BASİT HARMONİK HAREKET Bir doğru üzerinde bulunan iki nokta arasında periyodik olarak yer değiştirme ve ivmesi değişen hareketlere basit harmonik hareket denir. Sarmal yayın ucuna bağlanmış bir cismin git-gel hareketi, bir ipin ucuna bağlı olarak salınan bir cismin git-gel hareketi, m kütleli bir cismin r yarı çaplı çember üzerinde düzgün dairesel hareket yaparken yatay ve düşey çaplar üzerinde ki izdüşümlerinin yaptığı aynı periyotlu hareketler birer basit harmonik harekettir. a) Çember üzerindeki hareketli noktanın çap üzerindeki izdüşümünün hareketi; Yarı çapı r olan bir daire etrafında v noktasal bir cismin w açısal hızı ile dönme hareketi yaptığını düşünelim. T/12 N M Cisim L den M ye gelmiş ise ; α V r LÔM = α ω = α/t α = ω.t olur. T/6 y F MOB dik üçgeninde ; α. L x Cosα = x/r => X = r.cosα X = r.cosω.t yazılır. T/4 T/2 MOB dik üçgenin de ; sinα = y/r => y = r.sinα = r.sinwt olur ( Genellikle bu kullanılır) T/6 T/12 Burada y = uzanım r = genlik w = açısal hız t = zaman w = 2π/t = 2πf uzanım denklemlerin de yerine koyarsak ; X = r.cosω.t = r.cos 2π/t.t => X = r.cos.2π.f.t Y = r.sin ω.t = r.sin 2π/t.t => Y = r.sin.2π.f.t cisim denge konumundayken hız maximum ivme (uzanım) ve kuvvet 0 dır. Cisim uç kısımdayken hız 0,kuvvet,ivme,uzanım maximum dur. F ( kuvvet ) + Fm -r + r r ( uzanım ) - Fm Kuvvet zaman grafiği
y Konumun zamana göre değişimi T/4 r T/2 3T/4 T t Soru ) Basit harmonik hareket yapan bir cismin uzanımlarını veren bağıntı y = 10.sin.50 π.t olarak verilmiştir. A ) genlik kaç cm dir? y = r.sinω t r = 10 cm B ) Periyot kaç sn dir? ω = 50.π 2π/T = 50.π T= 1/25 sn C ) t = 1/100 sn sonra uzanım kaç cm dir? y= 10 sin.50.π.1/100 = 10 sin.90 = 10 cm. HIZ ; v = v x v v x r α β β x v y v y w.t V x = v.sinα V x = v.sin ω.t = - w.r.sin. ω.t V y = v.cos. ω.t = w.r.cos. ω.t (genellikle bu kullanılır) Diğer yandan ; V x / v = r 2 x 2 / r V x = v r 2 x 2 / r V x = 2πr / T. r 2 x 2 / r V x = 2π/T r 2 x 2 x = 0 için V x = v = 2πr / T x = r için V x = 0 dır v wr T/4 T/2 3T/4 T t -wr Hızın zamana göre değişim grafiği Soru ) Bir cisim Basit harmonik hareket yapmaktadır. Y=10.sin.5.t cm olduğuna göre bu cismin anlık hızlarını veren bağıntı nedir?
Y = 10.sin.5.t r = 10cm V y = w.r.coswt = 5.10.cos.5.t İVME o O a x α α r a y A a x = a.cos.α = - ω 2.r.cosw.t = - ω 2.x x a y = a.sin.α = - ω 2.r.sin.t = - ω 2.y y x = r için a A en büyük değerini alır F max =m a A x=0 için a 0 = 0 dır. a y nin zamana göre değişimi F y nin zamana göre değişimi a y F y ω 2.r T/4 T/ 2 3T/4 t T/4 T/2 3T/4 t - w 2.r mw 2.x KUVVET F = m.a F x = m. a x = -m. w 2.r.cosw.t = m. w 2.x x = r.cosw.t (Uzanım) F y = m. a y = -m. w 2.r.sinw.t = m. w 2.y y = r.sinw.t v y = w. r.cosw.t v x = -w. r.sinw.t (hız) a y = -w 2. r.sinw.t a y = -w 2.y a x = - w 2. r.cosw.t a x = - w 2.x (ivme) Soru ) Kütlesi 10gr. Olan bir cismin Basit harmonik hareket yapıyor. Cismin uzanımlarını zamana bağlayan bağıntı nedir? y = 2sin5.t ise
A ) cismin anlık hızlarını veren bağıntı nedir? y = 2sin5.t ise y= w.r.cos5.t = 5.2.cos5.t = 10cos5.t B ) cismin hızının maksimum değeri nedir? V m = 10 cm/sn v y =w.r.cos0 = 5.2.1 = 10 cm/sn C ) cismin anlık ivmesini veren bağıntı nedir? a y = -w 2 r.sin5.t = -(5 2 ).2sin5.t = -50sin5.t cm/s 2 D ) cisme etkiyen kuvvetin maksimum değeri nedir? F max =m.a y = 10.50 = 500 dyn. Soru ) Kütlesi 100 ğr olan bir cisim Basit harmonik hareket yapıyor. Cismin yaptığı hareketin genliği 10 cm periyodu 2 sn olduğuna göre ; A ) bu cismin hızının maksimum değeri nedir? v = w.r.cos.w.t uzanım v = w.x v = π.10 = 3.10 = 30 cm/sn genlik 2. yol : w = 2. π/t = 2. π/2 = π v = π.10 = 3.10 = 30 cm/sn B ) bu cismin uzanımının 8 cm olduğu andaki ivmesi nedir? a y = - w 2.r.sin.w.t = - w 2.y = -π 2.8 = -9.8 = -72 cm/s 2 C ) bu cismin uzanımının 8 cm olduğu andaki hızı nedir? w = π olduğundan. v = w r 2 x 2 = π. 100-64 = 6. π = 18 cm/s (r = genlik) Soru ) Basit harmonik hareket yapan bir cisim denge konumundan 5 cm uzaklıkta iken ivmesi 5 cm/---- olduğuna göre periyodu kaç saniyedir? a = - w 2.x 5 = - w 2.5 w = 1 = 2π/t t = 2π = 6 sn Soru ) şekil t = 6 sn 8. saniye de nerde? t zamanın da A da D noktasında Soru ) genliği = r = 40 cm f = 2/π a max =? a = w 2.r a = (2π.2/π ) 2.0,4 = 6.4 m/s 2
YAY SARKACI, BASİT SARKAÇ Esnek bir yayın ucuna m kütleli bir cisim bağlanıp şekilde görüldüğü gibi denge konumun dan r kadar ayrılıp serbest bırakıldığında basit harmonik hareket yapar. F = -kx -kx = -m. w 2.x k = m.4 π 2 / T 2 F = -m. w 2.x k = m.(2π/t ) 2 T 2 = 4 π 2 m/k T = 2π m/k BASİT SARKAÇ α x l Sabit bir noktaya bağlanan ağırlıksız ve uzunluğu değişmeyen bir ip ve ona bağlı küçük bir kütleden oluşan sisteme basit sarkaç denir. böyle birsarkacın ucunda ki kütle denge konumundan çekilip bırakılırsa cisim basit harmonik hareket yapar. (sinα = x/l) F α m g N F = m.g.sinα = - mg.x/l F = -mw 2 x - mg.x/l = -mw 2.x w = 4 π 2 /T 2 9/l = 4 π 2 /T 2 T 2 = 4 π 2 l/g T= 2π 1/9 Soru ) a ) periyodu yeryüzünde π sn olan bir sarkacın boyu ne olmalıdır? b ) Aynı sarkaç çekim ivmesi g = 4g olan bir gezegene götürüldüğünde periyodu ne olur? (g=9,8m/----) a ) T= 2π 1/9 π = 2π 1/9 (½) 2 =( 1/9) 2 ¼ = l/9 l = 9/4 b ) T= 2π g/4/4g T = 2π g/4.1/4g 2π = 1/16 2π.1/4 => T = π /2 Soru ) 40 NT ağırlığındaki bir cisim bir yaya asıldığın da yay 10 cm uzuyor. Bu cismin yapacağı hareketin periyodu kaç saniyedir?
F = k.x k = 400 N/m T = 2π 1/9 =2π 4/400 40 = k.0,1 T = 2π. 1/100 = 2π.1/10 = π/5 Soru ) bir yayın ucuna 200 gr kütleli bir cisim konulduğun da kütle yayı 10 cm uzatıyor. cisim yayın ucunda bulunurken yay aşağı doğru 2 cm daha çekilip serbest bırakılıyor. a ) k =? b) hareketin periyodu nedir c) cismin en alt ve en üst noktalarındaki ivmelerini bulunuz. d) denge konumun da ivmesi nedir. a) F = k.x 2 = k.0,1 k=20n/m b) T = 2π m/k = 2π 0,2/20 = 2 π 1/100 =2 π.1/10 T = π/5 = 0,6 sn c) a = -w 2.x a= -4π 2 / T 2.x = -4.9.00,2 /0,36 = -36/0,36.0,02 = -2 m/s 2 d) a denge = 0 dır. Soru ) Kütleleri eşit iki cisim yay sabitleri arasın da k 1 =4k 2 bağıntısı olan iki yaya ayrı ayrı asılıyor cisimlere maksimum hızları eşit olacak şekilde basit harmonik kareket yaptırılıyor hareketlerin X 1 ve X 2 genlikleri arasında nasıl bir ilişki vardır? v = w.r.cosw.t v 1 = w 1. r 1 v 2 =w 2 r 1 v 1= v 2 w 1.x 1 = w 2.x 2 2 π / T 1. x 1 = 2 π / T 2. x 2 x 1 / T 1 = x 2 / T 2 x 1 / x 2 = T 1 / T 2 = 2 π m/4k 2 / 2 π. m/ k 2 = 1/4= ½ (g+g/2) Soru ) Bir asansörün tavanına asılı olan basit sarkacın uzunluğu 1m dir? a ) Asansör g/2 ivmesiyle yukarı hızlanınken b ) Asansör g/2 ivmesiyle aşağı hızlanınken c ) Asansör sabit v hızıyla yukarı doğru giderken d ) asansör serbest düşerken basit sarkacın frekansı nedir? ( g+g/2 = 3g/2 ) a) T 2 =4 π 2.l/3g/2 T 2 =4 π 2.1/3g/2 = 4 π 2.2/3g T 2 = 8π 2 /3g T = 2 π 2/3g b) T = 2 π l/g/2 T = 2 π 1/g/2 = 2 π. 2/ g f = 1/ 2 π. 2 / g= g / 2 2 c) T =2 π 1/g a = 0 f = g / 2 π d) serbest düşerken salınım yapmaz.
Soru ) T 1 / T = 5/12 = 2 π m/k 1 /2 π m/k 2 => (5/12) 2 = ( k 2/ k 1 ) 2 25k 1 = 144k 2 k 2 = 25 k 1 /144 k eş = 25 k 1 /144+ k 1 = 169 k 1 /144 5/T =2 π m/ k 1 / 2 π m/169 k 1/144 => 5/T = 169/144-5/T = 13/12 T = 60/13 sn Soru ) Bir yayın ucuna asılmış 0,2 kg lık bir cisim 0.08 m aralıkta iki nokta arasında dakikada 120 defa gidip gelme hareketi yapıyor. a) uzanım denklemini yazınız b) Hız denklemini yazınız c) ivme denklemini yazınız d) yay sabiti nedir A 0 B 4 cm f = 2 =120/ 60 = 2 sn T = ½ sn 8 cm a) y = r.sinw.t => (Hareketin başlangıcı denge konumu olursa ) w = 2 π /T = 2 π / ½ = 4 π r = 4 cm = 0,04 m y=0.04.sin4 π.t b) v = w.r.cosw.t = 4 π.0,04. cos 4 π.t = -6,4 cos4 π.t c) a = - w 2.r.sin.w.t = - ( 16.10). 0,04. sin4 π.t = -sin4 π.t w 2 = (4 π) 2 = 16 π 2 d) T = 2 π m/k ½ = 2 π 0,0/k ¼ = 4 π 2.0,2/k k=32 soru )
1/ k eş = 1/25 + 1/100 = 5/100 k eş /100+25 = 125 NT k eş = 20N/m T 1 / T 2 = 2 π m/20 / 2 π m/125 = 125/20 = 25/4 = 5/2 soru ) Aynı yerde salınan iki basit sarkacın periyotları T 1 = 2 sn T 2 = 4sn dir.bu sarkaçların boyları arasındaki oran nedir? T 1 / T 2 = 2 π l 1 /g / 2 π l 2 /g = l 1 / l 2 = ½ l 1 /l 2 = ¼ soru ) 1/ k eş = 1/k + 1/ k = 2/ k k eş = k/2 T 1 / T 2 = 2 π m/k / 2 π = 2m/k/2 = 1/k.k/4 = ½ T 1 / T 2 = 1 /2 f 1 / f 2 = 1/1 / ½ = 2
soru ) T 1 / T 2 =? 1/ k eş = 1/k +1/k = 2/k k eş = k/2 k eş = 2k T 1 / T 2 = 2 π m/k/2 / 2 π m/2k = 2/k.2k/1 = 2 soru ) l asansör durgunken yay ve sarkacın frekansları f dir. asansör yukarı doğru 3g ivmesi ile hızlanırsa frekansları nasıl değişir. f 1 = f dir. ( f veya T m ye bağlı değil ) 1/f/1/ f 2 = 2 π l/g / 2 π l/4g = 4 f 2 /f = 2 f 2 = 2f olur.
soru ) 9l 8 l K 3T / 4 T /4 m L noktasın da çivi vardır T K noktasın dan serbest bırakılan cisim ipin L noktasında çiviye takılmasıyla M noktasına kadar yükseliyor K dan bırakılan cismin tekrar K ya dönme süresi 2 sn dir L noktasında ki çivi kaldırılırsa sarkacın periyodu ne olur T 1 / T 2 = 2 π 9l/g /2 π l/g = 9 = 3 T 1 =3T 2 T 2 = T 1 dersek 3t/4.2 = 3t/2 T/ 4.2 = T /2 3T/2+t/2 = 4T/2 = 2T = 2 sn T = 1 sn T 1 =3T = 3.1 = 3 sn soru ) 2m 1 m T o kaç t zamanında alır? AO arasını t zamanda alıyor BO arasını T 1 / T 2 = 2 π 2m/g / 2 π 1/g = 2 / 1 = T 2 T 1 = T 2 T 1 = 4t t/ T 2 = /1