HATALI VERİLER İLE EY UYGUN YÜKSEKLİK DÖNÜŞÜM YÖNTEMİNİN SEÇİMİ O. KURT Kocaeli Üniversitesi, Mühendislik Fakültesi, Harita Mühendisliği Bölümü, Kocaeli, orhnkrt@gmail.com Özet Elipsoit yükseklerinin ortometrik yüksekliklere (yada tersi) dönüştürülmesinde iki ana teknik vardır. Bunlar enterpolasyon ve kestirim teknikleridir. İkinci grup tekniklerde ortak noktaların belirsizlikleri dikkate alınırken, birinci grup tekniklerde bu belirsizlikler dikkate almaz. Genellikle, enterpolasyon yöntemlerinin kullanıldığı çalışmalarda dönüşüm sonuçlarının test edilmesi kullanıcının deneyimine bağlıdır, kestirim yöntemlerinde bu durum söz konusu değildir. Kestirim yöntemlerini kullanan uygulayıcılar istatistiksel çıkarımlardan yararlandığından, deneyimsiz kullanıcılar için en iyi yükseklik dönüşüm yöntemi kestirim yöntemlerinden seçilmelidir. Polinomsal ve trigonometrik fonksiyonlar lokal Jeoit belirlemede sıklıkla kullanılırlar. Harita mühendisleri lokal Jeoit belirlerken, genellikle polinomsal fonksiyonları tercih ederler. Bu çalışmada, polinomsal fonksiyonları kullanan C++ ortamında bir yazılım geliştirilmiştir. Bu yazılım, kullanıcı tarafından verilen herhangi bir polinom derecesine göre bir matematik modeli otomatik olarak oluşturmakta ve çözmektedir. Bu yazılım, kullanıcı tarafından belirlenen yada şartnamede istenen bir öncül varyansa bağlı olarak (bir dengelemede sadece bir uyuşumsuz ortak nokta atan) tekrarlamalı klasik uyuşumsuz ölçüler testi uygulamaktadır. Uyuşumsuz ölçüler testinden sonra, kestirilen polinomsal yükseklik dönüşüm fonksiyonunun (lokal Jeoit) katsayılarını, parametre anlamlılık testi ile test eder. Uyuşumsuz ölçüler ve parametre anlamlılık testleri, seçtiğimiz polinomun derecesinin hatalı verilerimize uygun olup olmadığını ortaya çıkarır. Bu çalışmada, geliştirilen yazılımın çalışma adımları şematik olarak gösterilmiş ve ortak noktaları yaklaşık olarak 50*50 kilometre kare alana dağılmış olan gerçek bir sayısal uygulama ile (Kocaeli Büyük Şehir Belediyesi Lokal Jeoidi) çalıştırılmıştır. Sonuç olarak, hatalı veriler üzerinden en uygun yükseklik dönüşüm yöntemini belirlemeye yönelik bazı önerilerde bulunulmuştur. Anahtar kelimeler: Yükseklik dönüşümü, GNSS nivelmanı, yüzey enterpolasyonu, yüzey kestirimi. Abstract SELECTION OF BEST FIT HEIGHT TRANSFORMATION METHOD WITH UNCERTAINTY DATA There are two main techniques for height transformations from ellipsoid heights to orthometric heights or vise versa. These are the interpolation and estimation techniques. While the latter techniques do consider the uncertainties of the common points, the former techniques do not. Generally, to test the transformation results in the interpolation techniques is up to the user expertness in previous papers, not in the estimation techniques. Since the applicants using the estimation techniques benefit from the statically inferences, the best fitting height transformation technique should be chosen from the estimation techniques for inexperienced practitioners definitely. Polynomial and trigonometric functions
2 are frequently used in the local geoid determination. Geomatics engineers generally prefer the polynomial functions rather then the trigonometric ones because of its flexible usage. In this study, height transformation software also based on the polynomial functions is developed in C++. The software can create a mathematical model according to any polynomial degree given by users and solve it automatically. Firstly, the software performs the classical iterative outlier test (only an outlined common point in an adjustment) via a priory variance determined by the user or wanted by National Specifications. After the outlier test, the coefficients of the estimated polynomial height transformation (the local geoid) are tested by using the parameter significant test. The results of the outlier and parameter significant tests in the software can detect whether the polynomial degree is the best for our uncertainty data or not. In this paper, the running steps of the software have given schematically and the software has driven with a real numerical data (Local Geoid of Kocaeli Metropolitan Municipality) in which the common points are distributed in an approximately 50*50 kilo meter square area. As a result, some suggestions are given for the best fit height transformation method by focusing on uncertainty data. Keywords: Height transformations, GNSS leveling, surface interpolation, surface estimation. 1. Giriş Yükseklik dönüşümü ile ilgili pek çok yayına internetten kolayca ulaşılabilir. Bu çalışmaların bir çoğunda enterpolasyon (ara değer hesaplama) ve yüzey kestirim yöntemleri ayrıştırılmamıştır (Yalanak ve Baykal, 2001; Başçifçi ve İnal, 2008; Şentürk ve İnce 2015). Eterpolasyon ve kestirim birbirinden farklı kavramlardır. Enterpolasyonda; verilen ortak (eşlenik) noktalar (Jeoit yükseklikleri) hatasızmış gibi kabul edilirler. Kestirim yöntemlerinde; ortak nokta koordinatlarının hataları dikkate alınır. Enterpolasyon yöntemlerinde; eşlenik noktaların Jeoit yükseklikleri herhangi bir enterpolasyon yöntemi ile tekrar hesaplanırsa, hesaplanan değer verilen değere eşit olur. Kestirim yöntemlerinde hesaplanan düzeltme değerleri, hesaplananla verilen arasındaki farktır. Kestirim yöntemleri denetlenebilir ve yorumlanabilir olduğundan daha güvenilirdir. Sözgelimi; ters uzaklılı ağırlık yöntemi, multikuadratik polinom yöntemi, krinking yöntemi, Lagrange enterpolasyonu vb. yöntemler enterpolasyon yöntemleridir. Bu yöntemler ile kestirilen değerler ile bir yüzey oluşturulduğunda, bu yüzey fonksiyonu kontrol noktalarından geçer. Jeoit yüksekliklerine, polinomsal, trigonometri yada herhangi bir yüzey fonksiyonu uyduruluyorsa, bu tür yöntemler kestirim yöntemleridir. Uygulamada dikkat edilmeyen durumlardan biriside de, verilen ortak nokta kümesini kontrol ve test noktaları olmak üzere iki gruba ayırmaktır (Yalanak ve Baykal, 2001; Erol ve Çelik, 2004; Aslan vd. 2007; Erman ve İnce, 2015). Genellikle YSA ve enterpolayon yöntemlerinde kullanılan bu durum, deneyimsiz uygulayıcıları yanlış sonuçlara ulaşmasına neden olabilir.
3 Kestirim yöntemlerinin her aşamasında istatistik testlerden yararlanıldığı için deneyimsiz uygulayıcıların hata yapma olasılığı oldukça azaltılmış olur (Kurt vd., 2007a; 2007b). Yüzey tanımlayan polinomsal fonksiyonlar lokal Jeoit belirlemede için kullanılan kestirim yöntemlerinde yaygın olarak kullanılmaktadır (Ollikainen, 1997; Yanalak ve Baykal, 2001; Erol ve Çelik, 2004; Kurt vd., 2007a; 2007b; Başçiftçi ve İnal, 2008; Kurt, 2010a; 2010b; Şentürk ve İnce, 2015). Polinomsal yüzey fonksiyonu jeodezik koordinatlar (B,L,h) yada projeksiyon (x,y,h) koordinatlarına göre oluşturulabilir. Her ikisi de benzer sonuçlar üretir (Kurt, 2007; Kurt, 2010a; 2010b). Çalışma alanı büyümeye başlayınca, kestirilen polinomsal yüzey, trend yüzeyi olarak kullanılır ve sonuçları iyileştirmek için ek düzeltme terimleri modele eklenir (Ollikainen, 1997; Kurt vd., 2007a; 2007b; Şentürk ve İnce, 2015). Bu çalışmada, hatalı verilere en iyi uyan polinomsal dönüşüm modeli belirlemeye yarayan bir algoritma verilmiştir (Şekil 1). Şekil 1 de verilen bu algoritma için C++ ortamında bir yazılım geliştirilmiştir. Bu algoritmayı ve yazılımı test etmek için, Kocaeli Büyükşehir Belediyesi (KBB) tarafından yaptırılan Kocaeli İli 1/1000 Ölçekli Sayısal Fotogrametrik Halihazır Harita ve Renkli Ortofoto Harita Üretimi işi için yapılan jeodezik çalışmaları için hazırlanan iki teknik rapordaki veriler kullanılmıştır (Kurt, 2010a; 2010b). Bu veriler üzerinden irdelen teorik yaklaşım ile ilgili olarak genellemelere gidilmiştir. 2. Hatalı Veriler İle En Uygun Yüzey Fonksiyonunun Belirlenmesi En uygun yüzey fonksiyonunun belirlenmesi iki şekilde gerçekleştirilir; 1) Öngörülen Yüzey Polinomunun Katsayılarının Anlamlık testleri yapılır yada 2) En İyi Uyumlu Yüzey Belirleme Yöntemi kullanılır (Kurt vd., 2007a). Her iki yol eşdeğer sonuçlar vermektedir. Bu çalışmada; hatalı verilere için uygulaması kolay olan 1. yöntemin uygulama algoritması Şekil 1 de verilmiştir. İkinci yöntem için Kurt vd. (2007a) kaynağından yararlanabilir. 3. Sayısal Uygulama Kocaeli Büyükşehir Belediyesi (KBB) Kocaeli İli 1/1000 Ölçekli Sayısal Fotogrametrik Halihazır Harita ve Renkli Ortofoto Harita Üretimi işi için ihaleye çıkmış ve ihale Kutubey Harita (Kutlubey Harita İnşaat Mühendislik Sanayi Ticaret Limitet Şirketi ve Çetinkaya İmar İnşaat Mühendislik Müşavirlik Ticaret Limitet Şirketi) tarafından kazanılmıştır. İdare yapılan jeodezik çalışmalar için bu şirketten iki adet Teknik Rapor istemiştir. Teknik Rapor 1; KBB-TGA nın (KBB - Temel GNSS Ağı) kontrolü, ağ nokta koordinatlarının TUTGA ya (Türkiye Ulusal Temel GNSS Ağı) bağlanması ve nokta hızlarının hesaplanmasının denetlenmesini içermektedir (Kurt, 2010a).
4 Veri Girişi n Eşlenik Nokta Sayısı 2 2 2 σ 0 Öncül Varyans (= ± 3 yada ± 5 ) ( X, Y, Z, H ) i, i = 1, 2,..., n ( B, L, h, H ) i yada ( x, y, h, H ) i Polimsal yüzey fonksiyonu d = 4, 5, 6, 7, 8 polinomun derecesi u = g(d) bilinmeyen sayısı a polinom katsayıları x i, y i ötelenmiş koordinatlar hi Hi = Ni = fd ( a, xi, yi ), i = 1, 2,..., n Matematik Model ve Çözümü vi = A ia Ni p i = 1 â, Qa ˆ ve v, Q v 2 T ˆ σ 0 = v v /( n u) Model Testi 2 2 E{ ˆ σ 0 } = σ0 EVET HAYIR Uyuşumsuz Ölçü 2 2 Ti = vi qv / σ i 0 Tmax noktayı çıkar n = n 1 u HAYIR Parametre Testi j = 1, 2,..., u E{ a j } > 0 ise a j anlamlı d = d + 1 8 EVET En Uygun Yüzey Fonksiyonu hi Hi = Ni = fd ( a, xi, yi ) Şekil 1. En uygun yüzey fonksiyonu belirleme algoritması.
5 Teknik Rapor 2; KBB-DKA nın (KBB Düşey Kontrol Ağı) kontrolü, ağ nokta koordinatlarının TUDKA ya (Türkiye Ulusal Düşey Kontrol Ağı) bağlanması ve KBB-LJ (KBB Lokal Jeoidi yada GNSS nivelmanı yüzeyi) belirlenmesinin denetlenmesini kapsamaktadır (Kurt, 2010b). GNSS nivelmanı KBB-DKA ile KBB-TGA yer alan XYZH koordinatları güvenilir olan 1662 noktaya dayalı olarak gerçekleştirilmiştir. Sadece yükseklik bilgisi güvenilir olan 805 adet nokta vardır ve bu noktalar elde edilen polinomsal dönüşüm parametrelerinin güvenirliğini test etmek için kullanılmıştır (Kurt, 2010a; 2010b). Şekil 2. KBB-DKA ile KBB-TGA nda yer alan XYZH koordinatları güvenilir noktalar (Pembe) (p=1662) ve sadece H yükseklik bilgisi güvenilir noktalar (Yeşil) (w=805) Polinomsal yükseklik dönüşümünün en önemli aşaması, Yerel Jeoidi oluşturan en uygun polinomsal yüzeyi bulmaktır. Teknik Rapor 2 de, en uygun polinomsal fonksiyon araştırması, ön görülen polinomsal fonksiyonun katsayılarının anlamlık testlerine göre belirlenmiştir (Şekil 1). En uygun polinomsal yüzeyin belirlenmesi sırasında uyuşumsuz ortak noktaların belirlenmesinde ve polinomsal yüzeyin katsayılarının anlamlık testlerinde; BÖHHBÜY, Madde-42/g de KOH için önerilen σ=±5cm üst sınırı esas alınmıştır. Bu üst sınır, KBBİŞDB-TŞ, Madde-57/g de aynen korunmaktadır.
6 En uygun yüzey fonksiyonun, p=1662 noktanın 2005 epoğuna göre üretilmiş jeodezik koordinatları (Kurt, 2010a) ile nivelman ölçülerinin (Kurt, 2010b) verilen s=52 sabit noktaya göre hesaplanan dengeli ortometrik yüksekliklerle kullanılarak yapılmıştır (Şekil 2). Ortometrik yükseklikleri bilinmeyen noktaların, GNSS nivelmanı tekniği ile ortometrik yüksekliklerinin bulunması sırasında kullanacak olan jeodezik koordinatların 2005 epoğunda olmasına dikkat edilmelidir. GNSS nivelmanı yaparken elipsoit yüksekliklerinin bu datumda ve bu epokta belirlenmesine önem verilmelidir. d=4 c=1387 o=275 u=15 m 0=±4.99cm d=5 c=1516 o=146 u=21 m 0=±4.99cm -10.62cm v k +10.65cm -11.11cm v k +11.10cm (a) (b) d=6 c=1553 o=109 u=28 m 0=±4.99cm d=7 c=1580 o=82 u=36 m 0=±4.98cm -11.76cm v k +11.75cm -12.51cm v k +12.16cm (c) (d)
7 Şekil 3. En uygun yüzey araştırması; uyuşumlu ortak noktalar (pembe), uyuşumsuz noktalar (kırmızı) ve sadece ortometrik yüksekliği güvenilir noktalar. (a) 4. derece polinomsal yüzey, (b) 5. derece polinomsal yüzey, (c) 6. derece polinomsal yüzey, (d) 7. derece polinomsal yüzey, fonksiyonları (k=1,..,c). Kurt vd., (2007) deki çalışmalarında Kocaeli bölgesi için en uygun polinomsal yüzeyin derecesinin d=4-8 arasında seçilebileceğini göstermişlerdir. Bu nedenle d=4-7 arasında yüzeyler seçilmiş her bir polinomsal yüzeyin soncul KOH değeri ±5cm den küçük kalana kadar uyuşumsuz ortak noktalar atılmış (Şekil 3) ve en son kalan ortak noktalar ile elde edilen polinomsal yüzeyin katsayılarının anlamlılıkları test edilmiştir (Kurt, 2010b). Şekil 3 de verilen her bir yüzeyin anlamlılık testlerinde d=4-7 aralığında sadece 6. derece yüzeyin bütün katsayılarının anlamlı olduğu görülmüş ve KBB DKA ile KBB GNS ağlarının çakışan noktalarına en uygun yüzeyin 6. derece polinomsal yüzey olduğuna karar verilmiştir (Şekil 3). Şekil 3 ve Kurt (2010b) den yararlanılarak en uygun polinomsal yüzey belirleme aşamaları Tablo 1 de özetlenmiştir (Tablo 1). σ d u c o 0 [cm] Tablo 1. Ey uygun polinomsal yüzeyin belirlenmesi. v min v max Anlamlı [cm] [cm] Bil.Sayısı 4 15 1387 275 ±5.00 ±4.99 10.62 10.65 14 1 5 21 1516 146 ±5.00 ±4.99 11.11 11.10 20 1 6 28 1553 109 ±5.00 ±4.99 11.76 11.76 28 0 7 36 1580 36 ±5.00 ±4.98 12.51 12.16 35 1 σˆ 0 [cm] Anlamsız Bil.Sayısı Yukarıdaki tabloda özetlenen en uygun yüzey araştırması BÖHHBÜY/Madde-42g de önerilen soncul karesel ortalama hata σ 0=±5cm değerine göre, adım adım uyuşum testi uygulayarak gerçekleştirilmiştir. 4. Sonuç ve Öneriler Hatalı veriler ile lokal Jeoit belirlemede enterpolasyon teknikleri kullanılırsa, kontrol ve test gruplarının belirlenmesi oldukça zaman alıcıdır ve uygulayıcının deneyimine oldukça bağlıdır. Oysa kestirim yöntemlerinde hatalı veriler test edilirken en uygun yüzey fonksiyonu da aynı anda belirlenebilir. Bu grup yöntemler ile elde edilen yüzey fonksiyonlarının, (deneyimli yada deneyimsiz) uygulayıcılar tarafından da kullanılması oldukça kolaydır. Bu çalışmada, güvenilir ve uygulanabilir en uygun yükseklik dönüşümü (polinomsal yüzeyi yada lokal jeoidi) belirleme algoritması sunulmuş ve bu algoritmanın başarısı gerçek bir uygulama üzerinde test edilmiştir.
8 Kaynaklar B., Erol ve R.N., Çelik, (2004). Modeling local GPS/leveling geoid with the assessment of inverse distance weighting and geostatistical Kriging methods, SPRS Archives Volume XXXV Part B4, 2004, XXth ISPRS Congress, Technical Commission IV, July 12-23, 2004, Istanbul, Turkey, http://www.isprs.org/proceedings/xxxv/congress/comm4/papers/319.pdf E. Şentürk ve C.D., İnce (2015), Kocaeli İlinde Yerel Jeoidin Enterpolasyon Yaklaşımıyla Belirlenmesi, TMMOB Harita ve Kadastro Mühendisleri Odası, 15. Türkiye Harita Bilimsel ve Teknik Kurultayı, 25-28 Mart 2015, Ankara. F. Başçiftçi ve C. İnal, (2008). A Calculation Program for Geoid Ondulations Using Orthogonal Plynominals, FIG working Week 2008, Stockholm, Sweden, 14-19 June 2008. M. Ollikainen, (1997). Determination of Ortometric Heigts Using GPS Leveling, Publications of The Finish Geodetic Institute, No:123, Kirkkonummi. O., Kurt, (2007). Temel Koordinat Sistemleri, Ders Notları, Kocaeli Üniversitesi, Harita Mühendisliği Bölümü, Kocaeli. O., Kurt, (2010a). Kocaeli İli 1/1000 Ölçekli Sayısal Fotogrametrik Halihazır Harita ve Renkli Ortofoto Harita Üretimi, Jeodezi Çalışmaları, Teknik Rapor 1, Haziran 2010, Kocaeli. O., Kurt, (2010b). Kocaeli İli 1/1000 Ölçekli Sayısal Fotogrametrik Halihazır Harita ve Renkli Ortofoto Harita Üretimi, Jeodezi Çalışmaları, Teknik Rapor 2, Haziran 2010, Kocaeli. O., Kurt, O., Aslan ve H., Konak (2007a). Polinomsal yükseklik dönüşümü, TMMOB Harita ve Kadastro Mühendisleri Odası, 11. Türkiye Harita Bilimsel ve Teknik Kurultayı, 2-6 Nisan 2007, Ankara. O., Kurt, O., Aslan ve H., Konak (2007b). Double stage semi dynamic Polynomial Surface Fitting For Modelling The Local Geoid, International Earthquake Symposium Kocaeli 2007, s265-274, 22-26 October 2007, Kocaeli. O., Arslan, O., Kurt ve H., Konak (2007c). Yapay Sinir Ağlarının Jeodezide Uygulamaları Üzerine Öneriler, TMMOB Harita ve Kadastro Mühendisleri Odası, 11. Türkiye Harita Bilimsel ve Teknik Kurultayı, 2-6 Nisan 2007, Ankara. Yanalak, M. and Baykal, O, (2001). Transformation of Ellipsoid Heights to Local Leveling Heights, Journal of Surveying Engineering, August. Code::Blocks, (2016). The open source, cross platform, free C, C++ and Fortran IDE, http://www.codeblocks.org/, 05 Ağustos 2016. W.H. Press, S.A., Teukolsky, W.T., Vetterling, and B.P. Flannery, (2002). Numerical Recipes in C, http://www.cambridge.org/tr/academic/subjects/mathematics/numerical-recipes/, 05 Ağustos 2016.