DERS 3. Matrislerde İşlemler, Ters Matris

Transkript

1 DES Mrislerde İşleler, Ters Mris Mrisler Mrislerle ilgili eel ılrııı ıslı e sır ve e süu oluşurk içide diiliş e sıı oluşurduğu lo ir ris deir ir ris geellikle şğıdki gii göserilir ve [ ij ], i ; j risii oluşur sılrd her irie ı ir girdisi deir risii e girdisi, sır ve süu oluşurk içide düeleişir risii i ii sırıd ve j ii süuud ulu ij girdisie ı i-j girdisi deir ifdesie risii üüklüğü, ve sılrı d risii oulrı deir Sdee ir sırd oluş ir rise sır risi, sdee ir süud oluş ir rise süu risi deir ir risi her ir sırı ir sır risi, her ir süuu d ir süu risi olrk düşüüleilir İki Mrisi Eşiliği üüklükleri ve krşılıklı girdileri eşi ol risler iririe eşiir şk ir ifde ile risleri içi [ ij ], i ; j ve [ ij ], i r ; j s r, s ve her i,, ; j,, içi ij ij

2 Ders İki risi eşi olilesi içi u risleri üüklüklerii ı olsı gerekir üüklükleri frklı ol risler eşi ol üüklükleri eşi ol iki risi krşılıklı girdileri iririe eşi ise o u iki ris eşiir Örek olsı içi, soldki risi - girdisi ol ile sğdki risi - girdisi ol - sılrı eşi ollı, i - ollıdır eer şekilde krşılıklı girdiler krşılşırılrk görülür ki,,, ve ollıdır Örek ve risleri, üüklükleri frklı olduğud,,,,, ve e olurs olsu sl eşi ollr İki Mrisi Toplı üüklükleri ı ol iki risi krşılıklı girdileri oplrk elde edile ı üüklükeki rise u iki risi oplı deir Örek d d üüklükleri frklı ol iki risi oplı ısıdır Mris oplıı irleşe ve değişe öellikleri vrdır:, ve C üüklükleri ı ol risler ise dır (C) ( ) C ve Örek ve ür, ve i değerlerii si uluu olsu u kdirde,,

3 Mrislerde İşleler, Ters Mris ir Mrisle ir Skleri Çrpıı Mrislerle irlike sılrd sö ederke, sı söüğü erie skler söüğüü kullk deir ir ris ile ir skleri çrpıı, risi her girdisii o sklerle çrpılsıl elde edile risir Örek s s s s s Örek şğıdki ris işlelerii ileii: Sıfır Mrisi Her girdisi sıfır ol rise sıfır risi deir Her üüklüke sıfır risi düşüüleilir Örek, ve risleri sırsıl,, ve sıfır risleridir Sıfır risi geellikle üük O hrfi ile göserilir üüklük vurgulk iseirse, O göserii kullılır Örek O, O M ir ris ve O oul ı üüklüke sıfır risi ise M O O M M dir Her risi sıfır skleri ile çrpıı, o risle ı üüklükeki sıfır risidir Örek

4 Ders ir Mrisi Toplsl Tersi ir M risii her girdisii işrei değişirilerek elde edile rise o risi oplsl ersi deir ve M i oplsl ersi -M ile göserilir Örek M risii oplsl ersi, M ür Örek M risii oplsl ersi, M dır Her ris M içi M (-M) O (-M) M olduğu çıkır rı, (-)M -M olduğu d şikârdır İki Mrisi Frkı ve ı üüklüke iki ris ise, ve i frkı - (-) olrk ılır şk ir deile, ı üüklüke iki risi frkı, o iki risi krşılıklı girdilerii frkı hesplrk uluur Örek ) ( ) ( Örek üüklükleri ı ol risleri frkı ısıdır

5 Mrislerde İşleler, Ters Mris İki Mrisi Çrpıı Öe ir sır risi ile ir süu risii çrpııı ılğı ı sıd girdie ship ol ir sır ile ir süuu çrpıı şöle ılır: [ ] M L Söle ifde edilirse, ı sıd girdie ship ol ir sır ile ir süuu çrpıı, o sır ve süuu krşılıklı girdileri çrpılrk elde edile çrpılrı oplı ol sıdır Örek [ ] ) ( ) ( Örek [ ] ) ( ) ( ) ( İki risi çrpııı ılrke, ir sır ile ir süuu çrpıı ııd rrlğı ir p ris ve ir p ris ( ı süu sısı ile i sır sısı ı) ise, ile i çrpıı; i-j girdisi ı i-ii sırı ile i j-ii süuuu çrpıı ol risir u çrpı ile göserilir [ ij ], i ; j p ve [ ij ], i p ; j ise, [ ij ], ij i j i j ip pj, i ; j şk ir lıl p ip i i p ve p pj p i ij i j risleri içi

6 Ders p ip i i p p pj p i ij i j j i ij i j ij i j i j ip pj, i ; j ve rislerii çrpıı i ılı olsı içi ı süu sısı ile i sır sısıı ı olsı gerekir Çükü, çrpııı i-j girdisi, ı i-ii sırı ile i j-ii süuuu çrpıı olrk ılkdır ı i-ii sırıd ı süu sısı kdr, i j-ii süuud d i sır sısı kdr girdi uluduğud u sılr eşi olölıdır ki çrpı ükü olsu Örek çrpıı ie ir ris verir uçrpıı - girdisi, soldki risi irii sırı ile sğdki risi irii süuuu çrpıı, i (-) dır ı çrpıı - girdisi, soldki risi ikii sırı ile sğdki risi irii süuuu çrpıı, i (-) dur Çrpıı ü girdileri hesplırs, elde edilir Örek şğıdki çrpıd verile girdileri doğruluğuu korol edii ve erleri oş ırkıl girdileri uluu 9 9 çrpııı ılı olsı içi risii süu sısı ile risii sır sısıı eşi olsı gerekir

7 Mrislerde İşleler, Ters Mris 9 Örek çrpıı ısıdır Çükü, soldki risi süuu, sğdkii sırı vrdır Mris çrpııı irleşe öelliği vrdır:, ve C şğıdki çrpı gerçekleşeek üüklüke risler ise, göserile eşilik geçerlidir ( C) ( ) C Mris çrpııı değişe öelliği okur: ol risler vrdır Örek ve risleri içi ve olup dır Mris çrpııı opl üeride dğıl öelliği vrdır:, ve C şğıdki işleler gerçekleşeek üüklüke risler ise, göserile eşilikler geçerlidir ( C) ( ) ( C ), ( ) C ( C) ( C) 9 ir Mrisi Devriği ir ris verildiğide, ı devriği ( d rspoesi) deile ve T ile göserile ris şöle ılır: her i ve j içi T i i-j girdisi, ı j-i girdisidir u ıd kol görüleileeği üere, T i i-ii sırı ı i-i süuu ve T i j-ii süuu ı j-ii sırıdır

8 Ders Örek T Örek T E geel içiile, T Devrik risle ilgili olrk şğıdki öellikler kol kılilir ( T ) T (s) T s ( T ) () T T T () T T T re Mrisler Sır sısı süu sısı eşi ol ir rise kre ris dı verilir ir kre risir u risi,,, girdilerie risi köşege girdileri deir köşege

9 Mrislerde İşleler, Ters Mris öşege girdilerii her iri, geri kl ü girdileri ol ir rise iri ris dı verilir üüklüğü ol iri ris I ile, üüklüğü e olduğu iliiors ve üüklüğe gödere pılsı gerekiors, iri ris I ile göserilir I iri risi öeli ir öelliğii kdedeli: Her ris M içi M I M I M re rislerle ilgili öeli ir öellik de şudur ir kre risi idirgeiş içiii sıfır sırı oks, o idirgeiş içi i iri risir şğıd, ir kre risi idirgeiş içilerii uluoru Örek ir re Mrisi Tersi ir ris ve I, iri ris olk üere ( - ) ( - ) I olk içide ir - risi vrs, u rise risii çrpısl ersi ve kıs ersi deir ir risi çrpısl ersi uluilir; k, vrs ekir köşege

10 Ders Örek risii ersi vr ıdır? şk ir deile olk içide ir vr ıdır? şğıd görülüor ki, öe ir ris okur Örek risii ersi vr ıdır? şk ir deile olk içide ir vr ıdır? Öeki örekeki gii ilerleeli ir risi çrpısl ersii ulurke ukrıd olduğu gii di ir dekle sisei çöei gereke İleride ir risi ersii ulk içi dh elverişli öeler göreeği Yukrıd, risii ersii ulurke sdee ( - ) I eşiliğii sğl ir - risi ulduğuu dikkâ eişsiidir uu eerli olduğu, i ( - ) I eşiliği sğlıors, ( - ) I eşiliğii de sğlğıı görek or değildir

11 Mrislerde İşleler, Ters Mris Mrisler ve Doğrusl Dekle Sseleri Şu kdr rislerle ilgili ü işleleri ılış uluuoru Dh öe, doğrusl dekle siselerii çöüüde risleri kullışık(ilveli ris) Şidi doğrusl dekle siseleri ile risler rsıd dh kı ir ilişki olduğuu göreeği: dekle siseii ksılrı ir ris, değişkeleri ir süu risi ve sğ rf sileri de ir süu risi oluşururlr: M, M, ol görüleileeği üere, (,,, ) sırlı -lisii ukrıdki sisei ir çöüü olsı içi gerek ve eer koşul, u sılrı oluşurduğu risii ris dekleii sğlsıdır risie sisei ksılr risi deir Sisei ilveli risii ksılr risi ile sğ rf sileri risii geirilesile elde edildiğie dikkâ edii Dekle sısı değişke sısı eşi ol ir doğrusl dekle siseii ksılr risi ir kre risir öle ir sisei ir ve lı ir çöüü olsı içi gerek ve eer koşul, sisei ilveli risii idirgeiş içiideki süu sısıı sıfırd frklı sır sısıd ir fl olsı, i hiç sıfır sırı ulusıdır ki, u, sisei ksılr risii idirgeiş içiii iri ris olsı dekir u duru ksılr risii ersii vr olsı d dekir ve çöüü ulusıd ers rise rlılilir Dekle sısı değişke sısı eşi ol ir doğrusl dekle sisei düşüeli, M, M, u sisee dek ol ris deklei dir Eğer risii ersi - vrs, sisei çöüü şöle uluur: ) ( ) ( I

12 Ders ur kdr pığıı göleleri ir eorede öeleeli: Teore ir kre ris ise, şğıdkiler iririe dekir ) ı ersi, -, vrdır ) dekleii ir ek çöüü vrdır ) ı idirgeiş içii iri ris, I, dir Dekle sısı değişke sısı eşi ol doğrusl dekle siselerii çöüüde ers ris kullılileeğii gördük ir kre risi ersi sıl uluur? Tersiir ir risi ersii ulk içi ukrıdki eorei ikii şıkkıd hrekele elde edile prik ir ol vrdır eriir ir kre ris ise, dekleii ir ek çöüü vrdır u çöüü Guss-Jord okee öei ile ulursk, [ ] ilveli risii idirgeiş içiii ullıı ı idirgeiş içii ile ı üüklükeki iri ris, I, olduğud, [ ] i idirgeiş içii [ I ] ir ve urd sğ rfki süuu dekleii ek çöüüdür [ ] L L [ I ] Şidi, ı ersi - ve - i j-ii süuu j, iri risi j-ii süuu j olsu u kdirde, j j olğıd, [ j ] ilveli risii idirgeiş içii [ I j ] olur u gölede hrekele, ve I ılrk elde edile üüklüğüdeki [ I ] risii idirgeiş içiii [ I - ] olduğu görülür Dolısıl, ı ersii ulk içi ve oul ı üüklükeki iri ris I ılrk elde edile [ I ] risi idirgeiş içii uluur [ I ] ı idirgeiş içii [ I - ] dir [ I ] L [ I ] L Örek risii ersii ukrıd çıkl öele ullı: [ I ] I

13 Mrislerde İşleler, Ters Mris Örek risii ersii ullı: [ ] I H pıp pdığııı görek içi - çrpııı hespliliri Örek dekle siseii ers ris öei ile çöeli u dekle siseii ksılr risi öeki öreke ersii ulduğuu risidir,,, ; Ç { (,, ) } I

14 Ders Örek risii ersii ullı: I I

15 Mrislerde İşleler, Ters Mris Örek dekle siseii ers ris öei ile çöeli u dekle siseii ksılr risii ersii öeki öreke uluşuk,,, ; Ç { (/,, /, -/) } Örek dekle siseii ksılr risi ı ersii ullı [ ] I

16 Ders ölee, elde edilir olduğud, ve souç olrk çöü küesi ol Ç { (,, ) } elde edilir Ters risle ilgili irkç öelliği liseleeli: I ersiir risir ve (I ) - I dir ir kre risi sırlrıd irii ü girdileri sıfır ise, o risi ersi okur ir kre risii sırlrıd ikisi ı ise, o risi ersi okur ve ersiir risler ise, de ersiir ve ( ) dir ersiir kre ris ise, T de ersiir ve ( T ) - ( - ) T dir Örek olduğu göre ı ullı i ersi olduğud verile risi ersii ulı eerlidir ] [ / / / / / / 9 ölee görüoru ki 9 dir

17 Mrislerde İşleler, Ters Mris 9 Proleler şğıdki işleleri pıı ) ) ) ç) d) e) [ ] şğıdki işleleri, C D risleri içi, eğer pılilior ise, gerçekleşirii ) C ) C D ) D T - C ç) () ()C d) C CC e) CD f) CD g) D ğ) D h) (C ) ı) T i) C T j) CD T k) D T C l) D T şğıdki ris dekleleride,, ve d i uluu ) d ) d şğıd verile ris ikililerii çrpııı iri ris olduğuu göleleerek u risleri iririi ersi olduğuu göserii ), ), ve risler; C, D ve süu risleri ise, şğıdki ris dekleleride i uluu (Gerekli ol ü ers risleri vrlığı kul edilior) ) C ) C ) D C

18 Ders şğıdki dekleleri, risleri ersii kullrk çöüü ) ) şğıdki dekle siselerii ers ris öei ile çöüü ) 9 ) Verile risi, vrs, ersii uluu ) ) ) ç) d) e) 9 9 şğıdki dekle siselerii ers ris öei ile çöüü, 9, 9 9 olduğu göre ı uluu ve olduğu göre çrpııı uluu