BOYUTSUZ SAYILAR VE FİZİKSEL ANLAMLARI Bitlis Eren Üniversitesi Mühendislik Mimarlık Fakültesi Makina Mühendisliği Bölümü Enerji Ana Bilim Dalı Bitlis Türkiye nkalkan@beu.edu.tr Giriş - Boyutsuz Sayılar Isı transferi ve akışkanlar mekaniğinde bazı temel denklemler çok karmaşık olup çoğunun çözümü sayısal yöntemlerle dahi zordur. Karmaşıklığa yol açan terimler akım alanının bazı bölgelerindeki fiziksel büyüklükler korunmak şartıyla ihmal edilirse bir takım basitleştirmeler ortaya çıkar ve bu denklemler daha kolay çözülebilir. Diferansiyel denklemlerdeki çeşitli terimlerin oransal büyüklüklerini belirlemek için boyut analizinden faydalanılır [1]. Örnek olarak sabit viskoziteli ve sabit yoğunluklu akışkan halini ele alalım. Akışı yöneten denklemleri şu şekilde yazabiliriz. (1) (2) Tablo 1- Akışa ait referans büyüklükler, [1]. L V T Referans uzunluk (kanat veter uzunluğu) Referans hız (serbest akım hızı) Karakteristik zaman (periyodik olaylarda bir çevrimin süresi veya, L/V) Referans basınç (serbest akım basıncı, ) Bünye kuvveti (yer çekim ivmesi, )
Bu tanımlamalar ile kartezyen koordinatlarda aşağıdaki boyutsuz büyüklükler elde edilebilir: (3) Karakteristik büyüklükler uygun biçimde alınırsa bütün bu boyutsuz büyüklükler 1 mertebesinde olur. Şimdi bu boyutsuz büyüklükleri akışı yöneten denklemlerde kullanalım. Süreklilik denklemi için aşağıdaki denklem elde edilir. Diğer terimler için de benzer işlemler uygulanırsa, sıkıştırılamaz akışa ait süreklilik denklemi şu şekle dönüşür: (4) Momentum denkleminin x doğrusundaki bileşeni için benzer işlemler uygulanırsa aşağıdaki denklem elde edilir: (5) (6)
Momentum denkleminin diğer bileşenleri için de benzer ifadeler elde edilebilir. (5) denklemi (L/V) ile ve (6) denklemi de (L/ ) ile çarpılarak (7) ve (8) denklemleri elde edilir [1]. (7) (8) Eğer (4) denklemindeki bütün boyutsuz büyüklükler 1 mertebesinde ise denklemler (7) ve (8) deki her bir terimdeki yıldız indisli büyüklüklerin oluşturduğu gruplar da 1 mertebesinde olacaktır. Bu durumda denklemlerdeki her bir terimin büyüklük mertebesini, bu terimlerin başında parantezler içinde yer alan ve yıldız indisine sahip olmayan çarpanlar belirleyecektir. Parantez içerisindeki bu büyüklüklerin teşkil ettikleri grupların boyutsuz oldukları görülmektedir. Süreklilik denkleminde parantez içerisinde, yukarıda belirtildiği gibi büyüklükler olmayıp, herhangi bir üç-boyutlu akış için bu denklemin her bir terimi aynı mertebede ve aynı öneme sahiptir. Momentum denklemindeki boyutsuz büyüklükler Strouhal Sayısı: Momentum denkleminin sol tarafındaki ilk terimin başındaki parantez içinde kalan büyüklük ele alınan akımda zamana bağlılığın hangi mertebede olduğunu belirten bir boyutsuz sayı teşkil etmektedir. (9)
Bu boyutsuz sayının pratikte daha sık kullanılan bir şekli, periyodik olayın frekansının tersi karakteristik zaman olarak alınarak tanımlanan Strouhal sayısıdır. Eğer Strouhal sayısı çok küçük ise (8) denkleminin ilk terimi 1 mertebesindeki diğer terimler yanında ihmal edilebilir. (10) Froude Sayısı: Momentum denkleminin sağındaki ilk terimde çarpan olarak parantez içinde yer alan büyüklükler, bünye kuvvetinin, örneğin, yerçekimi kuvveti olarak alınması (f 0 olarak g yerçekimi ivmesinin alınması) halinde yine boyutsuz bir büyüklük teşkil ederler. Bu boyutsuz büyüklük, Froude sayısı olarak tanımlanan bir sayının tersinin karesine eşittir [1]. (11) Froude sayısı atalet kuvvetlerinin yerçekimi kuvvetlerine oranı olarak da tanımlanabilir. Froude sayısının küçük olması, ele alınan problem için bünyesel kuvvetin önemli olduğu ve buna ilişkin terimin denklemde yer alması gerektiği anlamına gelir,[1]. Serbest yüzeyli akarsu akışları, şelale akımları, gemi hidrodinamiği gibi problemler bu duruma örnek olarak gösterilebilir. Euler sayısı: Momentum denkleminde yer alan üçüncü boyutsuz sayıdır. Basınçla atalet kuvvetlerinin oranını belirtir. (12)
Pratikte bu sayı yerine genellikle basınç katsayısı kullanılır: (13) Reynolds sayısı : Reynolds sayısı ısı transferi ve akışkanlar mekaniği için çok önemli bir boyutsuz sayıdır [2]. Şu şekilde gösterilebilir: Levha Silindir, Küre Momentum denklemindeki sonuncu boyutsuz grup atalet kuvvetlerinin viskozite kuvvetlerine oranını belirten sayıdır. (14) Buradaki büyüklüğü kinematik viskozitedir. Gaz akışları için kinetik teori yaklaşımıyla viskozite, molekullerin c karakteristik hızlarına ve bağlanabilir[3]. ortalama serbest yörüngelerine Buradan yola çıkarak Reynolds sayısının (hız x uzunluk ) büyüklüğünün moleküler ölçekle kıyaslamasını yaptığı anlaşılır.
Not: Bu bölümdeki boyut analizi kolaylık sağlaması açısından sıkıştırılamaz akışlar için yapılmıştır. Eğer sıkıştırılabilirlik dikkate alınırsa akım hızının ses hızına oranını belirten Mach boyutsuz sayısı da yer alır. Euler sayısı Mach sayısı ile ilişkilendirilebilir. Eğer ise basınç değişikliklerinin oluşturduğu yoğunluk değişimleri ihmal edilebilir ki, bu şartlarda akışkan sıkıştırılamaz olarak kabul edilir [4]. Akış alanının uçaklarda, roketlerde ve dünya yüzeyinde olduğu durumlara dış akışlar, akış alanının boru akışında olduğu gibi sınırlarla kuşatıldığı durumlara da iç akışlar denir. Yüzeye yakın kısımlarda sürtünme kuvvetlerinin egemen olduğu ve yüksek hız gradyanlarının görüldüğü bölgelere sınır tabaka denir. Yüzeyden uzak kısımlarda, serbest akış alanında atalet kuvvetleri baskındır. Bu nedenle akış, hız ya da kuvvetler arasındaki orana göre sınıflandırılır. Atalet kuvvetlerinin viskoz kuvvetlere oranına Reynolds sayısı denir ve Re ile gösterilir. Reynold sayısı adını 1842 ile 1912 yılları arasında yaşamış olan ve bu sayıyı tanımlayan Osborne Reynolds tan almıştır [5]. Reynolds sayısı; akışkanın laminer (düzgün akış çizgileri) ve türbülanslı (karmaşık, dalgalanmalı, tedirgin akış alanı) olduğunu tanımlamada kullanılan en basit ve en yaygın boyutsuz sayıdır [6]. Reynolds sayısı dış akışlar için: şeklinde ifade edilir. Burada V üst akım hızı, geometrinin karakteristik uzunluğu ve akışkanın kinematik viskozitesidir. Yüksek Reynolds sayılarında akışkanın özgül kütlesi ve hızı ile doğru olan atalet kuvvetleri, viskoz kuvvetlere oranla daha büyüktür. Bu yüzden visoz kuvvetler, akışkanın gelişigüzel ve
hızlı çalkalanmalırını engelleyemez. Fakat düşük ve orta Reynolds sayılarında viskoz kuvvetler, bu çalkalanmaları bastırmak ve akışkanı hizada tutmak için yeterince büyüktür. Böylelikle akış ilk durumda türbülanslı ikinci durumda ise laminardır. Akışın türbülanslı hale geldiği Reynolds sayısı kritik Reynolds sayısı olarak adlandırılır. Kritik Reynolds sayısının değeri farklı geometriler ve akış şartlarına göre faklılık gösterir. Düz bir plaka üzerindeki akış için genel kabul gören kritik Reynolds sayısı tir. Burada plakanın ön kenarından itibaren, akışta laminardan türbülansa geçişin olduğu, uzaklıktır [7]. Yüksek Reynolds Sayısındaki Akış: Akışı yöneten denklemleri boyutsuzlaştırmanın en önemli yararı denklemlerde görünen terimlerin oransal büyüklüklerinin belirlenmesi ve birbirleriyle karşılaştırılabilmesidir. Böylece, istenirse küçük terimler ihmal edilebilir, ve kalan terimler daha kolay çözülebilir. Ayrıca akışta hakim olan fiziksel büyüklükler de göz önüne alınmış olur. Sıkıştırılamaz haldeki süreklilik denkleminde bütün terimler aynı büyüklük mertebesinde olup hiç birisi ihmal edilmemiştir. Momentum denklemine gelince, (8-14) eşitlikleri kullanılarak x doğrultusundaki bileşen için boyutsuz sayılarla denklem (15) yazılabilir. Şimdi bazı tipik mühendislik problemlerinde Reynolds ve Mach sayısı aralıklarını gözden geçirelim. Pratikte mühendislik problemlerinin geniş bir kesiminde, uçak aerodinamiği, deniz (15)
araçlarının hidrodinamiği, Reynolds sayısı çok büyüktür (Şekil 1). Bunun sebebi ise have ve su gibi tipik akışkanların viskozitesinin küçük olmasıdır. Şekil 1- Bazı tipik akışkanlar için Reynolds ve Mach sayısı aralıkları, [1] (15) denklemındeki viskoz terimlerin 1 mertebesindeki diğer terimlerden küçük olması Reynolds sayısının çok büyük olduğu bir durumu gösterir. Bu terimler ihmal edilmeden önce yüksek Reynolds sayılı akış şartlarına bakalım. Şekil 2 de görülen kanat profili etrafındaki akımda iki bölge vardır: i. Viskoz etkilerinin hakim olduğu sınır tabaka ve iz bölgesi ii. Viskoz etkilerin küçük olduğu dış bölge
Şekil 2- Yüksek Reynolds sayısında kanat profile etrafındaki akış alanı, [1] Dış Akım Bölgesinde: Aşağıda belirtilen (16) denklemi birinci dereceden bir kısmi türevli diferansiyel denklem olup, budenklem için katı cidar üzerinde bir tek hız bileşeni cinsinden sınır şartı yeterli olmaktadır. (Euler denklemi) (16) Akım viskozitesiz kabul edildiğinden durağan katı cidar üzerinde teğetsel hızın sıfır olmasının bir anlamı olmayıp, sınır şartı olarak dikey hız bileşeninin sıfır olması yeterlidir: (katı cidar üzerinde) Sınır Tabaka ve İz Bölgesinde: türevleri çok büyük olup, yüksek Reynolds sayılarında dahi viskoz terimler ihmal edilemez. Bu durumda katı cidarın yakın civarındaki bu bölge içerisinde Navier-Stokes denklemleri klasik sýnýr-tabaka denklemlerine indirgenir, [8]:
(17) (18) Sonuç : Yüksek Reynolds sayılarında akım alanında iki hakim bölge bulunmaktadır: i. Katı cidarın uzağında, viskoz etkilerin ihmal edildiği dış akım bölgesi: Bu bölgede viskoz olmayan akım çözümü basınç dağılımını ve buna bağlı kuvvetleri verir. ii. Katı cidarın yakın civarında, viskoz etkilerin ihmal edilemediği ince sınır-tabaka bölgesi: Bu bölgede sınır-tabaka denklemlerinin çözümü kayma-gerilmeleri ve buna bağlı (sürtünme) kuvvetlerini verir. Sınır tabaka denklemlerinin çözümünde, katı cidar üzerinde kaymama sınır şartı uygulanır. Sınır tabaka içerisindeki teğetsel hız dağılımı Şekil 2 de verildiği gibi olup, dış akım bölgesine yaklaştıkça teğetsel hızın z ile değişmediği görülmektedir. Sınır tabaka ile dış akım bölgesinin girişim yeri kesin şekilde belirlenememekle birlikte katı cidardan, sınır tabaka kalınlığı olarak adlandırılan bir mesafesinde olduğu ifade edilir. Yüksek Reynolds sayısında sınır tabaka kalınlığının cismin karakteristik uzunluğuna (örneğin bir kanat profili için veter uzunluğu) bölümünün ile orantılı olduğu bilinir [8].
Prandtl Sayısı : Hız ve ısıl tabakaların birbirlerine göre kalınlıklarını en iyi tanımlayan boyutsuz parametre olan Prandtl sayısıdır. Prandtl sayısı viskozite ve ısıl iletkenlik katsayıları yanında sabit bsınçta özgül ısı katsayısı c p ye bağlı olarak tanımlanabilir. Bu bağıntı da, şeklinde düzenlenirse momentum yayınım (difüzyon) katsayısı ile ısı yayınım katsayısı oranını temsil ettiği görülür. Akışkanların Prandtl sayıları sıvı metaller için 0.01 in altından, ağır yağlar için 100,000 in üstündeki değerlere kadar değişir. Suyun Prandtl sayısının 10 mertebesinde olduğuna dikkat edilmelidir. Gazların Prandtl sayıları ise 1 civarındadır. Bu değer ise akışkan içinde momentum ve ısı yayınımın aynı hızda olduğunu gösterir.isı momentuma göre sıvı metallerde (Pr <<1) çok hızlı, ağır yağlarda (Pr>>1) çok yavaş yayılır. Sonuç olarak ısıl sınır tabaka hız sınır tabakasına göre sıvı metallerdeçok daha kalın, yağlarda çok daha incedir [7,9]. Nusselt Sayısı : Bu parametre, yüzeydeki boyutsuz sıcaklık gradyanına eşittir ve yüzeyde oluşan taşınımla ısı geçişinin bir ölçüsünü verir [10].
Burada akışkanın ısıl iletkenliği ve karakteristik uzunluktur. Akışkan tabakasındaki ısı transferi, akışkan bir miktar hareket içerdiği zaman taşınımla, akışkan tabakası hareketsiz olduğu zaman iletimle olur. Her iki durumdaki ısı akısı (birim alan başına düşen transfer hızı), ve taşınım =h iletim =k şeklindedir. Bu ifadelerin oranı: ifadesini verir ki bu da Nusselt sayısıdır.dolayısıyla Nusselt sayısı, bir akışkan tabakası üzerinde taşınımın iletime oranının sonucu olarak, o akışkan tabakasındaki ısı transferi iyileşmesini gösterir. Nusselt sayısı ne kadar büyük olursa taşınımda o kadar etkili olur. Sherwood Sayısı: Burada L karakteristik uzunluk, kütle yayınımı ve kütle transfer katsayısıdır. Bu parametre, yüzeydeki boyutsuz derişiklik gradyanına eşittir ve yüzeyde gerçekleşen taşınımla kütle geçişinin bir ölçüsüdür. Nusselt sayısının ısıl sınır tabakada gördüğü işlevi Sherwood sayısı, derişiklik sınır tabakasında görür [11]. Peclet: Prandtl sayıları çok küçük olan akışkanlar, başka bir değişle, sıvı metaller için Peclet sayısından yararlanılır. Bununla beraber, bu durum için ısıl sınır tabakanın oluşumu hız sınır tabakanın
oluşumundan daha hızlıdır. Isıl sınır tabaka boyunca hız sabit kabul edilir. Bu varsyıma dayanarak ısıl sınır tabaka denkleminin bir çözümünden aşağıdaki denklem elde edilir. Stanton sayısı: Not: Denklemlerde akışkana ait özellikler tablolardan seçilirken akışkan-yüzey ortalama sıcaklığı değeri göz önüne alınız: Boyutsuz Parametrelerin Fiziksel Anlamı Yukarıdaki adı geçen tüm boyutsuz parametrelerin sınır tabakalarındaki koşullara bağlı fiziksel yorumları vardır. Hız sınır tabakası içinde atalet kuvvetlernin sürtünme kuvvetlerine oranı olarak da yorumlanabilen Reynold sayısını, Re, göz önüne alalım. Bu sınır tabakan içindeki bir diferansiyel kontrol hacmi için atalet kuvvetleri, akışkan kontrol hacminden geçerken momentum akısındaki değişim ile ilişkilidir. Atalet kuvvetleri yaklaşık olarak olur. Benzer biçimde, net kayma kuvveti [ ] ile gösterilmektedir. Benzer biçimde, net kayma kuvveti olur. Böylece kuvvetlerin oranı, sayısını verir. Bu nedenle atalet kuvvetlerinin Re sayısının büyük değerleri için, sürtünme kuvvetlerinin ise Re nin küçük değerleri için etkin olduklarını düşünürüz.
Bu sonucun dolaylı yoldan birçok önemli bağlantısı vardır. Anımsanırsa Reynold sayısı, akışın laminar veya türbülanslı olduğunu belirtir. Herhangi bir akışta küçük çalkantılar büyüyerek türbülanslı koşulları oluşturabilir. Ama, Re nin küçük değerlerinde sürtünme kuvvetleri, atalet kuvvetlerine gore yeterince büyüktür ve laminar akış korunur. Ancak, Re nin artan değerleri ile, sürtünme kuvvetleri atalet kuvvetleri yanında küçük kalır ve küçük çalkantılar büyüyerek türbülansa geçişi sağlar. Bunun yanısıra Reynolds sayısının büyüklüğünün, hız sınır tabakasının kalınlığını etkilediği vurgulanmalıdır. Re nin yüzeydeki belirli bir bölgede artışı ile sürtünme kuvvetlerinin atalet kuvvetlerine gore önemi azalır ve sürtünmenin serbest akış etkisi, başka bir değişle değeri küçülür. Prandtl sayısının fiziksel yorumu, momentum yayılımının, ısı ıletimine oranı şeklinde yapılabilir. Prandtl sayısı, hız ve ısıl sınır tabakalar içinde yayılımla momentum ve enerji aktarımının birbirlerine oranını gösterir. Daha önce gazların Prandtl sayısının bire yakın, sıvı metallerde Pr<<1 ve yağlarda Pr>>1 olduğunu daha önce belirtmiştik. Bu yorumdan, Pr sayısının, hız ve ısıl sınır tabakalarının bağıl büyümesini önemli ölçüde etkilediği söylenebilir. Aslında laminer sınır tabakalarında (türbülanslı karışımın olmadığı yayılımda) su sonuç beklenebilir: Burada n artı değerde bir üsttür. Böylece gazlar için, sıvı metaller için, yağlar için ise olur. Benzer biçimde Schmodt sayısı da, hız ve derişiklik sınır tabakalarında yayılımla momentum ve kütle aktarımın birbirlerine oranıdır. Böylece Laminar akışlardaki taşınımla kütle geçişi için sayısı hız ve derişiklik sınır tabakalarının kalınlıklarının birbirlerine oranını belirtir. Pr ve Sc ile bağlantılı bir başka parametre de Lewis sayısıdır (Le). Bu sayı şöyle tanımlanır:
Taşınım ile ısı ve kütle geçişinin birararada gerçekleştiği durumlarla ilgilidir. Böylece Lewis sayısı, ısı ve derinlik sınır tabakalarının kalınlıklarının oranı ile ilişkilidir. Uygulamaların çoğunda n=1/3 alınabilir [11,12]. Tablo 2 de ısı ve kütle geçişi ile kaynaklarda sıkça rastlanan boyutsuz sayılar ve fiziksel anlamları listelenmiştir. Tablo 2- Bazı boyutsuz ısı ve kütle geçiş parametreleri, [11-13]. Grup Tanımı Fiziksel Anlamı Biot sayısı (Bi) Kütle geçişiiçin Biot sayısı Bond sayısı (Bo) Sürtünme katsayısı Eckert sayısı (Ec) Fourier sayısı (Fo) Kütle transferi için Fourier sayısı Sürtünme faktörü Bir katının ısıl direncinin, sınır tabaka ısıl direncine oranı. İç madde yayılımı direncinin sınır tabaka madde direncine oranı. Yerçekimi ve yüzey gerilme kuvvetlerinin oranı Boyutsuz yüzey kayma gerilmesi Akışın kinetik enerjisinin sınır tabakası entalpi farkına oranı Bir katıda ısı iletiminin ısıl enerjinin depolanma hızına oranı.boyutsuz zaman. Madde yayılımının, madde depolama hızına oranı. Boyutsuz zaman. İç akış için boyutsuz basınç düşümü.
Grashof sayısı Colburn j faktörü Colburn j faktörü Jakob sayısı (Ja) Kaldırma kuvvetlerinin, sürtünme kuvvetlerine oranı. Boyutsuz ısı geçiş katsayısı. Boyutsuz kütle geçiş katsayısı Duyulur ısının, sıvı-buhar faz değişimi sırasında gizli ısıya oranı. Lewis sayısı Isı ve kütle yayılım katsayılarının oranı. (Le) Nusselt sayısı Yüzeydeki boyutsuz sıcaklık gradyanı. Peclet sayısı Boyutsuz bit ısı geçişi parametresi Prandtl sayısı (Pr) Reynolds sayısı Schmidt sayısı (Sc) Sherwood sayısı Momentum ve ısı yayılım katsayılarının oranı. Atalet ve sürtünme kuvvetlerinin oranı Momentum ve kütle yayılım katsayılarının oranı. Yüzeydeki boyutsuz değişiklik gradyanı Stanton sayısı (St) Kütle transferi için Stanton sayısı Weber sayısı (We) Değiştirilmiş Nusselt sayısı Değiştirilmiş Sherwood sayısı Atalet ve yüzey gerilme kuvvetlerinin oranı
Rayleigh sayısı (Ra) Boussinesq sayısı (Bo) Euler Sayısı (Eu) Pr >> 1 olan doğal akışlar için Pr << 1 olan doğal akışlar için Orifis içi akış için boyutsuz basınç düşümü References 1. Yükselen, M.A. Hesaplamalı Aerodinamik ders notları, web.itu.edu.tr/~yukselen/uck419/uck419_index.html, Erişim tarihi 29 Mart 2014. 2. Maliska, C. R. (1990). On the Physical Significance of Some Dimensionless Numbers Used in Heat Transfer and Fluid Flow. Federal University of Santa Catarina, Florianópolis, SC. 3. Yuan S.W., Foundation of Fluid Mechanics, 1969, sayfa 257 4. Peremeci, Ö.E, Akışkan hareketinde temel ilkeler, www.peremeci.org/wp content ploads 2010 04 akm2.doc, Erişim tarihi 25 Mart 2014. 5. Reynolds sayısı ve fiziksel anlamı, http://www.kisa-ozet.net/reynolds-sayisi-nedir-fizikselanlami/, Erişim tarihi 27 Mart 2014. 6. Akışkanlar mekaniği, Sürtünmeli akışlar, http://www.fizikevreni.com/akiskanlarmekanigi.pdf, Erişim tarihi 24 Mart 2014 7. Çengel, Y. "Isı ve kütle transferi pratik bir yaklaşım (Translation from 3. edition)." (2011), Tanyıldızı V., Dağtekin İ. 8. (Schlichting H., Boundary layer theory, McGraw-Hill, 1979, sayfa 129). 9. Cengel, Y. A., & Cengel, Y. (2003). Heat Transfer A Practical Approach with EES CD. McGraw Hill Professional. 10. Taşınım ile ısı transferi, http://eng.harran.edu.tr/moodle/moodledata/20/yesilata/ders_notlari/3heatt_ch3_pg79-109.pdf, Erişim tarihi 27 Mart 2014. 11. Incropera, F. P., & DeWitt, D. P. (2007). Isı ve kütle geçişinin temelleri. Literatür Yayıncılık. 12. Incropera, F. P., Lavine, A. S., & DeWitt, D. P. (2011). Fundamentals of heat and mass transfer. John Wiley & Sons. 13. Mills AF, Heat Transfer, Second Edition, ISBN 0-13-947624-5, Pretice Hall, NJ.