man sabitine bağlı dır. 33

3) Yunusla ma salı nı mı: genellikle s ile ifade edilir. Yunusl a ma n n osilasyonu ı za ve uçuş şartları na bağlı dır. Hı zı n yüksel mesi osilasyonu da arttıracaktır. Bu denkl e ml er eli kopteri n uçuş sırası nda ki areketi ni i ncele mek i çi n gerekli dir. Yal nı z aerodi na mi k t ürevl er değiştiği nde karakt eristik denkl e mi n de değişeceği, bunun i çi n farklı uçuş dur uml arı nda farklı denkl e ml eri n çözül mesi gerekti ği unut ul ma malı dır. Buradaki di na mi k modl ar uzun ve kısa ol arak i ki ye ayrılabilir. Uzun modl ar eli kopt erin di na mi k kararlılığı nı açı klarken kısa modl ar elikopt eri n pil ot un uygul adı ğı girişlere verdi ği cevapl ar olarak değerlendirilir 4. 5. Örnek Heli kopter İçi n Karakteristi k Denkl e mi n Çözümü Dur um uzayı nı n çözülmesi yle ör nek eli kopter i çi n yunusl a ma düzl e mi ndeki karakt eristik denkl e mşu şekil de bul unmuşt ur. s 4 3.47 s.3s.97 s.4 = (4. 8) denkl e m çözül erek aşağı daki özdeğer t abl osu ve müendislik para metreleri ol uşt urul muşt ur. Bu çalış mada ör nek eli kopt er içi n yat ay stabilizer al anı orijinal kaynakt a[] da t avsi ye edil di ği gi bi 4 kat kadar büyüt ül müşt ür. Böylece yat ay stabilizer kararlılığa pozitif et kisi arttırıl mıştır. 34

abl o4. Özdeğer ve sönü ml e me ve frekans tablosu od Re n Im d Sönü ml e me a man Sabiti Frek.(rad/sec) n Di key Hı z -. 436. 69. 436 Yat ay Hı z -. 756. 33 -. 756 Yunusla ma Salı nı mı -. 39. 34i. 3. 395. 3 abl o 4. 9 dan gör ül düğü gi bi özdeğerler kararlı biri nci dereceden cevaba işaret ederken bir de i ki nci dereceden yüksek dereceli moda işaret et mekt edir. Bu çalış mada Yüksek osilasyonl u yunusla ma modunun kontrol ü i çi n kontrol siste m tasarı mı yapıl mıştır. 35

4. 5. 3 Örnek Heli kopter içi n root-l ocus Aşağı da açı k siste miçi n kökl eri n düzl e mde yerleşi mi (root-l ocus) veril miştir. Şekil 4. Açı k siste mkökl eri n yerleşi mi Açı kça gör ül düğü gi bi yunusla ma ekseni nde yüksek osilasyona sebep olan kökl er düzl e mi n kararlı sol tarafında fakat neredeyse sanal ekseni n üzeri ndedir. 36

4. 5. 4 Açı k siste m Cevapları Şekil 4. 3 Açı k siste madım cevapl arı Şekil 4. 3 de Kontrolsuz siste mi n adı mcevapl arı veril miştir. Açı kça kompl eks kökl eri n et kisi görülebilir. Saykılik girişi n yunuslamaya et kisi. girişi n 4 çıkışa olan cevapt an görül düğü gi bi maksi mu m oversoot u % ot ur ma za manı ise 8 sani ye gi bi yüksek bir değerdedir. 37

5. ÖRNEK HELİ KOPER İ Çİ N UUNLAASI NA EKSENDE YUNUSLAA KONROL SİSEİ ASARI I 5. İleri doğru uçuşta stati k kararlılı k St ati k kararlılık çoğu denge dur umu birbiri ni etkiledi ği i çi n öne mli bir rol oynar. Ör nekl e mek gerekirse yönsel dengedeki erangi bir bozunt u kuyr uk mot orundaki itki yi değiştirecek ve bu da kuvvetten doğan uzunl a ması na eksendeki mo menti değiştirecektir. Uzunl aması na eksendeki ol uşabilecek değişi m i se şu şekil de açı klanabilir: OY ekseninde dön me areketi yapan bir eli kopt eri n uzunl a ması na eksendeki dengesi bozunt uya uğradı ğı nda ana rot orun ücu m açısı değişecek bu değişi m it ki ni n değiş mesi ne bağlı ol arak da dengeni n bozul ması na sebep ol acaktır. Bu bozunt uları n gerektirdi ği dengel e me işl e ml eri ni n pil ot t arafı ndan yapıl ması gerekti ği düşünül ürse elikopt eri n kullanı mı nı n sabit kanatlı ava aracı na göre daa ko mpl eks olacağı barizdir. St ati k kararlılık içi n 3 fakt ör gözden geçiril meli dir.. Ana mot orun statik kararlılığı. Gövdeni n statik kararlılığı 3. Yat ay stabilizeri n kararlılığı 5.. Ana mot orun stati k kararlılığı 5... Hı z Şekil 5. de deni z sevi yesi nde ve v ı zı yla uçan bir eli kopt eri n ve r ot orun basit bir al de gösterildi ği ni düşüneli m. Heli kopt eri n yatay ı zı nda V kadar bir art ma 38

ol duğunda Buna bağlı olarak palleri n çırpma areketi nde bir art ma ol acaktır. Böyl ece rot or e gi bi bir açı yla geri ye eğilecektir. Bu da uçuş yönünün t ersi yönünde Fx kuvveti ni n ol uş ması n neden ol ur. Böyl ece r ot orun ı zı düşer ve r ot orun ileri ye doğr u ol an itkisi düşer. Aynı şekil de eli kopt er düz uçuştayken ı zı n V kadar azaltıl ması rot orun öne doğr u eğil mesi ne böyl ece uçuş yönün de bir Fx kuvvetini n ol uş ması na sebep ol acaktır. Bu da yat ay ı zı n art ması na eli kopt eri n denge durumuna ul aş ması n neden ol acaktır. Buna bağlı olarak ızdaki değişi ml ere göre ana mot or statik olarak dengede denilir. Şekil 5. Ana rot orun ıza göre statik kararlılığı 5... Hücum Açısı Şekil 5. de düz sevi yede uçan bir eli kopt er ör nek veril miştir. Hücu m acısı nı mr kabul edersek ana mot or dan gel en it ki ni n ol ması gerekti ği i çi n itki ağırlı k mer kezi nden geç meli dir. Düşey yönde bir akı mın et kisi yle eli kopt eri n bur nunu indirdi ği ni kabul edelim böyl ece ücum açısı da a kadar azalacaktır. İt ki vekt örü de öne doğr u bozul acaktır ve t kadar bozunt u ol uşt uran bir mo ment ol uşt uracaktır. Bunun yanı nda ana r ot orun ücu m açısı arttığı nda it ki vektör ü ar kaya eğilecek ana r ot orun ücum açısı daa da artacaktır. Buna göre gövdeni n ücu m açısı na göre ana r ot or st atik ol arak kararsızdır denebilir. Askı dur umunda i se eli kopt er durumdeğişiml eri ne göre kararlıdır. 39

Şekil 5. Ana rot orun ücumaçısı na göre statik kararlılığı 5.. Gövdeni n Stati k Kararlılığı Gövdeni n st atik kararlılığa et kisi kal dır ma ve sürükle me kuvvetleri ni n yerleşi mi ne bağlı olarak kararlılığı arttırıcı yada azaltıcı olabilir. 5.. 3 Yat ay stabilizer Yat ay st abilizer statik kararlılığı arttırıcı bir rol oynar. Bu yüzden ana r ot orun kararlılığı nı arttır mak i çin büyükl üğü dol ayısı yla ol uşt urduğu mo ment arttırıl abilir. mo ment ızla doğru orantılı olarak artar. St ati k kararlılığa en büyük et ki yi ana mot or yapmakt adır bunun yanı nda gövdeni n et kisi de i mal edil me meli dir. Gövdeni n arkası na konacak bir kanat uzunl a ması na eksende st ati k kararlılığı arttıracaktır. Bunun yanında kararsızlık ı zı n arttırıl ması ve ücu m açısı nı n azaltıl ması yla el de edilebilir. Negatif ücum açıları nda kuyr uk ve kuyr uk kanadı statik kararlılık göster mekt edir.[5] 4

5. Heli kopter oto mati k uçuş kontrol siste ml eri( AFCS) Heli kopt erler i çi n kullanılan ot omati k uçuş kontrol siste ml eri ni n( AFCS) başlıca i ki görevi başlangı çta kararsız ol an siste mi dış bozunt ulara rağmen denge dur umunda ve fazla ko mpl eks ol mayan manevralar yaparken kararlılığı sağl ayarak pil ot un üzeri ndeki yükü azalt mak ve sist e me girilen ko mut u sağl a maktır. Bunun yanı nda kontroller üzeri nde sı nırlı bir et ki ye i zi n verilebilir. ira kontrol ancak elikopt eri n kal dır ma ve yönel me areketi ni sağl ayan r otor ile sağl anabilir. AFCS ni n kullanıl ması ile bile t a ma men pil ot un dışı nda ol an ot omati k bir işle m ancak birkaç daki ka içi n uygundur. 5.. Kararlılı k Arttırıcı siste ml er( SAS) Kararlılık arttırıcı sisteml er eli kopt eri bul unduğu denge dur umunda ol uşan bozunt ulara karşı jiroskopt an gel en öl çümü geri besle me ol arak kullanır. Buradan gel en si nyal akt uat or ile t abl a asse mbl esi (s was pl ate) ne giriş ol arak uygul anır. Geri besle me kanalı üzerinde jiroskop kanalı na paralel bir geci ktirici i ntegrat or(leaky integrat or) bul unur. Geciktirici i ntegrat or eli koptere uygul anan açı ya orantılı ol arak si nyal üretir. Bu si nyal eli kopt eri n t ekrar denge dur umuna gel mesi ni sağl ar. Eğer eli kopt er düzelt me si nyali ne cevap ver mez yada pil ot yeni dur umu giriş ol arak kullanmı şsa uzun vadede giriş sönü ml enir ve yeni giriş yeni denge dur umu ol arak kabul edilir. 5.. Ot o mati k kararlılık siste mi.( ASE) Ot o mati k kararlılık siste mi istenen istenen örnek ol arak yunusla ma ve yal pa sağlanması i çi n kullanılır dur um değişkenl eri jiroskop t arafı ndan öl çül ür ve ı zları türev alı narak esapl anır. Gerekli öl çekl endirilmeden sonra saykılik kol undan ve yerçeki mi mer kezi dengel e me siste mi nden gelen si nyal ile birleştirilir. Saykıli k kol undaki sensor jiroskop si nyali ni sıfırlayarak siste mi n girişe karşı si nyal üret mesi engellenir. 4

5. 3 PD Kontrol cusu ile asarı m Heli kopt er uçuşunda pilot un kullandı ğı at ve kontrol siste mi bir ayli öne mli dir. Şekil 5. 3 de pil ot un uygul adı ğı girişi mekanik ol arak ifade eden bir siste mi n ALAB/ Si muli nk bl ok di yagra mı ile belirtilmi ştir. Ör nek kontrol siste mi [ 5] dan el de edil miştir Şekil 5. 3 ekani k at ve siste mi Burada geri besle me yayı önceden yükl enebilir ve sertliği ı zı n f onksi yonu ol arak kabul edilebilir. Böyl ece geri besle me siste mi nin pil ot t arafı ndan al gılanışı sabit ol acaktır. Bunun yanı nda siste m bir ön filtre gi bi çalışacak aşırı değişi ml eri sönü ml eyecektir. Bu çalış mada ise kullanılan yunusla ma kontrol siste mi ni n ALAB/ Si muli nk gösteri mi Şekil 5. 4 de gösteril miştir. Burada ki site m gür büz ve ağırlık mer kezi ne bağlı düzelt me si nyallerine i ti yaç duy ma makt adır. Bunun nedeni servonun girişi ne ancak ı z değişkeni nde değiş me var ise si nyal uygul anacaktır ı z jiroskobuna paralel gözüken geci ktirici i ntegrasyon el e manı paral el besle me ile faz-geci kmesi ni sağla makt adır. Bi r bozunt u ol uşt uğunda burada ki geci ktirici i nt egrasyon el e manı eli kopt eri n denge dur umundan uzakl aştı ğı açı nı n şi ddeti ne orantılı ol arak bir si nyal üretir. Kontrol siste mi t abla asse mbl esi üzeri nden bu açısal bozunt uyu a i ndir meye çalışır. Eğer eli kopt er bu düzelt me areketi ne karşılık ver mez ise yada bu yeni dur u mda 4

pil ot un kontrol ü dailinde t ut ul uyorsa ent egre edilmi ş si nyal u 5 süresi nce a düşer ve bu yeni dur um denge dur umu ol arak kabul edilir. Kontrol siste mi ol uşturul urken eli kopt er di na mi kl eri nin ( I O) ifadesi nden siste mi n Yunusla ma açısıyl a il gili transfer fonksi yonl arı çıkartılarak ( SI SO) siste m ol uşt urul ur[6]. Yeni kontrol siste mi Şekil 5. 4 de gösteril miştir. Şekil 5. 4 SI SO Kontrol siste mi PD kontrol ele manı PI Dkontrolcusunun özel bir ali dir. Yani PI D de kullanılan oransal (proportional) ve türevsel(deri vate) kontrol kısı ml arı nı kullanır. PDiçi n transfer fonksi yonu G c s s K K (5. ) p d Şekli nde tanı ml anır. Bunun içi n siteme uygulanan kontrol sinyali U t t de K pet Kd (5. ) dt Şekli nde t anı ml anır. Yukarı daki siste me uygul anan PD kontrol siste mi ni n ALAB/ Si muli nk gösteri mi aşağı da veril miştir. 43

Şekil 5. 5 PD kontrol sistemi PD kontrolcusünün Başlıca Görevl eri. Sönü ml e meyi arttırır. Yüksel me za manı nı ve otur ma za manı nı azaltır 3. Bant genişliği ni yi arttırır 4. Kazanç marjı nı ve faz marjını nı iyileştirir 5. Yüksek frekanslarda gürült ü ol uşt urabilir 6. Uygul anırken nispeten yüksek kapasit öre iti yaç duyar 7. Kararsız yada az kararlı siste ml erde et kili ol mayabilir. 5. 3. Kapalı siste mi n i ncelenmesi Siste mi mi zde Saykılik at ve ni n t abl a asse mblesi ne ol an bağl antısı akt uat or ile sağlanmı ştır. Akt uat or biri nci dereceden bir siste m ol arak benzer çalış mal ardan ör nek alı nmı ştır.[7, 5] G 4 s s 4 (5. 3) 44

Geri besle me kanalı nı n üzeri ndeki kazanç V rad ci nsi nden jiroskop duyarlılı ğı nı k j ol arak ifade et mekt edir. Seçilen jiroskopun bant genişliği ve sönüml e mesi ni n cevabı nı n geci kmeye neden ol mayacak kadar uygun ol duğu varsayı mı yapıl mıştır. Bu a maçl a siste mi mi zde yunusl a ma açısı nı n öl çümü i çi n jiroskop duyarlılığı k kabul edil miştir. j Şekil 5. 6 da kapalı sistemi n ALAB il e el de edil miş farklı Kp değerleri içi n r ootlocus grafi ği veril miştir. Şekil 5. 6 Kapalı siste miçi n root-l ocus grafi ği Şekil 5. 6 dan da gör ül düğü üzere Kp değeri arttırıldı ğı nda i ki sanal kok gerçek eksenden uzakl aş makt a dol ayısı yla sönü ml e meyi azaltarak siste mi n doğal frekansı nı arttır makt adır. Sekil 5. 7 de ise yunuslama açısı nı n Kp = 3, Kd = i çi n adı m cevabı görül mekt edir. Siste m kararlı ale gelmekt e a ma ot ur ma za manı 5 sani ye gi bi çok yüksek bir değerdedir. bunun nedeni PD kontrolcusunun Helikopt er gi bi az sönü ml emeli yada kararsız siste ml erde siste me Kp/ Kd de ekl edi ği ı n siste mi yet eri nce sönü ml eyecek et ki yi göster me mesi dir. 45

( der) t(san) Şekil 5. 7 Kp = 3, Kd = değerler içi n adı mcevabı 5. 4 Kök yerleşi mi( pol e-pl ace ment) yönte mi bir önceki yakl aşı mda PD kontrolcusunun ot ur ma za manı n bir ayli yüksek ol duğu gözl e ml enmi şti. Bunun nedeni PD, PI gi bi kontrol ele manl arı nı n sistemi n büt ün kökl eri ni bağı msı z ol arak kontrol ede me mel eri zira er biri nde sadece para metreni n bul unmasıdır. Bu yüzden I O kök yerleşi mi yani siste mi n kökl eri ni n keyfi ol arak yerleştiril mesi ve buna uygun geri besle me kazançları nı n el de edil mesi yönt e mi uygula mı ştır. Kök yerleşi mi met odunun uygul anabil mesi i çi n siste mi n gerektirdi ği şartlar şu şekil de incelenmi ştir. Siste mdurumdenkl e mi tanı mı t dx dt t Bu(t) Ax (5. 4) burada x(t) n* durumvekt örü u(t) skalar giriş vektörüdür. Geri besle me kontrol ü u( t) Kx( t) r( t) (5. 5) 46

Burada K *n geri besleme el e manl arı ndan ol uşmuşt ur 5. 3 ü 5. da yerleştirirsek. Dur um denkl e mi t dx dt t Br( ) ( A BK ) x t (5. 6) Şekli ni alır Eğer [ A, B]ta ma men kontrol edilebilirse ( A+BK) nı n özdeğerleri keyfi ol arak ol uşt urulabilir[4]. 5. 6 de belirtilen siste m i çi n kontrol edilebilirliğe gerek şart ise 5. 7 de belirtilen n x nr kontrol matrisi ni n rankı nı n n e eşit ol ması dır.[4, 8] n* S [ B AB A B... A B] (5.7) ALAB pr ogra mı nda Ör nek eli kopt er i çi n dur um uzayı A, B mat risleri i çi n ctrb ko mut uyl a sistemi n kontrol edilebilir olduğu ortaya çı kmı ştır. Siste mi n geri besle me kazanç matrisi nin bul unması içi n yeni siste mi n kökl eri R=[-. 4,- +. 5i,--. 5i,-] (5.8) Ol arak seçil miş ekrar ALAB pr ogra mı nda pl ace ko mut u çalıştırılarak geri besle me kazanç matrisi aşağı daki şekil de bul unmuşt ur..95 -.38 -.7588 -.5948 K (5. 9).333 -.4 -.6633-3. Kazanç matrisi siste me ALAB/ Si muli nk ile uygul anmı ştır. Şekil 5. 8 bu siste mi göster mekt edir. 47

(derece) Şekil 5. 8 Kkazanç matrisi yle geri besle me ol uşt urul muş siste m. 5. 4. Kapalı siste mi n i ncelenmesi Şekil 5. 9 de yunusla ma açısı girişi içi n siste mi n adı mcevabı veril miştir. t(san) Şekil 5. 9 Yunusl a ma açısı içi n adı mcevabı Şekil 5. 9 de gör ül düğü gi bi siste mi n adı m cevabı PD siste mi n göre açı kça i yileş mi ş siste m 8. Sani yede ot ur muşt ur. Ayrıca siste mi n kararlılık arttırıcı siste m ol arak( SAS) da i ncelenmi ştir. Bunun i çi n siste me rasgele bozunt ular üreten bir alt siste m 48

( derece) Genlik ekl enmi ş, giriş ol arak sıfır seçil miştir. Rasgele bozunt uları n za mana göre dağılı mı şekil 5. da veril miştir. Şekil 5. Rasgel e Bozunt uları n Dağılı mı t(san) Bu bozunt ulara karşı siste mi n yunusla ma cevabı ise, Şekil 5. Bozunt uya karşı siste mcevabı t(san) 49