KÜRESEL VE ELİPSOİDAL KOORDİNATLARIN KARŞİLAŞTİRİLMASİ

Transkript

1 KÜRESEL VE ELİPSOİDAL KOORDİNATLARIN KARŞİLAŞTİRİLMASİ Doç. Dr. İsmail Hakkı GÜNEŞ İstanbul Teknik Üniversitesi ÖZET Küresel ve Elipsoidal koordinatların.karşılaştırılması amacı ile bir noktasında astronomik enlem, boylam ve azimut ile ölçülmüş bir üçgen alınarak Gauss küresi üstünde küresel dik koordinatlar ve Gauss koordinatları bulunmuş, küresel dik koordinatlardan küresel coğrafi koordinatlar hesaplanmıştır. Astronomik enlem, boylam ve azimut elipsoid üstünde kabul edilerek diğer noktaların elipsoidal coğrafi koordinatları hesaplanmıştır. Bunlardan elipsoidal Gauss koordinatları elde edilmiştir. Küresel coğrafi koordinatlar ile elipsoidal coğrafi koordinatlar arasında 3".5524 ve küresel Gauss koordinatları ile elipsoidal Gauss koordinatları arasında m'ye varan farklar saptanmıştır. Elipsoidal ve küresel uzay dik koordinatlar arasında m'ye varan farklar bulunmuştur. 1 G1RlŞ Fiziksel yeryüzü üstünde bir üçgen düşünü /müştür. Bu üçgenin bir noktasında elipsoidal enlem, elipsoidal boylam, bir noiktasmdan diğer bir noktasına azimut astronomik olarak, bir 'kenarının-uzunluğu elektronik olarak ve üçgenin açıları saniye teodoliti ile ölçülmüştür. Normal kesit eğrisi ile jeodezik eğri arasındaki açı düzeltmeleri, hedef yüksekliği nedeni ile düzeltmeler ve çekül sapması nedeni ile düzeltmeler uygulanmıştır. 79

2 Ölçülen üçgende fazla ölçüler vardır. Ölçülmüş olan üçgenin açıları şartlı ölçüler yöntemi ile dengelenebilir. Bu dengeleme için hesap yüzeyi olarak; ölçülen enlem değerinin tam derecesinde uluslararası elipsoide teğet olan R = V MN = c/v 2 yarıçaplı Gauss -küresi alınabilir. Uzaklık ölçer ile ölçülen ve ülke ortalama deniz yüzeyine indirgenen uzunluk ve dengelenmiş üçgende, -Küresel Trigonometrinin sinüs bağıntısı veya Legendre teoremi ya da ekleme metodu ile üçgen çözülür. Böylece üçgenin uzunlukları da elde edilir. Küresel ve elipsoidal koordinatların karşılaştırılması amacı ile; 1 Gauss küresi üstünde küresel dik koordinatların ve kü resel Gauss.koordinatların bulunması, küresel dik koordinatlardan küresel coğrafi.koordinatların hesaplanması. II Elipsoidal coğrafi koordinatların bulunması ve elipsoi dal Gauss koordinatlarının hesaplanması. III Küresel coğrafi koordinatlar ile elipsoidal coğrafi ko ordinatlarının karşılaştırılması. IV Küresel Gauss.koordinatları ile elipsoidal Gauss koor dinatlarının karşılaştırılması. V Küresel uzay dik koordinatlar ile koordinatların karşılaştırılmaları. Elipsoidal uzay dik Bu karşılaştırmalar ve araştırma ile koordinatlar arasındaki farkların büyüklükleri sayısal olarak saptanmış olacak ve bîr fikir edinilecektir. 2 JEODEZİDE ÜÇGEN HESABI Yeryüzünde teorik (bir üçgen düşünülmüştür. Üçgenin açıları saniye teodoliti ile ölçülmüştür. Üçgenin bir kenarı elektronik uzaklık ölçer ile ölçülmüş ve ülke ortalama deniz yüzeyine indirgenmiştir. Üçgenin bir noktasında astronomik yöntemle enlem, boylam ve diğer noktaya azimut ölçülmüştür. > 80

3 Üçgenin açıları küresellik fazlalığı ve ölçü hatalarını içermektedir. Ayrıca ülke nirengi ağları üçgenler zinciri veya üçgenler zinciri halkalarından oluşmaktadır. Üçgenler zinciri veya üçgenler zinciri halkaları şartlı ölçüler yöntemi ile önce açılar dengelenir sonra bazlardan ve dengelenmiş açılardan yararlanılarak üçgen kenarları hesaplanabilir. Bu hesaplarda hesap yüzeyi olarak 81

4 82

5 küresel trigonometri eşitlikleri ile küresel coğrafi koordinatlara bağlı olarak küresel dik koordinatlar doğrudan doğruya hesaplanır (AKSOY. A; 1976). 4 KÜRESEL DİK KOORDİNATLARI VERİLEN BİR NOK- TANIN KÜRESEL TRİGONOMETRİ EŞİTLİKLERİ İLE KÜRESEL COĞRAFÎ KOORDİNATLARININ HESABI Bir noktanın küresel dik koordinatları absisi x, ordinatı y'dir. Bir başlangıç noktasının küresel coğrafi enlemi <p o ve küresel coğrafi enlemi X, olarak seçilmiştir. 83

6 Şekil 3.2'de PNPF küresel dik üçgende Neper kuralının uygu lanması ile.'. Küresel trigonometri eşitlikleri ile küresel dik koordinatlara bağlı olarak küresel coğrafi koordinatlar hesaplanır (AKSOY. A; 1976). 5 KÜRESEL DİK KOORDİNATLARDA 1. TEMEL ÖDEV Eğer bir noktanın küresel coğrafi koordinatları belirlennıişse diğer noktaya olan azimut ve uzaklık bilindiğine göre önce küresel coğrafi -koordinatları bilinen noktanın 3.1, 3.2 ve 3.3 eşitlikleri ile küresel <fik koordinatları hesaplanabilir. Belirlenen bu noktadan diğer bir noktaya azimut ve uzaklık biliniyorsa diğer noktanın küresel dik koordinatları hesaplanır. Buna küresel dik koordinatlarda birinci temel adı verilir. Küresel dik koordinatları hesaplanan yeni noktanın küresel coğrafi koordinatları 4.1, 4.2, 4.3 ve 4.4 eşitliklerinden hesaplanabilir. Küresel dik koordinatlarda 1. Temel ödev küresel trigonometri eşitlik ya da seri formülleri ile çözülebilir. Bu amaç için küresel trigonometri eşitlikleri OCAB = AAB ---- ya 84

7 deyimleri 'kullanılır. Küresel dik koordinatlarda 2. temel ödev çözümüne ilişkin seri formülleri (6.4) ve (6.5) formüllerinden elde edilir. Küresel dik koordinatlarda 1. temel ödevle hesaplanan küresel dik koordinatlar kullanılarak (4.1), (4.2), (4.3) ve (4.4) formülleri ile küresel coğrafi koordinatlar bulunur. 85

8 6 C NOKTASININ KÜRESEL DÎK KOORDİNATLARI C noktasının küresel dik koordinatları, A ve B noktalarının küresel dik koordinatları kontrollü bir biçimde hesaplandıktan sonra bu iki noktanın koordinatları sabit alınarak C noktası önden kestirme ile kontrollü bir biçimde hesaplanır. (GÜNEŞ. İ. H; 1976) (Şekil 6.1)'den, 86

9 7 KÜRESEL DİK KOORDİNATLARDAN KÜRESEL GAUSS KOORDİNATLARININ HESABI Küresel dik -koordinatlar x ve y dir. Küresel dik koordinatlar ordinat koruyan bir projeksiyonu, küresel Gauss koordinatlar ise konform (açı koruyan) bir projeksiyonu ifade ederler. Küresel Gauss koordinatları x ve Y 3 y 5 C7.1) 6R 2 24R* deyimleri ile hesaplanır (AKSOY. A; 1976). 87

10 8 KÜRESEL GAUSS KOORDİNATLARINDAN KÜRESEL DİK KOORDİNATLARIN HESABI Y Küresel dik koordinatlar x ve y biliniyorken küresel Gauss koordinatları X ve Y (6.1) den hesaplanabiliyordu. Bu kez X ve Y Gauss koordinatları biliniyorken küresel dik koordinatlar deyimlerinden hesaplanır. Böylece ölçülen bir üçgenin her üç noktasının küresel dik koordinatları ile küresel Gauss koordinatları elde edilmiş olmaktadır. Küresel dik koordinatları bilinen noktaların meridyen yakınsama açıları ve küresel coğrafi koordinatları (4.1), (4.2) ve (4.3) eşitliklerinden hesaplanabilir. 88

11 9 ELÎPSOİD YÜZÜNDE JEODEZİK BİRİNCİ TEMEL ÖDEV Yukarıdaki açıklamalar ile küresel dik koordinatlar ve bunlar ile küresel coğrafi koordinatlar hesaplanmıştır. Burada uluslararası elipsoit yüzünde elipsoidal coğrafi koordinatların hesaplanması söz konusudur. 89