MANYETİK ALAN ALTINDAKİ İKİ BOYUTLU ELEKTRON GAZININ KİMYASAL POTANSİYELİ, ISI SIĞASI VE MANYETİZASYONU Oscillations of Chemical Potential, Magnetizations and Head Capacity Under Magnetic Field of Two-Dimensional Gas Mehtap TEKİN Fizik Anabilim Dalı Berrin ÖZDEMİR Fizik Anabilim Dalı ÖZET Bu çalışmada delta katkılı GaAlAs/GaAs/GaAlAs ve AlGaN/GaN/AlGaN kuyularında oluşan iki boyutlu elektron gazı (2BEG) ele alındı. Bu sistemlere büyütme yönünde ve elektronun serbestçe hareket edebildiği düzleme dik olarak manyetik alan uygulandığı durum çalışıldı. Bu yön, bizim çalışmamızda z yönü ve elektronların serbestçe hareket edebildiği düzlem, x-y düzlemidir. Manyetik alanın etkileri çalışılırken, ilk olarak durum yoğunluğu gözönüne alındı. 2BEG'de sabit olan durum yoğunluğu manyetik alanın varlığında tekil hale dönüşür ve bu tekillik sistemin kusurlarından dolayı değişir. Başka bir deyişle her Landau seviyesi kendi etrafında genişleme gösterir. Bu çalışmada bu genişleme Gaussian tipi olarak ele alınıp durum yoğunluğunun sayısal hesabı yapıldı. Durum yoğunluğunun manyetik alana göre değişiminin sistemin tüm özelliklerinde etkili olduğu görüldü. İlk olarak Fermi enerjisi ele alındı ve değişik elektron yoğunluklarında manyetik alana göre değişimi incelendi. Çalışmamızın devamında manyetizasyon (mıknatıslanma), iç enerjinin manyetik alana göre değişimi olarak ele alındı ve manyetik alana göre değişimi gösterildi. Aynı zamanda iki boyutlu elektron gazının ısı sığası, sistemin iç enerjisinin sıcaklığa göre değişimi olarak ele alındı. Anahtar Kelimeler: 2BEG, Fermi enerjisi, Isı sığası, Mıknatıslanma. ABSTRACT In this study, we have worked out on Two-dimesional electron gas which is formed in delta-doped GaAlAs/GaAs/GaAlAs and AlGaN/GaN/AlGaN quantum well. We assumed that magnetic field is applied on 2DEG in the growth direction (in this study, it is z-direction) which is perpendicular to 2DEG where they move freely in x- y plane. When it is studying the effect of the magnetic field, first of all, density of states (DOS) of the systems is considered. In the absence of magnetic field, 2DEG has a constant DOS but in the presence of magnetic field DOS show delta like singularities (These are Landau levels). Scattering and defects of the system result in expansion of levels. In this study, we consider this expension is Gaussian like. Then we have performed the numerical calculations of DOS for Gaussian type expansion of Landau levels. It is seen that DOS is most important for all properties of 2DEG. At beginning, the behaviour of Fermi energy is examined and calculated Aynı başlıklı Yüksek Lisans tezinden üretilmiştir. - 53 -
for different electron concentrations. In the next step, magnetization is obtained as a change in internal energy with respect to magnetic field B. And also heat capacity of 2DEG is studied as a temperature rate of change of internal energy. KeyWords: 2DEG, Fermi energy, Heat capacity, Magnetization. Giriş Bu çalışmada iki boyutlu elektron gazı (2BEG) ele alınmış ve manyetik alan etkileri araştırılmıştır. 2BEG'de elektron sadece iki yönde serbest bir şekilde hareket ederken, diğer yönde kesikli enerji seviyelerine sahiptir ve bu yönde elektronun hareketi kısıtlanmıştır. İdeal iki boyutlu sistemler normalde teorik bir kavramdır. Çünkü hareketi kısıtlanan parçacığın dalga fonksiyonu üçüncü boyutta genişleyebilir. Eğer elektron tek yönde sonsuz bir kuyu içinde hapsedilmiş ise kuyunun dışında dalga fonksiyonu sıfırdır. Sonsuz kuyu temel bir kavram olmakla birlikte, gerçekte sonsuz bir kuyu yoktur. Sonsuz kuyu tam anlamıyla mümkün değildir, fakat parçacığın hareketi bir potansiyel tarafından kısıtlandığı için sistem iki boyutludur. İki boyutlu sistemler; genelde doğada kendiliğinden var olmayan, fakat teknolojik olarak elde edilen sistemlerdir ve büyütme teknikleri ile elde edilirler. Sadece Grafen büyütme tekniği kullanılmadan Grafitin tek katmanının ayrıştırılması ile elde edilmiş iki boyutlu sistemdir. Bu sistem, band yapısı olarak bizim elde ettiğimiz sistemlerden farklılık gösterir. Biz genel olarak heterosistemlerde oluşan elektron gazı ile çalıştık. Bu çalışmada delta katkılı (J.J. Harris, 1993; E.F. Schubert, 1990) GaAs kuyusu ve polar malzeme olan GaN kuyusunda oluşan elektron gazı ile uğraşacağız. Delta katkılaması, çok dar bir bölge katkılanarak elde edilir. İdeal bir büyütme tekniğinde katkılanan bölgenin kalınlığı, katkılanan malzemenin örgü sabiti ile karşılaştırılabilir mertebededir. Yine ideal bir durum için katkılanan bölgenin kalınlığı serbest elektronun de Broglie dalga boyundan (John R. Taylor, 1996) daha küçük olmalıdır. Elektronun bir potansiyel kuyusunda hareketinin kısıtlanabilmesi için potansiyel kuyusunun genişliği, elektronun dalga boyu mertebesinde veya bu mertebeden daha küçük olmalıdır. Manyetik alanın, 2BEG üzerindeki etkisi ile ilgili en önemli çalışma Klaus Von Klitzing (K. v. Klitzing, G. Dorda ve M. Pepper, 1980) tarafından yapılmıştır ve bu çalışma 1985 yılında Nobel Fizik Ödülü'nü almıştır. Hall etkisi (R. A. Serway, 2008); manyetik alana maruz kalan elektronların, manyetik kuvvetin etkisi ile bulundukları yerden hareket etmesi sonucu bir voltaj farkının oluşmasıdır. Bu çalışmada manyetik alanın varlığında durum yoğunluğu, Fermi enerjisi, ısı sığasının salınımları ele alındı. Bütün salınımların asıl kaynağının durum yoğunluğu olduğu görüldü. İki boyutlu sistemlerin durum yoğunluğu, manyetik alanın yokluğunda sabittir. Fakat 2BEG'e manyetik alan uygulandığında durum yoğunluğu tekillik gösterir (J. P. Eisenstein, 1986). Tekillik sistemin kusurlarından dolayı genişlemeye uğrar, yani her Landau seviyesi kendi etrafında genişleme gösterir. Bu genişleme, bizim çalışmamızda Gaussian tipi olarak ele alınmıştır (G. Bastard, 1990). İki boyutlu elektron gazının tüm özelliklerini durum yoğunluğundaki - 54 -
bu durum belirler. Örneğin Fermi enerjisi, iki Landau seviyesinin tam ortasına denk geldiğinde sistem yalıtkan gibi davranırken, genişlemiş olan Landau seviyesinin tam ortasında olduğunda sistem iletkendir. Bu çalışmada 2BEG na dik olarak manyetik alan uygulandığında sistemin durum yoğunluğu, Fermi enerjisi, ısı sığası ve manyetizasyonu sayısal olarak hesabı yapıldı. Manyetik Alanın Varlığında Serbest Elektronun Davranışı a)bir elektronun manyetik alan içerisindeki klasik davranışı Yüklü bir parçacık, düzgün bir manyetik alan içerisine V hızı ile girdiğinde üzerinde oluşan Lorentz kuvvetinden dolayı merkezi bir kuvvete tabi olur. Bunun sonucunda yüklü parçacık bir yörünge üzerinde hareket etmeye başlar. Yörüngenin biçimi yüklü parçacığın alan içine nasıl girdiğine ve başka alanların olup olmamasına bağlı olarak değişir. Burada önemli olan yüklü parçacığın hareketinin kısıtlanmış olmasıdır. B manyetik alanı içindeki q yüklü bir parçacığa etki eden Lorentz kuvveti F = q(v B) ile verilir. Manyetik alana dik olarak giren bir parçacık için dairesel yörüngenin yarıçapı R, qvb=(mv 2 )/R denkleminden R = mv qb olacağı bulunabilir. Bu yarıçap üzerinde dairesel yörüngede dönen yüklü parçacığın açısal frekansı (siklotron frekansı olarak bilinir) da aşağıdaki şekilde elde edilir. ω = qb m b) Elektronun manyetik alan içerisindeki kauntum mekaniksel davranışı Yüklü parçacıkların manyetik alan içerisindeki hareketini kuantum mekaniksel olarak açıklamaya kalktığımızda sistemin Schrödinger denkleminin çözülmesi gerekir (Karaoğlu, B., 1998). Manyetik alanın varlığında tek bir elektron için Hamiltonyen aşağıdaki şekildedir: İki boyutlu elektron gazında elektronlar (x,y) düzleminde serbestçe hareket ederken, z-yönünde hareketleri kısıtlanmıştır. Bu sisteme z yönünde sabit bir manyetik alan uygulandığını kabul edelim. Manyetik alan B = Bz şeklinde yazılabilir. Bu alana karşılık gelen vektör potansiyeli ise şöyledir: A = Bxj - 55 -
Vektör potansiyeli varlığında yüklü bir parçacığın momentumu aşağıda verildiği şekilde değişir. P P qa Ele aldığımız problemde manyetik alan sadece z yönündedir ve seçtiğimiz vektör potansiyel için momentumun y bileşeni, (-ebx) teriminin momentumun y bileşenine eklenmesiyle elde edilir ve sistemin Hamiltonyeni H = P x 2 2m + 1 2m (P y + ebx) + P 2 z 2m + V(z) olur. Bu Hamiltonyen kullanılarak Schrödinger denklemi [ P x 2 2m + 1 2m (P y + ebx) 2 + P 2 z + V(z)] Ψ(x, y, z) = Eψ(x, y, z) 2m şeklinde yazılır. Bu denklemin çözümü olarak ψ(x, y, z) = 1 L y e ik yy φ(x)χ(z) ile verilen dalga fonksiyonu önerilebilir. Önerdiğimiz dalga fonksiyonunu Shrödinger denkleminde yerine koyduğumuzda x ve z değişkenlerine bağlı kısımlar birbirinden rahatlıkla ayrılır. χ(z) fonksiyonu yukarıda bahsedilen Schrödinger/Poisson denklemlerinin kendi içinde uyumlu hesabından sayısal olarak bulunan z değişkenine bağlı fonksiyondur. Bu denklemin x değişkenine bağlı kısmı aşağıdaki şekilde verilir. [ P z 2 2m + 1 2m (ħk y + ebx) 2 ] φ(x) = (E + E i )φ(x) Ve bu denklemin çözümünden Landau enerji seviyeleri elde edilir. ε n = (n + 1 2 ) ħω Böylece kuyu içinde herhangi bir i enerji seviyesi E i ye karşılık gelen Landau seviyeleri E n = E i + (n + 1 2 ) ħω şeklinde olacaktır. Burada i indisi kuyu içindeki seviyeleri, n indisi Landau seviyelerini göstermektedir. Dolu olan alt bant sayısı kuyunun derinliğine ve - 56 -
elektron yoğunluğuna bağlı olarak değişecektir. Manyetik alanın varlığında durum yoğunluğu, her bir alt banda karşılık gelen durum yoğunluklarının toplamı olarak M D(E) = D i (E) şeklinde yazılabilir. Burada M sistemdeki alt enerji bandı sayısıdır ve D i (E) her alt enerji bandına ilişen Landau seviyelerine karşılık gelen durum yoğunluklarının toplamıdır ve D i (E) = 1 2πλ 2 δ(e E n) n ile verilir. Burada λ manyetik uzunluktur. Sistemdeki kusurlardan ve fonon saçılmalarından dolayı durum yoğunluğu tekillikten ziyade Gaussian tipi genişleme gösterir. Böylece durumu yoğunluğu D i (E), D i (E) = 1 2πλ 2 1 n i 2πΓ şeklinde ifade edilebilir (Bastard, G., 1990). e (E E n )2 2Γ 2 Isı Sığası ve Manyetizasyon Bir sistemin genel olarak herhangi bir sıcaklıktaki toplam iç enerjisi sıcaklıkla değişir ve bu değişimin oranı sabit hacim altındaki ısı sığası olarak tanımlanır. Bu çalışmada gözönüne alınan iki boyutlu elektron gazı için ısı sığası (Li ve ark., 1989) Elektron gazının manyetizasyonu ise M = k B T dd i(e) db log(1 + e(e μ k BT ) )de n İfadesinden sayısal olarak hesaplanabilir. (Eisenstein, J.P., 1985) Araştırma Bulguları Çalışmamızda iki farklı sistemde oluşan elektron gazını incelendi. Bunlardan bir tanesi AlGaN/GaN/AlGaN kuyusunda polarizasyon yükleri sonucu oluşan kuantum kuyusu, diğeri GaAs'ın delta katkılaması sonucu oluşan potansiyel kuyusudur. Burada 2BEG için tek fark elektronun kendisi ile ilgili parametrelerdir. Bu parametreler: Elektronun etkin kütlesi, sistemin dielektrik sabitleri, kuyu genişliği ve derinliğidir. Bu sistemlere dik olarak manyetik alan uyguladığında ilk olarak ortaya çıkan durum, durum yoğunluğundaki değişikliktir. Durum yoğunluğu: Birim enerjiye - 57 -
düşen durum sayısıdır. Manyetik alanın yokluğunda, iki boyutlu sistemler için durum yoğunluğu sabittir. Bu sabit değer m π ħ 2 dir. Manyetik alanın varlığında durum yoğunluğu tekil hale gelir ve sadece Landau enerji seviyeleri etrafında pik yapar. Bu durum sitemin bütün değerlerinin salınımına neden olur. Çünkü Landau seviyeleri arasında durum yoğunluğu genel olarak sıfırdır. Landau seviyelerinin tekilliği, zamanla Landau seviyelerinin genişlemesinden dolayı bozulur. Fonon saçılmaları, safsızlıklar ve sistemin kusurları Landau seviyelerinin kendi etrafında genişlemesine sebep olur. Bu genişleme Gaussian tipi genişlemedir. Şekil.1.'de x=0.10 için Fermi enerjisinin salınımı görülmektedir. Manyetik alanın düşük değerlerinde salınım hızlı ve salınımın genliği düşüktür. Çünkü düşük manyetik alan değerlerinde dolu Landau seviyesi daha fazladır. Her Landau seviyesinin ne kadar dejenere olduğu (kaç durum içerebileceği) manyetik alanla doğru orantılı olduğundan düşük manyetik alan değerlerinde bir Landau seviyesinin alabileceği durum sayısı yüksek manyetik alanlara göre daha azdır. Manyetik alan arttıkça salınımın genliği artarken salınım sayısı azalır. Yüksek manyetik alan değerlerinde sistemdeki tüm elektronlar sadece bir Landau seviyesine sığabileceğinden, böyle bir durumda genlik yüksek olur. Her Landau seviyesi kendi içinde dejenere olduğu için alan arttıkça Landau seviyelerinin dejenerasyonu ve alabilecekleri durum sayısı artmaktadır. Böylece üst seviyelerdeki elektronlar bir alt seviyedeki Landau seviyesi dolana kadar alt seviyelere taşınmaktadır. Eğer alt seviyede yeterince yer var ise üst seviyedeki Landau seviyesi tamamen boşalmaktadır. Böylece manyetik alanın değişimi ile birlikte Fermi enerjisi değişecek ve salınımlar ortaya çıkacaktır. İki boyutlu elektron gazının elektron yoğunluğu arttığında Fermi enerjisi salınımı için periyodik yapı bozulmaya başlamıştır. Bu durum Şekil.2. te verilmiştir. Elektronun orbital hareketi sonucu oluşan manyetik momentlerinin, iki boyutlu sistemler için birim alan, üç boyutlu sistemler için birim hacim başına düşen sayısına manyetizasyon denir. Bir sistemde mıknatıslanma fiziksel olarak iç enerjinin birim alana düşen değişim oranıdır. Manyetizasyonun değerinin uygulanan manyetik alana göre değişimi Landau seviyeleri ile bağlantılıdır ve bu değişim Şekil.3 te gösterilmiştir. Manyetik alan arttığında, elektronların orbital hareketinin yarıçapı küçülür. Buna bağlı olarak elektronlar bir alt seviyedeki Landau seviyelerine geçebilirler. Her Landau seviyesi sistemin dejenerasyon mertebesi kadar enerji seviyesi içerir. Manyetik alan arttıkça bu dejenerasyon seviyesi artacağından bir Landau seviyesinin alabileceği elektron sayısı da artacaktır. Böylece, elektron sayısına bağlı olarak manyetizasyonun değeri değişecektir. Şekil.3 ve Şekil.4'de manyetizasyonun manyetik alan ve doluluk oranına göre değişimi gösterilmiştir. Doluluk oranı, dolu olan Landau seviyelerinin sayısıdır. Isı sığasının manyetik alana göre değişimi Şekil.6 de verilmiştir. Görüldüğü gibi, ısı sığası manyetik alanla birlikte değişmekte ve periyodik bir davranış göstermektedir. Elektron yoğunluğu çok çok arttığında bu periyodik davranış bozulmaktadır. - 58 -
Şekil.1. AlGaN/GaN/AlGaN kuantum kuyusunda oluşan elektron gazının manyetik alana göre Fermi enerjisi salınımı ve n=1,2,3 için Landau enerji seviyeleri. Alüminyum katkı oranı x=0.10 dur. Şekil.2. AlGaN/GaN/AlGaN kuantum kuyusunda oluşan elektron gazının manyetik alana göre Fermi enerjisi salınımı ve n=1,2,3 için Landau enerji seviyeleri. Alüminyum katkı oranı x=0.50 dir. - 59 -
Şekil.3. AlGaN/GaN/AlGaN kuantum kuyusunda oluşan elektron gazının manyetik alana göre mıknatıslanmanın salınımı. Alüminyum katkı oranı x=0.10 dur. Şekil.4. AlGaN/GaN/AlGaN kuantum kuyusunda oluşan elektron gazının doluluk oranına göre mıknatıslanmanın salınımı. Alüminyum katkı oranı x=0.10 dur. - 60 -
Şekil.5. AlGaN/GaN/AlGaN kuantum kuyusunda oluşan elektron gazının manyetik alana göre ısı sığasının salınımı. Alüminyum katkı oranı x=0.10 dur. Şekil.6. AlGaN/GaN/AlGaN kuantum kuyusunda oluşan elektron gazının manyetik alana göre ısı sığasının salınımı. Alüminyum katkı oranı x=0.40 dur. - 61 -
Tartışma ve Sonuçlar Manyetik alanın varlığında düşük boyutlu ve üç boyutlu sistemlerde yüklü parçacıkların hareketi kısıtlanır ve Landau seviyeleri ortaya çıkar. Özellikle iki boyutlu sistemlerde manyetik alanın varlığında sistemin elektronik özellikleri salınım yapmaya başlar. Düşük manyetik alanlarda Landau seviyeleri arası enerji farkı az olduğundan salınım periyotları pek belli değildir. Yüksek alanlarda Landau enerji seviyeleri arasındaki fark çok arttığından salınım periyotları net hale gelir. Fakat elektron yoğunluğu çok çok arttığında manyetizasyon ve ısı sığasının manyetik alan ile birlikte salınım periyotları bozulur. Bu durumun asıl belirleyicisi manyetik alanla birlikte değişim gösteren durum yoğunluğudur. Kaynaklar EISENTEIN, J. P., STORMER, H. L., NARAYANAMURTI, V., CHO, A. Y., GROSSARD, A. C., Tu, C. W., 1985. Density of States and de Haas-van Alphen Effect in Two-Dimensional Electron Systems. Physical Review Letters. 55, 8, (875-878) HARRIS, J. J., 1993. Delta-doping Of Semiconductors. Journal of Materials Science: Materials in Elektronics, (4), (93-105). KARAOĞLU,B., 1998. Kuantum Mekaniğine Giriş. Güven Yayın, İstanbul, 245s. KLITZING, K. V., DORDA, G., PEPPER, M., 1980. New method for high-accuracy Determination of the Fine-Structure Constant Based On Quantized Hall Resistance. Physical Review Letters. Volume 45, No 3, (494-497). SCHUBERT, E. F., STARK, J. B., ULLIRCH, B., 1985. Spatial Localization Of Impurities in $\delta$-doped GaAs. Appl. Phys Lett. 52, 1508. SERWAY, R. A., BEICHNER, R. J., 2008. Fen ve Mühendislik İçin Fizik (K. ÇOLAKOĞLU editör). Palme Yayıncılık, Ankara, 802s TAYLOR, J. R., ZAFARRITOS, C. D., 1996. Fizik ve Mühendislikte Modern Fizik. Arte Güven Yayıncılık, 109s. - 62 -