BÖLÜM LİEER DEKLEM TAKIMLARII ÇÖZÜM YÖTEMLERİ - Gş Mtse Lnee enem tımının çözüm yönteme Gss emnsyon yöntem Gss-Jon Yöntem Thoms yöntem LU Ayıştım yönteme Jco st tesyon yöntem Gss-Se tesyon yöntem 7 SOR yöntem Mts tesnn syıs hesı
Böüm - Lnee enem tımının çözüm yönteme Gş Mühens poemenn syıs yöntemenn çözümüne çoğ zmn poem nee enem tımının çözümü poemne ngen ve enem tımının ygn ve hızı yönteme çözümü söz ons o Lnee enem tımı mç mts fom yzı çözümeye çışıı B öüme önce mtsee g zı htıtm ypı mtsen tpenen ve mts şemenen ısc hseecet Dh son nee enem tımının çözümüne nın syıs yöntemee ye veecet MA Yüseen HM Uygmı Syıs Yönteme Des otı
Böüm - Lnee enem tımının çözüm yönteme MA Yüseen HM Uygmı Syıs Yönteme Des otı Mtse Mts tpe M oytın ötgense mts [ ] [ ] M M M M M A A Ke mts M on mts Köşegen Dygon mts Köşegen ışın ütün eemnı sıfı on e mts [ ] D α α α α α δ α OT: se se δ Konece etsı Bm mts Bütün öşegen eemnı on öşegen mts [ ] δ I
Böüm - Lnee enem tımının çözüm yönteme MA Yüseen HM Uygmı Syıs Yönteme Des otı S mts Bütün öşegen eemnı se üyüüğe eşt on öşegen mts [ ] δ Sıfı mts Bütün eemnı sıfı eşt on mts O Bo Sıfıı mts Çoğ eemnı sıfı eşt on mts Smet mts Köşegene göe smet onm eemnı ynı on e mts Çpı smet mts Köşegene göe smet onm eemnı zıt şete ynı on e mts Üst-üçgense mts Köşegen tın ütün eemnı sıfı on e mts U
Böüm - Lnee enem tımının çözüm yönteme At-üçgense mts Köşegen üstüne ütün eemnı sıfı on e mts L Stı mts vey Stı vetöü Te stın et on mts [ ] Sütn mts vey Sütn vetöü Te sütn et on mts Bm vetöü Bnt mts Köşegen cvın nt ışın n ütün eemnı sıfı on e mts 7 7 7 7 77 Üç-ygon mts Köşegenye tın ve üstüne omş eemnı ışın n ütün eemnı sıfı on nt mts 7 7 77 MA Yüseen HM Uygmı Syıs Yönteme Des otı
Böüm - Lnee enem tımının çözüm yönteme Mts şeme - Anc ynı oyt mts topn ve çıtı Topm ve çıtm mtsen sısının önem yot - Aynı oyt mts nc şııı eemnı ynı se ne eştt Mtsen çpmsı - İ mtsn çpm şemne mtsen sısı ve oytı önem Çpm ypımes çn nc mtsn sütn syısının nc mtsn stı syısın eşt omsı gee Mtsen çpm sısı eğştğne gene o çpım sonc ynı omz A n m ve B m se AB çpımı mümünü [ ][ ][c ] c AB BA - B mtsn see çpımı mtsn he eemnının see çpımı nmın ge AC c - Vetöen se çpımı [ ] [ ] - Vetöen ış çpımı ote poct [ ] Mtsn tnspozes Mtsn tnspozes ynı ygon eemnını çeen stı eemnıy sütn eemnının yee eğştee ee e A A T Mts tnspozesnn tnspozes mtsn ensne eştt A T T A Mtsn z Tce Dygon eemnının topmıı T A MA Yüseen HM Uygmı Syıs Yönteme Des otı
Böüm - Lnee enem tımının çözüm yönteme Mtsn mnöe B e mtsn hehng eemnının mnöü eemnın üzene ye ığı nc stı ve nc sütn ütün eemn çıtııtn son n mtsn etemnntı o tnımnı A M Mtsn oftöe B e mtsn hehng eemnının oftöü eemnın mnöünün - çpımı o tnımnı e Mtsn etemnntı B mtsn etemnntı hehng stıın vey hehng sütünn ütün eemnın oftöeye çpımının topmı o tnımnı et A [ A] M M Mtsn özeğee ve özvetöe B mtsn özeğee test ponomnn öe o tnımnı Ktest ponom p λ et A λ I A A λ I λ λ λ Özeğee Özvetöe p A λ eştğn sğyn λ öe Aw λw eştğn sğyn {w } vetöe MA Yüseen HM Uygmı Syıs Yönteme Des otı
Böüm - Lnee enem tımının çözüm yönteme MA Yüseen HM Uygmı Syıs Yönteme Des otı 7 Mtsn tes B A mtsnn tes AB I n eştğn sğyn B mts B mtsn tes mtsten oştn e mtsn mtsn etemnntın öümü e ee e B geçen e mts se mtsn eemnının oftöene oştn mtsn tnspozes Öne A Koftöe mts 7 K E mts 7 E Mtsn etemnntı 7 A et Tes mts 7 A Konto I 7 AA
Böüm - Lnee enem tımının çözüm yönteme MA Yüseen HM Uygmı Syıs Yönteme Des otı 8 Lnee enem tımının syıs çözümü B nee enem tımını gene o vey mts fom şene fe etme mümünü Lnee enem tımının syıs çözümenmesne nın yönteme -Emnsyon Yönteme: - İtetf Yönteme: o sınıfnım mümünü Emnsyon yöntemene en ço nen s Gss emnsyon yöntem ve tüeve B yöntemee zen pvot ygmın gee y B ğe gp etn emnsyon yöntem LU yıştım yönteme o n Büyü nee enem tımı çn gene o tetf yönteme tech e Bn sın Jco st tesyon yöntem Gss-See tesyon yöntem ve A şıı gevşetme Sccesve Ove Reton SOR yöntem syı Ktsyı mtsnn nt mts omsı ve o nt mts omsı g m h öze yönteme geemete Öneğn üç-ygon nt mtse hne Thoms yöntem tech emete
Böüm - Lnee enem tımının çözüm yönteme MA Yüseen HM Uygmı Syıs Yönteme Des otı 9 - Gss emnsyon yöntem Gss-emnsyon yöntem o ve ygon eemnı sın on mtsen çözümü çn ygn yöntem İ şmıı: - Üst-üçgenseeştme şmsı Lnee enem sstemne enemeen hehng nn tfının sıfın fı syıy öünmes vey çpımsı enem eğştmez Yne enemeen snn ye topnmsı vey çıtımsı nee enem tımının çözümünü eğştmez Bn göe enem sstemne nc enemn he tfı e öünüten son sısıy - e çpııp nc enemen çıtı - e çpııp üçüncü enemen çıtı - e çpııp nc enemen çıtı - e çpııp nc enemen çıtı enem sstem mts fom şene gete B Benze şeme nc enem e son eneme sın ten enem sstem
Böüm - Lnee enem tımının çözüm yönteme MA Yüseen HM Uygmı Syıs Yönteme Des otı şene gete B B şeme sonn önce enem e sonnc enem sın geçeeştnceye te eecet Tenn şeme geneeştme mcıy hehng ıncı şm yzııs enem sstem mts fom şene ge B Bütün te şmınn son enem sstem tsyı mts üst-üçgense mts hn
Böüm - Lnee enem tımının çözüm yönteme MA Yüseen HM Uygmı Syıs Yönteme Des otı şene ge - Ge süpüme şmsı Ktsyı mts üst-üçgense he geten enem sstemnn çözümü en son nmeyenen şn geye oğ geçeeşt B şeme sısın nsen ışmmsı çn enem sstemn tsyıın yen sm veee e e e e e e 7 şene yzım Bn göe sonnc nmeyen en son enemen oyı e ve sonn önce nmeyen e önce enem nı e şene hespn B şeme nc enemen nc nmeyen nncy te e Geneeştme mcıy ge-süpüme şemnn hehng nc şmsı çn e gotmsı yzı
Böüm - Lnee enem tımının çözüm yönteme MA Yüseen HM Uygmı Syıs Yönteme Des otı Gss-Emnsyon yöntemnn gsy ygmsı Bgsy ygmsın nee enem tımının tsyı mts e mts yene sütn syısı stı syısınn fz on ötgense mts şene tnımnıp sğ tf vetöü e mtsn en son sütnn yeeştee ütün şeme mts üzene ypı 8 Şyet tsyı mtsnn ş mç çn ynen snmsı geeyos ş mtste yeeenmesne y vı B m üst-üçgenseeştme şmsının ıncı ımın tsyı mts 9 gee gsy gotmı P P / ve ge-süpüme şmsın gee gotm şene yzı
Böüm - Lnee enem tımının çözüm yönteme MA Yüseen HM Uygmı Syıs Yönteme Des otı Öne ygm Denem sstem 8 Ktsyı mts 8 Bnc sütn sıfın 9 7 9 7 / / R R R R İnc sütn sıfın 8 9 7 R R / Ge süpüme e 8 7 9 [ ] Uyı Bzı mtsee üstüçgenseeştme şmsının hehng ımın h önce ypımış on şemen soncn ygon eemnının eğe sıfı o B g m sıfı öme son neenye yı zh een Gss yoetme yöntem evm ettemez B son gemenn yo ısm pvot ygmsıı Gss yoetme yöntemne pvot ygmı Lnee enem tımın enemn sısının eğştmes çözümü hç şee eğştmez Bn göe Gss yöntemnn üst-üçgenseeştme şmsın hehng ıncı ım ygon eemnı sıfı omşs nn son enemeen ygon eemnının tın eemnı sıfı omyn hehng snn ye ıncı eneme eğşte B ygmy ısm pvot ygmsı en
Böüm - Lnee enem tımının çözüm yönteme MA Yüseen HM Uygmı Syıs Yönteme Des otı Sıfı ygon tın eemnn hehng s yene msmm onı tech eee enemn ye eğştse stteye e msmm pvot sttes ı ve Ktsyı mtsne şngıçtn ten vey Gss emnsyon yöntemnn üstüçgenseeştme şmsının hehng ımın ygon eemnınn nn vey çoğnn sıfı omsı ynın üçü omsı hne e msmm pvot sttes ygnmsı yı o Msmm pvot sttes gene o tsyı mtsnn en üyü eemnı ygon üzene geece şee stıının ve sütnının yeenn eğştmes şene Ktsyı mtsnn stıının sğ tf eemnı h om üzee ye eğştmesnn çözümü eğştmeyeceğ h önce e etmşt Ktsyı mtsne sütnn ye eğştmes se nmeyenen sısının eğştmes nmın ge nmeyenen sısının şeme oync nsı eğştğnn tespt emes ve çözüm ee eten son nmeyenen sısının es hne getemes çn sım şem ypımsı gee Öne Yn nmeyen enem sstemne tsyı mtsnn en üyü eemnı msmm pvot eğene shp op öüncü stıın üçüncü sütnn ye mtı 9 B msmm pvotn ygon eemnı omsı çn: - önce nc stı öüncü stıın yeenn eğşmes 9 - son nc sütn üçüncü sütnn yeenn eğşmes geemete Anc sütn eğşğ mn nmeyene vetöüne nc nmeyen e üçüncü nmeyen yenn e eğştmes gee 9 İnc şm tsyı mtsnn nc stı ve sütn ışın n ğe eemnı sınn yen pvot seçecet En üyü eemnın eğe op nn s nc öşegen üzene ye mtı Bn göe zten pvot öşegen üzene oğnn eğşğe gee omyctı Üçüncü şm tsyı mtsnn nc ve nc stıı ve sütnı ışın n ğe eemnı sınn yen pvot nctı B pvot öüncü stı ve öüncü 9 9 sütn ye n eğe op n göe önce öüncü stı üçüncü stıın ınn öüncü sütn üçüncü sütnn yeenn eğşmes geemeteayıc nmeyene vetöüne üçüncü ve öüncü sı ye n nmeyenen yee e eğşecet Göüüğü g stıın yee eğşmee te nmeyenen sısı eğşmemşt Anc sütnın ye eğşen nmeyenen e yee eğşmşt
Böüm - Lnee enem tımının çözüm yönteme B şee pvotnn enem sstemne nn son şm Gss-Emnsyon Yöntem ygn nmeyene o ee e 9 9 Anc gsy ygmsın nmeyene zs çesne oc ve çözüm z çesne 9 9 şene fı sı e ye ctı İşte neene pvotm oync sütnın nsı ye eğştğnn tespt emes ve çözümen son zs çne nmeyen eğeenn gee sıy onmsı geemete Gss yoetme yöntemne LU yıştım ygmsı Gss emnsyon yöntemne ygon tın eemnın sıfınmsı çn ypın / öme şemnn sonc ygonn tın sıfı omsı geeen eemnın yene yzıığı tte sonçt üst-üçgense omsı geeen mtsn ygon tın yen mts oş Öneo h önce enem tımı ınıs 8 R / R 7 9 yene R 7 9 / R / / 7 7 9 9 7 9 R 8 R yene / / 7 8 9 Böyece tsyı mts 7 7 8 şen ı B mts 7 7 8 şene üzenense t-üçgense mtse üst-üçgense mtsn çpımının yı on tsyı mtsn veğ göstee Yn 7 7 8 Böyece tsyı mts ALU şene çpn yıştıımış omtı MA Yüseen HM Uygmı Syıs Yönteme Des otı
Böüm - Lnee enem tımının çözüm yönteme MA Yüseen HM Uygmı Syıs Yönteme Des otı OT: LU çpn yım şem mtsn etemnntının hesı çn etn yöntem Şöye : Yı önete söz ons on tsyı mtsnn etemnntı oftöe yımıy hespnıs 8 7 A et şene ee e Dğe tftn mtsn çpımının etemnntı mtsen etemnntının çpımın eştt Bn göe önete mtsn etemnntı nn LU çpnının etemnntı çpımın eşt octı 8 7 7 A et B mtsen he nn etemnntının ygon eemnı çpımın eşt oğ oyı göümete Bn göe 8 8 A et ee e Gss-Jon Yöntem Gss-emnsyon yöntemne ge-süpüme şmsı üst-üçgenseeştme şmsıy eşte B tpte yöntemeen on Gss-Jon yöntemne ygon tın eemn sıfı ypııen ynı n ygon üzene eemn sıfını yıc ygon eemnının eğee ypıı Böyece şemen soncn tsyı mts m mtse önüşüen sğ tf vetöü e nmeyene yn çözüm vetöüne önüşü Öne ygm Öne tsyı mts 7 ve üncü stıın ye eğştee 7
Böüm - Lnee enem tımının çözüm yönteme MA Yüseen HM Uygmı Syıs Yönteme Des otı 7 nc stı ygon eemnıy öünee 7 8 7 ygon tın eemn sıfın 7 7 7 8 7 ve stıın yen eğştee 7 7 7 8 7 stıı ygon eemnıy öee 7 7 88 99 8 7 ygon üst ve tın eemnı sıfı yp 88 9 88 88 99 88 stıı ygon eemnıy öee 88 87 88 99 88 ygon üst ve tın eemnı sıfı yp 87 8 8 stıı ygon eemnıy öee 87 8 8 ygon üstüne eemnı sıfı yp Son sütn eemn nmeyenen çözümüü
Böüm - Lnee enem tımının çözüm yönteme MA Yüseen HM Uygmı Syıs Yönteme Des otı 8 İşem syısı Gss emnsyon yöntemne he şm ypın şemen topm syısı n³/n²/- 7n/ op şem meteesn ısc n³/ o eme mümünü Bn şıı Gss-Jon yöntemne şem metees n³ op Gss emnsyon yöntemne ıys yşı % h fz şem ypıı Öçeenme Emnsyon yöntemene tsyı mtsnn eemnının üyüüe sın ço fz fıı vs m şeme sısın önem yvtm htın yo ç Bn önemenn yo he enemn tsyıını tsyıın en üyüğü e ömet Öne Denem sstemne eneme en üyü tsyı en sonnc enemn en üyü tsyısı Bn göe enem e ve sonnc enem e e öee çözümeme şemen enem sstem üzene ypm yvtm htını ztctı - Thoms yöntem Hespmı ışn nmğne ve Hespmı mühensğn zı poemene zmn zmn üç-ygon tsyı mtsne shp nee enem tımıy şışıı Üçygon tsyı mtsne shp öye nee enem tımı mts çmne nom o şğı g göstee Anc tsyı mtsnn çoğ sıfı on eemnı çn gsy hfızsın geesz ye şg etmeme ve geesz şemeen çınm mcıy oytın tsyı mts yene oytın tsyı mts nc çme üzeneme ve n ygn çözüm gotmsı nımsı tech e Çözüm çn ço tech een yöntem Thoms gotmsıı Thoms gotmsı sın Gss emnsyon yöntemnn üç oon ötgense mts nı ypın öze ygmsıı
Böüm - Lnee enem tımının çözüm yönteme MA Yüseen HM Uygmı Syıs Yönteme Des otı 9 Yı enem sstem om üzee üzenense: Gss emnsyon yöntemnn essının ygon tın n ütün eemnın sıfı omsını sğyc şeme oğ htınıs enem sstemne enem e ve nc enem e e çpııp nc enem ncsnen çıııtn son he tf e öünee ee e Böyece nc eneme nmeyen yo emş vey ğe eyşe tsyı mtsne ygon eemnının tın tsyı sıfınmış omtı B eşt om üzee şene yzı Böyece enem sstem şene ge Yı ypın emnsyon şem enem sstemne nc ve üçüncü enem sın tenıs yn nc enem e ve üçüncü enem e e çpııp yne nc enem ncsnen çıııp şııı e öünee vey yne om üzee
Böüm - Lnee enem tımının çözüm yönteme MA Yüseen HM Uygmı Syıs Yönteme Des otı ee e B eneme e nmeyennn otn tığı ve tsyı mtsne üçüncü stı ygon tın eemnın sıfı ypıığı göümete Benze şeme h son eneme çn e ten Bnn çn yı çıtın ğıntı şıştıı geneeştme ypııs ee e B m enem sstem e şene ge B enem sstemne en sonnc enemen nmeyennn oyı çözüeeceğ göümete: Bnn üyüü üstte eneme nı n Benze şem hehng nmeyen çn şene geçeeşt - LU yıştım yönteme AXB şene nee enem tımı tsyı mts ALU şene çpnın yı LUXB şene vey UXY tnımmsı yp LYB gete B son enem tımı e-süpüme yoy Y vetöü çn oyı çözüe
Böüm - Lnee enem tımının çözüm yönteme MA Yüseen HM Uygmı Syıs Yönteme Des otı Bnn çözüm önce eneme nııs enem e ge-süpüme yoy X vetöü çn çözüe Bn göe LU yıştım yöntemnn şmı şğı g sın: - AL U yıştımsı - L YB enemnn Y çn e-süpüme yoy çözümes - U XY enemnn X çn ge-süpüme yoy çözümes LU Ayıştım şmsı: U L A L mtsnn ıncı stıı U mtsnn nc sütnı e çpı p p p L mtsnn nc stıı U mtsnn ıncı sütny çpı p p p B ğıntı çn
Böüm - Lnee enem tımının çözüm yönteme çn çn [ ] [ ] op hespın ştımes ve süüüemes çn ve eemnınn nn önceen eenmes geetğ göümete tem ygm eemnn snn eğe o seç B seçme ğı o yöntem fı sme tnınmtı: Dootte Yöntem Dootte yöntemne t-üçgense mtsn ygon eemnı ınmt op n göe yı üç ım çn çn çn [ ] şene ge Göüüğü g hespm sı zenee he ım önce üst-üçgense mtsn stıının eemnının h son t-üçgense mtsn sütnnn eemnının nmsı geemete Bn göe Dootte yöntem çn gene gotm şğı şee yzı p p p p p p Cot Yöntem Cot yöntemne üst-üçgense mtsn ygon eemnı ınmt op n göe yı üç ım çn MA Yüseen HM Uygmı Syıs Yönteme Des otı
Böüm - Lnee enem tımının çözüm yönteme MA Yüseen HM Uygmı Syıs Yönteme Des otı çn çn [ ] şene ge Göüüğü g hespm yne sı zenee ef he ım önce t-üçgense mtsn sütnnn eemnının h son üst-üçgense mtsn stıının eemnının nmsı geemete Bn göe Cot yöntem çn gene gotm şğı şee yzı p p p p p p İe süpüme şmsı L YB enemnn Y çn çözümü eemnn şy e-süpüme yoy geçeeşt y y y y y y L mtsnn nc stıı e Y vetöünün çpımınn y / L mtsnn nc stıının Y vetöü e çpımınn y y y y y y p p p Ge süpüme şmsı U XY enemnn X çn çözümü e son eemnn şy ge-süpüme yoy geçeeşt
Böüm - Lnee enem tımının çözüm yönteme y y y y y y U mtsnn sonnc stıı X vetöüye çpı y y / U mtsnn nc stıı X vetöüye çpı y y p p p ee e - Jco st tesyon yöntem Ço üyü tsyı mts çeen nee enem sstemenn emnsyon yöntemeye çözümü çoğ zmn eonom omz B g m tetf yönteme seç Bnn en st s Jco yöntem A X B nee enem tımı A tsyı mts A L D U L D U şene üç mtsn topmı om üzee L X D X U X B şene gete X D [ B L X U X ] B m nmeyene çn ygn seçece şngıç eğee eştğne nı yen eğee hespneceğ ve şemen tetf o evm etteeceğ göümete Jco st tesyon yöntem o nen yöntemn hehng tesyon ımı çn pı fom X [ B L X U X ] D MA Yüseen HM Uygmı Syıs Yönteme Des otı
Böüm - Lnee enem tımının çözüm yönteme MA Yüseen HM Uygmı Syıs Yönteme Des otı vey çı çme D yzı D ygon mtsnn tesnn D D / / / / Şene ocğı göstee B m mts eştğnn hehng nc stıı çn yzı tesyon gotmsı çı çme ee ee - Gss-Se tesyon yöntem Jco yöntem ç yınsmyn yöntem Yöntemn yınsmsını hıznım çn he tesyon ımın önce çözüme yen nn çözümen [ ] X U X L B D X 7 D 8 9 şene omnsyonnn ynm mümünü Göüüğü g tesyonn hehng ıncı ımın X nmeyene vetöünün nc eemnı hespnıen X n tesyon ımın hespnmış on - eemnı e önce tesyon ımın hespnmış on nc ve h son eemnı nımtı
Böüm - Lnee enem tımının çözüm yönteme MA Yüseen HM Uygmı Syıs Yönteme Des otı 7- A şıı gevşetme Sccessve ove-eton yöntem Gss-Se tesyon fes ynı temn şene ef ve ep ef çıtımsı soncn şene üzenene B üyüüğü t ese sın ıncı tesyon ımın nn çözüm vetöünün tsyı mts e çpımı op tm çözümün ee emes hne üyüüğün ye eşt ocğı çıtı Anc tesyon sısın çözüme tm çözümen fı ocğınn üyüü e enem sstemnn sğ tf vetöünen fı octı A f ıntı ess o nııı Bn göe ğıntısının sğın nc tem ıntı tem op önce tesyon ımın ee emş çözümee ve een üzetme tem g yomn: δ δ Şm üzetme tem ω üyüüğü e çpı ets ztı vey çoğtı δ ω ω 7 Vey yen üzeneme e ω 8 ω 9 ω ω
Böüm - Lnee enem tımının çözüm yönteme 7 şene gete B son fe göüüğü g hehng tesyon ımın Gss-Se şemsıy nn eğee e önce tesyon ımın nn eğeen onto eeen ğıı onın omnsyonn vemete B ω gevşetme ftöü op yöntem <ω < çn z gevşetme Sccessve ne eton <ω < çn şıı gevşetme Sccessve ove eton yöntem o nıı Mts tesnn syıs hesı Mtsee öme g şem omyıp şem mtsn tes nı geçeeşt B/AC BA - C B şem ynı zmn nee enem tımının çözümenmesne e nı AXB A - AXA - B XA - B B mtsn tes emnsyon yöntemeye nee enem tımının çözümesne enze şee geçeeşte B A mtsnn tesnn nmsı sın A A - I n Şene sğ tf vetöü en fz on enem sstemnn çözümesne eşeğe Bn göe tsyı mtsnn sğ tfın ve sütn m mts ve eee Gss-emnsyon yönytemye vey Gss-Jon emnsyon yöntemye mtsn tesn ee etme mümünü Dh önce zh een şemeen son m mts tes mtse önüşecet Öne: Ktsyı mts Genşetmş mts Gss-Jon emnsyon yöntemye / / / / MA Yüseen HM Uygmı Syıs Yönteme Des otı