GRUP KONTRAKSİYONU ÜZERİNE TARİHSEL BİR NOT Erdal İnönü Feza GÜRSEY Institute PK: 6 Çengelköy, İstanbul, Türkiye ( Bu yazı Profesör Doktor Erdal İnönü nün Feza Gürsey Enstütisinde Grup kontraksiyonu (indirgemesi) üzerine yapmış olduğu bilimsel konuşmadan alınıp Türkçe ye çevrilmiştir.) Çeviren: Mehmet Taşkan Bu toplantıya hoş geldiniz diyor, toplantıyı faydalı ve ilginç bulacağınızı umuyorum. Bu toplantı, esas olarak, Dr Kim, Pogosyan, Gromov ve Duru nun önerisiyle düzenlendi. Biz, en basit kontraksiyon durumları ve kuantum gruplarını içeren Lie gruplarının çeşitli görünümlerdeki deformasyonlarıyla ilgilenen insanları bir kez daha bir araya getirmiş bulunuyoruz. Buraya zaman ayırıp gelen araştırmacıları karşımda görmekten mutluluk duydum. Organizasyon komitesi benden, grup kontraksiyonu (indirgeme) üzerine ilk makalelerden birinin, iki yazarından biri olarak, tanıtıcı bir konuşma yapmamı istedi. Bu makalenin yayınlanmasından beri, bundan 44 yıl öncesi, haziran 1953, bilim tarihinin bir parçası olarak düşünülebilir. Bundan başka, şu günlerde anılarımı yazmakla meşgul olduğumdan, yeni araştırmalardan ziyade, bu makalenin tarihini size anlatacağım. Bu makale, bilim ve insani görüş noktalarının her ikisinden bir miktar eğitici ve ilginç görünümlere sahiptir. Bu, Prof Wigner in hafızası için bir artı-değer olacak. Başlangıçta, ekim 1951 CalTech de doktora derecesi için gerekli olan her şeyi tamamladığımı size anlatmalıyım. Ve sonra bir aştırmacı kişi olarak Princeton Üniversitesine gittim, ülkeme, Türkiye ye dönmeden önce, araştırma yapmak altı ay kadar zamanımı aldı. Benim tezim, CalTech den Neher in ekibi tarafından gözlenen kozmik ışın patlamalarına, Snyder ve Oppenheimer ın sağanak teorisine, uygulanmasıyla ilgili işin fenomenal bir parçası idi. Neher, grup teorisi ile hiçbir şey yapamadı. Fakat Princeton a gelme düşüncem, benim için inanılmaz olan, hakkında çok az şey bilmeme rağmen, grup teorisinde bir şeyler yapabilmek idi. CalTech de benden daha büyüklerden öğrendim ki; E.P.Wigner başka bir çok alanda olduğu gibi grup teorisinde de dünyanın en meşur yazarıydı. O, Wisconsin Üniversitesinde çalışırken, önceki yaz onu ziyaret etmiştim. CalTech te doktora çalışmamı tamamlar tamamlamaz Princeton a gelme isteğin onunla konuşmaktı. Tez danışmanım Prof.Christy den uygun bir mektup aldıktan sonra, o beni Princeton da yeni akademik yılı geçirmeye davet etti. Princeton da Palmer laboratuarında onun ofisinde ilk toplantımızda, CalTech de tamamladığım eğitimimin detaylarını ona verdim ve grup teorisinde bir problem üzerine onunla çalışmayı çok istediğimi belirttim. O, grup teorisiyle ilgili bana birkaç soru sordu ve bu konuda bilgimin çok yetersiz olduğunu belirtti. Bana bir problem verip veremeyeceği hakkında hiçbir şey söylemedi, fakat konuşmamızın sonunda, kafeteryada beni yemek yemeye davet etti. Biz yemek almak için sıra beklerken, fizik bölümü üyelerinden başka biri Wigner e doğru yaklaştı ve onunla el sıkıştı. Wigner beni tanıştırdı ve o da bana CalTech te ne yaptığımı sordu. Prof. Christy nin nötral pi mezonlarının varlığını dolaylı yoldan göstermek için kozmik ışın sağanaklarını içeren bir tür problem önermesi, üzerine çalışma yaptım şeklinde cevap verdim. Hiç düşünmeden otomatik olarak bu bilgiyi veriyordum, fakat aynı zamanda, sanki cevabımın Wigner e dokunduğunu, Princeton da CalTech da şimdiye kadar benim gibi birinin olmadığıydı. Düşünce böyle olsa da, yemekten sonra Wigner beni ofisine götürdü ve homojen-olmayan Galilei grubunun brimsel indirgenemez gösterimlerin belirlemesi üzerine çalışmak için bana öneride bulundu. Bir derece şaşırmış olsam da, o bunun kuantum mekaniği içinde göreli-olmayan bir parçacığın en genel hareket denklemi için bulunan bir yol olacağını, ve bunun için de, Lorentz grubu için önceden geliştirdiği metotların aynısını izleyebileceğimi açıkladı.
Homojen-olmayan Lorentz grubu ya da çok daha öncelikli olan Poincar e grubunun birimsel indirgenemez temsilleri üzerine Prof.Wigner in klasik makalesi, 1939 da gözüktü fakat onun önemi ellilerde anlaşıldı. Wigner bir baskısını bana verdi ve sonra birlikte kütüphaneye gittik, orada grup teorisi hakkında okumam için birkaç kitap aldım. Onun kendi kitabı sadece Almanca olarak vardı. O bana Almanca okuyup okuyamayacağımı sordu ve bir sözlük yardımı ile bunu yapabileceğimi söylediğimde, bana, sıkı çalışırsan bunu yapabilirsin dedi. O daha sonra çok ilginç bir yorum ekledi: Of course, what is really important is imagination!. Grup teorisinin esaslarına çalışırken ve Lorentz grubu üzerine onun makalesini birkaç kez okurken, bir aydan daha fazla zaman geçti. Daha sonra Galilei gösterimleri üzerine çalışmaya başladım ve her zaman onun tavsiyesinden yararlandım. Bu gösterimlerin nasıl dönüştürüleceğini onun bildiğinden şüphelendim, fakat ona söylemedim. Onları belirlememde o sadece bana rehberlik yaptı. Birimsel indirgenemez gösterimlerin dört sınıfı vardır. Uzay dönüşümleri içinde diyagonal olan biçimi en genel şekilde aşağıdaki gibi yazılabilir. Bu, Özel Galilei dönüşümlerini destekler ve orada dalga fonksiyonları şeklinde iki vektöre bağlar: Bu en genel durumda, dalga fonksiyonları P ve S pozitif sayıları ile karakterize edilir; fonksiyonu vektörü ile uzay geçişi için bir işlemci, sabit hız vektörü olmak üzere için bir yardımcı işlemci, Θ(b) ise b kadar zamanda dönen ve R matrisi tarafından dönme özelliği kazanan O işlemcisidir. Biz Hilbert uzay fonksiyonları içinde açıklamasıyla bir skaler çarpım tanımlayabildik. Wigner programındaki gelecek adım, bu gösterimler için fiziksel bir anlam bulmaktı. Lorentz durumu örneğini izleyerek, onların bir tek parçacığı göstereceğini varsaydık. Fakat burada beklenilmeyen bir sonuç bulduk. Eğer gösterim t=0 anında x=y=z=0 da bulunan bir parçacık olarak tanımlanırsa, için fonksiyonu ortogonal olacaktır. Bir başka deyişle, biz yada, a sahibiz. Fakat bu mümkün olmayan ya indirgenebilir. Böylece, biz yerel parçacıkları tanımlamadan bu gösterimleri çıkarmış olduk. Bir de belirli hızdaki durumları aradık, fakat onları bulamadık. Böylece, göreli olmayan parçacıkları tanımlayarak homojen olmayan indirgenemez birimsel Galilei gösterimlerinin yorumlanamayacağı kaçınılmaz bir sonuç oldu. Öte yandan, homojen olmayan Galilei grubunun yeni bir faktör gösteriminin, göreli olmayan Schrödinger denkleminin serbest parçacık çözümlerine karşılık geldiği anlaşıldı. Wigner in klasik ispatı aşağıdaki gibi oldu: kuantum mekaniğinde, iki durum arasında geçiş olasılığı ψ ve φ, olarak tanımlanır ve referans çerçevelerinin değişimine göre
invaryanttır (değişmezdir);, burada g ve g iki farklı referans çerçevesidir. D(N) birim işlemci öyle ki, N; g yi g ne taşıyan bir dönüşüm olmak üzere, şeklinde bir lineer tanımlayabiliriz:. D(N) işlemcisi g yi g ne bağlayabilen bir modüler sabit birimi, fiziksel teoriyle tanımlanır. Böylece, D(N) bir invaryans grup faktörünü belirtme biçimi şeklindedir. Burada w kompleks bir sayı, ki onun fazı N1, N2 ye bağlıdır, fakat modülü birimi şeklindedir. Poincare grubu durumunda, Wigner, yalnızca belirlenmemiş işareti ayırarak, her bir D(N) işlemcisine belirli bir faz atayabildi. Böylece o, U(P) normalize edilmiş içlemcileri için, yi buldu. Galilei grubuna benzer ispatları uygulayarak, ben A keyfi sabit olmak üzere, ilişkisini buldum. Bu, esas olarak; Spini sıfır, momentumu p, kütlesi m olan bir parçacık için göreli olmayan Schrödinger denkleminin düzlem dalga çözümlerinin biçimlenmiş gösterimi; şeklindedir. Bu durumda spin sıfır için işareti pozitif alınarak, bağıntısını buluruz. Burada dır. Ben bu noktaya ulaştığımda, bana Wigner tarafından önerilen orijinal program tamamlanmış oldu ve ben Galilei gösterimleri üzerine makale yazmaya başladım. Fakat, Galilei grubunda olmayan, fiziksel anlama sahip Poincare grubunun gerçek gösterimlerinin nasıl olduğu?, yada bir başka deyişle, Galilei grubuna Poincare grubundan gidildiğinde fiziksel anlamın nasıl gözden kaybolduğu? şeklinde bir soru aklıma takıldı. Wigner tarafından bulunan, Poincare grubunun sonsuz ışık hızı için, özel birimsel gösterimlerinin sınırlarına bakarak, en azından kısmi bir cevap bulunabileceğini düşündük. Düşünce, bu sınırlı sürecin sonuçlarını veren, Galilei makalemize bir ek di. Bununla birlikte ben, Poincare grubunun birimsel gösterimlerinin sınırlarını (limitlerini) almaya çalıştığımda, sonuç anlaşılmaz oldu. Bazı durumlarda sınırlama (limit alma) süreci sonlu bir cevap verdi, fakat diğer durumlarda tümden gözden kayboldu. Tutarlı sonuç bulmaksızın iki hafta kadar mücadele ettikten sonra, Wigner, problemi esas bileşenlerine ayırma şeklinde parlak düşünceye sahip oldu. O; ilk önce grubun sınırlarına bakalım, orada ne olduğunu anlayalım ve ardından gösterimlerin sınırlarını düşünelim dedi. Bu yaklaşım zorluklarımızı çözmek için bize ip ucu verdi. Wigner formunu şeklinde ve giderken limiti olan, orijinal n- parametreli Lie grubunun sonsuz-sayıl üreteçleri üzerine bir tekil dönüşümünü düşündüğümüz zaman, her şey basit ve açık olmaktaydı. Orijinal grubun Lie cebirine, yukarıdaki mantıksal dönüşümü uygulayarak,
şeklinde yeni bir cebir buluruz. Şimdi, için limit alırsak, görürüz ki, yeni cebir ise sonlu sonuçlar verecektir. Bir başka deyişle, sonsuz-sayıl üreteçler bir alt-cebire götürür. Bu durumda, yeni Lie cebiri şekline sahip olacaktır. Sonuç : orijinal S alt grubunu oluşturan I1µ içlemcileri, için limit alarak daima yeni bir grup bulacağımızdır. I2µ işlemcileri bir invaryant Abel alt-grubuna öncülük eder. S alt-grubu sınırlandırma işlemcisinin dışarı taşınmasına göre, bu invaryant (değişmez) alt-grubun faktör grubu ile izomorfiktir. Bu hisle, değişmez kalan S alt-grubunun üzerinden orijinal gruba yaklaşabiliyoruz. Bu da, bu sürece niçin kontraksiyon (büzülme, yaklaşma ) adını verdiğimizi gösterir. Üç boyutlu dönme grubunda olan en basit örneklerden biri, bir çok gruba uygulanabilir sürecin açık olduğunu bu resimde bir kez gördük. Yer değişme ve dönmelerin düzlemde olduğu, iki boyutlu Euclidean grubunu, O(3) ü indirgeyerek, E(2) yi buluruz. Diğer yandan, bir süre için onu neden böyle basit bir süreçmiş gibi düşündüğümüze, o zamana kadar onun bilinmeyen bir şey olduğuna inanamadık. Wigner onu Bargmann a sordu. Bargmann, kesinlikle literatüre sürpriz olduğunu belirti, fakat belirlenmiş bu süreci önceden görmediğini kabul etti. Sophus Lie den toplanmış çalışmalara baktım, fakat sözü edileni bulamadım, böylece onun orijinal bir şey olduğuna karar verdik. Wigner, daha sonra, onun çok daha genel uygulama alanına sahip olduğunu görünceye kadar, onu Galilei gösterimleri üzerine yazdığı makaleye bir ek olarak koyduğunu, doğrulamadığını bana söyledi. 1951 de Segal ın yayınlanmış bir makalesinde, o; Lie grubunu başkasına yaklaştıran bir Lie grupları dizisini şeklinde düşünmüş ve bu da Bergmann ın dikkatini çekmişti. İndirgenmiş grubun gösterimlerine baktığımızda, önceden bize bulmaca (puzzle) olmuş durum, çözülmüş oldu. Eğer biz gösterimin sonsuz-sayıl işlemcilerine doğrudan inmeye çalışsaydık, indirgenmiş durumun bir gösterimini bulurduk; fakat genel olarak bu başarılı olmayacaktı. Bu, alınan indirgemeye (contraction) göre, alt gruba izomorfik bir gösterim olacaktı, yada bir diğer deyişle, değişmez alt-grup-faktör grubunun bir gösterimi olacaktı. İndirgenmiş grubun başarılı bir gösterimini (representation) bulmak gerektiğinde, ilk olarak üzerinde ε a bağlı bir dönüşümü taşıyabilir yada boyutsal gösterimleri sürekli yükselerek giden farklı gösterimlere karşılık işlemcilerine götürebilir. Bu metotları kullanarak, Poincare grubunun gösterimlerini indirgeyebildik ve bir fiziksel anlam bulamadığımız için Galilei grubunun gerçel gösterimlerini gerçekten gösterebildik. Bunlar, geçersiz momentalara ya da uzay-benzerine karşılık Poincare grubunun fiziksel-olmayan
gösterimlerinin sınırlarıdır. Diğer yandan, zaman benzeri momenta gösterimleri, Schrödinger denkleminin çözümlerine karşılık, sadece Galilei grubunun yeni bir faktör gösterimlerine indirgenebilirdir. O aşamaya ulaştıktan sonra, Türkiye ye döndüm ve indirgemeler üzerine makale, mektuplaşmayla tamamlanmış oldu. Bunun insani tarafını tamamlamak, bana son iki gözlem daha yapmama izin verdi. Hikaye ; ilk olarak, basit bir grup indirgeme (contraction) düşüncesine nasıl geldiğimizi, ikinci olarak, doğru zamanda bir problem ile Wigner in bana nasıl şans verdiğini gösteriyor. KAYNAKLAR: [1] E.P. Wigner, Ann. of Math. 40, 149 (1939). [2] T.D. Newton-E.P. Wigner, Rev. Mod. Phys. 21, 400 (1949). [3] E.P. Wigner-E. In on u, Nuovo Cimento IX, N-8,1, (1952). [4] E. In on u, Comm. Fac. Sci. Univ. Ankara, IV, Fasc 2, 26 (1952). [5] I. E. Segal, Duke Math. J. 18, 221 (1951). [6] E.P. Wigner-E. In on u, Proc. Nat-Acad. Sci 39, 510-524 (1953). ÇEVİREN: Mehmet TAŞKAN