Doğrusal Programlama. Prof. Dr. Ferit Kemal Sönmez

Transkript

1 Doğrusal Programlama Prof. Dr. Ferit Kemal Sönmez

2 Doğrusal Programlama Belirli bir amacın gerçekleşmesini etkileyen bazı kısıtlayıcı koşulların ve bu kısıtlayıcı koşulların doğrusal eşitlik ya da eşitsizlik biçiminde verilmesi durumunda amaca en uygun çözümün bulunmasını sağlayan bir matematiksel yöntemdir. Amaç fonksiyonunu en büyük veya en küçük yapacak en iyi çözüme adım adım yaklaşan bir algoritma (hesaplama yöntemi) dır.

3 Doğrusal Programlama UYGULANDIĞI ALANLAR Yatırım ve üretim planlamasında Ulaştırma sorunlarının çözümünde, İşletmelerin kuruluş yerlerinin saptanması, Beslenme problemlerinin çözümünde, İşletmelerde görevlerin planlanmasında

4 Doğrusal Programlama nın dayandığı varsayımlar Modeldeki değişkenlerin rakamlarla ifade edilebilir (kantitatif) olması gerekir. Kalitatif değişkenlerle model kurulamaz. Değişkenler arasında alternatif seçim olanağı olmalıdır. Alternatif yoksa DP söz konusu olamaz, örneğin bir çiftlikte tek bitki yetiştirilecekse optimizasyona gerek yoktur, çiftlikte birkaç alternatif bitki yetiştirilebilecekse, çiftlik karının maksimum olabilmesi için hangi bitkiden ne kadar üretim yapılması gerektiği, DP ile belirlenebilir.

5 Doğrusal Programlama nın dayandığı varsayımlar Değişkenler arasında kurulan ilişkiler doğrusal olmalıdır. DP nın uygulanacağı işletme problemleri kısa dönemli olmalıdır. Tarımsal üretimde girdi ve üretim fiyatları ancak kısa dönemlerde sabit kabul edilebilir.

6 Y=a+bX Doğrusal ilişki (2 değişken arasında, Y bağımlı değişken, X bağımsız değişken) Y=b0+b1X1+b2X2+...+bnXn Doğrusal ilişki (Birkaç bağımsız değişken ile bağımlı değişken arasında) Y=5X Doğrusal İlişki Doğrusal ilişki Y=3X 2 Doğrusal değil (Eğrisel ilişki) Y=4+7(X) 0.5 Doğrusal değil (Eğrisel ilişki)

7 DP modelinde 3 unsur vardır : 1. Amaç fonksiyonu 2. Kısıtlar (kısıtlayıcı fonksiyonlar) 3. Pozitiflik kısıtı Doğrusal Programlamanın Matematiksel Yapısı

8 Amaç Fonksiyonu Maksimizasyon Z 45 + x max = x1 55 Minimizasyon Z 25 + x min = x

9 Amaç Fonksiyonu Amaç fonksiyonu Z, değişkenler X ve sabit katsayılar C ile gösterilirse, amaç fonksiyonu: Z max/min Veya : = n i= 1 CiXi Z maks =C 1 X 1 +C 2 X C n X n biçiminde ifade edilir.

10 Kısıtlar ) 1,2,... (j 1 m b X a n i j i ij = = ) 1,2,... (j 1 m b X a n i j i ij = = ) 1,2,... (j 1 m b X a n i j i ij = = =

11 Pozitiflik Kısıtı Doğrusal programlama modelleri gerçek problemlere uygulanır. Bu nedenle değişkenler negatif değerli olamazlar. Böylece:; X1...Xn 0 yazılmalıdır.

12 Değişkenler Modele girecek olan değişkenler problemi açıklayan kantitatif büyüklüklerdir. Bu değişkenlerin optimum değerleri modelin çözümü ile bulunur. Parametreler ve sabiteler ise, bu değişkenlerin katsayılarını oluştururlar.

13 Modele girecek olan değişkenler; X 1, X 2,...,X n Verilen sabit değerler (ham madde miktarları veya makine kapasiteleri) b 1,b 2,...,b m Değişkenler Değişkenler arasındaki ilişkileri kuran parametreler; a 11,a 12,...,a nm ile ifade edilir.

14 Doğrusal Programlama Aşamaları 1. Problemin belirlenmesi 2. Model değişkenlerinin belirlenmesi 3. Model parametrelerinin belirlenmesi 4. Matematiksel modelin kurulması 5. Problemin çözülmesi 6. Sonuçların değerlendirilmesi (yorumlanması) 7. Sonuçların uygulanması

15 Problemin belirlenmesi Çözülmek istenen sorun ortaya konur. Örneğin, işletmenin özellikleri, üretilecek alternatif ürünler, üretimde kullanılan girdiler ve miktarları, kullanılan girdilerin kapasiteleri, üretilecek ürünlerden elde edilecek gelirler, vb.

16 Model Değişkenlerinin Belirlenmesi Üretilecek alternatif ürünler, DP modelinin karar değişkenlerini (X 1, X 2, X 3,...) oluşturur.

17 Model Parametrelerinin Belirlenmesi Üretilecek alternatif ürünlerin gelirleri veya masrafları, DP modelinin amaç fonksiyonunun katsayılarını (c 1, c 2, c 3,...) oluşturur. Üretimde kullanılan girdilerin (malların, kaynakların) miktarları, kısıtların a parametrelerini, bu kaynakların kapasiteleri ise kısıtların b parametrelerini oluşturur.

18 Amaç fonksiyonu Z maks =C 1 X 1 +C 2 X C n X n Kısıtlar a11x1+a12x a1nxn <= b1 a21x1+a22x a2nxn <= b2... am1x1+am2x amnxn <= bm Pozitiflik kısıtı X 1 >=0 X 2 >=0... X n >=0 Matematiksel Modelin Kurulması

19 Matematiksel Modelin Kurulması Z: Enbüyük veya enküçük yapılacak olan amaç fonksiyonu değeri c: Karar değişkenlerinin amaç fonksiyonuna katkısı (gelir veya masraf gibi) X: Karar değişkenleri a: Teknoloji katsayıları (karar değişkenlerinin üretimi için gerekli kaynak miktarları) b: Sınırlı kaynak miktarları (kaynak kapasiteleri)

20 Problemin Çözülmesi Grafik Çözüm Simpleks Çözüm Bilgisayar yazılımları yardımıyla çözüm

21 Sonuçların Değerlendirilmesi (Yorumlanması) ve Uygulanması Geliştirilmiş olan modelle sistemin çalışması karşılaştırılır ve modelin beklenen davranışı sergileyip sergilemeyeceği incelenir. Modelin geçmiş olaylara uygulanarak ortaya çıkan sonuçları değerlendirilir ve geçerliliği hakkında bilgiler toplanır. Elde edilen optimum çözüm sonuçlarının işletme için (yönetim açısından) uygun olup olmadığı incelenir. Uygun olmayan sonuçlar varsa ilk aşamaya geri dönülerek yeni bir model oluşturulur ve tekrar çözülür, sonuçlar yine değerlendirilir.

22 Örnek Problem Bir oyuncak imalatçısı model otomobil ve uçak üretimi yapmayı planlamaktadır. Şirket bu iki imalatını iki ayrı işlemin yapıldığı I ve II nolu atölyelerinde gerçekleştirmektedir. Çizelgede bir adet model otomobil ile model uçak imali için atölye işlem süreleri ve atölye kapasiteleri verilmiştir. Bir model otomobil satışından 45 TL, bir model uçak satışından ise 55 TL kar elde edilecektir. Maksimum kar için her bir üründen ne kadar imal edilmelidir?

23 Örnek Problem

24 Örnek Problem Çözüm Aşamaları 1. Problemin belirlenmesi (problem verilmiş) 2. Model değişkenlerinin (X) belirlenmesi 3. Model parametrelerinin (a,b,c) belirlenmesi 4. Matematiksel modelin kurulması

25 Sistematik Özet

26 Matematiksel Model 1. Amaç fonksiyonu Z 45 + x 2. Kısıtlar max = x1 55 6x 3x x + 10x 3. Pozitiflik koşulu x 1, x2 0

27 Örnek Problem Kuru tarım yapan bir çiftçi sulu tarıma geçmek istiyor. Kuruda yetiştirdiği bitkiler biliniyor. Sulu tarımda hangi bitkileri yetiştirirse karı maksimum olur?

28 Bilinmesi Gerekenler Kuruda ve suluda yetiştirebileceği (agroekolojik açıdan uygun) ürünler? Bu ürünlerin pazarlama durumu? Bu ürünler için gerekli teknoloji düzeyi? O yörede bu ürünlerden ne kadar kazanabileceği (TL/da)? Verimi Satış fiyatı Üretim girdileri miktar ve fiyatları

29 Bilinmesi Gerekenler Arazi kısıtlı mı? Su kısıtlı mı? Sermaye kısıtlı mı? İşgücü kısıtlı mı? Münavebe gerekli mi? Pazarlama kısıtları var mı? Hayvancılık yapılacak mı?

30 Teşekkürler Prof. Dr. Ferit Kemal Sönmez