TÜBİTAK BİDEB LİSE ÖĞRETMENLERİ FİZİK, KİMYA, BİYOLOJİ, MATEMATİK- PROJE DANIŞMANLIĞI EĞİTİMİ ÇALIŞTAYI LİSE-2 (Çalıştay 2012) MATEMATİK GRUP EOS PROJE ADI BAZI BÖLÜNEBİLME KURALLARINDA YENİ BİR YÖNTEM Proje Ekibi Göknur AYKANAT GAP Kız Anadolu Lisesi- ŞANLIURFA Bahattin İNAM Fatih Lisesi ÇAYCUMA-ZONGULDAK PROJE DANIŞMANLARI Prof. Dr. Ünal UFUKTEPE İzmir Ekonomi Üniversitesi İZMİR Doç. Dr. Ogün DOĞRU Gazi Üniversitesi ANKARA ÇANAKKALE 21 29 Ocak 2012 1
İÇİNDEKİLER SAYFA İÇİNDEKİLER 2 PROJENİN AMACI 3 GİRİŞ 3 MATERYAL ve YÖNTEM 4 SONUÇLAR VE ÖNERİLER 6 TEŞEKKÜR 6 KAYNAKÇA 6 ÖZGEÇMİŞLER 7 2
PROJE ADI: BAZI BÖLÜNEBİLME KURALLARINDA YENİ BİR YÖNTEM PROJENİN AMACI: 1. Bölünebilme kurallarının ispatına farklı bir yaklaşım geliştirmek. 2. Öğrenme nesnesi olarak ispatı kullanabilmek. GİRİŞ: Matematikle uğraşan herkes ispatın ne kadar önemli olduğunu bilir. Matematiksel bir önermenin doğru ya da yanlış olarak değerlendirilebilmesi için ispatlanabilmesi gerekir. Euclide in Elementler kitabına kadar dayanan ispat, matematiğin olmazsa olmazlarındandır. Bu çalışmamızda bölünebilme kurallarından 2, 3, 4, 5, 8, 9, 10 ve 11 ile bölünme kurallarının farklı bir ispatını sunacağız. Sunacağımız ispatların matematik eğitiminde kullanılabilirliğini tartışacağız. David Tall (2002) matematiksel düşüncenin bileşenlerini; soyutlama, sentezleme, genelleme, modelleme, problem çözme ve ispat olarak belirtmiştir. Bireylerdeki matematiksel düşünebilme becerisini geliştirmek için bu bileşenlerin her biri geliştirilmelidir. Ülkemizde ilköğretim ve ortaöğretim öğretmenleri, ispat ve ispatlama konularına sınıf uygulamalarında çok fazla yer vermemektedir. 2005 yılında müfredat değişikliğiyle ispat ve ispat yöntemleri müfredat programımıza girmiştir. İspat, bir önermeyi şüphesiz şekilde güvenilir kılar. (Jahnke, H.N. 2010) Eğitimciler, birçok ispatın açıklayıcı değerini kabul etmekle beraber kafalarında açıklayıcı ispatlar, anlaşılmış matematiksel konuların akılda tutulmasını sağlayabilir fikri oluşmuştur. ( Hanna, G. ; Barbeau, E. 2010) Son yıllarda yapılan araştırmalarda ispatın matematik eğitiminde nasıl kullanılacağı ön plana çıkmıştır. Ülkemizde gerek ilköğretim gerekse ortaöğretim düzeyinde yapılan araştırmalarda öğrencilerin ispat yapamadıkları görülmüştür (Özer,Ö. Arıkan,A. 2003). 3
Çalışmada sunacağımız ispatlama yöntemi sayesinde öğrenciler basitçe ve zevk alarak ispat yapabileceklerdir. MATERYAL VE YÖNTEM: Çalışmamızda, öğrencilerin önyargıyla yaklaştıkları ispatlara farklı ve zevkli bakış açısıyla yaklaşmalarını amaçladık. Beş basamaklı bir abcde sayısını temsilci seçtik. abcde=10000.a+1000.b+100.c+10.d+e 10000 sayısı 2 nin katı olduğundan a rakamından bağımsız şekilde 10000.a, 2 ile tam bölünebilir. Aynı yaklaşımla b, c ve d rakamları da bölünme kuralına etki etmez. 2 ile bölünebilmeyi etkileyen rakam birler basamağındaki e dir. abcde=10000a+1000b+100c+10d+e 10000 sayısı 4 ün katı olduğundan a rakamından bağımsız şekilde 10000.a, 4 ile tam bölünebilir. Aynı yaklaşımla b ve c rakamları da bölünme kuralına etki etmez. 4 ile bölünebilmeyi etkileyen rakamlar onlar ve birler basamağındaki d ve e dir. abcde=10000a+1000b+100c+10d+e 10000 sayısı 8 in katı olduğundan a rakamından bağımsız şekilde 10000.a, 8 ile tam bölünebilir. Aynı yaklaşımla b rakamı da bölünme kuralına etki etmez. 8 ile bölünebilmeyi etkileyen rakamlar yüzler, onlar ve birler basamağındaki c, d ve e dir. Bulduğumuz sonuçları genellersek, m n olmak üzere m basamaklı sayının 2 n bölünebilmesi için son n basamağa bakılır. a bc..de=10 m. a+..+10 n+1. b + 10 n. c+.+10. d+ e 10 n+1 2 n = 5 n+1. 2 n+1 2 n = 5 n+1.2 Bu sebeple de son n basamağına bakmak yeterlidir. 4
abcde=10000.a+1000.b+100.c+10.d+e 10000 sayısı 5 nin katı olduğundan a rakamından bağımsız şekilde 10000.a, 5 ile tam bölünebilir. Aynı yaklaşımla b, c ve d rakamları da bölünme kuralına etki etmez. 5 ile bölünebilmeyi etkileyen rakam birler basamağındaki e dir. Bulduğumuz sonuçları genellersek, m n olmak üzere m basamaklı sayının 5 n bölünebilmesi için son n basamağa bakılır. a bc..de=10 m. a+..+10 n+1. b + 10 n. c+.+10. d+ e 10 n+1 5 n = 5 n+1. 2 n+1 2 n = 5. 2 n+1 Bu sebeple de son n basamağına bakmak yeterlidir. abcde=10000.a+1000.b+100.c+10.d+e 10000 sayısı 10 nin katı olduğundan a rakamından bağımsız şekilde 10000.a, 10 ile tam bölünebilir. Aynı yaklaşımla b, c ve d rakamları da bölünme kuralına etki etmez. 10 ile bölünebilmeyi etkileyen rakam birler basamağındaki e dir. abcde=9999.a+999.b+99.c+9.d+ a+b+c+d+e Yukarıdaki analiz incelendiğinde 3 ile bölünebilme kuralının verilen sayının rakamları toplamına bağlı olduğu görülmektedir. Aynı şekilde aşağıdaki analiz incelendiğinde 9 ile bölünebilme kuralının verilen sayının rakamları toplamına bağlı olduğu görülmektedir. abcde=9999a+999b+99c+9d+ a+b+c+d+e Benzer düşünüşle 11 ile bölünebilme kuralının verilen sayının rakamlarına bağlı olduğu ve katsayılarının sağdan sola doğru pozitif ve negatif işaret değiştirerek etkilediği görülmektedir. abcde=9999a+1001b+99c+11d+a-b+c-d+e 5
SONUÇLAR ve ÖNERİLER: Sonuç olarak bu çalışmamızda basamak analizi yapılarak rakamların bazı bölünebilme kurallarına, belirleyicilik etkisi incelenerek verilen bölünebilme kurallarının ispatları, daha anlaşılır hale getirilmiştir. Bu çalışmamız genişletilerek diğer bölünebilme kurallarına uygulanabilir. TEŞEKKÜR: Bu çalışma sürecinde gerekli bütün yardım, tavsiye ve yönlendirmeleri ile desteğini esirgemeyen proje koordinatörümüz Prof. Dr. Mehmet AY a, proje danışmanlarımız Prof. Dr. Ünal UFUKTEPE ve Doç. Dr. Ogün DOĞRU ya, tüm çalıştay ekibine ve TÜBİTAK- BİDEB e sonsuz teşekkürlerimizi sunuyoruz. KAYNAKÇA: 1. David Tall, Differing Modes of Proof and Belief in Mathematics, International Conference on Mathematics: Understanding Proving and Proving to Understand, 91 107, 2002. 2. Hanna, G., Jahnke, H. N., & Pulte, H. (Eds) Explanation and proof in mathematics: Philosophical and educational perspectives. New York: Springer,2010. 3. Explanation and proof in Mathematics, Philosophical and Educational Perspective Springer, 2010. 4. Özge ÖZER, Ahmet ARIKAN, Lise Matematik Derslerinde Öğrencilerin İspat Yapabilme Düzeyleri, Ankara, 2003. 6
ÖZGEÇMİŞLER: Göknur AYKANAT 1981 yılında Kadirli de doğdu. İlk ve orta öğrenimimi Kozan da tamamladı. 2003 yılında Selçuk Üniversitesi Fen-Edebiyat Fakültesi Matematik Bölümünden mezun oldu. Aynı yıl Hatay ili Kırıkhan ilçesine atandı. 2008 yılında Harran Üniversitesi Matematik Anabilim dalında yüksek lisansımı tamamladı. 2006 yılından bu yana Şanlıurfa ilinde görev yapmaktadır. 9. Yılımda Gap Kız Anadolu Lisesinde görevini sürdürmektedir. Bahattin İNAM 18.08.1982 yılında Zonguldak ta doğdu. İlk, orta ve lise öğrenimini Zonguldak ta tamamladı. 2005 yılında Dokuz Eylül Üniversitesi Buca Eğitim Fakültesi nden mezun oldu. İzmir de üç yıl çalıştıktan sonra Bitlis te daha sonra Zonguldak ta matematik öğretmeni olarak görev yaptı. Evli ve bir çocuk babası olan hocamız halen Zonguldak ta Çaycuma Fatih Lisesi nde görev yapmaktadır. 7