SAYISAL ÇÖZÜMLEME. Sayısal Çözümleme

Transkript

1 SAYISAL ÇÖZÜMLEME Syısl Çözümleme

2 SAYISAL ÇÖZÜMLEME 7. Hft LİNEER DENKLEM SİSTEMLERİ (Devm) Syısl Çözümleme

3 İÇİNDEKİLER Doğrusl Denklem Sstemlernn Çözümü İtertf Yöntemler Jcob Yöntem Guss-Sedel Yöntem Syısl Çözümleme

4 Ynelemel Yöntemler Büyük ktsyılr mtrs çeren lneer denklem sstemlernn elmnsyon yöntemleryle çözümü çoğu zmn koly olmz. Bu gb durumlrd tertf yöntemler seçlr. İtertf ve yklşık çözümler dh önce nltıln yerne koym yöntemlerne lterntf oluştururlr. Ynelemel (tertf) yöntemler Jcob Yöntem Guss-Sedel Yöntem Syısl Çözümleme

5 Jcob Yöntem Toplm dımlrl yneleme yöntem olrk t blnr. Örneğn k blnmeyenl br denklem ele llım. + = c + = c Denklemler tekrr düzenlenrse (blnmeyenler ylnız bırkılırs) = ( c - )/ = f(, ) = ( c - )/ = g(, ) Jcob tersyonu blnmeyenler çn br thmn le bşlr. Çözüm çn br bşlngıç ve değerler seçlr. (yn vektörü) Örneğn; ve sırsıyl genellersek, ve X k blnmeyen vektör elemnlrı. Durdurm krter olrk y tersyon syısı y d ht sınırlmsı kullnılır Syısl Çözümleme 5

6 Örnek Jcob tersyon metodu kullnrk şğıdk lneer denklem sstemn çözünüz + + = - + = = Çözüm Yolu: yenden düzenleme = ( - - )/ = ( )/(-) = ( + + )/5 =, =, ve =. keyf thmnlerle bşlıyoruz ve tersyon şğıdk sonuçlrı verr. new ITER X X X Ht normu, E = E E E E E E E E- n old Syısl Çözümleme 6

7 Syısl Çözümleme Denklem sstemnn drekt yöntemlerle çözümü =[ ] dr. Çözümde ondlık syıdn sonr hne verlmştr. Aynı denklem sstemn JACOBI tersyonu le çözelm. Denklem sstemn Örnek? b A,,, 7

8 Örnek Syısl Çözümleme 8

9 Jcob Yöntem - MATLAB Sbtler ve lk değerler grlr: : ktsyı mtrs, b: eştlk vektörü (,,), (,,), s > s? E H Son bulunn ve değerlern göster. Toplm k Toplm n k k b Toplm Toplm, % + >=sze()? H =+ E

10 Guss-Sedel Yöntem En çok kullnıln tertf yöntemdr. Değşkenlern yen değerler, tüm değşkenler çn br tersyonun tmmlnmsı beklenmeden, sonrk hesplmlrd kullnılır. e lük br denklem sstem üzernde Guss-Sedel yöntemnn çlışmsı. Bşlngıç koşullrı: =; =; = + + =b b b b n değşken çn Guss-Sedel formülü; k + + =b + + =b b Ykınsm koşulu k n n k Syısl Çözümleme

11 Örnek Aşğıdk denklem Guss-Sedel yöntemn kullnrk tersyon çn çözünüz? İtersyon çn =, =, = İtersyon hesbı çn, =, = Blnmeyen değerlern dğerler cnsnden bul hesbı çn, =.66667, = hesbı çn, =.66667, = Syısl Çözümleme

12 Örnek İtersyon hesbı çn, = -.795, = 7.56, hesbı çn, =.99557, = 7.56 hesbı çn, =.99557, = , Htyı thmn etmek çn blnmeyenlern bğıl yklşım yüzde htlrın bkılır. Örneğn çn: , % %.5 tr. ve çn ht thmnler , % % , % % Bu şeklde tüm htlr belrlenen br tolerns sınırı ltın düşene kdr tersyon devm edlr. Syısl Çözümleme

13 Syısl Çözümleme Denklem sstemnn drekt yöntemlerle çözümü =[ ] dr. Çözümde ondlık syıdn sonr hne verlmştr. Aynı denklem sstemn GAUSS-SIEDEL tersyonu le çözelm. Denklem sstemn Örnek? b A,,,

14 Örnek Syısl Çözümleme

15 Guss-Sedel Yöntem - MATLAB Sbtler ve lk değerler grlr: : ktsyı mtrs, b: eştlk vektörü (,,), (,,), s > s? E H Son bulunn ve değerlern göster. öncek sonrk Toplm k Toplm n k k b Toplm Toplm, % >=sze()? H =+ E

16 Jcob le Guss-Sedel Yöntemlernn krşılştırılmsı Brnc tersyon =(b - - )/ =(b - - )/ =(b - - )/ =(b - - )/ =(b - - )/ =(b - - )/ İknc tersyon =(b - - )/ =(b - - )/ =(b - - )/ =(b - - )/ =(b - - )/ =(b - - )/ () Guss-Sedel Her değer bulundukç br sonrk değern belrleyen denklemde hemen hesplnır. Eğer çözüm ykınsıyors her zmn en y thmnler kullnılmış olur. (b) Jcob Her tersyond hesplnn bütün değerler br sonrk değerler bulunurken toplu olrk yerne koyulur. Syısl Çözümleme 6

17 Örnek y y 5 denklem sstemn Jcob ve Guss-Sedel yöntemler le çözen MATLAB progrmlrını yzınız. Syısl Çözümleme 7

18 KAYNAKLAR Serht YILMAZ, Blgsyr İle Syısl Çözümleme, Kocel Ünv. Yyınlrı Cüneyt BAYILMIŞ, Syısl Anlz Ders Notlrı, Skry Ünverstes. Mehmet YILDIRIM, Syısl Anlz Ders Notlrı, Skry Ünverstes İlys ÇANKAYA, Devrm AKGÜN, MATLAB le Meslek Mtemtğ Seçkn Yyıncılık İrfn Krgöz, Syısl Anlz ve Mühendslk Uygulmlrı Vpş Yyıncılık Syısl Çözümleme 8