LİSE MATEMATİK ALAN EĞİTİMİ ÖABT 2015 ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ TESTİ ÖABT

Transkript

1 ÖABT 2015 Soruları yakalayan komisyon tarafından hazırlanmıştır. ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ TESTİ ÖABT LİSE MATEMATİK ALAN EĞİTİMİ Konu Anlatımı Özgün Sorular Ayrıntılı Çözümler Test Stratejileri Çıkmış Sorular

2 Komisyon ÖABT Lise Matematik Öğretmenliği Alan Eğitimi Konu Anlatımlı ISBN Kitapta yer alan bölümlerin tüm sorumluluğu yazarlarına aittir. Pegem Akademi Bu kitabın basım, yayın ve satış hakları Pegem Akademi Yay. Eğt. Dan. Hizm. Tic. Ltd. Şti.ne aittir. Anılan kuruluşun izni alınmadan kitabın tümü ya da bölümleri, kapak tasarımı; mekanik, elektronik, fotokopi, manyetik, kayıt ya da başka yöntemlerle çoğaltılamaz, basılamaz, dağıtılamaz. Bu kitap T.C. Kültür Bakanlığı bandrolü ile satılmaktadır. Okuyucularımızın bandrolü olmayan kitaplar hakkında yayınevimize bilgi vermesini ve bandrolsüz yayınları satın almamasını diliyoruz. 1.Baskı: Ocak 2015, Ankara Proje-Yayın Yönetmeni: Ayşegül Eroğlu Dizgi-Grafik Tasarım: Ayşe Nur Kutlu Kapak Tasarımı: Gürsel Avcı Baskı: Ayrıntı Basım Yayın ve Matbaacılık Ltd. Şti İvedik Organize Sanayi 28. Cadde 770. Sokak No: 105/A Yenimahalle/ANKARA ( ) Yayıncı Sertifika No: Matbaa Sertifika No: İletişim Karanfil 2 Sokak No: 45 Kızılay / ANKARA Yayınevi: Yayınevi Belgeç: Dağıtım: Dağıtım Belgeç: Hazırlık Kursları: İnternet: E-ileti: pegem@pegem.net

3 Sevgili Öğretmen Adayları, ÖN SÖZ ÖABT LİSE MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ konu anlatımlı setimiz dört kitap hâlinde düzenlenmiştir. "Lise Matematik Öğretmenliği Alan Eğitimi 4. Kitap" adlı yayınımız Alan Eğitimi bölümünü kapsamaktadır ve Kamu Personel Seçme Sınavı (KPSS) Lise Matematik Öğretmenliği Alan Eğitimi Testi kapsamındaki soruları çözmek için gerekli bilgi, beceri ve teknikleri edinme ve geliştirme sürecinde siz değerli öğretmen adaylarımıza kılavuz olarak hazırlanmıştır. Kitabın hazırlanış sürecinde, sınav kapsamındaki temel alanlarda kapsamlı alanyazın taraması yapılmış, bu kitabın gerek ÖABT'de gerekse gelecekteki meslek hayatınızda ihtiyacınızı maksimum derecede karşılayacak bir başucu kitabı niteliğinde olması hedeflenmiştir. Detaylı, güncel ve anlaşılır bir dilde yazılan konu anlatımları, çıkmış sorular ve detaylı açıklamalarıyla desteklenmiş, her ünite içeriği ÖSYM formatına uygun, çözümlü test sorularıyla pekiştirilmiştir. Ayrıca konu anlatımlarında verilen bilgi ve çözüm tekniklerine ek olarak uyarı kutucuklarıyla da önemli konulara dikkat çekilmiştir. Yoğun bir araştırma ve çalışma sürecinde hazırlanmış olan bu kitapla ilgili görüş ve önerilerinizi adresini kullanarak bizimle paylaşabilirsiniz. Geleceğimizi güvenle emanet ettiğimiz siz değerli öğretmenlerimizin hizmet öncesi ve hizmet içi eğitimlerine katkıda bulunabilmek ümidiyle... Başarılar...

4 MATEMATİK ÖABT İLE İLGİLİ ÖNEMLİ BİLGİLER MATEMATİK ÖABT, 50 sorudan oluşmakta ve Matematik Öğretmeni Adaylarının Alan Bilgisi (Analiz, Cebir, Geometri, Uygulamalı Matematik) ile Alan Eğitimi alanlarındaki bilgi ve becerilerini ölçmeyi hedeflemektedir. Öğretmenlik Alan Bilgisi Testinde çıkan sorular, Matematik Öğretmenliği Lisans Programlarında verilen akademik disiplinlere paralel olarak hazırlanmaktadır. Sınavdaki Alan-Soru dağılımı aşağıdaki tabloda belirtilmiştir. Genel Yüzde Yaklaşık Yüzde Soru Numarası 1) Alan Bilgisi Testi % a) Analiz b) Cebir c) Geometri d) Uygulamalı Matematik % 24 % 16 % 16 % 24 2) Alan Eğitimi Testi % Genel Kültür, Genel Yetenek ve Eğitim Bilimleri Sınavlarınıza ek olarak gireceğiniz Öğretmenlik Alan Bilgisi Testi ile ilgili verilen bu bilgiler ÖABT MATEMATİK ÖABT Sınavı çerçevesinde hazırlanmıştır. Sınav içeriğinde yapılabilecek olası değişiklikleri ÖSYM'nin web sitesinden takip edebilirsiniz.

5 İÇİNDEKİLER 1. BÖLÜM: MATEMATİK NEDİR? Matematik Nedir?...3 Mutlakçılar...3 Yarı Deneyselciler...4 Teorik-Uygulamalı Matematik...4 Klasik-Modern Matematik...4 Akademik-Okul Matematiği...4 Çözümlü Test...6 Çözümler BÖLÜM: MATEMATİĞİ ÖĞRENME VE ÖĞRETME Matematiği Öğrenme ve Öğretme Bilişsel Öğrenme Alanı Duyuşsal Öğrenme Alanı Devinişsel Öğrenme Alanı Davranışçı Yaklaşım Klasik Koşullanma Edimsel Koşullanma...12 Bütünlükçü (Gestaltçı) Yaklaşım...12 Fonksiyonalist Yaklaşım...12 Bilişsel Gelişmeci Yaklaşım...12 Yapılandırmacı Yaklaşım...12 Buluş Yoluyla Öğrenme...13 Okulda Öğrenme (Tam Öğrenme)...14 Bilgi-İşlem Yaklaşımı...14 Anlamlı Öğrenme (Sunuş Yoluyla Öğretim)...14 Gerçekçi Matematik Eğitimi...14 Çoklu Zekâ Kuramı...15 Öğrenme Stilleri...15 Matematik Öğretimi Yöntemleri...15 Düz Anlatım Yöntemi...15 Tanımlar Yardımıyla Öğretim...15 Buluş Yoluyla Öğretim...15 Analizle Öğretim...16

6 vi Senaryo İle Öğretim...16 Gösterip Yaptırma Yöntemiyle Öğretim...16 Kurallar Yardımıyla Öğretim...16 Deneysel Etkinliklerle Öğretim...16 Oyunlarla Öğretim...16 Çözümlü Test...17 Çözümler BÖLÜM: MATEMATİK DERSİ ÖĞRETİM PROGRAMI Yeni Programın Özellikleri...23 Matematik Eğitiminin Genel Amaçları...24 Temel Beceriler...24 Problem Çözme...24 İletişim...25 Akıl Yürütme...25 İlişkilendirme...25 Duyuşsal Beceriler...25 Psikomotor Beceriler...26 Öz Düzenleme Yeterlikleri...26 Programın Öğrenme-Öğretme Yaklaşımı...26 Programın Ölçme ve Değerlendirme Yaklaşımı Eğitim Sistemi...28 Çözümlü Test...30 Çözümler BÖLÜM: PROBLEM ÇÖZME Problem Çözme...35 Problem Nedir?...35 Problem Çözme...35 Problemi Anlama...35 Çözüm İçin Plan Yapma...35 Planın Uygulanması...35 Değerlendirme...35 Problem Çözme Öğretimi...37 Sistematik Liste Yapma...37 Tahmin ve Kontrol...37 Diyagram Çizme...37

7 vii Bağıntı Bulma...38 Değişken Kullanma...38 Benzer Problemlerin Çözümünden Yararlanma...38 Geriye Doğru Çalışma...38 Eleme...38 Tablo Yapma...38 Muhakeme etme...38 Problem Kurma...39 Matematiksel İfadeye Uygun Problem Kurma...39 Şekil veya Tabloya Uygun Problem Kurma...39 Cevabı Zihninde Tutarak Problem Kurma...39 Matematik Eğitiminde Problem Çözme...39 Problem Çözme İçin Öğretim...39 Problem Çözmeye İlişkin Öğretim...39 Problem Çözme İle Öğretim...39 Çözümlü Test...40 Çözümler BÖLÜM: MANTIK ÖĞRETİMİ Mantık Öğretimi...45 Temel Kavramların Öğretimi...46 Önerme Kavramı...46 Önermenin Olumsuzu (Değili)...46 Bileşik Önermeler...47 Veya Bağlacı (V) (Dahili Birleşim)...47 Ve Bağlacı...47 Koşullu Bağlaç...48 Karşılıklı Koşullu Bağlaç...48 Bileşik Önermelerin Özellikleri...48 Tek Kuvvet Özelliği...48 Değişme Özelliği...48 Birleşme Özelliği...48 Dağılma Özelliği...48 Totoloji ve Çelişki...49 Açık Önermeler ve İspat Teknikleri...50 Evrensel ve Varlıksal Niceleyiciler...50 İspat Teknikleri...50 İspat Çeşitleri...51 Doğrudan İspat...51 Dolaylı İspat...51

8 viii Olmayana Ergi Yöntemi...51 Çelişki Bulma Yöntemi...51 Deneme Yöntemi...51 Aksine Örnek Verme Yöntemi...52 Çözümlü Test...53 Çözümler BÖLÜM: KÜMELER ÖĞRETİMİ Kümeler Öğretimi...59 Temel Kavramların Öğretimi...59 Kümeler Arasındaki İlişkilerin Öğretimi...60 Kümelerle İşlemlerin Öğretimi...62 Birleşim İşlemi...62 Kesişim İşlemi...62 Fark İşlemi...62 Çözümlü Test...63 Çözümler BÖLÜM: DOĞAL SAYILAR VE DÖRT İŞLEM ÖĞRETİMİ Doğal Sayılar Öğretimi...69 Sayma Sistemleri...69 Doğal Sayılar...69 Onluk Sayma Sistemi...70 Doğal Sayıların Öğretimi...70 Eşitlik Özellikleri...70 Doğal Sayıların Kuvveti...71 Farklı Sayı Tabanları...72 Asal Sayılar...73 Bölünebilme Kuralları...74 En Büyük Ortak Bölen (EBOB) ve En Küçük Ortak Kat (EKOK)...75 Çözümlü Test...77 Çözümler BÖLÜM: TAM SAYILAR VE DÖRT İŞLEM ÖĞRETİMİ Tam Sayılar Öğretimi...83 Tam Sayılar...83 Tam Sayıların Öğretimi...83

9 ix Toplama ve Çıkarma İşlemi Öğretimi...84 İşlem Özelliklerinin Öğretimi...85 Çarpma İşlemi Öğretimi...85 İşlem Özelliklerinin Öğretimi...86 Bölme İşlemi Öğretimi...86 Çözümlü Test...87 Çözümler BÖLÜM: MODÜLER ARİTMETİK ÖĞRETİMİ Modüler Aritmetik Öğretimi...93 Toplama ve Çarpma İşlemi...94 Z/m Kümesinde Toplama ve Çarpma...95 Çözümlü Test...96 Çözümler BÖLÜM: RASYONEL SAYILAR VE DÖRT İŞLEM ÖĞRETİMİ Rasyonel Sayılar Öğretimi Toplama ve Çıkarma İşlemi Öğretimi İşlem Özelliklerinin Öğretimi Çarpma İşlemi Öğretimi İşlem özelliklerinin öğretimi Bölme İşlemi Öğretimi Çözümlü Test Çözümler BÖLÜM: GERÇEK SAYILAR VE DÖRT İŞLEM ÖĞRETİMİ Gerçek Sayılar Öğretimi Karekök Kavramı Toplama ve Çıkarma İşlemi Öğretimi İşlem Özelliklerinin Öğretimi Çarpma İşlemi Öğretimi İşlem Özelliklerinin Öğretimi Bölme İşlemi Öğretimi Gerçek Sayılar Eşitsizlik Özellikleri Aralıklar Denklem Çözümü Çözümlü Test Çözümler...122

10 x 12. BÖLÜM: ÜSLÜ VE KÖKLÜ İFADELER ÖĞRETİMİ Üslü ve Köklü Sayılar Öğretimi Üslü Sayılar Öğretimi Üslü Denklemler Köklü Sayılar Öğretimi Çözümlü Test Çözümler BÖLÜM: POLİNOMLAR ÖĞRETİMİ Polinomlar Öğretimi Polinomlar Öğretimi Polinomlar Kümesinde İşlemler Polinomlar Kümesinde İşlemler Öğretimi Toplama ve Çıkarma Öğretimi Çarpma Öğretimi Bölme Öğretimi Çarpanlara Ayırma Öğretimi Ortak Çarpan Parantezine Alma Gruplandırma Tam Kare İfadelerin Çarpanlara Ayrılması a 2 + 2ab + b 2 İfadesinin Çarpanlara Ayrılması a 2-2ab + b 2 İfadesinin Çarpanlara Ayrılması a 2 + b 2 + c 2 + 2(ab + ac + bc) İfadesinin Çarpanlara Ayrılması a 2 - b 2 İfadesinin Çarpanlara Ayrılması a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 İfadesinin Çarpanlara Ayrılması x 3 - a 3 İfadesinin Çarpanlara Ayrılması ax 2 + bx + c İfadesinin Çarpanlara Ayrılması Rasyonel İfadeler ve Denklemler Öğretimi Çözümlü Test Çözümler BÖLÜM: İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER, EŞİTSİZLİKLER VE FONKSİYONLAR ÖĞRETİMİ İkinci Dereceden Denklemler, Eşitsizlikler ve Fonksiyonlar Öğretimi İkinci Dereceden Denklemler Öğretimi İkinci Dereceden İki Bilinmeyenli Denklem Sistemleri Eşitsizlikler Öğretimi İkinci Dereceden Fonksiyonlar Öğretimi Çözümlü Test Çözümler...163

11 xi 15. BÖLÜM: OLASILIK VE İSTATİSTİK ÖĞRETİMİ Olasılık ve İstatistik Öğretimi Olasılık Öğretimi Toplama Yoluyla Sayma İlkesi Çarpma Yoluyla Sayma İlkesi Permütasyon Dönel (Dairesel) Permütasyon Tekrarlı Permütasyon Kombinasyon Binom Açılımı Olasılıkla İlgili Temel Kavramlar Olay Çeşitleri Kesin ve İmkânsız Olaylar Tümleyen Olay Ayrık ve Ayrık Olmayan Olaylar Bağımlı ve Bağımsız Olaylar Koşullu Olasılık Olasılık Çeşitleri İstatistik Öğretimi Veri Toplama Tablo ve Grafikler Merkezî Eğilim ve Yayılma Ölçüleri Aritmetik Ortalama Tepe Değer (Mod) Ortanca (Medyan) Açıklık (Ranj) Çeyrekler Açıklığı Standart Sapma Standart Puan Çözümlü Test Çözümler BÖLÜM: TRİGONOMETRİ ÖĞRETİMİ Trigonometri Öğretimi Yönlü Açılar Öğretimi Trigonometrik Fonksiyonlar Öğretimi Trigonometrik Fonksiyonların Grafikleri

12 xii Ters Trigonometrik Fonksiyonların Öğretimi Üçgende Trigonometrik Bağıntıların Öğretimi Toplam ve Fark Formüllerinin Öğretimi Yarım Açı Formüllerinin Öğretimi Dönüşüm ve Ters Dönüşüm Formüllerinin Öğretimi Trigonometrik Denklemlerin Öğretimi Çözümlü Test Çözümler BÖLÜM: KARMAŞIK SAYILAR ÖĞRETİMİ Karmaşık Sayılar Öğretimi Karmaşık Sayılarda Toplama ve Çıkarma Karmaşık Sayılarda Çarpma ve Bölme Karmaşık Kökler Karmaşık Sayının Çember İle İlişkisi Karmaşık Sayıların Kutupsal Biçimi Karmaşık Sayının Kuvveti Karmaşık Sayının Kökleri Çözümlü Test Çözümler BÖLÜM: ÜSTEL FONKSİYON VE LOGARİTMA ÖĞRETİMİ Üstel Fonksiyon ve Logaritma Öğretimi Üstel Fonksiyon Logaritma Fonksiyonu Onluk ve Doğal Logaritma Logaritma Fonksiyonunun Özellikleri Üslü ve Logaritmalı Denklemler ve Eşitsizlikler Çözümlü Test Çözümler BÖLÜM: TÜMEVARIM VE DİZİLER ÖĞRETİMİ Tümevarım ve Diziler Öğretimi Tümevarım Toplam Sembolü Çarpım Sembolü Diziler Monoton Diziler...227

13 xiii Aritmetik Dizi Geometrik Dizi Çözümlü Test Çözümler BÖLÜM: MATRİS, DETERMİNANT VE DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMLERİ ÖĞRETİMİ Matris, Determinant ve Doğrusal Denklem Sistemleri Öğretimi Matrisler Matrislerde Toplama ve Çıkarma İşlemi Matrislerde Çarpma İşlemi Bir Matrisin Tersi Bir Matrisin Devriği (Transpozu) Doğrusal Denklem Sistemleri Determinantlar Ek (Adjoint) Matris Çözümlü Test Çözümler BÖLÜM: FONKSİYON ÖĞRETİMİ Fonksiyon Öğretimi Fonksiyon Kavramı Bağıntı Kavramı Sıralı İkili Kartezyen Çarpım Bağıntı Bağıntının Tersi Bağıntının Özellikleri Yansıma Özelliği Simetri Özelliği Ters Simetri Özelliği Geçişme Özelliği Denklik ve Sıralama Bağıntıları Fonksiyonların Tanım, Değer ve Görüntü Kümesi Venn Şeması ile Gösterim Liste Biçiminde Gösterim Grafiklerle Gösterim Cebirsel Gösterim Fonksiyonların Grafiği Fonksiyon Türleri

14 xiv Ters Fonksiyon Artan, Azalan ve Sabit Fonksiyonlar Çift ve Tek Fonksiyon Fonksiyonlarda İşlemler Fonksiyonlarda Bileşke İşlemi Fonksiyonların En Geniş Tanım Kümesi Parçalı Fonksiyonlar Mutlak Değer Fonksiyonu Çözümlü Test Çözümler BÖLÜM: LİMİT VE SÜREKLİLİK ÖĞRETİMİ Limit ve Süreklilik Öğretimi Limit Süreklilik Çözümlü Test Çözümler BÖLÜM: TÜREV VE İNTEGRAL ÖĞRETİMİ Türev ve İntegral Öğretimi Türev Türevin Uygulamaları Belirli İntegral Belirsiz İntegral Belirli İntegralin Uygulamaları Çözümlü Test Çözümler Kaynaklar...291

15 MATEMATİK NEDİR?

16

17 3 MATEMATİK NEDİR? Matematik, kimilerine göre genel ölçü ve düzen bilimi, kimilerine göre evrensel bir dil, kimilerine göre ise medeniyetten medeniyete zenginleşerek aktarılan sayılar, şekiller, uzaylar gibi soyut varlıkları ve aralarındaki ilişkileri inceleyen bilim dalıdır. Ortak bir tanıma ulaşamamakla birlikte her tanımlamanın ya da betimlemenin doğruluk payının olduğu söylenebilir. Tanımlamaların büyük bir kısmında matematiğin konusunun sayılar, şekiller, fonksiyonlar vb. soyut varlıklar olduğu ve düşünme yapısının da tümdengelim olduğu ifade edilmektedir. Örnek İki çift sayının çarpımı, çifttir. önermesinde matematiksel düşüncenin hangi işletim yolu kullanılmaktadır? A) İndirgeme B) Genelleme C) Soyutlama D) Tümevarım E) Tümdengelim Çözüm İki çift sayının çarpımı çifttir. önermesinin doğruluğu gösterilirken 2n ve 2k gibi iki çift sayı alınıp çarpılarak ispat yapılır. Yani en genel durum için önermenin doğruluğu gösterilmiş olur ve bilinir ki önerme her özel durum için de doğrudur. Genelden özele şeklinde özetlenebilen bu düşünce yapısı tümdengelimdir. Cevap E Bugünkü matematik bilginin ortaya çıkışı ile ilgili olarak iki yaklaşımdan söz edilmektedir: 1. Matematiği insanoğlu kendi icat etti. 2. Matematik evrende vardı, insanoğlu bunu yaşarken fark etti. Her iki ekolün de savunanları kendi yaklaşımlarını haklı çıkaracak bazı kanıtlar ortaya koymaktadır. Bunlardan ikinci yaklaşımı benimseyen grubun sunduğu örneklerden belki de en önemlisi Fibonacci Sayıları ve Altın Oran dır. İtalyan Matematikçi Leonardo Fibonacci nin meşhur tavşan probleminden yola çıkarak ulaştığı Fibonacci Dizisi 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, şeklinde olup bu dizideki her bir terimin kendinden önceki terime oranlanmasıyla oluşan yeni dizinin yakınsadığı 1,618 değeri de Altın Oran olarak bilinmektedir. Gerek ardışık Fibonacci sayıları ve gerekse Altın Oran sayısı doğada, resimde, müzikte, mimaride ve daha pek çok yerde şaşırtıcı bir şekilde insanoğlunun karşısına çıkmaktadır. Matematik yeni bilgilerin üretimi konusunda kendi kendine yeterlik özelliği ile diğer bilim dallarından farklılaşmaktadır. Yani matematiğin bilgi üretmek için geçmiş bilgilerin yanında dil ve mantık dışında bir şeye ihtiyaç yoktur. Matematik, belli bir düzen ve mantıksal sıralamaya sahip kavram ve işlemler üzerine kurulu bir bilimdir. Bu düzen veya intizamı bulmak ve keşfetmek ve sonrasında anlamlandırmak, tam anlamıyla matematik yapmak demektir. Mevcut matematik bilgisinin oluşmasına yönelik teorik matematikçiler amaç olarak matematik görüşünü savunurken uygulamalı matematikçiler ise araç olarak matematik görüşünü desteklemektedir. Genel inanış ise, bugünkü bilgilerin büyük kısmının matematik yapma amacıyla ve bir kısmının da günlük yaşam problemlerine çözüm ararken ortaya çıktığı yönündedir. Örnek Matematiksel bilginin türeyişinde katkısı olan bilim dalları hangileridir? A) Sosyoloji-Psikoloji B) Dil-Mantık C) Fizik-Kimya D) Tıp-Biyoloji E) Tarih-Edebiyat Çözüm Matematiğin kendi kendine yeterlik özelliği olduğu hatırlanırsa yeni bilgi üretmek için geçmiş bilgilerin yanında katkısı olan bilim dalları sadece dil ve mantıktır. Cevap B Matematik bilgisinin doğasına bakış farklılaşabilmektedir. Matematik felsefesine bakıldığında bu farklı algılamalardan dolayı ortaya mutlakçı, kesinlikçi ve öznelci felsefeler çıkmıştır. Mutlakçılar Eflatuncular, matematiğin nesne ve yapılarının insandan bağımsız olarak var olduğunu iddia etmektedirler. Onlara göre matematik yapmak, bizden önce var olan bu nesne ve yapıların keşfedilmesidir. Matematiğin doğasına deneysel olarak bakan görüş, matematiksel doğruların deneysel yollarla genellenebileceğini söyler. Deneyselcilik, matematiği sağlam temeller üzerinde inşa etmeyi amaçlamış ve bunu deneysel kanıtlamalarla yapmaya çalışmıştır. Matematiği kendi içinde tutarlı bir yapıya kavuşturmak amacıyla onu mantıksal önermelere indirgemeye çalışan mantıkçılar olmuştur. Onlara göre matematik, mantıktan başka bir şey değildir. Mantığı kullanmaktaki amaç, matematiği kesin biçimde tanımlanmış çıkarsama kurallarına ve aksiyomlara dayandırmaktır. Bu görüşü savunanların başında Frege, Russell ve Peano gelmektedir.

18 4 Formalistlere göre matematik, soyut nesne ve ilişkileri konu alan simgesel bir sistemdir. Sistemi oluşturan terimler anlamsız birer simge, ilişkileri dile getiren ifadeler içerikten yoksun birer önerme kalıbıdırlar. Formalistler matematiği, aritmetik ve mantık aksiyomlarıyla sınırlayarak tutarlılık ve tamlık özelliğine sahip simgesel bir sisteme dönüştürmeye çalışmışlardır. Bu görüşü savunanların başında Hilbert gelmektedir. Sezgi, matematikçinin formül, sembol veya ispat kullanmadan bir problemin çözümünü ve bir teoremin doğruluğunu görebilmesi, hissedebilmesidir. Sezgiciler de mantıkçılar ve formalistler gibi matematikte kesinlik arar. Onlar matematiksel kesinliği, insanın matematiksel tümevarım yeteneğine bağlamaktadır. Bildiğimiz en meşhur sezgiciler Brouwer ile Poincare dir. Yarı Deneyselciler Lakatos a göre, matematik felsefesi tarih, yöntem ve yanlışlanabilir bilgi kuramı boyutlarında ele alınmalıdır. Sosyal ve kültürel bir ürün olması nedeniyle matematikçiler yanılabilir ve ürünleri de mükemmel olmayabilir. Yarı deneyselci yaklaşım yanlışlanabilirlik kavramına vurgu yapar ve bu sistemde kuramlar ispatlanmaz, açıklanır ve doğrulukları onaylanır. Onlara göre, matematiksel doğrular her zaman yanlışlanabilirlik aşamasında kalmaktadır ve sürekli gelişmeye ve değişmeye açıktır, dinamik bir yapıya sahiptir. Mutlakçılardan ve yarı deneyselcilerden farklı olarak gelenekselcilere göre, matematiğin bilgileri ve doğrulukları, dilbilim geleneklerinden etkilenir ve onlar tarafından şekillenir. Wittgenstein a göre, matematiksel ve mantıksal doğrular, dilin kabul edilen kurallarına ve gramerine bağlıysa ve bu durumda doğrular dilin kurallarını ve gramerini bozuyorsa yanlışlanabilirlikleri söz konusudur. Örnek Matematiği soyut nesne ve ilişkiler olarak ele alan ve sistemi oluşturan terimleri anlamsız birer simge, ilişkileri dile getiren ifadeleri içerikten yoksun birer önerme kalıbı olarak görenler hangi yaklaşımın savunucularıdır? A) Sezgici yaklaşım B) Deneyselci yaklaşım C) Mutlakçı yaklaşım D) Formalist yaklaşım E) Mantıkçı yaklaşım Çözüm Formalist yaklaşımı savunanlar, matematiği soyut nesne ve ilişkileri konu alan bir sistem olarak görmektedirler. Cevap D Matematiği kendi içinde farklı açılardan sınıflandırmak mümkündür. Teorik-uygulamalı matematik, klasik-modern matematik, akademik-okul matematiği gibi. Teorik-Uygulamalı Matematik Matematiğin güzellik ve zihni uyandırması boyutuyla teorik (pür) matematikçiler ilgilenmektedir. Onlar için önemli olan yapılanın estetik olması ve bu durumun kişiyi entelektüel doyuma ulaştırmasıdır. Hardy nin dediği gibi, "Teorik matematikçinin üzerinde uğraştığı sorunların, problemlerin uygulama alanı bulması, işe yaraması veya faydalı olması gibi bir endişesi yoktur." Teorik matematikçilerin ortaya koyduğu matematiksel bilgilerin diğer bilim dallarında ve günlük yaşamda nasıl kullanılabileceğini araştırmak ise uygulamalı matematikçilerin işidir. Biliyoruz ki çoğu teorik matematik ürünü daha sonraları pratik uygulama alanı bulmuştur. Klasik-Modern Matematik Klasik matematik daha çok aritmetik ağırlıklı, cebirsel işlemlerin yürütülerek problemlerin çözüldüğü ve Euclid in tanımladığı geometrik nesnelerin üzerine kurulan bir geometrinin ele alındığı matematiktir lı yıllarda ABD de başlatılan eğitim reformlarının sonucunda modern matematik kavramı ortaya çıkmıştır. Modern matematik, küme ve grup kavramlarını kullanarak matematiksel yapıları yeniden tanımlamaktadır. Modern matematik ile birlikte, belli semboller ve formüller kullanılarak yapılan soyutlamalar ve birbirinden bağımsız gibi görünen işlem ve algoritmalar kendi içinde tutarlı ve bağlantılı hâle gelmiştir. Modern matematik müfredatı ülkemizde 1970 li yılların başında uygulanmaya başlanmıştır. Akademik-Okul Matematiği Akademik matematik, teorik matematikçilerin uğraştığı matematik olarak tanımlanabilir. Akademik matematiğin amacı, matematiğin ulaşmış olduğu birikimi kullanarak teorik ve pratik alanda matematiğe bilimsel katkıda bulunmaktır. Okul matematiği Toplum için nasıl bir insan yetiştirmek istiyoruz? sorusuna cevap ararken matematik ile ilgili Ne öğretelim? ve Nasıl öğretelim? konusu ile ilgilenir. Akademik matematik ürünü bilgilerin genç nesillere aktarılması, okul matematiğinin işidir. Okullarda öğretilen matematiğin amacı her düzeyde bazı farklılıklar göstermektedir. İlköğretim ve ortaöğretim düzeyinde okul matematiğinin amacı, öğrenciye istenilen matematik kültürü vermek ve temel matematiksel beceriler yanında matematiksel düşünme yeteneğini geliştirmektir. Yükseköğretim düzeyindeki okul matematiğinin amacı ise öğrenim görülen alana göre farklılaşmaktadır. Örneğin, Fen Fakültesi Matematik bölümünde okutulan matema-

19 5 tiğin amacı, öğrenciye ayrıntılı matematik bilgisi vermek, matematiksel düşünme seviyesini yükseltmek ve öğrenciye akademik matematik alanında çalışabilecek bir altyapı hazırlamak iken Eğitim Fakültesinde okutulan matematiğin amacı, öğretmen adayına sahip olması gereken alan bilgisini sağlayan matematiği kazandırmaktır. Bu çerçevede matematik öğretiminin genel amaçları aşağıdaki gibi sıralanabilir: Öğrencilerin açık-seçik ve mantıklı düşünüp iletişim kurabilmelerine yardımcı olma Günlük yaşamda, gerçek dünyada ve başka konu alanlarında kullanılabilecek gerekli becerileri sağlama Örüntüleri, ilişkileri tanıma ve genelleme yapabilme yeteneğini geliştirme Yaratıcılığı ve sezgisel düşünmeyi geliştirme Zihinsel bağımsızlığı geliştirme Estetik değerleri geliştirme Dünyaya ve öteki kültürlere ilgiyi artırma Toplumun gelişmesine katkıda bulunma Buna göre okulda iyi bir matematik eğitimi alan öğrenci; Matematiğe değer vermeyi öğrenir, Matematiksel düşünme becerisi kazanır, Matematiği iletişim aracı olarak kullanır, Problem çözme becerisi kazanır. Örnek Öğrenciye ayrıntılı matematik bilgisi vermek, matematiksel düşünme seviyesini yükseltmek ve böylece matematik biliminin farkında olmasını sağlamak hangi düzeyde okul matematiğinin amacıdır? A) Okul öncesi B) İlköğretim C) Ortaöğretim D) Yükseköğretim (Fen fakültesi) E) Yükseköğretim (Eğitim fakültesi) Çözüm Öğrenciye ayrıntılı matematik bilgisi vermek, matematiksel düşünme seviyesini yükseltmek ve öğrenciye akademik matematik alanında çalışabilecek bir altyapı hazırlamak, Yükseköğretim (Fen fakültesi) düzeyinde okutulan matematiğin amacını ifade etmektedir. Cevap D

20 6 ÇÖZÜMLÜ TEST 1. Seda Öğretmen öğrencilerine matematiğin doğası konusunda fasulye bitkisinin helis eğrisi şeklinde büyüdüğü, bal peteklerinin her zaman altıgen olduğu, insan yüzünün uzunluğunun genişliğine oranının sabit olduğu gibi örnekler vermektedir. Buna göre Seda Öğretmen'in matematiğin doğasına ilişkin hangi görüşe sahip olduğu söylenebilir? A) Matematik icattır. B) Matematik keşiftir. C) Matematik hayattır. D) Matematik mutluluktur. E) Matematik mucizedir. 4. Bir sınıftaki öğrencilerden bazılarının matematiksel bilgiye ilişkin görüşleri aşağıdaki gibidir. I. Matematiksel bilgilerin büyük bir kısmı deneysel etkinliklerden elde edilmiştir. II. Matematiksel bilgilerin çoğu doğruyu bilme ve anlama uğraşı sonucunda elde edilmiştir. III. Matematiksel bilgilerin büyük bir kısmı doğal afetlerle mücadele sırasında elde edilmiştir. Buna göre öğrenci görüşlerinden hangisi doğrudur? A) Yalnız I B) Yalnız II C) I ve II D) I ve III E) II ve III 2. Pelin Öğretmen öğrencilerine bir çember yayı üzerinde 2 nokta işaretletir, iki noktayı birleştirerek çember içinde oluşan bölge sayısını buldurur. Sonra aynı işlemi çember üzerinde 3, 4 ve 5 nokta işaretleterek tekrar ettirir. Bu etkinlikten hareketle öğrencilerden çember üzerinde işaretlenen nokta sayısı ile çember içinde oluşan bölge sayısı arasında bir ilişki olup olmadığını düşünmelerini ister. Öğrencilerin alınan n nokta için 2n-1 bölge bulunduğunu söylemeleri üzerine, etkinliği son kez çember üzerinde 6 nokta alarak tekrar etmelerini ister. Pelin Öğretmen bu etkinlikle hangi düşünme yapısına dikkat çekmeyi amaçlamaktadır? A) İndirgeme B) Özelleştirme C) Tümevarım D) Tümdengelim E) Soyutlama 5. Aşağıdakilerden hangisi matematik derslerinde doğadan ve günlük yaşamdan örnekler vermenin sağlayacağı öncelikli yararlardan değildir? A) Matematiğe değer verme B) Matematiğin önemini anlama C) Matematiğe karşı olumlu tutum geliştirme D) Farklı alanlarda matematikten yararlanma E) Matematik dersinde başarılı olma 3. Kaan Öğretmen öğrencilerine Bir dişi arının hem annesi hem babası vardır. Buna karşın erkek arının yalnız annesi vardır. Buna göre elinizde bir erkek arı olsa, bu arı 10 nesil geriden kaç arıdan gen almıştır? sorusunu yönelterek hangi bilgiye dikkat çekmeyi amaçlamaktadır? A) Fourier serisi B) Taylor dizisi C) McLaurin serisi D) Fibonacci dizisi E) Cauchy dizisi 6. Matematik bilgisinin doğasına ilişkin farklı algılamalardan dolayı ortaya mutlakçı ve yarı deneyselci felsefeler çıkmıştır. Aşağıdakilerden hangisi mutlakçı yaklaşımı savunan bilim adamlarından değildir? A) Lakatos B) Hilbert C) Frege D) Russell E) Poincare

21 7 7. Matematiksel doğruların her zaman yanlışlanabilirlik aşamasında kaldığını ve sürekli gelişmeye ve değişmeye açık olduğunu ileri sürenler hangi yaklaşımın savunucularıdır? A) Sezgici yaklaşım B) Formalist yaklaşım C) Mantıkçı yaklaşım D) Yarı deneyselci yaklaşım E) Geleneksel yaklaşım 8. Klasik matematik bilgisine dayalı öğretim programları uygulaması ülkemizde hangi yıllarda terk edilmiştir? A) 1950 li yıllar B) 1960 lı yıllar C) 1970 li yıllar D) 1980 li yıllar E) 1990 lı yıllar 9. Doğal sayılar kümesini aksiyomatik olarak tanımlayan ve matematik felsefesinin önemli mantıkçılarından biri olan bilim adamı hangisidir? A) Peano B) Russell C) Pascal D) Poincare E) Cantor 10. Sevgi Öğretmen öğrencilerini gruplara ayırarak sınıfta işlediği konu ile ilgili yeni kavramlar üzerinde tartışmalarını ister. Sevgi Öğretmen'in bu etkinliği yapmasının öncelikli amacı aşağıdakilerden hangisidir? A) Matematiğe değer verme B) Problem çözme C) Matematikte öz güven sağlama D) Matematiksel düşünme E) Matematik dilini kullanma

22 8 ÇÖZÜMLER 1. Derste verilen örnekler doğada matematiğin var olduğu ve insanoğlunun bu durumu yaşarken fark ettiğine yönelik olup Seda Öğretmen'in Matematik keşiftir. görüşünü benimsediği söylenebilir. Cevap B 6. Hilbert, Russell, Poincare ve Frege mutlakçı görüşe sahip iken Lakatos yarı deneyselci olarak mutlakçı yaklaşımı savunanlardan değildir. Cevap A 2. Pelin Öğretmen öncelikle öğrencilerine sonlu sayıda özel durum üzerinden bir genelleme yaptırmış, sonrasında ise yaptıkları genellemenin hatalı olduğunu fark etmelerini sağlamıştır. Yeter sayıda özel durumdan hareketle matematiksel ilişkiler üzerinde genelleme yapmak Tümevarımsal düşünme yapısını işaret etmektedir. 7. Yarı deneyselci yaklaşıma göre, matematiksel doğrular her zaman yanlışlanabilirlik aşamasında kalmaktadır ve sürekli gelişmeye ve değişmeye açıktır. Cevap D Cevap C 3. Kaan Öğretmen'in sormuş olduğu arı probleminin çözümünde önceki nesillerden gen veren arı sayıları öğrencileri 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55, dizisine ulaştıracak olup bu dizi matematikte Fibonacci dizisi olarak bilinir li yılların başında klasik matematik bilgisine dayalı öğretim programları terk edilerek ülkemizde modern matematik müfredatı uygulanmaya başlanmıştır. Cevap C Cevap D 4. Öğrencilerin matematiksel bilgiye ilişkin görüşlerinden sadece Matematiksel bilgilerin çoğu doğruyu bilme ve anlama uğraşı sonucunda elde edilmiştir. bilgisi yani yalnız II doğrudur. Cevap B 9. Doğal sayılar kümesini aksiyomatik olarak tanımlayan mantıkçı görüşe sahip İtalyan matematikçi Giuseppe Peano dur. Cevap A 5. Matematik dersinde başarılı olma, matematik derslerinde doğadan ve günlük yaşamdan örnekler vermenin sağlayacağı öncelikli yararlardan değildir. Cevap E 10. Sevgi Öğretmen'in öğrencilerinin matematiksel kavramlar üzerinde tartışmalarını istemesinin öncelikli amacının öğrencilerin matematik dilini kullanarak iletişim kurmalarını sağlamak olduğu söylenebilir. Cevap E