BÖLÜM 7 TÜRBÜLANSLI SINIR TABAKALAR

BÖLÜM 7 TÜRBÜLANSLI SINIR TABAKALAR 7.1- Giriş 7.- Mühndisliğin türbülans analizindki grksinimlri 7.3- Ortalama akımla ilgili ampirik bilgilr 7.3.1- Düz lvha üzrindki akım 7.4- Sçilmiş ampirik türbülans bilgilri 7.5- Türbülanslı akımların analizindki mrkzi problm 7.6- Ortalama akım türbülanslı transport formülasyonları

1 BÖLÜM 7 TÜRBÜLANSLI SINIR TABAKALAR 7.1- Giriş B bölümd sınır tabakanın pratik bakımdan n önmli kısmı olan türbülanslı akımlarla ilgilnilcktir. Kon sabit-yoğnlkl, sabit-özllikli akımlarla sınırlandırılacak v sadc dvar üzrindki harici türbülanslı akımlar göz önün alınacaktır. 7.- Mühndisliğin türbülans analizindki grksinimlri Türbülanslı akımların mtlaka zamana bağlı v üç-boytl oldğ bilinmktdir. Ayrıca, zamana bağlılığın frkansının v harkt ölçğinin çşitli büyüklük mrtblrind dağıldığı blnmştr. B grçklr dikkat alınırsa bir türbülanslı akımın bütün ayrıntılarıyla analizinin, düz lvha üzrindki gibi basit bir akım olsa bil n kadar büyük bir problm oldğ anlaşılır. Bir örnk, konnn anlaşılması bakımından faydalı olacaktır. Şayt türbülanslı harktin ölçği çşitli büyüklük mrtblrind bir dağılım göstriyorsa sayısal bir hsaplama için ( x, y) hücr gnişliklrinin ygn sçimi bir sorn olacaktır. Nitkim, hücr büyüklüğü harktin önmli bir kısmının ölçğindn büyük is sonçların çok kaba olacağı açıktır. B bakımdan gnl olarak türbülanslı bir sınır tabakanın bir istasyonnda 1 3 1 4 ağ noktası v toplam 1 6 1 7 ağ noktasına grksinim dylmaktadır. Pratiktki bir türbülanslı akımın bütün ayrıntıları için günümüzd gnl bir analiz yöntmi gliştirmnin hnüz mümkün olmadığı söylnbilir. Kompl bir simülasyonn hsaplama maliyti R 3 il dğişmktdir. Dolayısıyla çok büyük miktarda bilgisayar sürlri harcansa bil günümüz imkanlarıyla ancak çok düşük R sayısındaki akımlar inclnbilir. Gnl dğrlndirm böyl ümitsiz olmakla birlikt tasarımcıların analitik araçlardan tamamıyla mahrm kaldığını söylmk doğr olmaz. Zira tasarım için türbülanslı akım analizindn bklnn bilgi sınırlıdır. Şayt laminr sınır tabaka için daha önc söylnn hsslar hatırlanırsa, sınır tabaka analizindn bklnn önclikli bilgi C f (x) yüzy sürtünm katsayısının, ayrılma noktası da dahil olmak üzr blnmasıdır. İkinci olarak δ(x), δ(x) v θ(x) gibi sınır tabaka kalınlıklarıyla ilgilnilir. Tasarım için çoğ hald ayrıntılı hız v sıcaklık profili gibi diğr büyüklüklrin kllanımı daha kısıtlıdır. B noktada daha ilriy gitmdn önc türbülanslı akım için örnğin C f (x) in n anlama gldiğini düşünmkt yarar vardır. Tipik bir mühndislik yglaması olarak sabit hızla ilrlyn bir gmi için sürtünm dirncinin tahmini problmi göz önün alınırsa, bnn için yüzy üzrindki hrhangi bir noktada yüzy grilmsinin çalkantı dğrlrinin bilinmsi grkmz. Daha ziyad b gmiyi çkmk için grkli prvan prformansının bilinmsin ihtiyaç vardır. Gminin hızı sabit kalmasa bil C f (x) in çalkantı dğrin ihtiyaç dylmaz. Tasarımcı açısından C f (x) in zamanla dğişimi sadc başlangıç koşllarının vya sınır koşllarının zamanla dğişmsiyl ilgilidir. (B noktada türbülanslı daimi-akım il zamana-bağlı türbülanslı akım kavramları arasındaki farkı dikkatli bir biçimd dğrlndirmk grklidir). Türbülanslı akımın analizind ihtiyaç daha ziyad sadc zaman-ortalaması vya ortalama dğrlrin blnması olarak gözükmktdir. B gibi büyüklüklr daimi vya zamana bağlı, iki-boytl vya üç-boytl olabilir. Bütün b hsslar çrçvsind sadc ortalama akımın [C f (x), δ(x) vb v blki d (x,y) gibi] tahminini amaçlayan bir türbülans analizinin tasarımcının sas amacına hizmt dcği gibi günümüz analitik v sayısal imkanları içrisind kalacağı görülbilir. Ancak b gün kadar türbülanslı akımların güvnilir v tkin tahmini yolnda sadc sınırlı bir başarı ld dilbildiği blirtilmlidir.

Pratikt bazı drmlar vardır ki akımın ayrıntılı çalkantı karaktristiğinin bilinmsi önmlidir. Bna bir örnk olarak yakıt-yakıcı karışımı şklindki akımın ttşma v yanması olayı göstrilbilir. Alv içrisind kimyasal nrjinin ısı nrjisin dönüşüm hızı anlık lokal sıcaklıklara hayli non-linr bir biçimd bağlıdır. Bna gör hrhangi bir noktadaki daimi ısı ürtimini tahmin tmk için sadc T(x,y) nin bilinmsi ytrli olmaz, T (x,y,z,t) nin hsaplanması v sonçların zaman ortalamasının alınması grkir. Bir büyüklüğün üssünün ortalaması il ortalamasının üssü aynı olmayıp gnllikl türbülans inclmlrind zaman ortalaması alınırkn hsaplama ( T ') şklind grçklştirilir Ortalama akım analizin girmdn önc mvct ampirik bilgilrin bir kısmını gözdn gçirmkt yarar blnmaktadır. Zira b bilgilr analitik gliştirmlrin tabanını olştracaktır. Anlık çalkantı harktinin bütün ayrıntılarını dikkat almadan ortalama akımın inclnbilmsi için daha ziyad dnysl vri tabanına ağırlık vrmk grkcktir. Böylc ampirik bilgilr harkt dnklmlri çrçvsind kllanılarak yarıampirik bir analiz gliştirilcktir. 7.3- Ortalama akımla ilgili ampirik bilgilr 7.3.1- Düz lvha üzrindki akım Şayt bir düz lvha üzrind laminr v türbülanslı hallrd ölçüln hız profillri, msaflr sınır tabaka kalınlığıyla v hızlar da dış akım hızıyla boytszlaştırılarak karşılaştırılırsa iki profil arasında önmli bir farklılık oldğ tspit dilbilir. 1..8.6 Türbülanslı Şkil 7.1 d türbülanslı haldki ortalama hız profili dvarı sıfırdan daha büyük bir hızda ksiyor gibi gözükmktdir. Aslında hız dvar yakınında yavaş bir dğişm göstrirkn çok kısa bir aralıkta anidn sıfıra gitmktdir. /.4. Laminr B drm iki farklı tabakaya sahip,.5 y/δ 1. aralığında yüksk viskozitli bir akışkanın v y/δ.5 aralığında da daha düşük viskozitli akışkanın blndğ laminr bir sınır tabakaya bnztilbilir.....4.6.8 1. y / δ Şkil 7.1- Tipik laminr v türbülanslı sınır tabaka hız profillrinin karşılaştırması B iki tabakanın birlştiği yüzyd kayma grilmlri şit olacağından µ 1 y µ y (7.1) araksit araksit yazılabilir. B drmda hız gradyantının araksiti gçrkn µ /µ 1 gibi bir oranla ani bir dğişim göstrmsi grkir. İlrid görülcktir ki b hss türbülanslı sınır tabaka inclmlrindki n önmli fikirlrdn birinin sasıdır.

3 Düz lvha üzrindki laminr v türbülanslı sınır tabakalar arasında önmli bir fark daha vardır. Şöyl ki: 1..8 Laminr sınır tabakada akışkan cinsi, Rynolds sayısı, pürüzlülük vs n olrsa olsn boytsz hız profillri aynıdır. Bna karşılık türbülanslı sınır tabakada Rynolds sayısı v/vya pürüzlülüktki dğişim C f yi dğiştirir. B da boytsz hız profilinin şklini tkilr. Hız profillrinin Şkil 7. d göstriln b tabiatı sınır tabakaların analizind doğrdan önm kazanmaktadır..6 /.4. Artan C f Klbanoff v Dihl düz dvar Hama düz dvar Hama 8 hücrli lk Hama 1 hücrli lk Farklı koşllarda olşan hız profillrinin şklini tanımlamak üzr Hδ/θ - şkil paramtrsindn yararlanmak istnbilir. Bir düz lvha üzrindki laminr sınır tabaka için H büyüklüğü daima.6 dır.....4.6.8 1. y / δ Şkil 7.- Düzgün v pürüzlü düz lvhalar üzrind türbülanslı sınır tabaka hız profillri (Clasr, 1956, Th trblnt bondary layr, Adv Appl Mch 4, 1 51) Ancak b drm türbülanslı akım için gçrli dğildir. Nitkim Şkil 7. d snlan hız profillrindn düz lvha üzrindki türbülanslı sınır tabakada H büyüklüğünün C f y bağlı olacağı tahmin dilbilir. Bna gör blli bir dp/dx basınç dağılımına sahip hrhangi bir cisim üzrindki türbülanslı sınır tabakada olşacak hız profillrinin şklini H paramtrsi il blirlmk mümkün dğildir. Mvct ampirik bilgilrin olabiln n kısa biçimd snm v kllanımı açısından güçlü v kapsamlı korlasyon dğişknlri gliştirilmsi çok önmlidir. Problm karmaşık olp çok miktarda da vri blnmaktadır. B yüzdn mvct vrilri n basit biçimd dikkat almak faydalı olacaktır. Düz lvha üzrindki basit türbülanslı akım için bil korlasyon için / v y/δ dğişknlrini almanın ytrli olmayacağı açıktır. Varılacak sonca bir çok araştırmacının katkısı olmakla birlikt n açık v n kapsamlı katkı Clasr (1956) tarafından yapılmıştır. B yaklaşımın ana hatları aşağıda izlncktir. Şkil 7. d yr alan hız profillrinin hrhangi bir ölçk faktörü il çarpılarak tk bir ğriy dönüştürülmsi bklnmz. Bnnla birlikt sınır tabaka içrisind knar hızına nazaran mydana gln - hız kayıpları dikkat alınırsa, şkl gör C f dğri büyüdükç daha büyük hız kaybı olşmaktadır. Daha büyük bir C f, sınır tabaka içindki akışkana daha büyük bir yavaşlatıcı kvvt tkimsi v dolayısıyla hızda (v böylc momntmda) daha büyük bir kayıp olması anlamına glmktdir. Bna gör knar hızıyla boytszlaştırılmış hız kayıplarının 1 C f şklind yüzy sürtünm katsayısıyla orantılı oldğ söylnbilir. Bna gör b iki büyüklüğün oranıyla ld dilck bir dğişknl bütün ğrilrin korlasyonnn sağlanabilcği görülür:

4 / C f 1 / τ w ½ρ / τ / ρ w B ifadnin paydası hız boytnda bir büyüklük olp kısaca τw / (7.) şklind göstrilir v sürtünm hızı olarak adlandırılır. Böylc düz lvha üzrindki sınır tabakada hız profillrinin ordinatı için / 1 C / f şklind bir korlasyon dğişkni ld dilir. Diğr ksn için y/δ büyüklüğünün kornması ytrli olacaktır: y f δ kayıp kann Profillr için koordinatların b şkildki sçiminin n dnli başarılı oldğ Şkil 7.3 dn görülmktdir. y / δ...4.6.8 1. Ancak b korlasyonn gnl başarısı y/δ nın küçük dğrlrind yani dvara yakın bölgd görülmmktdir. Daha önc d blirtildiği gibi b bölgd hız çabk bir biçimd dğişmkt olp çşitli hallrdki farklılık Şkil 7.3 dki gibi bir grafiktn kolay anlaşılamaz. - -1 Klbanof v Dihl Schltz-Grnow Hama J.H.. pürüzlü dvar B korlasyon dğişknlrinin dvar yakınında gçrli olmayacağı fiziksl bir açıklamayla göstrbilir. - Şkil 7.3- Düzgün v pürüzlü düz lvhalar üzrindki türbülanslı sınır tabakaların dış bölglrind hız kayıpları Şöyl ki; sınır tabakanın üst kısımlarında lokal ortalama hızların sınır tabaka knar hızına gör büyüklüklrinin, (- ), önmli oldğ görülmüştü. B yaklaşımda lokal ortalama hızların dvar üzrindki sıfır hız dğrin kıyasla drm doğrdan dikkat alınmamıştır. Oysa dvara yakın n alt tabakada b karşılaştırma önmli olacaktır. Dvar bölgsind hızlar için ölçklyici büyüklük olarak yin sürtünm hızının alınması ygn gözükmktdir. Böylc + / şklind bir korlasyon dğişkni ld dilir.

5 Sınır tabakanın üst bölgsind y konm y/δ şklind bir oranla göstrilmişti. Dvarın baskın oldğ alt bölgd δ sınır tabaka kalınlığının önminin daha az oldğ izah dilbilir. B alt bölg sınır tabakanın toplam kalınlığının sadc küçük bir kısmını ( %1) tşkil tmkt olp yδ civarında olşacak dğişikliklrin tkisi alt bölgd çok az hissdilcktir. B drmda y büyüklüğünün dvara yakın bölgd bir başka biçimd boytszlaştırılması daha ygn olacaktır. Daha önc bir znlğn Rynolds sayısı kllanılarak nasıl boytsz hal gtirildiği görülmüştü. Mvct drmda da bnzri bir inclm il + y y (7.3) ν şklind tanımlanan bir tür R sayısına varmak mümkündür. B dğişknlr kllanılarak ld diln f y ν, + f ( y + ) şklindki ilişki litratürd dvar kann olarak anılmaktadır. Yapılan korlasyonlar sonc ld diln ğrilrin başarısı Şkil 7.4 d görülmktdir. 4 3 / + 1 Laminr alt tabaka / y /ν / 5.6 log(y /ν) + 4.9 Ldwig v Tillmann Klbanof v Dihl Frman Schltz-Grnow Lafr - pip 1 5 1 5 1 5 1 5 1 y /ν y + Şkil 7.4- Düzgün katı yüzylr üzrindki türbülanslı sınır tabakalar için ünivrsal dvar kann (Clasr, 1956) Brada sadc düzgün katı dvarlara ait vrilrin yr aldığı blirtilmlidir. Pürüzlülüğün tkisi ilrid kısaca tartışılacaktır. Ayrıca logaritmik bir ölçk kllanılmasının mantığı v blirtiln ğrilrin kaynakları izlyn bölümd açıklanacaktır. B noktada blirtilmlidir ki, büyüklüğü hız profillrinin anlaşılmasında böyl kilit bir rol oynadığı için τ w dvar grilmsinin doğr tspiti önm kazanmaktadır. Yüzy grilmsi ilk kz 195 li yıllarda başarılı yüzy grilmsi balanslarının gliştirilmsiyl ölçülbilir hal glmiştir (Dhawan, 1953). B tip bir cihaz yüzyin ilgilniln kısmında yüzyl tmas tmyn küçük bir parça şklind olp, böylc yüzyin b küçük alanındaki grilm kvvti doğrdan ölçülür. Daha öncki araştırmacılar τ w yi tspit tmk için hız profilinin

6 yüzy üzrindki ğimini kllanmayı dnmişlr, ancak profilin dvar yakınındaki şkli ndniyl doğr sonçlara laşamamışlardır. Tkrar Şkil 7.4 dönülck olrsa, düzgün katı bir yüzy yakınındaki hız çalkantıları, tam dvar üzrind v w olması ndniyl kvvtli biçimd sönümlnir. Bna gör türbülanslı sınır tabakanın dahilind dvar yakınlarında çok küçük kalınlıkta bir laminr akım tabakası blnmaktadır. B bölg laminr alt tabaka olarak adlandırılır. Şayt y + y /ν b bölgdki akımı tanımlayan ygn bir Rynolds sayısı is öyl bir sınır dğri olacaktır ki bnn altında hakim akım laminr olsn. B hss vriln bir akım için y nin bir alt kritik dğri olacağı anlamına glir. Şayt böyl bir laminr alt tabaka varsa ksinlikl çok inc olacaktır. Yani b alt tabaka küçük bir y yükskliği dahilind kalacaktır. Dvar üzrind τ/ oldğndan b laminr alt bölgd τ τ w oldğ varsayılabilir. τ (y) nin tipik bir dğişimi Şkil 7.5 d göstrilmktdir. B kabll birlikt d δ τ µ F ( y ) y τ w (7.4) y yazılabilir. B bağıntı () olmak üzr intgr dilrk yτ w µ (7.5) v düznlnrk τ tot Şkil 7.5- Sınır tabakada kayma grilmsinin tipik dğişimi τ w yτw yτ y µ µ τ / ρ µ / ρ w w y ν (7.5a) vya dvar kann dğişknlri cinsindn + y + (7.5b) ld dilir. Şkil 7.4 dn görülbilir ki mvct vri (7.5b) bağıntısını y + 5-7 dğrlrin kadar izlmktdir. B görüntü laminr alt tabakanın varlığını doğrlamaktadır. Tabakanın kalınlığı δ nın %1 indn daha küçüktür. Şkil 7.4 i okrkn dikkatli olmak grkir. Şöyl ki, sınır tabakanın kalınlığı kabaca δ + O(5) mrtbsinddir. Şkil 7.4 sasn sınır tabakanın alt bölgsini inclmk için düznlnmiş bir grafik olp, b grafik üzrind δ nın büyüklüğünün aranması doğr olmaz. y + 5-7 büyüklüğü δ + nın 1/1 i mrtbsinddir. Böylc biri alt tabakaya diğri d dış tabakaya ait olmak üzr başarılı iki korlasyon kann ortaya konlmştr. Fizik grği b iki bölg arasındaki gçiş ani olamaz. Aksin arada ortak bir bölg olması bklnir. B ortak birlşm bölgsind hr iki bölgdki y f ; δ y g ν (7.6a)

7 bağıntıları gçrli olmalıdır. B iki bağıntı ynidn y f + δ ; y δ g δ ν (7.6b) şklind düznlnbilir. Birlşm bölgsind bütün y lr için b iki bağıntının aynı olması grkir. Bağımsız dğişkn olması ndniyl y büyüklüğü birlşm bölgsind kyfi olarak dğişbilir. Vrilmiş bir sınır tabaka hız profili için / v δ /ν büyüklüklri birr sabit olp y il dğişmz. Bna gör, g fonksiyonnn içindki sabit δ /ν çarpanı fonksiyonn dışında toplam şklindki bir sabitl aynı tkiy sahip olmalıdır. Böyl bir özllik sadc bir logaritma fonksiyonnda vardır. Çünkü çarpımın logaritması iki logaritmanın toplamı şklind yazılabilir. O hald birlşm bölgsind f v g fonksiyonları için logaritmik fonksiyonlar önrilrk (7.6a) bağıntıları aşağıdaki gibi yazılabilir: y A log + B δ (7.6) y A log + C (7.7) ν Halihazırda Şkil 7.4 d logaritmik ölçkl çizilmiş olan dvar kann il Şkil 7.3 dki hız kayıp kann logaritmik ölçkt tkrar çizilrk Şkil 7.6 daki gibi birlştirilbilir. Logaritma kannları vriyi izldiğindn v bölg küçük olmadığından (kabaca 3 y + 3 civarında) bir ara bölg oldğ açıktır. - -4-6 - ----------- + -8-1 -1 Frman Klbanof v Dihl Schltz-Grnow Hama JH pürüzlü dvar Hama pürüzlü dvar Moor çok pürüzlü dvar -14.1..5.1..5 1. y/δ Şkil 7.6- Düz lvha üzrindki türbülanslı sınır tabakalar için kayıp kannn logaritmik çizimi (Clasr, 1956)

8 B şkild çiziln vriyi dikkat alarak Clasr (1956) (7.6) v (7.7) logaritmik bağıntılarındaki sabitlr için A5.6, B-.5 v C4.9 dğrlrini önrmiştir. Başka araştırmacılar aynı vri için sabitlr çok az farklı dğrlr vrn farklı ğrilr ld tmiştir. Ancak brada Clasr in sabitlri kllanılacaktır. Yin bazı başka araştırmacılar da dnklmlri tabii logaritma il yazarak A sabitin Kln(1)/A şklind bağlı olan bir başka sabit kllanmışlardır. Böylc A5.6 v K.41 olmak üzr ld tmişlrdir. 1 y ln + C (7.7b) K ν Cols (1956) sınır tabakanın dış bölgsindki hız profillrini tanımlamak için iz kann kavramını ortaya koymştr. Hızlarda logaritmik kannn üzrind görüln sapmaların, yδ daki maksimm sapma il normaliz dildiği takdird sadc y/δ nın fonksiyon oldğ grçğini dikkat almıştır. B normaliz dilmiş sapmaları, bir W(y/δ) iz fonksiyon il blirtrk W() v W(1) olmak üzr korlasyon grçklştirmiştir. Cols n iz fonksiyon 1 / ln ( y / ν ) + C K 1 y W 1 δ / ln ( / ) C δ ν + K (7.8) şklind olp şmatik olarak Şkil 7.7 d göstrilmiştir. W İz fonksiyon + + + Logaritmik kann Log y Şkil 7.7- Cols n iz fonksiyon Cols (1956) b W fonksiyonn y π y W sin δ δ (7.8a) şklind önrmiştir. Sonç olarak iz kann birlşm bölgsini v üst bölgyi birlikt tanımlayacak biçimd 1 y Π y ln + C+ W K ν K δ (7.9)

9 olarak düznlnbilir. Brada Π-KB/ bir iz paramtrsi olp, B-.5, için Π.51 dir (Cols.55 dğrini tavsiy tmiştir). Türbülanslı sınır tabakanın tamamı dört bölgdn olşmş gibi düşünülbilir. Kovaszny (1967) gör hr bir bölgnin kndi znlk v hız skalası vardır. - En alttaki laminr alt-tabakanın znlk skalası ν/, hız skalası is dır. - İç bölgnin znlk v hız skalaları sırasıyla y v dır. - Dış bölgnin znlk skalası δ, hız skalası is dir. - Corrsin v Kistlr (1955) süpr-tabaka adını vrdiklri dördüncü bir tabaka daha tanımlamışlardır. B tabaka sınır tabakanın dış knarında viskoz tabaka il viskoz olmayan dış akım arasında yr alan inc v kıvrımlı bir gçiş bölgsidir. B bölgdki hız skalası olarak katılım hızı alınabilir. Katılım hızı, dış akımdan sınır tabaka içrisin birim zamanda girn akım dbisi il orantılı bir hızdır. B hız aynı zamanda türbülans arayüzünün türbülanslı olmayan dış akıma nazaran ilrlm hızını ifad dr. Katılım hızı Kovaszny (1967) tarafından V d δ δ (7.1) dx ( ) şklind tanımlanmıştır. Kovaszny b bağıntıyı kllanarak süpr-tabaka için 1ν/V şklind bir karaktristik znlk skalası olştrmştr. v y büyüklüklri y A log + B δ (7.6) y A log + C (7.7) ν bağıntıları arasından limin dilrk δ log + ν A C B (7.11) v b bağıntı ynidn düznlnrk bir yüzy sürtünm kann C f Alog R δ + C B C f (7.1) şklind blnabilir. (7.1) bağıntısı yaklaşık biçimd yazılarak vya ampirik vrilr ğri ydrlarak başka, daha basit açık formüllr d türtilmiştir. En basit birisi Blasis a ait v Schltz-Grnow (194) tarafından doğrlanan ( ) / C. 456 R 14 (7.13) f δ

1 bağıntısıdır. B bağıntı konma bağlı Rynolds sayısının yaklaşık R x 1 7 dğrin kadar gçrlidir. Çoğ kims Schonhrr (193) in bağıntısını kllanmaktadır. 1 415. log( R xcf ) 17. C + (7.13) f L znlğndaki düz lvha üzrindki türbülanslı akımda toplam sürtünm dirnci katsayısı, C D, için b iki araştırmacı v C. 47 log ( R L ). 47 D 64. (7.13a) 1 413. log( R L C D ) C (7.14a) D önrmişlrdir. 7.4- Sçilmiş ampirik türbülans bilgilri Ykarıdaki bölümlrd yapılan analizin amacı ortalama akımın gnl özlliğinin anlaşılması olarak ortaya konlmş olmakla birlikt türbülanslı akımın çalkantılı doğasının anlaşılması sastır. Kony izah amacıyla, 195 li yıllarda Amrikan lsal Standartlar Büros tarafından düz lvha üzrind ld diln zngin vridn yararlanılacaktır. B sçimin iki ana ndni vardır. Birincisi akımın basit olması, bna karşılık olayları tmsil tmsi, ikincisi d b akım için kompl ölçm sonçlarının mvct olmasıdır. Şkil 7.17 d sınır tabakada üç doğrltdaki türbülans şiddti profillri yr almaktadır..1.8 ()'² w.1.1 Şkildn ksnl türbülans şiddtinin n büyük oldğ, fakat yanal yöndki türbülans şiddtinin d diky yöndkindn daha büyük oldğ fark dilmktdir: '² w'² v'² > > Bnn ndni akımın yanal doğrltlarda salınım srbstisi olmasına karşın dvarın dirkt kısıtlayıcı tkisi ndniyl aynı srbstinin diky doğrltda olmayışıdır..6.4. v..5.15.5 y/δ....4.6.8 1. 1. 1.4 y/δ Şkil 7.17- Düz lvha üzrind türbülans şiddti profillri (Klbanoff, 1955).8.6.4..

11 Pürüzlü bir düz lvha üzrindki akım için Corrsin v Kistlr (1954) tarafından ld diln türbülans şiddti profillri Şkil 7.18 d yr almaktadır. B inclmdki pürüzlülük brştrlmş kağıt biçimind olp iki-boytl v yaklaşık sinüzoidaldir. Pürüz yükskliği. cm olp b yüksklik akımı tamamn pürüzlü rjim sokmak için ytrlidir. Blnan türbülans şiddti düzylri düzgün dvar halindkindn çok daha fazladır. Fakat üç bilşnin birbirin gör sıralaması aynıdır. ()'².1.9.8.7.6.5.4.3..1. δ R δ --------- 6.7 1 4 ν ---------.55..1..3.4.5.6.7.8.9 1. y/δ Şkil 7.18- Tam pürüzlü düz lvha üzrind türbülans şiddti profillri (Corrsin v Kistlr, 1954) w v Türbülanslı bir sınır tabakanın dış knarı zamana bağlı, düzgün olmayan bir sınırla karaktriz dilir. Bn anlamak için yδ konmna bir sıcak-tl anmomtrsi yrlştirilirs anmomtrnin dğişimli olarak türbülanslı akım v viskoz olmayan akım ölçtüğü görülür. B drm aralıklılık (intrmittncy) adı vriln v 1 arasında dğişn bir Ω büyüklüğü il yansıtılır. Ω büyüklüğü akımın n kadar sür il türbülanslı oldğn oransal olarak blirtmktdir. 1..8 Ω.6.4. Corrsin v Kistlr Klbanof Bazı ölçm sonçları Şkil 7.19 da snlmştr. Sınır tabakanın dışına yaklaşıldıkça aralıklılığın 1 dğrindn hayli küçük kaldığı blirtilmlidir....1..3.4.5.6.7.8.9 1. y/δ Şkil 7.19-Sınır tabaka içind aralıklılık dağılımı (Klbanoff, 1955, Corrsin v Kistlr, 1954) Sınır tabaka içind akışkanın x-doğrltsndaki momntmnn türbülans tarafından diky doğrltda taşındığı bilinn bir hsstr. B olay boylamasına v diky doğrltdaki çalkantı hızlarının ' v' şklindki korlasyon il ilişkilidir. Şayt b büyüklük akışkanın yoğnlğ il çarpılarak ρ 'v' şklind düznlnirs grilm boytn alır v türbülanslı kayma grilmsi vya Rynolds grilmsi olarak adlandırılır. B kavram izlyn bir bölümd daha dirkt bir biçimd çıkartılacaktır. Fakat şimdilik türbülans çalkantılarının sınır tabaka üzrindki başlıca tkisinin Rynolds grilmsi vasıtasıyla oldğnn gözlnmsi ytrlidir.

1 Rynolds grilmlrin ilişkin ölçm sonçlarının sürtünm hızıyla normaliz dilmiş biçimd bir grafiği Şkil 7. d snlmştr. B büyüklük dvar yakınında n büyük dğrini almakta olp dvarın daha yakınındaki inc laminr alt-tabakanın içrisind anidn sıfıra düşmktdir. 1 11 1 R δ 8 1 4 1. 9 8 -------.34.9.8 Κ 7 6 5 K - v.7.6.5 v 4.4 3.3. 1.1..1..3.4.5.6.7.8.9 1. y/δ Şkil 7.- Düz lvha üzrindki türbülanslı sınır tabakada Rynolds grilmsi v türbülans klintik nrjisi profillri (Klbanoff, 1955) B laminr alt bölgdki dğişim Şkil 7.1 d gnişltilmiş olarak görülmktdir. 1..8 τ lam τ τ w Şkil 7. d ayrıca türbülanslı kintik nrji nin dğişimi göstrilmiştir. B, üç çalkantı hız bilşninin birim kütl başına kintik nrjisi olp '² + v'² + w'² K ' '² + v'² + w'² K (7.5).6 v.4. R δ 8 1 4 -------.37. 1 3 4 5 6 7 8 9 y / ν.5.1.15..5.3 y/δ Şkil 7.1- Sınır tabaka dvar bölgsind Rynold grilmsinin ayrıntılı dağılımı (Schbar, 1954) şklind tanımlanmaktadır. Akımın n kadar türbülanslı oldğn tarif tmk için hrhangi bir büyüklük kllanılması grkiyorsa, n mantıklı sçim türbülans kintik nrjisi olacaktır.

13 Türbülans çalkantılarının gniş bir zaman ölçği aralığında olştğ hssna açıklık gtirmk için boylamasına türbülans çalkantılarının spktra ölçümlrinin bazıları dalga sayısının (k 1 ) fonksiyon olarak Şkil 7. d snlmştr. Brada k 1 Dalga sayısı π frkans ortalama hız olp E 1 (k 1 ) büyüklüğü d k 1 k 1 +dk 1 bandındaki boylamasına türbülans nrjisinin miktarıdır. Böylc E 1 ( k 1 ) dk 1 ' (7.6) E ( k ) 1 1 1 1 1-1 1-1 -3 1-4 1-5 1-6 δ R δ --------- 7.5 1 4 ν ---------.37 y/δ.11.5.8 olmaktadır. Bradaki ilk gözlm dalga sayısının büyük dğrlrind hissdilir bir harkt olmasıdır. 1-7 1-1 -1 1 1 1 1 3 k1 (cm -1 ) Şkil 7.- Düz lvha üzrindki sınır tabakada ksnl türbülans şiddtinin spktrm (Klbanoff, 1955) İkinci bir hss, katı dvar büyük ölçkli harktlri nglldiğindn dvara yaklaştıkça daha büyük ölçkli dilr (girdapçıklar) içrisindki nrjinin azalmasıdır (y/δ.11 için küçük dalga sayısındaki vrilr bakınız). Büyük ölçkli dilrdn küçük ölçklilr doğr bir nrji akışı v sonnda viskozit il dissipasyon olşmaktadır. Büyük ölçkli harkt için grkli nrji dış akımdan çkilmktdir. Hrhangi bir türbülanslı kaymalı akımda türbülans nrjisinin ürtimi, taşınımı, yayınımı v dissipasyon söz konsdr. 3 ------------ dissipasyon ----- 1/Ω dissipasyon Dissipasyon sasn laminr viskozitnin daha küçük dilr üzrindki aksiyonndan kaynaklanır. B büyüklüğü ölçmk zordr. Fakat bazı sonçlar Şkil 7.3 d göstrilmiştir. Akımın tam türbülanslı bölglrind dağılımı görmk için b gibi sonçları aralıklılığın tkisin bağlamak alışılaglmiştir. εδ 3. 1...1..3.4.5.6.7.8.9 1. y/δ Şkil 7.3- Düz lvha sınır tabakasında dissipasyon v türbülans kintik nrjisinin dağılımı (Klbanoff, 1955)

14 Ykarıdaki blirtiln bütün prosslrin dağılımı Şkil 7.4 d snldğ gibi bir türbülanslı kintik nrji dngsi biçimind göstrilbilir. Dış knar yakınları hariç bütünsl dngy ana katkılar ürtim v dissipasyondan kaynaklanmaktadır. B ikisi hmn hmn birbirini dnglmktdir. 1 kazanç kayıp 1 Taşınım Yayınım Ürtim dissipasyon δ --------- 3.63 5.8 ---------.55 ν -..1..3.4.5.6.7.8.9 1 y/δ Şkil 7.4- Düzgün yüzyli düz lvha üzrindki sınır tabakada türbülans nrji balansı (Klbanoff, 1955) Gçirgn yüzylr üzrindki akımların türbülans büyüklüklriyl ilgili bilgi, ortalama akımla ilgili olanlardaki gibi katı yüzydkilr kıyasla daha zayıftır. Daha önc ortalama akımın tartışıldığı altı yüzy üzrind (üçü katı üçü gçirgn) ksnl v normal doğrltlardaki türbülans şiddtlri v Rynolds grilmlrin ait bir kısım vri Şkil 7.5, 7.6 v 7.7 d snlmştr. Pürüzlü katı yüzylrin b üç büyüklüğü düzgün katı yüzylr kıyasla arttırdığı açıktır. Göznkliliğin farkdilir bir tkisi olp, b tki normal doğrltdaki türbülans şiddti v Rynolds grilmsi üzrind n büyüktür. Normal türbülans bilşni göznkli bir dvar tarafından düzgün bir dvar kadar sönümlnmmktdir. 1 8 6 ² 4 Düzgün katı yüzy Pürüzlü katı yüzy Göznkli, sintrlnmiş yüzy Göznkli, dlikli Ti tabakası Göznkli, ızgaralı yüzy Izgaralı, arkası katı yüzy 1.5.5 3.75 5 6.5 7.5 8.75 1 y / δ Şkil 7.5- Çşitli katı v göznkli dvarlar üzrind ksnl doğrltdaki türbülans şiddti profillri (Kong v Schtz, 198) 1 8 6 ² 4 Düzgün katı yüzy Pürüzlü katı yüzy Göznkli, sintrlnmiş mtal Göznkli, dlikli Ti tabakası Göznkli, ızgaralı yüzy Izgaralı, arkası katı yüzy 1.5.5 3.75 5 6.5 7.5 8.75 1 y / δ Şkil 7.6- Çşitli katı v göznkli dvarlar üzrind normal doğrltdaki türbülans şiddti profillri (Kong v Schtz, 198)

15 4 3. Düzgün katı yüzy Pürüzlü katı yüzy Göznkli, sintrlnmiş mtal Göznkli, dlikli Ti tabakası Göznkli, ızgaralı yüzy Izgaralı, arkası katı yüzy.4 ----------- v 1 3 ² 1.6.8 1.5.5 3.75 5 6.5 7.5 8.75 1 y / δ Şkil 7.7- Çşitli katı v göznkli dvarlar üzrind Rynolds grilmlri (Kong v Schtz, 198) Türbülansın çalkantı doğasını yansıtan çşitli büyüklüklrin ölçüm sonçlarına ilavtn b büyüklüklrl ilgili prosslrin fiziksl bir tasviri d faydalıdır. Türbülans şiddtlri gibi b büyüklüklr d zaman üzrind ortalamalardır. Türbülanslı akımın grçk fiziğini anlamak için ayrık, zamana bağlı türbülans olaylarının davranışını bilmy ihtiyaç vardır. Bradaki kısa anlatım ana hatlarıyla Klin v Robinson (199) tarafından yapılan inclmy dayanmaktadır. Münfrit di fikri grçktn açık v özllikl yardımcı dğildir. Zira türbülanslı akımda aynı zamanda v aynı yrd çok çşitli boytlarda dilr mvcttr. Akışkan kümlri v girdap çizgilri düşünmk daha faydalıdır. Bir türbülanslı akım içrisind bir akışkan kümsinin bir konmdan diğrin harkt ttiği söylnbilir. B nosyon Rynolds grilmsini tanımlamak için kllanılacaktır. Türbülanslı akım kabaca girdap çizgilrinin süprpozisyon olarak dikkat alınabilir. Bna gör d çapında, L znlğnda v açısal hızı ω olan bir girdap çizgisi göz önün alınırsa, bnn kütlsi ρld il, kintik nrjisi ρld 4 ω il v açısal momntm da ρld 4 ω il orantılıdır. B girdap lmanı, kütlsi v açısal momntm sabit kalmak kaydıyla sündürülürs (ki b düşük yayınım için iyi bir yaklaşımdır), L arttıkça çap azalacak v açısal hız artacak b da kintik nrjiyi arttıracaktır. Böylc lmanı zatmak için çları üzrind yapılan iş lmanın kintik nrjisind artış yaratmaktadır. B drm daha önc blirtiln nrji kaskadının tasvirini sağlar. Enrji büyük ölçkli harktlrdn bnlar içindki küçük ölçkli harktlr doğr, küçük ölçkli harktlrdki girdap çizgilrinin büyük ölçkli harktlrl sündürülmsi sonc, akmaktadır. Ortalama harktin iki-boytl oldğ türbülanslı bir akımda girdap çizgilri daha ziyad akımla çaprazdır. Sündürm d b doğrltda olacağından türbülans üç-boytl olacaktır. Ortalama girdaplılığın çoğ, ortalama hız profilinin şklin gör dvar civarında yoğnlaşmıştır (Şkil 7.). B hss girdap sünmsinin bir başka soncn ortaya koyar: girdap lmanlarının dvar civarında rastgl yükslmsini ani çalkantılar v patlama (brsting) v dış bölgy sıçramalar izlr. B prosslr Klin v arkadaşları (1967) tarafından Şkil 7-8A da göstrildiği gibi tasvir dilmiştir. Daha yni çalışmalarda Şkil 7.8B d göstrildiği gibi, daha sık olşan çngl tipi yapılara işart dilmiştir. Brada sağ v sol çngllr rastgl gözükmktdir. Rao v arkadaşları (1971) ortalama patlama zamanı priyodn 5δ/ olarak blirlmiştir. Klin v arkadaşları (1967) bir patlamayla sıçrayan akışkanın akım doğrltsnda.8 civarında hıza sahip oldğn blmştr. Bna gör sıçrama prossi Rynolds grilmsinin bir kısmının sormlsdr. Sıçrayan bir akışkan kümsi, < v v > oldğndan ngatif işartli bir v korlasyon vrir. Kim v arkadaşları (1971) bütün

16 türbülans ürtiminin özllikl dvar yakınlarındaki patlama v sıçramanın sonc oldğn blirtmişlrdir. Dinamik bakımdan kararsız lokal kaymalı tabaka Baş İkincil akım Boyn Yükslmiş v sünmüş girdap lmanı y x İç taraf Bacak Dış taraf Küçük hızlı girdap z Ayak Akım a) Girdap sünmsi (Klin v arkadaşları, 1967) b) Çngl şkilli girdapsal yapı (Klin v Robinson, 199) Şkil 7.8- Türbülanslı sınır tabakanın dvar bölgsind girdapsal yapılar Dvar civarı zaman v konmda priyodik yapı srgilr. Akım doğrltsnda v açıklık doğrltsnda, znlğ δ mrtbsind v gnişliği 3ν/ mrtbsind düşükmomntml akışkan şritlri priyodik olarak olşr. B şritlrin üzrind y + 4 civarında yatay bir kayma tabakası olşr. B noktada lokal hız profili bir büküm göstrir. Sıçrayan (dış tabakaya itiln) akışkan ara bölgnin knarından (y + 4 civarında) aşağı tabakaya doğr kayan yüksk-momntml akışkanla yr dğiştirir. B kayma-sıçrama prossi d yin Rynolds grilmsinin önmli bir kısmını ürtir. 7.5- Türbülanslı akımların analizindki mrkzi problm Şayt sıkıştırılamaz akımda, daimi olmayan, laminr dnklmlrin türbülanslı harktin sas nsrlarını ihtiva ttiği kabl dils idi zamana bağlılığı içrn v w + + z (1.36) + + v + w +ν + + t z ρ z 1 p (1.37) + + v + w +ν + + t z ρ z v v v v 1 p v v v + + v + w +ν + + t z ρ z z w w w w 1 p w w w (1.38) (1.39) dnklmlrinin sabit-özllikli hald türbülanslı akım problminin çözümü için iş yarayacağı bklnirdi. B kabl n çlişkili n d çözüm için mldğ kadar yardımcı dğildir. Çlişkili dğildir, zira b dnklmlr çıkartılırkn rastgl çalkantılı bir harkt hariç ttlmamıştır.

17 Çok yardımcı dğildir, çünkü grçk bir kolaylaştırma gtirmmktdir. Yani haln üçboytl, fiziksl ölçklrd çok gniş bir aralıkta ölçğ v frkanslara sahip olan, zamana rastgl bağlı, büyük bir hsaplama problmi il karşı karşıya blnlmaktadır. Daha önc analizcinin ksriytl sadc zaman-ortalamalı akımla ilgilndiği blirtilmişti. B gnl amaç daimi olmayan dnklmlr dayanan bir formülasyona nasıl dönüştürülbilir sorsnn cvabı basitç zamana gör ortalama almaktan ibarttir. Akımın hrhangi bir büyüklüğü, örnğin düzlmsl, daimi (ortalama anlamında) akım halind (,,, ) (,, ) '(,,, ) xyzt xyz+ xyzt (1.67) şklind ortalama bir büyüklükl bir çalkantı kısmına ayrılarak ilgili dnklmlrd yrlştirilir. Sonra hr bir trimin zaman üzrindn ortalaması alınır. Brada dnklmlrin iki-boytl sınır tabaka biçimiyl ilgilnilcktir. Ayrıca ortalama alma il ilgili basit bazı krallar izlncktir. Şayt f v g iki çalkantı dğişkni, F v G d bnların ortalama dğrlri is f ' ; F F ; f + g F + G; f g F G f F ; f ds F ds s s (1.67) yazılabilir. Bradaki üst çizgi işarti üzrind yr aldığı büyüklüğün ortalamasının alındığını blirtmktdir. Daimi, sıkıştırılamaz, iki-boytl sürklilik dnklmindki hız bilşnlri ortalama v çalkantı dğrlrin ayrılarak ( ) ( V v ) v + ' + ' V ' v' + + + + + (7.8) zaman ortalaması alınarak v ' v' V ' v' V ; + + s s s s s s s s V + (7.9) ld dilir. Görüldüğü gibi ortalama akım için sürklilik dnklmi laminr akımdakiyl aynıdır. Ayrıca b sonç (7.8) bağıntısında tkrar kllanılırsa ' v' + (7.3) oldğ, yani anlık çalkantıların aynı biçimd bir sürklilik dnklmini sağladığı görülür. İki-boytl, sıkıştırılamaz sınır tabakaya ait

18 t + + v 1 p ρ + ν momntm dnklmindki non-linr trimlrin inclnmsind dikkatli olnmalıdır. B çrçvd taşınım trimlrinin, sürklilik dnklmi d dikkat alınarak v v + v + v + + + + v ( ) ( v) + (7.31) şklind ynidn düznlnmsi faydalı olr. B drmda ortalama v çalkantı dğrlri kllanılarak ( ) ( v) ( ') ( ' )( V v' ) + + + + + ( ' ' ) ( V V ' v ' ' v ') + + + + + + (7.3) hr bir trimin zaman ortalamaları alınarak ( ) ( V ) ( ' ) ( ' v' + + + ) (7.3a) vya ilk iki trim açılarak V ( ' ) ( ' v' + + V + + ) v brada sürklilik dnklmi kllanılarak ( ' ) ( ' v' + V + + ) (7.3b) ld dilir. Momntm dnklmindki diğr trimlrin ortalamaları da kolaylıkla alınır: t ( + ' ) t t p ( P + p' ) P ( + ' ) (7.33) Görüldüğü gibi viskoz trimd önmli bir dğişiklik yoktr.

19 Eld diln bütün ortalama dğrlr momntm dnklmind yrlştirilrk ( ' ) ( ' v' ) t + + V + + 1 P ρ + ν (7.34) blnr. Şayt ortalama akım daimi is ilk trim ortadan kalkacaktır. Ayrıca gnllikl ( ' ) ( ' v' << ) oldğ kabl dilir. B hss çoğ akım için dnyl doğrlanmıştır. B kabllr çrçvsind sonç olarak daimi akımdaki türbülanslı sınır tabaka dnklmlri V + (7.9) 1 P 1 ( ρ' v' + V + ν + ) ρ ρ (7.34a) şklind yazılabilir. Dvardan ytrinc zakta laminr kayma grilmsi trimi türbülansla momntm transport trimi yanında küçük kabl dilrk ihmal dilbilir. Şüphsiz ( ρ ' v' ) büyüklüğünü içrn trim ihmal dilmz. Aksi hald dnklm tamamıyla laminr akım halin döncktir. Blirtiln b trim dnklmd türbülanslı akımın çalkantılı doğasının tkisini yansıtan tk trimdir. Hrhangi bir sınır tabaka problmind oldğ gibi (7.9) v (7.34a) dnklmlriyl ifad diln problmd d viskoz olmayan bir dış akım tarafından sınır tabaka üzrin tki dn P(x) basınç dağılımının bilindiği kabl dilmktdir. Bna gör b iki dnklmin iki bilinmyn için ( v V) çözülmsi bklnmktdir. Bnnla birlikt momntm dnklmind sağ taraftaki n son trim ilav bir bilinmyn olarak yr almaktadır. B bir momntm transfri trimi olp, laminr akımdaki basit Nwtonin kayma il aynı rolü oynamaktadır. B bakımdan ( ρ' v' ) büyüklüğü türbülanslı kayma grilmsi vya daha önc d blirtildiği gibi Rynolds grilmsi olarak adlandırılmaktadır. B türbülanslı kayma triminin laminr viskoz trimdn glmdiği, fakat viskoz olmayan taşınımsal trimlrdn gldiği blirtilmlidir. (7.9) v (7.34a) dnklmlriyl çalışırkn dnklm sistminin kapalı (çözülbilir) hal glmsi için Rynolds grilmsini içrn trimin d diğr bağımsız vya bağımlı dğişknlr cinsindn ifad dilmsi grklidir. Diğr dğişknlrin hpsi d ortalama dğrlr olarak dikkat alındığından böyl bir bağıntı ortalama akım modli olarak nitlndirilir. B tip modllrin gliştirilmsi izlyn bölümlrd l alınacaktır. Blirtiln zorlğ ynmnin kolay bir yol yoktr. Kon, bölümün sonnda daha karmaşık formülasyonlara varacak, fakat hp dnklmlrdn daha fazla bilinmyn olacaktır. B fazladan bilinmyn(lr) hp ( ρ ' v' ) gibi türbülans büyüklüklri olacak, v sistmi matmatiksl olarak kapatmak için hp fazladan, gnllikl yarı-ampirik bağıntılara grk olacaktır. B drm türbülanslı akımların kapatma (closr) problmi olarak anılır. Aslında ortalama akım v çalkantı büyüklüklrini blirtrk, vya harkt dnklmlrini

kllanarak, ya da brada yapıldığı gibi zaman üzrind ortalama alarak grçktn önmli hiçbir şy yapılmadığı üzrind düşünülürs b şaşırtıcı drma nasıl glindiğini kavramak daha kolay olr. B noktaya kadar, matmatiksl formülasyonn gliştirilmsind türbülanslı akımların grçk doğası hakkında hiçbir şy söylnmmiştir. Formülasyonn tamamlanmasından önc b kon üzrind drlmalıdır. Türbülanslı kayma modli gliştirm konsnda ilrlmdn önc çalkantılarla momntm transfri olgsnn fiziksl bir izahını yapmakta yarar vardır. B amaçla Şkil 7.9 dikkat alınırsa, sınır tabakanın y + y sviysind blnan bir akışkan kümsi daha alt sviydki bir y konmna yr dğiştirdiği takdird ski konmndaki (y + y) ortalama hızını korma ğilimind olacaktır. B hız akışkan kümsinin yni konmnda (y ) ortalama hızına gör pozitif işartli bir çalkantı hızı kadar artmış gözükcktir. B drmda y + y konmndan yy düzlmin taşınan anlık kütl akımı ρv olp b kütl yni konmdaki çalkantı hızı il ρ v kadar bir momntm artışı yaratacaktır. y ( y + y ) y v < ( y ) y y < Şkil 7.9- Rynolds grilmsinin glişimi Şayt akışkan kümsi alt tabakadan daha üst bir tabakaya yr dğiştirirs bnn trsi olacaktır. Şayt zaman üzrind bir ortalama alınırsa hız çalkantıları vasıtasıyla boylamasına momntmda diky doğrltda olşan momntm transfri miktarı ( ρ' v' ) olarak ld dilir 7.6- Ortalama akım türbülans transport formülasyonları Bir ortalama akım türbülans analizi gliştirmk için ilk olarak Bölüm 7.5 dki inclmlr çrçvsind _ ( x, y ;, V, P vya, µ ρ) τ ρ ' v' f, (7.35) T şklind bir bağıntı blmaya çalışılmalıdır. Öyl ki (7.9) - (7.34a) dnklm sistmi kapalı hal glsin. B bağıntının ampirik bilgilr dayanması grktiği açıktır. B bakımdan tkrar Bölüm 7.3 dki ortalama akım bilgilrin baş vrlacaktır. B arada, (7.35) bağıntısının sağ tarafında türbülans büyüklüklrinin yr almadığı blirtilmlidir. B noktada modllm çabalarının amacını açıkça blirtmk için sınır tabaka alt bölgsini örnk olarak dikkat almak faydalı olacaktır. Biçimsl olarak (7.35) il blirtiln blnacak bağıntı (7.9) v (7.34a) harkt dnklmlrind kllanıldığında Şkil 7.4 dki vri arasından gçn dol çizgi ld dilcktir. B tiptn bir analiz yarı-ampirik olarak nitlndirilir. Ampirik bir yaklaşım basitç vriy ydrlmş ğrilri kllanacaktır. Blirtiln amaç birbiriyl ilişkili iki formülasyonla başarılmıştır. İlki Bossinsq (1877) tarafından, laminr akıma bnztm yolyla

1 τ T _ ρ ' v ' µ T (7.36) şklind ortaya konan di viskozitsi formülasyondr. Bradaki µ T di viskozitsinin sadc akışkanın dğil akımın drmna bağlı olacağı bklnmlidir. Yani di viskozitsi laminr viskozit gibi yalnızca akışkanın trmofiziksl bir özlliği dğildir. Prandtl (195) tarafından τ T _ ρ ' v ' ρlm (7.37) şklind önriln ikinci formülasyon karışım znlğ formülasyon olarak anılır. Bradaki l m büyüklüğü bir karışım znlğdr. Prandtl ın karışım znlğ kavramı Rynolds grilmsi için Bölüm 7.5 in sonnda yapılan fiziksl açıklamayı yakından izlmktdir. Karışım znlğ bir tkilşim msafsi olarak, molküllr arası ortalama srbst yörüngy bnztilbilir. Sadc, molküllr arasında dğil d türbülans kümlri arasında tanımlanmaktadır. Şayt Şkil 7.9 da akışkan kümlrinin harkt msafsi olarak y dğil d l m alınırsa, v (y )< olmak üzr ' ( y ) ( y + lm ) ( y ) lm (7.38) şklind bir boznt hızı tanımlanabilir. Şayt akışkan kümsi aşağıdan ykarıya çıkıyorsa b dfa v (y )< olmak üzr boznt hızı ' ( y ) ( y lm ) ( y ) l m (7.39) şklinddir. Sürklilik grği, v ~- olp, b son iki bağıntı doğrdan (7.37) bağıntısını vrir. B bağıntıdaki τ T nin işartini doğr vrbilmk için ( /) yrin yazmak daha doğr olr. l m için bağımsız dğişkn vya paramtrlrin ya da ortalama bağımlı dğişknlrin fonksiyon olan ilav bir bağıntıya ihtiyaç vardır. B bağıntı da di viskozitsi gibi, akışkanın dğil akımın drmnn bir fonksiyon olacaktır. B aşamada, (7.36) v (7.37) formülasyonlarıyla ilgili bazı gözlmlr ygn olacaktır: İlkin, di viskozitsi v karışım znlğ formülasyonları, transport prossini tmsiln ilgili bağımlı dğişknin gradyantını ( /) içrmlri ndniyl gradyan transport formülasyonları olarak anılır. Bna gör laminr momntm v ısıl nrji transport için yazdığımız τ µ v T q k bağıntıları da gradyant transport formülasyonları olmaktadır. Türbülanslı kaymalı akımlar için b gibi formülasyonların özl bir zaafiyti vardır

B zafiyti Şkil 7.3 daki gibi bir profil halind n kolay biçimd görmk mümkündür. B tip profillr, örnğin, dvar üzrindki bir yarıktan türbülanslı akıma tğtsl doğrltda yüksk hızla akışkan njksiyon halind ld dilir. y (x) ortalama hız profili bir maksimma sahip oldğndan / olan bir nokta olacaktır. B noktada hr iki formülasyon da (y) τ T _ ρ ' v' vrir. Formülasyonların b zayıflıklarını gidrmnin basit bir yol yoktr. Bnnla birlikt çoğ sınır tabaka akımlarında b şkild maksimm vya minimmlar blnmamaktadır. Simtrik bir profil için simtri düzlmind / olp yin aynı drm görülmktdir. --------- Şkil 7.4- Türbülanslı sınır tabakada bir maksimma sahip ( /) hız profili İki formülasyonla ilgili ikinci gnl gözlm d b ikisinin sasn şdğr olmasıdır. (7.36) v (7.37) dnklmlrin bakılarak açıkça µ T ρ l m y (7.4) yazılabilir. Dolayısıyla µ T için bir bağıntı biliniyorsa (7.4) bağıntısından l m için mütkabil bağıntı blnabilir. Edi viskozitsi v karışım znlğ için özl modllr Bölüm 7.8 d çıkartılacaktır. Bnnla birlikt, daha önc, türbülanslı sınır tabakaların analizi için intgral yöntmlr göz atılacaktır. 7.7- Ortalama akım intgral yöntmlri Türbülanslı akımların analizi için d laminr akımlardaki intgral yöntmlrinin bnzri yöntmlr mvcttr. Bnlar türbülanslı analizd kabaca, laminr haldki gibi difransiyl formülasyonlara dayanan bağıntıları kllanırlar. Yöntmlrin yglanması gnllikl basit olp mühndislik çalışmaları için ygn sonçlar vrmktdir. Brada yöntmlrdn ikisi kısaca izah dilcktir. Bnlardan daha ski olanı sadc çok basit problmlr için ygndr. Daha yni olanı is Moss (1969) tarafından ortaya konmş olp daha gnl akımlar için kllanılabilmktdir. Hr iki hald d grkli türbülanslı kayma modllmsinin analiz nasıl girdiği dikkati çkmktdir. Prandtl yöntmi İntgral yöntmin türbülanslı akımda ilk yglaması Prandtl (197) tarafında düz-lvha problmi için yapılmıştır. Daimi, laminr akımlar için daha önc dθ + dx 1 f d dx ( θ + δ ) v C w (.15) şklind çıkartılan momntm intgral dnklmi türbülanslı daimi bir ortalama akım için, bütün bağımlı dğişknlr ortalama büyüklüklr şklind dğrlndirilmk srtiyl kllanılabilir. Gçirgn olmayan bir düz-lvha üzrindki akım için b dnklm

3 d θ dx C f (.15a) şklini alır. θ momntm kalınlığı daha önc oldğ gibi δ θ 1 dy şklind tanımlanmakla birlikt, bradaki (y) ortalama hız profilidir. Çözüm için, laminr hald oldğ gibi, kabl dilmiş bir hız profilin ihtiyaç vardır. Düz lvha üzrindki türbülanslı akım için ortalama hız profili kabaca 1 / n y (7.41) δ şklind tmsil dilbilir. Brada R x 1 6 1 7 için n 7 dir. Ancak, Bölüm 7.3.1 dki inclmlr dikkat alınırsa, gnl hald b bağıntının doğr olmayacağı söylnbilir. Bna rağmn analizd b hız profili il ilrlnbilir. (7.41) hız profili kllanılarak n 7 için δ/δ 1/8 v θ/δ 7/7 ld dilir. İzlyn aşamada b hız profilinin dvar kaymasını hsaplamak için kllanılması bklnbilir. Ama dvar kayması ( /) w türvini içrmkt olp, b türv d (7.41) bağıntısına gör n 7 için dvar üzrind 6 7 y 7δ δ y şklind sonsza gitmktdir. Bnnla birlikt, türbülanslı akım içind kayma için ilav bir bilgiy grk dylacaktır. B yöntmd, δ önclikli bağımlı dğişkn olarak ortaya kondğndan, sadc dvar üzrindki C f kaymasının δ cinsindn C f (R δ ) şklind bilinmsin ihtiyaç vardır. Laminr analiz için dvar kayması farklı biçimd l alınmış olmakla birlikt δ aynı rolü oynamıştır. Prandtl (197) grkn C f (R δ ) için ( ) / C. 456 R 14 f (7.13) δ bağıntısını kllanmıştır. B bağıntıyla birlikt tspit diln θ/δ oranı da (.15a) bağıntısında kllanılarak dθ C f dx. 456 7 7 dδ. 456 1/ 4 ( R ) dx ( ) 1 / δ / ν 4 δ 7 7 dδ dx. 456 ν δ 1 / 4 (7.4) vya b bağıntı düznlnip intgr dilrk, δ () olmak üzr

4 ( x) δ x. 375 1/ 5 R x (7.43) ld dilir. B sonç düz lvha üzrindki laminr sınır tabaka için Blasis dnklmi kllanılarak ld diln ( x) δ x 5. 1/ R x Bağıntısıyla karşılaştırılırsa türbülanslı sınır tabakanın laminr sınır tabakaya kıyasla daha çabk bir şkild kalınlaşmakta oldğ göstrilbilir. Nitkim b iki bağıntıya gör: laminr hald δ /x ~ R x -1/ türbülanslı hald δ /x ~ R x -1/5 (δ ~ x 1/ ) (δ ~ x 4/5 ). B sonç nisptn kabadır. Bir kr türbülanslı bir sınır tabaka için n iyi bir dğişkn grplaması üzrin otrmayan bir hız profili kllanmaktadır. İkinci olarak, yöntm gçişi v lvhanın başlangıcındaki laminr akım bölgsini tamamıyla ihmal tmktdir. B yöntml daha fazlasını yapmak mümkün dğildir. Örnğin, basınç gradyantı içrn problmlr çözülmk istnsydi dp/dx türvinin gnl hallri için C f (R δ,dp/dx) şklind bilgiy ihtiyaç olacaktı. Ama, şayt b fazla bilgi mvct olsaydı, zatn b analiz d ihtiyaç olmayacaktı. Moss yöntmi Türbülanslı sınır tabakalar için ykarıda izah dilndn daha kabiliytli v yglanması daha basit bir intgral yöntmi Moss (1969) tarafından gliştirilmiştir. B yöntm (.15) momntm dnklminin ( / ) τ τ( y / δ) ( y / δ) Rδ d µ dx y1/ δ y1/ δ y1 δ d y 1 d y Rδ d R d dx δ δ dx δ w 1 1 (7.44) şklindki daha gnllştirilmiş bir halini kllanmaktadır. Brada y 1 /δ büyüklüğü il 1. arasında hrhangi bir dğr alabilir. y 1 /δ 1. için (7.44) dnklmi alışılagln momntm intgral dnklmin dönüşür. y 1 /δ nın başka dğrlri için, ayrı, ilav dnklmlr ld dilir. Daha sonra y 1 < δ olmak üzr dx : y 1 : 1 boytlarındaki bir kontrol hacmin kütl v momntmn kornm ilklri yglanacaktır (ki daha önc H δ olmak üzr dx : H : 1 boytlarındaki bir kontrol hacmi kllanılmıştı). Sonçlar arasındaki n büyük farklılık, daha öncki inclmlrd yh da kayma sıfır olp dnklmlrd gözükmüyor ikn bradaki inclmlrd y y 1 d kaymanın gözükmsidir. Moss y 1 /δ 1. v y 1 /δ.3 kllanarak iki dnklm ld tmiştir. İkinci dğr kabaca tabaka boynca momntm kaybının ikiy bölünmsin karşılık glmktdir. Grkn hız profili için Moss iz kannnn yaklaşık bir biçimini kllanmıştır. W(y/δ) büyüklüğünün tanımıyla birlikt

5 1 / ln ( y / ν ) + C K 1 y W 1 δ / ln ( / ) C δ ν + K (7.8) dnklmini v / / C büyüklüğünü kllanarak f 1 y Π y ln + C W K ν K δ (7.9) dnklmini ynidn yazmış v iz fonksiyonn 3 y y y W 3 (7.45) δ δ δ şklind yaklaşık biçimini ld tmiş, sonçta C f / y Π 1 + ln K δ K f C 1 y 1 W δ (7.46) İfadsin rişmiştir. Moss, laminr alt tabaka için bir başka polinom kllanmış, yüksk Rynolds sayısındaki akımlarda intgral yöntm için b inc tabaka içrisind profilin sçiminin önmli olmadığını blirtmiştir. B sçim intgrallrin dğrini önmli ölçüd tkilmmktdir. (7.41) dnklmind vrildiği gibi / f(y/δ) almak yrin böyl birlşik bir hız profili almak daha doğrdr Türbülanslı kayma modli olarak τ T _ ρ ' v ' µ T (7.36) di-viskozitsi modli alınmıştır. (7.44) dnklmind sadc τ(y 1 /δ) büyüklüğü gçtiğindn b intgral yöntmi için türbülanslı kaymanın bir tk y/δ y 1 /δ noktasında modllnmsi grklidir. B hss yöntmin kvvtli tarafıdır. Zira türbülans modllmsi sadc grçkt problmin çıktısı olan yüzy sürtünmsini basitç almak yrin çok daha tml bir sviyd yapılmıştır. Moss, Cols (196) tarafından vriln bir kısım vriy ğri ydrarak ld ttiği µ T ρ + µ θ y 1 / δ 15. 5 + R δ (7.47) şklind tamamiyl ampirik bir di-viskozitsi modli kllanmıştır. Bütün bnlarla birlikt sistm (7.44) dnklminin y 1 /δ 1. v y 1 /δ.3 d (7.46) hız profiliyl birlikt dğrlndirilmsi sonc ld diln iki adi difransiyl dnklmdn olşmaktadır. Dnklm sistminin iki bilinmyni olp bnlar R δ il ifad diln δ (x) v C f dir. B iki dnklm adi-difransiyl dnklm çözümünd kllanılan hrhangi bir sayısal yöntml çözülbilir.

6 Moss (1969), yöntmini bazı dnysl hallr için yglamış, mvct intgral yöntmlrindn hrhangi biri kadar ygn sonçlar ld tmiştir. Gnl olarak ym (C f v δ(x) gibi bütünsl büyüklüklr için), n iyi difransiyl yöntmlrl ld dilnlr kadar iyidir. Çşitli hsap yöntmlrinin prformansını ortaya koyabilmk için, gidrk artan karmaşıklıkta üç adt trs-basınç-gradyantlı akım örnk olarak sçilmiştir. Yöntmlrin hpsi düz lvha halind (sıfır basınç gradyantı) iyi prformans srgilmktdir. Olml basınç gradyantı halind prformans biraz daha iddiasızdır. Sözü diln üç örnk hald (1) Calsr in (1956) daha önc blirtiln dng (qiliblim) hali, () Schbar v Klbanof n (195) klasik dnyi, (3) Nwman ın (1951) kanat profili l alınmıştır. B üç akımla ilgili bilgilr d anlamsız hsaplamalara yol açmayacak v vri il karşılaştırmaya imkan vrck biçimd ytrinc iyi bir şkild dokümant dilmiştir. B akımlar 1968 d Stanford da grçklştiriln AFOSR-IFP konfransında (Klin v arkadaşları, 1969) sınır tabaka hsaplama yöntmlri için tst hali olarak sçilmiş n karmaşık akımlardan üçüdür. Moss in (1969) hsaplamaları θ(x) v C f (x) büyüklüklri için b üç hald ld diln vri il Şkil 7.31-33 d karşılaştırılmıştır. Schbar v Klbanof il Nwman hallrind ayrılmaya kadar ym iyi ikn, Clasr in dng hali için ymn zayıf oldğ görülmktdir. Şkil 7.31- Moss yöntminin Clasr in (1956) vrilriyl karşılaştırması (Klin v arkadaşları, 1969) Şkil 7.3- Moss yöntminin Schbar v Klbanof n (195) vrilriyl karşılaştırması (Klin v arkadaşları, 1969) Şkil 7.33- Moss yöntminin Nwman ın (1951) vrilriyl karşılaştırması (Klin v arkadaşları, 1969) Çşitli yöntm v modllrin prformansını göstrmk için, 1981 d Stanford da grçklştiriln bir başka konfranstaki (Klin v arkadaşları, 198) bazı hallr daha l

7 alınmıştır. Saml v Jobrt (1974) tarafından düşük-hızda trs-basınç gradyantlı hald grçklştiriln dny sonçlarıyla Moss yöntmi sonçları Şkil 7.34 d karşılaştırılmış olp ym gnl olarak iyi gözükmktdir..4 C f.. Vri Analiz 1.. 3. x (m) Şkil 7.33- Moss yöntminin trs basınç gradyantlı akım için Saml v Jobrt in (1974) vrilriyl karşılaştırması Brada inclnn intgral yöntmi laminr akım için daha inc izah diln Thwaits-Walz intgral yöntmiyl birlikt kllanılabilir. Kompl akımı çözck bir yöntm ld tmk için gçişsl bölgd d Dy v Nararshima (199) tarafından önriln aralıklılık dağılımı alınabilir. Bradaki tml fikir γ aralıklılık faktörü olmak üzr gçişsl bölgd ötlm kalınlıkları için ( 1 γ) δ +γδ lam şklind bir dağılım almaktır. trb Örnk 7.1- Türbülanslı sınır tabakada momntm intgral yöntminin yglanması 5m znlğndaki bir düz lvha 1. m/s hızdaki akıma marz olp düz lvhanın bitimindn itibarn yr alan rampa (x)15.-x m/s şklind dğişn bir dış akım yaratmaktadır. Akışkanın viskozitsini ν 1-5 m²/s alarak b yüzy boynca x 7. m msafsin kadar türbülanslı sınır tabakanın glişimini inclyiniz. Sınır tabaka ayrılır mı? Çözüm: Akımın ilk kısmı düz lvha üzrind v basınç gradyantsız olp b bölgd basit intgral çözümü yglanarak x5 d δ, θ v C f büyüklüklri hsaplanabilir. Hsaplanan b dğrlr yüzyin kalan rampa kısmındaki hsaplar için başlangıç dğrlri olarak kllanılacaktır. Bna gör rampa başlangıcında C f.665 v R θ 8336.3 dğrlri ld dilir. Hsaplamalar x.7 m noktasına rişincy kadar x.1 m aralıklarla 1 adımda grçklştirilmiştir. Hsaplamalar Schtz tarafından vriln bir program il grçklştirilmiş olp ld diln sonçlar aşağıdaki tabloda yr almaktadır.

8 X C f δ θ R δ H 5. 1..66.771.834 8336.4 1.337 5.1 9.9.6.79.876 8667.5 1.347 5. 9.8.53.814.919 94.7 1.356 5.3 9.7.47.837.964 9348.9 1.365 5.4 9.6.41.86.11 97.5 1.374 5.5 9.5.35.888.159 16.3 1.383 5.6 9.4.3.916.119 149. 1.39 5.7 9.3.4.945.116 187. 1.41 5.8 9..19.975.117 11195.7 1.41 5.9 9.1.13.17.174 11595. 1.419 6. 9..8.14.1334 16.6 1.48 6.1 8.9.3.175.1397 143.7 1.438 6. 8.8.198.1111.146 1868.5 1.448 6.3 8.7.19.1149.1531 133.9 1.458 6.4 8.6.187.1188.163 13789.1 1.469 6.5 8.5.18.19.1679 1474.1 1.481 6.6 8.4.176.17.1759 14777.3 1.493 6.7 8.3.171.1317.1843 1599.9 1.56 6.8 8..165.1364.193 15843.5 1.519 6.9 8.1.16.1413.6 1649.8 1.534 7. 8..154.1465.15 17.4 1.55 Görüldüğü gibi sınır tabaka kalınlığı gidrk artmaktadır. Nisptn kvvtli sayılabilck b trs basınç gradyantı altında sınır tabaka x7m d ayrılmamakta (C f > ), ancak sınır tabaka kalınlığı nrdys ikiy katlanmakta v sürtünm katsayısı da %4 azalmaktadır.