UYGULAMALI MATEMATİKSEL İSTATİSTİK Yazarlar: Çiğdem ÖZARI Veysel ULUSOY Düzenleyen: Esra DEMİR EROL
Yrd. Doç. Dr. Çiğdem ÖZARI Prof. Dr. Veysel ULUSOY Düzenleyen: Esra DEMİR EROL Uygulamalı Matematiksel İstatistik ISBN 978-605-318-431-7 Kitap içeriğinin tüm sorumluluğu yazarlarına aittir. 2016, Pegem Akademi Bu kitabın basım, yayın ve satış hakları Pegem Akademi Yay. Eğt. Dan. Hizm. Tic. Ltd. Şti.ne aittir. Anılan kuruluşun izni alınmadan kitabın tümü ya da bölümleri, kapak tasarımı; mekanik, elektronik, fotokopi, manyetik, kayıt ya da başka yöntemlerle çoğaltılamaz, basılamaz, dağıtılamaz. Bu kitap T.C. Kültür Bakanlığı bandrolü ile satılmaktadır. Okuyucularımızın bandrolü olmayan kitaplar hakkında yayınevimize bilgi vermesini ve bandrolsüz yayınları satın almamasını diliyoruz. 1. Baskı: Nisan 2016, Ankara Yayın-Proje: Didem Kestek Dizgi-Grafik Tasarım: İsa Çam Kapak Tasarımı: Mehmet Gruşçu Baskı: Ay-bay Kırtasiye İnşaat Gıda Pazarlama ve Ticaret Limited Şirketi Çetinemeç bulvarı 1314.Cadde No:37A-B Yayıncı Sertifika No: 14749 Matbaa Sertifika No: 33365 İletişim Karanfil 2 Sokak No: 45 Kızılay / ANKARA Yayınevi 0312 430 67 50-430 67 51 Yayınevi Belgeç: 0312 435 44 60 Dağıtım: 0312 434 54 24-434 54 08 Dağıtım Belgeç: 0312 431 37 38 Hazırlık Kursları: 0312 419 05 60 İnternet: www.pegem.net E-ileti: pegem@pegem.net
ÖN SÖZ Akademik eğitim sürecinde ve hatta günlük yaşantımızın her aşamasında karşımıza çıkan ve çoğu zaman da sıkıcı ve zor kabul edilen istatistik ve onun ana dalları, bu kitabımızda daha anlaşılır ve az korkutucu bir düzlemeyle ele alınmıştır. İstatistik disiplininde rastgele kavramı aslında günlük yaşamın her anında karşımıza çıkan olguların sayısal halde sunumunu ifade eder. Düşünce ve hareket halindeki her an ve yaklaşım bu kapsam dâhilinde incelenir ve gerekirse modellenir. Bu kitap özellikle bu basit olgu ve format üzerine kurulmuştur. İçeriğinde bol örneklere yer verilmiş ve elden geldiğince de gerçek hayattaki uygulamalarla desteklenmiş bir yapısal görünüm sağlanan kitabımızda doğal olarak istatistik disiplininin temel öğeleri de ayrıntılı olarak ele alınmıştır. Birinci Bölüm de olasılık kavramı ve yaklaşımlar ile giriş niteliğinde bilgiler ve örneklemeler mevcuttur. Ağır teorik yaklaşımların en aza indirilerek daha çok uygulama ve örneklere yer verilmiştir. Aslında bu doğası ile de kitap bir ilk niteliğindedir. Rastgele değişkenler (ki bunlar günlük yaşamdaki ögelerin diğer adıdır) dağılım kapsamında İkinci Bölüm de irdelenmiş ve bol örneklerle desteklenmiştir. Dağılım ise önümüze gelir dağılımı, boy dağılımı, not dağılımı, kaynakların dağılımı gibi gerçekten de her anımızı şekillendiren yapısal bir kavramdır. Bu kavram değişik modellemelerle anlatılmış ve örneklendirilmiştir. Rastgele değişkenlerin sürekliliği ile ilgili genel bilgiler ikinci bölümün üçüncü kısmında yer almaktadır. Süreklilik ise zaman içinde sıklık ile eş anlı giden bir birliktelik halindedir. Bir ülkede üretimin sürekliliği, nüfusun yapısal değişimi (yaşa, cinsiyete, işgücüne katılımına göre, hükümet politikalarının uygulanmasına göre, vb.) ve insan sermayesi birikimi gibi faktörler veya verilerle ölçülür. Daha da önemlisi bu ölçümlerin sınıflandırılması ve analize tabi bir yapıya dönüştürülmesi bu bölümüm amacını oluşturur. İkinci bölümün Dördüncü Kısmında ise bir önceki bölümde ele alınan süreklilik kavramında rastgele değişkenlerin sıklıkla kullanılanlarının detayını ve örneklemesini içermektedir. Bunlarda bazıları t, Z dağılımı olarak adlandırılan ve hemen hemen her yerde metotları kapsamaktadır. İkinci Bölümün Beşinci Kısmında beklenen değer, varyans ve kovaryans gibi hesaplamalar daha yüksek seviye gerektiren ve faklı bir metodoloji ile ele alınmıştır. İkinci bölümün Altıncı kısmında ise koşullu olasılık ve koşullu beklenen değer kavramları incelenmiştir. Bu bölümde temel amaç özellikle birbirine bağlı olaylarda o bağın nedenselliği ile ilintili diğer olayın meydana gelme olasılığını incelemektir. Özetle, klasik istatistik ve rastgele değişkenleri kapsayan bir kitap formatından çok, akademisyenlerin ve özellikle öğrencilerimizin beklentilerini daha çok örnek ve açıklamalara dayalı bir açıdan karşılamayı amaçlayan bu kitabımızın istatistik disiplinine yeni bir bakış açısı yaratacağı düşüncesine sahibiz. Hayırlı Olsun! NOT: Bu çalışmanın ortaya çıkmış olmasında emeği çok olan öğrencilerimize, özellikle Cihat Topal ve Şükriye Küçükhüseyin e buradan teşekkür ederiz. Eksiğimiz çok olmakla birlikte kitapta yer alan hatalar tamamen bize aittir. Kitabın basımında emeği geçen PEGEM mensuplarına ve PEGEM ailesiyle tanışmamıza vesile olan Sayın Doç. Dr. Bayram Baş a ayrıca teşekkürlerimizi sunarız.
YAZARLAR Yrd. Doç. Dr. Çiğdem ÖZARI Ekonomi ve Finans, İktisadi ve İdari Bilimler Fakültesi, İstanbul Aydın Üniversitesi Prof. Dr. Veysel ULUSOY Sosyal Bilimler Enstitüsü, Yeditepe Üniversitesi DÜZENLEYEN Esra DEMİR EROL Uluslararası İktisat Yüksek Lisans, Sosyal Bilimler Enstitüsü, İstanbul Aydın Üniversitesi
İÇİNDEKİLER 1. BÖLÜM OLASILIĞA GİRİŞ 1.1 Permütasyon, Kombinasyon... 1 1.1.1 Permütasyon (Permutation)... 1 1.1.2 Kombinasyon (Combination)... 1 1.2 Örnek Uzaylar, Olaylar ve Olasılık (Sample Space, Events And Probabılıty)... 5 1.2.1 Örneklem Uzaylar, Olaylar (Sample Space, Events)... 5 1.2.2 Olasılık-Tanım (Probability-Definition)... 9 1.3 Koşullu Olasılık (Condıtıonal Probabılıty)... 17 1.4 Bağımsız Olaylar ve Bayes Formülü (Independent Varıables & Bayes Formula)... 25 1.4.1 Bağımsız Olaylar... 25 1.4.2 Bayes Formülü (Bayes Formula)... 29 2. BÖLÜM RASTGELE DEĞİŞKENLER (RANDOM VARIABLES) 2.1 Kesikli Rastgele Değişkenler (Discrete Random Variables)...35 2.1.1 Kesikli Rastgele Değişkenlerin Beklenen Değeri (Expected Value Of Discrete Random Variables)...38 2.1.2 Kesikli Rastgele Değişkenlerin Varyansı (Variance Of Discrete Random Variables)...45 2.1.3 Kesikli Rastgele Değişkenlerin Standart Sapması (Standart Deviation Of Discrete Random Variables)...51 2.1.4 Kesikli Rastgele Değişkenlerin Kovaryansı (Covariance Of Discrete Random Variables)...55 2.1.5 Kesikli Rastgele Değişkenlerin Korelasyon Katsayısı (Correlation Coefficient Of Discrete Random Variables)...62
vi Uygulamalı Matematiksel İstatistik 2.2 Kesikli Rastgele Değişkenler...71 2.2.1 Bernoulli Dağılım (Bernoulli Distribution)...71 2.2.2 Rademacher Dağılım (Rademacher Distribution)...72 2.2.3 Binom Dağılım (Binomial Distribution)...73 2.2.4 Geometrik Dağılım (Geometric Distribution)...81 2.2.5 Negatif Binom Dağılım (Negative Binomial Distribution)...88 2.2.6 Hipergeometrik Dağılım (Hypergeometric Distribution)...90 2.2.7 Poisson Dağılım (Poisson Distribution)...96 2.2.8 Poisson Binom Dağılım (Poisson Binomial Distribution)... 101 2. 3 Sürekli Rastgele Değişken (Contınuous Random Varıable)... 102 2.3.1 Sürekli Rastgele Değişkenler İçin Beklenen Değer... 107 2.3.2 Sürekli Rastgele Değişkenler İçin Varyans... 109 2.3.3 Sürekli Rastgele Değişkenler İçin Standart Sapma... 117 2.4 Sürekli Rastgele Değişken (Contınuous Random Varıable)... 120 2.4.1 Uniform (Düzgün) Dağılım (Uniform Distribution)... 120 2.4.2 Üstel Dağılım (Exponential Distribution)... 126 2.4.3 Normal Ve Standart Normal Dağılım (Normal And Standart Normal Distribution)... 130 2.5 Birleşik Dağılımlar... 139 2.6 Koşullu Olasılık Ve Koşullu Beklenen Değer (Conditional Probability & Conditional Expectation)... 145 2.7 Momentler... 148 2.7.1 Moment Türeten Fonksiyon (Moment Generating Function)... 148 2.7.2 Olasılık Türeten Fonksiyon (Probability Generating Function)... 162 Sorular... 168 Çözümler... 173 Kaynaklar... 185
KAYNAKLAR Bespalov, M.S.. ''Spectral Decomposition of Cyclic Operators in Discrete Harmonic Analysis, Journal of Mathematical Sciences, July, 2014. Chen,. Mathematics, Symbols, and Physical Constants, New Directions in Civil Engineering, The Civil Engineering Handbokk, Second Edition, 2002. Çiğdem Özarı, Elif Çakmakoğlu, ''Sigorta Matematiği'' Beta Basım A.Ş. 2013 David C. M. Dickson, ''Insurance Risk and Ruin, Cambridge University Press'', UK 2005. David C. M. Dickson, Mary R. Hardy, Howard R. Waters, ''Actuarial Mathematics for Life Contingent Risks'', Cambridge University Press, UK 2009. D.Lamberton and B. Lapeyre, ''Introduction to Stochastic Calculus Applied to Finance'', Springer-Verlag, New York, 1996. Glenn Shafer, Vladimir Vovk, ''Probability and Finance: It s Only a Game'', John Wiley & Sons, Inc., New York 2001. İbrahim Büyükyazıcı, İki Değişkenli Fonksiyonların Bernstein Polinomları Üzerine, Tübitak, 2003. Jean Jacod and Philip Protter, ''Probability Essentials'', Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2004. Jacques Janssen, Raimondo Manca, ''Semi-Markov Risk Models for Finance'', Insurance and Reliability, Springer, US 2007. John E. Freund, Ronald E. Walpole, ''Mathematical Statistics'', Prentice Hall, USA 1979. Kenneth Lange, ''Applied Probability'', Springer Sciencet Business Media, New York, 2013 Kollo., Multivariate Linear Models, Advanced Multivariate Statistics with Matrices, 2005. KPSS (2006-2007-2008-2009-2011-2012-2013-2014) Sınav Soruları Mark A. Berger, ''An Introduction to Probability and Stochastic Processes'', Springer-Verlag, New York 1993. P.Bremaud, ''An Introduction to Probabilistic Modeling'', Springer-Verlag, New York 1988. Sheldon M. Ross, ''A First Course in Probability'', Prentice Hall, USA 2001. Sheldon M. Ross, ''An Elemantary Introduction to Mathematical Finance'', Cambridge University Press, UK 2002. Sheldon M. Ross, ''Introductory Statistics'', McGraw-Hill, USA 1986. Sheldon M. Ross, ''Introduction to Probability and Statistics for Engineers and Scientists'', Academic Press, UK 1999. Sheldon M. Ross, ''Introduction to Probability Models, Academic Press'', UK 2003. Sheldon M. Ross, ''Topics in Finite and Discrete Mathematics'', Cambridge University Press, UK 2000. SPK Lisanslama Sınav Soruları
186 Uygulamalı Matematiksel İstatistik Şehirlioğlu Ali Kemal, Ünlü Mustafa, Pearson Dağılış Ailesinin Güvenilirlik Analizinde Kullanılması Üzerine Bir Çalışma, Dokuz Eylül Üniversitesi Sosyal Bilimler Enstitüsü, 2013. Tallarida, Tables, Pocket Book of Integrals and Mathematical Formulas, Fourth Edition, 2008.