Metin Yayınları

Transkript

1 LİMİT İÇ KAPAK

2 Bu kitbı bütü ı hklrı sklıdır. Tüm hklrı, zrlr ve METİN YAYINLARI ittir. Kısme de ols lıtı pılmz. Meti, biçim ve sorulr, ıml şirketi izi olmksızı, elektroik, mekik, fotokopi d herhgi bir kıt sistemile çoğltılmz, ımlmz. İSBN METİN YAYINLARI Tel: Meti Yılrı Yzrlr Gökh METİN [email protected] Müjdt ERCAN [email protected] Bisel İceleme Aşe KÜTAHYALIOĞLU Hifi YILDIRIM Hukuk Dışmı Hk DEMİRBAY Grfik Tsrım Merve ÖZBAY [email protected] Dizgi [email protected] [email protected] Geel Dğıtım Meşrutiet Cddesi No: / Kızıl / ANKARA Tel: Fks : 9 [email protected] Bskı Ad Yıcılık A.Ş. Akr

3 FASİKÜLE VERİMLİ ÇALIŞMA REHBERİ Sevgili öğreciler ve değerli meslektşlrım, Biresel Mtemtik Fsikülleri, mtemtik bilmeee keifli bir olculuk, mtemtik bilee htsız soru çözme kbilieti kzdırck şekilde tsrlmıştır. Her fsikül, e temelde dım dım mtemtiğiizi geliştirip güçledirecek tekiklerle oluşturulmuştur. Sf bşlıklrıl, her üite, lmı kollştırıcı lt bşlıklr rılmıştır. Kou Özeti : Kou özetleride kvrmlr mdde mdde vurgulmıştır. : Urı ikolrıl htırltmlr ve dikkt edilmesi gerekeler belirtilmiştir. (*) : Dipotlrl kou dışı kvrmlr çıklmıştır. ÖRNEK ve ÇÖZÜM : Örekler sf bşlığıı e ii çıklck şekilde özele kurulmuş ve çözümleri kolc lşılck şekilde düzelemiştir. : Her bşlıkl ilgili el lışklığı kzmızı sğlck bolc soru Sır Sede kısmıd, cevplrıızı kolc kotrol edebileceğiiz şekilde sorulmuştur. Ugulm Zmı : Belirli rlıklrl birikimleriizi değerledirme ugulmlrı koulmuştur. Tekrr Zmı : Üite solrıd öğredikleriizi test tekiğile pekiştireceğiiz ve çözümlerile uuttuklrıızı htırlcğıız testler suulmuştur. Ahtr kvrmlr ve çözümler rekledirilerek frk etmeiz sğlmıştır. Öğrecileri sık düştüğü htlr vurgulrk belirtilmiştir. Prtik ve eğleceli çözümlerle kıld klıcılık rttırılmıştır. Her kou, özele oluşturul Kou Testi ile pekiştirilirke, " çözümüü "SİZİN İÇİN ÇÖZDÜKLERİMİZ" kısmıd bulbilirsiiz. " ikoul belirtile sorulrı Souç olrk, şuu diebiliriz ki; mtemtik rıtılrd gizlidir. Bud dolı sbırl her fsikülü, üitei, bşlığı ve mddei lrk, her öreği ve soruu çözerek mtemtiği kolc öğreebilir, sıvlrdki mtemtik korkuuzd kurtulbilirsiiz. Bşrılı bir gelecek dileğile... METİN YAYINLARI

4 İÇİNDEKİLER LİMİT Limit Kvrmı... SoldSğd Yklşm / Bir Sı Civrıd İşlemler... Sold Sğd Limit ve Limiti Vrlığı... Grfikte Limiti Vrlığı... Sbit ve Poliom Foksiolrı Limiti... LİMİT ÖZELLİKLRİ Foksio İşlemleride Limit...6 Mutlk Değer ve Köklü İfdelerde Limit...7 Sıkıştırm Kurlı / SğdSold Limit Özellikleri... 8 Ugulm Zmı...9 Tekrr Zmı ÇÖZÜMLÜ TEST... ÖZEL FONKSİYONLARDA LİMİT Prçlı Foksiolrd Limit... Mutlk Değer Foksiou Limiti... Üstel ve Logritmik Foksiolrı Limiti... 6 R de Limit I (Geişletilmiş Reel Sılrd İşlemler)... 7 R de Limit II (Sosuz, Tımsız ve Belirsiz)... 8 R de Limit III ( f () ± Limitler)... 9 " R de Limit IV ( f () Limitler)... " ± R de Limit V ( R de Limiti Grfik Yorumu)... Ugulm Zmı... Tekrr Zmı ÇÖZÜMLÜ TEST... ÇÖZÜMLÜ TEST... 6 Trigoometrik Foksiolrı Limitleri I... Trigoometrik Foksiolrı Limitleri II... Bileşke Foksiolrı Limiti... Geel Limit Alm Kurllrı... Limit Deklemleri... Ugulm Zmı... Tekrr Zmı ÇÖZÜMLÜ TEST... 7 BELİRSİZ LİMİTLER / Belirsizliği I (Poliomlu Kesirlerde / Belirsizliği).. / Belirsizliği II (Köklü Kesirlerde / Belirsizliği / Üstel İfdeli Kesirlerde / Belirsizliği)... Trigoometrik Foksiolrd / Belirsizliği I... Trigoometrik Foksiolrd / Belirsizliği II... Trigoometrik Foksiolrd / Belirsizliği III... Trigoometrik Foksiolrd / Belirsizliği IV... Ugulm Zmı... 6 Tekrr Zmı ÇÖZÜMLÜ TEST... 8 ÇÖZÜMLÜ TEST... / Belirsizliği I (Poliomlu Kesirlirde / Belirsizliği... / Belirsizliği II (Köklü Kesirlerde / Belirsizliği... / Belirsizliği III (Üstel İfdeli Kesirlerde / Belirsizliği)... 6 / Belirsizliği IV (Sosuz Hızlı ilerlee Terimler... 7 Limitleri I (Köklü İfdelerde Belirsizliği)... 8 Limitleri II (Kesirli İfdelerde / Logritmik İfdelerde )... 9 Ugulm Zmı...6 Belirsizliği... 6 Belirsizliği... 6 Belirsiz Limit Deklemleri... 6 Limitte Değişke Döüşümleri I... 6 Limitte Değişke Döüşümleri II Limiti Geometrik Ugulmlrı Ugulm Zmı Tekrr Zmı ÇÖZÜMLÜ TEST... 7 ÇÖZÜMLÜ TEST... 7 SÜREKLİLİK Süreklilik Kvrmı ve Grfik Yorumu Süreksiz Noktlrı Özellikleri Bir Arlıkt ve Bu Arlığı Sıırlrıd Süreklilik Poliom ve Kesirli Foksiolrı Sürekliliği Tım Kümeside Süreklilik ve Prçlı Foksio Sürekliliği... 8 Foksiolrı Sürekli Olduğu Arlıklr... 8 Foksio İşlemleride Süreklilik... 8 Foksiolrd Süreksiz Nokt Problemleri... 8 Foksiolrı R de Sürekli Olbilmesi... 8 Sıırlı Foksio Kvrmı ve Limiti... 8 Kplı Arlıkt Sürekli Foksiolrı Özellikleri (E Büük, E Küçük Değeri / Bir Arlıkt Kök Vrlığı).. 86 Ugulm Zmı Tekrr Zmı ÇÖZÜMLÜ TEST DİZİLERDE LİMİT Dizi Kvrmı ve Bir Dizii Limiti... 9 Foksio Limitlerile Dizi Limiti Hesplm... 9 Toplm Formüllerile Dizi Limiti Hesplm... 9 Bsit Kesirlere Aırrk Dizi Limiti Hesplm... 9 Geometrik Dizi, İlk Terim Toplmı ve Limit İlişkisi Sosuz Terimli Geometrik Dizi Toplmı I Sosuz Terimli Geometrik Dizi Toplmı II (Kuvvet ve İşret Düzeleme) Sosuz Terimli Geometrik Dizi Toplmı III Sosuz Terimli Geometrik Dizi Toplmı IV (Hrfli İfdeler ve Deklemler)... Sosuz Terimli Geometrik Dizi Problemleri I (Sosuz Toplmlr / Devrede Sılr)... Sosuz Terimli Geometrik Dizi Problemleri II (Sosuz İlerlemeler)... Sosuz Terimli Geometrik Dizi Problemleri III (Sıçr Top)... Sosuz Terimli Geometrik Dizi Problemleri IV (Geometrik Yorum)... Geometrik Dizi Olm Sosuz Toplmlr... Ugulm Zmı Tekrr Zmı ÇÖZÜMLÜ TEST... 8 KONU TESTLERİ... SİZİN İÇİN ÇÖZDÜKLERİMİZ... 6

5 Limit Kvrmı LİMİT Kou Özeti ÖRNEK Limit, mtemtiksel olrk bir okt sıırlrı (itleri) zorlck kdr klşmk; ck o okt vrmmk olrk düşüülebilir. Limit kvrmıı grfik üzeride çıkllım ve elemlrıı belirte. f() foksiou içi f() K ike f ( ) L ise, " K f() L o v ; itleri zorl değişkedir, v ; itleri zorl oktdır, v ; değişkeii oktsı klşmsıdır, v f(); it ltıdki foksiodur, v L; civrıd f() foksiouu klştığı değerdir. O Şekilde f() foksiouu grfiği verilmiştir. Bu göre, f() foksiouu i,,, ve içi; ) Alcğı değerlerii buluuz. b) Limitlerii buluuz. ÇÖZÜM Bir foksiou herhgi bir oktsıdki değeri ile o oktsıdki iti ı d olbilir, frklı d olbilir. ) f( ), f( ), f(), f() ve f() dir. Limit bir oktdki değerlerde çok o okt civrıdki değerlerdir. oktsıdki değer f() K ike civrıdki değer f ( ) L dir. " b) f ( ), f ( ), f ( ), " " " f ( ) ve f ( ) dır. " " f: R {, } R, f() foksiouu grfiği şğıdki gibidir. 6 Aşğıdki tblod, psisleri verile oktlrd f() foksiouu grfiğie göre ldığı değerleri ve itlerii belirtiiz. f() f().... f(). O ) ; ) ; ) Tımsız; ) ; 8 8 ) ; 6) Tımsız; 7) ; 8) ; 9) ; ) ; ) ;

6 LİMİT SoldSğd Yklşm / Bir Sı Civrıd İşlemler Kou Özeti (Sold Sğd Yklşm) Kou Özeti (Bir Sı Civrıd İşlemler) R olmk üzere; Limit işlemlerii rhtç pılbilmesi içi bir sı v değişkei, d küçük değerlere klşı civrıdki işlemleri ii biesi gerekir. v ors, bu klşm sold klşm deir ve ile gösterilir. değişkei, d büük değerlerle klşıors bu klşm sğd klşm deir ve ile gösterilir. Bir sıı civrı bu sıı çok kııdki değerlerdir. v ; d çok z büük değer v ; d çok z küçük değer sold klşm sğd klşm olrk düşüülebilir. Öreği,,...,...,...,99...9,99...9,... ÖRNEK Aşğıd tblod belirtile değişkeleri hgi sı klştığıı tespit ediiz. ),,8,9,99, b),,8,99,99, ÇÖZÜM Değişkeleri sı doğrusudki görütülerii icelee., sold,8,9 sğd,9,8, değişkei e sold klşmktdır i dir. değişkei e sğd klşmktdır i dır. ÖRNEK Aşğıdki işlemleri soucuu ve şeklide buluuz. ) b) ( ) c) ( ) d) ( ) ÇÖZÜM ),... (,...),... b),... ( ) (,...),...,.. c), ( ) (,99...9) 8, d),.. ( ) (,..) 6,.. 6 Aşğıdki değişkeleri klştığı sılrı klşm öüle birlikte belirtiiz. Aşğıdki işlemleri soucuu bir sı civrıd işlemler ile buluuz.. 9. ( ) 7. 6 : ),,8,9,99, ( ) 8. 8 : ),,,,,..... ( ) 9. 6 : ( ) ) z,6,7,9,99, ( ). ( ). : ) t,6,,,,.... ( ) 7.. : ) h,6,7,9,99, ( 7). ( ). 6) k 99,7 99,8 99,9 99,99 99, ( ) ( ). ( ). 9 : ( ) 7) l,6,,,, ( ) 6. 6 :. ( ) 8) m,7,8,9,9, ) ) ) ) ) 7 6) 7 7) 8) ) ) ) z ) t 9) ) ) ) ) ) ) 6) ) h 6) k 7) l 8) m 7) 8) 9) ) ) ) ) )

7 Sold Sğd Limit ve Limiti Vrlığı LİMİT Kou Özeti f: R {} R, f() fokisou içi v değişkei sold klşırke ( ), f() foksiou L sısı klşıors f i d sold iti L dir ve f() O f() L biçimide gösterilir. " v değişkei sğd klşırke ( ), f() foksiou L sısı klşıors f i d sğd iti L dir ve f() L biçimide gösterilir. " Limit r ve iti vrolduğu oktd foksio tımlı olmk zorud değildir. L L ÇÖZÜM f ( ) f ( ) " f(). f ( ) f ( ) " O. f ( ) f ( ) & f ( ) dir. " " " f() tımsız olmsı rğme f ( ) dir. " ÖRNEK (Bir Sı Civrıd Foksio Değeri) R de tımlı bir f foksiou içi f ( ) ve " f ( ) olduğu göre şğıdki it değerlerii " buluuz. Sol it, sğ ite eşit ise foksiou iti vrdır. v f() f() L ise f() L dir. " " " v f() f() ise f() oktur. " " " f ( ) vrs bu it bir tedir. " ) f( ) b) f( ) " " ÇÖZÜM. f ( ) & f( ) dir. " f ( ) & f( ) dir. " ÖRNEK f: R {} R, f() foksiouu oktsıdki itii buluuz. ) f( ) f( ) f( ) dir. " b) f( ) f( ) f( ) dir. ". Gerçek sılrd tımlı f() foksiou içi f ( ) olduğu göre şğıdki it değerlerii " buluuz. ) f ( ) ". Gerçek sılrd tımlı f foksiou içi şğıdki tblo verilmiştir.,8,9,99, , 6, 6, 6, f()...,999,99,9,8 Tblo göre şğıdki it değerlerii buluuz. b) f ( ) " ) f ( ) d) f( 8 ) " 6 ". Gerçek sılrd tımlı f foksiouu psisli oktdki iti 7 ike, f ( ) ve f( ) b olduğu göre " " b toplmıı değeri kçtır? b) f ( ) e) f( 6) " 6 " c) f ( ) " 6 f) 6 fc m f ( ) " ) ) b) ) 6 ) ) b) c) Yoktur d) e) f)

8 LİMİT Grfikte Limiti Vrlığı Kou Özeti f: (, e] {b} R olmk üzere;, v Tımsız okt b o k c d e ol b de sğ ve sol it eşit olduğu içi "it vrdır." f(b) tımsız ike f ( ), dir. " b m ÖRNEK f: [, ) {} R olmk üzere grfiği verile f() foksiouu i,, ve sılrı içi; ) Alcğı değerlerii buluuz. b) Limitlerii buluuz. f() o v Sıçrm oktsı ol c de sğ ve sol itler eşit olmdığı içi "it oktur." m f ( ) f ( ) & f ( ) oktur. " c " c " c v Kopm oktsı ol d de sğ ve sol itler eşit olduğu içi "it vrdır." f() f() m & f() m dir. " d " d " d v Tım rlığıı uç oktlrı o l v e e de it rştırılırke sdece tımlı olu trfıd ite bkılır. f ( ) f ( ) k ve f( ) f( ) " " " e " e ÇÖZÜM ) f( ), f(), f() tımsız ve f() dir. b) sğ trft tımlı sıır oktsıdır; f ( ) & f ( ) dir. " " d f ( ) ve f ( ) & f ( ) dir. " " " foksiou tımsız olduğu kopm oktsıdır; f ( ) ve f ( ) & f ( ) dır. " " " sıçrm oktsıdır; f ( ) ve f ( ) & f ( ) oktur. " " ". g() f() o o Şekilde f() ve g() foksiolrıı grfikleri verilmiştir. Bu göre şğıdki itleri değerlerii buluuz. ) f ( ) g ( ) " e) " b) f ( ) g ( " f) " ) c) f ( ) " g) g ( ) " d) f() h) g(). O Şekilde f() foksiouu grfiği verilmiştir. Bu göre şğıdki ifdeleri değerleri buluuz. ) f ( ) f) f( ) " " b) f ( ) g ( " g) " ) c) f ( ) h) f( ) " " d) f ( ) f ( " k) " ) e) f ( ) " l) f ( ) " ) ) b) c) d) e) f) g) Yoktur h) ) ) b) c) d) e) Yoktur f) g) h) k) Yoktur l)

9 Sbit ve Poliom Foksiolrı Limiti LİMİT Kou Özeti (Sbit Foksiou Limiti) c R olmk üzere; f() c sbit foksiou içi, c C f ( ) c c dir. " " Limit değişkei dışıdki değişkeler sbit kbul edilir. Kou Özeti (Poliom Foksiouu Limiti) N olmk üzere; f()... poliom foksiou içi, f() f() dır. " ÖRNEK f: R R, f() foksiou içi şğıdki it değerlerii buluuz. ) f ( ) " b) f ( ) " ÇÖZÜM f() olduğu göre, c) f ( ) " ÖRNEK f: R R, f() foksiou içi şğıdki it değerlerii buluuz. ) f ( ) " ) f ( ) tir. " " b) f ( ) tir. " " c) f ( ) tir. " " o f() b) f ( ) " ÇÖZÜM f() olduğu göre, ÖRNEK (Limit Değişkei) ) f ( ) f( ) dir. " h" itii eşitii buluuz. b) f ( ) f( ) dir. " ÇÖZÜM Limit değişkei "h" dir. O hlde tir. h". f: R R, f() foksiou içi şğıdki it değerlerii buluuz. ) f ( ) " c) f ( ) " Aşğıdki itleri değerlerii buluuz.. ( ) " b) f ( ) " d) f ( ) ". ( ) ". Aşğıdki itleri eşitii buluuz.. ( ) " ) " c) ". ( ) " b) h" d) ". ( ) " ) ) b) c) d) ) ) b) c) d) ) ) ) ) 9 )

10 LİMİT ÖZELLİKLRİ Foksio İşlemleride Limit Kou Özeti f ve g, oktsıd itleri ol iki foksio olmk üzere; v [f()±g()] f() ± g() tir. " " " v [f() g()] f() g() tir. v " " " f() f() " > H tir. g( ) " g() g() " k " vv c R içi [c f()] c f()] tir. " " Limit ilişkisi olduğu foksiolrı her birie rı rı bir virüs gibi bulşır. ÖRNEK ÇÖZÜM f ( ) ( ) tür. " " g ( ) ( ) dir. " " H 678 ) [ f ( ) g ( )] f ( ) g ( ) 8 buluur. " " " H 678 b) [ f ( ) g ( )] f ( ) g ( ) 9 dur. " " " H 678 c) [() f g ( )] f ( ) g ( ) 6 buluur. " " " f, g: R R, f() ve g() foksiolrı içi şğıdki it değerlerii buluuz. ) [ f( ) g( )] " c) [() f g( )] " b) 6 f( ) g( " d) f ( ) > H g ( ) ( ) " H F f ( ) f ( ) " " d) > H " g ( )( ) g ( ) ( ) " " buluur. " " ". f ( ), g ( ) ve h ( ) içi şğıdki it değerlerii buluuz. ) 6 f( ) g( ". f ve g: R R, f() ve g() foksiolrı içi şğıdki it değerlerii buluuz. ) 6 f ( ) g ( " b) f ( ) > H h ( ) " b) 6 f( ) g( " c) 6 f( ) g ( " c) 6 f( ) g( " d) f ( ) h ( ) > H g ( ) " g ( ) d) > H " f ( ) 6 ) ) b) c) d) ) ) b) c) 6 d) 8

11 Mutlk Değer ve Köklü İfdelerde Limit LİMİT ÖZELLİKLERİ Kou Özeti (Mutlk Değer İfdeleride Limit) Kou Özeti (Köklü İfdelerde Limit) f, oktsıd iti ol bir foksio olmk üzere, f() f() dir. " " Mutlk değeri içii sıfır p kritik oktlrd sğd sold it rştırılır. İleride detlı işleecektir. ÖRNEK f, oktsıd iti ol bir foksio olmk üzere, v tek doğl sı ise v f() f() tir. " " çift doğl sı ve i civrıdki tüm değerleri içi f() ise f() f() tir. " " çift doğl sı ike f() < ise f ( ) tımsızdır. R de tımlı f foksiou içi f ( ) ise " ÖRNEK f( ) " itii değerii buluuz. ^ 9 h itii değerii buluuz. " ÇÖZÜM f( ) ( f ( ) " " 8 H H f( ) 8 tir. " " ÇÖZÜM ^ 9 h 9 " " " ( ) ( 9) 9 8 " " 9 8 ( ) buluur. Aşğıdki itleri eşitii buluuz. Aşğıdki itleri eşitii buluuz.. ". ". ^ h ". 6 ". ". ^ h ". R de tımlı f foksiou içi f ( ) olduğu " " göre f( ) itii eşiti edir?. " ) ) 7 ) 8 ) 9 ) ) ) ) 8 7

12 LİMİT ÖZELLİKLERİ Sıkıştırm Kurlı / SğdSold Limit Özellikleri Kou Özeti (Sıkıştırm (Sdviç) Kurlı) Kou Özeti (Sğd Sold Limit Özellikleri) f ve g, oktsıd itleri ol bir foksio olmk üzere, i civrıdki tüm değerleri içi f() h() g() ike f ( ) g ( ) L " " & h() Ldir. " L g h f Limit özellikleri sğd sold itler içi de geçerlidir. Sğd sold it hesplırke bir sı civrıd ( ve ile) işlemlerde fdlıldığıı htırlıız. ÖRNEK ÖRNEK R {} içi f() olduğu göre f ( ) değerii buluuz. " ÇÖZÜM f( ) & ( f( ) ) " & ( ) f( ) ( ) " " " & f ( ) & f ( ) buluur. " " R de tımlı bir f foksiou içi f ( ) ve f ( ) ise " " 6 f( ) f( 7 itii değerii buluuz. " ÇÖZÜM f ( ) & f( ) ve f( ) & f( ) " " [( f ) f( 7 )] f( ) f( 7 ) " " " E E f( ) f( 7 ) f( )f( ) dir. " ". f ( ) ve g ( ) içi f() h() g() olduğu göre h( ) itii değeri edir? ". f ( ) 6 f ( ) " olduğu göre " 6 itii değeri edir?. f(), g() ve f() h() g() olduğu göre h( ) itii eşiti edir? ". f ( ) f( " olduğu göre " ) itii değeri edir? " ". f ( ) ve g ( ) içi f() h() g() olduğu göre 6 h( itii değeri edir? ". f ( ) 8 ve f ( ) olduğu göre " " f( ) f( ) > H itii değeri edir? " f ( ) 8 ) ) 9 ) ) 6 ) )

13 Ugulm Zmı Ugulm. Gerçek sılr kümeside tımlı f foksiou içi R ike f ( ) ise f ( ) f ( ) çrpımı kç eşittir? " " ". o f() o g().,,,,,999,99,9,7 f(),,7,99,997,,,, Yukrıd klşım değerleri verile f() foksiou içi şğıdki itleri değerii buluuz. ) f ( ) f ( " c) " ) b) f ( ) d) f( ) " " Şekilde f() ve g() foksiolrıı grfikleri verilmiştir. Bu göre şğıdki itlerii buluuz. ) f ( ) f) g ( ) " " b) f ( ) g) [() f g ( )] " " c) f ( ) h) 6 f ( ) g ( )@ " " d) f ( ) k) " f ( ) > H " g ( ). Gerçek sılr kümeside tımlı f foksiouu içi iti gerçek sısı ike, e) g ( ) l) 6 f ( ) g ( " " f ( ) b ve f ( ) b olduğu göre " " b çrpımı kçtır? 6. f() o. f: [, ) R olrk tımlı şekildeki f() foksiou içi şğıdki ifdeleri değerlerii buluuz. o Şekilde f() foksiouu grfiği verilmiştir. Bu göre şğıdki itleri eşitii buluuz. ) f( ) d) f ( ) g) f ( ) " " b) f ( ) " e) f ( ) " h) f ( ) " c) f ( ) f) f() ı) f() " ) f ( ) d) f( ) " " b) f ( ) e) f ( ) " " c) f ( ) f) f ( ) " " ) 9 ) ) b) c) Yoktur d) ) ) ) b) c) d) e) Yoktur f) g) h) ı) Tımsız ) ) b) c) d) e) f) g) h) k) l) 8 6) b) c) d) e) Yoktur f) 9

14 " " 7. f ( ) ve g ( ) olduğu göre şğıdki itleri eşitii buluuz. ) 6 f( ) g( c) f ( ) " g ( ) " 9. f, gerçek sılr kümeside tımlı bir foksio ve f( ) olduğu göre f ( ) itii " değeri kçtır? " b) 6 f( ) g( d) f( ) g( ) " ". f(), g() ve R içi 8. Aşğıdki it değerlerii eşitii buluuz. ) " g() h() f() olduğu göre (() f h( ) g( )) itii değeri kçtır? " b) ( ) " c) t t". R içi f ( ) olduğu göre f ( ) değeri edir? " d) " 7 e) ". 6 f( 8 olduğu göre 6 f ( " " itii değeri edir? f) ^ h " g) ( ) ( ) " ( ) ( ). f: R R olmk üzere f ( ) 6 ve f ( ) " " olduğu göre 6 f ( ) f( 6 itii " değeri edir? h) ^ eh " 99 7) ) b) c) d) 8) ) b) c) d) e) f) g) h) e 9) 9 ) ) ) )

15 Tekrr Zmı ÇÖZÜMLÜ TEST. f ( ) ve g ( ) olduğu göre " " g ( ) f ( ) frkıı değeri kçtır? " " A) B) C) D) E). f() o Şekilde f() foksiouu grfiği verilmiştir. Bu göre şğıdkilerde hgisi lıştır?. itii değeri kçtır? " A) B) C) D) E) A) f ( ) B) f ( ) " " C) f ( ) " E) f ( ) " D) f ( ) " 6.. i içi iti edir? A) B) C) D) E) o f() Şekilde f() foksiouu grfiği verilmiştir. Bu göre f ( ) f ( ) f( ) f( ) " ( ) " ( ) ifdesii eşiti şğıdkilerde hgisidir? A) B) C) D) E). ^ h itii değeri kçtır? " A) 7 B) 6 C) D) E) 7. f( ) " ( ) olduğu göre f ( ) itii değeri kçtır? " A) 8 B) C) D) 7 E) 9

16 8. ( ) 9 olduğu göre " ( ) itii değeri kçtır? " A) B) C) D) E) 7. R içi f() dir. Bu göre içi f() ifdesii değeri kçtır? A) B) C) D) E) 9. R de tımlı f foksiou içi f ( ) ise " " f( ) itii değeri kçtır? A) B) C) D) E). f ( ) ve g ( ) tür. " " Bu göre f ( ) g( ) " " eşiti şğıdkilerde hgısidir? ifdesii A) B) C) D) E) 6. f() o g() o Şekilde f() ve g() foksiolrıı grfikleri verilmiştir. Bu göre şğıdkilerde hgisi lıştır?. f ( ) 6 ve f ( ) olduğu göre " " f( ) > H itii değeri kçtır? " f ( ) A) B) C) D) E) A) [() f g ( )] " B) f ( ) g ( ) " " C) [() f g( )] 8 " D) [() f g ( )] " E) (( f ) g ( )) 7 ". f: R R tek foksio olmk üzere [() f ] olduğu göre " [() f ] değeri kçtır? " A) B) C) D) E). B. C. B. A. C 6. B 7. E 8. E 9. E. D. C. D. B. E

17 Tekrr Zmı Test Çözümü. g ( ) ise g( ) dir. " " 9. f( ) ise f( ) tür. " f ( ) ise f( ) dir. Burd " " f ( ) ^ h f^ h buluur. " g ( ) f ( ) tür. " " Cevp: B Cevp: E. " tür. Cevp: C. f ( ) ve g ( ) olduğud " " 6 f( ) g( dır. " Dolısıl D seçeeği lıştır. Cevp: D. buluur. " Cevp: B. ^ h ^ h ^ h " 7 7 buluur.. G f( ) G ise ^ G f ( ) G h " & G f( ) G ^ h " " " > Cevp: A & G f( ) G olduğud f( ) buluur. " " Cevp: C. f ( ) ve f ( ) olduğud f( ) oktur. " " Dolısıl C seçeeği lıştır. " Cevp: C 6. f ( ), f ( ) " ^ h " ^ h f( ) ve f() dir. Burd f ( ) f ( ) f( ) f( ) buluur. " ^ h " ^ h Cevp: B. f ( ) ve f ( ) dir. " " g ( ) ise g( ) tür. Burd " " f ( ) g ( ) & f ( ) g ( ) " " " " 9 buluur. Cevp: D 7. f( ) f( ) & " ^ h ^9 h & f( ) & f( ) & f( ) 6 & f( ) 9dur. Burd f( ) f( ) 9 buluur. " Cevp: E f^ h. > H " f^ h f^ h " f^ h " f^ h 6 buluur. f^ h Cevp: B 8. ^ h 9 & 9 & & dir. " Burd ^ h 7 buluur. " Cevp: E. f tek foksio ise f() f( ) dir. Yi f() f( ) tür. 6 f ( & f( ) & f( ) tir. " O hlde f() f( ) olduğud f( ) tir. Burd 6 f( f( ) 7 buluur. " Cevp: E

18 ÖZEL FONKSİYONLARDA LİMİT Prçlı Foksiolrd Limit Kou Özeti Prçlı foksiolrı prçlm oktlrı kritik oktlrıdır. Z g ( ), < ] fr : " R, f( ) [ c, ] h ( ), > \ prçlı foksiou içi it iceleirke; v kritik okt i prçlm oktsıd sold ve sğd ite bkılır. < olduğud f ( ) g ( ) dir. " " > olduğud f ( ) h ( ) dir. " " v Kritik olm oktlrd it lıırke, bu okt civrıd suul foksio prçsı göre it belirleir. b < içi f ( ) g ( ) dir. " b " b d > içi f ( ) h ( ) dir. " d " d ÖRNEK, < fr : " R, f( ) ', foksiouu şğıdki oktlrd itlerii rştırıız. ) b) c) ÇÖZÜM Foksiou prçlm oktsı ol kritik oktsıdır; o ) kritik okt değildir; < olduğud, C f ( ) ( ) buluur. " " b) kritik okt olduğu içi sold sğd ite bkılır; C < içi f ( ) ( ) dir. " " C > içi f ( ) ( ) dır. " " f ( ) f ( ) & f ( ) oktur. " " " c) kritik okt değildir. > olduğud, C f ( ) ( ) buluur. " " Z, < ]. f ( ) [, < ], \ foksiou içi şğıdki itleri değerlerii buluuz. ) f ( ) d) f ( ) " " Z ],. f ( ) [, < < ] \, foksiou verilior. Bu göre şğıdki itleri değerlerii buluuz. ) f ( ) d) f ( ) " " b) f ( ) e) f ( ) " " b) f ( ) " e) f ( ) " c) f ( ) " f) f ( ) " c) f ( ) " f) f ( ) " ) ) b) c) d) 8 e) f) Yoktur ) ) b) c) 7 d) e) f)

19 Mutlk Değer Foksiou Limiti ÖZEL FONKSİYONLARDA LİMİT Kou Özeti Mutlk değer foksiolrıı içii sıfır p oktlr kritik oktlrıdır. fr : " R, f( ) itii iceleirke v v " kritik okt i f() ise sold ve sğd ite bkılır. kritik okt değilse i f() ise f( ) f( ) dır. " ÖRNEK fr : ", " R, f( ) foksiouu ) b) c) oktlrıdki itlerii rştırıız. ÇÖZÜM kritik oktlrdır. ( ) ) kritik okt değildir; f ( ) f( ) buluur. " b) kritik okt olduğu içi sğd ve sold ite bkılır; < içi f ( ) ( ) " " " > içi f ( ) ( ) dir. " " " O hlde f ( ) f ( ) & f ( ) oktur. " " " c) kritik okt değildir; f ( ) f( ) buluur. " Grfikte de görüldüğü üzere f ( ), f ( ) oktur " " ve f ( ) dir. " f() o Aşğıdki itleri değerii buluuz.. ". ". ". ". f p " 9 6. " 7. " Z ] ], < [ 8. f ( ), ], > \ olmk üzere f ( ) itii değeri kçtır? " 9. 6 f ( )@ olduğu göre f ( ) itii " değeri kçtır? " ) ) ) ) ) 6) Yoktur 7) Yoktur 8) 9)

20 ÖZEL FONKSİYONLARDA LİMİT Üstel ve Logritmik Foksiolrı Limiti Kou Özeti (Üstel Foksiolrı Limiti) c R {} olmk üzere f, oktsıd iti ol bir foksio ise c " f() c f() " tir. Çözüm pılırke d cevp verilirke gerekirse üstel düzelemeler pılbilir. ÖRNEK c " 7 m itii değerii buluuz. Kou Özeti (Logritmik Foksiolrı Limiti) f, oktsıd iti ol bir foksio ve civrıd f() > olmk üzere 6log log 9 f() C tir. " b b " f() < ise log b f() tımsızdır. Logritm özelliklerii htırlıız: v log v l log e v log b log b m v log log v b v log c m log blog c c log (b c) log b log c Çözüm pılırke d cevp verilirke gerekirse logritmik düzelemeler pılbilir. ÇÖZÜM 7 7 c m " " " ( ) ( 7 ) ( 7 ) " " ( ) buluur. üstel düzeleme ÖRNEK 6 log ( 6) itii değerii buluuz. ÇÖZÜM 6log ( 6) log ( 9 C " " G log ( 6) log 8 log log buluur. Aşğıdki itleri değerlerii buluuz. Aşğıdki itleri değerii buluuz.. " 8. 9log ^ hc ". 6 ". ". c " m. 6 log( ". 9log ^ h log ^ 8h 6 6 C " f (). e olduğu göre f ( ) itii değeri " kçtır? ". 9log ^ h log ^ hc " 6 ) ) ) 7 ) ) l ) ) ) )

21 R de Limit I ÖZEL FONKSİYONLARDA LİMİT Kou Özeti (Geişletilmiş Reel Sılrd İşlemler) Reel sılr kümesie (egtif sosuz) ve (pozitif sosuz) kvrmlrıı eklemesi ile oluş sı kümesie geişletilmiş reel sılr kümesi deir ve R ile gösterilir. R (,) & R [, ] dur. Sosuz kvrmı çok büük olmı ifde eder ve sı değildir. Sosuz sı değildir;... ve... _ b ck dki gibi,... b sılr olduklrı düşüülerek geişletil... ` b miş reel sılrd işlemleri pbilirsiiz.,... b... v () (), ( ) ( ) v () (), ( ) ( ), () ( ) vv N içi (),, ( ) ' çift, tek vv N içi, tek ise ÖRNEK Aşğıdki işlemleri dvrışıı R de tespit ediiz. ) b) c) d) e) ÇÖZÜM ) " " b),..,.. " " tımsız... c) " " " c m",.. d) "... " e) Her sı sosuzd dh küçüktür; " ÖRNEK (Kuvvetler) Aşğıdki işlemleri dvrışıı R de tespit ediiz. ) b) ( ) c) d) c m e) c m ÇÖZÜM u tek d çift olduğu tımlı değildir. )... b) ( ) mu mu olcğı tespit edilemez. c) d) c m " " " çok büük sı " " e) c m " " çok büük sı ifdesi dh hızlı sosuz ilerler, sı gibi dvrır. ifdesi dh hızlı sosuz ilerler sı gibi dvrır. Aşğıdki işlemleri dvrışıı geişletilmiş reel sılr kümeside tespit ediiz... c m e. 8. ( ) ( ) 6. e. c m ( ) 9. ( ) ( ). ( ) ().. ( ) ( ). c m. c m c m ^ h. ( ). ( ) c m 7 8.! ) ) ) ) ) 6) 7) 8) 9) ) ) ) ) ) ) 6) 7) 8) 9) Tespit Edilemez ) Yklşır ) ) ) ) ) Yklşır 6) 7) 8) 7

22 ÖZEL FONKSİYONLARDA LİMİT R de Limit II Kou Özeti (Sosuz, Tımsız ve Belirsiz) Limitte sıkç krşılşcğıız sosuz, tımsız ve belirsiz ifdelerii birbirile krıştırmıız. v R {} içi ± ± dur ve ± dır. ÖRNEK (Kuvvetler) Aşğıdki işlemleri dvrışıı R de tespit ediiz. ) b) c) d) e) f) g) 9 h) 8 ı) k) log ( ) l) l m) tc m ) o) p) r) v v R {} içi " tımsızdır. " belirsizdir. ÇÖZÜM,,,,,, ifdeleri belirsiz durumlrdır. ) Belirsiz b) c) Tımsız d) " e) Belirsiz f) Belirsiz Sosuz, sıırsız büük ck reel sı olm durumlrdır; tımsız, mtemtiksel olrk tımsız kbul edile durumlrdır; belirsiz, tımlı ck tm belirleemee durumlrdır. g) 9 Tımsız h) 8 ı) Belirsiz k) log ( ) Tımsız l) l m) tc m Tımsız ) Belirsiz o) Belirsiz p) r) belirsiz Aşğıdki işlemleri dvrışıı geişletilmiş reel sılr kümeside tespit ediiz ( ). ( ) 8. log 9. log.... log cot. cot cot tc m log 6. tc m 8 ) ) ) ) ) 6) 7) Tımsız 8) 9) Belirsiz ) Tımsız ) ) ) ) ) Belirsiz 6) 7) 8) Tımsız 9) Tespit Edilemez ) Yklşıor ) Belirsiz ) ) Belirsiz ) Tımsız ) Belirsiz 6) Belirsiz 7) Tımsız 8) 9) Tımsız ) ) Belirsiz ) Tımsız ) ) ) 6

23 R de Limit III ÖZEL FONKSİYONLARDA LİMİT Kou Özeti ( f ( ) ± Limitler) " " f ( ) ± ifdesi ile gerçel sılr kümeside (R de) iti vr olduğu lşılmmlıdır. Çükü ± gerçel sı değildir i ± R dir. f ( ) ± iti ile civrıd f() i " sıırsız rtış d zlış dvrışı ifde edilir. R ve N olmk üzere; v > ike v < ike " b ( b ) " b ( b ), çift ise * oktur, tek ise *, çift ise oktur, tek ise Yukrıdki durumlrı ezberlemeize gerek oktur. Bir sı civrıd ve geişletilmiş reel sılrd işlemler ile souc ulşbiliriz. ÖRNEK (Kesirli Foksiolrd Limit) Aşğıdki it değerlerii buluuz. ) b) " " c) " ( ) ÇÖZÜM Kesirli foksiolrı pdsıı sıfır p okt kritik oktlrdır ve sğd sold ite bkılır. Dvrış ) " (sıırsız rtış) o (sıırsız zlış) " ike f() krkteristik bir dvrış göstermediği içi, oktur deilir. " b) _ b " ` oktur. " b " c) _ " ( ) ( ) ( ) b ` ( " ) " ( ) ( ) ( ) b Aşğıdki itleri değerii buluuz.. ". ". ". ". " 6. " 7. " 8. " 9. ". ". " ( ). ". ". ". " 6. l( ) " ) ) ) ) ) 6) 7) 8) 9) Yoktur ) Yoktur ) ) ) ) Yoktur ) 6) 9

24 ÖZEL FONKSİYONLARDA LİMİT R de Limit IV Kou Özeti ( f ( ) Limitler) " ± ÖRNEK Aşğıdki it değerlerii buluuz. R olmk üzere dır. " ± o ) ( ) " d) ( ) " b) " c) e) ( e ) " " ( ) R ve N olmk üzere; " ± ( b )... poliomik ifdesi içi dır. (... ) ( ) dir. " ± " ± Nedei içi öreği d şıkkıı iceleiiz. ÇÖZÜM Formül ezberlemede bir sı civrıd ve geişletilmiş reel sılrd işlemler ile soucu ulşılbilir. ) ( ) o " / b) o " R olmk üzere f() foksiou içi, v > ise < ise o o dır. " " dır. " dur. dır. " c) " ( ) ( ) ( ) prtezie llım d) ( ) > f ph ike " " / ve / ; c me dur. " " e) e,7... > içi sıfır olur e e dır. " e. Aşğıdki itleri değerii buluuz. ) 6 " e) ^ h ". c " m itii değeri edir? b) " f) ". > H itii değeri edir? " c) " g) " d) c m h) c " " m. ; c m E itii değeri edir? " e ) ) 6 b) c) d) e) f) g) h) ) ) )

25 R de Limit V ÖZEL FONKSİYONLARDA LİMİT Kou Özeti ( R de Limiti Grfik Yorumu) f() f: R {, b} R k olmk üzere; O b v f ( ) k " v f ( ) ve f ( ) olduğud " " f ( ) oktur. " v f ( ) ve f ( ) olduğud " b " b f ( ) dur. " b v f ( ) dur. " sıırsız rtışı, sıırsız zlışı belirte foksio dvrışlrıdır. ve gerçek sılr kümeside er lmz. DİKKAT EDİNİZ! ÖRNEK Şekildeki f: R {, } R f() foksiouu grfiğie göre şğıdki it değerlerii buluuz. ) f ( ) " b) f ( ) " c) f ( ) " ÇÖZÜM Grfiği dikktli okuuuz. d) f ( ) " ) ike f() sıırsız zlır: f ( ) b) c) f ( ) " ( ) f ( ) f oktur. " " f ( ) " f ( ) f ( ) dur. " " d) f ( ) dir. " ".. f() f() O O Şekilde f() foksiouu grfiği verilmiştir. Bu göre şğıdki it değerlerii buluuz. Şekildeki f() foksiouu grfiği verilmiştir. Bu göre şğıdki it değerlerii buluuz. ) f ( ) d) f ( ) " " ) d) f ( ) " f ( ) " b) f ( ) e) f ( ) " " b) f ( ) e) " f ( ) " c) f ( ) " f) f() " c) 6 f ( f) f ( ) " " ) ) b) c) Yoktur d) e) f) ) ) b) c) d) e) f)

26 Ugulm Zmı Ugulm, >. f ( ) *, foksiou içi şğıdki itleri değerii buluuz.. Aşğıdki itleri değerlerii buluuz. ) " 9 e) " ) f ( ) " d) f ( ) " b) " f) " b) f ( ) " e) f ( ) " c) g) " " c) f ( ) " f) f ( ) " d) h) " " 8 Z ], <. f ( ) [, < ] \, foksiou içi şğıdki itleri değerii buluuz. ) f ( ) " e) f ( ) ". > H itii değeri edir? ". itii değeri edir? " b) f ( ) " f) f ( ) " 9 6. itii değeri edir? " 6 7. " itii değeri edir? c) f ( ) g) f ( ) " " 8. f( ) olduğu göre f ( ) itii " değeri edir? " d) f ( ) h) f ( ) " " 9. ^ 6 " h itii değeri edir? ) ) b) c) d) 8 e) 8 f) 8 ) ) b) c) 8 d) 8 e) 8 f) 8 g) h) Yoktur ) ) 8 b) c) d) e) 6 f) g) h) ) ) 6) 7) Yoktur 8) 9) 9

27 . 6 log ( ) log itii değeri edir?.. 9log ( ) log ( ) C itii değeri edir? " f(). 9log ( 6) log ( ) C itii değeri " edir? O. Aşğıdki itleri değerii buluuz. ) l) " " Şekilde f() foksiouu grfiği verilmiştir. Bu göre şğıdki it değerlerii buluuz. ) f ( ) g) 6 f ( " " 6 b) m) " " c) ) 7 " " d) o) c m " " e) p) " " b) f ( ) " c) f ( ) " d) f ( ) " e) f ( ) " h) k) l) f ( ) " f ( ) " f ( ) " f ( ) m) " f) " r) c m " f) f ( ) ) " " f ( ) g) s) " ". f() fosiouu içi f ( ) " itii değeri edir? h) " k) " t) e " u) " 6. (, ] olduğu göre içi ifdesii iti edir? ) ) ) ) ) b) c) d) e) f) g) h) Yoktur k) l) m) ) o) p) r) s) t) u) ) ) b) Yoktur c) d) e) f) g) h) k) l) m) ) ) 6)

28 Tekrr Zmı ÇÖZÜMLÜ TEST Z ], <. f ( ) [, < ] \, foksiou içi 6. ^ " h itii değeri kçtır? A) B) 8 C) D) E) 6 f ( ) f ( ) f ( ) " " " şğıdkilerde hgisidir? toplmıı eşiti A) B) C) D) E). 9log log C itii değeri kçtır? " A) B) C) 6 D) 8 E), 7. f ( ) *, < fosiou verilior. f() i tımlı olduğu her oktsıd iti olduğu göre " " f ( ) f ( ) toplmı şğıdkilerde hgisidir? A) B) C) D) E) 8. c m itii değeri kçtır? " A) B) C) D) E) 8. " ifdesii eşiti şğıdkilerde hgisidir? A) B) C) D) E). itii eşiti edir? " A) B) C) D) E) 9. " itii değeri şğıdkilerde hgisidir? A) B) C) D) E). f ( ) olduğu göre f ( ) f ( ) ifdesii eşiti şğıdkilede " " hgisidir?. > c m H itii değeri şğıdkilerde " hgisidir? A) B) C) D) E) A) 8 B) 9 C) D) E)

29 " e. > c m c m H itii değeri şğıdki lerde hgisidir?. f() A) B) C) D) E) O Şekilde f() foksiouu grfiği verilmiştir.. ; c m E itii değeri şğıdkilerde " hgisidir? A) B) C) D) E) Bu göre şğıdkilerde hgisi lıştır? A) f ( ) " C) f ( ) " B) f ( ) " D) f ( ) " E) f ( ) oktur. ". 6. O f() Şekilde f() foksiouu grfiği verilmiştir. O " " Bu göre f ( ) f ( ) ifdesii eşiti şğıdkilerde hgisidir? A) B) C) D) E) Şekilde f() foksiouu grfiği verilmiştir. Bu göre I. f ( ) " IV. f ( ) ". " itii değeri edir? II. f ( ) V. f ( ) " " III. f ( ) " Öermeleride hgileri doğrudur? A) I, III ve V B) I, II ve IV C) II, III ve V A) B) C) D) E) D) II, III ve IV E) I, III ve IV. D. B. C. A. E 6. E 7. C 8. A 9. C. D. C. E. D. A. E 6. E

30 Tekrr Zmı ÇÖZÜMLÜ TEST. f ( ) e foksiou verilior. l( ) ii f() değeri edir? A) B) C) D) E) 6. f p itii değeri şğı " dkilerde hgisidir? A) B) C) D) E). f foksiou gerçek sılr kümeside tımlı ve olduğu göre f ( ) itii değeri " f () edir? " 7. " itii değeri kçtır? A) B) C) D) E) A) B) C) D) log E)log 8. f p itii değeri kçtır? " A) B) C) D) E) itii değeri şğıdkilerde hgisi. " dir? A) B) C) D) E) Z ]. f ( ) [, ], \ foksiou verilior. " Bu göre f ( ) ifdesii değeri şğıdkilede hgisidir? 9. " " itii değeri şğıdkilerde hgisidir? A) B) C) D) E) A) B) C) D) E) Limiti Yoktur. > log c mh itii değeri şğd " kilerde hgisidir?. f: R {} R Z ], < f ( ) [ ], > \ foksiouu oktsıdki iti değeri şğıdkilerde hgisidir? A) B) C) D) E) 6 A) B) C) D) E)

31 . " 7 iti değeri kçtır? A) B) C) D) E). f () O Şekilde f() foksiouu grfiği verilmiştir.. " e itii değeri şğıdkilerde hgisidir? A) B) C) D) E) Bu göre şğıdkilerde hgisi lıştır? A) f ( ) " C) f ( ) " E) f ( ) " B) f ( ) " D) f ( ) ".. f() O O Şekilde f() foksiouu grfiği verilmiştir. Bu göre I. f ( ) " IV. f ( ) " II. f ( ) V. f ( ) " " III. f ( ) VI. f ( ) " " İfdeleride hgileri doğrudur? A) I, II ve III B) I, III ve IV C) II, III ve IV Şekildeki f() foksiouu grfiği verilmiştir. Bu göre I. f ( ) III. " f ( ) " II. f ( ) " f ( ) IV. f ( ) " Yukrıd verilelerde kç tesi doğrudur? A) B) C) D) E) D) II, III ve VI E) II, III ve V. D. D. E. E. B 6. A 7. D 8. B 9. A. E. B. D. E. D. B 7

32 Tekrr Zmı Test Çözümü. f ( ) ^ h " " f ( ) ^ h " " f ( ) ^ h tür. Burd " " f ( ) f ( ) f ( ) buluur. " " " Cevp: D. > c m H c m " buluur. Cevp: D. 9log log C log k log k " " " 6 log log log log log log buluur. > > Cevp: B e. > c m c m H " e e c m c m c m buluur.. c m dır. " Cevp: C Cevp: C. buluur. " " Cevp: A. ; c m E c m ^ h buluur. " Cevp: E. f ( ) f p dir. " " " f ( ) c m 6 dir. " " Dolısıl 7 buluur. Cevp: E. Grfiğe göre f ( ) ve f ( ) dir. " " Dolısıl f ( ) f ( ) buluur. " " Cevp: D 6. ^ h 9 6 buluur. " Cevp: E. " buluur. 7. f ( ) ^ h " " ı. f ( ) ^ h dr " " Cevp: A Burd f ( ) f ( ) buluur. " " Cevp: C. f( ) dir. Dolısıl E seçeeği lıştır. " Cevp: E ^ h 8. " " ^ h^ h buluur. Cevp: A 6. f ( ), f ( ), f ( ) ve f ( ) dir. " " " " Burd I, III ve IV doğrudur. Cevp: E 9. " " " buluur. 8 Cevp: C

33 Tekrr Zmı Test Çözümü. e e " l l ^ h buluur. f (). f () f( ) " f ( ) " f ( ) & & log log & f( ) log dolısıl f ( ) f ( ) log " dir. Cevp: D Cevp: D. kritik okt olduğud içi sğdsold ite bkmlıız., dolısıl " " buluur. " Cevp: E 9. " " buluur. _. f ( ) b " " ` f ( ) b " " olduğud f( ) buluur. " Cevp: A Cevp: E. kritik okt olduğud sğdsold ite bkmlıız. _ b b " ` eşit olmdığıd b içi f() i iti oktur. " b Cevp: E. " buluur. Cevp: B. > log f ph " f p log log log buluur. Cevp: B. e " e buluur. e e Cevp: D 6. f p " ^ h ^ h 8 8 buluur. Cevp: A. f ( ), f ( ), f ( ) " " " f( ) Yoktur, f ( ) ve f ( ) dur. " " " Dolısıl II, III ve V doğrudur. Cevp: E 7. " buluur. Cevp: D. f ( ), f ( ), f ( ), f ( ) ve " " " " f ( ) dir. Dolısıl D seçeeği lıştır. " Cevp: D 8. f ^ h p " ^ h buluur. Cevp: B. f ( ), " " f ( ) f ( ), f ( ) f ( ) dur. " " Dolısıl tesi doğrudur. Cevp: B 9

34 ÖZEL FONKSİYONLARDA LİMİT Trigoometrik Foksiolrı Limitleri I Kou Özeti R olmk üzere, v si si v " cos cos " t t ^cos h " v cot cot ( si ) " Trigoometrik foksiolrı itleride geelde rd ciside çı ölçüsü kullılır. ± ike si ve cos foksiolrı [, ] rlığıd değişe periodik değerler olcğıd si ve cos itleri hesplmz. " ± " ± ÖRNEK Aşğıdki it değerlerii buluuz. ) si " b) cos " c) t " d) cot " ÇÖZÜM ) si si " c) t t " ÖRNEK (Limitsiz Durumlr) b) cos cos " d) cot cot " Aşğıdki it değerlerii buluuz. ) si " ± ÇÖZÜM b) cos " c) t " ) ike si ifdesi [, ] rlığıd periodik değerler lcğı içi si iti hesplmz. " b) ike cos ifdesi [, ] rlığıd periodik değerler lcğı içi cos iti hesplmz. " c) t içi kritik oktdır. t _ " c m b ` it oktur. t " c m b Aşğıdki itleri değerii buluuz.. cos " 6. " si. si ". cot " 8. ( si ) ". cos c m " si 7. cos 8. " ( ) cos > cosecc mh " 9. > cos t " si H. si ". cot " ) ) ) ) ) 6) 7) 8) 9) ) ) Limit Yoktur

35 Trigoometrik Foksiolrı Limitleri II ÖZEL FONKSİYONLARDA LİMİT Kou Özeti (Trigoometrik Foksiolrı Sold ve Sğd Limitleri) Trigoometrik foksiolrı sold ve sğd itleri tespit edilirke grfikleri üzerideki sğd ve sold klşımlrı göz öüe lımlıdır v Trigoometrik bölge işretlerie ( * ) göre bir sı civrıdki değerler tespit edilir. cos si O Öreği, I. Bölgede II. Bölgede sic m ve sic m I. Bölgede II. Bölgede cosc m ve cosc m t ve cot i sğd itleride si cos t ve cot özdeşlikleride cos si fdlılır. Biliorsız grfiklerii de kullbilirsiiz. ÖRNEK Aşğıdki it değerlerii buluuz. cos si cos ) b) " cos " si ÇÖZÜM Pdı sıfır p kritik oktlrd ve değerleri kullılır. ) cos si cos si cos cos " b) cos cos ( ) si " si ÖRNEK (t ve cot i Kritik Noktlrı) ) t ) b) " c m ÇÖZÜM b) ( cot) " si^ h t tc m cos^ h " c m cos ( ) cot cot " si Aı durumu grfik üzeride de gözlemleebiliriz. t ve cot " ^ h " cot t Aşğıdki itleri değerii buluuz.. si " si. si ". cos ". " t cos si. cos " c m si cos 6. f p si cos " ) ) ) ( * ) I. bölgede hepsi, II. bölgede siüs, III. bölgede tjt ve cotjt, IV. bölgede cosiüs pozitiftir. ) ) 6)

36 ÖZEL FONKSİYONLARDA LİMİT Bileşke Foksiolrı Limiti Kou Özeti Sold ve sğd klşmlr bileşke foksio değerii l kdr kullılılır. DİKKAT EDİNİZ. Öreklerle çıkllım. ÖRNEK (Prçlı Foksio Yorumu) f, g: R R olmk üzere,, <, f ( ) ' ve g ( ) ',, > ÖRNEK (Grfik Yorumu) Şekilde grfiği verile f: R R foksiou içi şğıdki it değerlerii buluuz. ) ( fof)( ) " b) ( fof)( ) " O ise ( fog)( ) itii değerii buluuz. " ÇÖZÜM Grfiği okurke dikkt ediiz. ÇÖZÜM ( fog)( ) ( g ( )) fg ( ( )) dir. " " G > olduğud fg ( ( )) f( ) f( ) dir. E < olduğud f ( ) 6 6 dır. E ) ( fof)( ) ff (()) ff (( )) f( ) dir. b) " " H ( fof)( ) ff (()) f f( ) k " " " f( ) buluur., >, <. f ( ) * ve g ( ) *,, foksiolrı verilior. Bu göre şğıdki it değerlerii buluuz.. ) ( gof)( ) " d) ( fog)( ) " O b) ( fof)( ) e) ( fog)( ) " " Şekilde grfiği verile f() foksiou içi şğıdki it değerlerii buluuz. ) ( fof)( ) " d) ( fof)( ) " c) ( gog)( ) f) ( gof)( ) " " b) ( fof)( ) " e) ( fof)( ) " c) ( fof)( ) " f) ( fof)( ) " ) ) 6 b) c) 6 d) 6 e) 6 f) ) ) b) c) d) e) f)

37 Geel Limit Alm Kurllrı ÖZEL FONKSİYONLARDA LİMİT Kou Özeti (Geel Limit Alm Kurllrı) Limit lm kurllrıı özetleecek olursk; R ike f() foksiou içi, v kritik okt değilse ve belirsizlik oluşturmuors f ( ) f ( ) dır. " ÖRNEK Z, < ], fr : " R, f( ) [ ], > \ foksiou içi şğıdki itleri buluuz. ) f ( ) " ÇÖZÜM b) f ( ) " c) f ( ) " v kritik okt ise sold ve sğd ite bkılır. f ( ) f ( ) L & f( ) L dir. " " " f ( ) f ( ) & f ( ) oktur. " " Foksiolrı kritik oktlrı v Prçlı foksiolrd prçlm oktsıdır. v Mutlk değer foksioud mutlk değeri içii sıfır p oktdır. v Kesirli foksiolrı pdsıı sıfır p oktdır. ) civrıd f() olduğud, & f ( ) dır. " " " b) f ( ) dir. " " f ( ) " " O hlde f ( ) dir. " dir. c) civrıd f ( ) olduğud ve " " O hlde f ( ) iti oktur. ". f ( ) foksiou verilior. Bu göre şğıdki itleri eşitii buluuz. ) f ( ) " e) f ( ) ". Gerçek sılr kümeside tımlı Z ], < f ( ) [ ], \ 9 foksiou içi şğıdki isteileleri buluuz. b) f ( ) " f) f ( ) " ) f ( ) " c) f ( ) " g) ( f ( ) f( )) " b) f ( ) " d) f( ) " h) ( fof)( ) " c) f() foksiouu kç oktd iti oktur? ) ) b) Yoktur c) d) e) f) g) h) ) ) Yoktur b) c)

38 ÖZEL FONKSİYONLARDA LİMİT Limit Deklemleri Kou Özeti Limiti vrlığı göre kurul deklemler çözülür. ÖRNEK ( ) deklemie göre gerçel " sısıı buluuz. ÇÖZÜM ( ) & ( ) ( ) " buluur. ÖRNEK Z ], < R de R e, f ( ) [, ] \ m 7, > ile tıml f foksiouu oktsıd itii olmsı içi m değeri kç olmlıdır? ÇÖZÜM oktsı f foksiou içi kritik oktdır. f ( ) ( ) " " f ( ) ( m 7) m 7 m 7 " " f() foksiouu oktsıd iti olduğu göre sold ve sğd itleri eşit olmlıdır. m f ( ) f ( ) & m 7 " " 7 m m 6 m buluur.. ( ) 6 olduğu göre kçtır? ". f ( ) *, <, foksiou oktsıd iti olduğu göre kçtır?. f() foksiou içi, f ( ) f ( ) olduğu göre f ( ) kçtır? " " ". ( m ) ( ) olduğu göre " " m toplmı kçtır?, <. f ( ) * b, foksiou içi f ( ) " değerlerii buluuz. olduğu göre ve b ) ) ) 6 ) ), b

39 Ugulm Zmı Ugulm. Aşğıdki it değerlerii buluuz. ) si ",. f ( ) *, >, < g ( ) *, foksiolrı verilior. Bu göre şğıdki it değerlerii buluuz. b) ( si cos ) " ) ( fof)( ) " d) ( fog)( ) " si t c) cos t t " d) " cos si b) ( fog)( ) " e) ( gof)( ) " si e) cos si " c) ( gog)( ) " f) f; E " g ( 6 ) f) cosec " g) si " c m. f() ve g() içi ^fog " h^h itii değeri edir? h) " c m cot si k) cos si " ) ) b) c) d) e) f) g) h) k) ) ) b) 7 c) 9 d) 7 e) 7 f) )

40 . f: R {} R {} birebir örte f ( ) foksi ou verilior. 9. f() Bu gör içi f () itii değeri edir?. rct rc cot toplmıı değeri " " O kçtır? Şekilde f() foksiouu grfiği verilmiştir. Bu göre şğıdki it değerlerii buluuz. Z ], 6. fr : " R, f( ) [ ], > \ 9 foksiouu kç oktd iti oktur? ) ( fof)( ) e) ( fof)( ) " " b) ( fof)( ) " f) ( fof)( ) " 7. ( k) olduğu göre k kçtır? " c) ( fof)( ) g) ( fof)( ) " " d) ( fof)( ) h) ( fof)( ) " " 8. ( m) 7 ve ( k) tir. " " Bu göre ( k k m) itii değeri kçtır? " m, <. f ( ) * b, foksiou içi f ( ) olduğu göre " b toplmı kçtır? 6 ) ) 6) 7) 8) 8 9) ) b) c) d) e) f) g) Yoktur h) )

41 Tekrr Zmı ÇÖZÜMLÜ TEST. sec itii değeri kçtır? " A) B) C) D) E) 6. " cos si itii değeri kçtır? cos A) B) C) D) E) t t. itii değeri kçtır? t " si t 8 A) B) C) D) E) 7. cos " itii değeri şğıdkilerde hgisidir? A) B) C) D) E) cos( ). itii değeri kçtır? " log( ) A) B) C) D) log E) 8. rccosf " p itii değeri şğıdkiler de hgisidir? A) B) 6 C) D) E). itii değeri şğıdkilerde h si " gisidir? A) B) C) D) E) 9. " c m t itii değeri şğıdkilerde hgisidir? A) B) C) D) E). cos( ) " itii değeri şğıdkilerde hgisidir? A) B) C) D) E). f ( ) * sic m, < cos( ) b, foksiou verilior. " f ( ) olduğu göre b frkıı eşiti şğıdkilerde hgisidir? A) B) C) D) E) 7

42 . f ( ) ve g ( ) olduğu göre " " " ( fog)( ) ifdesii eşiti şğıdkilerde hgisidir?. A) B) C) D) ) f() O Şekilde f() foksiouu grfiği verilmiştir., <. f ( ) * foksiouu de iti b, vrs b kçtır? A) B) C) D) E) Bu göre ( fof)( ) ( fof)( ) " " değeri şğıdkilerde hgisidir? A) 6 B) C) D) E) ifdesii 6.. f() foksiou verilior. Bu göre ( fof)( ) itii değeri kçtır? " O f() A) B) 9 C) 8 D) 7 E) 6 Şekilde f() foksiouu grfiği verilmiştir. Bu göre, <. f ( ) *,, < g ( ) *, foksiolrı verilior. Bu göre ( fog)( ) itii değeri kçtır? " A) B) C) D) E) 6 I ( fof)( ) tür. " II ( fof)( ) dir " III ( fof)( ) " dir. IV ( fof)( ) " dir. Öermeleride hgileri doğrudur? A) I ve III B) I ve IV C) I, II ve III D) II, III ve IV E) III ve IV 8. D. C. B. A. E 6. C 7. C 8. D 9. B. E. A. A. B. E. B 6. A

43 Tekrr Zmı Test Çözümü. sec cos cos cos buluur. " " Cevp: D t t t 8. si t t " si 8 8 t buluur. si Cevp: C cos^h cos. buluur. " log ^ h log. f ( ) ise f ( ) f ( ) dir. " " " f ( ) ^cos bh cos b " " f ( ) csi si m " " & b & b b buluur. & & Cevp: E. f ( ) f( ) ve g( ) g( ) " " Burd ^fogh^h f^g ( ) h fg ^ ( ) h f( ) " " > buluur. Cevp: A. si buluur. " Cevp: B Cevp: A. f i de iti vrs f ( ) f ( ) dir. Burd " " f ( ) ( b) b " " b b f ( ) ( ) & buluur. " " Cevp: A. cos ^ h cos ^ h buluur. " Cevp: E. ^fofh^h f^f ( ) h ff ^ ^ hh " " f ( ) 6 9 buluur. Cevp: B 6. cos si cos si buluur. cos cos " Cevp: C. ^fogh^h fg ^ ^ hh f^g ^ hh. " g( ) " ^ h " " Burd f( ) ( ) 6 buluur. Cevp: E cos 7. G cos G & G G cos G G G " " " cos & G G olduğud cos dır. " " Cevp: C. f ( ), f ( ) dir. " " ^fofh^h f^f^ hh f^h > tür. " " ^fofh^h ff ^ ^ hh f^h > Burd " " ^fofh^h ^fofh^h buluur. " " Cevp: B 8. rccosf p rccosf " p 6. ^fofh^h ff ^ ^ hh f^h > tür. " " rccos buluur. t " 9. " " t si cos buluur. Cevp: D ^fofh^h ff ^ ^hh f^h tür. " " ^fofh^h ff ^ ^ hh f^h " " > tür. ^fofh^h ff ^ ^ hh f^ h > dir. " " Dolısıl I ve III doğrudur. Cevp: A Cevp: B 9

44 BELİRSİZ LİMİTLER Belirsizliği I Kou Özeti (Poliomlu Kesirlerde Belirsizliği) Limiti soucu belirsizlik olmz. Limit hesplırke krşılşıl belirsizlikler giderildikte sor souc ulşılır. Belirsizlikler:,,,,, ve dır. ve belirsizlikleri türev kousud değieceğimiz L'Hospitl ile kolc giderilebilir. f ve g poliom foksiolr olmk üzere f ( ) f ( ) belirsizliğii gidermek içi, " g ( ) g ( ) f() ve g() poliomlrı ( ) çrpı ship olduğud çrplrı ırm d poliom bölmesi ( * ) ile elde edile f() ( ) f () ve g() ( ) g () rdımıl f ( ) ( ) f ( ) f ( ) olur. " g ( ) " ( ) g ( ) " g ( ) Belirsizlik devm ettiği sürece ı işlemler tekrrlır. ÖRNEK Aşğıdki it değerlerii buluuz. ) b) " " ÇÖZÜM ) belirsizliğii çrplrı " ırm ile gidere; ( )( ) ( ) " " ( ) " b) belirsizliğii mutlk değerde " kurtrıp çrplrı ırrk gidere; içi ( ) O hlde ( ) " " " ( ) ( ) buluur. " ( )( ) ( )( ) Aşğıdki it değerlerii buluuz.. " 9. " 9. " 8 6. ". " 7. ". " P() B() ( * ) Poliom bölmesi Q() K() ) 6 ) ) ) P() B() Q() K() dir. 7 ) 6) 6 7)

45 Belirsizliği II BELİRSİZ LİMİTLER Kou Özeti (Köklü Kesirlerde Belirsizliği) Kou Özeti (Üstel İfdeli Kesirlerde Belirsizliği) Köklü kesirleri itleride belirsizliğii gidermek Üstel ifde içere kesirli itlerde belirsizliğii gi içi kesir, köklü kısımı eşleiği ile geişletilir. dermek içi geellikle p ve pd çrplrı rılrk ı çrplr elde edilip sdeleştirilir. ÖRNEK ÖRNEK " itii değerii buluuz. 9 " itii değerii buluuz. ÇÖZÜM ^ h^ h " " ^h^ h ^ h 9 " ^ h^ h " ^h^ h ^ h^ h " ^ h ^ h 6 tür. 9 ÇÖZÜM " 9 belirsizliğii gidermek içi çrplrı ırıp sdeleştirme plım; 9 ( ) ( ) " " " ( ) ( ) ( )( ) " " ( ) ( ) ( ) ( ) buluur. " Aşğıdki it değerlerii buluuz. Aşğıdki it değerlerii buluuz.. ". 9 " t. t t". 9 " 9. ". " ) ) ) ) ) 6 )

46 BELİRSİZ LİMİTLER Trigoometrik Foksiolrd Belirsizliği I Kou Özeti f ( ) olmk üzere, " v v v ÖRNEK ( ( )) ( ) si b f b f b " c f ( ) " si ( c f( )) c ( ( )) ( ) t b f b f b " c f ( ) " t ( c f( )) c si( b f( )) t( b f( )) b " t ( c f( )) " si ( c f( )) c dir. belirsizliklerii türevde değieceğimiz dir. dir. L'Hospitl ile kolc çözülebileceğii uutmıız. Aşğıdki it değerlerii buluuz. ) si " b) t " si6 t c) " ÇÖZÜM belirsizliğii görmede ilgili işlemleri ugulmıız. 6 7 ( ) ) si 8 si buluur. " f ( ) f() f ( ) b) " t " t f ( ) f() buluur. 6 c) si 7 t 8 6 si6 t c m " " & 6 & 6 7 si t 8 6 buluur. " " Aşğıdki it değerlerii buluuz. t 9. c m si ". si ". t " si t. ". si " 6. t " t si. c m si t ". si " 7. t ". si t " si. t " t 8. si " ) ) ) ) ) 6) 7) 8) 9) ) ) 6 )

47 Trigoometrik Foksiolrd Belirsizliği II BELİRSİZ LİMİTLER Kou Özeti belirsizliği ol trigoometrik itlerde kuvvet ve foksio düzelemesi pılrk siüslü ve tjtlı belirsizliği ugulmlrı ile it tespit edilebilir. 6 si@ si si dir. DİKKAT EDİNİZ! ) b) ÖRNEK (Foksio Düzeleme) t ( ) 6 " 9 si ( ) " ÖRNEK (Kuvvetli İfdeler) Aşğıdki it değerlerii buluuz. ) si " b) si " ÇÖZÜM 6 ( ) ) t 7 8 t( ( )) 6 ( ) " " f() ( ) ÇÖZÜM ( siα) si α si α dir ( ) ) si si 7 8 f tür. " " f ( ) f() b) si si c m " " & c si m c m 9 dur. " t f ( ) buluur. f ( ) 67 8 ( )( ) b) 9 si ( ) si ( ) " " f() f ( )( ) f ( ) ( ) 6 dır. si f ( ) si f ( ) " " " Aşğıdki it değerlerii buluuz.. t ( ) ". si ". 8 si ( 6) " 6. si ". ( ) si " si c m 7. " t c m. t " ( ) 6 8. si cos " " 8 8 ) ) ) ) 8 8 ) 6) 7) 7 8) 6

48 BELİRSİZ LİMİTLER Trigoometrik Foksiolrd Belirsizliği III Kou Özeti belirsizliğii görmede ve siüs d tjtı elde etmede trigoometrik foksiolrı belirsizliği ile ilgili işlemleri ugulmıız. ÖRNEK (Prteze Alm Geişletme) Aşğıdki it değerlerii buluuz. si t( si ) ) b) t " si cos c) " t cos " ÇÖZÜM H si c m ) si " t " t c m > tür t( si ) ( ) b) t si si si " " f () si g () t( si ) si 8 si " " 6 ( ) ( ) t 78 6 f si 78 g buluur. f ( ) g( ) " " c) belirsizliğii görmede ilgili işlemleri ugulmıız. E F C si cos si cos " t cos t cos ; < 9 buluur. BELİRSİZLİK YOKTUR. Aşğıdki it değerlerii buluuz. si. t " si t. t 6 6 " si t. t si " si t. ". si( t ) " 6. t( ) " si ( 6) ) ) ) ) ) 6)

49 Trigoometrik Foksiolrd Belirsizliği IV BELİRSİZ LİMİTLER Kou Özeti Trigoometrik özdeşlikler, döüşüm formülleri, toplmfrk ve rımçı çılımlrıl siüs ve tjt içere belirsizlikleri elde edilebilir. Öreklerle çıkllım ÖRNEK Aşğıdki itleri buluuz. ) cos cos b) " " c m ÇÖZÜM Siüs ve tjt olmd belirsizlik formüllerii ugulmıız. ) cos sic m " buluur. si( f ( )) f ( ) f ( ) cos cosc m cos ( si ( )) b) " " si si ^ h ^ h " " f() 678 si ^ h f p c m buluur. " Aşğıdki it değerlerii buluuz. cos. ". si " si. " cos cos 6. " cos cos cos. cos cos " 7. ( cos ) t " cos. cos si " si si 8. cos cos " ) ) ) ) ) 6) 7) 8)

50 Ugulm Zmı Ugulm Aşğıd verile it değerlerii buluuz. 6. " 9. " 6. " 9. " 7. ". " 8. " 6. " 9. " 8. " 6 6. " 7. 9 ". " 6 8. " " 6 ) 8 ) 6 ) 6 7 ) ) 6) 7) 6 7 8) 9) ) 6 ) ) ) ) )

51 6. si c m si ". si " 7. t c m t " si t. " t 8. si " si t si. " si t si si t 9. " si cos 6. ". si ( ) " 7. " cos si si ( ). t " 9 cos 8. cot ". si ( ) " 9. ( t 6 cot ) " 6) 7 7) 8) 9) ) ) 6 ) ) ) 6 ) 6) 7) 8) 9) 7

52 Tekrr Zmı ÇÖZÜMLÜ TEST 6. " itii değeri kçtır? 9 6. > H itii değeri kçtır? " 6 A) B) C) D) E) A) B) C) D) E) 6. itii değeri kçtır? " A) B) C) D) E) 7. ( ) " ( ) itii değeri kçtır? A) B) C) D) E). " 9 itii değeri şğıdkilerde hgisidir? A) B) C) D) 9 9 E) 8. " A) B) itii eşiti şğıdkilede hgisidir? C) D) E). f() ve g ( ) olduğu göre ( fog)( ) itii değeri kçtır? " A) B) C) D) E) 9. " A) itii değeri kçtır? B) C) D) E) 8. " 8 A) B) itii değeri kçtır? C) D) E) itii değeri şğıdkilerde hgi. " sidir? A) B) C) D) E) 8

53 . > H itii değeri kçtır? " 7 A) B) C) 9 9 D) E) 8. itii değeri kçtır? " 6 A) B) C) D) E) itii değeri şğıdkilerde hgi 9. " sidir? A) B) C) D) E) 6. " 9 A) itii değeri kçtır? B) C) 6 D) E) 8. " A) 6 D) 8 itii değeri kçtır? B) C) E) 7. itii değeri şğıdkilerde 9 " hgisidir? A) B) C) D) E) 6. R içi iti eşiti şğıdkiler de hgisidir? A) B) " C) D) E) 8. " A) itii değeri kçtır? B) C) D) E). E. A. C. D. E 6. E 7. D 8. D 9. A. D. E. D. D. D. B 6. A 7. D 8. C 9

54 Tekrr Zmı ÇÖZÜMLÜ TEST. si itii değeri kçtır? " A) B) C) D) E) 6. t ( ) " itii eşiti şğıdkilerde hgisidir? A) B) C) D) E). f() 6 cot foksiouu içi iti kçtır? A) B) C) D) E) 6 7. si t " hgisidir? itii değeri şğıdkilerde A) B) C) D) E) itii değeri şğıdkilerde hgisi t. " si dir? 8. si ( ) " itii değeri kçtır? A) B) C) D) E) A) B) C) D) E) ". si t t ; E ifdesii eşiti şğıdki si lerde hgisidir? t si 9. t " A) B) itii değeri kçtır? C) D) E) A) B) C) D) E). si itii değeri kçtır? " A) B) C) D) E) cos cos. itii değeri kçtır? si si " A) B) C) D) E)

55 . 6 si ( ) " hgisidir? itii değeri şğıdkilerde cos6 cos. itii değeri şğıdkilerde " si 8 hgisidir? A) B) C) D) E) 8 A) B) C) D) E). si( ) t ( ) " itii değeri kçtır? si cos si 6. itii değeri şğıdkiler " cos de hgisidir? A) B) C) D) E) A) B) C) D) E) si. itii değeri kçtır? " A) B) C) cos 7. itii değeri kçtır? " A) B) C) D) E) D) E) si si. " hgisidir? itii değeri şğıdkilerde A) B) C) D) 7 E) 6 8. " si( si ) itii değeri şğıdkilerde h gisidir? A) B) C) D) E). E. C. D. E. C 6. B 7. A 8. D 9.C. C. D. E. D. B. C 6. C 7. A 8. B

56 Tekrr Zmı Test Çözümü 6 ^ h^ h. buluur. " " ^ h^ h " Cevp: E 6 ^ h^ h. buluur. " " ^ h^ h " Cevp: A ^ h^ h ^ h^ h. > H " ^ h ^ h^ h ^ h^ h & > ^ h H " ^ h 6 ^ h ^ h@ 8 " buluur. Cevp: E. buluur. " ^fogh^h fg ^ ^ hh c m 6 & ^fogh^h dir. Burd ^fogh^h 6 ^h^h " " ^ h " ^ h & " buluur. 8 ^ h^ h. " 8 " ^ h^ h " & buluur. ^ h ^ h^ h 6. > H " ^ h^ h ^ h & ; E buluur. " ^ h 6 ^ h@ 7. " ^ h " ^ h ^ h & " ^ h buluur. Cevp: C Cevp: D Cevp: E Cevp: E Cevp: D 9 ^ h^ h. " " ^ h ^ h buluur. " Cevp: D ^ h. " " ^ h^ h " ^ h^ h^ h " ^ h^ h ^ h^ h. " " 8 buluur. Cevp: D ^ h^ h & buluur. " ^ h Cevp: D ^h^ h. " 6 " ^ h ^ h^h ^ h ^ h & & " ^ h " ^ h " buluur. ^ h^ h 6. " 9 " ^ h^ h^ h ^ h & " ^ h^ h^ h buluur. Cevp: E ^ h^ h 8. " " ^ h^ h ^ h " ^ h buluur. Cevp: D ^ h 9. " " ^ h^ h " buluur. Cevp: A ^ h. " " ^ h^ h " ^ h buluur. Cevp: D ^ 9 h 7. " ^ 9 h " ^ 9 h^ 9 h ^ & 9 " h 9 buluur. Cevp: A Cevp: D ^ h^ h 8. " " ^ h & ^ h ^ h ^ h " " buluur. " Cevp: C

57 Tekrr Zmı Test Çözümü. si buluur. " Cevp: E. si^ si h ^ h^ h " t ^ h " ^ h t^ h cot 6 & buluur. t t " " " Cevp: C si ^ h ^ h > ^ hh buluur. " ^ h t^ h > Cevp: E t. si " buluur. Cevp: D si. buluur. " Cevp: D. si t t ; E buluur. si " Cevp:E. si si si si > H " ". si si si c m c m buluur. " " " Cevp: C si si si si & > c m H & c m " " " buluur. 6. t buluur. ^ h t [( )] " " Cevp: B cos6 cos si 8 si. " si 8 " si 8 Cevp: B 7. buluur. " si t " si t Cevp: A si & buluur. " si 8 Cevp: C ^ h ^ h^ h 8. " si^ h " si^ h ^ h & ^ h buluur. " si ^ h " Cevp: D si cos si si^cos si h 6. " cos " ^ cos si h^ cos si h buluur. Cevp: C t si 9. t si buluur. " t " t Cevp: C cos cos cos cos cos. " si si " cos si " si 7. cos ^ si h si " " " si si " " buluur. Cevp: A buluur. Cevp: C 8. si ^ si h si^si hsi si " " 6 ^ h ^ h. si ^ h si ^ h si ^ h " " " buluur. Cevp: D si^si h si f p buluur. " si ; Cevp: B

58 BELİRSİZ LİMİTLER / Belirsizliği I Kou Özeti (Poliomlu Kesirlerde Belirsizliği), m N olmk üzere v v v... m b... b b " ± " ± m < m & m " ± dur. b m m & " ± m b b m m m dir. > m & ± dur. " ± b m b m m dir; belirsizlikleride p ve pdd ± e hızlı ilerlee terimleri orlrıı itleri lıır. Nedeii öreklerle çıkllım. ÇÖZÜM ) " " dır. " c m c m ike ve ifdeleri dır. 678 Y d kısc: dır. " " b) " " ( ) c m dir. c m " " 67 8 ( ) Y d kısc: " " dir. ÖRNEK Aşğıdki it değerlerii buluuz. ) " b) ( ) " c) " c m c) ( ) " " " c m 67 8 Y d kısc: " " dur. Aşğıdki it değerlerii buluuz.. ". ". ". " 6. " 7. ". ( ) " 8. > c m f ph " ) ) ) ) ) 6) 7) 8) 6

59 / Belirsizliği II BELİRSİZ LİMİTLER Kou Özeti (Köklü Kesirlerde / Belirsizliği) Köklü kesirleri itleride belirsizliğii gidermek içi geellikle ortk çrp prtezie lm işlemide fdlılır. Örekle çıkllım. ÇÖZÜM Öcelikle / belirsizliğii görüüz. f p " " f p ike " " > & tür. ve tir. " " ÖRNEK " itii değerii buluuz. Y d kısc:? " " " 8 tür. Aşğıdki it değerlerii buluuz.. " 9. ". ". ". " 6. " ) ) ) ) ) 6)

60 BELİRSİZ LİMİTLER / Belirsizliği III Kou Özeti (Üstel İfdeli Kesirlerde / Belirsizliği) Üstel ifde içere kesirli itlerde belirsizliğii gidermek içi sosuz hızlı ilerlee terimleri orlrı kullılır. / belirsizliğii görmede ilgili işlemleri ugulmıız. ÖRNEK Aşğıdki itleri buluuz. ) " b) " ÇÖZÜM 678 f c m p ) " c m " dır. " fc m p 678 Y d kısc: dır. " " b) " " " 6 dur. " 6 dh hızlı sosuz ilerler dh hızlı sosuz ilerler Aşğıdki it değerlerii buluuz.. ". ". " e. " e. " 6. 7 " 6 ) ) ) ) ) 6)

61 / Belirsizliği IV BELİRSİZ LİMİTLER Kou Özeti (Sosuz Hızlı ilerlee Terimler) belirsiz belirsizlikleride p ve pdd ± e hızlı ilerlee terimleri orlrıı itleri lıır. b) e e " " e çok büük sı dur. ike > e olduğud dh hızlı sosuz gider e sı gibi dvrır. ike sosuz ilerleme hızı >! > > > > > > l sırsıddır. Sosuz hızlı ilerlee terimi ıd diğer terimler sı gibi dvrır. ÖRNEK (Permütso Kombisod Limit) P (, ) C (, ) itii değerii buluuz. " C (, ) P (, ) ÖRNEK Aşğıdki it değerlerii buluuz.!! ÇÖZÜM " Pr (,) " ve " Cr (, ) " ( r)! r!( r)! olduğuu htırlıız.! ) " b) " e e ÇÖZÜM P ve pdd hızlı ilerlee terimleri orıı itii kulllım. 678!! ) " " çok büük sı dır. ike dh hızlı sosuz gider! sı gibi dvrır. Gerekli Sdeleşmeler Ypılıc!! P (, ) C (, ) ( )!!( )! 6 C (, ) P (, )!!!( )! ( )! P (, ) C (, ) 6 " C (, ) P (, ) " dir. tür. Aşğıdki it değerlerii buluuz.. "!. P (, ) " C (, ). log " e. C (, ) C (, ) " C (, ) C (, ). " 6. P(, ) C (, ) " C(, ) P (, ) ) ) ) ) ) 6) 7

62 BELİRSİZ LİMİTLER Limitleri I Kou Özeti (Köklü İfdelerde Belirsizliği) f ( ) ve g ( ) ise " " 6 f( ) g( belirsizliği vrdır. " Köklü ifde içere belirsiz itleride, eşleikle geişletme pılrk belirsizliği / ve / belirsizliklerie döüştürülüp ilgili işlemler ugulır. Köklü ifdelerde şğıdki kurld fdlılbilir. b b c dır. " ± " ± ÖRNEK Aşğıdki it değerlerii buluuz. ) ^ h " b) ^ h " ÇÖZÜM ^ ) h ^ h " ^ h H ^ h ; ; " " ; ; c m ^ h dir. " " Y d Kısc: H ^ h c m " " 6 ( ( ) dir. " " b) ^ h " E E c m " 6 ( ( ) " " Aşğıdki it değerlerii buluuz.. ( ". ^ h ". ( 6 ". 6 ( " 8 ) ) ) )

63 Limitleri II BELİRSİZ LİMİTLER Kou Özeti (Kesirli İfdelerde ) Kou Özeti (Logritmik İfdelerde ) Kesirli ifde içere belirsiz itleride, belirsizliği gidermek içi pd eşitleip ve belirsizliğie döüştürülerek ilgili işlemler ugulır. Logritmik ifde içere belirsiz itleride, belirsizliği gidermek içi logritmik düzelemelerde fdlılır. ÖRNEK c m itii değerii buluuz. " ÇÖZÜM c m c m " " ( ) c m ( ) f p ( ) ( ) " " c m buluur. " ÖRNEK 9log ( 8 6) log ( ) C itii değerii " buluuz. b ÇÖZÜM "log b log c log " olduğuu htırlıız. c 9 log ( 8 6) log ( ) " C / > log f ph log " > f " ph 8 log f p " log log G log Aşğıdki it değerlerii buluuz. Aşğıdki it değerlerii buluuz.. c 6 " 9 m. 6 log ( 9 ) log ( ) c " 6 m. 9 log ( 8 ) log ( ) " C. f 6 " 9 9 p. 6 l^e h l^ e h@ " ) 6 ) ) 6 ) ) ) 9

64 Ugulm Zmı Ugulm Aşğıdki it değerlerii buluuz. 7. ". " 8. " 6. " ". " 6. ". " 7. " 7. ( ) " ( ) ( ). " 6. ( ) ( ) " ( 6 ) ( ). " c (, ) 6 ) ) ) ) ) 6) 6 7) 8) 9) ) ) 7 ) )

65 e. e " 9. ( ". ". c cosec m " t ". c " m 7. ^ h ". 9 log ( ) log ( ) " C 8. ( ) ". 6 l^ e hl^e h@ " ) ) 6) 7) 8) 9) ) ) ) ) 6

66 BELİRSİZ LİMİTLER Belirsizliği Kou Özeti f ( ) ve g ( ) ± ike " " g () ± 6 f( belirsizliği vrdır. " v (() f g( )) c d R ise " g ( ) ( f ( ) g ( )) " c 6 f ( )@ e e dir. " belirsizlikleride tb foksiouu " f()" şeklide mutlk düzelemelidir. ve gibi diğer üstel belirsizlikleri L'Hospitl ile çözeceğiz. ÖRNEK Aşğıdki it değerlerii buluuz. ) c m b) ^ " 6 h " ÇÖZÜM c m " ) c m e e dir. " " b) ^ 6h e e " ÖRNEK (Tb Düzeleme) Aşğıdki it değerlerii buluuz. ) c " m b) c 7 " m ÇÖZÜM Tb " f()" olmlıdır ) c m ; c me " " b) c m c m " " 678 c m " e e poliom bölmesi tür c6 m dür. 678 c m " e e dir. Aşğıdki it değerlerii buluuz.. c " m. c " m. c m ". c m ". ^ h " 6. ^cosh " 6 ) e 6 ) e 6 ) e ) e 6 ) e ) e

67 Belirsizliği BELİRSİZ LİMİTLER Kou Özeti f ( ) ve g ( ) ± ike " " 6 f( ) g( belirsizliği vrdır. " 6 f( ) g( belirsizliğide it ltıdki " foksio f ( ) g ( ) f ( ) g ( ) d f ( ) g ( ) g ( ) f ( ) şeklide zılıp d belirsizliklerie döüştürülerek it hesplır. ve dır. Logritmik ifdelerde belirsizliği belirsizliğie döüştürülebilir. ÖRNEK Aşğıdki it değerlerii buluuz. ) c si " m b) ; c m t E c) ; lc me " " ÇÖZÜM ) si si ^ h c m " " si f ( ) f dir. " ( ) f() 678 c m b) ; c mt E t " " c m c m f ( ) cot " " tc m f ( ) dir. tf ( ) " c) " log b c log b c " olduğuu htırlıız. ; lc me ; lc m E " " H c l l e m ; " c m E ; E " B l e l e buluur. Aşğıdki it değerlerii buluuz.. c si " m. ; c m sec E ". ( cot ) ". ; lc me ". c si m " ) ) ) ) ) 6

68 BELİRSİZ LİMİTLER Belirsiz Limit Deklemleri Kou Özeti Limiti vrlığı göre verile ifdei olbileceği belirsizlik ve it değeri ile kurul deklemler çözülür. ÖRNEK ( Belirsizliğide Deklem) m ifdesi bir gerçek sı eşit olduğu " 9 göre ) m i buluuz. b) Limit değerii buluuz. ÇÖZÜM m 9 m dır. " 9 9 m 6 i) m 6 ise olduğud it soucu gerçek sı olmz. m 6 ii) m 6 ise belirsizliği elde edilir ve belirsizlik giderildiğide it gerçek sı bulubilir. ) m 6 m buluur. ( )( ) b) m içi " 9 " ( )( ) buluur. 6 ÖRNEK ( Belirsizliğide Deklem) ( ) 8 ( b ) deklemie göre b " toplmıı buluuz. ÇÖZÜM... " b m... b b m itii değeri m i p ve pddki poliomlrı dereceleri eşit ike sıfır dışıd bir gerçek sıdır. H ( ) 8 d R ( b ) olduğud, " 8 i) dir ve olur. " ( b ) 8 ii) & 8 b & b b tür. b buluur. ÖRNEK ( Belirsizliğide Deklem) ^ h ise ı buluuz. " ÇÖZÜM H ^ h & c m " " & c & & 6 " m dır. m. olduğu göre m toplmı " kçtır?. ( ) 6 olduğu göre kçtır? " (m, R). ( ) ( b ) olduğu göre " b toplmı kçtır?. b olduğu göre ve b gerçek " sılrıı toplmı kçtır? 6 ) ) ) 6 ) 7

69 Limitte Değişke Döüşümleri I BELİRSİZ LİMİTLER Kou Özeti Limit ltıdki foksio değişke değiştirme ugulırke iti klşım ifdesie de bu değişke değiştirmee ugu döüşüm pılrk ei it ifdesi elde edilir. ÖRNEK Aşğıdki it ifdelerie belirtile döüşümleri ugulrk ei it ifdeleri elde ediiz. ) f ( ) f( ) itide h döüşümü " b) c) " itide u döüşümü itide t döüşümü t ( 6) " 9 d) " itide m döüşümü ÇÖZÜM Limiti klşım ifdelerie ugu döüşümü pmı uutmıız. ) (i) h h ve f() f(h ) dir. (ii) h ike h dır. f ( ) f( ) fh ( ) f( ) fh ( ) f( ) " h " h h " h b) ÇÖZÜM (i) u & u ve u dur. (ii) u ike u dir. u u " u" u u " u ( u ) dir. u" ( u )( u ) u" u c) (i) t t tür. (ii) t ike t dir. ( t ) t " t ( 6) " t 6( t ) 6@ " t t t t d) m m (i) m & 9 9 ve dir. (ii) m & " ike m dır. 9 m m 9 m m " m " m " m m ( ) ( ) m m m m m m m m m m ( )( ) ( ) m " m " m m ( ) dir. m " m m Aşğıdki it ifdelerie belirtile döüşümü ugulrk elde edile it ifdesii buluuz.. t ( 9) " (t döüşümü). f( 6) f( ) " ( h döüşümü) 6. " ( t döüşümü). " ( döüşümü) ( ) ( ) ) f h f h" h t t ) t" t t 6 ) t t t" t ) " 6

70 BELİRSİZ LİMİTLER Limitte Değişke Döüşümleri II Kou Özeti Ugu değişke değişke değiştirme ugulrk elde edile ei it ifdesii değeri döüştürüle klşım ifdesie göre belirleir. ÖRNEK Aşğıdki it ifdelerii değerlerii buluuz. ) " ÇÖZÜM Limit ltıdki kökler. ve. derecede olduğu ) 6 içi okek (, ) 6 olmk üzere döüşümü plım (i) 6 ike dir. (ii) 6 ve dir ( )( ) " " " ( )( ) b) buluur. döüşümü plım. (i) ike dır. b) " (ii) & ve dır. ( ) " " " ( ) dir Aşğıdki it değerlerii buluuz.. " 9. ". ". " 9. " 6 tc m 6. " sic m 66 ) ) ) ) ) 6)

71 Limiti Geometrik Ugulmlrı BELİRSİZ LİMİTLER Kou Özeti Limit, foksiolrı geometrik klşımlrıı belirlerke sıkç kullılır. Öreği türevde bir eğrie üzerideki bir oktd çizile teğeti eğimii tımlmd, itegrlde eğri ile eksei rsıd kl lı belirlemede, bir düzgü çokgei ker sısı sosuz klşırke düzgü çokgei çembere klşmsıd it kvrmlrı kullılır. Limiti geometrik ugulmlrıd it ltıdki ifdeler, it değişkei ciside foksio olrk zılıp itleri lıır. ÖRNEK f: R R, f() foksiouu oktsıdki teğetii eğimi ol, f ( ) f( ) itii değerii buluuz. " ÇÖZÜM f() f() 9 dur. O hlde C C f ( ) f( ) 9 " " 9 ( )( ) 6 dır. " ( ) Yi f() foksiou psisli oktd çizile teğeti eğimi 6 dır. ÖRNEK kerlı bir düzgü çokgei bir dış çısı ise ; si α cotc me itii değerii buluuz. " ÇÖZÜM kerlı düzgü çokgei bir dış çısı α dir. O hlde t^ h H ; siα cotc me ; sic m cotc me " " 678 R V Ssic mw S W si f ( ) " S W dir. " t f ( ) S tc m W T X f ( ). cm rıçplı çember içie köşeleri bu çember üzeride ol kerlı düzgü çokgeler çizilior. Bu çokgeleri ker uzuluklrıı vere foksio K(), çevre uzuluklrıı vere foksio Ç() ve llrıı vere foksio A() olmk üzere. Şekildeki ABC dik üçgeide verilelere göre AC itii değeri " AH edir? B A H C ) K ( ) itii değeri kçtır? ". Şekildeki ABCD muğud D C b) Ç( ) itii değeri kçtır? " c) A ( ) itii değeri kçtır? " [DC] // [AB] E F [DE] [EA] ve CF FB dir. A B 7 EF Verilelere göre " AB D C itii değeri kçtır? ) ) b) cm c) cm ) ) b) 67

72 Ugulm Zmı Ugulm 6 Aşğıdki it değerlerii buluuz.. c " m 7. ( ) ". c 6 " m 8. c si " m 9. c m " 9. lf " p. ". c si m ". ^ si h " 6. c m ". ; c m t E " 68 ) e ) e ) ) ) e 6) e 7) 8) 6 9) ) )

73 . ( 6 ) olduğu göre b kçtır? " b m 6. ve m, R olduğu " 8 göre m çrpımı kçtır? m. it ifdesie göre m ve reel " sılrıı toplmı kçtır? 7. ; ( m ) E olduğu göre " m kçtır?. ; be olduğu göre b kçtır? " 8. " 6 değeri edir? m. > log f ph olduğu göre " m kçtır? 9. f() foksiouu eğrisie psisli oktd çizile teğeti eğimi ol ( h ) f ( ) f h" h itii değerii buluuz. ) ) ) ) 6 6) 9 7 7) 8) 9) 6 69

74 Tekrr Zmı ÇÖZÜMLÜ TEST. itii değeri kçtır? " A) B) C) D) E) 6. itii değeri kçtır? " A) B) C) D) E). " 6 hgisidir? itii değeri şğıdkilerde itii soucu kçtır? " A) B) C) D) E) A) B) C) D) E). " hgisidiri? itii eşiti şğıdkilerde 8. rccos c m itii değeri şğıdkilerde " hgisidir? A) B) C) D) E) 8 6 A) B) C) D) E). ( ) " ( ) ( ) itii değeri kçtır? 8 9. itii soucu kçtır? " A) B) C) D) E) A) B) C) D) E). " 9 hgisidir? itii eşiti şğıdkilerde 9. ifdesii soucu şğıdkilerde " hgisidir? A) B) C) D) E) A) B) C) D) E) 7

75 itii değeri şğıdkiler. " de hgisidir? ifdesii eşiti şğıdkilerde hgi. si " sidir? A) B) C) D) E) A) B) C) D) E). 6 6 itii değeri edir? " A) B) C) D) E) 6. c m ifdesii soucu şğıdkilerde " hgisidir? A) B) C) D) E). " itii değeri kçtır? A) B) C) D) E) 7. f " hgisidir? p itii değeri şğıdkilerde A) B) C) D) E). ^ 6 h itii soucuu şğıdkilerde " hgisidir? A) B) C) D) E) 8. c m itii değeri kçtır? " ^ h A) B) C) D) E). D. C. A. C. C 6. A 7. A 8. E 9.A. B. D. B. D. E. C 6. E 7. B 8. A 7

76 Tekrr Zmı ÇÖZÜMLÜ TEST. c m itii değeri şğıdkilerde " hgisidir. A) B) C) e D) e E) e. c m itii değeri edir? " A) B) e / C) e / D) e E) ". ^ 6h itii değeri şğıdkilerde hgisidir? A) B) e C) e D) e 6 E) e 8 6. ; lc me itii değeri şğıdkilerde " hgisidir? A) B) C) D) e E). c m itii değeri şğıdkilerde " hgisidir? 7. " itii değeri şğıdkilerde hgisidir? A) B) e C) e D) e E) e A) B) C) D) 6 6 E). c m itii değeri şğıdkilerde " hgisidir? A) e 6 B) e C) D) e e E) e 6 8. c t m itii soucu kçtır? " A) B) C) D) E) 8 7

77 9. c m itii değeri kçtır? " A) B) C) D) E). f " hgisidir? A) 6 B) p itlerii değeri şğıdkilerde C) D) E) ( m ) 6. ifdesi e eşit olduğu " ( ) göre (m, ) ikilisi şğıdkilerde hgisidir? A) (, ) B) (, ) C) (, ) D) (, ) E) (, ). ve b gerçek sılrı içi b olduğu göre b çrpımı şğıdkilerde " hgisidir? A) 9 B) C) D) E) 7. c m itii değeri şğıdkilerde hgisidir? " 7 A) B) C) D) E). ( ) t itii değeri kçtır? " A) B) C) D) E) si. c t cos m itii değeri şğıdkilerde " hgisidir? A) B) C) D) E) 6. c b m olduğu göre b frkı " kçtır? A) B) C) D) E) 6. E. E. C. E. B 6. A 7. D 8. C 9. B. D. B. C. B. A. A 6. E 7

78 Tekrr Zmı Test Çözümü 7. buluur. ". buluur. " 6. buluur. " ^ h. buluur. " ^ h^ h " Cevp: D Cevp: C Cevp: A Cevp:C f p. 9 buluur. " " 9 Cevp: C 6. (Pı derecesi pdd büük) " ^ h... " " & buluur. " 6 rccosc m rccos buluur. " Cevp: A Cevp: A Cevp: E & " " f p buluur " " f 9 p buluur. " f p. " " Cevp: A Cevp: B f p " " f p buluur. Cevp: D ^ 6 8 h^ 6 8 h. " k " f p " f f p buluur. 6 8 p " " Cevp: B > c m H buluur. > c m H Cevp: D 9 6 ^ hc 6 " 6 6 ^ h " 6 f p buluur. " 6 f p Cevp: E si. G si G & G si G & G G si si & G G & buluur. " " " " < Cevp : C 6. ^ h c m c m " " " ^ h^ h buluur. 7. f p " " " 8. buluur. c m f " ^ " ^ ^ h^ h p h h ^ h ^ h^ h " ^ ^ buluur. ^ h h h Cevp: E Cevp: B Cevp: A

79 Tekrr Zmı Test Çözümü. c m " ^ h 6 e e buluur. " " 8. ^ 6h e e buluur. ". c m c m " " ^ h " e e " e buluur. Cevp: E Cevp: E Cevp: C c m f " 7 " ^ h^ 9h p ^ 6h^h 9 " ^ buluur. h^ 9h Cevp: B si si si si^ si h. f t cos p f p cos cos ^ si h " " " si^ si h si si si " ^ h ^ h si buluur. Cevp: C ^ h " 6. c m c m e e buluur. " " 6 e Cevp: E. e ^ h " c m c m ^ h e buluur. " " Cevp: B 6. ; lc me > lc m H l> c m H " " " ^h " l e l e le buluur. 7. " " t 6 olsu. Burd ise t olur. Yi Cevp: A 6 6 t t t t t ^t h t 6 buluur. " t t t 6 t " " ^t h^t t t t t h 6 t 8. c t m buluur. " " 9. c m c m " " ^ h buluur. " ^ h^ h Cevp: B Cevp: C. Limit değeri ise p ve pddki ifdeler ikici derecede olmlıdır. O hlde m m tür. 6 6 & & tir. " ^ h Burd (m, ) (, ) buluur. Cevp: B Cevp: D 6. itide t döüşümü ugulrsk " içi t dir. Burd 6 t t t t t t t t " " 6 t ^t h^t h ^ h & buluur. " t t ^ h^ t t h ^ h Cevp: B. b " ise içi dır. Burd & & 6 & 8 dir. 8 ^ 8 h^ 8 h " " ^ h^ 8 h ^ h b 8 8 dir " ^ h^ h 9 Burd b 8 buluur. 8. ^ ht " " cot Cevp: A & buluur. " " tc m t; ^ he b b b 6. ; E ; E " " ^ h ^ bh b > H ise " Cevp: A ve b dır. Dolısıl ve b tür. Burd b 6 buluur. Cevp: E 7

80 SÜREKLİLİK Süreklilik Kvrmı ve Grfik Yorumu Kou Özeti (Süreklilik Kvrmı) Kou Özeti (Sürekliliği Grfik Yorumu) Süreklilik, gülük httki kullımı prlel olrk mtemtikte de kesitisiz devm ede lmıddır. A R ve A olmk üzere f: A R f() foksiou içi f ( ) f ( ) ise " f foksiou oktsıd süreklidir. f foksiou oktsıd sürekli ise, v f foksiou oktsıd tımlıdır. Yi f() R dir. v f foksiouu oktsıd iti vrdır. Yi f ( ) f ( ) L d R dir. " " v f foksiouu oktsıdki iti, foksiou içi ldığı f() değerie eşittir. Yi f ( ) f ( ) dır. " Kısc, f ( ) f ( ) f ( ) ise " " f foksiou psisli oktd süreklidir. Süreklilik kvrmıı grfik üzeride çıkllım. ÖRNEK (Grfik Üzeride Özel Noktlr ve Sürekliliği) Ydki f() foksiouu grfiğide f() sürekliliği ice leiiz. O ÇÖZÜM Tımsız oktsıd süreklilik; içi f( ) tımsız ve f( ) / SÜREKSİZ " Sıçrm oktsıd süreklilik; içi f( ) ve f( ) oktur/ SÜREKSİZ " Kopm oktsıd süreklilik; içi f() ve f ( ) / SÜREKSİZ " Limiti sosuz olduğu oktd süreklilik; içi f() tımsız ve f ( ) d R/ SÜREKSİZ " Kırılm oktsıd süreklilik; içi f ( ) f( ) / SÜREKLİ " Devmlılığı bozulduğu,, ve psisli oktlrd foksio sürekli değildir. psisli kırılm oktsıd olduğu gibi kesitisiz olu oktlrı hepside foksio süreklidir. f(). f() hgi oktd d oktlrd tımsızdır?. f() i hgi oktd d oktlrd iti oktur?. f() i hgi oktd d oktlrd iti vrdır. O. f() i sürekli olduğu oktlr hgileridir? 76 Şekildeki [, ] rlığıdki f() foksiouu grfiği verilmiştir. Bu göre,,,,,,, ve psisli oktlr içi dki sorulrı cevplıız. ) ), ),,,,, ),,,,

81 Süreksiz Noktlrı Özellikleri SÜREKLİLİK Kou Özeti ÖRNEK f() f foksiou, tım rlığıd bulu oktsıd sürekli değil ise f foksiou süreksiz foksio deir. 6 O v v v f foksiou, oktsıd tımlı değil ise f foksiou oktsıd sürekli değildir. Yi, f() R f, d süreksizdir. f fosiouu oktsıd gerçek sı iti ok ise f foksiou oktsıd sürekli değildir. Yi, f ( ) oktur d f ( ) ± " " f, d süreksizdir. f foksiouu oktsıdki iti f() gerçek sı değerie eşit değil ise f foksiou oktsıd sürekli değildir. Yi, f ( ) f ( ) & f, d süreksizdir. " Bir foksio itsiz olduğu oktd kesilikle süreksizdir; ck süreksiz olduğu oktd itli olbilir. Yukrıdki f() foksiouu grfiğie göre 6,,,, ve psisili oktlr içi şğıdki sorulrı cevplıız. ) Süreksiz ol oktlrı psisleri toplmı kçtır? b) Limiti ol süreksiz oktlrı itleri toplmı kçtır? c) Limitsiz ol oktlrı psisleri toplmı kçtır? ÇÖZÜM ) 6,,, ve psisli oktlrd kesiti olduğu içi foksio bu oktlrd süreksizdir. ( 6) ( ) buluur. b) ve psisli oktlrd it vr ck süreklilik oktur. 678 H f ( ) f ( ) buluur. " " c) 6, ve psisli oktlrıd it oktur. ( 6) buluur.. f() i hgi okllrd iti oktur? f(). f() hgi oktlrd süreksizdir? O Şekilde f() foksiouu grfiği verilmiştir. Bu göre dki sorulrı cevplıız.. f() hgi oktlrd süreksiz olduğu hlde iti vrdır? ), ),,, ), 77

82 SÜREKLİLİK Bir Arlıkt ve Bu Arlığı Sıırlrıd Süreklilik Kou Özeti Tım rlığıı bir lt rlığıd kesitisiz ol bir foksio bu lt rlık içi süreklidir. Yi v A R, f: A R ve (, b) A olmk üzere (, b) içi f ( ) f( ) ise " f foksiou (, b) rlığıd süreklidir. Bir lt rlığı sıır oktlrıı sürekliliği tımlı olduğu trft it ile belirleir. v A R, f: A R ve [, b] A olmk üzere f ( ) f ( ) ve f ( ) fb ( ) ise " " b f foksioud [, b] rlığıd süreklidir. ÖRNEK f: [, ] R, f() foksiouu [, ] rlığıdki sürekliliğii tespit ediiz. ÖRNEK (Grfikte Alt Arlık Sürekliliği) f: R {} R foksiouu f() dki grfiğie göre şğıdki rlıklrd sürekliliğii tespit ediiz. ) (, ] b) [, ) c) (, ] d) (, ) ÇÖZÜM ) f(), (, ) rlığıd süreklidir; ck f ( ) f( ) olduğud (, ] rlığıd süreksizdir. " < 67 8 F b) f(), (, ) de sürekli ve f ( ) f( ) olduğud [, ) rlığıd d " süreklidir. ÇÖZÜM O (, ) içi (i) f ( ) f( ) " (ii) f ( ) f( ) ve f( ) f( ) " " olduğud f foksiou [, ] d süreklidir. c) f(), (, ) rlığıd süreklidir; ck f ( ) f ( ) olduğud (, ] rlığıd süreksizdir. " 9 d) f(), de süreksizdir ve (, ) olduğud f() foksiou (, ) rlığıd süreksizdir.. [, ] rlığıd şğıdki foksiolrı sürekliliğii belirtiiz.. k ) f) si O b c b) g) cot c) h) rccos d) l) e e) k) l( ) f Şekilde grfiği verile f foksiou şğıdki rlıklrd sürekliliğii belirtiiz. ) R e) (, b) b) (, ) f) (, c) c) (, ) g) (b, ) d) [, ) h) (c, ) 78 ) ) Sürekli b) Sürekli c) Sürekli d) Süreksiz e) Sürekli f) Sürekli g) Süreksiz h) Sürekli l) Sürekli k) Süreksiz ) ) Süreksiz b) Sürekli c) Sürekli d) Süreksiz e) Sürekli f) Süreksiz g) Süreksiz h) Sürekli

83 Poliom ve Kesirli Foksiolrı Sürekliliği SÜREKLİLİK Kou Özeti Foksiolrı sürekliliği tım kümesideki oktlrd rştırılır. v Tım kümeside er lm oktlrd süreklilikte bhsedilemez. ÖRNEK Aşğıdki foksiolrı süreksiz olduğu oktı ve sürekli olduğu rlıklrı buluuz. ) f() b) g ( ) ÇÖZÜM N olmk üzere f: R R P()... poliom foksiou R içi tımlı olduğud R de süreklidir. P() ve Q() poliom foksiolr olmk üzere P ( ) f ( ) kesirli foksiou Q() ı kökleride Q ( ) tımlı olmdığıd R de sürekli değildir. P ( ) v f ( ) kesirli foksiouu tım kümesi Q ( ) R {Q() i kökleri} olduğud tım kümeside süreklidir. ) f() poliom foksio olduğu içi R de tımlıdır. O hlde, R içi f ( ) f( ) olduğud f " foksiou R de süreklidir. b) g ( ) foksiou içi tımlı olmdığıd g foksiou de sürekli değildir. Ack g ( ) kümesi R {} dir. foksiouu tım " R {} içi g ( ) g( ) olduğud, g foksiou tım kümesi R {} de süreklidir.. Aşğıdki foksiolrı süreksiz olduğu oktlrı ve sürekli olduğu rlığı buluuz. ) f(). f ( ) foksiouu süreksiz p değerlerii toplmı kçtır?. Aşğıdki foksiolrı kç tesi e geiş tım kümeside süreklidir? b) f ( ) c) f ( ) 9 I. f() IV. k ( ) II. g ( ) V. l ( ) III. h() VI. m ( ) d) f ( ) si e) f ( ) cos. f ( ) 6 p değerii ) Toplmı edir? b) Çrpımı edir? foksiouu süreksiz ) ) Süreksiz: Yok, Sürekli: R b) Süreksiz: { }, Sürekli: R { } c) Süreksiz: {, }, Sürekli: R {, } d) Süreksiz: Yok, Sürekli: R e) Süreksiz: Yok Sürekli: R ) ) 6 ) ) b) 79

84 SÜREKLİLİK Tım Kümeside Süreklilik ve Prçlı Foksio Sürekliliği Kou Özeti Tım kümeside kesitisiz ol foksio sürekli foksio deir. Yi A R ve f: A R olmk üzere A içi f ( ) f( ) ise f foksiou süreklidir. " ÇÖZÜM prçlm oktsı kritik oktdır. f ( ) ( ) f() " " ve f() dir. O hlde grfikte de görüldüğü üzere f ( ) f( ) " o olduğud f() foksiou de süreksiz olduğud, sürekli bir foksio değildir. Prçlı foksiolrı prçlm oktlrıd (kritik oktlrıd) sürekliliği iceleir. f() foksiou d tımlı ve sürekli ise f ( ) f ( ) f ( ) dır. " " ÖRNEK (Süreklilik Deklemi) Z, < ] fr : " R, f( ) [, ] b, > \ foksiou sürekli bir foksio olduğu göre ve b değerlerii buluuz. ÖRNEK, fr : " R, f( ) ', foksiouu sürekliliğii tespit ediiz. ÇÖZÜM Tım kümeside sürekli ol bir foksio sürekli foksio deir. O hlde f ( ) f ( ) f ( ) olmlıdır. " " C C (i) f ( ) f( ) & & dir. " b C C (ii) f ( ) f( ) & b & b tür. ", <. f ( ) *, foksiouu de sürekliliğii tespit ediiz? Z ], > ]. f ( ) [, b ], < \ foksiou psisli oktd sürekli olduğu göre (, b) ikilisi edir? Z ] m,. f ( ) [, ] \, < foksiou psisli oktd sürekli olduğu göre m toplmı kçtır? Z ],. f ( ) [ b, < < ] \ 6, foksiou R içi sürekli olduğu göre b kçtır. 8 ) Süreklidir ) ) (, ) )

85 Foksiolrı Sürekli Olduğu Arlıklr SÜREKLİLİK Kou Özeti f() foksiou oktsıd ve g() foksiou f() oktsıd sürekli ise (gof)() bileşke foksiou oktsıd süreklidir. P() poliom foksio olmk üzeri; v P ( ) mutlk değer foksiou, v N içi P ( ) tek köklü foksiou, v si P() ve cos P() trigoometrik foksiolrı, v R {} içi P() üstel foksiou, R içi süreklidir. P() poliom foksio olmk üzere; v N içi P ( ) çift köklü foksiou, v v t P(), cot P(), sec P() ve cosec P() trigoometrik foksiolrı, R {} içi log P() logritm foksiou, tımlı olduklrı değerleri içi süreklidir. ÖRNEK Aşğıdki foksiolrı süreksiz olduğu oktı ve sürekli olduğu rlıklrı buluuz. cos ) f ( ) b) g ( ) c) h() si(cot ) si ÇÖZÜM cos ) f ( ) kesirli foksiouu pdsıı si sıfır p değeri olmdığıd i R içi si olduğud f foksiou R de tımlı ve süreklidir. b) f ( ) foksiou içi tımlı ve d süreksizdir. içi dır. O hlde f foksiou [, ] {} rlığıd tımlı ve süreklidir. c) h () si (cot ) bileşke foksiou cot ı kökleri k, k Z de tımsız olduğu içi süreksizdir ve h foksiou R {k, k Z} de süreklidir. Aşğıdki foksiolrı sürekli olduğu rlıklrı buluuz.. f ( ). f ( ) si cos. f ( ) cos. f ( ) 6. f ( ) 9 6. f ( ) lf p foksiouu sürekli olduğu rlık tki tmsı değerlerii çrpımı kçtır? ) (, ] {} ) (, ] [, ) {} ) [, ) (, ] ) (, ) ) R 6) 8

86 SÜREKLİLİK Foksio İşlemleride Süreklilik Kou Özeti A R içi f, g: A R olmk üzere f ve g foksiolrı oktsıd sürekli ise, v f ± g foksiou, v k R içi k f foksiou, v f g foksiou, v f g() içi g foksiou, oktsıd süreklidir. ÖRNEK f ( ) cos si l foksiouu süreksiz olduğu oktlrı ve sürekli olduğu e geiş rlığı buluuz. ÇÖZÜM cos i) ifdesi si ı kökleride tımsız ve si süreksizdir. si & si & si si 6 & k V k 6 6 ii) ifdesi R de tımlı ve süreklidir. iii) l ifdesi > içi tımlı ve süreklidir. O hlde f foksiou R ' k V k de tımlı ve süreklidir. 6 6 ( * ) Aşğıdki foksiolrı sürekli olduğu rlıklrı buluuz. cos. f ( ) si. f ( ) 9. f ( ). Şekilde f foksiouu grfiği verilmiştir. (f g) foksiou oktsıd sürekli ve (f g)() ise şğdki ifdeleri değerlerii buluuz. O f ) g() b) g ( ) ". f ( ) c) g ( ) " 8 ) [, ] ) (, ] [, ] ) [, ] ( * ) Trigoometrik deklemleri htırlıız. ) R { k ve k} ) ) b) c) 6 6

87 Foksiolrd Süreksiz Nokt Problemleri SÜREKLİLİK Kou Özeti (ii) < içi f ( ) dir ve Geel olrk foksiolr tımsız olduğu oktlrd süreksizdir. Prçlı foksiolrı kritik oktlrıd sürekliliği rştırılır. ÖRNEK Z < ] f ( ) [ ] \ 9 foksiou kç oktd süreksizdir? ÇÖZÜM (i) f foksiou kritik oktsı dir. f ( ) _ b " b f ( ) f ( ) f ( ) b " " f ( ) ` " 9 b olduğud f foksiou b içi süreksizdir. ve f ( ) b 9 & & ve içi f foksiou süreksizdir. (ii) içi f ( ) dur ve ve tür. Ack değeri rlığıd olmdığı içi f foksiou içi süreksizdir. O hlde, f foksiou,, ve psisli oktlr olmk üzere dört oktd süreksizdir. Z ], <. f ( ) [ ], \ 8 foksiouu süreksiz olduğu değerleri elerdir? Z ], < ]. f ( ) [, ] ], > \ foksiouu süreksiz p oktlrı psisleri elerdir? Z ], <. f ( ) [ ], \ 9 foksiou hgi oktlrd süreksizdir? Z ], < 9. f ( ) [, < ] \, foksiou hgi oktlrd süreksizdir? ), ),, ),, ), 8

88 SÜREKLİLİK Foksiolrı R de Sürekli Olbilmesi Kou Özeti g() bir foksio ve olmk üzere g ( ) f ( ) foksiouu R de sürekli olbilmesi içi pdsıı köküü olmmsı gerekir. b c Yi < b c < olmlıdır. N içi f ( ) b c foksiou R de b c ike süreklidir. Buu sğlmsı içi, (i) ve (ii) > olmlıdır. ÖRNEK (Kesirli Foksio) f ( ) foksiou dim sürekli ise m i m değer rlığıı buluuz. ÇÖZÜM f foksiou dim sürekli olduğu göre R içi m olmlıdır. Buu sğlmsı içi < olur. < m < m 6 < (m )(m ) < dır. m < m < ike m < dır. 6 O hlde, m (, ) ike f foksiou R de süreklidir. ÖRNEK (Köklü Foksio) f ( ) m m foksiou R de sürekli ise m i değer rlığıı buluuz. ÇÖZÜM f foksiou R de sürekli olduğu göre R içi m m olmlıdır. (i) ( m) m m m m(m ) dır. (ii) m (hem i hem de i ktsısı m olduğu içi m zdık) m m ike m m ve m dır. m O hlde, m [, ] ike f foksiou R de süreklidir.. f ( ) foksiou dim sürekli olduğu m 9 göre m i değer rlığı edir?. f ( ) foksiou R de sürekli olduğu k k göre k ı lbileceği tmsı değerlerii toplmı kçtır?. f ( ) foksiou R de sürekli olduğu göre ı değer rlığı edir?. f() log ( ) foksiou R içi sürekli ise ı lbileceği tm sı değerleri kç tedir? 8 ) 6 < m < 6 ) [, ] ) )

89 Sıırlı Foksio Kvrmı ve Limiti SÜREKLİLİK Kou Özeti Görütü kümesi sıırlı ol, e küçük ve e büük gerçek sı değerleri bulu sürekli foksiolr sıırlı foksio deir. Sıırlı foksiolr e tipik örek siüs ve cosiüs foksiolrıdır. R içi si ve cos dir. A R, f: A R foksiou içi vv A ike k f() b olck biçimde k ve b gerçek sılrı vrs, f foksiou sıırlıdır. vv A ike k f() olck biçimde e z bir k gerçek sısı vrs, f foksiou ltt sıırlıdır. vv A ike f() b olck biçimde e z bir b gerçek sısı vrs, f foksiou üstte sıırlıdır. f() sıırlı bir foksio ve g ( ) olmk üzere " 6 f ( ) g ( dır. " ÖRNEK (Sıırlı Foksiolr) R de tımlı şğıdki foksiolrı R içi verile görütü kümelerie göre sıır durumlrıı belirleiiz. ) f() [, ] b) g() [, ) ÇÖZÜM Sıırlı foksiolrı lt sıırı foksiou e küçük değeri, üst sıırı e büük değeridir. ) f() i e küçük değeri ve e büük değeri i f() olduğud f foksiou sıırlıdır. b) g() i e küçük değeri ve e büük değeri olmdığıd i g() olduğud g foksiou ltt sıırlıdır. ÖRNEK (Sıırlı Foksiou Limiti) si foksiouu değerii buluuz. " ÇÖZÜM Siüs foksiou sıırlıdır ve si ifdesi [, ] rsıddır. sı si? si si ; E E dır. " " Y d sıkıştırm kurlı ile, si si si & & c m " H H si si & & dır. " " " ". R içi f() [, ] olduğu göre f ( ) iti değeri edir? ". cos " itii değeri edir?. Yd f periodik foksiouu grfiği verilmiştir. f si cos. " Bu göre f ( ) itii değeri " edir? O. " si cos l ) ) ) ) ) 8

90 SÜREKLİLİK Kplı Arlıkt Sürekli Foksiolrı Özellikleri Kou Özeti (E Büük, E Küçük Değeri) f: [, c] R foksiou içi m f() f([, c]) görütü kümesi olmk üzere, kplı rlıkt sürekli ol bu fok b c L sio k v Sıırlıdır: f ([, c]) [k, m] v Bir e küçük ve bir e büük değere shiptir. E küçük f([, c]) f() k dir. E büük f([, c]) f(b) m dir. v E küçük değer ile e büük değer rsıdki her değeri e z bir kez lır. Mksimum ve miimum problemleri türev kousud detlı iceleecektir. Kou Özeti (Bir Arlıkt Kök Vrlığı) f: [, b] R sürekli bir foksio ike f() f(b) < ise f(c) olck f() şekilde e z bir c [, b] o vrdır. f(b) c b f(c) ise c gerçek sısı f() ı bir köküdür. ÖRNEK (Bir Arlıkt Kök Vrlığı) deklemii [, ] rlığıd kökükü olup olmdığıı tespit ediiz. ÖRNEK f: [, ] R, f() sürekli foksiouu görütü kümesii bulup e küçük ve e büük değerlerii tespit ediiz. ÇÖZÜM Prbol grfiklerii htırlıız. f([, ]) [, ] dir. E küçük f([, ]) f() dır. E büük f([, ] f() tür. O ÇÖZÜM f: [, ] R, f() poliom foksiou süreklidir. f( ) C f( ) C f( ) < dır. f( ) O hlde deklemii (, ) rlığıd e z bir kökü buluur.. f: [, ] R, f() foksiouu ) E küçük değerii buluuz.. Aşğıdki deklemleri verile rlıklrd köküü olup olmdığıı tespit ediiz. b) E büük değerii buluuz. ) [, ] rlığıd c) Görütü kümesii buluuz. b) [, ] rlığıd si itii de d) g: R [, ] omk üzere ğerii buluuz. ( fog)( ) " c) ;, E rlığıd log rcsi 86 ) ) b) c) [, ] d) ) ) E z bir kökü vrdır b) Kökü olmbilir c) E z bir kökü vrdır

91 Ugulm Zmı Ugulm 7.. Aşğıdki foksiolrı sürekli olduğu rlığı buluuz. f() O Şekilde f() foksiouu grfiği verilmiştir. ) f ( ) b) f ( ) c) f ( ) d) f ( ) 9 e) f ( ) cos f) f ( ) si Bu göre şğıdki sorulrı Doğru (D), Ylış (Y) zrk cevplıız. ) f(), de süreklidir b) f ( ) dir. " c) f(), d süreklidir. d) f(), de sürekli değildir.. f: [, ] R foksiouu d verile grfiğie göre şğıdki rlıklrd sürekliliğii belirtiiz. ) [, ] b) [, ) c) [, ] O e) (, ) rlığıd f() i 6 tm sı değeri içi iti vrdır. f) [, ] rlığıd f() i sürekli olduğu oktlrı psisleri toplmı dir. cos. f ( ) si cos rlık edir? foksiouu sürekli olduğu g) [, ] rlığıd f() i süreksiz olduğu tmsı değeri vrdır. h) f(), de süreklidir. k) f(), de sürekli değildir. l), ve oktlrıd f() i iti olduğu hlde sürekli değildir.. fr : " R, f( ) biçimide tımlı f m foksiou R de süreklidir. Bu göre m i değer rlığı edir? m) f() i sürekli olduğu her oktd iti vrdır. ) ) Y b) D c) Y d) D e) Y f) D g) D h) Y k) D l) D m) D ) ) R {, } b) [, ] c) R d) (, ) (, ) e) (, ) (, ) f) R ) ) Süreksiz b) Sürekli c) Süreksiz ) R { : k, kd Z} ) (, ) 87

92 6. f ( ) foksiouu sürekli olduğu e rlık edir? Z ], ]. f ( ) [, < < 6 ] ], 6 \ foksiouu hgi tmsı değerleri içi süreksizdir? cos 7. f ( ) foksiou hgi rlıkt süreklidir? cos Z, < ] 8. f ( ) [, < ] \, foksiou hgi tmsı değerleri içi süreksizdir? Z ] 8,. f ( ) [ m, < ] \ 6, > foksiou R içi sürekli olduğu göre m kçtır? 9. f() ve g() foksiolrı R içi süreklidir. Bu göre şğıdkileri Doğru (D), Ylış (Y) zrk cevplıız. Z, ]. f: R R, f ( ) [ b, < < ], \ foksiou sürekli bir foksio ise b çrpımı kçtır? ) f() g() de süreklidir. b) f() g() de süreklidir. f ( ) c) de süreklidir. g ( ) f ( ) d) de süreklidir. g ( ). f() si cos foksiou verilior. Bu göre f ( ) itii değeri kçtır? " e) (fog)() de süreklidir. 88 6) R 7) R {k, k Z} 8), 9) ) D b) D c) Y d) Y e) D ),,,,, 6, ) ) )

93 Tekrr Zmı ÇÖZÜMLÜ TEST. f() O Şekilde f() foksiouu grfiği verilmiştir. Bu göre [, ] rlığıd f() i süreksiz olduğu oktlrı psisleri toplmı kçtır?. f() O Şekilde [, ] rlığıd f() foksiouu grfiği verilmiştir. Bu göre şğıdkilerde hgisi lıştır? A) f() i sdece bir oktd iti oktur. A) B) C) D) E) B) f ( ) " C) f( ) D) f() i psisli oktd iti olduğu hlde sürekli değildir. E) f() foksiou sdece bir oktd sürekli değildir.. f ( ) foksiouu sürekli olmdığı kç frklı reel sısı vrdır? A) B) C) D) E). f() b,. f ( ) * 8, > O foksiou sürekli olduğu göre b toplmı kçtır? A) B) C) D) 7 E) 9 Şekilde f() foksiouu grfiği verilmiştir. Bu göre f() foksiou kç oktd iti olduğu hlde sürekli değildir? A) B) C) D) E) Z ] b, < 6. f ( ) [ b, ] \, > foksiou sürekli bir foksio olduğu göre b çrpımı kçtır? A) B) 8 C) 6 D) E) 89

94 m 7. f ( ) *,, foksiou psisli oktd sürekli olduğu göre m toplmı kçtır? A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E). Yd f foksiouu grfiği verilmiştir. (f g) foksiou oktsıd sürekli olduğu göre g foksiouu grfiği şğıdkilerde hgisi olbilir? O f Z, > 8. f ( ) ] b, [ ], < \ foksiou reel sılrd dim sürekli olduğu göre b toplmı kçtır? A) B) O O C) O A) 6 B) C) D) E) D) E) 7 9. f ( ) foksiou sdece bir oktd kk süreksiz olduğu göre k kçtır? O O A) B) C) D) E) Z ], ] 9. f ( ) [, < ] ], > \ foksiou kç oktd süreksizdir?. f ( ) foksiou R içi ( m ) sürekli olduğu göre m i e geiş çözüm rlığı şğıdkilerde hgisidir? A) 6 < m < B) < m < 6 C) 6 < m < D) < m < E) < m < A) B) C) D) E). si cos " e A) B) itii değeri kçtır? C) D) E). f: [m, ] R, f() sürekli bir foksiodur. Bu göre f foksiouu [m, ] rlığıd e z bir köküü olmsıı sğl (m, ) ikilisi şğıdkilerde hgisi olbilir? A) (, ) B) (, ) C) (, ) D) (, ) E) (, ) 9. B. B. E. B. D 6. B 7. D 8. A 9. B. B. A. C. D. C

95 Tekrr Zmı Test Çözümü.,,, oktlrıd süreksizdir. Burd toplmıı buluur. Cevp: B 9. f() sdece bir oktd süreksiz ise f() i pdsıı sıfır p tek kök vrdır. Dolısıl pdsıı dır. b c k ( k ) k k (k ) k dir.. ve psisli oktlrd f() i iti olduğu hlde sürekli değildir. Cevp: B. f(), ve psisli oktlrd sürekli değildir. Cevp: E. f ( ) rsoel ifdelerde pdı ( )( ) ( ) sıfır p oktlrd foksio sürekli değildir. Dolısıl,,, psisli oktlrd süreklilik oktur. Cevp: B Cevp: B. foksiou ve psisli oktlrd süreksizdir. 9 olduğud f() psisli oktlrd süreksizdir. olduğud > içi dim süreklidir. Kritik oktlrd ise f ( ), f ( ) olduğud 8 " " f() de de süreksizdir. Cevp: B. f() R de sürekli ise f ( ) f ( ) f ( ) dir. " " b 8 b 7 buluur. Cevp: D. si ve cos foksiolrı sıırlı foksiolrdır. Yi [, ] rlığıd değer lırlr. Burd si cos e buluur. " ; sı Cevp: A 6. f() sürekli ise f ( ) f ( ) f ( ) " " 9 6 b b olur. Burd b 6 ve tür. Dolısıl b 6 8 buluur. Cevp: B. f ( ), f ( ) ve f( ) dir. " " C seçeeğideki grfiğe göre g ( ), g ( ) ve g( ) olduğud " " ^f gh^h ^f gh^h ^f gh^ h olur. " " Cevp: C 7. f() de sürekli ise f ( ) f ( ) f ( ) dir. " " m ifdesi içi sürekli ise sdeleşebilir olmlıdır. Burd m tür. f ( ) f ( ) tür. " " " f() tür. Burd m 7 buluur. Cevp: B. f(), R içi sürekli ise f() i pdsıı sıfır p değer oktur. Dolısıl pdsıı < dır. b c (m ) < m m < m(m ) < m(m ) < < m < buluur. Cevp: D 8. f() R de dim sürekli ise f ( ) f ( ) f ( ) " " b 7, b ise b 6 buluur. Cevp: A. f(m) f() < ise f() grfiği eksei (m, ) rlığıd e z bir oktd keser. Burd C seçeeğideki (, ) oktsı içi f( ) f( ) f( ) < f ( ) 6 Cevp: C 9

96 DİZİLERDE LİMİT Dizi Kvrmı ve Bir Dizii Limiti Kou Özeti Öcelikle dizi kvrmıı htırllım; f: N R olmk üzere f() şeklide tıml ve ( ) ile temsil edile foksiolr gerçek sı dizisi deir. v ( ) (,,...,...) dizii gösterimidir. v dizii geel terimidir ve diziler geel terimleri ile tımlırlr. ( ) bir dizi olsu, içi geel trim bir L gerçek sısı klşıors ( ) dizisii iti L dir deir ve ( ) L şeklide gösterilir. " v f() olduğud, f( ) dir. " " Bir dizii itide " " ifdesi belirtilmeebilir dir. " ÖRNEK Aşğıdki dizileri itlerii buluuz. 6 ) ( ) c m b) ( b ) f p c) ( c ) f p d) ( d ) f e ÇÖZÜM Dizi itleride geellikle belirsizlikleri ile krşılşılır ve belirsizliğide p ve pdd sosuz e hızlı geişlee terimleri orıı itii lıcğıı htırlıız ) dur. " " " " b) b f p c) d) 6 " " " 67 8 c f p " " " 678 e d f p " " " " dır. p tür. Aşğıdki dizileri itlerii buluuz.. ^e h ^ h. ^ h c m. ^bh f p 6. ^fh f p ( ) ( ). ^c h c m 7. ^g h f p. ^dhf p ( ) 8. ^h h f e e p 9 ) ) ) ) ) 6) 7) 8)

97 Foksio Limitlerile Dizi Limiti Hesplm DİZİLERDE LİMİT Kou Özeti Diziler özel foksiolr olduğu içi foksio itleri içi geçerli bütü kurllr dizi itleri içi de geçerlidir. Dizilerde belirsiz ifdelere (,,, ) sıkç krşılşcğıız içi belirsiz itleri htırlız. ÖRNEK Aşğıdki dizileri itlerii buluuz. ) ( ) ( ) b) ( b ) ^ h P (, ) c) ( c ) > H d) ( ) ( ) si C(, ) d ; E 6! e) ( e ) c m f) ( f ) c m ÇÖZÜM ) dır. " " ÇÖZÜM b) b b c " " olduğuu htırlıız b ^ h " " 67 ( ) 8 > H 6( " " ( ) buluur. "! P (, ) ( )! c) c " " c (, ) "! ( )!!! dir. " d) d ; ( ) si " " E c si si m c si m csi m " " " 678 si? ^ h E si si 8 8 dir. " 6 c 6 m " e) ( e ) c m e e tür. " " f) içi >! > > > log e olduğuu htırlıız.!! f c m dh hızlı sosuz ilerler! sı " " " gibi dvrır. Aşğıdki dizileri itlerii buluuz.. ^ h ^ h.! ( )! d ^ h > H ( )!. ^ h ^ h. ^eh ; E 6. ^c si h c m 6.! ^fh f p ) ) ) 8 ) ) 6) 9

98 DİZİLERDE LİMİT Toplm Formüllerile Dizi Limiti Hesplm Kou Özeti Sık krşılşcğımız toplm formüllerii htırllım; ( ) v... / k dir. k v... / k ( ) dir. k v... ( ) / ( k ) dir. k ( )( ) v... / k dir. 6 k ( ) v... / k ; E dir. k / k v!!...! k k! ( )! dir. ÖRNEK Aşğıd geel terimleri verile dizileri itlerii buluuz. )...!!...! b) b! ÇÖZÜM ( )... ) " " " " ( ) " 6 buluur. " ( )! 6 7 8!!... b) b " "! ( )! ( )! "! "! ( )! buluur. "! " " Aşğıd geel terimleri verile dizileri itlerii buluuz..... c ( ) ( ).... ( ) b.... d... 9 ) ) ) 6 )

99 Bsit Kesirlere Aırrk Dizi Limiti Hesplm DİZİLERDE LİMİT Kou Özeti Toplm ifdeleride bsit kesirlere ırm kullrk it değeri bulubilir. Örekle çıkllım. ÖRNEK Aşğıdki geel terimleri verilmiş dizileri itlerii buluuz. ) / b) b / k k k k k ÇÖZÜM Bsit kesirlere ırm işlemide poliom eşitliğide fdlılır. ) A B k k kk ( ) k k ( k ) () k Ak A Bk & kk ( ) kk ( ) G? k ( A B) k A & A vea B & B olduğud k k k k dir. O hlde / / k k c k m k f p f p... f p c m İlk prtezi.terimi klırs so prtezi. terimi klır. / k k k c m " " " b) A B k ( k )( k ) k k ( k ) ( k) ( A B) k A B & ( k )( k ) ( k )( k ) G G k ( A B) k A B & A ve B olduğud k k k dir. O hlde / k / k c k m k k f p f p f p f p 6 f p... f 7 p f p İlk iki prtezde.terimler klırs so iki prtezde. terimler klır. / k b k c m " " " buluur. Aşğıdki geel terimleri verile dizileri itlerii buluuz.. / k k k. b / k k k. / k k k. c / k k k ) ) ) ) 6 9

100 DİZİ LİMİTLERİ Geometrik Dizi, İlk Terim Toplmı ve Limit İlişkisi Kou Özeti Ardışık terimleri orı sbit ol dizie geometrik dizi deir. ( ) (,,,,...,,...) geometrik dizisi içi v... r dir. v r, r, r,..., r v ( ) dizisii ilk terim toplmı S ise k S... / / r dir. k k k S r r... r r S r r r... r S r S r & S ( r) ( r ) r & S dir. r ÖRNEK (Gerçek Sı Yklşm) Birici terimi ve ortk çrpı r ol ( ) geometrik dizisii kısmi toplmlr dizisii itii buluuz. ÇÖZÜM " r r... r r " i kullıız. r / k ver & c m & S c m k ( ) > c m... c m H dir. (S ) dizisii iti R V S c m W S W S 8 " " S W dir. S W T X ÖRNEK (± Yklşm) Geel terimi b ol dizii kısmi toplmlr dizisii itii buluuz. ( ) geometrik dizisii ilk terim toplmıd oluş ve kısmi toplmlr dizisi deile (S ) dizisii iti r r r... r formülü rdımıl kolc buluur. r "r r r... r " şeklideki ifdeler "r " prtezie lıır. r ( r r... r ) r r olur. r ÇÖZÜM b & S... / k k (... ) 9 (S ) dizisii iti S c9 m buluur. " ". Birici terimi 9 ve ortk çrpı r ol ( ) geometrik dizisii terimleri toplmı kçtır?. Geel terimi iti kçtır? ol dizii kısmi toplmlr dizisii. Birici terimi ve ikici terimi ol ( ) dizisi içi (S ) kısmi toplmlr dizisii iti edir?. İkici terimi 8 ve. terimi 6 ol geometrik dizii (S ) kısmi toplmlr dizisii iti edir? 96 ) 7 ) ) ) 9

101 Sosuz Terimli Geometrik Dizi Toplmı I DİZİ LİMİTLERİ Kou Özeti Sosuz terimli geometrik dizi toplmı, kısmi toplmlr dizisii iti ile tespit edilir. ( ) geometrik dizisii ilk terim toplm S r olmk üzere, r / / / k k k ise k k r r r c m k " " r v v / r k r < & r c m " r r k / k ± k r r & r c m ± " r Souç olrk sosuz terimli geometrik dizi toplmlrı, r < içi, v r r r... r v r r r... r ( r r...) r r ÖRNEK Aşğıdki sosuz toplmlrı değerlerii buluuz. k k ) / c m b) / c m c) / k ÇÖZÜM k k k ) / c m c m c m... dir. k / k k b) c m c m c m... c m > c m c m... H 6 > c m dır. / k k c) (...) k Aşğıd verile sosuz toplmlrı değerii buluuz.. / c m. / c m. / c m /. c m /. k k 6. / ^ h k ) ) ) ) 9 ) 6) 97

102 DİZİLERDE LİMİT Kou Özeti (Kuvvet ve İşret Düzeleme) Toplm ifdesideki işret ve ve kuvvetler düzeleerek r < içi " r r... " formülü ile r toplmı değeri buluur. v v v v ÖRNEK Aşğıdki toplmlrı değerlerii buluuz. ) / c m k b) / c m k k k / k m ( ) m b c m c m b c) ( ) k k k k Üstlü sılrd kuvvet düzelemelerii htırlıız. i tek ve çift kuvvetleri toplm ifdeside işret belirtici olrk kullılır. Sosuz Terimli Geometrik Dizi Toplmı II ÇÖZÜM "/ c c/ " olduğuu htırlıız. k k k k / / k k k k ) c m c m c m c m c m... c m > c m c m... H / / / 9 k k b) c m c m c m c m 9 k k k k dir. > c m c m... H > c m c m... H ; buluur. / / k k / k k k k c) ( ) () () c m k () c m > c m c m c m... H c m > c m c m... H c m buluur. k Aşğıd verile sosuz toplmlrı değerlerii buluuz.. / c m k. /. / c m /. ^ h c m 98 6 ) 8 ) ) 8 9 ) 9

103 Sosuz Terimli Geometrik Dizi Toplmı III DİZİLERDE LİMİT Kou Özeti Toplm sembolü ltıdki kesirler, çrpım sembolleri, trigoometrik, logritmik ve bezeri ifdeler düzeleerek sosuz toplmı değeri bulubilir. ÖRNEK Aşğıdki toplmlrı değerlerii buluuz. k k ) / b) ^l e h k / c) ( % k ) ) k ÇÖZÜM k k k k c m c m dır. k k k k k k k k k / / / / k k k k k k k k > c m c m H c m c m k > c m c m... H > c m c m... H buluur. b) ÇÖZÜM l e l e l e dir. / / k k k k k ( l e) c m c m c m c m c m... < c m > c m c m... H 8 ; 8 c) % k % k k r k r / k k olduğuu htırlıız. k k / / c m k k > c... m c m H ( ) c m... dir. tür. Aşğıd verile sosuz toplmlrı değerii buluuz.. / k k k /. % k. ( cos 6 ) k. / 8 ) ) 9 ) ) 8 99

104 DİZİLERDE LİMİT Sosuz Terimli Geometrik Dizi Toplmı IV Kou Özeti (Hrfli İfdeler ve Deklemler) Hrfli ifdelerde ve deklemlerde bieeler ile sosuz terimli geometrik dizi toplmlrı oluşturulup hrfli ifdei eşiti ve deklemi kökü bulubilir. ÖRNEK (Hrfli İfde) < < olmk üzere / c m ifdesii eşitii buluuz. ÇÖZÜM < < & < < < & < dir. / c m c m c m... buluur. ÖRNEK (Deklem) / olduğu göre değerii buluuz. ÇÖZÜM c m c m dir. / / / & c m c m & > c m... H ; c m... E & > c m c m H ; c m c m E & & & buluur.. olduğu göre / c m ifdesii değeri kçtır?. / olduğu göre kçtır? 7. < < b içi / c m ifdesii değeri kçtır? b. k 8 / olduğu göre k kçtır? ) 9 b ) b ) )

105 Sosuz Terimli Geometrik Dizi Problemleri I DİZİLERDE LİMİT Kou Özeti (Sosuz Toplmlr) Kou Özeti (Devrede Sılr) Bütü sosuz terimli geometrik dizi problemleride şğıdki formül ugulır. r < içi, Devrede sılrı değeri sosuz terimli geometrik dizi toplmı ile kolc bulubilir. r r r... r ( r r...) r dir r r > ise r r r... ± dur. ÖRNEK Aşğıdki devirli odlık sılrı değerlerii buluuz. ), b) ^, h ÖRNEK Aşğıdki sosuz toplmlrı değerlerii buluuz. )... b) ÇÖZÜM )... c m c m... dir. b)... ;... E > c m c m c m... H buluur. c m ÇÖZÜM oldu???? ( b, cd) m m b m c m d m ğuu htırlıız. ),, f c m... p 9 b) ^, h (,...)... c m c m... f c m c m... p buluur. Aşğıdki sosuz toplmlrı değerii buluuz. Aşğıdki devirli odlık sılrı değerlerii buluuz......, , ^, h ) ) 8 ) 6 ) 9 ) )

106 DİZİLERDE LİMİT Sosuz Terimli Geometrik Dizi Problemleri II Kou Özeti (Sosuz İlerlemeler) ÖRNEK Geometrik dizi şeklideki sosuz ilerlemelerde sosuz terimli geometrik dizi toplmıd fdlılır. ÖRNEK Doğrusl bir old, hreket hlideki bir rç ide free bstığıd her sie bir öceki siede ldığı olu i kdr ol lrk m mesfede durbilior. Bu rç free bsıldıkt sorki ilk sie içeriside kç m ol lmıştır? Elif, kumbrsı her hft bir öceki hftd ttığı prı rısıı trk birikim pıor. Elif, ilk hft kumbrsı trk pr biriktirmee bşldığı göre e fzl kç birikim pbilir? ÇÖZÜM Elif'i birikimie "B" die ve birikimie sürekli devm ettiğii kbul ede. B c m... > c m... H biriktirebilir. ÇÖZÜM Arcı. siede ldığı ol A olsu; A A A c m... & A > c m... H A & A & & A m dir.. Çğ, kumbrsı her hft bir öceki hftd ttığı prı üü trk prk biriktirior. Çğ pr biriktirmee 6 ile bşlıp sürekli devm ederse e çok kç biriktirebilir?. Ali Be bkd kredi çekmiştir. Bkı, Ali Be'e çıkrdığı ödeme plı göre; Ali Be ilk borcuu rısıı ödeecek ve her bir öceki d ödediği miktrı sii ödeecektir. Ali Be'i bu ödeme plı sürekli uduğu kbul edilirse bk geri ödemesi kç olur?. Dikildiğide 6 cm ol bir ğç birici ılı soud cm uzuor. Bud sorki her ıl bir öceki uzm miktrıı i kdr uz bu ğcı bou e fzl kç cm olur?. Bir okçu, ıı çekip oku bırktığıd ok ilk sie m mesfe lıp bud sorki her siede bir öceki siede ldığı olu ii lmktdır. Bu göre ok dur kdr kç m ol lır? 9 ) 9 ) ) 7 )

107 Sosuz Terimli Geometrik Dizi Problemleri III DİZİLERDE LİMİT Kou Özeti (Sıçr Top) ÖRNEK (Yukrıd Düşe Top) Belirli bir ükseklikte düşe bir top duruc kdr geometrik dizi şeklide sıçrış pıors sosuz terimli geometrik dizi toplmı bşvurulur. Topu her sıçrışt çıkrke ve ierke ı mesfede ol lcğıı uutmıız. m ükseklikte bırkıl bir top her seferide düştüğü üksekliği rısı kdr sıçrmktdır. Bu göre top duruc kdr kç metre ol lır? ÇÖZÜM ÖRNEK (Yerde Fırltıl Top) Yerde fırltıl bir top m üksekliğe kdr çıkıp her seferide düştüğü üksekliği %7 i kdr sıçrmktdır. Bu göre bu top duruc kdr kç m ol lır? 7 ÇÖZÜM %7 tür. m m / m... Topu ldığı toplm dike ol Y olsu; Y c m... < < < Her ükseklik çıkrke ve ierke iki kez ktedilecektir. & Y > c m... H & Y 6 m buluur. m m m... Topu ldığı toplm dike ol Y olsu; Top ilk kez ere düştükte sor sıçrdığı her üksekliği çıkışt ve iişte iki kez ktedecektir. Sıçrmlr Düşme Y c m c m... < < < > c m c m... H 6 m buluur.. Yerde fırltıl bir top cm üksekliğe kdr çıkıp her seferide düştüğü üksekliği ü kdr sıçrmktdır. Bu göre bu top duruc kdr düşede ldığı ol kç cm dir?. m ükseklikte bırkıl bir lstik top her seferide düştüğü üksekliği % 7 i kdr sıçrmktdır. Bu göre top duruc kdr kç m ol lır?. Yerde fırltıl bir top cm üksekliğe kdr çıkıp her seferide düştüğü üksekliği % 6 ı kdr sıçrmktdır. Top duruc kdr 8 cm ol ldığı göre kçtır?. Şekildeki gibi m ükseklikte ukrı fırltıl bir top her seferide düştüğü üksekliği rısı kdr sıçrıp düşede toplm m ol lrk duruor. Bu göre top e çok kç m üksekliği çıkmıştır? m ) 7 ) 6 ) 68 )

108 DİZİLERDE LİMİT Sosuz Terimli Geometrik Dizi Problemleri IV Kou Özeti (Geometrik Yorum) Sosuz terimli geometrik dizi şeklide ilerlee geometrik şekillerde isteile ölçüme göre sosuz terimli geometrik dizii toplmıı değeri buluur. ÖRNEK Aşğıd çizilmiş çember dizisi verilmiştir. Bu dizide; ilk çemberi rıçpı 8 birim ve sorki her bir çemberi rıçpı, bir öceki çemberi rıçpıı rısıdır. r 8 r r Bu dizideki tüm... çemberleri ) Çevreleri toplmıı buluuz. b) Allrı toplmıı buluuz. ÇÖZÜM Yrıçpı r ol çemberi çevresi r, Alı r dir. ) Çemberleri çevreleri toplmı Ç olsu; r r r H 678? Ç 8 c8 m > 8 c m H... 8> c m... H 6 birimdir. < 6 b) Çemberleri llrı toplmı A olsu; r r A 8 c8 m > 8 c m H > 8 c m H c m 8 c m... 8 > c m c m... H ; 6 6 r 6 birimkredir. r. r r r D C Şekilde herbirii rıçpı bir öcekii ü kdr ol direler çizilior. Bu göre, A B ) Elde edile sosuz direleri çevreleri toplmı kç br dir? Şekildeki ABCD kresii bir kerı br dir. İçteki kreleri köşeleri dıştkii ort oktlrıdır. Bu göre ) İç içe çizile sosuz kreleri çevreleri toplmı kç br dir? b) Elde edile sosuz direleri llrı toplmı kç br dir? b) İç içe çizile sosuz kreleri llrı toplmı kç br dir? 8 ) ) 6 b) ) ) 96 8 b) 88

109 Geometrik Dizi Olm Sosuz Toplmlr DİZİLERDE LİMİT Kou Özeti Geometrik dizi olm sosuz toplmlrd bsit "kesirlere ırm" ve "trf trf toplmçıkrm" ugulmlrı ile dizi iti lırk souc ulşılbilir. ÖRNEK Aşğıdki sosuz toplmlrı değerii buluuz. ) / b) / k k k ÇÖZÜM Öcelikle ilk terim toplmıı bulup itii llım. ) Bsit kesirlere ırrk ilk terim toplmıı bullım. A B & A veb k k kk ( ) k k ( k ) () k & dir. k k k k O hlde, / k k /c k m k k k f p f p f p... f p / / k k k k f p " " k k dir. b) Trf trf çıkrm ile sosuz toplmı bullım. r < olmk üzere r r... r... T T r r... r... r T r r r... r... T rt r r... r... & T( r) & T buluur. r ( r) /... T olsu T c m c m c m... T c m c m c m... Tc m c m c m c m... & T > c m... H & T & T & T buluur. Aşğıdki sosuz gide toplmlrı değerii buluuz.. /. / ^ h. / /. ) ) ) ) 6

110 Ugulm Zmı Ugulm 8. Aşğıd geel terimi verile dizileri itlerii buluuz.. Aşğıd geel terimi verile dizileri itlerii buluuz. ) ^h f p ) / c m k k b) ^bh c m / b) c m c) ^c h ^ h c) / c m! d) ^dh f p / d) c m e e) ^e h f e p e) / ( )! ( )! f) f ^ h f p ( )! ( )! f) < < olmk üzere, g) c ( ) t " m k / c m k 6 ) ) b) c) d) e) f) g) ) ) b) 6 c) d) e) f)

111 sosuzu toplmı kç eşittir? D E C F K N H L M A G B. ^, h devirli odlık sısıı oluk tbdki krşılığı kçtır? Şekilde ABCD bir kerı 8 br ol bir kredir. Bu krei ort oktlrı birleştirilerek DFKE kresi elde edilior. Aı işlem KGBH kresi içi de ugulrk KGBH kresi içide ugulrk KLMN kresi elde edilior. Bu göre sosuz kdr bu işlem devm edildiğide trlı bölgeleri llrı toplmı kç br dir.. 8 m ükseklikte ere bırkıl bir lstik top her seferide bir öceki düştüğü üksekliği % si kdr ükselmektedir. Bu göre lstik topu duruc kdr düşede ldığı ol kç m dir? 8. A si si si... sosuz toplmıı içi değeri kçtır? 6 9. deklemii kökleri ve dir. Bu göre k / f p ifdesii değeri kçtır? k 6. Çevresi 8 br ol bir eşker üçgei kerlrıı ort oktlrı birleştirilerek ei bir eşker üçge elde edilior. Bu işlem sosuz kdr sürerse elde edile eşker üçgeleri çevreleri toplmı kç br dir?. N olmk üzere [, ) rlıklrıd tımlı f ( ) foksio sistemii eksei ile rsıd kl bölgeleri llrı toplmıı buluuz. O f f f... ) 7 7 ) ) 7 6) 6 6 7) 8) 9) 8 ) 7

112 Tekrr Zmı ÇÖZÜMLÜ TEST. Birici terimi ve ikici terimi ol geometri dizi içi geel terimi S... kısmi toplmlr dizisii iti kçtır? A) B) C) D) E) 6. / ifdesii değeri şğıdkilerde hgi sidir? A) B) C) D) E).... ^h f p dizisii iti kçtır? A) B) C) D) E) ^h f p dizisii iti şğıdkilerde hgisidir? A) B) C) D) E). ^h f p dizisii iti kçtır? A) B) C) D) 9 E) 7 8. c m c m c m... toplmıı değeri kçtır? A) 7 D) 7 9 B) 7 E) 7 8 C) 7. Dört tbıd, devirli odlık sısıı oluk tbdki krşılığı kçtır? 6 A) 7 D) B) 89 E) 9 C) k 9. > içi / c m sosuz toplmı eşiti şğıdkilerde k hgisidir? A) D) B) 9 E) C). k / ^ h sosuz toplmıı değeri kçtır? k k A) B) C) D) E) k. / m olduğu göre m şğıdkilerde k hgisidir? A) B) C) D) 6 E) 8

113 9. / ifdesii değeri şğıdkilerde hgisidir?. A) B) D) E) 9 C) 7 Şekildeki srkcı ucudki top ilk gidiş gelişide 6 cm ol lıor. Srkç bud sorki her gidiş gelişide bir öcekii i kdr ol olrk slıımı devm edior. Bu göre bu srkç ilk hreketide itibre hreketsiz klıc kdr olu devm ederse duruc kdr kç cm ol lır?. / olduğuu göre kçtır? A) 6 B) C) 8 D) E) 6. A) 8 B) C) D) E) 8... Şekilde herbirii rıçpı bir öcekii ü kdr. Bir iti geel terimi ^ h c m olrk verilior. Bu göre / toplmıı değeri kçtır? ol direler çizilior. E büük direi rıçpı 6 br olduğu göre bu direleri llrı toplmı kç br dir? A) 8 B) C) 8 D) E) 7 A) B) C) D) 6 E) 7. c m. < < olmk üzere, O / olduğu göre şğıdkilerde 8 hgisie eşittir? A) B) C) D) E) Şekilde c m eğrisii grfiği verilmiştir. Bu eğrii ltı ei br ol sosuz çoklukt dikdörtgeler çizior. Bu göre elde edile dikdörtgeleri llrı toplmı kç br dir? A) B) C) D) E). D. A. E. E. A 6. C 7. E 8. A 9. D. B. E. C. B. D. B 6.C 7. B 9

114 Tekrr Zmı Test Çözümü. Geometrii dizii ortk çrpı r dir. O hlde,. S c m c m... c m c m S > c m c m... c m H & S c m S buluur. " R V S ( )( ) W... S 6 W ^ h f p S W T X burd Cevp: D ^ h f p & buluur. Cevp: A 8 9. ^h f p diziside ifdesi de dh çbuk büüdüğü içi ^ h f p buluur..,, ; E 89 buluur. 9 9 k. / ^h ^ h /... k k ; E 6. k k Cevp: E Cevp: E ;... E buluur. Cevp: A / / / ; E > c m H / /c m buluur. Cevp: C 7. f ; c m E p buluur. ; c m E Cevp: E 8. 7 c m c m c m... > c m c m... H > c m... H buluur Cevp: A k k / c m c m / c m c m c m... k k c m> c m c m... H buluur. Cevp: D k. / m m m m... m( & m m...).. k m & m & & m buluur. m m / 9 & / ^ h ^ h / c m Cevp: B c m > c m... H buluur. Cevp: E / / ; E ; E & & 8 buluur. /.. / c m Cevp: C S S & S c m buluur. Cevp: B / / / c m 8 & ; E ; c m c m E & & buluur. 8. Srkcı ldığı ol Y olsu, Y Cevp: D 9 Y 6 ; E cm ol lır. Cevp: B r r r... r 6, r 6, r 6... A A 6 ; E A 6 8 br buluur. Cevp: C 8 c m c m A c m c m... A > c m... H A buluur. Cevp: B

115 Limit Alm Kurllrı ve Sğd Sold Limit KONU TESTİ. ^ h itii değeri kçtır? " A) B) C) D) E) 6. f( ) olduğu göre " f^ h itii değeri kçtır? " A) B) C) D) E). ^ h itii değeri kçtır? " 9 A) 9 B) C) D) E) 9 7. iti şğıdkilerde hgisie eşittir? " A) B) C) D) E) u. itii değeri kçtır? u u" A) 6 B) C) D) E) 8. 9 itii değeri kçtır? " A) B) C) D) E) 6 8. itii değeri kçtır? " A) B) C) D) E) 9. f() o Şekilde f() foksiouu grfiği verilmiştir.. 6 ^ h ^ itii değeri kçtır? " A) B) C) D) E) Bu göre şğıdkilerde hgisi doğrudur? A) f ( ) " B) f ( ) " C) f( ) D) f ( ) " " E) f( ) "

116 . Gerçek sılr kümesi üzeride tımlı bir f foksiou içi f( ) olduğu göre " f ( ) f ( ) toplmıı değeri kçtır? " " A) 6 B) C) D) E). o f() Şekilde f() foksiouu grfiği verilmiştir. Bu göre;. I. f ( ) " IV. f( ) " o f() II. f( ) " III. f( ) " V. f( ) " VI. f ( ) " eşitlikleride hgileri doğrudur? A) II, IV, V, VI B) I, III, IV, VI C) II, III, IV, V Şekilde f() foksiouu grfiği verilmiştir. D) III, IV, V, VI E) I, III, V, VI Bu göre f() foksiouu hgi tmsı değeri içi iti oktur? A) B) C) D) E). m p o k b c f(). o f() Şekilde f:[, c] R, f() foksiouu grfiği verilmiştir. Bu göre şğıdkilerde hgisi lıştır? A) f( ) p B) f ( ) k C) f( ) m " " c " b Şekilde f() foksiouu grfiği verilmiştir. Bu göre f() foksiouu,,,, ve oktlrıdki vr ol itleri toplmı kçtır? A) 6 B) C) D) E) D) f( ) m " E) f( ) m. A. D. A. E. D 6. C 7. D 8. E 9. D. A. E. C. D. B

117 Limit Alm Kurllrı ve Sğd Sold Limit KONU TESTİ. itii değeri kçtır? " A) B) C) D) E) 6. f() foksiou R {} de tımlı ve f( ) olduğu göre " 6 ^ h f ^ h f ^ itii değeri kçtır? " A) 6 B) C) D) E) 8. ^ h itii eşiti şğıdkilerde " hgisidir? A) B) C) 7. " itii değeri kçtır? A) B) C) D) E) D) E) u. itii değeri kçtır? u" u A) B) C) D) E) 8.,,,,,,... f(),,,8,9,99, Yukrıd klşım değerler tblosu verile f() foksiou içi; f ( ) f( ) toplmıı değeri kçtır? " " A) B) C) D) E). ^ h itii değeri kçtır? ^, h" ^, h A) B) C) D) E). c m itii değeri kçtır? " A) B) C) D) 9 E) 9 9. Gerçel sılrd tımlı f foksiouu oktsıdki iti ike f( ) b ve f( ) b " " olduğu göre b çrpımıı değeri kçtır? A) 9 B) C) D) E)

118 . f() o Şekilde f() foksiouu grfiği verilmiştir. Bu göre şğıdkilerde hgisi lıştır? A) f ( ) B) f( ) C) f( ) " " " D) f( ) " E) f ( ) ". f() o Şekilde f() foksiouu grfiği verilmiştir. Bu göre; I. f ( ) IV. f( ) " " II. f( ) V. f ( ) " " III. f( ) " öermeleride kç tesi doğrudur?. f() A) B) C) D) E) o Şekilde f() foksiouu grfiği verilmiştir. Bu göre şğıdkilerde hgisi doğrudur? A) f ( ) " D) f( ) " B) f( ) C) f ( ) " " E) f( ) ". o f() Şekilde f() foksiouu grfiği verilmiştir. Bu göre şğıdkilerde hgisi doğrudur?. A) f(), psisli oktd tımlı ve f ( ) dir. " B) f(), psisli oktd tımlı ve f( ) dir. " o b c f() C) f(), psisli oktd tımlı ve f ( ) dir. " D) f(), psisli oktd tımlı ve f( ) tür. " Şekilde f() foksiouu grfiği verilmiştir. Bu göre f( ) f( ) toplmı kçtır? " E) f(), psisli oktd tımlı ve f( ) dır. " A) B) C) D) E). E. B. A. E. D 6. C 7. B 8. E 9. B. E. E. A. C. D

119 Limit Alm Kurllrı ve Sğd Sold Limit KONU TESTİ Ç. f() k foksiou içi f ( ) " olduğu göre f ( ) itii değeri kçtır? " A) 8 B) 9 C) D) E).,8,9,99,,, f() Yukrıd klşım değerler tblosu verile f() foksiou içi; I. f ( ) III. f( ) " II. f ( ) IV. f ( ) oktur. " " öermeleride hgisi d hgileri doğrudur? A) Ylız I B) Ylız II C) I ve II. " itii değeri kçtır? D) II ve III E) III ve IV A) B) C) D) E) 6 6. Gerçel sılr kümeside tımlı bir f foksiou içi f( ) ve f( ) olduğu göre " " f^ h f^ h itii değeri kçtır? " fc m A) B) C) D) E). f() ve g() foksiolrı içi 6 f ( ) g ( )@ itii değeri kçtır? " A) B) C) D) E) 7. f() cos içi f ( ) itii değeri kçtır? " A) B) C) D) E). f ( ) ve " " f ( ) g ( ) olduğu göre f ( ) g ( ) 6 g ( ) f ( )@ itii değeri kçtır? " A) 7 B) 8 C) 9 D) E) 8. 6 f ( ) olduğu göre " f ( ) " itii değeri kçtır? A) B) C) D) E)

120 9. f ( ) foksiouu oktsıdki iti A dır.. f() Bu göre şğıd grfiği verile foksiolrd hgisii oktsıdki itii değeri A dır? A) B) o o C) D) o Şekilde f() foksiouu grfiği verilmiştir. Bu göre kçtır? f ( ) f ( ) " " ifdesii değeri f ( ) f ( ) " " A) B) C) D) E) o o E) o. f() o. Şekilde f() foksiouu grfiği verilmiştir. o f() Bu göre şğıdkilerde hgisi lıştır? A) f ( ) dir. " B) f(), psisli oktd tımlı ve iti tür. Şekilde f() foksiouu grfiği verilmiştir. Bu göre f foksiouu,,,,, ve oktlrıd vr ol itlerii toplmı kçtır? A) 7 B) 8 C) 9 D) E) C) f ( ) f ( ) dir. " " D) f(), foksiou psisli oktd tımsızdır. E) f( ) oktur. " 6. D. C. E. E. E 6. E 7. D 8. C 9. D. C. A. D

121 Limit Alm Kurllrı ve Sğd Sold Limit KONU TESTİ. itii değeri kçtır? " 9 6 A) B) C) D) 6 E) 9. o f() Şekilde f() foksiouu grfiği verilmiştir. Bu göre f ( ) f ( ) " itii eşiti şğıdkilerde hgisidir?. > H itii değeri kçtır? " " A) B) C) D) E) A) B) C) D) E) 6. o f(). 6 f( olduğu göre " 6 f ( itii değeri kçtır? " A) B) 9 C) 8 D) 7 E) 6 Şekilde f() foksiouu grfiği verilmiştir. Bu göre f() foksiouu,,,,,,, ve psisli oktlrıdki vr ol it değerlerii toplmı kçtır? A) B) C) D) E) 7.. f ( ) ve g ( ) içi " " f ( ) > f () g ( ) H itii değeri kçtır? " g ( ) A) 9 B) C) D) E) o f() Şekilde f() foksiouu grfiği verilmiştir. Bu göre [, ] rlığıdki tmsılrı kç teside tımsız olduğu hlde f() i iti vrdır? A) B) C) D) E) 7

122 8. f ( ) ve g( ) olduğud göre; " ". I. 6 f ( ) g( dir. " II. f ( ) dir. g ( ) " o ( ) III. ; lc f me dır " ( ) IV. ; f g ( ) E " f: (, ] R olmk üzere f() foksiou içi şğıdkilerde hgisi lıştır? Yukrıd verilelerde hgileri doğrudur? A) f ( ) " B) f( ) " A) I ve II B) II ve III C) I ve IV D) II ve IV E) III ve V C) f() D) f() E) f ( ) oktur. ". 9. f ( ) ve f( ) 6 olduğud göre " " 6 f ( ) " f( itii değeri kçtır? A) 8 B) 7 C) 6 D) E) o o g() f() Şekilde f() ve g() foksiolrıı grfikleri verilmiştir. Bu göre; I. 6 f ( ) g ( 6 ". Gerçel sılrd tımlı f() foksiou içi lf( ) olduğu göre f ( ) itii " " değeri şğıdkilerde hgisidir? A) B) e C) D) e E) II. 6 f ( ) g( " f ( ) III. " g ( ) f ( ) IV. g ( ) " V. 6 f ( ) g( 6 " eşitlikleride hgileri doğrudur? A) II, III ve IV B) I ve III C) I, II ve III D) II, IV ve V E) I, IV ve V 8. B. C. B. C. D 6. D 7. B 8. B 9. A. D. E. E

123 Özel Foksiolrd Limit KONU TESTİ, >. f ( ) * olduğu göre, G f ( ) f ( ) toplmıı eşiti şğıdkilerde " " hgisidir? 6. ^ h itii değeri kçtır? " A) B) C) D) E) A) B) C) 6 D) 7 E) 8 7. " itii değeri kçtır? A) B) C) D) E) Z, < ]. f ( ) [ 8, foksiou verilior. ], > \ Bu göre f ( ) itii değeri kçtır? " A) B) 8 C) 6 D) E) 8. f 6p itii değeri kçtır? " A) B) C) D) E). ^ h itii değeri kçtır? " A) B) C) D) E) 9. Aşğıdkilerde hgisi doğrudur? A) B) " " C) D) " ". ^ 6h itii değeri kçtır? " A) B) C) D) E) E) ". > ^ hh itii değeri kçtır? " 8. itii değeri kçtır? " 6 A) 6 B) C) D) E) 8 A) B) C) D) E) 9

124 , H. f ( ) * foksiou verilior., < Bu göre f ( ) f ( ) f ( ) toplmıı " " " eşiti şğıdkilerde hgisidir?. f p itii değeri kçtır? " A) B) C) D) E) A) B) C) D) E) 6 6. f ( ) olduğud göre f ( ) itii değeri kçtır? " A) B) C) 9 D) 8 E) 7. " itii değeri kçtır? A) B) C) D) E) itii değeri kçtır? " A) 6 B) C) D) E) 8., b, c Z ve < b < c dir.. 9log ^ 9h log ^ hc itii değeri " kçtır? A) B) C) D) E) Bu göre; I. " II. b b " b b III. c c " c b b IV. " c c ifdeleride hgileri doğrudur?. f p itii değeri kçtır? " ^ h A) B) C) D) E) A) I ve III B) I ve II C) III ve IV D) I ve IV E) II ve IV. E. A. A. D. A 6. C 7. B 8. D 9. E. C. C. E. B. A. A 6. E 7. D 8. E

125 Özel Foksiolrd Limit KONU TESTİ 6 k, H. f ( ) * foksiou verilior. k, < f() i tımlı olduğu her oktd iti vrs " " f ( ) f ( ) toplmıı soucu şğıdkilerde hgisidir?. " hgisidir? A) B) itii eşiti şğıdkilerde C) D) E) A) B) C) D) E) 9. f p itii değeri kçtır? " A) B) C) D) E) 6 6. f p itii değeri " kçtır? A) B) C) D) E) Z ], <. f ( ) [ 6, foksiou verilior. ] \, > Bu göre şğıdkilerde hgisi lıştır? A) f( ) B) f( ) " " C) f( ) 9 D) f( ) " " E) f( ) 6 ", 7. f ( ) * foksiou içi;,! f ( ) m ve f( ) olduğu göre m " " ifdesii değeri kçtır? A) B) C) D) E) 6. itii değeri kçtır? " 6 8 A) B) C) D) E) itii değeri şğıdkiler 8. " de hgisie eşittir? A) B) C) D) E) Yoktur

126 9. " itii değeri kçtır? A) B) C) D) E). Gerçel sılr kümesi üzeride tımlı bir f foksiou içi ^ log f( ) h 6 olduğu göre, f ( ) " itii değeri kçtır? A) B) C) D) " E) " e. ^ l e e e l h itii değeri şğıdkilerde hgisidir? A) e B) e C) e D) e E) 8. f ( ) foksiou verilior. içi f() şğıdkilerde hgisidir? A) B) C) D) E) 6. itii değeri kçtır? " A) B) C) D) E) Ç., b R içi; Z ] ] ] b f ( ) [ ] b ] ] \, <, G < b, b G foksiou verilior. Bu göre; I. f( ) III. f( ) " ". itii değeri kçtır? " A) B) C) D) E) II. f( ) b IV. f( ) " b b " b ifdeleride hgileri doğrudur? A) I ve II B) II ve III C) I ve III D) II ve IV E) I ve IV. B. D. E. A. A 6. D 7. E 8. C 9. C. C. A. B. A. E. E

127 Geişletilmiş Reel Sılrd Limit KONU TESTİ 7. c m itii değeri kçtır? 7 " A) B) C) D) 7 E) 6. c m itii değeri şğıdkilerde 7 " hgisidir? A) B) C) 7 D) E) 7. c m itii değeri kçtır? " A) B) C) D) E) 7. i içi iti şğıdkilerde hgisidir? A) B) C) D) E). h itii değeri şğıdkilerde hgisidir? " ^ A) B) C) D) E) 8. f 6 6 6p itii değeri şğıdkilerde " hgisidir? A) 8 B) 7 C) 6 D) E). " itii değeri şğıdkilerde hgisidir? A) B) C) D) E) 9. " ^ h hgisidir? A) B) itii değeri şğıdkilerde C) D) E). e " A) B) itii değeri kçtır? C) D) E). f p itii değeri kçtır? " A) B) C) D) E)

128 . itii değeri şğıdkilerde " hgisidir?. A) B) C) D) E) o f() Şekilde f() foksiouu grfiği verilmiştir.. f 7 p itii değeri kçtır? " A) B) C) D) E) Bu göre f ( ) f ( ) ifdesii eşiti ş " " ğıdkilerde hgisidir? A) B) C) D) E). o f() 6. f() o Şekilde f() foksiouu grfiği verilmiştir. Bu göre f ( ) itii değeri şğıdkilerde " hgisidir? A) B) C) D) E) Şekilde f() foksiouu grfiği verilmiştir. Bu göre; I. f ( ) IV. f ( ) " " II. f( ) " V. f( ) " III. f( ) VI. f ( ) " " ifdeleride kç tesi doğrudur?. A) B) C) D) E) e itii değeri şğıdkilerde hgisi " dir? A) B) C) D) E). B. C. A. A. D 6. B 7. E 8. B 9. E. A. A. D. A. D. E 6. D

129 Geişletilmiş Reel Sılrd Limit KONU TESTİ 8. f 7 " hgisidir? p itii değeri şğıdkilerde A) B) C) D) 7 E) 9. f 7 p itii değeri şğıdkilerde " hgisidir? A) B) C) D) E). c m itii değeri şğıdkilerde " hgisidir? A) B) C) D) E) Z ], < 6. f ( ) [, # # ] \, > foksiou verilior. Bu göre; I. f ( ) " IV. f( ) 8 " II. f( ) V. f ( ) " " III. f( ) " VI. f( ) " ifdeleride kç tesi doğrudur? A) B) C) D) E) ". itii değeri şğıdkilerde hgisidir? A) B) C) D) E) Limit Yoktur. Ç 7. > e H itii değeri şğıdkilerde " hgisidir? A) B) C) D) E) 6. itii değeri şğıdkilerde " hgisidir? A) B) C) D) E) 8. 6 " 9 itii değeri şğıdkilerde hgisie eşittir? A) B) C) D) E)

130 9. > c m " H itii değeri şğıdkilerde hgisidir?. f() A) B) C) D) E) o Şekilde f() foksiouu grfiği verilmiştir. Bu göre f ( ) f ( ) " " f ( ) f ( ) " " şğıdkilerde hgisidir? ifdesii değeri. " ^ h itii değeri şğıdkilerde A) B) 6 6 C) D) 7 E) hgisidir? A) B) C) D) E).. o f() f() o Şekilde f() foksiouu grfiği verilmiştir. Bu göre; I. f( ) III. " " f ( ) II. IV. " f ( ) " f ( ) ifdeleride hgileri doğrudur? A) II, III ve IV B) II ve IV C) I ve III D) I, II ve III E) I, II ve IV Şekilde f() foksiouu grfiği verilmiştir. Bu göre; I. f ( ) " IV. f( ) " II. f( ) V. f ( ) " " III. f ( ) " VI. f( ) " ifdeleride hgileri doğrudur? A) I, III ve IV B) II, III ve V C) II, IV ve VI D) I, III ve IV E) III, IV ve V 6. A. E. E. A. D 6. A 7. B 8. A 9. D. A. D. B. B

131 Geişletilmiş Reel Sılrd Limit KONU TESTİ 9. c m itii değeri şğıdkilerde " hgisidir? A) B) C) D) E). f ( ) foksiou verilior. içi f() şğıdkilerde hgisidir? A) B) C) D) E). " ^ h itii değeri şğıdkilerde Ç 6. itii değeri şğıdkilerde " e l hgisidir? hgisidir? A) B) C) D) e E) A) B) C) D) E). ^ h itii değeri şğıdkilerde hgisidir? " A) B) C) " 7. > c m H itii değeri şğıdkilerde hgisidir? D) E) Limit Yoktur. A) B) C) D) E). " 7 itii değeri kçtır? A) B) C) D) E) " 8. f 7 p itii değeri şğıdkilerde hgisidir? A) B) C) D) E) 7

132 9. " itii değeri şğıdkilerde. hgisidir? A) B) C) D) E) o Şekilde f() foksiouu grfiği verilmiştir. Bu göre;. f ( ) l^ h foksiou verilior. içi f() itii eşitii buluuz. A) B) C) D) E) I. f ( ) IV. f ( ) " " II. f ( ) " III. f( ) " V. f ( ) " VI. " f ( ) öermeleride kç tesi doğrudur? A) B) C) D) E) Ç. o f() Şekilde f() foksiouu grfiği verilmiştir. Bu göre; I. f ( ) " IV. f( ) " II. f ( ) V. f( ) " " III. f ( ) VI. f ( ) " " ifdeleride hgileri doğrudur? A) II, III ve IV B) I, II ve IV C) III, IV, V ve VI. o f() Şekilde f() foksiouu grfiği verilmiştir. Bu göre; I. f( ) IV. " " f ( ) II. III. V. " f ( ) VI. " f ( ) f ( ) " ( ) f " ifdeleride hgileri doğrudur? A) II, IV ve V B) II, III ve VI C) III, V ve VI D) I, II ve IV E) I, IV ve VI D) I, III, V ve IV E) I, II, IV ve V 8. C. A. E. B. B 6. A 7. D 8. A 9. A. C. C. E. E

133 Trigoometrik Limitler KONU TESTİ. sec " A) B) itii değeri kçtır? C) D) E) 6. t itii değeri kçtır? cot " A) B) C) D) E) cos. itii değeri kçtır? si " A) B) C) D) E) 7. " si cos itii değeri kçtır? si A) B) C) D) E) si. itii değeri kçtır? cos " 6 A) B) C) D) E) 6 8. cot itii değeri kçtır? si " A) B) C) D) ^ h E) ^ h cos. si " 6 hgisidir? itii değeri şğıdkilerde A) B) C) D) E) " c m 9. f cos si p itii değeri şğıdkiler cos de hgisidir? A) B) C) D) E) si. f t p itii değeri şğıdkilerde " si hgisidir? A) B) C) D) E) cos. itii değeri şğıdkilerde " cos si hgisidir? A) B) C) D) E) 9

134 . itii değeri şğıdkilerde " cos hgisidir? A) B) C) D) E) t. " cos itii değeri şğıdkilerde hgisir? A) B) C) D) E). " c m cos si itii değeri kçtır? 6. " c m hgisidir? cos si itii değeri şğıdkilerde A) B) C) D) E) A) B) C) D) E). X " t cot itii değeri kçtır? A) B) C) D) E) si cos 7. toplmıı değeri şğıdkilerde cos si " hgisir? A) B) C) D) E) Z ] cos, >. f ( ) [ ] cot, G \ foksiouu oktsıd iti olduğu göre kçtır? A) B) C) D) E) 8. rct rc cot toplmıı değeri " " şğıdkilerde hgisir? A) B) C) D) E). E. D. A. A. A 6. B 7. A 8. D 9. C. B. A. E. B. D. E 6. D 7. A 8. B

135 Bileşke Foksiolrı Limiti ve Limit Deklemleri KONU TESTİ. Gerçel sılr kümeside tımlı f foksiou içi f ( ) ve f ( ) dir. " " f^ h Bu göre itii değeri kçtır? " f ^ h 6 A) B) C) D) E) Z ] cot, < ]. fr : " R, f( ) [ t, < < ] ], $ \ cos si foksiouu şğıdki oktlrı hgiside iti vrdır? A) B) C) D) 9 E), >, >. f ( ) * g( ) *, <, < foksiou verilior. Bu göre ( fog)( ) itii değeri kçtır? " A) B) C) D) E) 6. olduğu göre kçtır? " A) B) C) D) E). o o f g Şekilde f ve g foksiolrıı grfiği verilmiştir. Bu göre ( fog)( ) itii değeri kçtır? " A) B) C) D) E) 7. f ( ) * l, < e e k, H e foksiouu e oktsıd iti olduğu göre k ı lbileceği değerler toplmı kçtır? A) B) C) D) E) Z 6 m ], >. f ( ) [ 6 ], G \ foksiouu oktsıd iti olduğu göre m kçtır? 8. f ( ) foksiou içi ( fof)( ) ifdesii " eşiti şğıdkilerde hgisidir? A) 7 B) C) D) E) A) B) C) D) E)

136 9. f: R R, f() foksiou içi f ( ) f( ) " itii değeri şğıdkilerde hgisidir? A) B) C) D) E) 8 6. f() g() o o Şekilde f() ve g() foksiouu grfikleri verilmiştir. Bu göre ^gofh^h ^fogh^h toplmıı " " eşiti şğıdkilerde hgisidir?. f: R {} R foksiou f ( ) tımlıor. biçimide A) B) C) D) E) Bu göre ^ fof h^ h ifdesii değeri şğıdki " lerde hgisidir? A) B) C) 8 D) 6 E) Ç 6, >. f ( ) *, G, < g ( ) *, H. o f() o g() foksiolrı verilior. Bu göre ^ gofh^h itii değeri kçtır? " A) 6 B) C) D) E) Şekilde f() ve g() foksiolrıı grfikleri verilmiştir. Bu göre; I. ^ fogh^h III. gof " " ^ h^ h II. ^ gofh^h IV. ^ fog h^ h " " ifdeleride hgileri doğrudur?. f( ) ve g( ) içi ^ fog h^h itii değeri kçtır? " A) II ve III B) I, III ve IV C) I, II ve IV D) II, III ve IV E) I ve IV A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E). B. B. D. A. B 6. E 7. E 8. A 9. C. B. D. D. B. C

137 / Belirsizliği KONU TESTİ. itii değeri şğıdkilerde " 9 hgisidir? 7 A) B) C) D) E) " şğıdkilerde hgisie eşittir? A) B) C) D) E). itii değeri kçtır? " A) B) C) D) E) ^ h 7. itii değeri kçtır? " ^ h A) B) C) D) 6 6 E). " itii değeri şğıdkilerde hgisidir? 8. i " içi iti kçtır? A) B) C) D) E) A) B) C) D) 8 E) 6 7. itii değeri kçtır? " 7 A) B) C) D) 6 E) 9. f p itii değeri şğıdkilerde " hgisidir? A) B) C) D) E) ^ h. " ^ h 8 itii değeri kçtır? A) B) 6 C) 8 D) E) 6. iti şğıdkilerde hgisie eşitir? " A) B) C) D) E)

138 . itii değeri kçtır? " A) B) C) D) E). " hgisidir? itii değeri şğıdkilerde A) B) C) D) E) 6. itii değeri şğıdkilerde " hgisidir? A) B) C) D) E) 6. " A) B) itii değeri kçtır? C) D) E) ^ h. itii değeri kçtır? " A) B) C) 6 D) 9 E) " itii değeri şğıdkilerde hgisidir? A) B) C) D) E) itii değeri şğıdkilerde hgisi b. " b b dir? b b b A) B) C) D) b E) b 8. u" u u A) B) itii değeri kçtır? C) D) E). B. E. C. A. C 6. C 7. C 8. A 9. B. B. C. B. D. A. E 6. B 7. C 8. C

139 / Belirsizliği KONU TESTİ. " 8 itii değeri şğıdkilerde hgisi dir? A) 7 B) 6 C) D) 6 E) 6. f ( ) g^f( ) h g() olduğu göre itii değeri " kçtır? A) B) C) D) E). itii değeri kçtır? " 9 9 A) B) C) D) 6 6 E) ^ h 7. h 8 " ^ A) B) 7 itii değeri kçtır? C) D) 7 E). " itii değeri kçtır? A) B) C) D) E) 8 8. " itii değeri kçtır? A) B) C) D) 8 E) 6 ^ h. " ^ 8h A) B) itii değeri kçtır? C) D) 7 E) 8 9. > H " itii değeri şğıdkilerde hgisidir? ^ hh. h h " itii eşiti şğıdkilerde A) B) C) 6 D) E) hgisidir? A) B) h C) D) E)

140 Ç 7 ^... h. " ^... h kçtır? itii değeri 6. " hgisidir? itii değeri şğıdkilerde A) B) 6 C) D) E) 6 A) B) C) D) E) 9. c " 9 m itii değeri şğıdkiler de hgisidir? A) B) C) D) E). itii eşiti şğıdkilerde " 9 hgisidir? A) 6 B) C) D) E) 6 ^ h 7. itii değeri kçtır? " A) 8 B) C) 7 D) 8 E) itii değeri kçtır? " A) B) C) D) 6 E). " itii değeri şğıdkilerde hgisidir? A) B) C) D) E) Ç " A) itii değeri kçtır? B) C) D) 6 E) 6 6. E. B. E. A. E 6. B 7. C 8. C 9. A. B. A. C. C. B. E 6. B 7. D

141 Trigoometrik Foksiolrd / Belirsizliği KONU TESTİ. itii değeri kçtır? si " A) B) C) D) E) si t 6. itii değeri kçtır? " A) B) C) D) E). si 6 itii değeri kçtır? si " A) B) C) D) E) t^ 6h 7. > H itii değeri kçtır? " si ^ h A) B) C) D) E). t itii değeri kçtır? X" A) B) C) D) E) si t 8. itii değeri şğıdkilerde t si " hgisidir? A) B) C) D) E) si. t " itii değeri şğıdkilerde hgisidir? t si 9. f p itii değeri kçtır? " A) B) C) D) 6 E) 8 A) B) C) D) E) t. c m itii değeri kçtır? " si A) B) C) D) E) 6 cos si. itii değeri şğıdkilerde t " hgisidir? A) B) C) D) E) 7

142 . ^ h cosec ^ h itii değeri şğıdkiler " de hgisidir? A) B) C) D) E). itii değeri kçtır? " t ^ h A) B) C) D) E) cos. " itii değeri kçtır? cos 6. itii değeri kçtır? " A) B) C) D) E) 8 A) B) C) D) E) Ç si. " t A) B) itii değeri kçtır? C) 6 D) 6 E) 6 si 7. cos " hgisidir? itii değeri şğıdkilerde A) B) C) D) E) Ç 9 si. " itii değeri şğıdkilerde hgisidir? A) B) C) D) E) 8. cos si " itii değeri şğıdkilerde hgisidir? A) B) C) D) E) 8. D. C. D. B. C 6. E 7. C 8. A 9. D. E. B. B. C. A. A 6. A 7. D 8. D

143 Trigoometrik Foksiolrd / Belirsizliği KONU TESTİ. si ^ h itii değeri kçtır? " A) B) C) D) E). itii değeri kçtır? si " A) B) C) D) E) si. t " hgisidir? itii değeri şğıdkilerde 6. itii değeri şğıdkilerde " si ^ h hgisidir? A) B) C) D) E) A) B) C) D) E) si t. c m itii değeri kçtır? t si " A) B) C) D) E) 7. si " itii değeri kçtır? A) B) C) D) E). cos " itii değeri şğıdkilerde hgisi 8. itii değeri kçtır? " 8 si ^ h dir? A) B) C) D) E) A) B) C) D) E) 9

144 9. si^ h itii değeri kçtır? " ^ h cos^ h A) B) C) D) E). " itii değeri şğıdkiler si de hgisidir? A) B) C) D) E) 8 6. c m " " m si m itii eşiti şğıdkilerde mcos hgisidir? A) B) C) D) E). cos itii değeri kçtır? " A) B) C) D) E) Ç si si 6. itii değeri kçtır? X" cos si A) 8 B) 6 C) D) E) si t. itii değeri şğıdkilerde cos " hgisidir? A) B) 8 C) 6 D) E) Ç si^ h. itii eşiti şğıdkilerde " cos cos hgisidir? A) si B) C) cos D) E) cos si cos si t 6. " si hgisidir? A) itii değeri şğıdkilerde B) C) D) E). A. E. A. D. B 6. B 7. C 8. A 9. E. C. E. B. C. B. A 6. C

145 Trigoometrik Foksiolrd / Belirsizliği KONU TESTİ 6. itii değeri kçtır? " cos A) B) C) D) E). itii değeri kçtır? cos " A) B) C) D) 6 8 E). si itii değeri kçtır? " A) B) C) D) 9 E) si si si 6. t " itii değeri kçtır? A) B) 9 C) 8 D) 7 E) 6. si c m itii değeri şğıdkilerde " hgisidir? 9 A) B) C) D) E) 9 cos 7. itii değeri şğıdkilerde cos si " hgisidir? A) B) C) D) E). " si ^ h hgisidir? itii değeri şğıdkilerde ^ h 8. si " itii değeri kçtır? A) B) C) D) E) A) 8 B) C) D) E)

146 t si 9. itii değeri şğıdkilerde cos " hgisidir? A) B) C) D) E). si cos ^h f p itii değeri kçtır? 6 " A) B) C) D) E) Ç. si itii değeri kçtır? " si A) B) C) D) E). si cot ; E itii değeri kçtır? si " A) B) C) D) E) Ç Ç. si " hgisidir? itii değeri şğıdkilerde cos cos. ; E itii değeri şğıdkilerde " si hgisidir? A) B) C) D) E) A) B) 6 C) D) E) t. " t A) B) itii değeri kçtır? C) D) E) 6. si( ) t( > H itii değeri kçtır? 6 6 " A) B) C) D) E). A. A. B. A. B 6. A 7. D 8. A 9. C. B. A. B. B. E. C 6. D

147 / Belirsizliği KONU TESTİ 7. " hgisidir? A) B) itii değeri şğıdkilerde C) D) E) ^ h ^ h. " ^ h ^ h itii değeri kçtır? A) B) C) D) E) 6 7. " itii değeri şğıdkilerde hgisidir? A) B) C) D) E) 6. itii değeri kçtır? " 9 A) B) C) D) 6 9 E) 9. f() ve g() foksiolrı verilior. ^ h 7. " itii değeri kçtır? Bu göre; I. f ( ) " g ( ) II. f ( ) g ( ) " III. ^ f( ) g( ) h " IV. f( ) g( ) 6 " ifdeleride hgileri doğrudur? A) I, II ve IV B) II ve IV C) II, III ve IV D) I, II ve III E) I ve II A) B) C) D) 9 8. itii değeri kçtır? " 6 9 A) B) C) D) E) E) ^ h. > H itii değeri " şğıdkilerde hgisidir? 9. itii değeri kçtır? " A) B) C) D) E) A) B) C) D) E)

148 . rcsic m itii değeri şğıdkilerde " hgisidir? A) B) C) 6 D) E) 6. A) B) " itii değeri kçtır? C) D) E). " hgisidir? A) B) itii değeri şğıdkilerde C) D) E) Ç 6 f^ h. f() olduğu göre " f ^ h itii değeri şğıdkilerde hgisidir? A) 6 B) 8 C) D) E). 9 " A) B) C) D) itii değeri kçtır? E) 6. > H itii değeri " kçtır? A) B) C) D) E). " itii değeri şğıdkiler de hgisidir? A) B) C) D) E) " A) B) itii değeri kçtır? C) 9 D) E) 9. B. B. D. A. D 6. B 7. D 8. D 9. A. A. C. A. C. B. A 6. B 7. A

149 / ve Belirsizliği KONU TESTİ 8. " ^ h itii değeri şğıdkilerde hgisidir? A) B) C) D) E) 6. Ç 7... " itii değeri şğıdkilerde hgisidir? A) B) C) D) E) 8 6. > H ifdesii değeri şğıd " kilerde hgisidir? 7. " şğıdkilerde hgisidir? itii değeri A) B) C) D) E) A) B) C) D) E) 7 ^ h ^ h. " ^ h ^ h 8 itii değeri kçtır? A) B) C) 8 D) 6 E) 8. " 9 hgisidir? itii değeri şğıdkilerde A) B) C) D) E). f ( ) verilior. ve g ( ) foksiolrı f () g () Bu göre ifdesii değeri kçtır? " A) B) C) D) E) 9. f ( ) foksiou verilior. f ( ) mve f( ) olduğu göre m " " kçtır? A) B) C) D) E). C ^, h P^, h itii değeri kçtır? " P ^, h C^, h A) B) C) D) E) 6. > H " e ifdesii eşiti şğıdkilerde hgisidir? A) B) C) D) E)

150 . itii değeri kçtır? " A) B) C) D) E) ". ^ 6 h itii değeri şğıdkilerde hgisidir? A) B) C) D) E). 6 6 itii soucu " kçtır? A) B) C) D) E) 6. c m itii değeri şğıdkilerde hgisidir? " A) B) C) D) E) Ç 8.! itii değeri kçtır? "! A) B) C) D) E) 7. f ( ) iti kçtır? A) B) foksiouu içi C) D) E). " 8 itii değeri kçtır? A) B) C) D) E) 8. f() log ( log ( ) olduğu göre f ( ) ifdesii eşiti şğıdkilerde " hgisidir? A) B) C) D) E) 6. B. B. A. C. B 6. D 7. E 8. A 9. E. B. B. B. E. E. E 6. A 7. B 8. B

151 / ve Belirsizliği KONU TESTİ 9. ^ h ^ h itii değeri şğıdkiler " ^ h ^ h 6. " 6 itii değeri şğıdkiler de hgisidir? de hgisidir? A) 6 B) 8 C) D) E) A) B) C) D) E). " e e itii değeri şğıdkilerde hgisidir? A) B) C) e D) E) " 7. 6 ^ h@ itii değeri şğıdkilerde hgisidir? A) B) C) D) E) itii değeri kçtır? "... ^ h A) B) C) D) 6 E) si 8. " hgisidir? A) B) C) itii değeri şğıdkilerde D) E) Ç 9. " itii değeri şğıdkilerde hgisidir? A) B) C) D) E) 9. " ifdesii eşiti şğıdkilerde hgisidir? A) B) C) D) E). " ifdesii eşiti şğıdkilerde hgisidir? A) B) C) D) E). " e hgisidir? A) B) itii değeri şğıdkilerde C) D) E) 7

152 . c m itii değeri kçtır? " A) B) C) D) E). D C Şekilde ABCD dik muk, [AC] [BD] AB ^h br, A B DC ^h br dir. Bu göre " AB DC AD itii değeri kçtır? A) B) C) D) E). 6 " 6 itie u döşümü pılırs şğıdki ifdelerde hgisi elde edilir? A) u u" u D) u u" u B) u" u E) u u" C) u" u 9 6. D C A(, ) o B(, ) Şekilde ve eğrilerii grfikleri ve ABCD dik muğu verilmiştir.. log 8 log itii değeri " > H A(ABCD) f() olduğu göre f ( ) kçtır? " 9 A) B) C) D) E) kçtır? A) B) C) D) E) Ç 7. B A(8, 8) o C. f p itii değeri şğıdkilerde " hgisidir? A) B) C) D) 6 E) 9 8 prbolüü A(8, 8) oktsıdki teğeti ekseii B oktsıd kesior. [AB] i ort dikmesi ise ekseii C oktsıd kesior. Bu göre OC " şğıdkilerde hgisidir? A) B) C) D) E) 8. C. E. B. E. C 6. C 7. D 8. C 9. A. B. E. D. D. E. B 6. E 7. D

153 ve Belirsizliği KONU TESTİ. > ^6 hh itii değeri kçtır? " A) B) C) D) 6 E) 8 6. ^ cot h itii değeri kçtır? " A) B) C) D) E). l^ h itii değeri kçtır? " A) B) C) D) 6 E) 9 7. ; tc m cotc me itii soucu kçtır? " 7 A) B) C) D) E) Ç. c si " hgisidir? A) B) m itii değeri şğıdkilerde C) D) E) 8. ^ h t itii değeri şğıdkilerde " hgisidir? A) B) C) D) E). ^9 hsecc m itii değeri kçtır? 9 " 9. ; ^ h logc me itii değeri kçtır? " A) log e B) log e C) loge A) 6 B) C) D) E) 9 D) loge E) log e. c t m itii değeri şğıdkilerde " hgisidir?. 6 si^ h@ itii değeri kçtır? " A) B) C) D) E) A) B) C) D) E) 9

154 . c m itii değeri şğıdkilerde " hgisidir? 6. c m itii değeri kçtır? " A) e B) e C) e D) e 6 E) A) B) C) e D) e E) e Ç. c m itii değeri kçtır? " 7. c m itii değeri şğıdkilerde " hgisidir? A) e B) e C) D) e E) e e A) B) e C) e D) e 6 E). ^ h itii değeri şğıdkilerde " hgisidir? 6 8. ^ si h itii değeri kçtır? " A) B) C) e D) e E) e A) B) C) e D) e E) e 9. c m itii değeri şğıdkilerde " hgisidir? A) B) e C) D) e E) e 9. f p itii değeri şğıdkiler " de hgisidir? A) B) C) e D) e E) e. c m itii değeri şğıdkilerde hgisidir? " A) B) e C) e D) e E) e 6 Ç. lc m itii değeri kçtır? " A) B) e C) e 8 D) E) 8. B. D. D. A. E 6. D 7. A 8. A 9. D. C. E. E. B. B. D 6. E 7. B 8. E 9. D. E

155 Belirsiz Limit Deklemleri ve Limitte Değişke Döüşümleri KONU TESTİ. " 9 göre kçtır? iti bir gerçek sı eşit olduğu. b R içi c m b olduğu göre " b toplmı kçtır? A) B) C) D) E) A) 6 B) 8 C) D) E) ^ 6h. olduğu göre b " b kçtır? A) B) C) D) E) 6. m ve reel sılrı içi m " olduğu göre m kçtır? A) B) C) D) E) " b. olduğu göre b toplmı kçtır? A) B) C) D) E) " iti bir reel sı eşit olduğu göre kçtır? A) B) C) D) E) 8. " m olduğu göre m kçtır? A) B) 8 C) 6 D) E). > log f p H olduğu göre kçtır? " A) 8 B) 6 C) D) E) 9 9. ^ m h olduğu göre m " kçtır? A) 7 B) 6 C) D) E)

156 . k, sıfırd frklı bir reel sı olmk üzere; ; me kolduğu göre m k toplmı " kçtır? A) B) C) D) E) ". ^ 6 m h eşitliğii sğl m ve reel sılrı içi m toplmı kçtır? (m, R ) A) B) C) D) E)., b R olmk üzere; b olduğu göre b çrpımı " kçtır? A) B) C) D) E). > b ^ h H olduğu göre b " toplmı kçtır? A) 6 B) C) D) E). itie t " 6 döüşümü ugulırs şğıdki itlerde hgisi elde edilir.? t " A) t t t B) t t" itii değeri kçtır? 6. f ( ) foksiou verilior. " içi f() A) 8 B) 6 C) D) E) t C) t t" t D) t t" t t E) t" t t Ç. c bm olduğu göre b " 7. itii değeri kçtır? " A) 6 B) C) D) E) 6 kçtır? A) B) C) D) E). A. E. A. A. C 6. B 7. C 8. C 9. B. C. D. B. B. D. C 6. B 7. A

157 Süreklilik KONU TESTİ. f ( ) ^ h^ h foksiouu sürekli olduğu e geiş rlık şğıdkilerde hgisidir? 6. f() A) G G B) G G C) G < D) G < E) G G o Şekilde f() foksiouu grfiği verilmiştir. Bu göre f() foksiou kç oktd süreksizdir?. f ( ) 7 foksiouu sürekli p A) B) C) D) E) kç te tmsısı vrdır? A) B) C) D) E). f ( ) oktd süreksizdir? foksiou kç 7. o f() A) B) C) D) E) Şekilde grfiği verile f() foksiou [, ] rlığıd kç tmsı değeri içi süreklidir? A) B) C) D) E). f ( ) foksiou kç oktd süreksizdir? 6 6 A) B) C) D) 6 E) 7 H m, 8. f ( ) * foksiou R içi, < log^6 h. f ( ) foksiouu sürekli p sürekli olduğu göre f() kçtır? A) B) 8 C) 6 D) E) tmsı değerlerii toplmı kçtır? A) 7 B) 8 C) 9 D) E)

158 Z, > ] 9. f ( ) [, ] b, < \ f() foksiou de süreklidir. Bu göre b şğıdkilerde hgisidir? A) B) C) D) E). f ( ) doğrudur? A) f( ) " C) f ( ) " foksiou içi şğıdkilerde hgisi B) f( ) " D) f ( ) " E) f foksiou d süreksizdir.. f() o Şekilde f() foksiouu grfiği verilmiştir. Bu göre f foksiou kç oktd iti olduğu hlde sürekli değildir? Z ], < 9. f ( ) [ olduğu göre ], G \ f() foksiouu süreksiz p kç te tmsısı vrdır? A) B) C) D) E) A) B) C) D) E).. f ( ) foksiou psisli oktd m süreksiz olduğu göre m R kçtır? A) B) C) D) E) o f() Şekilde f() foksiouu grfiği verilmiştir. Bu göre şğıdkilerde hgisi doğrudur? A) f(), de süreklidir.. [, ] rlığıd şğıdki foksiolrd hgisi sürekli değildir? A) f ( ) B) g ( ) C) h ( ) si D) k() cot E) m() e B) f( ) dır. " C) f(), de süreklidir. D) f( ) dır. " E) f ( ) dir. ". E. D. C. D. E 6. D 7. B 8. A 9. A. C. A. D. E. B. E

159 Süreklilik KONU TESTİ. f ( ) foksiouu sürekli olduğu e geiş rlık şğıdkilerde hgisidir? A) [, ] B) (, ] C) (, ] D) [, ] E) [, ]. f() o Şekilde f() foksiouu grfiği verilmiştir. [, ] rlığıdki kç tmsı değeri içi f() i iti olduğu hlde sürekli değildir?. f() A) B) C) D) E) o A B C D E Şekilde f() foksiouu grfiği verilmiştir. 6. Şekilde f() foksiouu grfiği verilmiştir. Bu göre f() foksiou A, B, C, D, E oktlrıı hgiside iti olduğu hlde sürekli değildir? A) A B) B C) C D) D E) E Bu göre f() foksiou şğıdki rlıklrı hgiside sürekli değildir? m o b c A) (, b) B) [, b) C) (b, c) D) (b, c] E) [, c] Z 6 m, < ]. f ( ) [ 8, ], > \ foksiou psisli oktd sürekli olduğu göre m kçtır? A) B) C) D) E) Z ], > 7. f ( ) [ m, ] \ m, < f foksiou psisli oktd sürekli olduğu göre m kçtır? A) B) C) D) E). f: R R foksiou Z ],! f ( ) [ 8 ], \ biçimide tımlıor. f foksiou psisli oktd sürekli ise kçtır? A) B) C) D) E) f ( ) foksiou R içi sürekli m olduğu göre m içi şğıdkilerde hgisi doğrudur? A) m < B) m < C) m > D) m > E) m <

160 Z b, < ] 9. fr : " R, f( ) [, ] b, > \ foksiou sürekli bir foksio olduğu göre (, b) ikilisi şğıdkilerde hgisidir? A) (, ) B) (, ) C) (, ) D) (, ) E) (, ). f ( ) * m, <, H foksiou R içi sürekli olduğu göre m kçtır? A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) Z ], G. f ( ) [ m, < < ], \ H foksiou R içi sürekli olduğu göre m şğıdkilerde hgisidir? A) B) C) D) E). f ( ) *, >, G foksiouu süreksiz p tmsılrıı toplmı kçtır? A) B) C) D) 6 E) 7 Z m ], H. f ( ) [ ], < \ m foksiouu R içi sürekli olmsıı sğl m değerlerii çrpımı kçtır? Z ], G. f ( ) [ m, < < ] \, H foksiou R içi sürekli olduğu göre m kçtır? A) B) C) D) E) A) 6 B) C) D) E) 9 Ç 6.. f ( ) m 9 foksiou R içi sürekli olduğu göre m şğıdkilerde hgisi olmz? A) B) C) D) E) 6 o f() Şekilde f() foksiouu grfiği verilmiştir. Bu göre şğıdki foksiolrd hgisi psisli oktd süreksizdir? A) f ( ) D) f ( ) E) B) f ( ) C) f ( ) f ( ) 6. B. A. D. B. B 6. E 7. E 8. B 9. A. A. A. E. D. B. A 6. C

161 Süreklilik KONU TESTİ. f ( ) foksiouu süreksiz p değerlerii çrpımı kçtır? A) B) C) D) E). f ( ) *, t,! foksiou psisli oktd sürekli olduğu göre kçtır? A) 9 B) C) D) E) 9 m, >. f ( ) * m, G foksiou psisli oktd sürekli olduğu göre kçtır? A) B) C) D) E) 6. Gerçek sılr kümeside tımlı f ve g foksiolrı içi f ( ), f ( ) ve f( ) tür. " " (f g) foksiou de sürekli olduğu göre, " " g ( ): g ( ): g ( ) orı şğıdkilerde hgisie eşittir?. f() log (9 ) foksiouu sürekli olduğu kç tmsı değeri vrdır? A) : : B) : : 6 C) : : D) 6 : : E) : :6 A) B) C) D) E) Ç 6 7. f ( ) 8 foksiou sdece bir. f() ve g() foksiolrı psisli oktd süreklidir. oktd süreksiz olduğu göre kçtır? A) B) C) D) E) Bu göre; I. f() g() IV. f ( ) g ( ) II. f ( ) g ( ) V. f ( ) g ( ) g ( ) III. f ( ) VI. f() g() psisli oktd ukrıdkilerde hgileri kesilikle süreklidir? A) I, II ve VI B) I, III ve IV C) III, IV ve V D) II ve VI E) I, V ve VI Z b, < ] 8. f ( ) [, G G ] b, > \ foksiou R içi sürekli olduğu göre f( ) f() kçtır? A) 8 B) 6 C) D) E) 7

162 9. Şekilde f foksiouu grfiği verilmiştir. (f g) foksiou de sürekli olduğu göre g foksiouu grfiği şğıdkilerde hgisi olbilir? o A) B) f. f() o Şekilde f() foksiouu grfiği verilmiştir. f ( ) Bu göre h ( ) 9 biçimide tıml h() foksiou kç oktd süreksizidr? A) B) C) D) E) 6 o o C) D) o E) o. f() o o Şekilde [, ] rlığıd tımlı f() foksiouu grfiği verilmiştir. Bu göre ı rlıkt tımlı g ( ) f ( ). f ( ) k 6 k foksiou verilior. foksiou kç oktd sürekli değildir? A) B) C) D) E) f foksiou R içi sürekli olduğu göre m hgi rlıkt değer lır? A) (, ) B) (, ) C) (, ) D) (, ) E) (,) Ç 7. m deklemii (, ) çık rlığıd e z bir reel kökü olduğu bilidiğie göre, k şğıdkilerde hgisi olbilir? A) B) C) D) E). f() foksiouu grfiği şğıdki rlıklrı hgiside ekseii keser? A) (, ) B) (, ) C) (, ) D) (, ) E) (, ) 8. A. B. E. E. A 6. D 7. A 8. B 9. B. C. C. E. D. A

163 Dizilerde Limit KONU TESTİ. ^ h c m dizisii iti kçtır? A) B) C) D) E) 6. Geel terimi, P (, ) ol dizii iti edir? C (, ) A) B) C) 9 D) E). ^ h c m dizisii iti şğıdkilerde hgisidir? 7. ^ b h c m dizisii iti 6 olduğu göre b dizisii iti kçtır? A) B) C) D) E) A) B) C) D) E) 6. ^ h f p dizisii iti şğıdkilerde hgisidir? A) B) C) D) 6 E) 9 8. ^ ve b h f p ^ h f p olduğu göre ( b ) ifdesii değeri şğıdkilerde hgisidir? 7 A) B) C) D) E). Geel terimi şğıdkilerde hgisidir? 6 c m ol dizii iti 9. si cos ^ h c m dizisii iti edir? A) B) C) D) E) A) B) C) e D) e E) e. ( ) ve (b ) dizileri içi ( ) ve (b ) 9 verilior. b Bu göre f p ^ h dizisii iti kçtır? A) B) C) 6 D) E). " itii değeri kçtır? cot 6 A) B) C) D) E) 6 9

164 . Geel terimi; c m c m... c m ol dizii... iti kçtır? A) B) C) D) E). Geel terimi / ol dizii iti k k k şğıdkilerde hgisidir? A) B) C) D) E) 6 Ç 8. ^ h f p dizisii iti şğıdkilerde hgisidir? A) B) C) D) E) 6. Negtif tımlı () dizisi içi ^ h ise ( ) dizisii iti kçtır? A) B) C) D) E)!!. ^ h ^ h ^ h f p dizisii iti kçtır? ^ h! ^ h! A) 9 B) C) D) E) Geel terimi... ^ h 7 dizii iti kçtır? A) B) C) D) E) 8 6 ol. c ^ hsi m itii değeri şğıdkilerde " 8 hgisidir? 8. Geel terimi terim toplmı (S) dir. ol geometrik dizii ilk A) B) C) D) E) 8 Bu göre içi S değeri kçtır? A) B) C) D) E) 6 6. D. E. E. E. D 6. B 7. C 8. B 9. A. C. A. B. E. C. E 6. B 7. C 8. D

165 Dizilerde Limit KONU TESTİ 6. İkiici terimi 6 ve üçücü terimi ol geometrik dizii terimleri toplmı kçtır? 6. / k toplmıı değeri kçtır? k A) B) 6 C) 8 D) E) 6 A) B) C) D) E). / c m ifdesii değeri şğıdkilerde hgisidir? A) B) C) D) E) / c m ifdesii değeri kçtır? A) 9 6 B) C) 9 D) E). / c m ifdesii değeri kçtır? A) B) C) D) 8 6 E) k 8. < < < olmk üzere k 9 / c m olduğu göre orı şğıdkiler de hgisi olbilir? A) B) C) D) E) 6. / c m toplmıı değeri kçtır? A) B) C) D) E) Ç 9 9. < olmk üzere / c m 9 olduğu göre kçtır? A) B) C) D) E). / ifdesii değeri kçtır? k k A) 6 B) C) D) 6 E). / ifdesii değeri kçtır? A) 6 B) C) D) 6 E) 6

166 . k ^h / toplmıı değeri kçtır? k k A) D) 6 B) C) 6 E) c m toplmıı içi 9 7 değeri şğıdkilerde hgisidir? A) B) C) D) E) 9 ^ h 6. % olduğu göre k kçtır? k k. / ^, h ifdesii değeri şğıdkilerde k hgisidir? A) B) C) D) E) A) 6 B) C) D) 6 E) 7. / e ifdesii değeri kçtır? A) e e B) e C) e. / f p ifdesii değeri kçtır? D) e e E) e e A) B) C) D) E) 8. / ifdesii değeri şğıdkilerde 6 hgisidir? A) B) C) D) E). / ^^, h ^, h h ifdesii değeri şğıdkilerde hgisidir? A) B) C) D) E) k 9. / ifdesii değeri şğıdkilerde ( k )! k hgisie eşittir? A) B) C) D) 6 E) 6. D. A. C. E. C 6. A 7. A 8. B 9. E. B. A. C. E. E. C 6. C 7. A 8. C 9. A

167 Dizilerde Limit KONU TESTİ 7. c m c m c m... toplmı şğıdkilerde h gisie eşittir? A) B) 9 C) D) 6 E) 9. Beşlik tbdki, devirli odlık sısıı oluk tbdki krşılığı kçtır? A) B) 7 9 C) D) E) c m. % 6 ifdesii değeri şğıdkilerde hgisidir? k k 6. / ^ h ^ h ifdesii değeri şğıdkilerde k hgisidir? A) B) C) D) E) A) 6 B) C) 8 D) E) / c m ifdesii değeri şğıdkilerde 8 hgisidir? 9 7 A) B) C) D) E) m m ükseklikte düşe bir top er ile her temsıd düştüğü üksekliği rısı kdr zıplmktdır. Bu göre topu dur kdr düşe olrk ldığı ol kç m dir? A) B) C) D) 6 E) 8. Yrıçpı 6 br ol direi içie rıçpı bir öcekii ü olck şekilde sosuz çoklukt direler çizilior. Bu göre oluş direleri çevreleri toplmı kç br olur? A) B) 8 C) D) E) 6 Ç ifdesii değeri şğıdkilerde hgisidir? 7 A) B) C) D) E) 6 8 6

168 9.... Şekilde uzu kerlrı ı kıs kerlrı bir öceki dikdörtgei rısı olck şekilde sosuz te dikdörtge çizilior. Bu göre sosuz det dikdörtgei llrı toplmı kçtır? A) 8 B) 6 C) D) E). Çevresi 6 cm ol bir krei içie, köşeleri bu krei üzeride ve krei kerıı orıd böle bir kre çizilior. Aı işlem içteki kre içi tekrrlrk ei bir kre elde edilior. Bu işlem sosuz kdr devm edilior. Bu göre oluş tüm kreleri llrı toplm kç cm dir? A) 6 B) 79 C) 8 D) 6 E) 76. D 6 C. / c m toplmı şğıdkilerde hgisie eşittir? A E G h F h h br B A) 6 6 B) C) 7 D) E) 9. metre boud dikile bir fidı ilk ıl, bouu ü kdr uzdığı görülmüştür. Bud sorki her ıl fidı bou bir öceki uzm miktrıı ü kdr rtıor. Bu göre dikile fidı bou e çok kç m olur? A) B) 9 C) 6 D) E). & ABC dik üçgeide BC br m(abc) 6 dir. ABC üçgeide B köşeside h, ADB üçgeide D köşeside h, AFD üçgeide F köşeside h ükseklikleri elde edilior. Bu işlem sosuz kdr devm edildiğide elde edile ükseklikleri toplmı kç br olur? A) 6 B) 6 8 C) 8 6 D) 8 E) 6 Ç Ç. / ifdesii değeri şğıdkilerde hgisidir? 7 A) B) C) D) E) Bir ker uzuluğu br ol bir krei iç teğet çemberi çizilior. Dh sor köşeleri bu çember üzeride ol bir kre çizilior. Tekrr bu krei iç teğet çemberi ve köşeleri bu çember üzeride ol kre çizilerek bu çizimlere sosuz kdr devm edior. Bu göre elde edile sosuz direi llrı toplmı şğıdkilerde hgisidir? A) B) C) D) E) 6. D. A. B. E. B 6. B 7. D 8. B 9. B. A. C. B. B. E. B

169 Sizi İçi Çözdüklerimiz Ç Yklşım değer tblosud değerlerii küçülerek d büüerek hgi sı klştığıı doğru tespit etmeliiz. Burd f ( ), f ( ), f( ), ve f( ) oktur. " " " O hlde, III ve IV doğrudur. Ç 6 Grfiğer göre I. ^fogh^h fg ^ ^ hh & f^ h tür. " " " II. ^gofh^h g^f^ hh & g^ h dir. " " " III. ^gofh^h gf ^ ^hh & g ^ h dur. " " " IV. ^fogh^h fg ^ ^ hh & f^ h dir. " " " Ç f ( ) " " " b ^b h f ( ) b b b b " " " b b f ( ) b ^b h b b " " " f ( ) " b " b " b^ h^ h buluur. b Dolısıl I ve IV doğrudur. Ç > e H > e H e " " buluur. Dolısıl I, II ve IV doğrudur. Ç 7 ^... h "... ^ h ^ h ^ h... ^ h & " ^ h ^ h... ^ h 9 8 ^ h6 ^ h ^ h... ^... h@ & "... ^ h6 ^ h ^ h ^... h@ buluur. 6 Ç e e l e l e buluur. " " Ç Grfiğer göre f ( ),, f ( ) f ( ), " " " " f ( ) f ( ) f, f ( ) ^ h " " Dolısıl I, IV ve VI doğrudur. Ç ^ h ^8h k " " 8 ^8 h k 8 8 & " 8 ^8 h k & " 8 ^8 h k 8 8 buluur. Ç 9 si si si f p f p c m buluur. " " " 6

170 Ç Ç si ^ sih^ si si h cos si " " ^ sih^ si si h & si si " ^ h^ h si c m si c m & si buluur. " c m si si si ^ h ^ h " " ^ h^ h " si ; ^ he " > Ç Ç si^ h si^ h " cos cos " sic m sic m si^ h & " " sic m sic m f () si si^f ^ hh & buluur. " si si sic f ^ hm cos cos si si si " si " si " si buluur. Ç 6 f^ h ^ h ^ h ^ h " f^ h " ^ h ^h ^ h buluur. "... Ç si t si t ^ cos h " cos " ^ cosh^ cos h si t ^ cos h & " si si t & ; ^ cos he " si si buluur. Ç 7... " " ^ h & " buluur. " ^ h > H Ç si si si > si si H " " " si si si > H > H " si " si > 8 buluur. Ç 8 & > H > H f p " " " ^ h & > H buluur. " ^ h^ h 66

171 Ç 9 ifdesi de dh çbuk büüdüğü içi dur. Ç " Ç lc m lc m l> c m H " " " 8 8 " l e l e 8l e 8 8 buluur. B b o d c A(8, 8) b c C () d 8 Ç " " 6 t döüşümü ugulırs içi t dir. Burd p prbol deklemide P tür. Burd d teğet doğrusuu deklemi P( ) dır. 8 ( 8 8 ) olur Burd B oktsı içi dır. B(, ) dır. AC b c ( 8 c) ( 8) & b c 6 c 6 c b & c 6 b olduğud OC dir. E OC " " 6 ( 6 6 6) buluur. " 6 Bu soruu türev öğredikte sor dh rht çözebilirsiiz. b 6 t ( t )( t ) t " t t t " t ( t) t " ( t ) ( t t ) ( t ) 6 buluur. t ( t) Ç psisli oktd f() br dir. Dolısıl ifdesi içi tımlı olmdığıd bu oktd sürekli f ( ) değildir. f ( ) Ç 6 ifdesi sdece bir oktd süreksiz ise 8 "h() 8 " ifdeside dır. b c ( 8) ( ) 66 buluur. Ç ( ) t " " cot " " t; E t; ( ) E f() olsu burd, f ( ) buluur. " t; f ( ) E Ç c m ; E " " e" e e e e buluur. Ç 7 m deklemii (, ) rlığıd e z bir reel kökü vrs bu rlıkt ekseii e z bir oktd keser. Yi, f() f() < dır. Burd f( ) m m f( ) m m f() f() ( m) ( m) < O hlde < m < olmlıdır. Dolısıl k buluur. 67

172 Ç 8 ( ) olsu [ ] ; 6 > ( ) ( ) egtif tımlı olduğud dir. / Ç 9 c m c m c m... 9 & c m> c m c m... H 9 & 9 & 9 & 7 9 & & dir. / Ç... h h... c m c m c m ;... E buluur. 6 Frklı çözümler içi sf i iceleiiz. Ç Ç > c m... H > c m c m... H > c m... H > c m... H buluur. 6 Birici direi rıçpı r İkici direi rıçpı r Üçücü direi rıçpı r f p Allrı toplmı A A c m f p > f p H... A c m... A c... m buluur. 68