) Fuksiı iti.sğ və sol itlər Təri. Solu və A ədədləri və istəilə ε > ədədi üçü elə δ > ədədi vr ki, -i X çoluğud götürülmüş və < < δ ərərsiliii ödəə ütü qimətləridə А < ε uksisıı iti deilir və А müsiəti ödəir. Od A ədədiə şərtidə kimi ılır. X çoluğu olrq öqtəsii müəə ətrı ş düşülür. Mətiqi simvollrd istidə etsək tərii şğıdkı kimi vermək olr: A ε > ) δ >) < < δ), А < ε. Təri. İstəilə M ədədi üçü elə δ > vr ki, -i X çoluğud götürülmüş və < < δ ərərsiliii ödəə ütü qimətləridə > М müsiəti ödəilir. Od deirlər ki, öqtəsidə -i iti sosuluğ ərərdir və uu ) kimi ılır. və ud ) Təri. Solu A və istəilə ε > ədədləri verildikdə elə Н > tpmq olr ki, -i > Н ərərsiliii ödəə ütü qimətləridə А < ε ərərsilii ödəir. Od A ədədiə şərtidə uksisıı iti deilir və А ) şəklidə ılır. ) А və ) Təri. A ədədiə uksisıı o vt iti deilir ki, ε > Н Н ε olsu ki, -i > Н < Н ) ərərsiliii ) şərtidə ) ədədiə qrşı elə ) ödəə ütü qimətləridə А < ε ərərsilii ödəir. Buu А А kimi ılr. Əgər uksisıı və şərtləridə iti vrs və А ödəilirsə, od А də doğrudur. Fuksiı sol və sğ itləri olur. Buu tərsi A ədədi uksisıı itidirsə, od -i - ı və ou istəilə tərəidə sol və sğ tərəidə) erləşə ütü qimətləridə öqtəsidə ) А < ε ) ərərsilii ödəilir. uksisıı iti olmdıqd od ) ərərsilii -i -ı müəə tərəidə məsələ, sol və d sğ) tərəidə erləşə qimətləridə ödəilə ilər. Belə olduqd uksisıı öqtəsidə sol itidə və sğ itidə dışmq olr. öqtəsidə ) Tutq ki, uksisı öqtəsii sol tərəidə təi olumuşdur. Təri. Solu A və ədədləri verildikdə ε > ədədi üçü elə δ > ədədi vr ki, - i -d kiçik ol və ərərsiliii ödəə ütü qimətləridə < < δ )
А < ε ərərsilii ödəilir. Od A ədədiə şərtidə və uksisıı sol iti deilir və kimi işrə oluur. < ) ) ) öqtəsidə) ) Təri. Solu A və ədədləri verildikdə ε > ədədi üçü elə δ > ədədi vr ki, -i -d öük ol və ərərsiliii ödəə ütü qimətləridə А < ε ərərsilii ödəir. Od A ədədiə şərtidə və uksisıı sğ iti deilir və kimi işrə oluur. Deməli, şərti ödəilməlidir. > ) < < δ 5) ) öqtəsidə) ) öqtəsidə й uksisıı itii olmsı üçü ) ) ) e -ədədi Н) idəsidə ) ) )...... ) lırıq.!!!!... ) olr.!! ) sd hədd vrdır. ) olur və ) ərərliii sğ tərəidə ) ərərliii sğ tərəidəki hədlərii sı )-ci hədd müsətdir. ) ərərliii sğ tərəidəki hədlər uğu olrq ) ərərliii sğ tərəidəki hədlərdə kiçik olduğud ilərik: < Н). Yəi, { } rdıcıllığı mooto rt rdıcıllıqdır. Digər tərədə... <... <... <.!!!!!
Yəi, { } rdıcıllığı mooto rt olmql urıd -lə məhduddur., teorem. Fəsil II-də dıdır ki, elə rdıcıllığı solu iti vrdır və u it -də kiçikdir. Bu iti e ilə işrə etsək, od е ) ilərik. Burd e,88, И е -dir. e əssı görə loqrimiə turl loqrim deilir və «l» ilə işrə oluur. N ədədii loqrimi ln kimi ılır. ) itiə əə -ci görkəmli it də deilir. Мисл. е е. ) 5 L itii heslı. Həlli. Bəi itləri heslmsı mı ) L L düsturlrıd istidə etmək əlverişlidir. ) ) )) 5 5 L L L ) ) ) ) si ) si tg tg itii heslı
Həlli. si ) si ) tg ) tg ) si cos si cos ) cos ) si cos cos ) cos ) si si cos cos ) cos ) si cos cos ) cos ) cos cos cos cos cos cos 5) Fuksiı kəsilməlii.prçd kəsilmə uksilrı ssələri.. Fuksiı kəsilməlii Tutq ki, ) cümlədə öqtəsidə) təi olumuşdur. Təri. Əgər ərərlii ödəilərsə, od uksisı ) ərərlii ödəilmədikdə, deirlər ki, й uksisı öqtəsii müəə ətrıd o ) öqtəsidə kəsilməə uksi deilir. uksisı öqtəsidə kəsilir və öqtəsi uksiı kəsilmə öqtəsidir. ) ərərliii ) kimi də mq olr. Tutq ki, olrs, od й uksisı й uksisı öqtəsidə təi olumuşdur. Əgər ) öqtəsidə sğd kəsilməə, ) ) olrs, od й uksisı öqtəsidə sold kəsilməə uksi dlır. Əgər й uksisı [, ] öqtəsidə kəsilməədirsə, od й uksisı [, ] prçsıd kəsilməə uk- si dlır. əi Əgər sol və sğ itləri vrdırs, ulr iri-iriə ərər deildirsə, ) olrs, od kəsilmə öqtəsi irici öv kəsilmə öqtəsi dlır. Əgər öqtəsidə й uksisıı sğtərəli və soltərəli itləridə heç olms iri və ud ulrı hər ikisi odurs və sosuluğ ərərdisə, od öqtəsi ikici öv kəsilmə öqtəsi dlır. Əgər öqtəsidə й uksisıı sğtərəli və soltərəli itləri vrdırs, u itlər - ir-iriə ərərdirsə, u itlər ) öqtəsi dırs, od hld ) olur. - ərər deildirsə, əi ) ) ) uksisıı «rd qldırıl ilə» kəsilmə öqtəsi dlır. Bu Solu prçd kəsilməə uksilrı ssələri
uksisı hqqıd şğıdkı teoremləri istsı olrq qed edək: Teorem Veerştrssı -ci teoremi). Solu [, ] prçsıd kəsilməə uksisı həmi prçd məhduddur. Teorem Veerştrssı -ci teoremi). uksisı həmi prçı heç olms ir α öqtəsidə öüü Solu [, ] prçsıd kəsilməə [, ] prçsıd kəsilməə ) dəqiq şğı sərhəddii α ) urı sərhəddii β) ) ) и m və heç olms ir β öqtəsidə öüü dəqiq [,] суп М ) lır. [, ] uksisı həmi prçı uclrıd mütəli А <, ) Б > olrs, od və öqtələri rsıd ж ж olur. Teorem. [ ] işrəli qimətlər olrs, məsələ, ) erləşə ə ı ir, prçsıd kəsilməə ) öqtəsi vrdır ki, u öqtədə ) ) Fuksiı törəməsi və dieresilı Fuksiı törəməsi Fər edək ki, й uksisı ] [ itervlı qed olumuş öqtəsidir ], [ ). Od ) ], [ olsu. Bu hld й ) -ə demişdik. Əgər й ) uksisıı öqtəsidə törəməsi deilir və й, oluur. Təriə əssə, ilərik:, itervlıd təi olumuş və u rtımıı elə seçək ki, й uksisıı rtımı solu iti vrs, u itə й й, д kimi işrə, й və д ) й й. ) Verilmiş öqtəsidə törəməsi ol uksi həmi öqtədə dieresill uksi deilir. Əgər ], [ öqtəsidə й uksisıı törəməsi vrs, od й uksisı ], [ itervlıd dieresill uksi dlır. Əgər й uksisı [, ] prçsıd təi olumuşs, od prçı və uclrıd й uksisıı uğu olrq sol və sğ törəmələridə dışmq lımdır. Əgər ) iti vrs və soludurs, u й uksisıı < öqtəsidə sol törəməsi deilir və Təriə əssə < ) işrə oluur. ilərik. 5
Əgər > ) iti vrs və soludurs, u öqtəsidə sğ törəməsi deilir və ) Təriə əssə > Əgər öqtəsidə -dirsə, od öqtəsidə törəməsi ol ) işrə oluur. ilərik. й uksisıı й uksisıı solu sol və sğ törəmələri vrs və й uksisıı öqtəsidə törəməsi vrdır. Yəi uksisı üçü ) ) ) olur. Ol ilər ki, uksiı verilmiş öqtədə solu sol və sğ törəmələri olsu, lki həmi öqtədə törəməsi olmsı. uksisıı öqtəsidə solu sol törəməsi: Məsələ, ) ) ) ) sğ törəməsi: ) < < < ) > > > olur və uk-sisı ], [ uksisıı -ə və öqtəsidə solu -ə ərərdir. Yəi öqtəsidə törəməsi odur. Deməli, öqtəsidə kəsilməədir və öqtəsidə törəməsi odur. Teorem. Əgər й uksisıı öqtəsidə törəməsi vrs əi dieresilldırs), od uksisı öqtəsidə kəsilməədir. Siti, sitlə uksi hsilii, cəmi, hsili və kəsri törəmələri Teorem. Siti törəməsi sıır ərərdir, əi ж c sit ədəddir). Teorem. Əgər у uksisı öqtəsidə dieresilldırs, od ж у жу ж у olur. uksisıd öqtəsidə dieresilldır və [ )] ) Teorem. Əgər у və od у ν [ у ± ν ] у ± ν ) olur. Teorem. Əgər у və у ν uksisı d öqtəsidə dieresilldır və [ у ν ] у ν ν у olur. ν uksilrı öqtəsidə dieresilldıps, ± uksisı d öqtəsidə dieresilldır və Teorem 5. Əgər у və у ) ν olduqd ν у ν olur. ν uksilrı öqtəsidə dieresilldırs, od ν uksilrı öqtəsidə dieresilldırs, od uksisı d öqtəsidə dieresilldır və у ν ν у ν
) itii heslı.. Həlli.Kəsri sürətii mərəçiə ölməklə ou tm hissəsii ırq. ) ) Adıdır ki, ; e olduğud lırıq ki, e olr. 8) l uksisıı törəməsii tpı. Həlli. )) l l l
8 [ ] ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) l ) l l 9. Roll teoremii ı və olı ki, ) Si l uksisı 5 ; prçsıd Roll teoremii tətdiq etmək olrmı? Teorem.. Roll teoremii i və olı ki, ) si l uksisı 5, prçsıd Roll teoremii tətiq etmək olrmı? Teorem. Roll teoremi) [ ] ; prçsıd kəsilməə,,) itervlıd dieresill və həmi prçı üç öqtələridə ərər ) ) qimətləri l ) uksisı üçü,) itervlıd erləşə heç olms elə ir c öqtəsi vr ki, u öqtədə ) törəməsi sıır ərərdir, əi ) c. l lsi l lsi lsi 5 lsi 5 5 ) ) 5 ; si cos l si ctg
itervlıd solu törəmə vr. Deməli, Roll teoremii tətiq etmək olr.. Lqrj teoremi i və olı ki, ) uksisı [ ;] prçsıd Lgrj teoremii tətiq etmək olrmı? Lqrj teoremi: [ ; ] prçsıd kəsilməə, ; ) itervlıd dieresill ) uksisı üçü həmi itervld erləşə elə c öqtəsi vr ki, u öqtədə ) ) ) c) olur. Bu düstur Lqrj düsturu deilir. Bu düstur əə solu rtımlr düsturu d deilir. Lgrj düsturu ) ) c) ) ) ) c) ) c) c c) c) c) ) c 9,5 Deməli, c, 5 c [ ;] c ; c c 9. [ ;] prçsıd ) 5 və g) uksilrı üçü Koşi teoremii doğruluğuu olı. Əgər ödəərsə c rlıq qimətii tpı. Həlli: Köşi teoremi şğıdkı kimidir. ; prçsıd kəsilməə,,) itervlıd dieresill və u itervld g ) şərtii ödəə uksilrdırs od,) itervlıd erləşə ir elə c öqtəsi vrdır ki, ) ) c) g ) g ) g c) Düsturu döğrudur. [ ] ) 5 və g) uksilrı ; prçsıd Koşi teoremii şərtlərii ödəir. ) 5, ) [ ] Teorem: Əgər ) və g) umksilrı g) 8, g) 9
Olduğud ) ) c) c 5 c 5 ; g) g) g c) 8 c c Burd c -c5 urd isə 5 c ; c olur.. Qeri müəəlikləri çılışı, Lopitl teoremi. Aşğıdkı kimi qeri-müəəliklər vrdır:,,,,, və. Əvvəlcə «şəklidə ol qeri-müəəlikləri çılışıı» heslm qdsıı verək. ) Tutq ki,, ϕ ϕ olduqd ϕ itii tpmq lımdır. Bu hld itiə kəsri iti hqqıd teoremi ilvsitə tətiq etmək olm. Belə itləri heslmsı dətə, «şəklidə ol qeri-müəəlikləri çılışı» deilir. Qerimüəəlikləri çmq üçü itlər əəriəsidə ir sır sdə üsullr məlum olmsı mrq, dieresil hesıı tətiq edərək qeri-müəəlikləri çmq üçü ümumi metod lmq olr. Bu metodu Lopitl verdiidə o qeri-müəəlikləri çılışı üçü Lopitl qdsı d deilir. Teorem Lopitl qdsı). Tutq ki, və ϕ uksilrı öqtəsii müəə ətrıd öqtəsi müstəs olmql) təi olumuş, dieresill, ; ϕ və həmi ətrd ϕ ) şərtii ödəə uksilrdır. Od ϕ vrdır və olur. ϕ ϕ Tutq ki, və ϕ uksilrı Koşi teoremii şərtlərii [ ] öqtəsidə sır çevirirlər, əi ) ϕ ). Od [, ] prçsıd Koşi düsturuu sq ) ж), ϕ ϕ ) ϕ ж) ж ], [ ). ) ) ж) )-də. ϕ ϕ ) ж ϕ ж) Burd olur. ϕ ϕ Əgər və ϕ uksilrıı ) )... ) ), ) ) ϕ ϕ... ϕ ) ) olrs, ), ) tətiq etməklə iti vrs, ϕ iti də, prçsıd ödəir və öqtəsii müəə ətrıd tərtili törəmələri vrs və ϕ törəmələri üçü teoremi şərtləri ödəərsə, Lopitl qdsıı dəə rdıcıl
ϕ ϕ ) ) ϕ Qed edək ki, ϕ itii solu olduğu ər oluur) ϕ ) ) ) ) ) )... ərərliii lmq olr. Burd ϕ ϕ itii olmsıd ϕ ) şəklidə ol qeri-müəəlikləri çılışıı verək. itii olmsı lımır. Teorem Lopitl qdsı). Əgər və ϕ uksilrı öqtəsi müstəs olmql) təi olumuşs, dieresilldırs və ) ətrıd) şərti ödəirsə və, ϕ olrs, od А ) ϕ iti vrs, iti də vrdır və А olur. ϕ ϕ ϕ öqtəsii müəə ətrıd ϕ öqtəsii həmi Teorem istsı qəul oluur. ϕ uksilrıı öqtəsii müəə ətrıd tərtili törəmələri vrs, Əgər ) və ) ) ) ) ) ) ) ϕ ϕ ϕ solu iti vrdır və ϕ ϕ... -durs və е ϕ ) ) ) ) ) Misl.... olur. е е ϕ А olur. ) ) ) ) ) А iti soludurs, od...!. Deməli е е ) şəklidə qeri-müəəlik əvvəlcə və şəklidə qeri-müəəliklərə gətirilir və Lopitl qdsı ilə heslır. Tutq ki, ), ϕ ) [ ) )] ϕ ϕ ϕ. Od şəklidə qeri-müəəlikləri çılışı lıır). ) şəklidə qeri-müəəlik və şəklidə qeri-müəəliklərə gətirilir və Lopitl qdsı ilə heslır. Yəi ), ϕ ) [ ) )] ϕ ϕ və ud ϕ [ ) )] ϕ ; olrs, od şəklidə lıır. 5),, şəklidə qeri-müəəliklər əvvəlcə şəkliə gətirilir. Buu üçü ϕ [ )] ϕ е л ) >) ϕ [ )] ) ϕ ) л е eiliidə istidə oluur və urd lırıq.
Deməli,,, gətirilir.. ) tg [ ] şəklidə ol qeri-müəəliklər əssə ϕ л itii heslı. şəklidə qerimüəəlikdir. Bu idəi -i heslmsı Həlli: Verilmiş idə -kimi qeri müəəlik şəkliə gətirək, ) ) tg ctg Bud sor Lopitl qdsıı tətiq edək ) ) ) : g ) g ) ctg ctg si. Fuksiı ekstemumu. Ekstemumu vrlığı üçü əruri şərtlər Fər edək ki, й uksisı [, ] prçsıd təi olumuşdur və ] ; [ -dir. Əgər öqtəsii hər hsı ] δ; δ[ δ >) ətrıd erləşə ütü öqtələridə ), )) ) ərərsilii ödəilərsə, od deirlər ki, uksisıı öqtəsidə lokl mksimumu miimumu) vr. ) ədədiə uksiı lokl mksimum miimum) qiməti deilir. Fuksiı lokl mksimumu və lokl miimumu irlikdə uksiı lokl ekstemumu deilir. Teorem Lokl ekstemumu vrlığı üçü əruri şərt). Əgər dieresill ilə törəməsi həmi öqtədə sır ərərdir, əi ) öqtəsidə й uksisıı öqtəsidə lokl ekstemumu vrs, od ou Müəə olmq üçü qimət ldığıı ər edək. Od itirı kiçik Burd isə > olduqd < olduqd itə keçsək lrıq:. uksisıı lokl mksimum rtımı üçü ) ) ) ) ) ) ) ) > < ) ) ) ) ) və ) ərərsilikləri irlikdə lı ) lırıq. lırıq. Bu əərsiliklərdə şərtidə ), ) ), ) olduqd doğrudur.
Verilmiş uksiı öhr öqtəsidə lokl ekstemumu qimətii olduğuu olmq üçü ki şərtlər verək I-ki şərt: й uksisı öhr öqtəsii müəə ətrıd kəsilməə və həmi ətrd - öqtəsi müstəs ol d ilər) dieresilldırs, od:. uksiı törəməsi < olduqd > və > olduqd isə < olrs, həmi öqtədə uksiı lokl mksimumu vr;. uksiı törəməsi < olduqd < və > olduqd isə > olrs, həmi öqtədə uksiı lokl miimumu vr; ). Əgər törəməsi < və > olduqd işrəsii dəişmirsə, od öqtəsidə uksiı lokl ekstemumu odur. II Ki şərt: Əgər öqtəsii müəə ətrıd təi olumuş й uksisıı öqtəsidə ikici tərti törəməsi vrs və ) və ) -dırs, od:. ) < olduqd uksiı öqtəsidə lokl mksimumu vrdır;. ) > olduqd uksiı öqtəsidə lokl miimumu vrdır. III Ki şərt. Əgər й uksisıı öhr öqtəsidə -ci tərtiə qədər kəsilməə və törəmələri vrs, od: vr; vr; ) ) ) )... ) ) ),. cüt ədəd və ) ) < olduqd uksiı 5) şərtlərii ödəə öqtəsidə lokl mksimumu. cüt ədəd və ) ) > olduqd uksiı öqtəsidə lokl miimumu. tək ədəd olduqd uksiı öqtəsidə lokl ekstemumu odur. 5. ) 8 uksisıı lokl ekstremumlrıı tpı. 5 ) [ ) 5 5) ) ] [ ) ) )] [ ) 5 ) ] [ ) ) ) ] ; ;. 8 olur və urd ) 8 8 > olduğud uksi-sıı öqtəsidə lokl miimum qimət lır: ) 8. ми ) 8 < olduğud mksimum qimət lır: м ) ) 9 8 8 > olduğud miimum qimət lır: ) uksisı öqtəsidə lokl. uksisı öqtəsidə lokl. ми. Qrıq və çökük ərilər. Ərii əilmə öqtəsi
Müstəvi üəridə й uksisıı ərisii götürək və dieresill olduğuu ər edək. Od ərii ] [ uksisıı ; itervlı uğu ütü öqtələri, u öqtələrdəki əriə çəkilmiş istəilə toud şğıd urıd) erləşirsə, od ] ; [ itervlıd əri qrıq çökük) dlır. Teorem. Tutq ki, uksisıı ] ; [ itervlıd sıırd ərqli iki tərti törəməsi vrdır ) ). Od: ) ) < olduqd uksisı ] ; [ itervlıd qrıqdır; ) ) > ; itervlıd çökükdür. olduqd ) uksisı ] [ Ərii əilmə öqtəsi Kəsilməə ərii qrıq hissəsii çökük hissəsidə ır öqtəə ərii əilmə öqtəsi deilir. Əilmə öqtəsii təriidə dıdır ki, u öqtədə tou ərii kəsir, çüki u öqtədə ir tərədə əri toud urıd, digər tərədə əri toud şğıd erəlşir. Əilmə öqtəsii vrlığı üçü əruri və ki şərtləri qed edək. Zəruri şərt. ikitərtili kəsilmə törəməsi vrs və, )) qrikii əilmə öqtəsidirsə, od ). Ərii simptotlrı. ) və й uksisıı öqtəsidə М öqtəsi ou olur. ) uksisıı mili simpitotuu tpı. ) şquli simpitotdur. k mili simpitotdur. ) k [ ) k] ) uksisıı mili simpitotuu tpı. şərtləridə heç olms iri ödəirsə k ) [ ) k] )
5 8. ) uksisıı [ ] ; prçsıd ə öük və ə kiçik qimətii tpı. ) ) ) ) ) )[ ] ) ) ) ) ) ) > < miumum öqtəsidir. 5 5 5 ) ) ) < < < M ) 5 ) mi uksiı rşdırılmsı. 9. Qeri müəə iteqrld iteqrllm üsullrı dəişəi əvəetmə üsulu) Qeri-müəə iteqrllrı heslmsıd dəişəi əvəetmə üsulu əss üsullrd iridir. İteqrllmd mhirlik ço m dəişəi elə əlverişli əvə etməkdə irət olur ki, uu əticəsidə verilmiş iteqrl olduqc sdələşir və slıql tpılır. Tutq ki, ) д ) iteqrlıı tpmq lımdır və ) uksisı üçü itidi uksiı vrlığıı ilirik, lki ou irş tpmğı crmırıq. Bu hld
götürməklə dəişəi əvə edirik. Burd т ) uksidır. )-də lırıq. ) və )-ü )-də əərə lsq ϕ т ) ) ϕ uksisı kəsilmə törəməsi və tərs uksisı ol д ϕ т )дт ) д [ ϕ т) ] ϕ т)дт ) lırıq. ) ərərliii doğruluğuu göstərmək üçü )-ü sol və sğ tərələrii dieresillrıı iri-iriə ərər olduğuu göstərmək kiətdir. )-də д д д [ ϕ т) ] ϕ т) дт 5) дт) ϕ т) 5)-də д [ т) ] ϕ т) [ ] ϕ т) дт ϕ ) 5) və )-d )-ü doğruluğu lıır. Qed edək ki, ) düsturu qeri-müəə iteqrld dəişəi əvəetmə düsturu deilir. ) ərərliii sğ tərəidəki iteqrlı hesldığd sor eidə dəişəiə qıtmq üçü ϕ т ) əvələməsidə t dəişəi eriə ou -lə tpılmış idəsii mq lımdır. ϕ т ) uksisıı seçmək üçü ümumi üsul odur, uu elə seçmək lımdır ki, )-ü sğ tərəi ümumiətlə sol tərəidə sdə olsu. rctg) tpmlı d Həlli. t rctg dt rctg) t Od d t d c d ) İteqrlıı heslı ) d rctg) d ) ) ) d d d ) d rctg C rctg C cos ) d cos si İteqrlıı heslı
cos d d d cos si cos si cos si si cos ctg tg c d ) Si Cos d Cos t Sid dt İteqrlıı heslı ) Si Cos d Si Si Cos d Si Cos ) Cos d t ) t dt 8 t t t ) t dt t t t t ) dt 9 t t t t 9 Cos C Cos Cos Cos C... 9 ). ) si verilir. F) i tpml. si cos cos si cos F si Həlli. F ) ) F ) si si ) C 5) Qeri müəə iteqrld hissə-hissə iteqrllm üsulu Qeri-müəə iteqrlı tpmq üçü əss üsullrd iri də qeri-müəə iteqrlı hissəhissə iteqrllmsı üsuludur. Tutq ki, у və в uksilrı ] ; [ itervlıd iteqrlldır və u itervld в у uksisıı itidi uksisı vrdır. Od ] ; [ itervlıd у в uksisıı d itidi uksisı vrdır və у в д у в в у д ) ) ) ) ) ) ) düsturu doğrudur. ) düsturu qeri-müəə itervld hissə-hissə iteqrllm düsturu deilir. в д, у д ду olduğud )-i şğıdkı şəkildə ilərik: ) дв
8) 8)-i sğ tərəidəki ду у дв - iteqrlıd sdə olduqd hissə-hissə iteqrllm əlverişlidir. ) düsturuu doğruluğuu göstərək: [ у v ] у v v у 9) olduğuu ilirik. 9)-u hər tərəii d-ə vurrq, iteqrllmql [ у v ] d v у д у v д və ud у v v ду у дв lrıq. ) ) ) ) ) ) Burd isə у дв у в v ду. olur. Yəi ) düsturu doğrudur. Qed edək ki, п д iteqrlıd п çohədli, üsusi hld п olduqd və uksisı isə е α, си, жос, л, ржси, ржжос, ржтэ, ржжтэ şəklidə olduqd ) düsturud istidə oluur, əi hissə-hissə iteqrllm prılır. α Burd ) п е д, п сид, п жосд iteqrlıı hissə-hissə iteqrllrkə у və е α д, си д, жос д idələrii дv ilə işrə etmək lımdır. п ) п л д, пржсид, пржжосд, пржтэд, пржжтэд iteqrllrıı hissə-hissə iteqrllmq üçü л, ржси, ржжос, ржтэ, ржжтэ vuruqlrıı у -lə və п д дв ilə işrə etmək lımdır. α α ) Ъ е жосβ д, Ъ е сиβ д iteqrllrıı hissə-hissə iteqrllmq α qdsıı verək. Məsələ, Ъ е жос d iteqrlıı tpq. β α е у olduqd ду α е д lrıq. дв жосβd olduqd в жосβ д сиβ olur. β Od ulr əssə Ъ -də lırıq: α α α Ъ е siβ е si βd β β. ) )-u sğ tərəidəki iteqrlı eə də hissə-hissə iteqrllq: α е α α у -d ду α е д lrıq. дв сиβd -də в жосβ lrıq. β Bulr əssə )-d lrıq: α α α α α Ъ е сиβ е жосβ е жос д β β və ud β β β α Ъ β α е α α cos β βсиβ olur. Burd isə β β α αcos β βsi β Ъ е olur. Burd d β β α α α cos β β si β J e cos βd e c α β Ei qd ilə Ъ ) 8
lrıq. d ) 5 si cos α α αсиβ βжосβ Ъ е сиβ д е ж ) α β İteqrlıı heslı dt tg t dt t t t si t cost t t dt d t 5 si cos t t 5 t t dt dt dt t 8t 8 t t t ) t. e d iteqrlıı tpı. Həlli. u du d e d dv dv e Od e d e e d v d e e 5 5t l si 8). d Hissə-hissə iteqrllm cos udv uv vdu dt 8t t c c tg e c e ) c l si d l si tg cos tg ctgd l si tg d l l si u ; d dv cos cos d du si ; tg v si tg c 9). Müəə iteqrlı ssələrii ı. α d ;. ) α α. ) d ) α α d ; α 9
c. ) d ) d ) α α c d. [ ) ± ϕ ) ] d ) d ϕ ) ± α 5. c ) d c ) α. c α c α d prçsıd ) ). d d prçsıd ) g ) ) d g ) 8. ) uksisı [ ; ] prçsıd kəsilməədirsə, u prçsıd ə kiçik qiməti - m və ə öük qiməti M lır və m ) ) d M ) müəə iteqrlı qimətlədirilməsi deilir. 9. ) uksisı [ ] d, < olur. Bu ; prçsıd kəsilməədirsə, od elə c ; ), ) < c < öqtəsi vrdır ki ) d ) c) olur. )d prçsıd ort qiməti dlır. ədədi ) uksisıı [ ; ] d. ) tək uksi olduqd ) ) d )d olur. və cüt uksi olduqd ). ) d 5 olduguu ilərək? ) d 5
5 ) 5 ) ) ) 5 ) ) ) ) ) 5 ) 5 5 5 5 5 ). Müəə iteqrlı təqrii heslmsı, dü ucqlılr düsturu Qed edək ki, kəsilməə uksisıı itidi uksisı məlum olduqd д iteqrlıı Nuto-Leisi д Ф ) Ф ) ) düsturu ilə heslmq olur. Lki, kəsilməə uksilrı itidi uksisı həmişə elemetr uksilrl idə olumur. Belə hllrd ) düsturud istidə olumur və o görə müəə iteqrlı təqrii си жос heslmq lım gəlir. Məsələ,,,, е, və s. kimi uksilrı iteqrllrı л ) düsturu vsitəsi ilə heslmır. д iteqrlıı təqrii heslmq üçü: ) düucqlılr düsturu, ) trpeslər düsturu, ) prollr düsturud Simpso düsturu) istidə oluur. Bulrı rı-rılıqd örəək. Düucqlılr düsturu. Tutq ki, [,] prçsıd kəsilməə й uksisı verilmişdir və iteqrlıı təqrii heslmq lımdır. [,] prçsıı,,,..., öqtələri ilə ərər hissəə ölək. Hər ir hissəi uuluğu olr. ) й, ) й,, ) й işrə edək və к к д й, й к cəmlərii düəldək. Bu к
cəmlərdə hər iri uksisı üçü [,] prçsıd iteqrl cəmdir, əi iteqrlıı təqrii qimətidir. Bşq sölə к д д йк, ) д йк ) olur. ) və ) düsturu düucqlılr düsturu deilir. Düucqlılr düsturu ilə iteqrlıı hesldıqd kiçik olduqd ət kiçik olur. к д ). l si ərisii ; Həlli. l ) prçsıd uuluğuu tpı. d əri qövsu uuluğuu heslmsı düsturu cos l si ctg si ) ctg cosec. Od si d l si d ). l tg l tg l tg l l iteqrlıı heslı. l Həlli. t t d tdt olr və t t, t t Od d t tdt t dt t t l t ) dt t dt t ) dt t l t t t
9 ) l l l olr.,, verilir. ;, -ı tp. Həlli. ;, ) ) 5). İ ci öv qeri-məsusi iteqrllrı ssələri I öv qeri-məsusi iteqrllrı şğıdkı ssələrii qed edək. Bu ssələri qeri-məsusi iteqrlı üçü qed edək. д Xssə. [, [ итервлыд кясилмяйя Ф олрс вя Ф ) д Ф ) Ф ) doğrudur. солу ити врс, од уксийсыы итиди уксийсы д Bu düstur I öv qeri-məsusi iteqrl üçü Nuto- Leis düsturudur. Xssə. [ βϕ ]д д və α iteqrlı d ığıldır. йыьылдыр вя ϕ д iteqrllrı ığıldırs, od istəilə α və β ədələri üçü Xssə. у у və v v uksilrıı [, [ v ду qeri-məsusi itervlı ığıldırs, у ) v ) у дв qeri-məsusi iteqrlı ığıldır və düsturu doğrudur. у дв у ) v ) у ) v ) v ду ) itervlıd kəsilmə törəmələri vrs, iti vrdırs və soludurs, od
Xssə. uksisı [, [ itervlıd kəsilməədirsə, ϕ т ) uksisıı [ β[ α < β < ) rım itervlıd kəsilmə törəməsi vrdırs və ϕ α) ϕ т ) < < ϕ т ) müsiəti doğrudurs, od düsturu doğrudur. д ). II öv qeri-məsusi iteqrllr iteqrlı ığıldır və β д [ т) ] ϕ т)дт ϕ 5) α т β α,, Tutq ki, uksisı [,[ itervlıd təi oluu və kəsilmədir. Lki öqtəsidə kəsilədir. Od II öv qeriməsusi iteqrl deilir və ε ε д iti vrs və soludurs, u itə şəklidə ılır. Bu hld iteqrl vrdır və ığıldır deirlər. Əgər ε ε д ε д д ε iti odurs və ud sosuluqdurs, od ) д odur və dğıldır deirlər. й uksisı ],] itervlıd təi olumuş və kəsilməədirsə, Əgər ) öqtəsidə kəsilədirsə, od ε ε öv qeri-məsusi iteqrl deilir və kimi ılır. Bu hld d Əgər ε ε д д д ığıl dlır. iti vrs və soludurs u itə ],] itervlıd II д д ε ε iti odurs, ud sosuluqdurs, od ) д iteqrlı dığıl dlır. Əgər [,] prçsıı ir ж öqtəsidə uksisı kəsilədirsə və [,c[, ]c,] itervllrıd təi olumuş və kəsilməədirsə, od жε д д д ε. ) ε ж ε ) ərərliii sğ tərəidəki itləri hər iri vrdırs və soludurs, д iteqrlı ığıl dlır.
) ərərliii sğ tərəidəki itləri heç olms iri odurs ud sosuluqdurs od )-ü sol tərəidəki əi ssələrii qed edək. д iteqrlı dğıl dlır. II öv qeri-məsusi iteqrllrı Xssə. [,[ itervlıd kəsilməə uksisıı itidi uksisı Ф д Ф ε ) Ф ) -dirsə, od ) Nuto-Leis düsturu doğrudur. у в в uksilrıı [,[ rımitervllrıd kəsilmə törəmələri Xssə. у ) və ) vrs və у ε ) в - ε ) ε ε ε, вду u dv itləri vrdırs və soludurs, od udv II ε öv qeri-məsusi iteqrlı vrdır və düsturu doğrudur. ε ε ε ) в ε ) у ) в ) удв у вду 5) ). Çodəişəli uksi və ou iti. Təkrr və ikiqt itlər. Tutq ki, G çoluğu müstəvisii öqtələr çoluğu və həqiqi ədədləri F çoluğu verilmişdir. Təri. G çoluğuu hər ir M, ) öqtəsiə F çoluğud müəə, ) ədədii qrşı qo uğuluğu G çoluğud təi olumuş və qimətləri F çoluğu dil ol uksi deilir Təri Tutq ki, solu A ədədi M, ) ε > öqtəsi və istəilə ədədi üçü elə δ G ədədi vr ki, çoluğu < ρ M, M ) < δ ) M, ) G Bərərsiliii ödəə ütü öqtələridə M ) A < ε ) M M G Müsiəti ödəilir.od A ədədiə şərtidə çoluğu ürə M M uksisıı iti deilir.a ədədii G çoluğu ürə şərtidə uksisıı iti olmsıı M ), ) A M M ) kimi ılır. ε 5
< ρ M, M ) < δ ) ) < δ Təridəki < əvəiə və ud < δ < δ ərərsiliklərii mq olr. İkidəişəli uksilrı və rqumetləri övə ilə, ədədləriə, ) ılşdıqd d itidə dışmq olr. itiə uksiı təkrr iti deilir.soucu idədə itləri erii dəişməklə mütəli təkrr, ), ) itlər lmq olr. C, ) Teorem Ikiqt iti vrs, -i qed olumuş qimətidə dəişəiə əərə, ) iti vrs, od A, ) itidə vr və ikiqt C itiə ərərdir. təkrrl Ümumiətlə G olstıd təi olumuş, ) uksisıı M, ) it öqtəsidə C : ) ikiqt iti vrs və i qed olumuş qimətləridə, uğu olrq, ) və, ), ), ), ) itləri vrs, od ərərlii doğrudur. 8)., ) uksisıı,) öqtəsidə, təkrr və ikiqt itii tpı. Əvvəlcə ikiqt itii tpq: Fər edək ki, ) dü ətti ürə dəişməsiə q k ) M, öqtəsi ;) öqtəsiə ılşır. Od və i k k k k) k k ) k Görüdüü kimi, əticə k -ı seçilməsidə sılı olrq, dəişir əi it egə deildir). Deməli,, ) ;) Təkrr itləri tpq. M -d ıl it odur.
9). 9 itii, 9 və 9 təkrr itlərii tpı. Həlli: ) ) 9 9 9 9 ) 9 9 9 9 9 9. u l - ) uksisıı M ;- ) öqtəsidə üsusi törəmələrii tpmlı. Həlli : ) ) ) u ) ; u ) ) ) u ) ) ; u : l ) verilir. olduğuu gostəri. Həlli : ) ) )
8 ) ) Deməli, ) lrıq. verilir. d -i tpmlı. Həlli : ) 8 d dd d d dd d d. Dlmer əlmətiəgörə sırı ığıl olmsıı rşdırı. )! Həlli: ) )!, )! U U ) ) ) ) ) U U l )!! C: l olduğu üçü veriiş sır dğıldır.. Koşii iteqrl əlmətiə görə sırı ığıl və dğıl olmsıı rşdırı: )
Həlli: l ) l d d l l < l l l ) Deməli verilmiş sır ığıldır. 5 Koşii iteqrl əlmətiə görə sırı ığıl və dğıl olmsıı rşdırı: d d Həlli: ) Cv : Verii sır dğıldır. ) sırsıı ığılm rdiusuu tpı., Həlli: ) ) ) R ) Cv : R ) sırsıı ığılm rdiusuu tpı., ) Həlli: ) ) R ) ) ) Cv :R 8. sırsıı ığılm rdiusuu tpı., Həlli: R d ) 9
R Cv. 9. dəişələriə rıl təlii ümumi həllii tpı. Həll d d d d d d l l c l l l c l c c- Cv : c-. 5. ) dəişələriə rıl təlii ümumi həllii tpı. Həlli: l l d d ) ) l d d l d ) d l c c l c l c l c Cv : c