YAPI DOĞAL TİTREŞİM FREKANSLARININ FUZZY MANTIĞI İLE HESABI

PAMUKKALE ÜNİ VERSİ TESİ MÜHENDİ SLİ K FAKÜLTESİ YIL PAMUKKALE UNIVERSITY ENGINEERING COLLEGE CİLT MÜHENDİ SLİ K B İ L İ MLERİ DERGİ S İ SAYI JOURNAL OF ENGINEERING SCIENCES SAYFA : 1998 : 4 : 1- : 569-575 YAPI DOĞAL TİTREŞİM FREKANSLARININ FUZZY MANTIĞI İLE HESABI Hasan KAPLAN, Öer CİVALEK Paukkale Üniversitesi, Mühendislik Fakültesi, İnşaat Mühendisliği Bölüü, Denizli ÖZET Yapıların dinaik analizinde herhangi bir yapının depre etkisindeki davranışını belirleyecek en öneli paraetreler, sistein frekansı ve doğal odlarıdır. Gerçek ortogonal titreşi oduna sahip sistelerde bu odlar, ya karakteristik değer probleinin çözüüyle yada yaklaşık etotlar ile elde edilir. Ancak her iki çözüde de sistein kütle ve rijitlik atrisleri bilinelidir. İteratif çözülerde pek çok etot kullanılaktadır. Ancak bunların hepside yaklaşık sonuç verektedir. Bu çalışada odların ve frekansların belirlenesinde Fuzzy tekniği kullanılış ve elde edilen sonuçlar rijitlik atrisi etodu ile elde edilen sonuçlarla birlikte karşılaştıralı olarak veriliştir. Anahtar Kelieler : Dinaik analiz, Periyot, Fuzzy antığı CALCULATION OF NATURAL VIBRATION CHARACTERISTICS OF STRUCTURES BY MEANS OF FUZZY LOGIC ABSTRACT The frequency and natural ode of the syste are the ost iportant paraeters to deterine the behavior of any structure under dynaic effects such as earthquakes and wind forces. These odes can obtain either solving characteristic value proble or using approxiate ethod that the syste have real orthogonal vibration ode. Therefore, both ass and stiffness atrix of the syste ust be known. A great deal of ethod used on the iterative solutions. But all of these give approxiate results. In these study, Fuzzy technique have been used for the definition of the ode and frequency and results have been given as coparative in accordance with the stiffness atrix ethod. Key Words : Dynaic analysis, Period, Fuzzy logic 1. GİRİŞ Oluşu şartları ve zaanı bilineesi itibariyle depre tabii afetlerin en tehlikelisidir. Dolayısıyla yapıların depree karşı dayanıı, üzerinde önele durulası gereken bir konudur. Depree dayanıklı yapı tasarıında teel ilke, yapının depre neticesinde açığa çıkan enerjiyi sönüleesi yani yeteri kadar sünek olasıdır. Depre esnasında yerkabuğu bir titreşi hareketi ortaya koyduğundan bu hareket yapının esnetlerinde zaana bağlı olan bir yer değiştire hareketi oluşturur. Bu etkileri hesaplaak ise yapı dinaiği disiplinini ilgilendiren bir konudur. Ancak yapı dinaiği probleleri statik problelerden bazı yönleriyle farklılıklar gösterektedir. Yapının dinaik analizinde, yapıya veya eleana etkiyen yük zaana bağlı olduğundan çözüler de zaana bağlı olarak ifade edilir (Clough and Penzien, 1975). Dinaik analizde sistein kütle dağılıı nedeniyle oluşan atalet kuvvetleri sistei etkilediğinden çözüde dikkate alınalıdır (Hurty and Rubinstein, 1967). Bunlardan daha önelisi dinaik hareket 569

neticesinde ortaya çıkan çeşitli sönü ve azalı ekanizaları problelerde gözönünde bulundurulalıdır. Bu kadar karaşık olan bir analiz, yıllardır teorisyenleri uğraştırış, buna rağen sonuçlar ancak belirli bir yaklaşıklıkla ifade ediliştir. Bu çözüler çok sayıda olasına rağen iki ana grupta toplaak ükündür. Birincisi, titreşi hareketinin zaana göre değişiinin ya da herhangi bir andaki değerinin ta olarak belirlenebildiği çözülee; yani deterinistik çözülee, diğeri ise bu çözüleeyi rasgele oluşular teorisine dayandırarak yapan stokastik çözüleedir. Ancak her ikisinde de analizi kolaylaştırıcı bazı kabuller yapak gerekektedir. Bu çalışada kullanılan fuzzy antığı sayesinde bu kabullerden kaçınılıştır. Fuzzy antığı prensibi gereği her bir paraetreyi üyelik derecesi kadar çözüde göz önüne alakta ve analizi yaparken taaiyle veri tabanındaki bilgiler ışığında oluşturulan kuralları kullanaktadır. Pek çok disiplinde başarı ile kullanılış olan fuzzy antığı, inşaat ühendisliğinde de son yıllarda kullanılaya başlanıştır (Maiers and Sherif, 1985). Düzle kafes ve çerçeve sistelerin optiu boyutlandırılasında ve elde edilen sonuçlar klasik optiizasyon çözüleriyle karşılaştırılınca fuzzy antığının güçlü yönleri ortaya çıkıştır (Yeh and Sıhu, 1989). Yine yapı ühendisliğindeki çeşitli problelere başarı ile uygulanış ve bu alanda kullanılabilecek etkin bir etot olduğu vurgulanıştır. (Brown and Yao, 1983; Civalek, 1997b). Bu çalışada fuzzy antığı kullanılarak yapıların dinaik analizi teel prensipleriyle veriliş ve elde edilen sonuçlar sayısal çözüleenin verdiği sonuçlar ile birlikte karşılaştıralı olarak tablo ve grafikler ile gösteriliştir. Sonuçların yakınsaası bu alanda yapılacak diğer çalışalara ive verecek niteliktedir.. FUZZY MANTIĞI Fuzzy antığı klasik antık teorisinden farklı olup daha çok belirsizliklerin söz konusu olduğu hadiselerde kullanılır. Olayların oluşu şartları ve oluşu olasılığından çok oluşu dereceleriyle ilgilenen bir kavradır. Fuzzy antığı ile olasılık kavraları ayrı şeylerdir. Aralarındaki en büyük farklılık bulanıklığın bir deterinistik belirsizlik olasıdır (Zieran, 1985). Fuzzy antığında herhangi bir elean verilen bir küenin kısen üyesi olabilir. Bu esnekliği, probleleri çok hassas bir şekilde çözebileye olanak sağlar. Fuzzy antığında her bir elean, tanılanış bir üyelik fonksiyonu (ebership function) yardııyla bir üyelik derecesine atanır (Zadeh, 1994). Böylece, bulanık küeyi oluşturan her bir elean kısen o küenin üyesi olabilektedir. Basit olarak bir bulanık denetleyicinin yapısına bakıldığında; Bulandırıcı, Çıkarı otoru, Veri tabanı, Kural tabanı ve Durulandırıcı olak üzere beş ana bölüden oluştuğu görülür (Bellan and Giertz, 1973). Şekil 1 bulanık bir denetleyicinin teel yapısını gösterektedir Bunlar basit olarak şöyle izah edilebilir:. 1. Bulandırıcı (Fuzzifier) Giriş değişkenlerini ölçen bu kısıda bu değişkenler üzerinde bir ölçek değişikliği yapılarak bulanık küelere dönüştürülür. Bir başka ifadeyle bu gerçel sayılara birer etiket vererek onlara dilsel bir nitelik kazandırır... Çıkarı Motoru (Inference Engine) Kurallar üzerinde fuzzy antık yürütülerek ifadeler antıksal hale dönüştürülür.. 3. Veri Tabanı (Data Base) Çıkarı otoru, kural tabanında kullanılan bulanık küelerin üyelik işlevlerini bu kısıdan alır.. 4. Durulandırıcı (Defuzzifier) Çıkarı otorunun bulanık küe çıkışları üzerinde ölçek değişikliği yapılarak gerçek sayılara dönüştürülür. Girdi Veri Tabanı Bilgi Tabanı tabanı Kural Tabanı Bulandırıcı Çıkartı otoru Durulayıcı Şekil 1. Bulanık bir denetleyicinin teel yapısı Şekil 1 de görüldüğü gibi herhangi bir problein fuzzy ile çözüünde üç teel aşaa evcuttur. Problein fuzzy uzaya dönüşüü, problein fuzzy uzayda çözülüşü, bulunan sonucun eski uzaya dönüştürülesi. Bu dönüşüler sırasında veri tabanı ile kural tabanı doğrudan bir etkileşi içerisindedir. Bu etkileşi sayesinde problein çözüü dinaik olarak kontrol edilekte ve istenilen hassaslığa gelinceye kadar bu etkileşi deva etektedir. Sayısal bir örnek olarak veriliş bir kat çerçevesinin hesabı fuzzy antığı ile ve rijitlik atrisi etoduyla yapılıştır. Bu aaçla öncelikle problein çözüü Çıktı Mühendislik Bilileri Dergisi 1998 4 (1-) 569-575 57 Journal of Engineering Sciences 1998 4 (1-) 569-575

için gerekli kurallar oluşturuluş ve fuzzy küesi teşkil ediliştir. 3. SAYISAL ÖRNEK Sayısal bir örnek olarak aşağıdaki çerçevenin serbest titreşi frekansları ve karşı gelen od şekilleri hesaplanacaktır. Siste aşağıda gösterildiği gibi kütleleri döneden ötelene yapan bir kolon gibi düşünülebilir. Her bir biri yerdeğiştire duruunda tatbik edilesi gereken elastik kuvvetler yine Şekil de gösteriliştir. Katların ötelee rijitliğini aşağıdaki forülle tanılayabiliriz, k = n 1 E I/ h 3 Burada, E = Elastisite odülü I = Atalet oenti h = Kat yüksekliği n = Kolon sayısı V 3 f I3 + f S3 h.5i 1.5.5I k h I I V f I + f S 1.5 k h 1.5 I 1.5 I V 1 f I1 + f S1 3k Şekil. Yapıya etki eden kuvvetler ve ideal yapı sistei Verilen siste için serbest titreşi hareket denklei f I + f S = 3 3 ij v j kij vj J= 1 J= 1 + = şeklinde yazılabilir. Öncelikle atris etoduyla hesapları yapıldığında biri deplasanlar dikkate alınarak, f 1 = v = v1 15. v v3 5k k v1 f s = kv = k 3k k v k k v3 olarak elde edilir. Çok serbestlik dereceli bir sistede sönüsüz serbest titreşi olarak verilir. Çözüün basit bir haronik hareket olduğunu kabul ederek ( ) vt () = v sinwt+ θ şeklinde tanılanır. Bu değeri (1) denkleinde yazarsak w v = elde edilir. d = k 1 için ( k ) ( I w d) v = hoojen lineer denkle sisteini elde etek ükündür. Siste, katsayılar atrisinin deterinantı sıfır olası halinde bir çözüe sahiptir. Böylece sistein frekans denklei aşağıdaki şekilde elde edilir. k w = () Bulunan bu serbest titreşi frekanslarına karşı gelen serbest titreşi od şekilleri ise ( k w ) φ i = (3 ) v + kv = (1) Mühendislik Bilileri Dergisi 1998 4 (1-) 569-575 571 Journal of Engineering Sciences 1998 4 (1-) 569-575

denkleinden hesaplanır. Bu değerler yardııyla verilen sayısal örnek için serbest titreşi frekansları () denklei ile k w = 5kw1 k buradan k 3k15. w k k kw3 = ( 5kw )( 3k15. w )( kw ) 4k ( kw ) k ( 5k w ) = olarak elde edilir. Denklede olarak elde edilir. Birinci titreşi odu, φ 31 = 1 için T 1 φ =[ 6. 648. 1. ] Benzer olarak T [... ] φ = 679 66 1 T [... ] φ 3 = 438 541 1 Elde edilen bu değerler yardııyla sistein serbest titreşi odları Şekil 3 de veriliştir. w w = k yazarak ifadeleri sadeleştirildiğinde, denkle daha açık olarak 6 4 3w 165. w + 5. w 6= şeklinde elde edilir. Bu denklein çözüünden serbest titreşi frekansları w k 1 = 351., k w = 167., 3 k w = 354. olarak bulunur. Bu serbest titreşi frekanslarına karşılık gelen serbest titreşi od şekilleri ise (3) denklei kullanılarak w = w1 için birinci titreşi odu 5kw1 k k 3k15. w1 k k kw 1 φ 11 φ 1 = φ 31 buradan 498. 474. 1 1 649. φ 11 φ1 = φ 31 Şekil 3. Sistein serbest titreşi odları Aynı soruyu fuzzy antığı ile çözek için öncelikle fuzzy antığı için gerekli kuralları oluşturak gereklidir. Klasik küe kuraında bilindiği üzere A ve B öneresi A küesi ile B küesinin birleşiini ifade eden ve sebol olarak A B şeklinde verilen tanıa karşılık gelir. Benzer olarak A veya B öneresi küe kuraında A küesi ile B küesinin kesişiine karşılık gelektedir. Yani bir C küesi için ifadeleri yazılacak olursa C = A B, C = A B olarak tanılanır. Fuzzy küe teorisinde küeler üzerine yapılan işleler bazı farklılıklar gösterir. Yukarıdaki küe tanılarının fuzzy antığındaki ifadeleri sırasıyla şöyledir. f [ µ ( x) µ ( x) ] A B= ax A, B C = A f B = in [ µ ( x), µ ( x) ] A B C = Fuzzy antığında antıksal operatörlerin işlevi klasik küe teorisinden farklıdır. Şöyle ki A ile B önereleri VE ile bağlanış ise A nın üyelik derecesi ile B nin üyelik derecesinden aksiu olan alınır. Eğer VEYA ile tanılanış ise A nın üyelik derecesi ile B nin üyelik derecesinden iniu olan alınır (Zadeh, 1988). Burada dikkat edilesi gereken A ile tanılı küenin eleanları Mühendislik Bilileri Dergisi 1998 4 (1-) 569-575 57 Journal of Engineering Sciences 1998 4 (1-) 569-575

bu küeye bir üyelik derecesi ile katılaktadır. Klasik antıkta bir elean, tanılanış bir küenin ya eleanıdır veya değildir. İşte fuzzy antığında bu kesinlik yoktur. Bir elean herhangi bir küenin kısen üyesi olabilir. Bu üyeliği belirtek için de üyelik fonksiyonları yardııyla üyelik dereceleri bulunur. Problein çözüünde kullanılan bazı fuzzy önereleri yazarsak EĞER φ ni 1 VE ω ω n ise O HALDE üyelik fonksiyonlarını yeniden ayarla...... EĞER φ n1 =1 VE ω = ω n ise O HALDE S in çözüü n. titreşi odunu verir. Burada S daha önce veri tabanında tanılanış bir fonksiyondur. Yukarıdaki kuralların tanılanasında VE operatörü kullanılıştır. Benzer olarak VEYA ile tanılanış bir kural yazalı. EĞER [ C ] A ile ortogonal değilse VEYA ( M ) A ile ortogonal değilse O HALDE ağırlıkları değiştir. Burada A, [C] ve (M) yine progra içinde daha önceden tanılanış fonksiyonlardır ve [C] ile ifade edilen sönü atrisi, (M) ile ifade edilen ise od vektörüdür. Bahsedilen veri tabanının hazırlanasında problein analizinde kullanılacak çeşitli kriterlerden yararlanılaktadır. Örnek olarak bu problede çözüe yaklaşıı hızlandıran en büyük faktör titreşi odlarının yaklaşık olarak sonuçlarının tahin edilebilesidir. Buna ilaveten daia serbest titreşi od vektörünü ifade eden φ vektöründeki son teri daia 1 değerini alır. Sistein fuzzy çözüü ve sonuçları aşağıda veriliştir. Tablo 1 den de görüleceği üzere progra her defasında sonuca dahada yaklaşıştır. İlk etapta progradan serbest titreşi frekansları isteniştir. Tablo 1. Frekans ve Modların Fuzzy Mantığı ile Elde Edilen Sonuçları İterasyon İterasyon Sayısı Serbest Titreşi Frekansları Serbest Titreşi Modkarı ω 1 [ φ T 1 ] 1 1.1 k/ [.1,.551, ] 573.15 k/ [.19,.585,1] 3 4.95 k/ [.54,.6415,1] 4 35.345 k/ [.3,.6485, 1] İterasyon İterasyon Sayısı Serbest Titreşi Frekansları Serbest Titreşi Modkarı ω [ φ T ] 1 9996.54 k/ geçersiz değerler 354.5455 k/ [-.1, -.3,1] 3 53 1.61 k/ [-.684, -.591,1] 4 11.15 k/ [-.954,.697,1] İterasyon İterasyon Sayısı Serbest Titreşi Frekansları Serbest Titreşi Modkarı ω 3 [ φ T 3 ] 1 544.54 k/ [.58, -.3,1] 13 1.659 k/ [1.15, -1.7,1] 3 46.763 k/ [.56, -1.99,1] 4 45 3.49 k/ [.45, -.5,1] K i = φ T i k φ M i = φ T i φ K 1 K K 3 M 1 M M 3.5k 1.1k 1 k.1.95 3.1.98k 1.98k 45k 1.5 1.65 5.31.585k.85k 61.k 1.68. 18..64k 3.775k 81.k 1.79.69 3.15 Mühendislik Bilileri Dergisi 1998 4 (1-) 569-575 573 Journal of Engineering Sciences 1998 4 (1-) 569-575

4 35 3 5 15 1 5 W1 W W3 3 5 BAÞLANGIÇ SAYISAL FUZZY 3. odun 1 olası gibi bir kriter dikkate alınarak bu tahini değerler belirleniştir. İlk verilen grafik her üç od değerinin aynı grafikte verilesiyle elde ediliştir. Elde edilen değerler ile sayısal çözü sonuçları ve prograa girilen tahini ve başlangıç değerleri grafik olarak gösteriliştir. Başlangıç değerleri fuzzy çözüün yakınsaa süresini azaltan ve progra için gerekli olan bir rasgele değerdir. Çözüler daha önceki bir çalışa çerçevesinde (Civalek, 1997b) hazırlanış antıksal progralaa tekniği ile yapılıştır. 15 1 5 3 5 15 1 5 8 6 4 Frekanslar Frekanlar fuzzy sayısal tahin fuzzy sayısal tahin 1 fuzzy Frekanslar ω 13 için ω 11 için ω 1 için sayısal tahin Şekil 4. Elde edilen değerlerin karşılaştıralı olarak gösterii iterasyonda 1 iterasyon sonucunda verilen değerler tablonun 3. ve 4. sütunlarında gösteriliştir. Bu iterasyon neticesinde elde edilen sonuçlar uygun oladığından ikinci iterasyon koşturuluş ve progra 573 iterasyon sonucunda yine belirli değerler üretiştir. Dikkat edileceği gibi her defasında (çözüe yaklaştıkça) iterasyon sayısı azalıştır. Örneğin 4. iterasyonda iterasyon sayısı 35 olup sonuçlar istenilen hassasiyet değerine yakın olarak elde ediliştir. Her tablo için en uygun sonuçlar daha koyu bir satırda gösteriliştir. Şekil 4 de verilen grafiklerde tahin olarak adlandırılan değer çözüün süresini kısaltan ve rando olarak belirleniş değerlerdir. Ancak bunların belirlenesi de proble yapısına bağlıdır. Örneğin bu problede 4. SONUÇLAR Gerek depree dayanıklı yapı tasarıı ve gerekse yapıların dinaik analizinde esas olan, yapıya etkiyen tü dış yükler yanında dinaik etkileri de dikkate alarak çözüe gitektir. Dinaik çözü neticesinde zaana bağlı bir çözü küesi elde edilir. Bu aaçla günüüze kadar teorisyenler tarafından çeşitli etotlar geliştiriliştir. Bu çalışada, pek çok ühendislik probleine başarıyla uygulanış fuzzy antığı kullanılarak, yapıların doğal titreşi ve odları belirleniş ve elde edilen sonuçlar rijitlik atrisi yönteiyle verilen sonuçlar ile karşılaştırılıştır. Gerek prograın yakınsaası ve gerekse sonuçların yaklaşıklığı üit verici niteliktedir. Başlangıçta öngörülen değerler ile fuzzy çıktısı arasında büyük bir farkın olaası ve sayısal çözü değerlerine yakın sonuçlar elde edilesi fuzzy antığının yapıların dinaik analizinde kullanılabilecek etkin bir etot olduğunu gösteriş ve günüüzde pek çok alanda olduğu gibi İnşaat ühendisliğinde de antıksal progralaanın önei vurgulanıştır. 5. KAYNAKLAR Bellan, R. E., Giertz, M. 1973. On the Analytic Foralis of the theory of Fuzzy Sets, Inforation Science, 5, 149-156. Brown, C. B., Yao, T. P. 1983. Fuzzy Sets and Structural Engineering, Journal of Structural Engineering, 19 (5), 111-14. Civalek, Ö. 1997a. Depree Dayanıklı Yapı Tasarıında Nöro- Fuzzy Tekniğinin Kullanılası, Dördüncü Ulusal Depre Konferansı, 17-19 Eylül, Ankara. 431-439. Civalek, Ö. 1997b. The Analysis of Tie Dependent Deforation in RC Mebers by Artificial Neural Network, Journal of Engineering Science of Paukkale University, 3 (), 331-335 Mühendislik Bilileri Dergisi 1998 4 (1-) 569-575 574 Journal of Engineering Sciences 1998 4 (1-) 569-575

Clough, R.W, Penzien, J. 1975. Dynaics of Structures McGraw-Hill, Newyork. Hurty, W.C., Rubinstein, M. F. 1967. Dynaics of Structures, Prentice-Hall. Maiers, J., Sherif, Y. S. 1985. Aplications of Fuzzy Set Theory, IEEE Transactions on Systes, SMC- 15 (1), 175-189. Yeh, Y. C., Sıhu, D. 1989. Structural Optiization With Fuzzy Paraeters, Coputer and Structures, 37 ( 6), 95-946. Zadeh, L. A. 1994. Fuzzy Logic, Neural Networks and Soft Coputing, ACM. Zadeh, L. A. 1988. Fuzzy Logic, IEEE Coputer, 83-93. Zieran, H. J. 1985. Fuzzy Set Theory and Its Applications, Kluwer-Nijhof Publishing, 6-73. Mühendislik Bilileri Dergisi 1998 4 (1-) 569-575 575 Journal of Engineering Sciences 1998 4 (1-) 569-575