1. BASİT FAİZ 1. Faiz Hesapları 1.1 Basit Faiz 1.1.1 İki tarih arasındaki zaman 1.1.2 Paranın Zaman Değeri 1.2 Denk ödemeler için odak noktası 1.2.1 Taksitli Ödemeler 1.3 Basit İskonto 1.3.1 İskonto oranına denk faiz oranı 1.4 Senetler (Tahvil ve Bono) Finansal Matematik 1
1. Faiz Hesapları Kapital olarak bir ana paranın belli bir süre ile başkası tarafından kullanılması karşılığı, kapital sahibine ödenen kira gibi düşünülebilir. Faizi etkileyen faktörler; C : Kapital veya anapara miktarı (Capital) C 0 : Anaparanın şimdiki değeri C n : Anaparanın n dönem sonraki veya birikmiş değ eri (n. devre sonu) I : Anaparadan elde edilen faiz miktarır (Interest) r : Yıllık faiz yüzdesi (interest rate) t : Ana paranın faiz için kullanılma süresi (time) Kapitalin tüm devreler boyunca sabit tutulup tutulmaması bakımından iki metod vardır, Basit faiz Bileşik faiz Diğer taraftan, faiz miktarının devre başında veya devre sonunda kapital sahibinin eline geçmesi bakımından da iki metod vardır, Devre başı ele geçen faiz, (difere faiz) Devre sonu ele geçen faiz, (antisipe faiz) Bu iki sınıflama göz önüne alınırsa, faiz hesaplamalarında 4 farklı metod olduğu görülür. Bunların dışında, basit faiz hesaplamasında yılın 360 veya 365 gün olarak ele alınması bakımından, normal (pratik) pratik yıl veya tam (gerçek) yıl faiz olmak üzere iki çeşit faiz süresi kullanılır. Teorik faiz : Basit faiz hesaplamalarında, kapitalin süre sonunda, ancak faiz tutarının devre sonlarında ödenmesi halidir. 1 2 n-2 n-1 n C 0 C 0+I C 0+I C 0+I C 0+I C 0+I Süre sonu zaman/devre C 0 : devre başı kapital C n : n. devre sonu kapital C 0 anaparasının belli bir zaman sonra C n toplamına erişmiş ise elde edilen faiz I = C n C 0 Finansal Matematik formülü ile hesaplanır. 2
1.1. Basit Faiz Bir C 0 anaparasından bir yıl sonra I faiz elde edilmiş ise, bu işlemde geçerli olan yıllık basıi faiz oranı r = I/C 0 dır. bir yıllık basit faiz tutarı I = C 0. r olur. Faiz işleyen zaman yıl yerine, yıllar, aylar veya günler olduğ unda basit faiz hesabında, t yıl cinsinden zamanı göstermek üzere, bir C 0 anaparası üzerinden yıllık r basit faiz oranından t yılda elde edilecek basit faiz I = C 0.r.t (t = yıl sayısı) t= 1,2, veya t=ay sayısı/12 veya t=gün/360(veya365) formülleri kullanılır. C n = C 0 + I = C 0 + C 0.r.t = C 0.(1 + r.t) (1 + r.t) çarpanına basit faizde birikme çarpanıdır. C 0 = C n.(1 + r.t) 1 (1 + r.t) 1 çarpanına basit faizde iskonto (=indirim) çarpanı denir. Bu durumda C 0 değ erine, C n nin r oranından t yıl için iskontolu veya şimdiki değ eri denir. NOT : t zamanı daima yıl cinsinden olmalıdır. Eğ er zaman ay olarak verilmişse t = ay sayısı/12 t i = i/12 olarak belirlenir. Eğ er zaman gün olarak verilmişse tam ve basit olmak üzere iki basit faiz hesabı yapılır: 1) Tam yıl Basit Faiz t = gün sayısı /365 alınır 2) Normal yıl Basit Faiz: t = gün sayısı / 360 alınır Uygulamada, Mevduat faizi 365 gün kredi faizi 360 gün üzerinden hesaplanır. Ayrıca kredide çekilen tutara aynı gün yatan tutara bir sonraki iş günü valör verilir. Bunun mantığı da paranın kullanımı ile ilgilidir, yani paranın kullanıma bir gün sonra hazır olması ile ilgilidir. Örnek 2000 TL için % 5 ten 50 günlük tam yıl ve normal yıl basit faizi bulunuz. C 0 = 2000 TL r = 0,05 Tam yıl basit faiz : t= 50/365 I = C 0 r t = 2000.(0,05). 50/365 = 13,70 TL Normal yıl basit faiz : t= 50/360 I = C 0 r t = 2000.(0,05).50/360 = 13,89 TL Finansal Matematik 3
1.1.1. İki Tarih Arasındaki Zaman Verilen belirli iki tarih arasında tam ve yaklaşık olmak üzere iki zaman hesabı yapılır: 1) Tam Zaman: Bir takvim yardımıyla günlerin sayısı tam olarak sayılır. (Uyarı: Verilen başlangıç ve bitiş tarihlerinden yalnızca biri toplama dahil edilir, ikisi birden dahil edilmez) 2) Yaklaşık Zaman: Her bir ayın 30 gün olduğ u kabul edilir. Örnek. 20 Haziran 2017 ile 24 Ağ ustos 2017 arasındaki tam ve yaklaşık zamanı bulunuz. tam zaman: 10 gün Hazirandan + 31 gün Temmuzdan + 24 gün Ağ ustostan. Toplam: 10+31+24=65 gün 2017 : 8 : 24 yaklaşık zaman= - 2017 : 6 : 20 2 ay 4 gün= 2.30+4=64 gün. 0 : 2 : 4 Örnek. 20 Nisan 2017 de bankaya % 6 faiz oranıyla yatırılan 2000 TL nin 1 Temmuz 2017 tarihinde getirdiğ i tam ve normal faizi a) tam zaman b) yaklaşık zaman kullanarak hesaplayınız. tam zaman= 10 gün Nisandan + 31 Mayıstan + 30 Hazirandan + 1 Temmuzdan= 72 gün 2012 : 7 : 1 yaklaşık zaman= - 2012 : 4 : 20 2 ay 21 gün= 2(30)+21=71 gün. 0 : 2 : 11 a) Tam Zaman ve Tam Faiz I = 2000.(0,06).(72/365) = 23,67 TL Tam Zaman ve Normal Faiz I = 2000.(0,06).(72/360) = 24,00 TL b) Yaklaşık Zaman ve Tam Faiz I = 2000.(0,06).(71/365) = 23,34 TL Yaklaşık Zaman ve Normal Faiz I = 2000.(0,06).(71/360) = 23,67 TL Uyarı: Aksi belirtilmedilçe Tam zaman ve normal faiz (Banker Kuralı) ile hesap yapılacaktır. Finansal Matematik 4
1.1.2. Basit Faizde Paranın Zaman Değ eri I C 0(1+rt) -1 C 0 C n(1+rt) geçmiş zaman şimdiki zaman gelecek zaman t yıl t yıl Örnek t=9 ayda r=% 6 basit faiz ile C n = 1500 TL olacak bir birikimin şimdiki değ eri (C 0) nedir? t 9 = 9/12 C 0 = C n.(1 + rt) 1 =1500./[1+0,06.(9/12)] -1 =1435,41 TL Finansal Matematik 5
1.2. Denk Ödemeler için Odak Noktası Paranın değ erinin hesaplanacağ ı zamana, zaman şemasında odak noktası denir. Örnek. Bir tüketicinin aldığ ı borcu ödemesi için iki seçeneğ i var olsun. Birinci seçenek: 5 ay sonra 2000 TL ve 10 ay sonra 3000 TL ödemek, İkinci seçenek: 3 ay sonra C 3 = X TL ve 6 ay sonra C 6 = 2X TL ödemek. Her iki seçenek de birbirine denk ve paranın değ eri (enflasyon, faiz vs.) % 12 ise X değ erini odak noktalarını 6.ay ve 3.ay alarak bulup, sonuçları karşılaştırınız. Odak noktası 3.ay olarak alınırsa: C 3 = X C 5=2000 C 6 = 2X C 10=3000 C 5(1+rt 5-3) -1 + C 10(1+rt 10-3) -1 = X + 2X(1+rt 6-3) -1 2000.[1 + 0, 12.(5-3)/12] 1 + 3000[1 + 0, 12.(10-3)/12] 1 = X + 2X[1 + 0, 12.(3/12)] 1 1960, 78 + 2803, 74 = X + 1, 9417476.X = 4764, 52 = 2, 9417476.X = X = 1619, 62 TL Odak noktası 6. ay olarak alınırsa : C 5(1+rt 6-5) + C 10(1+rt 10-6) -1 = X(1+rt 6-3) + 2X 2000[1 + 0, 12.(6-5)/12] + 3000(1 + 0, 12.(10-6)/12] -1 = X[1 + 0, 12.(3/12)] + 2X 2020 + 2884, 62 = 1, 03X + 2X X = 1618, 69 TL Dikkat edilirse, odak noktası 3.ay olduğ unda X = 1619, 62 TL, 6.ay olduğ unda X = 1618, 69 TL bulunmuştur. Yani farklı değ erler bulunmuştur. Ş u halde basit faizde odak noktası değ işince hesaplanan değ erler farkılılık gösterebilir, ancak ileride göreceğ imiz gibi bileşik faizde odak noktasının önemi yoktur. Bu nedenle basit faiz ile yapılan finansal işlemlerde odak noktası önceden bellidir. 6 Finansal Matematik
1.2.1. Taksitli Ödemeler 1) Tüccar Kuralı: Tüm taksitler ve ana borç, borcun bitim tarihine faizlenir (odaklanır). 2) Banka (Amerikan) Kuralı: Her taksitten sonra ödenmemiş geriye kalan kısım bir sonraki taksit zamanına faizlenir. Eğ er o taksidin bedeli hesaplanan faizden çok ise ödeme yapılır ve geriye kalan kısım bir sonraki taksit zamanına faizlenir, eğ er o taksidin bedeli hesaplanan faizden az ise o taksit ödenmez ve o ödeme bir sonraki taksit ile birlikte hesaba katılır. Örnek Bir tüketici 15.1.2011 de % 16 dan 1000 TL borç aldı. 12.4.2011 de 350 TL, 10.8.2011 de 20 TL ve 3.10.2011 de 400 TL ödedi. 1.12.2011 de borcu kapatmak için ödeyeceğ i bedeli a) Tüccar Kuralı b) Banka ( Amerikan) Kuralı ile hesaplayınız. a) Tüccar Kuralı: X + 400.[1 + 0, 16.(59/360)] + 20.[1 + 0, 16.(113/360 )] + 350.[1 + 0, 16.(233/360)] = 1000.[1+0.16.(320/360 )] 1142, 22 = X + 410, 49 + 21, 00 + 386, 24 X = 324, 49 TL. b) Banka (Amerikan) Kuralı: 1000 TL için 87 günlük faiz: 1000. 0, 16. (87/360) = 38, 67 TL 12.4.2011 deki toplam borç: 1000 + 38, 67 = 1038, 67 TL 12.4.2011 de 350 TL lik ilk taksit ödenince kalan borç: 688, 67 TL 688, 674 TL için 120 günlük faiz: 688, 67.(0, 16). (120/360) = 36, 73 TL, taksit ise 20 TL, 20 < 36.73 olduğ undan 20 TL lik taksit ödenmez, sonraki taksite katılır. 688,67 TL için 174 günlük faiz: 688, 67.(0, 16). (174/360) = 53, 26 TL 3.10.2011 deki toplam borç: 688, 67 + 53, 26 = 741, 93 TL, 400 + 20 = 420 TL ödenince geriye kalan borç: 321, 93 TL 1.12.2011 deki borç X = 321, 93.[1 + 0, 16 (59/360 )] = 330, 37 TL. Finansal Matematik 7
1.3. Basit Iskonto Borçlanma işlemelerinin çoğ u paranın şimdiki değ erinden çok gelecekteki değ eri dikkate alınarak yapılır. Gelecekteki bir C n değ eri üzerinde t yılda d iskonto oranından yapılan D basit iskontosu (ya da banka iskantosu) D = C n.d.t formülü ile hesaplanır. D : Basit iskonto değ eri,(discount) C n : Birikmiş değ er veya gelecekteki değ er veya vade değ eri, d : Basit iskonto oranı, (discount rate) t : Zaman. Alınan borcun şimdiki C 0 değ eri, borcun gelecekteki C n değ eri ile yapılan iskonto olan D değ eri arasındaki fark olduğ una göre borcun şimdiki değ eri ya da diğ er bir deyişle C n nin iskontolu değ eri aşağ ıdaki formül ile hesaplanır: C 0 = C n D = C n (C n d t) = C n(1 dt) C 0 = C n(1 dt). Dikkat edilirse C n C 0 farkına hem I faizi hem de D iskontosu olarak bakmak mümkündür. Bu durumun karışıklık yaratmaması için faizin şimdiki C 0 değ eri üzerinden hesaplandığ ını, iskontonun ise gelecekteki C n değ eri üzerinden hesaplandığ ını unutmamak gerekir. 1.3.1. İskonto Oranına Denk Faiz Oranı Örnek. Bir yıl sonra ödenecek 1000 TL nin şimdiki değ erini a) % 12,5 basit faiz oranından b) % 12,5 basit iskonto oranından heaplayınız. a) r = %12, 5, C n = 1000 TL, t = 1 C 0 = C n(1 + rt) 1 = 1000(1 + 0, 125.1) 1 = 888, 89 TL b) d = %12, 5, C n = 1000 TL, t = 1 C 0= C n (1 dt) = 1000(1 0, 125.1) = 875 TL Açıklama : 0 n r = %12,5 C 0 = 87,5 C n=c 0 (1 + rt)=c 0+rtC 0 r değeri C 0 ın %si d = %12,5 C 0= C n (1 - dt) = C n-dtc n =888,89 d değeri C n in %si Bir malın kdv siz değerinden kdv li değerini hesaplamaktaki oran ile kdv li değerinden kdv siz değerini hesaplamaktaki oran farkı gibi.
Yukarıdaki örnekten anlaşılacağ ı üzere aynı oranlardan hesaplanan şimdiki değ erler arasında fark vardır, iskonto oranı ile hesaplanan değ er faiz oranı ile hesaplanan değ erden daha azdır. Bu durumda basit iskonto oranına denk olan basit faiz oranının bulunması karşılaştırma yapmak açısından faydalı olacaktır. Elimizdeki C n = C 0 (1 dt) 1 ve C n = C 0 (1 + rt) formüllerinden yararlanarak, basit faizin oranının r olduğ u bir durumda t yıl için buna karşılık gelen d basit iskonto oranı: 1 1 dt = 1 + rt d = r 1+ rt bulunur, benzer biçimde basit iskonto oranının d olduğ u bir durumda t yıl için buna karşılık gelen r basit faiz oranı: bulunur. 1 1 dt = 1 + rt r = d 1 dt Örnek. 5 ay sonra ödenecek 1000 TL nin % 12 basit faiz oranından bugünkü değ erini, basit iskontoyu ve basit iskonto oranını bulunuz. C n = 1000 TL, r = 0, 12, t = 5/12 C 0 = C n.(1 + rt) 1 = 1000.[1+0,12(5/12)] -1 = 952,38 D = C n C 0= 1000 952, 38 = 47, 62 TL D = C n d t d = D/(C nt)=47,62/[1000.(5/12)] = 0, 114288 %11, 43 ya da d = r 1 + rt 0, 12 = 1 + 0, 12.( 5/12) = 0,114285 %11, 43
Örnek. Bir banka kısa süreli borçlanmalarda d = 0, 11 basit iskonto oranından borç vermektedir. Buna göre a.) 90 gün için 900 TL, b.) 3.5.2012 den 15.10.2012 ye kadar 1500 TL isteyen bir müşteriye banka ne kadarlık ödeme yapar? a) C n = 900 TL, d = 0, 11, t = 90 C 0 = C n(1 dt) = 900.(1 0, 11. 90 ) = 875, 25 TL 360 b) Verilen iki tarih arasındaki günlerin sayısı May Haz Tem Ağ u Eyl Ekim 28 +30 +31 +31 +30 +15 =165 gün C n = 1500 TL, d = 0, 11, t = 165 C 0 = C n(1 dt) = 1500(1 0, 11. 165 ) = 1424, 38 TL 360 360
1.3. Senetler (Tahvil ve Bono) Borçlu tarafından belli bir miktar paranın faizli ya da faizsiz belirli bir tarihte (=vade tarihi) borç veren kişiye ya da belli birinin emrine ödenmek üzere hazırlanmış ve borçlu tarafından imzalanmış kıymetli evraklara senet ya da bono denilir. Örnek. A, B den 1500 TL borç alsın ve bunun karşılığ ında B ye bu parayı 90 gün sonra %8 basit faizden ödeyeceğ ine dair 11.5.2017 de bir senet imzalasın. a) Bu senedin üzerinde yazılı olan vade değ eri nedir? b) B, 2.7.2017 de (vadesinden önce) bu senedi bir bankaya %9 banka iskontosu ile satsa (kırdırsa) ne kadar para alır? B nın bu işlemler sonucunda yaptığ ı yatırımdan elde ettiğ i faiz oranı nedir? Eğ er banka senedi, vade sonuna kadar elinde tutarsa yaptığ ı yatırımın faiz oranı ne olur? a) C 0 = 1500 TL, t = 90, r = 0, 08 C n= C 0 (1 + rt) = 1500.(1 + 0.08. 90 ) =1530 TL 360 b) C0 = C n(1 dt) = 1530.(1 0.09.(38/360) ) = 1515, 46 TL I = 1515, 46 1500 = 15, 46 TL, I = C 0 r t r = I = 15,46 C 0.t 11500(52/360) %7, 14 Banka senedi 1515,46 TL ye aldı, yani banka için C 0 = 1515, 46 TL ve senedin vade değ eri C n = 1530 TL olur. Bu durumda I = C n C 0 = 1530 1515, 46 = 14, 54 TL olup ilgili faiz oranı r=i/c 0t = 14,54/[1515,46/(38/360)] %9.09 olarak bulunur.
Tahviller ve Bonolar Devlet veya özel sektör (anonim şirket) tarafından ödünç para bulmak amacıyla, vadesi bir yıldan kısa olarak çıkarılan ve iskontolu olarak işlem gören borçlanma senetlerine Hazine Bonosu veya Özel Sektör Bonosu denilmektedir. Eğ er vade 1 yıl veya daha uzun olursa bu durumda bu senetler Devlet Tahvili veya Özel Sektör Tahvili olarak adlandırılırlar. Tahviller, vadeleri en az 1 yıl olmak koşulu ile serbestçe belirlenebilir ve sabit ya da değ işken faizli olarak ihraç edilebilirler. Genellikle bir veya birkaç aracı kuruluştan oluşan bir konsorsiyum aracılığ ıyla satışa sunulurlar. Borçlu olan devlet ya da özel sektör senet sahiplerine kupon ödeme tarihlerinde ve vade sonunda borçlu olduğu tutarı öder. Bu senetler vadeleri süresince ikincil piyasalarda alınıp satılabilirler. Örnek. Bir banka ihraç ettiğ i 1.000.000 TL lik bir bonoya 91 gün için 968,230 TL teklif vermektedir. Eğ er verilen fiyat teklifi kabul edilirse bankanın uyguladığ ı c) Basit iskonto oranını, d) Basit faiz oranını bulunuz. a) C n = 1000000 TL, t =91/360, C 0 = 968,230 TL D = C n C 0 = 1,000,000 968,230 = 31,770 TL D=C n.d t d = D/(C n t)=31770/(1.000.000(91/360))=0, 125683516 %12, 57 b) r = d/(1-dt)=0,125683516/[1-0,125683516x(91/360)]=0,12981 %12, 98 ya da I = C n C 0 = 31770 TL r = I/(C 0 t) = 31770/(968230(91/360))=0,129807501 %12, 98
Özet Basit Faiz I = C 0.r.t I = C n C 0 C n = C 0 + I C n= C 0 + C 0.r.t Biriktirme çarpanı Basit İskonto C n = C 0.(1 + r.t) C 0 = C n.(1 + r.t) 1 (1 + r.t) D = C n.d.t İskonto oranına denk faiz oranı 1/(1-dt) = (1 + rt) d= r/(1+rt) r=d/(1-dt)
Alıştırmalar %10 basit iskonto oranından 3 ay sonra ödenecek olan 1500 TL lik borcun iskonto- sunu ve şimdiki değ erini hesaplayınız. %10,5 iskonto oranından 120 gün için 568,30 TL üzerindeki iskontoyu ve şimdiki değ eri bulunuz. Bir kişi borç verdiğ i 6 ay için %12 oranında faiz elde etmek istiyor, bu kişi borç verirken hangi iskonto oranını kullanmalıdır? 15 Kasım 1992 tarihinde Epsilon Yazılım Ş irketi nin elinde 1200 TL lik bir senet vardır. Senedin vade tarihi 15 Mayıs 1993 ve geçerli faiz oranı %16 olsun. Eğ er Epsilon Yazılım Ş irketi bu senedi 30 Ocak 1993 tarihinde bir bankaya %15 iskonto ile satarsa, bankadan alacağ ı para ne kadar olur? Bir kişi ya %12,25 faiz oranından ya da %12 iskonto oranından borç almak zo- runda ise hangisini tercih etmelidir? 72 günlük 10000 TL lik bir senet 12 gün sonra %9 iskonto ile yine 10000 TL ye satılmış ise senetin işlem gördüğ ü faiz oranı nedir? 2000 yılında 6700 TL yi % 8 den bankaya yatıran bir kişi, 2057 yılında parasını çekerse bu yatırımdan elde edeceğ i faiz mikatını ve parasının birikmiş değerini bulunuz. Cep telefonu almak isteyen bir alıcıya, satıcı ya peşin 1000 TL ya da 6 ay sonra 1050 TL ödeme seçeneğ i sunmuş olsun, paranın değ erinin % 6 olduğ u biliniyorsa, alıcı hangi seçeneğ i tercih etmelidir, neden? % 12,5 den aldığ ınız 100 TL borcun 200 TL değ erine erişmesi ne kadar zaman alır? Paranın değ erinin % 10 olduğ u bir zaman diliminde, 6 ay sonra 25000 TL ve 1 yıl sonra 20000 TL gelir getirecek olan 40000 TL ye satın alınmış şimdiki değ eri nedir? bir yatırımın Ahmet Bey 9 ay sonra ödenmek üzere Osman Bey den % 15 oranından 2000 TL lik senet almış ancak 3 ay sonra bu senedi Murat Bey e satmış olsun. Murat Bey
bu alışverişten % 18 oranından gelir elde etmeyi beklediğ ine göre, Ahmet Bey bu senedi Murat Bey e kaça satmıştır? A şirketinin 15 Ocak 1997 tarihinde B şirketine 3000 TL borcu var olsun. A şirketi 15 Nisan 1997 de 1000 TL ve 15 Ekim 1997 de 1500 TL borç ödemesi yapmış ise 15 Ocak 1998 tarihinde B şirketine ne kadarlık bir ödeme yaparsa borcunu ka- patmış olur? Sonucu a) Tüccar Kuralı, b) Amerikan Kuralı kullanarak ve geçerli faiz oranını % 16 alarak hesaplayınız.