Metin Yayınları

Transkript

1 LİMİT İÇ KAPAK

2 Bu kitbı bütü ı hklrı sklıdır. Tüm hklrı, zrlr ve METİN YAYINLARI ittir. Kısme de ols lıtı pılmz. Meti, biçim ve sorulr, ıml şirketi izi olmksızı, elektroik, mekik, fotokopi d herhgi bir kıt sistemile çoğltılmz, ımlmz. İSBN METİN YAYINLARI Tel: Meti Yılrı Yzrlr Gökh METİN gokh.meti@hotmil.com Müjdt ERCAN mujoloji@hotmil.com Bisel İceleme Aşe KÜTAHYALIOĞLU Hifi YILDIRIM Hukuk Dışmı Hk DEMİRBAY Grfik Tsrım Merve ÖZBAY merveildizozb@hotmil.com Dizgi pletreklm6@gmil.com srkgec@gmil.com Geel Dğıtım Meşrutiet Cddesi No: / Kızıl / ANKARA Tel: Fks : 9 demirbogli@gmil.com Bskı Ad Yıcılık A.Ş. Akr

3 FASİKÜLE VERİMLİ ÇALIŞMA REHBERİ Sevgili öğreciler ve değerli meslektşlrım, Biresel Mtemtik Fsikülleri, mtemtik bilmeee keifli bir olculuk, mtemtik bilee htsız soru çözme kbilieti kzdırck şekilde tsrlmıştır. Her fsikül, e temelde dım dım mtemtiğiizi geliştirip güçledirecek tekiklerle oluşturulmuştur. Sf bşlıklrıl, her üite, lmı kollştırıcı lt bşlıklr rılmıştır. Kou Özeti : Kou özetleride kvrmlr mdde mdde vurgulmıştır. : Urı ikolrıl htırltmlr ve dikkt edilmesi gerekeler belirtilmiştir. (*) : Dipotlrl kou dışı kvrmlr çıklmıştır. ÖRNEK ve ÇÖZÜM : Örekler sf bşlığıı e ii çıklck şekilde özele kurulmuş ve çözümleri kolc lşılck şekilde düzelemiştir. : Her bşlıkl ilgili el lışklığı kzmızı sğlck bolc soru Sır Sede kısmıd, cevplrıızı kolc kotrol edebileceğiiz şekilde sorulmuştur. Ugulm Zmı : Belirli rlıklrl birikimleriizi değerledirme ugulmlrı koulmuştur. Tekrr Zmı : Üite solrıd öğredikleriizi test tekiğile pekiştireceğiiz ve çözümlerile uuttuklrıızı htırlcğıız testler suulmuştur. Ahtr kvrmlr ve çözümler rekledirilerek frk etmeiz sğlmıştır. Öğrecileri sık düştüğü htlr vurgulrk belirtilmiştir. Prtik ve eğleceli çözümlerle kıld klıcılık rttırılmıştır. Her kou, özele oluşturul Kou Testi ile pekiştirilirke, " çözümüü "SİZİN İÇİN ÇÖZDÜKLERİMİZ" kısmıd bulbilirsiiz. " ikoul belirtile sorulrı Souç olrk, şuu diebiliriz ki; mtemtik rıtılrd gizlidir. Bud dolı sbırl her fsikülü, üitei, bşlığı ve mddei lrk, her öreği ve soruu çözerek mtemtiği kolc öğreebilir, sıvlrdki mtemtik korkuuzd kurtulbilirsiiz. Bşrılı bir gelecek dileğile... METİN YAYINLARI

4 İÇİNDEKİLER LİMİT Limit Kvrmı... SoldSğd Yklşm / Bir Sı Civrıd İşlemler... Sold Sğd Limit ve Limiti Vrlığı... Grfikte Limiti Vrlığı... Sbit ve Poliom Foksiolrı Limiti... LİMİT ÖZELLİKLRİ Foksio İşlemleride Limit...6 Mutlk Değer ve Köklü İfdelerde Limit...7 Sıkıştırm Kurlı / SğdSold Limit Özellikleri... 8 Ugulm Zmı...9 Tekrr Zmı ÇÖZÜMLÜ TEST... ÖZEL FONKSİYONLARDA LİMİT Prçlı Foksiolrd Limit... Mutlk Değer Foksiou Limiti... Üstel ve Logritmik Foksiolrı Limiti... 6 R de Limit I (Geişletilmiş Reel Sılrd İşlemler)... 7 R de Limit II (Sosuz, Tımsız ve Belirsiz)... 8 R de Limit III ( f () ± Limitler)... 9 " R de Limit IV ( f () Limitler)... " ± R de Limit V ( R de Limiti Grfik Yorumu)... Ugulm Zmı... Tekrr Zmı ÇÖZÜMLÜ TEST... ÇÖZÜMLÜ TEST... 6 Trigoometrik Foksiolrı Limitleri I... Trigoometrik Foksiolrı Limitleri II... Bileşke Foksiolrı Limiti... Geel Limit Alm Kurllrı... Limit Deklemleri... Ugulm Zmı... Tekrr Zmı ÇÖZÜMLÜ TEST... 7 BELİRSİZ LİMİTLER / Belirsizliği I (Poliomlu Kesirlerde / Belirsizliği).. / Belirsizliği II (Köklü Kesirlerde / Belirsizliği / Üstel İfdeli Kesirlerde / Belirsizliği)... Trigoometrik Foksiolrd / Belirsizliği I... Trigoometrik Foksiolrd / Belirsizliği II... Trigoometrik Foksiolrd / Belirsizliği III... Trigoometrik Foksiolrd / Belirsizliği IV... Ugulm Zmı... 6 Tekrr Zmı ÇÖZÜMLÜ TEST... 8 ÇÖZÜMLÜ TEST... / Belirsizliği I (Poliomlu Kesirlirde / Belirsizliği... / Belirsizliği II (Köklü Kesirlerde / Belirsizliği... / Belirsizliği III (Üstel İfdeli Kesirlerde / Belirsizliği)... 6 / Belirsizliği IV (Sosuz Hızlı ilerlee Terimler... 7 Limitleri I (Köklü İfdelerde Belirsizliği)... 8 Limitleri II (Kesirli İfdelerde / Logritmik İfdelerde )... 9 Ugulm Zmı...6 Belirsizliği... 6 Belirsizliği... 6 Belirsiz Limit Deklemleri... 6 Limitte Değişke Döüşümleri I... 6 Limitte Değişke Döüşümleri II Limiti Geometrik Ugulmlrı Ugulm Zmı Tekrr Zmı ÇÖZÜMLÜ TEST... 7 ÇÖZÜMLÜ TEST... 7 SÜREKLİLİK Süreklilik Kvrmı ve Grfik Yorumu Süreksiz Noktlrı Özellikleri Bir Arlıkt ve Bu Arlığı Sıırlrıd Süreklilik Poliom ve Kesirli Foksiolrı Sürekliliği Tım Kümeside Süreklilik ve Prçlı Foksio Sürekliliği... 8 Foksiolrı Sürekli Olduğu Arlıklr... 8 Foksio İşlemleride Süreklilik... 8 Foksiolrd Süreksiz Nokt Problemleri... 8 Foksiolrı R de Sürekli Olbilmesi... 8 Sıırlı Foksio Kvrmı ve Limiti... 8 Kplı Arlıkt Sürekli Foksiolrı Özellikleri (E Büük, E Küçük Değeri / Bir Arlıkt Kök Vrlığı).. 86 Ugulm Zmı Tekrr Zmı ÇÖZÜMLÜ TEST DİZİLERDE LİMİT Dizi Kvrmı ve Bir Dizii Limiti... 9 Foksio Limitlerile Dizi Limiti Hesplm... 9 Toplm Formüllerile Dizi Limiti Hesplm... 9 Bsit Kesirlere Aırrk Dizi Limiti Hesplm... 9 Geometrik Dizi, İlk Terim Toplmı ve Limit İlişkisi Sosuz Terimli Geometrik Dizi Toplmı I Sosuz Terimli Geometrik Dizi Toplmı II (Kuvvet ve İşret Düzeleme) Sosuz Terimli Geometrik Dizi Toplmı III Sosuz Terimli Geometrik Dizi Toplmı IV (Hrfli İfdeler ve Deklemler)... Sosuz Terimli Geometrik Dizi Problemleri I (Sosuz Toplmlr / Devrede Sılr)... Sosuz Terimli Geometrik Dizi Problemleri II (Sosuz İlerlemeler)... Sosuz Terimli Geometrik Dizi Problemleri III (Sıçr Top)... Sosuz Terimli Geometrik Dizi Problemleri IV (Geometrik Yorum)... Geometrik Dizi Olm Sosuz Toplmlr... Ugulm Zmı Tekrr Zmı ÇÖZÜMLÜ TEST... 8 KONU TESTLERİ... SİZİN İÇİN ÇÖZDÜKLERİMİZ... 6

5 Limit Kvrmı LİMİT Kou Özeti ÖRNEK Limit, mtemtiksel olrk bir okt sıırlrı (itleri) zorlck kdr klşmk; ck o okt vrmmk olrk düşüülebilir. Limit kvrmıı grfik üzeride çıkllım ve elemlrıı belirte. f() foksiou içi f() K ike f ( ) L ise, " K f() L o v ; itleri zorl değişkedir, v ; itleri zorl oktdır, v ; değişkeii oktsı klşmsıdır, v f(); it ltıdki foksiodur, v L; civrıd f() foksiouu klştığı değerdir. O Şekilde f() foksiouu grfiği verilmiştir. Bu göre, f() foksiouu i,,, ve içi; ) Alcğı değerlerii buluuz. b) Limitlerii buluuz. ÇÖZÜM Bir foksiou herhgi bir oktsıdki değeri ile o oktsıdki iti ı d olbilir, frklı d olbilir. ) f( ), f( ), f(), f() ve f() dir. Limit bir oktdki değerlerde çok o okt civrıdki değerlerdir. oktsıdki değer f() K ike civrıdki değer f ( ) L dir. " b) f ( ), f ( ), f ( ), " " " f ( ) ve f ( ) dır. " " f: R {, } R, f() foksiouu grfiği şğıdki gibidir. 6 Aşğıdki tblod, psisleri verile oktlrd f() foksiouu grfiğie göre ldığı değerleri ve itlerii belirtiiz. f() f().... f(). O ) ; ) ; ) Tımsız; ) ; 8 8 ) ; 6) Tımsız; 7) ; 8) ; 9) ; ) ; ) ;

6 LİMİT SoldSğd Yklşm / Bir Sı Civrıd İşlemler Kou Özeti (Sold Sğd Yklşm) Kou Özeti (Bir Sı Civrıd İşlemler) R olmk üzere; Limit işlemlerii rhtç pılbilmesi içi bir sı v değişkei, d küçük değerlere klşı civrıdki işlemleri ii biesi gerekir. v ors, bu klşm sold klşm deir ve ile gösterilir. değişkei, d büük değerlerle klşıors bu klşm sğd klşm deir ve ile gösterilir. Bir sıı civrı bu sıı çok kııdki değerlerdir. v ; d çok z büük değer v ; d çok z küçük değer sold klşm sğd klşm olrk düşüülebilir. Öreği,,...,...,...,99...9,99...9,... ÖRNEK Aşğıd tblod belirtile değişkeleri hgi sı klştığıı tespit ediiz. ),,8,9,99, b),,8,99,99, ÇÖZÜM Değişkeleri sı doğrusudki görütülerii icelee., sold,8,9 sğd,9,8, değişkei e sold klşmktdır i dir. değişkei e sğd klşmktdır i dır. ÖRNEK Aşğıdki işlemleri soucuu ve şeklide buluuz. ) b) ( ) c) ( ) d) ( ) ÇÖZÜM ),... (,...),... b),... ( ) (,...),...,.. c), ( ) (,99...9) 8, d),.. ( ) (,..) 6,.. 6 Aşğıdki değişkeleri klştığı sılrı klşm öüle birlikte belirtiiz. Aşğıdki işlemleri soucuu bir sı civrıd işlemler ile buluuz.. 9. ( ) 7. 6 : ),,8,9,99, ( ) 8. 8 : ),,,,,..... ( ) 9. 6 : ( ) ) z,6,7,9,99, ( ). ( ). : ) t,6,,,,.... ( ) 7.. : ) h,6,7,9,99, ( 7). ( ). 6) k 99,7 99,8 99,9 99,99 99, ( ) ( ). ( ). 9 : ( ) 7) l,6,,,, ( ) 6. 6 :. ( ) 8) m,7,8,9,9, ) ) ) ) ) 7 6) 7 7) 8) ) ) ) z ) t 9) ) ) ) ) ) ) 6) ) h 6) k 7) l 8) m 7) 8) 9) ) ) ) ) )

7 Sold Sğd Limit ve Limiti Vrlığı LİMİT Kou Özeti f: R {} R, f() fokisou içi v değişkei sold klşırke ( ), f() foksiou L sısı klşıors f i d sold iti L dir ve f() O f() L biçimide gösterilir. " v değişkei sğd klşırke ( ), f() foksiou L sısı klşıors f i d sğd iti L dir ve f() L biçimide gösterilir. " Limit r ve iti vrolduğu oktd foksio tımlı olmk zorud değildir. L L ÇÖZÜM f ( ) f ( ) " f(). f ( ) f ( ) " O. f ( ) f ( ) & f ( ) dir. " " " f() tımsız olmsı rğme f ( ) dir. " ÖRNEK (Bir Sı Civrıd Foksio Değeri) R de tımlı bir f foksiou içi f ( ) ve " f ( ) olduğu göre şğıdki it değerlerii " buluuz. Sol it, sğ ite eşit ise foksiou iti vrdır. v f() f() L ise f() L dir. " " " v f() f() ise f() oktur. " " " f ( ) vrs bu it bir tedir. " ) f( ) b) f( ) " " ÇÖZÜM. f ( ) & f( ) dir. " f ( ) & f( ) dir. " ÖRNEK f: R {} R, f() foksiouu oktsıdki itii buluuz. ) f( ) f( ) f( ) dir. " b) f( ) f( ) f( ) dir. ". Gerçek sılrd tımlı f() foksiou içi f ( ) olduğu göre şğıdki it değerlerii " buluuz. ) f ( ) ". Gerçek sılrd tımlı f foksiou içi şğıdki tblo verilmiştir.,8,9,99, , 6, 6, 6, f()...,999,99,9,8 Tblo göre şğıdki it değerlerii buluuz. b) f ( ) " ) f ( ) d) f( 8 ) " 6 ". Gerçek sılrd tımlı f foksiouu psisli oktdki iti 7 ike, f ( ) ve f( ) b olduğu göre " " b toplmıı değeri kçtır? b) f ( ) e) f( 6) " 6 " c) f ( ) " 6 f) 6 fc m f ( ) " ) ) b) ) 6 ) ) b) c) Yoktur d) e) f)

8 LİMİT Grfikte Limiti Vrlığı Kou Özeti f: (, e] {b} R olmk üzere;, v Tımsız okt b o k c d e ol b de sğ ve sol it eşit olduğu içi "it vrdır." f(b) tımsız ike f ( ), dir. " b m ÖRNEK f: [, ) {} R olmk üzere grfiği verile f() foksiouu i,, ve sılrı içi; ) Alcğı değerlerii buluuz. b) Limitlerii buluuz. f() o v Sıçrm oktsı ol c de sğ ve sol itler eşit olmdığı içi "it oktur." m f ( ) f ( ) & f ( ) oktur. " c " c " c v Kopm oktsı ol d de sğ ve sol itler eşit olduğu içi "it vrdır." f() f() m & f() m dir. " d " d " d v Tım rlığıı uç oktlrı o l v e e de it rştırılırke sdece tımlı olu trfıd ite bkılır. f ( ) f ( ) k ve f( ) f( ) " " " e " e ÇÖZÜM ) f( ), f(), f() tımsız ve f() dir. b) sğ trft tımlı sıır oktsıdır; f ( ) & f ( ) dir. " " d f ( ) ve f ( ) & f ( ) dir. " " " foksiou tımsız olduğu kopm oktsıdır; f ( ) ve f ( ) & f ( ) dır. " " " sıçrm oktsıdır; f ( ) ve f ( ) & f ( ) oktur. " " ". g() f() o o Şekilde f() ve g() foksiolrıı grfikleri verilmiştir. Bu göre şğıdki itleri değerlerii buluuz. ) f ( ) g ( ) " e) " b) f ( ) g ( " f) " ) c) f ( ) " g) g ( ) " d) f() h) g(). O Şekilde f() foksiouu grfiği verilmiştir. Bu göre şğıdki ifdeleri değerleri buluuz. ) f ( ) f) f( ) " " b) f ( ) g ( " g) " ) c) f ( ) h) f( ) " " d) f ( ) f ( " k) " ) e) f ( ) " l) f ( ) " ) ) b) c) d) e) f) g) Yoktur h) ) ) b) c) d) e) Yoktur f) g) h) k) Yoktur l)

9 Sbit ve Poliom Foksiolrı Limiti LİMİT Kou Özeti (Sbit Foksiou Limiti) c R olmk üzere; f() c sbit foksiou içi, c C f ( ) c c dir. " " Limit değişkei dışıdki değişkeler sbit kbul edilir. Kou Özeti (Poliom Foksiouu Limiti) N olmk üzere; f()... poliom foksiou içi, f() f() dır. " ÖRNEK f: R R, f() foksiou içi şğıdki it değerlerii buluuz. ) f ( ) " b) f ( ) " ÇÖZÜM f() olduğu göre, c) f ( ) " ÖRNEK f: R R, f() foksiou içi şğıdki it değerlerii buluuz. ) f ( ) " ) f ( ) tir. " " b) f ( ) tir. " " c) f ( ) tir. " " o f() b) f ( ) " ÇÖZÜM f() olduğu göre, ÖRNEK (Limit Değişkei) ) f ( ) f( ) dir. " h" itii eşitii buluuz. b) f ( ) f( ) dir. " ÇÖZÜM Limit değişkei "h" dir. O hlde tir. h". f: R R, f() foksiou içi şğıdki it değerlerii buluuz. ) f ( ) " c) f ( ) " Aşğıdki itleri değerlerii buluuz.. ( ) " b) f ( ) " d) f ( ) ". ( ) ". Aşğıdki itleri eşitii buluuz.. ( ) " ) " c) ". ( ) " b) h" d) ". ( ) " ) ) b) c) d) ) ) b) c) d) ) ) ) ) 9 )

10 LİMİT ÖZELLİKLRİ Foksio İşlemleride Limit Kou Özeti f ve g, oktsıd itleri ol iki foksio olmk üzere; v [f()±g()] f() ± g() tir. " " " v [f() g()] f() g() tir. v " " " f() f() " > H tir. g( ) " g() g() " k " vv c R içi [c f()] c f()] tir. " " Limit ilişkisi olduğu foksiolrı her birie rı rı bir virüs gibi bulşır. ÖRNEK ÇÖZÜM f ( ) ( ) tür. " " g ( ) ( ) dir. " " H 678 ) [ f ( ) g ( )] f ( ) g ( ) 8 buluur. " " " H 678 b) [ f ( ) g ( )] f ( ) g ( ) 9 dur. " " " H 678 c) [() f g ( )] f ( ) g ( ) 6 buluur. " " " f, g: R R, f() ve g() foksiolrı içi şğıdki it değerlerii buluuz. ) [ f( ) g( )] " c) [() f g( )] " b) 6 f( ) g( " d) f ( ) > H g ( ) ( ) " H F f ( ) f ( ) " " d) > H " g ( )( ) g ( ) ( ) " " buluur. " " ". f ( ), g ( ) ve h ( ) içi şğıdki it değerlerii buluuz. ) 6 f( ) g( ". f ve g: R R, f() ve g() foksiolrı içi şğıdki it değerlerii buluuz. ) 6 f ( ) g ( " b) f ( ) > H h ( ) " b) 6 f( ) g( " c) 6 f( ) g ( " c) 6 f( ) g( " d) f ( ) h ( ) > H g ( ) " g ( ) d) > H " f ( ) 6 ) ) b) c) d) ) ) b) c) 6 d) 8

11 Mutlk Değer ve Köklü İfdelerde Limit LİMİT ÖZELLİKLERİ Kou Özeti (Mutlk Değer İfdeleride Limit) Kou Özeti (Köklü İfdelerde Limit) f, oktsıd iti ol bir foksio olmk üzere, f() f() dir. " " Mutlk değeri içii sıfır p kritik oktlrd sğd sold it rştırılır. İleride detlı işleecektir. ÖRNEK f, oktsıd iti ol bir foksio olmk üzere, v tek doğl sı ise v f() f() tir. " " çift doğl sı ve i civrıdki tüm değerleri içi f() ise f() f() tir. " " çift doğl sı ike f() < ise f ( ) tımsızdır. R de tımlı f foksiou içi f ( ) ise " ÖRNEK f( ) " itii değerii buluuz. ^ 9 h itii değerii buluuz. " ÇÖZÜM f( ) ( f ( ) " " 8 H H f( ) 8 tir. " " ÇÖZÜM ^ 9 h 9 " " " ( ) ( 9) 9 8 " " 9 8 ( ) buluur. Aşğıdki itleri eşitii buluuz. Aşğıdki itleri eşitii buluuz.. ". ". ^ h ". 6 ". ". ^ h ". R de tımlı f foksiou içi f ( ) olduğu " " göre f( ) itii eşiti edir?. " ) ) 7 ) 8 ) 9 ) ) ) ) 8 7

12 LİMİT ÖZELLİKLERİ Sıkıştırm Kurlı / SğdSold Limit Özellikleri Kou Özeti (Sıkıştırm (Sdviç) Kurlı) Kou Özeti (Sğd Sold Limit Özellikleri) f ve g, oktsıd itleri ol bir foksio olmk üzere, i civrıdki tüm değerleri içi f() h() g() ike f ( ) g ( ) L " " & h() Ldir. " L g h f Limit özellikleri sğd sold itler içi de geçerlidir. Sğd sold it hesplırke bir sı civrıd ( ve ile) işlemlerde fdlıldığıı htırlıız. ÖRNEK ÖRNEK R {} içi f() olduğu göre f ( ) değerii buluuz. " ÇÖZÜM f( ) & ( f( ) ) " & ( ) f( ) ( ) " " " & f ( ) & f ( ) buluur. " " R de tımlı bir f foksiou içi f ( ) ve f ( ) ise " " 6 f( ) f( 7 itii değerii buluuz. " ÇÖZÜM f ( ) & f( ) ve f( ) & f( ) " " [( f ) f( 7 )] f( ) f( 7 ) " " " E E f( ) f( 7 ) f( )f( ) dir. " ". f ( ) ve g ( ) içi f() h() g() olduğu göre h( ) itii değeri edir? ". f ( ) 6 f ( ) " olduğu göre " 6 itii değeri edir?. f(), g() ve f() h() g() olduğu göre h( ) itii eşiti edir? ". f ( ) f( " olduğu göre " ) itii değeri edir? " ". f ( ) ve g ( ) içi f() h() g() olduğu göre 6 h( itii değeri edir? ". f ( ) 8 ve f ( ) olduğu göre " " f( ) f( ) > H itii değeri edir? " f ( ) 8 ) ) 9 ) ) 6 ) )

13 Ugulm Zmı Ugulm. Gerçek sılr kümeside tımlı f foksiou içi R ike f ( ) ise f ( ) f ( ) çrpımı kç eşittir? " " ". o f() o g().,,,,,999,99,9,7 f(),,7,99,997,,,, Yukrıd klşım değerleri verile f() foksiou içi şğıdki itleri değerii buluuz. ) f ( ) f ( " c) " ) b) f ( ) d) f( ) " " Şekilde f() ve g() foksiolrıı grfikleri verilmiştir. Bu göre şğıdki itlerii buluuz. ) f ( ) f) g ( ) " " b) f ( ) g) [() f g ( )] " " c) f ( ) h) 6 f ( ) g ( )@ " " d) f ( ) k) " f ( ) > H " g ( ). Gerçek sılr kümeside tımlı f foksiouu içi iti gerçek sısı ike, e) g ( ) l) 6 f ( ) g ( " " f ( ) b ve f ( ) b olduğu göre " " b çrpımı kçtır? 6. f() o. f: [, ) R olrk tımlı şekildeki f() foksiou içi şğıdki ifdeleri değerlerii buluuz. o Şekilde f() foksiouu grfiği verilmiştir. Bu göre şğıdki itleri eşitii buluuz. ) f( ) d) f ( ) g) f ( ) " " b) f ( ) " e) f ( ) " h) f ( ) " c) f ( ) f) f() ı) f() " ) f ( ) d) f( ) " " b) f ( ) e) f ( ) " " c) f ( ) f) f ( ) " " ) 9 ) ) b) c) Yoktur d) ) ) ) b) c) d) e) Yoktur f) g) h) ı) Tımsız ) ) b) c) d) e) f) g) h) k) l) 8 6) b) c) d) e) Yoktur f) 9

14 " " 7. f ( ) ve g ( ) olduğu göre şğıdki itleri eşitii buluuz. ) 6 f( ) g( c) f ( ) " g ( ) " 9. f, gerçek sılr kümeside tımlı bir foksio ve f( ) olduğu göre f ( ) itii " değeri kçtır? " b) 6 f( ) g( d) f( ) g( ) " ". f(), g() ve R içi 8. Aşğıdki it değerlerii eşitii buluuz. ) " g() h() f() olduğu göre (() f h( ) g( )) itii değeri kçtır? " b) ( ) " c) t t". R içi f ( ) olduğu göre f ( ) değeri edir? " d) " 7 e) ". 6 f( 8 olduğu göre 6 f ( " " itii değeri edir? f) ^ h " g) ( ) ( ) " ( ) ( ). f: R R olmk üzere f ( ) 6 ve f ( ) " " olduğu göre 6 f ( ) f( 6 itii " değeri edir? h) ^ eh " 99 7) ) b) c) d) 8) ) b) c) d) e) f) g) h) e 9) 9 ) ) ) )

15 Tekrr Zmı ÇÖZÜMLÜ TEST. f ( ) ve g ( ) olduğu göre " " g ( ) f ( ) frkıı değeri kçtır? " " A) B) C) D) E). f() o Şekilde f() foksiouu grfiği verilmiştir. Bu göre şğıdkilerde hgisi lıştır?. itii değeri kçtır? " A) B) C) D) E) A) f ( ) B) f ( ) " " C) f ( ) " E) f ( ) " D) f ( ) " 6.. i içi iti edir? A) B) C) D) E) o f() Şekilde f() foksiouu grfiği verilmiştir. Bu göre f ( ) f ( ) f( ) f( ) " ( ) " ( ) ifdesii eşiti şğıdkilerde hgisidir? A) B) C) D) E). ^ h itii değeri kçtır? " A) 7 B) 6 C) D) E) 7. f( ) " ( ) olduğu göre f ( ) itii değeri kçtır? " A) 8 B) C) D) 7 E) 9

16 8. ( ) 9 olduğu göre " ( ) itii değeri kçtır? " A) B) C) D) E) 7. R içi f() dir. Bu göre içi f() ifdesii değeri kçtır? A) B) C) D) E) 9. R de tımlı f foksiou içi f ( ) ise " " f( ) itii değeri kçtır? A) B) C) D) E). f ( ) ve g ( ) tür. " " Bu göre f ( ) g( ) " " eşiti şğıdkilerde hgısidir? ifdesii A) B) C) D) E) 6. f() o g() o Şekilde f() ve g() foksiolrıı grfikleri verilmiştir. Bu göre şğıdkilerde hgisi lıştır?. f ( ) 6 ve f ( ) olduğu göre " " f( ) > H itii değeri kçtır? " f ( ) A) B) C) D) E) A) [() f g ( )] " B) f ( ) g ( ) " " C) [() f g( )] 8 " D) [() f g ( )] " E) (( f ) g ( )) 7 ". f: R R tek foksio olmk üzere [() f ] olduğu göre " [() f ] değeri kçtır? " A) B) C) D) E). B. C. B. A. C 6. B 7. E 8. E 9. E. D. C. D. B. E

17 Tekrr Zmı Test Çözümü. g ( ) ise g( ) dir. " " 9. f( ) ise f( ) tür. " f ( ) ise f( ) dir. Burd " " f ( ) ^ h f^ h buluur. " g ( ) f ( ) tür. " " Cevp: B Cevp: E. " tür. Cevp: C. f ( ) ve g ( ) olduğud " " 6 f( ) g( dır. " Dolısıl D seçeeği lıştır. Cevp: D. buluur. " Cevp: B. ^ h ^ h ^ h " 7 7 buluur.. G f( ) G ise ^ G f ( ) G h " & G f( ) G ^ h " " " > Cevp: A & G f( ) G olduğud f( ) buluur. " " Cevp: C. f ( ) ve f ( ) olduğud f( ) oktur. " " Dolısıl C seçeeği lıştır. " Cevp: C 6. f ( ), f ( ) " ^ h " ^ h f( ) ve f() dir. Burd f ( ) f ( ) f( ) f( ) buluur. " ^ h " ^ h Cevp: B. f ( ) ve f ( ) dir. " " g ( ) ise g( ) tür. Burd " " f ( ) g ( ) & f ( ) g ( ) " " " " 9 buluur. Cevp: D 7. f( ) f( ) & " ^ h ^9 h & f( ) & f( ) & f( ) 6 & f( ) 9dur. Burd f( ) f( ) 9 buluur. " Cevp: E f^ h. > H " f^ h f^ h " f^ h " f^ h 6 buluur. f^ h Cevp: B 8. ^ h 9 & 9 & & dir. " Burd ^ h 7 buluur. " Cevp: E. f tek foksio ise f() f( ) dir. Yi f() f( ) tür. 6 f ( & f( ) & f( ) tir. " O hlde f() f( ) olduğud f( ) tir. Burd 6 f( f( ) 7 buluur. " Cevp: E

18 ÖZEL FONKSİYONLARDA LİMİT Prçlı Foksiolrd Limit Kou Özeti Prçlı foksiolrı prçlm oktlrı kritik oktlrıdır. Z g ( ), < ] fr : " R, f( ) [ c, ] h ( ), > \ prçlı foksiou içi it iceleirke; v kritik okt i prçlm oktsıd sold ve sğd ite bkılır. < olduğud f ( ) g ( ) dir. " " > olduğud f ( ) h ( ) dir. " " v Kritik olm oktlrd it lıırke, bu okt civrıd suul foksio prçsı göre it belirleir. b < içi f ( ) g ( ) dir. " b " b d > içi f ( ) h ( ) dir. " d " d ÖRNEK, < fr : " R, f( ) ', foksiouu şğıdki oktlrd itlerii rştırıız. ) b) c) ÇÖZÜM Foksiou prçlm oktsı ol kritik oktsıdır; o ) kritik okt değildir; < olduğud, C f ( ) ( ) buluur. " " b) kritik okt olduğu içi sold sğd ite bkılır; C < içi f ( ) ( ) dir. " " C > içi f ( ) ( ) dır. " " f ( ) f ( ) & f ( ) oktur. " " " c) kritik okt değildir. > olduğud, C f ( ) ( ) buluur. " " Z, < ]. f ( ) [, < ], \ foksiou içi şğıdki itleri değerlerii buluuz. ) f ( ) d) f ( ) " " Z ],. f ( ) [, < < ] \, foksiou verilior. Bu göre şğıdki itleri değerlerii buluuz. ) f ( ) d) f ( ) " " b) f ( ) e) f ( ) " " b) f ( ) " e) f ( ) " c) f ( ) " f) f ( ) " c) f ( ) " f) f ( ) " ) ) b) c) d) 8 e) f) Yoktur ) ) b) c) 7 d) e) f)

19 Mutlk Değer Foksiou Limiti ÖZEL FONKSİYONLARDA LİMİT Kou Özeti Mutlk değer foksiolrıı içii sıfır p oktlr kritik oktlrıdır. fr : " R, f( ) itii iceleirke v v " kritik okt i f() ise sold ve sğd ite bkılır. kritik okt değilse i f() ise f( ) f( ) dır. " ÖRNEK fr : ", " R, f( ) foksiouu ) b) c) oktlrıdki itlerii rştırıız. ÇÖZÜM kritik oktlrdır. ( ) ) kritik okt değildir; f ( ) f( ) buluur. " b) kritik okt olduğu içi sğd ve sold ite bkılır; < içi f ( ) ( ) " " " > içi f ( ) ( ) dir. " " " O hlde f ( ) f ( ) & f ( ) oktur. " " " c) kritik okt değildir; f ( ) f( ) buluur. " Grfikte de görüldüğü üzere f ( ), f ( ) oktur " " ve f ( ) dir. " f() o Aşğıdki itleri değerii buluuz.. ". ". ". ". f p " 9 6. " 7. " Z ] ], < [ 8. f ( ), ], > \ olmk üzere f ( ) itii değeri kçtır? " 9. 6 f ( )@ olduğu göre f ( ) itii " değeri kçtır? " ) ) ) ) ) 6) Yoktur 7) Yoktur 8) 9)

20 ÖZEL FONKSİYONLARDA LİMİT Üstel ve Logritmik Foksiolrı Limiti Kou Özeti (Üstel Foksiolrı Limiti) c R {} olmk üzere f, oktsıd iti ol bir foksio ise c " f() c f() " tir. Çözüm pılırke d cevp verilirke gerekirse üstel düzelemeler pılbilir. ÖRNEK c " 7 m itii değerii buluuz. Kou Özeti (Logritmik Foksiolrı Limiti) f, oktsıd iti ol bir foksio ve civrıd f() > olmk üzere 6log log 9 f() C tir. " b b " f() < ise log b f() tımsızdır. Logritm özelliklerii htırlıız: v log v l log e v log b log b m v log log v b v log c m log blog c c log (b c) log b log c Çözüm pılırke d cevp verilirke gerekirse logritmik düzelemeler pılbilir. ÇÖZÜM 7 7 c m " " " ( ) ( 7 ) ( 7 ) " " ( ) buluur. üstel düzeleme ÖRNEK 6 log ( 6) itii değerii buluuz. ÇÖZÜM 6log ( 6) log ( 9 C " " G log ( 6) log 8 log log buluur. Aşğıdki itleri değerlerii buluuz. Aşğıdki itleri değerii buluuz.. " 8. 9log ^ hc ". 6 ". ". c " m. 6 log( ". 9log ^ h log ^ 8h 6 6 C " f (). e olduğu göre f ( ) itii değeri " kçtır? ". 9log ^ h log ^ hc " 6 ) ) ) 7 ) ) l ) ) ) )

21 R de Limit I ÖZEL FONKSİYONLARDA LİMİT Kou Özeti (Geişletilmiş Reel Sılrd İşlemler) Reel sılr kümesie (egtif sosuz) ve (pozitif sosuz) kvrmlrıı eklemesi ile oluş sı kümesie geişletilmiş reel sılr kümesi deir ve R ile gösterilir. R (,) & R [, ] dur. Sosuz kvrmı çok büük olmı ifde eder ve sı değildir. Sosuz sı değildir;... ve... _ b ck dki gibi,... b sılr olduklrı düşüülerek geişletil... ` b miş reel sılrd işlemleri pbilirsiiz.,... b... v () (), ( ) ( ) v () (), ( ) ( ), () ( ) vv N içi (),, ( ) ' çift, tek vv N içi, tek ise ÖRNEK Aşğıdki işlemleri dvrışıı R de tespit ediiz. ) b) c) d) e) ÇÖZÜM ) " " b),..,.. " " tımsız... c) " " " c m",.. d) "... " e) Her sı sosuzd dh küçüktür; " ÖRNEK (Kuvvetler) Aşğıdki işlemleri dvrışıı R de tespit ediiz. ) b) ( ) c) d) c m e) c m ÇÖZÜM u tek d çift olduğu tımlı değildir. )... b) ( ) mu mu olcğı tespit edilemez. c) d) c m " " " çok büük sı " " e) c m " " çok büük sı ifdesi dh hızlı sosuz ilerler, sı gibi dvrır. ifdesi dh hızlı sosuz ilerler sı gibi dvrır. Aşğıdki işlemleri dvrışıı geişletilmiş reel sılr kümeside tespit ediiz... c m e. 8. ( ) ( ) 6. e. c m ( ) 9. ( ) ( ). ( ) ().. ( ) ( ). c m. c m c m ^ h. ( ). ( ) c m 7 8.! ) ) ) ) ) 6) 7) 8) 9) ) ) ) ) ) ) 6) 7) 8) 9) Tespit Edilemez ) Yklşır ) ) ) ) ) Yklşır 6) 7) 8) 7

22 ÖZEL FONKSİYONLARDA LİMİT R de Limit II Kou Özeti (Sosuz, Tımsız ve Belirsiz) Limitte sıkç krşılşcğıız sosuz, tımsız ve belirsiz ifdelerii birbirile krıştırmıız. v R {} içi ± ± dur ve ± dır. ÖRNEK (Kuvvetler) Aşğıdki işlemleri dvrışıı R de tespit ediiz. ) b) c) d) e) f) g) 9 h) 8 ı) k) log ( ) l) l m) tc m ) o) p) r) v v R {} içi " tımsızdır. " belirsizdir. ÇÖZÜM,,,,,, ifdeleri belirsiz durumlrdır. ) Belirsiz b) c) Tımsız d) " e) Belirsiz f) Belirsiz Sosuz, sıırsız büük ck reel sı olm durumlrdır; tımsız, mtemtiksel olrk tımsız kbul edile durumlrdır; belirsiz, tımlı ck tm belirleemee durumlrdır. g) 9 Tımsız h) 8 ı) Belirsiz k) log ( ) Tımsız l) l m) tc m Tımsız ) Belirsiz o) Belirsiz p) r) belirsiz Aşğıdki işlemleri dvrışıı geişletilmiş reel sılr kümeside tespit ediiz ( ). ( ) 8. log 9. log.... log cot. cot cot tc m log 6. tc m 8 ) ) ) ) ) 6) 7) Tımsız 8) 9) Belirsiz ) Tımsız ) ) ) ) ) Belirsiz 6) 7) 8) Tımsız 9) Tespit Edilemez ) Yklşıor ) Belirsiz ) ) Belirsiz ) Tımsız ) Belirsiz 6) Belirsiz 7) Tımsız 8) 9) Tımsız ) ) Belirsiz ) Tımsız ) ) ) 6

23 R de Limit III ÖZEL FONKSİYONLARDA LİMİT Kou Özeti ( f ( ) ± Limitler) " " f ( ) ± ifdesi ile gerçel sılr kümeside (R de) iti vr olduğu lşılmmlıdır. Çükü ± gerçel sı değildir i ± R dir. f ( ) ± iti ile civrıd f() i " sıırsız rtış d zlış dvrışı ifde edilir. R ve N olmk üzere; v > ike v < ike " b ( b ) " b ( b ), çift ise * oktur, tek ise *, çift ise oktur, tek ise Yukrıdki durumlrı ezberlemeize gerek oktur. Bir sı civrıd ve geişletilmiş reel sılrd işlemler ile souc ulşbiliriz. ÖRNEK (Kesirli Foksiolrd Limit) Aşğıdki it değerlerii buluuz. ) b) " " c) " ( ) ÇÖZÜM Kesirli foksiolrı pdsıı sıfır p okt kritik oktlrdır ve sğd sold ite bkılır. Dvrış ) " (sıırsız rtış) o (sıırsız zlış) " ike f() krkteristik bir dvrış göstermediği içi, oktur deilir. " b) _ b " ` oktur. " b " c) _ " ( ) ( ) ( ) b ` ( " ) " ( ) ( ) ( ) b Aşğıdki itleri değerii buluuz.. ". ". ". ". " 6. " 7. " 8. " 9. ". ". " ( ). ". ". ". " 6. l( ) " ) ) ) ) ) 6) 7) 8) 9) Yoktur ) Yoktur ) ) ) ) Yoktur ) 6) 9

24 ÖZEL FONKSİYONLARDA LİMİT R de Limit IV Kou Özeti ( f ( ) Limitler) " ± ÖRNEK Aşğıdki it değerlerii buluuz. R olmk üzere dır. " ± o ) ( ) " d) ( ) " b) " c) e) ( e ) " " ( ) R ve N olmk üzere; " ± ( b )... poliomik ifdesi içi dır. (... ) ( ) dir. " ± " ± Nedei içi öreği d şıkkıı iceleiiz. ÇÖZÜM Formül ezberlemede bir sı civrıd ve geişletilmiş reel sılrd işlemler ile soucu ulşılbilir. ) ( ) o " / b) o " R olmk üzere f() foksiou içi, v > ise < ise o o dır. " " dır. " dur. dır. " c) " ( ) ( ) ( ) prtezie llım d) ( ) > f ph ike " " / ve / ; c me dur. " " e) e,7... > içi sıfır olur e e dır. " e. Aşğıdki itleri değerii buluuz. ) 6 " e) ^ h ". c " m itii değeri edir? b) " f) ". > H itii değeri edir? " c) " g) " d) c m h) c " " m. ; c m E itii değeri edir? " e ) ) 6 b) c) d) e) f) g) h) ) ) )

25 R de Limit V ÖZEL FONKSİYONLARDA LİMİT Kou Özeti ( R de Limiti Grfik Yorumu) f() f: R {, b} R k olmk üzere; O b v f ( ) k " v f ( ) ve f ( ) olduğud " " f ( ) oktur. " v f ( ) ve f ( ) olduğud " b " b f ( ) dur. " b v f ( ) dur. " sıırsız rtışı, sıırsız zlışı belirte foksio dvrışlrıdır. ve gerçek sılr kümeside er lmz. DİKKAT EDİNİZ! ÖRNEK Şekildeki f: R {, } R f() foksiouu grfiğie göre şğıdki it değerlerii buluuz. ) f ( ) " b) f ( ) " c) f ( ) " ÇÖZÜM Grfiği dikktli okuuuz. d) f ( ) " ) ike f() sıırsız zlır: f ( ) b) c) f ( ) " ( ) f ( ) f oktur. " " f ( ) " f ( ) f ( ) dur. " " d) f ( ) dir. " ".. f() f() O O Şekilde f() foksiouu grfiği verilmiştir. Bu göre şğıdki it değerlerii buluuz. Şekildeki f() foksiouu grfiği verilmiştir. Bu göre şğıdki it değerlerii buluuz. ) f ( ) d) f ( ) " " ) d) f ( ) " f ( ) " b) f ( ) e) f ( ) " " b) f ( ) e) " f ( ) " c) f ( ) " f) f() " c) 6 f ( f) f ( ) " " ) ) b) c) Yoktur d) e) f) ) ) b) c) d) e) f)

26 Ugulm Zmı Ugulm, >. f ( ) *, foksiou içi şğıdki itleri değerii buluuz.. Aşğıdki itleri değerlerii buluuz. ) " 9 e) " ) f ( ) " d) f ( ) " b) " f) " b) f ( ) " e) f ( ) " c) g) " " c) f ( ) " f) f ( ) " d) h) " " 8 Z ], <. f ( ) [, < ] \, foksiou içi şğıdki itleri değerii buluuz. ) f ( ) " e) f ( ) ". > H itii değeri edir? ". itii değeri edir? " b) f ( ) " f) f ( ) " 9 6. itii değeri edir? " 6 7. " itii değeri edir? c) f ( ) g) f ( ) " " 8. f( ) olduğu göre f ( ) itii " değeri edir? " d) f ( ) h) f ( ) " " 9. ^ 6 " h itii değeri edir? ) ) b) c) d) 8 e) 8 f) 8 ) ) b) c) 8 d) 8 e) 8 f) 8 g) h) Yoktur ) ) 8 b) c) d) e) 6 f) g) h) ) ) 6) 7) Yoktur 8) 9) 9

27 . 6 log ( ) log itii değeri edir?.. 9log ( ) log ( ) C itii değeri edir? " f(). 9log ( 6) log ( ) C itii değeri " edir? O. Aşğıdki itleri değerii buluuz. ) l) " " Şekilde f() foksiouu grfiği verilmiştir. Bu göre şğıdki it değerlerii buluuz. ) f ( ) g) 6 f ( " " 6 b) m) " " c) ) 7 " " d) o) c m " " e) p) " " b) f ( ) " c) f ( ) " d) f ( ) " e) f ( ) " h) k) l) f ( ) " f ( ) " f ( ) " f ( ) m) " f) " r) c m " f) f ( ) ) " " f ( ) g) s) " ". f() fosiouu içi f ( ) " itii değeri edir? h) " k) " t) e " u) " 6. (, ] olduğu göre içi ifdesii iti edir? ) ) ) ) ) b) c) d) e) f) g) h) Yoktur k) l) m) ) o) p) r) s) t) u) ) ) b) Yoktur c) d) e) f) g) h) k) l) m) ) ) 6)

28 Tekrr Zmı ÇÖZÜMLÜ TEST Z ], <. f ( ) [, < ] \, foksiou içi 6. ^ " h itii değeri kçtır? A) B) 8 C) D) E) 6 f ( ) f ( ) f ( ) " " " şğıdkilerde hgisidir? toplmıı eşiti A) B) C) D) E). 9log log C itii değeri kçtır? " A) B) C) 6 D) 8 E), 7. f ( ) *, < fosiou verilior. f() i tımlı olduğu her oktsıd iti olduğu göre " " f ( ) f ( ) toplmı şğıdkilerde hgisidir? A) B) C) D) E) 8. c m itii değeri kçtır? " A) B) C) D) E) 8. " ifdesii eşiti şğıdkilerde hgisidir? A) B) C) D) E). itii eşiti edir? " A) B) C) D) E) 9. " itii değeri şğıdkilerde hgisidir? A) B) C) D) E). f ( ) olduğu göre f ( ) f ( ) ifdesii eşiti şğıdkilede " " hgisidir?. > c m H itii değeri şğıdkilerde " hgisidir? A) B) C) D) E) A) 8 B) 9 C) D) E)

29 " e. > c m c m H itii değeri şğıdki lerde hgisidir?. f() A) B) C) D) E) O Şekilde f() foksiouu grfiği verilmiştir.. ; c m E itii değeri şğıdkilerde " hgisidir? A) B) C) D) E) Bu göre şğıdkilerde hgisi lıştır? A) f ( ) " C) f ( ) " B) f ( ) " D) f ( ) " E) f ( ) oktur. ". 6. O f() Şekilde f() foksiouu grfiği verilmiştir. O " " Bu göre f ( ) f ( ) ifdesii eşiti şğıdkilerde hgisidir? A) B) C) D) E) Şekilde f() foksiouu grfiği verilmiştir. Bu göre I. f ( ) " IV. f ( ) ". " itii değeri edir? II. f ( ) V. f ( ) " " III. f ( ) " Öermeleride hgileri doğrudur? A) I, III ve V B) I, II ve IV C) II, III ve V A) B) C) D) E) D) II, III ve IV E) I, III ve IV. D. B. C. A. E 6. E 7. C 8. A 9. C. D. C. E. D. A. E 6. E

30 Tekrr Zmı ÇÖZÜMLÜ TEST. f ( ) e foksiou verilior. l( ) ii f() değeri edir? A) B) C) D) E) 6. f p itii değeri şğı " dkilerde hgisidir? A) B) C) D) E). f foksiou gerçek sılr kümeside tımlı ve olduğu göre f ( ) itii değeri " f () edir? " 7. " itii değeri kçtır? A) B) C) D) E) A) B) C) D) log E)log 8. f p itii değeri kçtır? " A) B) C) D) E) itii değeri şğıdkilerde hgisi. " dir? A) B) C) D) E) Z ]. f ( ) [, ], \ foksiou verilior. " Bu göre f ( ) ifdesii değeri şğıdkilede hgisidir? 9. " " itii değeri şğıdkilerde hgisidir? A) B) C) D) E) A) B) C) D) E) Limiti Yoktur. > log c mh itii değeri şğd " kilerde hgisidir?. f: R {} R Z ], < f ( ) [ ], > \ foksiouu oktsıdki iti değeri şğıdkilerde hgisidir? A) B) C) D) E) 6 A) B) C) D) E)

31 . " 7 iti değeri kçtır? A) B) C) D) E). f () O Şekilde f() foksiouu grfiği verilmiştir.. " e itii değeri şğıdkilerde hgisidir? A) B) C) D) E) Bu göre şğıdkilerde hgisi lıştır? A) f ( ) " C) f ( ) " E) f ( ) " B) f ( ) " D) f ( ) ".. f() O O Şekilde f() foksiouu grfiği verilmiştir. Bu göre I. f ( ) " IV. f ( ) " II. f ( ) V. f ( ) " " III. f ( ) VI. f ( ) " " İfdeleride hgileri doğrudur? A) I, II ve III B) I, III ve IV C) II, III ve IV Şekildeki f() foksiouu grfiği verilmiştir. Bu göre I. f ( ) III. " f ( ) " II. f ( ) " f ( ) IV. f ( ) " Yukrıd verilelerde kç tesi doğrudur? A) B) C) D) E) D) II, III ve VI E) II, III ve V. D. D. E. E. B 6. A 7. D 8. B 9. A. E. B. D. E. D. B 7

32 Tekrr Zmı Test Çözümü. f ( ) ^ h " " f ( ) ^ h " " f ( ) ^ h tür. Burd " " f ( ) f ( ) f ( ) buluur. " " " Cevp: D. > c m H c m " buluur. Cevp: D. 9log log C log k log k " " " 6 log log log log log log buluur. > > Cevp: B e. > c m c m H " e e c m c m c m buluur.. c m dır. " Cevp: C Cevp: C. buluur. " " Cevp: A. ; c m E c m ^ h buluur. " Cevp: E. f ( ) f p dir. " " " f ( ) c m 6 dir. " " Dolısıl 7 buluur. Cevp: E. Grfiğe göre f ( ) ve f ( ) dir. " " Dolısıl f ( ) f ( ) buluur. " " Cevp: D 6. ^ h 9 6 buluur. " Cevp: E. " buluur. 7. f ( ) ^ h " " ı. f ( ) ^ h dr " " Cevp: A Burd f ( ) f ( ) buluur. " " Cevp: C. f( ) dir. Dolısıl E seçeeği lıştır. " Cevp: E ^ h 8. " " ^ h^ h buluur. Cevp: A 6. f ( ), f ( ), f ( ) ve f ( ) dir. " " " " Burd I, III ve IV doğrudur. Cevp: E 9. " " " buluur. 8 Cevp: C

33 Tekrr Zmı Test Çözümü. e e " l l ^ h buluur. f (). f () f( ) " f ( ) " f ( ) & & log log & f( ) log dolısıl f ( ) f ( ) log " dir. Cevp: D Cevp: D. kritik okt olduğud içi sğdsold ite bkmlıız., dolısıl " " buluur. " Cevp: E 9. " " buluur. _. f ( ) b " " ` f ( ) b " " olduğud f( ) buluur. " Cevp: A Cevp: E. kritik okt olduğud sğdsold ite bkmlıız. _ b b " ` eşit olmdığıd b içi f() i iti oktur. " b Cevp: E. " buluur. Cevp: B. > log f ph " f p log log log buluur. Cevp: B. e " e buluur. e e Cevp: D 6. f p " ^ h ^ h 8 8 buluur. Cevp: A. f ( ), f ( ), f ( ) " " " f( ) Yoktur, f ( ) ve f ( ) dur. " " " Dolısıl II, III ve V doğrudur. Cevp: E 7. " buluur. Cevp: D. f ( ), f ( ), f ( ), f ( ) ve " " " " f ( ) dir. Dolısıl D seçeeği lıştır. " Cevp: D 8. f ^ h p " ^ h buluur. Cevp: B. f ( ), " " f ( ) f ( ), f ( ) f ( ) dur. " " Dolısıl tesi doğrudur. Cevp: B 9

34 ÖZEL FONKSİYONLARDA LİMİT Trigoometrik Foksiolrı Limitleri I Kou Özeti R olmk üzere, v si si v " cos cos " t t ^cos h " v cot cot ( si ) " Trigoometrik foksiolrı itleride geelde rd ciside çı ölçüsü kullılır. ± ike si ve cos foksiolrı [, ] rlığıd değişe periodik değerler olcğıd si ve cos itleri hesplmz. " ± " ± ÖRNEK Aşğıdki it değerlerii buluuz. ) si " b) cos " c) t " d) cot " ÇÖZÜM ) si si " c) t t " ÖRNEK (Limitsiz Durumlr) b) cos cos " d) cot cot " Aşğıdki it değerlerii buluuz. ) si " ± ÇÖZÜM b) cos " c) t " ) ike si ifdesi [, ] rlığıd periodik değerler lcğı içi si iti hesplmz. " b) ike cos ifdesi [, ] rlığıd periodik değerler lcğı içi cos iti hesplmz. " c) t içi kritik oktdır. t _ " c m b ` it oktur. t " c m b Aşğıdki itleri değerii buluuz.. cos " 6. " si. si ". cot " 8. ( si ) ". cos c m " si 7. cos 8. " ( ) cos > cosecc mh " 9. > cos t " si H. si ". cot " ) ) ) ) ) 6) 7) 8) 9) ) ) Limit Yoktur

35 Trigoometrik Foksiolrı Limitleri II ÖZEL FONKSİYONLARDA LİMİT Kou Özeti (Trigoometrik Foksiolrı Sold ve Sğd Limitleri) Trigoometrik foksiolrı sold ve sğd itleri tespit edilirke grfikleri üzerideki sğd ve sold klşımlrı göz öüe lımlıdır v Trigoometrik bölge işretlerie ( * ) göre bir sı civrıdki değerler tespit edilir. cos si O Öreği, I. Bölgede II. Bölgede sic m ve sic m I. Bölgede II. Bölgede cosc m ve cosc m t ve cot i sğd itleride si cos t ve cot özdeşlikleride cos si fdlılır. Biliorsız grfiklerii de kullbilirsiiz. ÖRNEK Aşğıdki it değerlerii buluuz. cos si cos ) b) " cos " si ÇÖZÜM Pdı sıfır p kritik oktlrd ve değerleri kullılır. ) cos si cos si cos cos " b) cos cos ( ) si " si ÖRNEK (t ve cot i Kritik Noktlrı) ) t ) b) " c m ÇÖZÜM b) ( cot) " si^ h t tc m cos^ h " c m cos ( ) cot cot " si Aı durumu grfik üzeride de gözlemleebiliriz. t ve cot " ^ h " cot t Aşğıdki itleri değerii buluuz.. si " si. si ". cos ". " t cos si. cos " c m si cos 6. f p si cos " ) ) ) ( * ) I. bölgede hepsi, II. bölgede siüs, III. bölgede tjt ve cotjt, IV. bölgede cosiüs pozitiftir. ) ) 6)

36 ÖZEL FONKSİYONLARDA LİMİT Bileşke Foksiolrı Limiti Kou Özeti Sold ve sğd klşmlr bileşke foksio değerii l kdr kullılılır. DİKKAT EDİNİZ. Öreklerle çıkllım. ÖRNEK (Prçlı Foksio Yorumu) f, g: R R olmk üzere,, <, f ( ) ' ve g ( ) ',, > ÖRNEK (Grfik Yorumu) Şekilde grfiği verile f: R R foksiou içi şğıdki it değerlerii buluuz. ) ( fof)( ) " b) ( fof)( ) " O ise ( fog)( ) itii değerii buluuz. " ÇÖZÜM Grfiği okurke dikkt ediiz. ÇÖZÜM ( fog)( ) ( g ( )) fg ( ( )) dir. " " G > olduğud fg ( ( )) f( ) f( ) dir. E < olduğud f ( ) 6 6 dır. E ) ( fof)( ) ff (()) ff (( )) f( ) dir. b) " " H ( fof)( ) ff (()) f f( ) k " " " f( ) buluur., >, <. f ( ) * ve g ( ) *,, foksiolrı verilior. Bu göre şğıdki it değerlerii buluuz.. ) ( gof)( ) " d) ( fog)( ) " O b) ( fof)( ) e) ( fog)( ) " " Şekilde grfiği verile f() foksiou içi şğıdki it değerlerii buluuz. ) ( fof)( ) " d) ( fof)( ) " c) ( gog)( ) f) ( gof)( ) " " b) ( fof)( ) " e) ( fof)( ) " c) ( fof)( ) " f) ( fof)( ) " ) ) 6 b) c) 6 d) 6 e) 6 f) ) ) b) c) d) e) f)

37 Geel Limit Alm Kurllrı ÖZEL FONKSİYONLARDA LİMİT Kou Özeti (Geel Limit Alm Kurllrı) Limit lm kurllrıı özetleecek olursk; R ike f() foksiou içi, v kritik okt değilse ve belirsizlik oluşturmuors f ( ) f ( ) dır. " ÖRNEK Z, < ], fr : " R, f( ) [ ], > \ foksiou içi şğıdki itleri buluuz. ) f ( ) " ÇÖZÜM b) f ( ) " c) f ( ) " v kritik okt ise sold ve sğd ite bkılır. f ( ) f ( ) L & f( ) L dir. " " " f ( ) f ( ) & f ( ) oktur. " " Foksiolrı kritik oktlrı v Prçlı foksiolrd prçlm oktsıdır. v Mutlk değer foksioud mutlk değeri içii sıfır p oktdır. v Kesirli foksiolrı pdsıı sıfır p oktdır. ) civrıd f() olduğud, & f ( ) dır. " " " b) f ( ) dir. " " f ( ) " " O hlde f ( ) dir. " dir. c) civrıd f ( ) olduğud ve " " O hlde f ( ) iti oktur. ". f ( ) foksiou verilior. Bu göre şğıdki itleri eşitii buluuz. ) f ( ) " e) f ( ) ". Gerçek sılr kümeside tımlı Z ], < f ( ) [ ], \ 9 foksiou içi şğıdki isteileleri buluuz. b) f ( ) " f) f ( ) " ) f ( ) " c) f ( ) " g) ( f ( ) f( )) " b) f ( ) " d) f( ) " h) ( fof)( ) " c) f() foksiouu kç oktd iti oktur? ) ) b) Yoktur c) d) e) f) g) h) ) ) Yoktur b) c)

38 ÖZEL FONKSİYONLARDA LİMİT Limit Deklemleri Kou Özeti Limiti vrlığı göre kurul deklemler çözülür. ÖRNEK ( ) deklemie göre gerçel " sısıı buluuz. ÇÖZÜM ( ) & ( ) ( ) " buluur. ÖRNEK Z ], < R de R e, f ( ) [, ] \ m 7, > ile tıml f foksiouu oktsıd itii olmsı içi m değeri kç olmlıdır? ÇÖZÜM oktsı f foksiou içi kritik oktdır. f ( ) ( ) " " f ( ) ( m 7) m 7 m 7 " " f() foksiouu oktsıd iti olduğu göre sold ve sğd itleri eşit olmlıdır. m f ( ) f ( ) & m 7 " " 7 m m 6 m buluur.. ( ) 6 olduğu göre kçtır? ". f ( ) *, <, foksiou oktsıd iti olduğu göre kçtır?. f() foksiou içi, f ( ) f ( ) olduğu göre f ( ) kçtır? " " ". ( m ) ( ) olduğu göre " " m toplmı kçtır?, <. f ( ) * b, foksiou içi f ( ) " değerlerii buluuz. olduğu göre ve b ) ) ) 6 ) ), b

39 Ugulm Zmı Ugulm. Aşğıdki it değerlerii buluuz. ) si ",. f ( ) *, >, < g ( ) *, foksiolrı verilior. Bu göre şğıdki it değerlerii buluuz. b) ( si cos ) " ) ( fof)( ) " d) ( fog)( ) " si t c) cos t t " d) " cos si b) ( fog)( ) " e) ( gof)( ) " si e) cos si " c) ( gog)( ) " f) f; E " g ( 6 ) f) cosec " g) si " c m. f() ve g() içi ^fog " h^h itii değeri edir? h) " c m cot si k) cos si " ) ) b) c) d) e) f) g) h) k) ) ) b) 7 c) 9 d) 7 e) 7 f) )

40 . f: R {} R {} birebir örte f ( ) foksi ou verilior. 9. f() Bu gör içi f () itii değeri edir?. rct rc cot toplmıı değeri " " O kçtır? Şekilde f() foksiouu grfiği verilmiştir. Bu göre şğıdki it değerlerii buluuz. Z ], 6. fr : " R, f( ) [ ], > \ 9 foksiouu kç oktd iti oktur? ) ( fof)( ) e) ( fof)( ) " " b) ( fof)( ) " f) ( fof)( ) " 7. ( k) olduğu göre k kçtır? " c) ( fof)( ) g) ( fof)( ) " " d) ( fof)( ) h) ( fof)( ) " " 8. ( m) 7 ve ( k) tir. " " Bu göre ( k k m) itii değeri kçtır? " m, <. f ( ) * b, foksiou içi f ( ) olduğu göre " b toplmı kçtır? 6 ) ) 6) 7) 8) 8 9) ) b) c) d) e) f) g) Yoktur h) )

41 Tekrr Zmı ÇÖZÜMLÜ TEST. sec itii değeri kçtır? " A) B) C) D) E) 6. " cos si itii değeri kçtır? cos A) B) C) D) E) t t. itii değeri kçtır? t " si t 8 A) B) C) D) E) 7. cos " itii değeri şğıdkilerde hgisidir? A) B) C) D) E) cos( ). itii değeri kçtır? " log( ) A) B) C) D) log E) 8. rccosf " p itii değeri şğıdkiler de hgisidir? A) B) 6 C) D) E). itii değeri şğıdkilerde h si " gisidir? A) B) C) D) E) 9. " c m t itii değeri şğıdkilerde hgisidir? A) B) C) D) E). cos( ) " itii değeri şğıdkilerde hgisidir? A) B) C) D) E). f ( ) * sic m, < cos( ) b, foksiou verilior. " f ( ) olduğu göre b frkıı eşiti şğıdkilerde hgisidir? A) B) C) D) E) 7

42 . f ( ) ve g ( ) olduğu göre " " " ( fog)( ) ifdesii eşiti şğıdkilerde hgisidir?. A) B) C) D) ) f() O Şekilde f() foksiouu grfiği verilmiştir., <. f ( ) * foksiouu de iti b, vrs b kçtır? A) B) C) D) E) Bu göre ( fof)( ) ( fof)( ) " " değeri şğıdkilerde hgisidir? A) 6 B) C) D) E) ifdesii 6.. f() foksiou verilior. Bu göre ( fof)( ) itii değeri kçtır? " O f() A) B) 9 C) 8 D) 7 E) 6 Şekilde f() foksiouu grfiği verilmiştir. Bu göre, <. f ( ) *,, < g ( ) *, foksiolrı verilior. Bu göre ( fog)( ) itii değeri kçtır? " A) B) C) D) E) 6 I ( fof)( ) tür. " II ( fof)( ) dir " III ( fof)( ) " dir. IV ( fof)( ) " dir. Öermeleride hgileri doğrudur? A) I ve III B) I ve IV C) I, II ve III D) II, III ve IV E) III ve IV 8. D. C. B. A. E 6. C 7. C 8. D 9. B. E. A. A. B. E. B 6. A

43 Tekrr Zmı Test Çözümü. sec cos cos cos buluur. " " Cevp: D t t t 8. si t t " si 8 8 t buluur. si Cevp: C cos^h cos. buluur. " log ^ h log. f ( ) ise f ( ) f ( ) dir. " " " f ( ) ^cos bh cos b " " f ( ) csi si m " " & b & b b buluur. & & Cevp: E. f ( ) f( ) ve g( ) g( ) " " Burd ^fogh^h f^g ( ) h fg ^ ( ) h f( ) " " > buluur. Cevp: A. si buluur. " Cevp: B Cevp: A. f i de iti vrs f ( ) f ( ) dir. Burd " " f ( ) ( b) b " " b b f ( ) ( ) & buluur. " " Cevp: A. cos ^ h cos ^ h buluur. " Cevp: E. ^fofh^h f^f ( ) h ff ^ ^ hh " " f ( ) 6 9 buluur. Cevp: B 6. cos si cos si buluur. cos cos " Cevp: C. ^fogh^h fg ^ ^ hh f^g ^ hh. " g( ) " ^ h " " Burd f( ) ( ) 6 buluur. Cevp: E cos 7. G cos G & G G cos G G G " " " cos & G G olduğud cos dır. " " Cevp: C. f ( ), f ( ) dir. " " ^fofh^h f^f^ hh f^h > tür. " " ^fofh^h ff ^ ^ hh f^h > Burd " " ^fofh^h ^fofh^h buluur. " " Cevp: B 8. rccosf p rccosf " p 6. ^fofh^h ff ^ ^ hh f^h > tür. " " rccos buluur. t " 9. " " t si cos buluur. Cevp: D ^fofh^h ff ^ ^hh f^h tür. " " ^fofh^h ff ^ ^ hh f^h " " > tür. ^fofh^h ff ^ ^ hh f^ h > dir. " " Dolısıl I ve III doğrudur. Cevp: A Cevp: B 9

44 BELİRSİZ LİMİTLER Belirsizliği I Kou Özeti (Poliomlu Kesirlerde Belirsizliği) Limiti soucu belirsizlik olmz. Limit hesplırke krşılşıl belirsizlikler giderildikte sor souc ulşılır. Belirsizlikler:,,,,, ve dır. ve belirsizlikleri türev kousud değieceğimiz L'Hospitl ile kolc giderilebilir. f ve g poliom foksiolr olmk üzere f ( ) f ( ) belirsizliğii gidermek içi, " g ( ) g ( ) f() ve g() poliomlrı ( ) çrpı ship olduğud çrplrı ırm d poliom bölmesi ( * ) ile elde edile f() ( ) f () ve g() ( ) g () rdımıl f ( ) ( ) f ( ) f ( ) olur. " g ( ) " ( ) g ( ) " g ( ) Belirsizlik devm ettiği sürece ı işlemler tekrrlır. ÖRNEK Aşğıdki it değerlerii buluuz. ) b) " " ÇÖZÜM ) belirsizliğii çrplrı " ırm ile gidere; ( )( ) ( ) " " ( ) " b) belirsizliğii mutlk değerde " kurtrıp çrplrı ırrk gidere; içi ( ) O hlde ( ) " " " ( ) ( ) buluur. " ( )( ) ( )( ) Aşğıdki it değerlerii buluuz.. " 9. " 9. " 8 6. ". " 7. ". " P() B() ( * ) Poliom bölmesi Q() K() ) 6 ) ) ) P() B() Q() K() dir. 7 ) 6) 6 7)

45 Belirsizliği II BELİRSİZ LİMİTLER Kou Özeti (Köklü Kesirlerde Belirsizliği) Kou Özeti (Üstel İfdeli Kesirlerde Belirsizliği) Köklü kesirleri itleride belirsizliğii gidermek Üstel ifde içere kesirli itlerde belirsizliğii gi içi kesir, köklü kısımı eşleiği ile geişletilir. dermek içi geellikle p ve pd çrplrı rılrk ı çrplr elde edilip sdeleştirilir. ÖRNEK ÖRNEK " itii değerii buluuz. 9 " itii değerii buluuz. ÇÖZÜM ^ h^ h " " ^h^ h ^ h 9 " ^ h^ h " ^h^ h ^ h^ h " ^ h ^ h 6 tür. 9 ÇÖZÜM " 9 belirsizliğii gidermek içi çrplrı ırıp sdeleştirme plım; 9 ( ) ( ) " " " ( ) ( ) ( )( ) " " ( ) ( ) ( ) ( ) buluur. " Aşğıdki it değerlerii buluuz. Aşğıdki it değerlerii buluuz.. ". 9 " t. t t". 9 " 9. ". " ) ) ) ) ) 6 )

46 BELİRSİZ LİMİTLER Trigoometrik Foksiolrd Belirsizliği I Kou Özeti f ( ) olmk üzere, " v v v ÖRNEK ( ( )) ( ) si b f b f b " c f ( ) " si ( c f( )) c ( ( )) ( ) t b f b f b " c f ( ) " t ( c f( )) c si( b f( )) t( b f( )) b " t ( c f( )) " si ( c f( )) c dir. belirsizliklerii türevde değieceğimiz dir. dir. L'Hospitl ile kolc çözülebileceğii uutmıız. Aşğıdki it değerlerii buluuz. ) si " b) t " si6 t c) " ÇÖZÜM belirsizliğii görmede ilgili işlemleri ugulmıız. 6 7 ( ) ) si 8 si buluur. " f ( ) f() f ( ) b) " t " t f ( ) f() buluur. 6 c) si 7 t 8 6 si6 t c m " " & 6 & 6 7 si t 8 6 buluur. " " Aşğıdki it değerlerii buluuz. t 9. c m si ". si ". t " si t. ". si " 6. t " t si. c m si t ". si " 7. t ". si t " si. t " t 8. si " ) ) ) ) ) 6) 7) 8) 9) ) ) 6 )

47 Trigoometrik Foksiolrd Belirsizliği II BELİRSİZ LİMİTLER Kou Özeti belirsizliği ol trigoometrik itlerde kuvvet ve foksio düzelemesi pılrk siüslü ve tjtlı belirsizliği ugulmlrı ile it tespit edilebilir. 6 si@ si si dir. DİKKAT EDİNİZ! ) b) ÖRNEK (Foksio Düzeleme) t ( ) 6 " 9 si ( ) " ÖRNEK (Kuvvetli İfdeler) Aşğıdki it değerlerii buluuz. ) si " b) si " ÇÖZÜM 6 ( ) ) t 7 8 t( ( )) 6 ( ) " " f() ( ) ÇÖZÜM ( siα) si α si α dir ( ) ) si si 7 8 f tür. " " f ( ) f() b) si si c m " " & c si m c m 9 dur. " t f ( ) buluur. f ( ) 67 8 ( )( ) b) 9 si ( ) si ( ) " " f() f ( )( ) f ( ) ( ) 6 dır. si f ( ) si f ( ) " " " Aşğıdki it değerlerii buluuz.. t ( ) ". si ". 8 si ( 6) " 6. si ". ( ) si " si c m 7. " t c m. t " ( ) 6 8. si cos " " 8 8 ) ) ) ) 8 8 ) 6) 7) 7 8) 6

48 BELİRSİZ LİMİTLER Trigoometrik Foksiolrd Belirsizliği III Kou Özeti belirsizliğii görmede ve siüs d tjtı elde etmede trigoometrik foksiolrı belirsizliği ile ilgili işlemleri ugulmıız. ÖRNEK (Prteze Alm Geişletme) Aşğıdki it değerlerii buluuz. si t( si ) ) b) t " si cos c) " t cos " ÇÖZÜM H si c m ) si " t " t c m > tür t( si ) ( ) b) t si si si " " f () si g () t( si ) si 8 si " " 6 ( ) ( ) t 78 6 f si 78 g buluur. f ( ) g( ) " " c) belirsizliğii görmede ilgili işlemleri ugulmıız. E F C si cos si cos " t cos t cos ; < 9 buluur. BELİRSİZLİK YOKTUR. Aşğıdki it değerlerii buluuz. si. t " si t. t 6 6 " si t. t si " si t. ". si( t ) " 6. t( ) " si ( 6) ) ) ) ) ) 6)

49 Trigoometrik Foksiolrd Belirsizliği IV BELİRSİZ LİMİTLER Kou Özeti Trigoometrik özdeşlikler, döüşüm formülleri, toplmfrk ve rımçı çılımlrıl siüs ve tjt içere belirsizlikleri elde edilebilir. Öreklerle çıkllım ÖRNEK Aşğıdki itleri buluuz. ) cos cos b) " " c m ÇÖZÜM Siüs ve tjt olmd belirsizlik formüllerii ugulmıız. ) cos sic m " buluur. si( f ( )) f ( ) f ( ) cos cosc m cos ( si ( )) b) " " si si ^ h ^ h " " f() 678 si ^ h f p c m buluur. " Aşğıdki it değerlerii buluuz. cos. ". si " si. " cos cos 6. " cos cos cos. cos cos " 7. ( cos ) t " cos. cos si " si si 8. cos cos " ) ) ) ) ) 6) 7) 8)

50 Ugulm Zmı Ugulm Aşğıd verile it değerlerii buluuz. 6. " 9. " 6. " 9. " 7. ". " 8. " 6. " 9. " 8. " 6 6. " 7. 9 ". " 6 8. " " 6 ) 8 ) 6 ) 6 7 ) ) 6) 7) 6 7 8) 9) ) 6 ) ) ) ) )

51 6. si c m si ". si " 7. t c m t " si t. " t 8. si " si t si. " si t si si t 9. " si cos 6. ". si ( ) " 7. " cos si si ( ). t " 9 cos 8. cot ". si ( ) " 9. ( t 6 cot ) " 6) 7 7) 8) 9) ) ) 6 ) ) ) 6 ) 6) 7) 8) 9) 7

52 Tekrr Zmı ÇÖZÜMLÜ TEST 6. " itii değeri kçtır? 9 6. > H itii değeri kçtır? " 6 A) B) C) D) E) A) B) C) D) E) 6. itii değeri kçtır? " A) B) C) D) E) 7. ( ) " ( ) itii değeri kçtır? A) B) C) D) E). " 9 itii değeri şğıdkilerde hgisidir? A) B) C) D) 9 9 E) 8. " A) B) itii eşiti şğıdkilede hgisidir? C) D) E). f() ve g ( ) olduğu göre ( fog)( ) itii değeri kçtır? " A) B) C) D) E) 9. " A) itii değeri kçtır? B) C) D) E) 8. " 8 A) B) itii değeri kçtır? C) D) E) itii değeri şğıdkilerde hgi. " sidir? A) B) C) D) E) 8

53 . > H itii değeri kçtır? " 7 A) B) C) 9 9 D) E) 8. itii değeri kçtır? " 6 A) B) C) D) E) itii değeri şğıdkilerde hgi 9. " sidir? A) B) C) D) E) 6. " 9 A) itii değeri kçtır? B) C) 6 D) E) 8. " A) 6 D) 8 itii değeri kçtır? B) C) E) 7. itii değeri şğıdkilerde 9 " hgisidir? A) B) C) D) E) 6. R içi iti eşiti şğıdkiler de hgisidir? A) B) " C) D) E) 8. " A) itii değeri kçtır? B) C) D) E). E. A. C. D. E 6. E 7. D 8. D 9. A. D. E. D. D. D. B 6. A 7. D 8. C 9

54 Tekrr Zmı ÇÖZÜMLÜ TEST. si itii değeri kçtır? " A) B) C) D) E) 6. t ( ) " itii eşiti şğıdkilerde hgisidir? A) B) C) D) E). f() 6 cot foksiouu içi iti kçtır? A) B) C) D) E) 6 7. si t " hgisidir? itii değeri şğıdkilerde A) B) C) D) E) itii değeri şğıdkilerde hgisi t. " si dir? 8. si ( ) " itii değeri kçtır? A) B) C) D) E) A) B) C) D) E) ". si t t ; E ifdesii eşiti şğıdki si lerde hgisidir? t si 9. t " A) B) itii değeri kçtır? C) D) E) A) B) C) D) E). si itii değeri kçtır? " A) B) C) D) E) cos cos. itii değeri kçtır? si si " A) B) C) D) E)

55 . 6 si ( ) " hgisidir? itii değeri şğıdkilerde cos6 cos. itii değeri şğıdkilerde " si 8 hgisidir? A) B) C) D) E) 8 A) B) C) D) E). si( ) t ( ) " itii değeri kçtır? si cos si 6. itii değeri şğıdkiler " cos de hgisidir? A) B) C) D) E) A) B) C) D) E) si. itii değeri kçtır? " A) B) C) cos 7. itii değeri kçtır? " A) B) C) D) E) D) E) si si. " hgisidir? itii değeri şğıdkilerde A) B) C) D) 7 E) 6 8. " si( si ) itii değeri şğıdkilerde h gisidir? A) B) C) D) E). E. C. D. E. C 6. B 7. A 8. D 9.C. C. D. E. D. B. C 6. C 7. A 8. B

56 Tekrr Zmı Test Çözümü 6 ^ h^ h. buluur. " " ^ h^ h " Cevp: E 6 ^ h^ h. buluur. " " ^ h^ h " Cevp: A ^ h^ h ^ h^ h. > H " ^ h ^ h^ h ^ h^ h & > ^ h H " ^ h 6 ^ h ^ h@ 8 " buluur. Cevp: E. buluur. " ^fogh^h fg ^ ^ hh c m 6 & ^fogh^h dir. Burd ^fogh^h 6 ^h^h " " ^ h " ^ h & " buluur. 8 ^ h^ h. " 8 " ^ h^ h " & buluur. ^ h ^ h^ h 6. > H " ^ h^ h ^ h & ; E buluur. " ^ h 6 ^ h@ 7. " ^ h " ^ h ^ h & " ^ h buluur. Cevp: C Cevp: D Cevp: E Cevp: E Cevp: D 9 ^ h^ h. " " ^ h ^ h buluur. " Cevp: D ^ h. " " ^ h^ h " ^ h^ h^ h " ^ h^ h ^ h^ h. " " 8 buluur. Cevp: D ^ h^ h & buluur. " ^ h Cevp: D ^h^ h. " 6 " ^ h ^ h^h ^ h ^ h & & " ^ h " ^ h " buluur. ^ h^ h 6. " 9 " ^ h^ h^ h ^ h & " ^ h^ h^ h buluur. Cevp: E ^ h^ h 8. " " ^ h^ h ^ h " ^ h buluur. Cevp: D ^ h 9. " " ^ h^ h " buluur. Cevp: A ^ h. " " ^ h^ h " ^ h buluur. Cevp: D ^ 9 h 7. " ^ 9 h " ^ 9 h^ 9 h ^ & 9 " h 9 buluur. Cevp: A Cevp: D ^ h^ h 8. " " ^ h & ^ h ^ h ^ h " " buluur. " Cevp: C

57 Tekrr Zmı Test Çözümü. si buluur. " Cevp: E. si^ si h ^ h^ h " t ^ h " ^ h t^ h cot 6 & buluur. t t " " " Cevp: C si ^ h ^ h > ^ hh buluur. " ^ h t^ h > Cevp: E t. si " buluur. Cevp: D si. buluur. " Cevp: D. si t t ; E buluur. si " Cevp:E. si si si si > H " ". si si si c m c m buluur. " " " Cevp: C si si si si & > c m H & c m " " " buluur. 6. t buluur. ^ h t [( )] " " Cevp: B cos6 cos si 8 si. " si 8 " si 8 Cevp: B 7. buluur. " si t " si t Cevp: A si & buluur. " si 8 Cevp: C ^ h ^ h^ h 8. " si^ h " si^ h ^ h & ^ h buluur. " si ^ h " Cevp: D si cos si si^cos si h 6. " cos " ^ cos si h^ cos si h buluur. Cevp: C t si 9. t si buluur. " t " t Cevp: C cos cos cos cos cos. " si si " cos si " si 7. cos ^ si h si " " " si si " " buluur. Cevp: A buluur. Cevp: C 8. si ^ si h si^si hsi si " " 6 ^ h ^ h. si ^ h si ^ h si ^ h " " " buluur. Cevp: D si^si h si f p buluur. " si ; Cevp: B