Çözümlü Yüksek Matematik Problemleri. Doç. Dr. Erhan Pişkin

Transkript

1 Çözümlü Yüksek Matematik Problemleri Doç. Dr. Erhan Pişkin

2 Doç. Dr. Erhan PİŞKİN ÇÖZÜMLÜ YÜKSEK MATEMATİK PROBLEMLERİ ISBN Kitap içeriğinin tüm sorumluluğu yazarına aittir. 06, Pegem Akademi Bu kitabın basım, yayın ve satış hakları Pegem Akademi Yay. Eğt. Dan. Hizm. Tic. Ltd. Şti.ne aittir. Anılan kuruluşun izni alınmadan kitabın tümü ya da bölümleri, kapak tasarımı; mekanik, elektronik, fotokopi, manyetik, kayıt ya da başka yöntemlerle çoğaltılamaz, basılamaz, dağıtılamaz. Bu kitap T.C. Kültür Bakanlığı bandrolü ile satılmaktadır. Okuyucularımızın bandrolü olmayan kitaplar hakkında yayınevimize bilgi vermesini ve bandrolsüz yayınları satın almamasını diliyoruz.. Baskı: Mayıs 06, Ankara Yayın-Proje: Didem Kestek Dizgi-Grafik Tasarım: Selda Tunç Kapak Tasarımı: Erhan Pişkin Baskı: 7 Tasarım Ltd. Şti. Fakülteler Mah. Dirim Sok. No: 5 Cebeci / ANKARA Yayıncı Sertifika No: 4749 Matbaa Sertifika No: 07 İletişim Karanfil Sokak No: 45 Kızılay / ANKARA Yayınevi: Yayınevi Belgeç: Dağıtım: Dağıtım Belgeç: Hazırlık Kursları: İnternet: E-ileti: pegem@pegem.net

3 Önsöz Bu kitap, üniversitelerin eğitim, fen ve mühendislik fakültelerinde okutulan Analiz III IV ve Genel Matematik III IV derslerine yardımcı olmak amacıyla yazılmıştır. Kitap dokuz bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde seriler, ikinci bölümde, çok değişkenli fonksiyonlar, üçüncü bölümde vektör değerli fonksiyonlar, dördüncü, beşinci, altıncı ve yedinci bölümlerde sırasıyla iki katlı, üç katlı, eğrisel ve yüzey integralleri incelenmektedir. Son iki bölüm ise özel fonksiyonlar ve Fourier serilerini içermektedir. Her bölüm, konu ile gerekli tanım ve teoremler verildikten sonra çok sayıda çözülmüş problemden oluşmaktadır. Kitabın kolay okunup, anlaşılabilmesi için gerekli titizliğin gösterilmesine rağmen yine de bazı hatalar olabilir. Bu konuda her türlü uyarı ve eleştiride bulunacak meslektaş ve öğrencilere şimdiden teşekkürlerimi sunarım. Diyarbakır 06 Erhan PİŞKİN

4 İÇİNDEKİLER Sayfa Önsöz... iii. SERİLER... Seri Kavramı... Geometrik Seri...3. Pozitif Terimli Seriler için Yakınsaklık Testleri Alterne Seriler Mutlak ve Şartlı Yakınsaklık Kuvvet Serileri Kuvvet Serilerinin Türev ve İntegrali Taylor Serileri Binom Serisi ÇOK DEĞİŞKENLİ FONKSİYONLAR Giriş Fonksiyonların Grafikleri Limit ve Süreklilik Kısmi Türevler Kapalı Fonksiyonun Türevi Zincir Kuralı Yönlü Türevler Tam Diferansiyel... 93

5 .9. İki Değişkenli Fonksiyonlar için Taylor Açılımı Maksimum ve Minimumlar İntegral İşareti Altında Türev Alma Bölge Dönüşümleri Fonksiyonel Bağımlılık Skaler ve Vektör Alanları VEKTÖR DEĞERLİ FONKSİYONLAR Temel Tanımlar Limit ve Süreklilik Türev İntegral Eğrinin Uzunluğu Teğet, Normal ve Binormal Vetörler İKİ KATLI İNTEGRALLER Temel Tanımlar İki Katlı İntegrallerde Bölge Dönüşümleri İki Katlı İntegralin Uygulamaları Alan Hesabı Hacim Hesabı Kütle Hesabı Ağırlık Merkezi Yüzey Alanlarının Hesabı. 83

6 5. ÜÇ KATLI İNTEGRALLER Temel Tanımlar Üç Katlı İntegrallerde Bölge Dönüşümleri Üç Katlı İntegrallerin Uygulamaları Hacim Hesabı Kütle Hesabı EĞRİSEL İNTEGRALLER Birinci Çeşit Eğrisel İntegral İkinci Çeşit Eğrisel İntegral Eğrisel İntegralin Temel Teoremleri Eğrisel İntegralin Uygulamaları Alan Hesabı Yay Uzunluğu Hesabı Kütle Hesabı Ağırlık Merkezi Hesabı Eylemsizlik Momenti Hesabı İş Hesabı 9 7. YÜZEY İNTEGRALLERİ Birinci Çeşit Yüzey İngralleri İkinci Çeşit Yüzey İntegralleri Yüzey İntegrallerinin Temel Teoremleri

7 8. ÖZEL FONKSİYONLAR Gamma Fonksiyonu Beta Fonksiyonu Kesirli Türeve Giriş FOURİER SERİLERİ Fourier Serileri π Periyotlu Bir Fonksiyonun Fourier Serisi Tek ve Çift Fonksiyonların Fourier Serileri Keyfi Aralıkta Verilen Fonksiyonun Fourier Serisi Parseval Özdeşliği KAYNAKLAR DİZİN... 6

8 BÖLÜM I SER ILER.. Seri Kavram Tan m. (a n ) bir dizi olmak üzere X a n a + a + ::: + a n + ::: n sonsuz toplam na seri denir. a n serinin genel terimidir. Tan m. Serinin ilk n teriminin toplam na serinin k smi toplamlar dizisi denir ve s n a + a + ::: + a n şeklinde gösterilir. Burada s a ; s a + a ; s 3 a + a + a 3. nx k s n a + a + ::: + a n d r. a k Tan m. Bir serinin k smi toplamlar dizisi bir s say s na yak ns yor ise, yani lim s n s n! ise seriye yak nsak seri ve serinin toplam s dir denir. Yak nsak olmayan seriye raksak seri denir. Not. Serinin ilk teriminin den başlama zorunlulu¼gu yoktur.

9 Çözümlü Yüksek Matematik Problemleri Teorem. Yak nsak bir serinin genel teriminin limiti s f rd r. Yani lim a n 0 n! d r. Ispat. E¼ger serisi yak nsak ise d r. Böylece X a n a + a + ::: + a n + ::: n lim s n s n! s n a + a + ::: + a n toplam içinde d r. Di¼ger taraftan lim s n s n! s n a + a + ::: + a n + a n {z } s n s n + a n d r. Buradan limit al n rsa lim s n lim (s n + a n ) ; n! n! s s + lim n! a n buradan bulunur. lim a n 0 n! Not. Bu teoremin karş t do¼gru de¼gildir. Yani genel teriminin limiti s f r olan bir seri yak nsak olmak zorunda de¼gildir.

10 . Bölüm: Seriler 3 Örne¼gin; X ln + k serisinin genel teriminin limiti k lim ln + 0 n! k d r. Fakat daha sonra görece¼gizki bu seri yak nsak de¼gildir. Buradan aşa¼g daki sonuç söylenebilir. Sonuç. E¼ger bir serinin genel teriminin limiti s f r de¼gilse bu seri raksakt r. Örnek. X k k+ k ; X k 3 k X k+ ; ( ) k ve k X k limitleri s f rdan farkl oldu¼gundan raksakt rlar. k+4 5k serilerinin genel terimlerinin Tan m. R n terimi denir. X kn+ a k a n+ + a n+ + ::: ifadesine X a k serisinin kalan k Teorem. Yak nsak bir seride kalan terimin limiti s f rd r. Çözümlü Sorular. serisinin karakterini inceleyiniz. Yak nsak ise toplam n bulunuz. X k (k+)(k+) Çözüm. Verilen X k serisinin genel terimi (k + ) (k + ) :3 + 3:4 + ::: + (n + ) (n + ) + ::: a n d r. Bu ifade basit kesirlere ayr l rsa (n + ) (n + ) a n n + n +

11 4 Çözümlü Yüksek Matematik Problemleri olur. Buradan serinin k smi toplamlar dizisi s n a + a + ::: + a n oldu¼gundan s n bulunur. Böylece yani n + lim s n lim n! n! X k + ::: + 4 n + n + (k + ) (k + ) olur. O halde verilen seri yak nsakt r ve toplam s dir. n +. X k k (k+)! serisinin karakterini inceleyiniz. Yak nsak ise toplam n bulunuz. Çözüm. Verilen serisinin genel terimi X k d r. Bu ifade düzenlenirse k (k + )!! + 3! + ::: + n (n + )! + ::: a n n (n + )! a n n (n + )! (n + ) (n + )! (n + ) (n + )! (n + )! (n + ) (n + ) :n! (n + )! n! (n + )!

12 . Bölüm: Seriler 5 olur. Buradan serinin k smi toplamlar dizisi s n a + a + ::: + a n oldu¼gundan s n! +!! (n + )! + ::: + 3! n! (n + )! bulunur. Böylece yani lim s n lim n! n! (n + )! X k k (k + )! olur. O halde verilen seri yak nsakt r ve toplam s dir. 3. X k bulunuz. k p k++(k+) p k Çözüm. Verilen serisinin karakterini inceleyiniz. Yak nsak ise toplam n X k serisinin genel terimi k p k + + (k + ) p k p p + 3 p p 3 +::: + n p n + + (n + ) p n + ::: a n n p n + + (n + ) p n

13 6 Çözümlü Yüksek Matematik Problemleri d r. Bu ifade önce p n + : p n parantezine al n r, sonra eşleni¼gi ile çarp l rsa a n n p n + + (n + ) p n p p p p n + : n n + + n p n + : p n p n + + p n : p p n + n p p n + : n p n + p n + p n p n p n + p n + : p n p n p n + p n p p n n + olur. Buradan serinin k smi toplamlar dizisi s n a + a 3 + ::: + a n oldu¼gundan s n p p3 + p3 p4 + ::: + pn p n + p p n + bulunur. Böylece lim s n lim p p n! n! n + p p yani X k p k p k + + (k + ) p k olur. O halde verilen seri yak nsakt r ve toplam s p dir.

14 . Bölüm: Seriler 7 4. X arctan k0 bulunuz. k +k+ serisinin karakterini inceleyiniz. Yak nsak ise toplam n Çözüm. Verilen serinin genel terimini arctan k arctan + k + + k (k + ) k + k arctan + k (k + ) olarak yazal m. Buradan tan k + ve tan k al n rsa k + k tan tan arctan arctan + k (k + ) + tan tan arctan [tan ( )] olur. Burada ve tan k + ) arctan (k + ) tan k ) arctan k oldu¼gundan arctan k + k + arctan (k + ) arctan k bulunur. Şimdi serinin k smi toplamlar dizisini bulal m: s n a 0 + a + a + ::: + a n oldu¼gundan s n (arctan arctan 0) + (arctan arctan ) + ::: + (arctan (n + ) arctan n) arctan (n + ) arctan 0 arctan (n + )

15 8 Çözümlü Yüksek Matematik Problemleri bulunur. Böylece yani lim s n lim (arctan (n + )) n! n! X k0 olur. O halde verilen seri yak nsakt r. 5. X ln + k serisinin karakterini inceleyiniz. Yak nsak ise toplam n bulunuz. arctan k + k + k Çözüm. Verilen X k serisinin genel terimi ln + ln k + ln 3 n + + ::: + ln + ::: n a n ln n + n d r. Buradan serinin k smi toplamlar dizisi oldu¼gundan bulunur. Böylece yani s n a + a + ::: + a n s n ln + ln 3 n + + ::: + ln n ln :3 :::n + n ln (n + ) lim s n lim (ln (n + )) n! n! X k olur. O halde verilen seri raksakt r. ln + k