EKONOMETRİK MODEL TANIMLAMADA KULLANILAN SINAMA YÖNTEMLERİ VE BU AMAÇLA GELİŞTİRİLMİŞ BİR YAZILIM Bülent Sedef Akgüngör34 1. GİRİŞ Ekonomik bir ilişkinin gerçeğe en uygun bir şekilde modellenmesi için, bu ilişkiyi temsil eden ekonometrik modelin doğru olarak tahminlenmesi gereklidir. Doğru tahminlemenin yapılabilmesi, ekonometrik modelde tanımlama hatalannın (specification errors) bulunmamasına bağlıdır. Tanımlama hatalannın azaltılması için ekonometrik modelin fonksiyonel formunun ve kullanılacak bağımsız değişkenlerin seçiminin doğruluğunun sınanması gereklidir. Tanımlama hatalannın varlığını sınamak için geliştirilmiş ekonometrik testler bulunmaktadır. Bu çalışmanın amacı, ekonometrik tanımlama hatalannın sınanması için kullanılan bazı tanımlama testlerini tanıtmak ve bu testlerin kolaylıkla uygulanmasını sağlayacak bir yazılım geliştirmektir. 2. TANIMLAMA HATALARI 2.1. Regresyon Denklemi İçin En Uygun Fonksiyonel Formun Seçimi Klasik doğrusal regresyon modelinin temel varsayımlarından biri, tahminlenecek olan ilişkinin fonksiyonel formunun doğrusal olduğudur, ilişkinin gerçekte doğrusal olmadığı durumlarda ise, en küçük karaler yöntemi ile tahminlenen regresyon paramatreleri sapmalı (biased) olur. Aynı zamanda bu parametrelerin doğru yorumlanması da güçleşir (Kennedy (1990), s. 72). Ekonometrik model için en uygun fonksiyonel formun seçimini yapmak amacıyla PE testi geliştirilmiştir (Kmenta, (1986), s. 521-522). PE testi, doğrusal, logaritmik ve yan logaritmik moodeller arasında seçim yapmak amacıyla yaygın olarak kullanılmaktadır. PE testinin uygulanması iki aşamada gerçekleştirilmededir. Testin birinci aşamasında oluşturulan hipotezler aşağıda görülmektedir. H0 Hipotezi: Ekonometrik ilişki, doğrusal fonksiyon ile doğru olarak tanımlanmaktadır. Y i - * + «o ı 1 3 Adnan Menderes Üniversitesi, Ziraat Fakültesi, Tan m Ekonomisi Bölümü, Aydın. 4Ege Üniversitesi, Ziraat Fakültesi, Tanım Ekonomisi Bölümü, İzmir. 3I î
Hı Hipotezi: Ekonometrik ilişki, logaritmik fonksiyon ile doğru olarak tanımlanmaktadır m y i - y 1 ile 2 yi kullanarak 3 denklemini yazabiliriz. * O i - «- fr*i) ( 1 - * ) ( l n r, y - «lnjtj) - 3 (4 ) <yi - o - fix t ) - i W 4 * * - «M, 0 0 #,! ^ s 0 W -1 o olarak tanımlanmıştir. Hoiken *=1 ve 0 o=o olmalıdır. H0 hipotezini sınamak için önce 2 numaralı denklem tahminlenir. ^ _ A Tahminlenen denklem kullanılarak InV, değerinin tahmini değeri hesaplanır (İn Y,)- Daha sonra gözlenen değerden (InY,), tahminlenen değer ( l n y j çıkanlarak hata terimnin tahmini değeri (ej() hesaplanır. vektörü 5 numaralı denkleme yerleştirilerek 0 Okatsayısı tahminlenir. Tahminlenen katsayının sıfırdan farklı olup olmadığı t-testi ile sınanır. Eğer Q0 katsayısının tahminlenen değeri sıfırdan farklı değilse, H0 hipotezi reddedilmez. PE testinin sağlıklı sonuç vermesi için her iki tanımlamanın da doğruluğunun sınanması gereklidir. Testin birinci aşamasında, tanımlamanın doğrusal olduğu hipotezi sınanmıştır. Testin ikinci aşamasında ise, tanımlamanın logaritmik olduğu hipotezi sınanmalıdır. PE testinin ikinci aşaması için oluşturulan hipotezler aşağıda görülmektedir. H0 Hipotezi: n 7, = 7 + S İn X + S6 Hi Hipotezi: 319
Y.i - «+ P ^ i * e0ı 7 6 ve 7 numaralı denklemler yazılarak 8 numaralı denklem elde edilmiştir. *(r, - a - px,) (1-n) Unr, - y - ainjf,) - 8 InK, r ^ İri A 0,G< 7 ^ 9 / - 7T 9 numaralı denklemde ^ olarak tanımlanmıştır Testin ikinci aşamasında, -^=0 ve olmalıdır. Sınamanın yapılması için önce 1 numaralı denklem tahminlenir ve ı vektörü elde edilir. ğ< vektörü 9 numaralı denklem içine yerleştirilerek O, katsayısı tahminlenerek sıfırdan farklılığı t-testi ile sınanır Pe tesinin iki aşamasında bulunulan sonuçlara göre doğrusal ve logaritmik kalıp arasından seçim yapılması mümkün olmaktadır: 1 Testin birinci aşamasında 0 n= 0 ise ve testin değilse, ekonometrik ilişkinin fonksiyonel formu doğrusaldır. 2 Testin birinci aşamasında 0 o=o değilse ve testin ikinci aşamasında O<=0 ise, ekonometrik ilişkinin fonksiyonel formu logaritmiktir 3 Testin birinci aşamasında B 0~0 değilse ve 9, =0 değilse, her iki fonksiyonel form reddedilir. 4 Testin birinci aşamasında 9 n-0 ise ve testin ise, testin doğrusal ve logaritmik kalıp arasında seçim yapmak için yeterli bilgiyi veremediği ortaya çıkmakttdır. 2.2. Birbirinden Türetilmiş (Nested) Modeller Arasından En Uygun Modelin Seçimi Regresyon denkleminde kullanılan değişkenler arasından en uygun olanları seçmek amacıyla, likelihood oranı testi kullanılmaktadır Likelihood oranı testi, bağımlı (nested) iki model arasından en uygunun seçilmesi için uygulanan bir yöntemdir İki ekonometrik modelin bağımlı olması, bir denklemde kullanılan bağımsız değişkenlerin diğer denklemdeki bağımsız değişkenlerin bir alt seti olması anlamındadır Likelihood oranı testi uygulanırkan iki cyrı regresyon denklemi tahminlenir Bu regresyon denklemlerinden birisi, katsayıların sıfır hipotezinde öngörüldüğü şekilde kısıtlanması ile tahminlenen denklemdir. Diğer denklem ise, kısıtlayıcılar uygulanmadan tahmin edilen regresyon denklemidir Likelihood oranı testi, kısıtlayıcıların doğru olması koşulundaki likelihood fonksiyonunun değen ile kısıtlayıcıların doğru olmaması koşulundaki likelihood fonksiyonunun değerinin karşılaştırılması esasına dayanır <20
Likelihood testinin uygulanışını açıklayan bir örnek aşağıda görülmektedir. H0 hipotezi: Ekonomik ilişki, kısıtlanmış model ile doğru olarak tanımlanmaktadır. r t - «+ *ı 10 Hı hipotezi: Ekonomik ilişki, kısıtlanmamış model ile doğru olarak tanımlanmaktadır. r t - * Pı*i - E l., m»*«j 11 10 ve 11 numaralı denklemlerde görüldüğü gibi sıfır hipotezinde. f i *...=0 olmaktadır. Modellerin doğruluğunu sınamak için kısıtlanmış model ile kısıtlanmamış modelin likelihood değerleri, likelihood oranı ile karşılaştırılır L ( $,c r 2),kısıtlanmış modelin likelihood değeri ve L ( kısıtlanmamış modelin likelihood değeri olsun, m, kısıtlanmış modelde kullanılan kısıtlayıcı sayısı ise Ho hipotezine göre likelihood oranı, 12 denklemi ile ifade edilmektedir. Likelihood Oranı - -2/L( )-(!,( $ J 2)]( j i>) 1 2 n olarak tanımlandığı zaman 12 denklemi 13 olarak da ifade edilmektedir5. " ( logcr* - logjs"-; - X 2 (m ) U * V 2 Eğer hesaplanan likelihood oranı değeri, A tablosundan elde edilen kritik değerden küçükse, H0 hipotezi reddedilmez. Boylece kısıtlayıcıların doğru olduğu sonucuna varılır. 5 Denklemin türetimi için ayrıntılı bilgi, Kmenta (1986), s. 491-492 de verilmiştir.).121
2.3. Birbirinden Türetilmemiş (Non-nested) Modeller Arasından En Uygun Modelin Seçimi Bir önceki bölümde tanımlanan likelihood oranı testi, birbiri ile bağımlı olarak tanımlanan iki model arasından seçim yapılmasına olanak vermektedir. Ancak bazı durumlarda, denklemde kullanılan bağımsız değişkenler diğer denklemdeki bağımsız değişkenlerin alt seti olmamaktadır. Birbirinden bağımsız iki model arasından en doğru olanını seçmek için uygulanan test, J-testi olarak adlandırılmaktadır (Kmenta (1986), s. 596). J-testinin sağlıklı sonuç vermesi için her iki tanımlamanın da doğmlupu sınanmalıdır. Testin birinci aşamasında, regresyon denkleminde kullanılan bağımsız değişkenler setinin Xı olduğu hipotezi sınanmıştır Ho: Modelde kullanılan bağımsız değişkenler seti X olmalıdır. Y, = $,X, * B, 14 Hı: Modelde kullanılan bağımsız değişlkenler seti X2 olmalıdır. r, - & x 3 + e2 15 14 ve 15 denklemleri, 16 olarak yazilabilir. Y, - (l-a)($,x,) + 16 H0 hipotezinin doğru olması durumunda, a=0, H0 hipotezinin doğru olmaması durumunda ise a=1 olmalıdır. Hipotez testinin uygulanması için a katsayısının sıfırdan farklı olup olmadığı test edilmelidir. Bu amaçla önce 15 denklemi tahmin edilmeli ve $, katsayısı elde edilmelidir. Daha sonra tahminlenen 17 ve 18 denklemleri elde edilir. katsayısı, 16 denklemi içine yerleştirilerek Y, = t a(x1$ l) + B 17 K, = (l-a)x,$, - a Y2 18 322
18 numaralı denklem kullanılarak tahminlenen a katsayısının sıfırdan farklı olup olmadığı t-testi ile sınanır. J-testinin ikinci aşamasında ise, regresyon denkleminde kullanılan bağımsız değişkenler setinin X2 olduğu hipotezi sınanmıştır H0: Modelde kullanılan bağımsız değişkenler seti X2 olmalıdır. Y, = $,X ı - e2 19 H v Modelde kullanılan bağımsız değişkenler seti Xı olmalıdır. Y,$,X, ı, 20 Hipotezin ikinci bölümünde 20 denklemi tahmin edilir ve katsayısı elde edilir. Tahminlenen katsayı kullanılarak 21 numaralı denklem tahmin edilerek a katsayısının sıfırdan farklı olup olmadığı sınanır. Y, = a (X,$,) + (l-a)(x 2$ J 6 21 Testin sonucu üç ayrı şekilde olabilir Testin birinci aşamasında a=0 ise ve testin ikinci aşamasında a=0 değilse, modelde kullanılan bağımsız değişkenler seti Xı olmalıdır. Testin birinci aşamasında a=0 değilse ve testin ikinci aşamasında a=0 ise, modelde kullanılan bağımsız değişkenler seti X2 olmalıdır. Testin birinci aşamasında a=0 değilse ve testin ikinci aşamasında a=0 değilse, her iki tanımlama da doğrudur. Testin birinci aşamasında a=0 ise ve testin ikinci aşamasında a=0 ise, uygulanan test iki model arasından seçim yapmak için yeterli bilgi vermemektedir. 3. EKONOMETRİK MODEL TANIMLAMADA KULLANILABİLECEK TESTLERİN UYGULANMASINI KOLAYLAİTIRMAK AMACIYLA GELİİTİRİLEN BİR YAZILIM Bu bildiride ele alınan tanımlama testlerinin kullanıcılar tarafından kolayca uygulanabilmesi için ekonometrik bir yazılım geliştirilmiştir. MC adı verilen bu yazılımın öncelikle en az bilgisayar deneyimiyle kullanılabilir veya daha önceki bilgisayar deneyimlerine uygun olmasına özen gösterilmiştir. Bu amaçla programın geliştirilmesi sırasında; veri girişinden veri işleme sonucunda elde edilecek çıktının başka amaçlarla kullanımına dek pek çok husus gözönüne alınmıştır. Geliştirilen programa MC (Model Çhoice) adı verilmiştir. MC, bir dbase IV Release 2 uygulama programıdır. MC'nin özellikleri aşağıda özetlenmiştir. 323
1. Ekonometri yazılımıdır 2. dbase IV İle geliştirilmiştir. 3. dbase IVün sağladığı veri girişi ve edit kolaylıklarına sahiptir 4. Programın kullanımıyla ilgili olarak F1 yardım tuşundan yararianılabilmektedir. 5. Doğrudan işletilebilir ( EXE) dosya halinde kullanıma sunulmuştur 6. Çalıştınlabilmesi için en az 2 MB belleğe ihtiyaç duymaktadır 7. Program tarafından oluşturulan veri dosyalan aslında dbase dosyalandır Ancak MC'nin kendi oluşturduğu dosyalan tanıyabilmesi ve veri değerlendirme güçlüklerinin önlenebilmesi için veri dosyalarını MSE uzantıh olarak saklamaktadır. Bu nedenle istendiği takdirde bu dosyalara dbase'in kendi olanaklan çerçevesinde de veri girme şansı da bulunmaktadır. Aynca kullanıcının elinde bulunan dbase dosyalarında gerekli düzenlemeler yapıldığı takdirde MC tarafından değerlendirmeye alınabilir. 8. MC tarafından yapılmayan analiz ve değerlendirmeler için veriler Lotus 1 2-3 ve dos-text (ascii) dosyalarına transfer edilebilmektedir 9. Analizler sonunda elde edilen çıktılar ekran, dos-text dosya veya yazıcıdan alınabilmektedir 10. MC; yazılımlardan yararlanmayı önemli ölçüde kolaylaştıran pull-down menülerle kullanılabilmektedir. Bunun yanısıra fonksiyon tuşlan da bazı işlemleri tek tuşla yapma şansını vermektedir. 11. Regresyon paramatreleri en küçük kareler yöntemi ile tahminlenmektedir 12. Bağımsız değişkenler ve bunlann tipleri isteğe bağlı olarak seçilebilmektedir 13. Doğrusal, logaritmik ve yan logaritmik fonksiyonel formlar arasından seçim yapilabilmesi için Pp testi yapmaktadır 14. Birbirinden türetilmiş (nested) modeller arasından seçim yapılabilmesi için likelihood oranı testi yapmaktadır 15. Birbirinden türetilmemiş (non-nested) modeller arasından seçim yapılabilmesi için i-testi yapmaktadır 4. SONUÇ Ekonometrik model tahmininde ortaya çıkan tanımlama (spesifikasyon) hata lan, denklemin fonksiyonel formunun belirlenmesi ve denklemde kullanılacak değişkenlerin doğru olarak seçilmesi sırasında ortaya çıkmaktadır Bu amaçla ekonometrik modellemeyi yapan kişinin bazı hipotez testlerini uygulaması ve en doğru modeli seçmesi gereklidir. MC yazılımı; model tanımlama testlerinin zahmetsizce kullanımının sağlanması amacıyla yazılmış bir yazılımdır. Aynı zamanda, tanımlama testlerinin uygulama yöntemini açıklaması bakımından öğretici bir nitelik taşıması amaçlanmıştır. KAYNAKLAR 1. Kennedy, Peter. A Guide to Econometrics. Second Edition. Cambridge. The MIT Press, 1990 2. Kmenta, Jan. Elements of Econometrics. Second Edition, Mew York: Macmillan Publishing Co., 1988. 324