ALGORİTMA İ VE PROGRAMLAMA

ALGORİTMA İ VE PROGRAMLAMA II Öğr.Gör.Erdal GÜVENOĞLU Hafta 2 Maltepe Üniversitesi Bilgisayar Mühendisliği Bölümü

ALGORİTMA ANALİZİ 2 Neden algoritmayı analiz ederiz? Algoritmanın performansını ölçmek için Farklı algoritmalarla karşılaştırmak için Daha iyisi mümkün mü? Olabileceklerin en iyisi mi? Özelliklerinin analizi Algoritmanın çalışma ş azamanı a Hafızada kapladığı alan

3 KARMAŞIKLIK: ALGORİTMA PERFORMANSI VE ÖLÇME YÖNTEMİ Bir algoritmanın performansı iç ve dış faktörlere bağlıdır. İç Algoritma verimliliği: Çl Çalıştırmak kiçin i gereken zaman Çalıştırmak için gereken yer (bellek alanı) Dış Girdi verisinin büyüklüğü Bilgisayarın i hızı Derleyicinin kalitesi Karmaşıklık iç faktörlerle ve daha çok da zamanla ilgilidir.

ÇALIŞMA Ş ZAMANI ANALİZİ 4 Bir algoritmanın performansı iç ve dış faktörlere bağlıdır. Algoritma 1 T 1 (N)=1000N Algoritma 2 T 2 (N)=N 2 N giriş verisi Çalışma zamanı T 1 (n) N giriş verisi 10001010101000111110001100011 10101010101010101001000101010 10001000000000000111101010001 11010 Çalışma zamanıt 2 (n)

ÇALIŞMA Ş ZAMANI ANALİZİ 5 T(N) a zamanı Çalışma Algoritma 2 Algoritma 1 1000 Giriş i verisi i N

ÇALIŞMA Ş ZAMANI ANALİZİ 6 N T1 T2 10 10-2 sec 10-4 sec 100 10-1 sec 10-2 sec 1000 1sec 1sec 10000 10 sec 100 sec 100000 100 sec 10000 sec N değerinin 1000 den küçük olduğu durumlarda iki algoritma arasındaki çalışma zamanı ihmal edilebilir büyüklüktedir.

7 BÜYÜME HIZI VE BÜYÜK O (BIG O) NOTASYONU Büyüme hızı bir algoritmanın performansını yansıtan en iyi göstergedir. Büyük-O ük notasyonu büyüme ü hızını gösterir. Bir algoritmanın performansını en iyi tanımlayan matematiksel bir formüldür ve algoritmanın iç detaylarına bakılarak elde edilir. Büyük-O girdi verisinin büyüklüğünü gösteren bir N parametresine dayanan bir fonksiyondur. Örneğin n değerine bağlı olarak performansı (sabit a, b, c değerleri için) an 2 + bn + c olan bir algoritmanın performansı O(N 2 ) dir N değeri arttıkça N 2 terimi baskın olacağı için büyük-o notasyonunda sadece baskın olan terim kullanılır.

8 BÜYÜME HIZI VE BÜYÜK O (BIG O) NOTASYONU Bir algoritmanın çalışma süresi T(N)=O(f(n)) O bir fonksiyon değil, sadece gösterimdir.

9 BÜYÜME HIZI VE BÜYÜK O (BIG O) NOTASYONU O notasyonunda yazarken en basit şekilde yazarız. Örneğin 3n 2 +2n+5 = O(n 2 ) Aşağıdaki gösterimlerde doğrudur fakat kullanılmaz. 3n 2 +2n+5 = O(3n 2 +2n+5) 3n 2 +2n+5 = O(n 2 +n) 3n 2 +2n+5 = O(3n 2 )

BÜYÜK O (BIG O) NASIL HESAPLANIR? 10 Bir program kodunun zaman karmaşıklığını hesaplamak için 5 Kural; 1 Döngüler 2 İç içe Döngüler 3 Ardışık deyimler 4 If-then-else deyimleri 5 Logaritmik karmaşıklıkş

1. DÖNGÜLER 11 Bir döngünün çalışma zamanı en çok döngü içindeki deyimlerin çalışma zamanının iterasyon sayısıyla çarpılması kadardır. n defa çalışır for (i=1; i<=n; i++) { m = m + 2; } +2 Sabit zaman Toplam zaman = sabit c * n = cn = O(N)

2. İÇİÇE DÖNGÜLER 12 İçteki analiz yapılır. Toplam zaman bütün döngülerin çalışma sayılarının çarpımına eşittir for (i=1; i<=n; i++) { for (j=1; j<=n; j++) { k = k+1; } Dış döngü iç döngü n defa n defa çalışır çalışır } Sabit zaman Toplam zaman = c * n * n * = cn 2 = O(N 2 )

3. ARDIŞIK DEYİMLER 13 Her deyimin zamanı birbirine eklenir. Sabit zaman x = x +1; Sabit zaman Dış döngü n defa çalışır x=x+1; for (i=1; i<=n; i++) { m = m + 2; } for (i=1; i<=n; i++) { for (j=1; j<=n; j++) { k = k+1; } Sabit zaman } n defa çalışır iç döngü n defa çalışır toplam zaman = c 0 + c 1 n + c 2 n 2 = O(N 2 )

4. IF-THEN THEN-ELSE ELSE DEYİMLERİ 14 En kötü çalışma zamanı:test zamanına then veya else kısmındaki çalışma zamanının hangisi büyükse o kısım eklenir. test: sabit Diğer if : sabit+sabit (else yok) } if (depth( )!= otherstack.depth( ) ) { return false; then: } sabit else { for (int n = 0; n < depth( ); n++) { else: if (!list[n].equals(otherstack.list[n])) (sabit +sabit) * n return false; } } Toplam zaman = c 0 + c 1 + (c 2 + c 3 ) * n = O(N)

5. LOGARİTMİK KARMAŞIKLIK 15 Problemin büyüklüğünü belli oranda(genelde ½) azaltmak için sabit bir zaman harcanıyorsa bu algoritma O(log N) dir. Örnek algoritma (binary search): N sayfalı bir sözlükten bir sözcük arama Sözlüğün orta kısmına bakılır Sözcük ortaya göre sağda mı solda mı kaldığı bulunur? Bu işlem sağ ğ veya solda sözcük bulunana kadar tekrarlanır

O NOTASYONU ÖRNEK 1 16 3n 2 +2n+5 = O(n 2 ) ifadesinin doğru olup olmadığını ispatlayınız. 10 n 2 =3n 2 +2n 2 +5n 2 Çö ü kü i i ğl 3n 2 + 2n + 5 for n 1 kaç tane n 0 c = 10, n 0 = 1 Çözüm kümesini sağlayan ve c cifti olduğu önemli değildir. Tek bir çift olması notasyonun doğruluğu için yeterlidir.

O NOTASYONU ÖRNEK 2 17 Fonksiyonların harcadıkları zamanları O notasyonuna göre yazınız. f1(n) = 10 n + 25 n 2 f2(n) = 20 n log n + 5 n ( ) g f4(n) = n 1/2 + 3 n log n O(n 2 ) f3(n) = 12 n log n + 0.05 n 2 O(n log n) O(n 2 ) O(n log n)

SIK KULLANILAN BÜYÜME HIZLARI 18 Zaman karmaşıklığı Örnek O(1) sabit Bağlı listeye ilk eleman olarak ekleme yapma O(log N) log Sıralı bir dizide bir eleman arama O(N) lineer Sıralı olmayan bir dizide bir eleman arama O(N log N) n-log-n N elemanı böl-parçala-yut yöntemiyle sıralama O(N 2 ) ikinci dereceden O(N 3 ) üçüncü dereceden Bir grafikte iki düğüm arasındaki en kısa yolu bulma Ardarda gerçekleştirilen lineer denklemler O(2 N ) üssel Hanoi nin nin Kuleleri problemi

BÜYÜME HIZLARI 19 O(N 2 ) O(Nlog N) Kısa bir süre için i N 2 NlogN den daha iyi N

20 BİR PROGRAMIN ASIL ÇALIŞMA ZAMANINI HESAPLAMA (ÖRNEK) Algoritma ve algoritma analizi i kavramlarının dh daha ii iyi anlaşılabilmesi lbil iamacıyla bir problemin çözümü için tasarlanmış olan A ve B algoritmanı ele alalım. Bu algoritmaların özelliklerinin belirlendiğini, analizlerinin yapıldığını ve aşağıdaki sonuçların elde edildiğini düşünelim. Yukarıda A ve B algoritmaları için geçerli olan zaman formülleri verilmiştir. N, girdi boyutunu ifade etmektedir. Her iki algoritma için harcanan zaman farklıdır. Girdi boyutuna göre değişiklik göstermektedir.

21 BİR PROGRAMIN ASIL ÇALIŞMA ZAMANINI HESAPLAMA (ÖRNEK) A ve B algoritmalarının l girdi idiboyutuna göre harcadıkları dkl zamanların diyagramı şekil de gösterilmiştir.

22 BİR PROGRAMIN ASIL ÇALIŞMA ZAMANINI HESAPLAMA (ÖRNEK) A ve B algoritmalarının l harcadıkları zamanlar göz önünde bulundurularak, l analizleri aşağıda ayrı ayrı yapılmıştır.

23 BİR PROGRAMIN ASIL ÇALIŞMA ZAMANINI HESAPLAMA (ÖRNEK) A ve B algoritmalarının l harcadıkları zamanlar göz önünde bulundurularak, l analizleri aşağıda ayrı ayrı yapılmıştır.

ÖRNEKLER 24 1A 1. Aşağıda bir dizinin i i aritmetik ik ortalamasını bl bulan ve sonucu kullanıcıya kll geri döndüren bulortalama() adlı fonksiyonun kodu verilmiştir. Bu fonksiyonun yürütme zamanını gösteren T(n) bağıntısını elde ediniz?

ÖRNEKLER 25

ÖRNEKLER 26

ÖRNEKLER 27

ÖRNEKLER 28

ÖRNEKLER 29

ÖRNEKLER 30

ÖRNEKLER 31