Dünyas ndan

Transkript

1 Matematik Sevgili Matematikseverler, Dünyas ndan Bu sefer kapak konumuz çizgeler, frenkçesiyle graflar. Do an n, evrenin, eflyan n, maddenin, varolan her fleyin temel tafl, iskeleti, özü, dolay s yla matemati in en baflat yap s ve olabilecek en basit matematiksel yap. Çizgelerin topolojiden kimyaya, kimyadan bilgisayar bilimine girmedi i bilimsel u rafl dal kalmam flt r. Matematik Dünyas na da girmesi gerekiyordu ve girdi. Kapak konusunu Koç Üniversitesi Matematik Bölümü den Selda Küçükçifçi yle birlikte haz rlad k. De erli katk lar ndan dolay hepimizin ad na kendisine teflekkür ederim. *** Bir sonraki say m z n kapak konusu say lar olacak. Say lar kuram de il, o ilginç ve derin konuyu daha sonra iflleyece iz; gelecek say m zda önce say lar ve dört ifllemi matematiksel olarak tan mlayaca z, ki az buz ifl de ildir bu, o kadar zordur ki ilkokulda de il, ancak üniversitede ö retilmesi gerekir, ard ndan say lar n özelliklerini irdeleyece iz, örne in + = = 4 gibi çarfl da pazarda uygulanan eflitlikleri kan tlayaca z. ki kere ikinin dört etti ini beyin y kama yöntemiyle ö renenler, bu kez ikna olacaklar. *** Okullar aç ld. Herkese verimli bir e itim y l dilerim. 68 li say lmasam da, o kufla a yak n m. O günlerde tüm gençlik nerdeyse tek a zdan düzeni elefltirirdi. E itim sisteminden ekonomik düzene kadar topa tutmad m z konu yoktu. nalar m z babalar m z ö retmenlerimizi müdürlerimizi yöneticilerimizi be enmezdik. Biz daha iyisini yapacakt k radan y llar geçti. Büyüdük. Sorumluluk ald k. fl güç sahibi olduk. Saç m z sakal m z a ard, yüzümüz gözümüz k r flt, olgunlaflt k, dinginlefltik. na baba olduk, ö retmen müdür olduk, yönetici olduk. Olduk da ne oldu? Hiç! Biz de aynen o elefltirdi imiz büyüklerimize benzedik. Daha iyisini yapamad k. Neden böyle oldu diye düflünüyorum. Böyle olmas n n birçok nedeni olabilir, bu nedenlerden birço u da bizden ba ms z olabilir, ancak bir neden var ki San yorum, büyüklerimizi görevlerini yapm yor diye elefltirirken, asl nda biz gençler de kendi görevlerimizi yapm yorduk. Büyüklerin görevi olur da gençlerin görevi olmaz m? z da olsa kütüphane vard, yan na u ramad m z. Yetersiz de olsa kitaplar m z, dergilerimiz vard, okumad m z, ya da kutsal kitap gibi okudu umuz. Kula m z vard dinlemiyorduk, beynimiz vard düflünmüyorduk, a z m z vard sadece kavga etmeye ve elefltirmeye yarayan. Elefltirmeye hak kazanmak laz m. Gençli in gere ini yapmayan biz gençler, ö retmenli in gere ini yapmayan ö retmeni, yöneticili in gere ini yapmayan yöneticiyi elefltiriyorduk. Hakk m z yoktu. Elefltirmeye hak kazanmam flt k. flte bu yüzden biz de elefltirdi imiz büyüklerimiz gibi olduk. Me er ne ekersen onu biçermiflsin Kimin akl na gelirdi! Okullar aç ld ya, akl ma geldi 1

2 SH B : Türk Matematik Derne i ad na Prof. Dr. Tosun Terzio lu SORUMLU YZI filer MD.: Prof. Dr. li Nesin Matematik Dünyas, Türk Matematik Derne i taraf ndan, stanbul Bilgi Üniversitesi nin ve UNESCO nun deste iyle üç ayda bir yay mlanmaktad r. Milli E itim Bakanl Talim Terbiye Kurulu Baflkanl n n 0 Haziran 1991 gün ve 660 YKD. Bas. K.I.fib. Müd say l karar yla okullara tavsiye edilmifltir. YYIN KURULU: li Nesin, hmet Do an, fiafak lpay, Haluk Oral BONEL K: Y ll k TL. En az 10 kiflilik (tek adresli) gruplar için abone bafl na y ll k TL. TMD üyelerine TL. Yurtd fl abonelik TL. Y ll k abone ücretinin Türk Matematik Derne i nin Matematik Dünyas Dergisi ad na açt rd no lu Posta Çeki hesab na ya da Türkiye fl Bankas Galata ( stanbul) fiubesi (fiube kodu 101) no lu Matematik Dünyas Dergisi hesab na yat r larak, dekontunun bir örne inin yaz flma adresine gönderilmesi yeterlidir. BD Dolar Hesab : Türkiye fl Bankas, Galata fiubesi, Euro Hesab : Türkiye fl Bankas, Galata fiubesi, Derginin eski say lar n elde etmek için: Prof. Dr. Hülya fienkon Sabanc Üniversitesi Karaköy letiflim Merkezi Bankalar Cad Karaköy stanbul tmd@sabanciuniv.edu.tr hsenkon@iku.edu.tr (01) / 1506 (01) / 16 KR KTÜRLER: Tayfun kgül TSRIM: Kadir bbas / Maraton Dizgievi BSKI: Kad köy Matbaa ISSN: X letiflim dresimiz Matematik Dünyas stanbul Bilgi Üniversitesi Kurtulufl Deresi Cd Dolapdere / STNBUL Tel : (01) Faks : (01) E-Posta : md@math.bilgi.edu.tr Web : Kapak Resmi: ikiparçal bir tamçizgeden kompozisyon. çindekiler 1 Matematik Dünyas ndan li Nesin 3 K sa K sa... fiafak lpay 5 Okurlardan 7 Bas nda Matematik 9 46 Kapak Konusu: Çizgeler - Selda Küçükçifçi nin katk lar yla 9 Çizgelerin nlam ve Önemi 1 Tek Hamlede Çizilen Çizgeler 13 Euler Turu 16 n Noktal Çizge Say s 19 aç ve Orman 1 Çöpçatanl k Problemi 4 Euler Formülü 5 El S k flma Teoremi 6 Düzlemsel Çizgeler 7 Çizgeleri Boyamak ve Dört Renk Problemi 30 Büyük Çizgeler Küçük Çizgeleri Yutar 31 Mesafe, Çap ve Moore Sabiti 3 Tam Tur Olas l 34 Sonlu Rastgele Çizgeler 37 Gezgin Sat c Problemi Haldun Sural 41 Ramsey Say lar 43 Sonsuz Ramsey Teoremi li Nesin 45 Noktas z Çizgeleri Saymak 46 Dizin ve Kaynakça 47-5 Kaybettiklerimiz: rmand Borel Matematik Tarihi 49 Matemati in K sa Bir Tarihi III li Ülger 54 ϕ Tarihinden Günümüze: Cahit Hoca Haluk Oral Geometri 60 Pappus ve Desargues Teoremleri lpaslan Parlakç 6 Soru Yaratma Sanat Mustafa Ya c 64 Deniz e Mektup Var li Torun Topoloji ve naliz 66 Topoloji Köflesi: Topoloji Nedir Burak Özba c 67 Gerçel Say lar n Toplamsal ltgruplar Nurettin Ergun, Cavit Haf zo lu, li Nesin 69 Cauchy nin Bir Eflitsizli i Reflit Hurflit Genel Matematik 71 Sakl Bilgisi Olmayan Sonlu Oyunlar Oya Oynar 7 ltkümeler Kümesinin Yar Özyap Dönüflümleri Veli K rkdokuzo lu 7 Cengiz Han n li Cengizli i Levent Ergenç Problemler ve Yar flmalar 74 Problemler ve Çözümleri Refail lizade 77 Do ufl Üniversitesi Matematik Kulübü Matematik Yar flmas II 8 ntalya Matematik Olimpiyatlar Birinci Seçme S nav Sorular Bilgisayar Bilimi 84 Donald Knuth un Bir Sorusu Chris Stephenson, li Nesin 86 Bilgisayar n za Ne Kadar Güvenirsiniz? brahim rkut, Refik rkut Matematik ve Felsefe 89 Dikkat Paradoks Var! Zenon un Paradokslar li Nesin 9 Matematik Belas Dr. dnan slan 93 Matematik Belas Üzerine Bekir S. Gür Çeflitli 99 Yar Özyap Dönüflümleri Tolga Karayayla 100 bra Kadabra Murat Kipel 101 Eureka! Murat Kipel 104 Yay n Dünyas lhan keda 106 Satranç Köflesi Eflref Eflkinat 108 Matematik Terimleri Üzerine Birkaç Söz Timur Karaçay 110 nternet Dünyas Vebi Derya 11 En Büyük Erdös Say s Bendenizin! Piref. H. Ökkefl

3 K sa K sa... fiafak lpay* / safak@metu.edu.tr Matematik Dünyas, 003 Güz Bu y l ulusal matematik sempozyumu Eylül tarihleri aras nda Van da Yüzüncü Y l Üniversitesi nde yap ld. Böylelikle Van ikinci kez ulusal sempozyuma ev sahipli i yapm fl oldu. Sempozyumla ilgili bilgilere adresinden ulaflabilirsiniz. Gelecek say m zda Rektör Prof. Dr. Yücel flk n n aç l fl konuflmas n yay mlayaca z. Üçüncü rf Konferans n 4 Ekim 003 te Brown Universitesi (BD) matematikçilerinden Prof. David Mumford verdi. Bafll Variational problems arising from computer vision for objects and their shape ti. David Mumford, Cebirsel Geometri alan ndaki çal flmalar yla, en sayg n matematik ödülü olarak evrensel kabul gören Fields Ödülü nü kazanm flt r (1974). Cebirsel geometri Fields Ödülü jürilerinin tercih etti i alanlar aras nda yer al r. Bu ödülü kazanan cebirsel geometriciler aras nda lexander Grothendieck (1966), Heisuki Hironaka (1970), Pierre Deligne (1978) ve yaklafl k 60 y ld r çözülemeyen Mordell san s n çözen Gerd Faltings (1986) say labilir. Bu y lki rf Konferans n n oturum baflkanl n Do ufl Üniversitesi nden Prof. Dr. Cemal Koç yapt. vrupa Matematik Derne i (EMS) 004 y l matematik araflt rma ödülleri için aday arama sürecinde oldu unu duyurdu Euro luk bu ödüller 35 yafl ndan küçük ve vrupal oldu- unu düflünen matematikçilere veriliyor. daylar n, 1 ral k 003 tarihinden önce yay - na kabul edilmifl çal flmalar - n n yar flaca yar flma için son baflvuru tarihi 1 fiubat 004. Niels H. bel Baflvuru adresi Prof. ri Laptev, Dept. of Mathematics, Royal Ins. of Technology, SE- 100, 44 Stocholm, sveç. Türkiye nin vrupa da oldu unu düflünenlere f rsat! Jean-Pierre Serre * ODTÜ Matematik Bölümü ö retim üyesi. Do rusal olmayan analiz, uygulamal matematik, matematiksel modelleme ve topolojide yay n yapan ellinin üstünde dergiye, makelelerine ve 3 makalelerinin elefltirilerine do rudan ulafl m sa layan bir site var: Geçti imiz y l tüm dünya Norveçli matematikçi Niels H. bel in ( ) 00üncü yaflgününü kutlad. Bu arada Norveç hükümeti ve kimi kurumlar bel ad na bir ödül koydular, ki bu ödül dergimizin amaçlar yla da örtüflüyor. Zira bel Ödülü nün amac matemati in toplumdaki statüsünü artt r lmas na katk da bulunmak ve özellikle çocuk ve gençlerin matemati e olan ilgisini yo unlaflt rmak olarak tan mlanm fl. lk bel Ödülü Collège de France üyelerinden Jean-Pierre Serre e Cebirsel Geometri, Topoloji ve Say lar Kuram gibi birçok alana yapt - derin katk lar nedeniyle verildi. 85 bin dolarl k ödülün sahibi Serre 196 do umlu ve doktoras n 1956 da Sorbonne da (Paris) tamamlam flt r. O y ldan beri Collège de France üyesi te Fields ödülünü alarak, bu ödülü alanlar aras nda en genç olma rekorunu da elinde bulunduran Serre, 1970 te Prix Gaston Julia, 1985 te Balzan, 1995 te Steele ve 000 de de Wolf ödüllerini alm fl bir matematikçi. Fields Ödülü, Kanadal matematikçi John Charles Fields in ( ) vasiyetiyle gerçekleflmifltir. lk ödül 1936 da verilmifltir. John Charles Fields Dört y lda bir toplanan Uluslararas Matematik Kongresi nde (IMC) k rk n doldurmam fl matematikçilere verilir. Önceleri iki kifliye verilen ödül, artan maddi kaynaklar sayesinde önce üç, sonra da dört kifliye verilir oldu. Matemati- in Nobel Ödülü olarak an l r. Daha fazla bilgi için Michael Monastyrsky nin Modern Mathematics in the Light of the Fields Medals adl kitab n öneririz. Kanadal lar Fields i unutmad lar ve Fields in mezun oldu u Toronto Üniversitesi nin bir enstitüsüne onun ad n verdiler. Fields Enstitüsü te matematiksel fizik ve uygulamal matematik problemlerine yo unlaflma karar ald ve önümüzdeki k fl Hamiltonyen k smi diferansiyel denklemler üzerinde çal fl laca n duyurdu ( programs/scientific/03-04/pde). Fields Enstitüsü burs da veriyor. Enstitü, te String Theory de çal flanlara doktora sonras burslar verecek ( postdoc.html).

4 Ünlü matematikçi Steven G. Krantz matematikçi gençlere yol gösterecek nitelikte bir kitap yazd. merikan Matematik Derne i yay nlar aras nda yay mlanan kitab n ad mathematician s survival guide: Graduate school and early career development. merikan ve Londra Matematik dernekleri Hans Niels Jahnke nin editörlü ünü yapt bir analiz tarihi kitab yay mlad. History of Mathematics ad yla yay mlanan kitap matematiksel analizin 17 yy. dan beri geliflimini ele al - yor ve on bölümden olufluyor. Kitab n llk yedi bölümünde analizin çeflitli konular n n geliflimi kronolojik olarak ele al n rken, son üç bölümünde diferansiyel denklemler, varyasyonlar hesab ve fonsiyonel analizdeki tarihsel geliflim irdeleniyor. Toplam 43 sayfa olan kitab n ederi 71$ (ISBN: ). Yukar da dünyan n birçok köflesinden matematikle ilgili iç aç c haberler verdim. Tüm bu oluflumlar n ard nda sorumlu kifli ve kurumlar n yan s ra, önemli ölçüde maddi kayna n oldu unu da BD örne iyle sergilemek isterim. BD de hükümetler temel bilimlere Ulusal Bilim Vakf (NSF) arac l yla katk da bulunurlar. NSF, 00 den beri matematik bilimlerini öncelikli alan ilan edip bu bilimleri daha fazla destekleyece ini duyurmufltur. Böylelikle matematik bilimleri %5 oran nda daha fazla desteklenmifltir, ki somut olarak bu matematik bilimlerinin pastadan 30 milyon dolar daha fazla kaynak alaca anlam na gelmektedir. Matematik bilimlerinin NSF bütçesinden ald katk (milyon dolar olarak) 000 y l nda 106 iken, 001 de bu katk 11,4 e, 00 de 151,5 e ç km flt r. 003 ve 004 için tasarlanan katk s ras yla 178,5 ve 01,9 olacaklard r. NSF d fl nda Savunma, Sa l k ve Enerji bakanl klar da kendi görev alanlar ndaki projeler arac l yla matematik bilimlerine katk da bulunmaktad rlar. Dar s bafl m za! Türk matematikçilerinin internet üzerinden yaz flt klar foruma üye olmak için: listweb.bilkent.edu.tr/yardim/bilkent/turkmath.html Ödüller Dergide birçok soruyla karfl laflacaks n z. Bu sorular aç k aç k sorulmam fl ya da iyi ifade edilmemifl olabilirler. Yan tlar n z, bulduklar n z, yazar belliyse yazar n adresine, yoksa dergi adresine 30 Kas m 003 tarihine kadar yollay n. Sordu umuz sorular n yan tlar n biz de bilmeyebiliriz! Yan tlad n z yada yan tlayamad n z akl n za gelen sorular n z da bize yollay n. En güzel yan tlara (sorulara da!) ödül olarak kitap verece iz. Ödüllerimizin Baz lar Bir Matematikçinin Savunmas, G.H. Hardy, Tübitak Dr. Ecco nun fiafl rt c Serüvenleri, Dennis Shasha, Tübitak Bunu ncak Dr. Ecco Çözer, Dennis Shasha, Tübitak Matemati in yd nl k Dünyas, li Sinan Sertöz, Tübitak Matematik Sanat, Jerry P. King, Tübitak Bir Say Tut, Malcolm E. Lines, Tübitak Rakamlar n Evrensel Tarihi VI, Hint Uygarl - n n Say sal Simgeler Sözlü ü, Georges Ifrah, Tübitak Rakamlar n Evrensel Tarihi VII, slam Dünyas nda Hint Rakamlar, Georges Ifrah, Tübitak Rakamlar n Evrensel Tarihi VIII, Hesab n Destan, Georges Ifrah, Tübitak Rakamlar n Evrensel Tarihi IX, Bilgisayar Ne Sayar, Georges Ifrah, Tübitak Ödül Kazananlar Mustafa M zrak, Do ufl Üniversitesi nin yar flmas n n sorular n çözdü ünden Georges Ifrah n Rakamlar n Evrensel Tarihi (son befl cilt, Tübitak Yay nlar ) adl kitaplar n, Okay r k, özgün matematik sorular sordu u ve bunlar yan tlad için Micheal Guillen in Dünyay De ifltiren Befl Denklem (Tübitak Yay nlar ) adl kitab n, Selin Manukyan, ö rendiklerini paylaflt için li Nesin in Önermeler Mant ( stanbul Bilgi Üniversitesi Yay nlar ) adl kitab n, Tolga Karayayla, Yar Özyap Dönüflümü sorusunu yan tlad için (bknz. sayfa 99). Hardy nin Bir Matematikçinin Savunmas (Tübitak Yay nlar ) adl kitab n, Tuba Kandefer, üç soru çözdü ünden (ama Petersen çizgesinin özyap dönüflümlerinde eksik var ) Dennis Shasha n n Bunu ncak Dr. Ecco Çözer (Tübitak Yay nlar ) adl kitab n kazanm fllard r. Kendilerini kutlar baflar lar n n devam n dileriz. 4

5 Okurlardan Matematik Dünyas na Befl Bini On Milyon Yapma Önerisi Mustafa Saka * mustafasaka1000@hotmail.com Bana göre derginiz soyut matematik dergisi. Ben ise (elli y ld r) ülkemizin genel matematik te gerilemesinin ac s n çekiyorum. San r m birçok yafl t meslektafl m da bu ac y paylafl yor. Biz önemli de iliz. Birkaç ony l sonra hepimiz ac lar m zla birlikte gideriz. ma as l önemlisi ilkokuldan üniversiteye onbefl milyon çocu umuzun ac s : Matemati i nefret ederek, zorlanarak okumalar, matematikten hiçbir olumlu etki almamalar. Sizin soyut matematik inize karfl de ilim. Bu da matematik, ama toplumsal sorun, ilkokuldan doktora tezine veya prof lar m z n yazd kitaplara dek her yerdeki matematiksel düzensizlik ve düzeysizlik. Kan mca savafl lmas gereken bu ve bu savafl, konular ve örnekler somut yaflamdan al nmad kça yürütülemez. Bu nedenle size bir öneri mektubu gönderiyorum. Ülkemizde iyi bir matematik dergisine gereksinim duyan ya da gereksinim duymas gereken böyle bir dergiyi düzenli alacak kifli say s 10 milyondan fazla. Matematik Dünyas n n okur say s n 5 binden 10 milyona nas l ç karabiliriz? 1. Fonksiyonlar, özyap dönüflümleri, çizgeler kuram gibi konularla okurun somut sorunlar na çözüm gelifltirmesini bekleyemeyiz. Bu zor ad m biz atmal y z.. Öncelikle okur kitlesinin gereksinimi belirlemeliyiz, özellikle çocuk ve gençlerimizin gereksinimini. a. Düflünmüyoruz, çözümleme (analiz) yapam - yoruz, hesaplayam yoruz, do ru yarg lara varam yoruz. Bunun temelinde de matemati in yatt n bilmiyoruz. Matematik ama hangi matematik? b. Dergide sunulanlar da matematik; s, kütle, gerilim, para da l m, devinim bilgisi de matematik; ortaö retimdeki bir gencimizin gelecek plan n do ru yap p do ru uygulamas da matematik. 5 bin okurumuz ve okurumuz olmas n istedi imiz 1 milyon için bunlardan hangisi daha önemli, daha yararl ve daha gerekli? 3. Gereksinimlerimizden önce kime yazd m z belirlemeliyiz. Do ald r ki, dergimizi tümüyle de ifltirmeyi ve böylece ilk göza r s 5 bin okurumuzu küstürmeyi önermiyoruz, bu gerçekçi olmaz. 3a. Elimizde bir istatistik yok ama bu ilk 5000 matemati i çok sevenler olmal. Onlara hizmete öncelik vermeliyiz. Bunun d fl nda, 1 milyon için: * Emekli matematik ö retmeni. 5 i. Önce ilk ve ortaö retimdeki matematik derslerini nas l matematik yapabilece imizi, üniversite s navlar na haz rl kta nereye kadar yard mc olabilece imizi onlarla tart flmal y z. ii. Ekonomistlerin, mühendislerin, teknisyenlerin çözemedi i problemlerde nas l yard mc olabileceklerini onlara aç klamal y z. iii. Onlarla, matemati i, matemati in geliflimini ve matemati in gelece ini en genelde tart flabilmeliyiz. iv. Bu arada, hep birlikte, matemati in güzelli inden zevk almal, sihriyle, hofllu uyla mutlu olmal y z. Birbirimizle matematik arac l yla iletiflim kurmal, dost olmal y z. Dergimizde (iv) bol bol var, (iii) de yok de il. Buna (i) ve (ii) yi de eklemeliyiz. 3b. Matemati i sevmeye çal flan ama bunu beceremeyen, yard m bekleyen 1 milyon için (ii) ve özellikle (i) çok daha önemli. (iii) ve (iv) onlar için olsa olsa bir özlem, ama bir gereksinim de il. 4. Ne Öneriyoruz? 4a. Dergide ana konu gelene i devam ettirilir ve bu ana konu yavafl yavafl somutlaflt r l r ve böylece (ii) ye yan t verilmifl olur. 4b. Her bir ortaö retim konusu ele al n r

6 Erdem Yanar yaz yor: Derginizin yaz say s n ald m. Bay ld m. Okullar bafll yor ve kal c bir adres bulur bulmaz hemen abone olaca m. Yirmi y ll k hayat mda, abone olaca m ilk dergi... Her say da bir kapak konusu iflleme fikri çok iyi olmufl. Sonra derginin içeri i de çok güzel. Herkese göre bir fley vay. Çeflitleme iyi. Masatoshi Gündüz keda hocam n an s na Emel Teyze yle yap lan konuflma gerçekten duyguland r yor insan. Bu tür köflelerin her say da olmas gerekti i inanc nday m. Büyük matematikçilerimizle, dünyadaki büyüklerle ilgili an, öykü yaz lar vs. olmas gereken güzel fleyler... Yad rgamazsan z bir fley diyece im, bu derginin içinde en âlâs ndan edebiyat var. Tam bir gençlik dergisi. Biraz da küçüklü ümde ald m Milliyet Kardefl dergisini hat rlat yor Yani benim için bu dergi pozitif fleyleri hat rlatan, sürekli yan mda tafl mam gereken u ur eflyam gibi bir fley... ama konuya daha genelde bak l r, tarihi geliflimiyle de bezenirse (i) de dergiye kat lm fl olur. 4c. Üniversite girifl s nav matematik sorular dahi nas l oluflturuluyor, ne amaçlan yor, nas l ele al nmal? diye genelde irdelenirse matematiklefltirilmifl olur. 4d. Böylece dergimizin okurlar nda da, yazarlar nda da art fl bekleyebiliriz. Tüm yaz boyunca biz zamirini kulland m. Çünkü bu yaz, bu öneri, bu özlem, Mustafa Kemal in önerisiyle aç lan, E itmen Kurslar yla bafllayan, Köy Enstitüleri, Sanat Mektepleri, o zaman n üniversiteleri yle doruklar na ulaflan, yaflam için ve çocu a göre hesap kitaplar yazan, bizde yönetici yok, ö retmen yok, ö renci yok, biz hepimiz yöneticiyiz, hepimiz ö retmeniz, hepimiz ö renciyiz sözlerinde tan m n bulan bir e itim ak - m nda yetiflmifl, bugünkü matematik e itimini gördükçe çocuklar m z, gençlerimiz ad na ac duyan, bir iki ony l sonra kaybolacak bir kufla n Bir Okur Mektubu. ç kö retim fakültesinde ö renciyim. Lise y llar ndan beri matemati i hiç sevmedi im için hâlâ hayat mda eksik bir yer olarak durur. Ö renmek istiyorum. Matematik dersimi veremedi im için tek dersten diplomam alamamaktay m. Diplomay almak için nas l bir teknik izlemeliyim? Sayg lar mla. MD. Kaleminizi, kâ d n z, kitab n z, notlar n z al n. Masan n bafl na geçip çal fl n. Bildi- im di er teknikleri yazmam yak fl k almaz. Daha ne diyeyim, ellerinize sa l k! Ufak bir kusur: lhan keda hocam bir kitab n tan t m nda E itimin bir bedeli vard r diyor ya, bu yüzden derginizin daha albenili biçimde, daha kaliteli kâ tlara (en az ndan beyaz renklilere) bas lmas daha uygun olmaz m? Yani ben dergiye bu haliyle bile zaten abone olaca m ama ne bileyim, bir soray m dedim. MD. Sevgili Erdem Yanar, güzel sözlerin bizi gerçekten çok mutlu etti. Verilen eme in bofla gitmedi ini görmek çok sevindirici. Sar kâ t konusundaki elefltiriler senin kufla ndan birçok kifliden geldi. nlad - m kadar yla ders kitaplar ndan o kadar nefret edilmifl ki, o kitaplar an msatan en küçük bir ayr nt alerji yarat yor. nl yor ve sempati duyuyorum. En yak n zamanda alerjinin nedenini kökünden kaz yaca z. ma en küçük estetik de erinden yoksun ders kitaplar na dokunmaya gücümüz yetmez. 6

7 raçlar, maçlar ve Sonuçlar Erol Manisal (Cumhuriyet, 16 Temmuz 003) Türkiye yaklafl k 70 milyon. Bu 70 milyonun içinde bir Danimarka var, 3-4, belki de 5 milyonluk bir kesim. sl nda bu üst gelir grubu içinde de homojenlik yok. ncak baz nitelik ö eleri aç s ndan bütünlük gösteriyor. Geliflmifl ve Bat c kimli i bu grubun esas özelli i. Bat hayranl egemen. Kendisi zaten vrupal olmufl; geliri, tüketim kal b, dünyaya bak fl vrupal gibi. Dünyaya vrupal n n gözü ile bakt gibi Türkiye de Geriye kalan milyon insana da vrupal n n penceresinden bak yor. MD. Eksik olan 10 milyonu da kimse görmüyor galiba. flte zlara Lay k Hamburger Formülü! (Milliyet, 30 Temmuz 003) ngiliz matematikçiler, mükemmel hamburgerin formülünü gelifltirdi. Formülün s rr, köftenin kütlesi, kal nl ve boyunu hesaplayarak, Bir hamburger yeme yarışmasında, yanlış pişmiş bir hamburgerle karşılaşan şanssız uygun piflirme süresini sporcuya antrenörü yardım ederken. bulmakta yat yor. Uzmanlara göre, 10 a 1 santimetre (çap - kal nl k ) ebatlar ndaki bir hamburger köftesini piflirmek için 14 dakika gerekli. yn çapta ama iki kat kal nl ktaki bir köfteyi piflirmek için gereken süre için ise, kal nl çapla çarpmak yeterli. Sonuç, 0 dakika. Yanl fl piflirilen hamburgerin maliyeti ise y lda 0 milyon sterlin (46 trilyon lira). flte flk n Denklemi (Posta, 9 ustos 003) BD li bir profesör 10 y l boyunca 700 yeni evli çifti inceledi ve iki denklem kurdu. Bu denklemi çözüp evlili inizin yürüyüp yürümeyece ini anlay n. BD li Prof. James Murray in on y l boyunca 700 yeni evli çift üzerinde inceleme yaparak kurdu- u iki denklem yüzde 94 oran nda baflar l oldu. Kad n n denklemi: W(t+1) = ar1 w(t) ihw(h(t)). W = kad n, h = erkek, t = zaman, a = kad n n efliyle olmad zamanki düflüncelerini gösteren sabit say, r1 w(t) = kad n n efliyle konuflurken düflüncelerini ne kadar de ifltirdi ini gösteren say, ihw = kad n n düflünceleri üzerinde eflinin ne kadar etkili oldu unu gösteren de iflken, ih(t) = erke in görüflme s ras ndaki skoru, W(t+1) = kad n n eflinin konuflmalar na verdi i tepki. Erke in denklemi: H(t+1) = b + r w(t) iwh(w(t)). Erke in denkleminde de; b = erke in efliyle olmad zamanki düflüncelerini gösteren sabit say, r w(t) = erke in efliyle konuflurken düflüncelerinin ne kadar de iflti ini gösteren say, iwh = etki fonksiyonu, erke in düflünceleri üzerinde eflinin ne kadar etkili oldu unu gösteren de iflken, W(t) = kad n n görüflme s ras ndaki skoru, H(t+1) = erke in eflinin konuflmalar na verdi i tepki. Her iki denklem çözüldü ünde de elde edilen rakam ne kadar yüksek ç karsa, çiftlerin boflanma olas l da o kadar yüksek oluyor. MD. Formülü anlayana ve uygulayana aflkolsun! 7

8 DÜNYC ÜNLÜ MTEMTİKÇİ Langlands Matematik Dünyası na BONE OLDU (Matematik Dünyas, Güz 003) Geçen Haziran yurdumuzu ziyaret eden Princeton leri raflt rmalar Enstitüsü profesörlerinden dünyaca ünlü matematikçi Robert Langlands Matematik Dünyas dergisine abone olmufltur. Langlands 1967 de Cahit rf n davetiyle ODTÜ Matematik Bölümü nde bir y l geçirmifl ve bu vesileyle Türkçe ö renmifltir. radan geçen 35 y lda Türkçesini unutmayan Langlands, Öklid in Elemanlar n temel alarak verdi i bir dizi konferans tümüyle Türkçe sunmufltur. Konferanstan sonra yap lan kokteylin ilerleyen saatlerinde, ODTÜ de Langlands n ö rencisi olmufl, flimdi Bo aziçi Üniversitesi matematik profesörlerinden Y lmaz ky ld z Langlands Matematik Dünyas na abone etmifltir. Çeflitli çevreler, dünyaca ünlü di er matematikçilerin de Langlands örnek alarak Türkçe ö reneceklerini ve Matematik Dünyas na abone olacaklar n beklediklerini belirtmifllerdir. Formüle Uymayan Çiftler Boflan yor! (Radikal, 9 ustos 003) LONDR Evlili in kaderi art k belirsiz de il. BD li matematikçi profesör James Murray, cebir yöntemlerini kullanarak, yeni evli çiftlerin mutlu bir evlilik sürüp sürmeyece ini yüzde 94 kesinlikle hesaplad. Washington Üniversitesi nde görevli Murray, formülleri BD de 700 çift aras nda 10 y ld r yürüttü ü araflt rma sonucunda gelifltirdi. raflt rmada Murray le beraber çal flan psikolog, yeni evli çiftleri 15 dakikal k sohbetler boyunca inceledi ve Prof. James Murray çiftin cinsellik, para ve çocuk yetifltirme üzerinde konuflurken verdikleri bilinçsiz tepkileri iyi ya da kötü olarak puanlad. Örne in gülümseme, samimi tav rlar iyi puan hanesine yaz l rken, gözleri kaç rma, alayc ses tonu ve so uk tav rlar kötü puan hanesine yaz ld. Puanlar cebir formatlar na dökerek ifllem yapan Prof. Murray, her çiftin boflanma olas l klar n hesaplad. ki y lda bir kontrol edilen çiftlerin sonuca uygun davran p davranmad klar n gözleyen Murray, yüzde 94 oran nda baflar sa lad n öne sürüyor. Bulgular n skoçya da düzenlenen bir konferansta ilk kez ortaya koyan Murray, s rlar n Evlili in Matemati i adl kitapta anlatt. (Reuters) MD. Y lmaz Erdo an n bir m sra n an msatt, ben senin beni sevebilme ihtimalini sevdim. 1 Eylül 003 tarihinde dergimize en çok abonesi bulunan ilk 16 bölüm: 1. Dokuz Eylül, Mat. 83. nadolu, Mat Trakya, Mat Uluda, Mat Süleyman Demirel, Mat Bo aziçi, Mat nönü, Mat tatürk, Mat ODTÜ, Mat Koç, Mat Marmara, Mat stanbul, Mat nkara, Mat Mersin, Mat Dokuz Eylül, E itim Gazi, Mat. 4 8

9 Kapak Konusu: Çizgeler Çizgelerin nlam ve Önemi Evren anlayamayaca - m z kadar karmafl k ve çetrefillidir. Her an, çok az n alg lad - m z, birço unu alg layamad m z, alg lasak da fark na varmad m z, hatta alg lamak bile istemedi- imiz, dahas, alg lasak ve alg lad m z n fark na varsak da o alg lad klar m zla ne yapaca m z bilemedi imiz milyonlarca, milyarlarca, belki de sonsuz say da veriyle karfl karfl yay z. Varolabilmek için, anlayamayaca m z kadar karmafl k olan bu evreni bir biçimde biraz olsun anlamaya çal flmal y z. Bunun için de yalan söylemek, birçok veriyi yoksaymak ya da de ifltirmek zorunday z. Yalan söylemenin en yal n biçimlerinden biri, varl klar aras ndaki ikili bir iliflkiyi bir çizge biçiminde göstermektir. Sözgelimi insanlar aras ndaki tan fl kl k iliflkisini ele alal m... Yak ndan ya da uzaktan tan mak, kanka olmak, gözü s rmak, flöyle böyle tan mak, içti i su ayr gitmemek, can ci er olmak, ad n duymak, efl dost olmak, s k f k olmak, g yaben ya da ailece, çocukluktan, askerlikten, cezaevinden ya da yolculuktan tan flmak... Bin bir türlü tan fl kl k iliflkisi vard r. Hiçbir tan fl kl k hiçbir tan fl kl a benzemedi i gibi, her tan fl kl k iliflkisi her an de iflir. Tan fl kl derecelendirmek de mümkün de ildir. Her fleye bir not vermeye al fl t r lm fl z belki ama verilen o not ço u kez aldat c d r. Güzelli e, dostlu- a, sevgiye, tan fl kl a not verilmez örne in. Do ru olsun ya da olmas n, biz tan fl kl a bir not verelim. ki kifli birbirini ya tan s n ya da tan mas n. Bunun ortas, eh iflte si olmas n. Yani ya hep ya hiç! Ya s f r ya bir! Ya herro ya merro! Daha fazla yalan söylemek bir hayli güç olmal! Bar fl, hmet ve Canan tan yorsa, ama hmet le Canan birbirini tan m yorsa, bu durumu afla daki gibi bir flekille gösterebiliriz. Bu flekilde noktalar insanlar, noktalar n aras ndaki çizgiler de tan fl kl k iliflkisini simgeler. B Ne hmet ne Bar fl ne de Canan birer noktad r. ralar ndaki C tan fl kl k da bir çizgi de ildir. Elbette! ma biz öyle gösterdik... 9 nlafl lamayacak kadar karmafl k olan insan ve aralar ndaki tan fl kl k iliflkisini yukardaki basit flekille gösterdik. Birçok veriyi yoksayarak... Yani yalan söyleyerek... Berlin le ntalya ve Chicago aras nda uçak seferi varsa, ama ntalya yla Chicago aras nda uçak seferi yoksa, bu durumu (flehirler aras ndaki mesafeyi yoksayarak), aynen yandaki gibi gösterebiliriz. Burada noktalar flehirleri, noktalar n aras ndaki çizgiler de uçak seferi var iliflkisini simgeler. Daha sade olmak istiyorsak, yukardaki durumu, soldaki gibi de gösterebiliriz. Bir de afla daki yol haritas na göz atal m. B C E Bu haritay noktalar ve çizgiler kullanarak, belki biraz daha az estetik ama çok daha kolay anlafl - l r biçimde afla daki gibi gösterebiliriz. E Bir çizge (ya da graf) iflte yukar daki gösterdi imiz gibi bir flekildir 1. Nokta say s çok çok artabilir, sonsuz bile olabilir. Baz noktalar aras na iliflki var anlam na bir çizgi çekilir. Çizgilerin boyu bosu, flekli flemali önemli de ildir, çizgilerin sadece varl klar ya da B D 1 Matematiksel tan m birazdan verilecek. B D C C C B

10 yokluklar önemlidir. Çizgi sadece ve sadece iki nokta aras nda bir iliflki oldu unu simgeler. Noktalar n konumu da önemli de ildir. Çizgiler istenmedik bir biçimde kesiflebilirler de. Örne in, yukardaki çizgede EB ve D çizgileri kesifliyorlar, ama kesifltikleri yerde çizgenin bir noktas yok. B Bu çizgeyi yandaki gibi çizgilerin C kesiflmedi i bir flekille E de gösterebilirdik. D E er C yle ve E aras nda da birer çizgi olsayd, çizgemizi, kesiflmemesi gereken çizgilerin kesiflmeyece i biçimde çizemezdik. stenmedik kesiflimlerin olmayaca biçimde düzleme çizilebilen çizgelere düzlemsel çizge denir. B Öte yandan sonlu her çizge üç boyutlu E C (içinde yaflad - D m z) uzaya, kesiflmemesi gereken çizgilerin kesiflmeyece i biçimde çizilebilir. Örne in yukardaki çizgeye C ve CE çizgilerini üç boyutta kesiflmeyecek biçimde ekleyebiliriz. ki boyutta çizmek B daha kolay ol- E C D du undan, çizgelerimizi iki boyutta çizece iz. Dolay s yla kimi zaman çizgilerimiz, yukar daki flekilde oldu u gibi, istemedi imiz halde kesiflecek. Çizgelerimizde flehirler aras mesafe, yolun biçimi, irtifa gibi bilgiler kayboldu, sadece flehirler aras nda bir yolun olup olmad bilgisi kald. Mesafelerin varl çok çok (ama gerçekten çok çok) önemliyse, yani vazgeçilmezse, illa da olmas gerekiyorsa, örne in bir yol haritas çiziyorsak, çizgilerin üstüne mesafeyi bildiren bir say yazabiliriz. ma yazmasak daha iyi olur... B Ya da, örne in çizgiler yollar simgeliyorsa, E trafi in tek C D yön oldu u yollara (yani çizgilere) oklar koyabiliriz. ma koymasak daha iyi olur... Kimi zaman da iki flehir aras nda (sözgelimi E yle D aras nda) iki de iflik yol olabilir, o zaman iki nokta aras nda birkaç çizgi birden olabilir. B ma olmasa daha E C iyi olur... D nlafl lmaz bir nedenden flehrinden gene flehrine giden ve baflka bir flehirden geçmeyen bir B yol olabilir. ma C böyle gereksiz yollar (tekdöngüler) olmasa daha iyi olur... E D Bir nedenle, noktalar aras ndaki çizgileri de iflik renklere boyamak zorunda kalabiliriz... Yani noktalar aras ndaki çizgilerin türleri olabilir B (otoyol, patika, sokak, C cadde, bulvar...) ma tek tür çizgi olsa daha iyi olur... E D Bir baflka nedenle noktalar renklere boyamak zorunda kalabiliriz, örne in, illeri ilçelerden, ilçeleri kasabalardan, kasabalar köylerden B ay rmak zorunda kalabiliriz. ma böyle C E bir zorunlulu un olmamas D her fleyi da- ha basitlefltirir. Bu say da ele alaca m z çizgelerde genellikle iki nokta aras nda birden fazla çizgi olmayacak, bir noktadan gene kendisine giden bir çizgi olmayacak, çizgilerin yönü, kal nl, rengi, kokusu olmayacak, çizgilere bir say ilifltirilmifl olmayacak, noktalar çeflitli s n flara ay ran yapay bir özellik olmayacak... Yani daha çok en basit çizgelerden sözedece iz. Bu tür çizgelere yal n çizge diyelim. Bundan böyle yal n çizge yerine çizge terimini kullanaca z. Gerekirse renklendirilmifl, yönlendirilmifl, derecelendirilmifl, numaraland r lm fl, çok çizgili çizgelerden sözederiz, ki gerekecek. Çizgenin Matematiksel Tan m d na G diyece imiz yukar daki çizgeye geri dönelim. Yukarda, G, matematiksel olarak de il, görsel olarak tan mlanm flt. fiimdi G çizgesinin matematiksel tan m n bulaca z., B, C, D, E noktalar na çizgenin noktalar de- 10

11 E nir. G çizgesinin noktalar kümesi matematikte V(G) olarak gösterilir 3. Demek ki örne imizde, V(G) = {, B, C, D, E}. ki nokta aras ndaki çizgilere kenar denir 4. Her kenar iki noktal bir küme olarak gösterebiliriz. Örne imiz olan G çizgesinin kenarlar flunlard r: {, B}, {, D}, {, E}, {B, C}, {B, D}, {B, E}, {C, D}, {D, E}. G nin kenarlar kümesi matematikte E(G) olarak gösterilir 5. Demek ki, E(G) = {{, B}, {, D}, {, E}, {B, C}, {B, D}, {B, E}, {C, D}, {D, E}}. fiimdi art k G çizgesini (V(G), E(G)) ikilisi olarak gösterebiliriz, ve bu gösterim bir çizgenin matematiksel tan m n n nas l olmas gerekti ini bize f s ldar. Matematiksel anlamda bir çizge (daha do rusu yal n bir çizge), bir V kümesiyle V nin iki elemanl altkümelerinden oluflan bir E kümesinden oluflur. V nin elemanlar na nokta, E nin elemanlar na kenar denir. Bir kenar n iki noktas na komflu noktalar denir. E er V = {1,, 3, 4, 5} ve E = {{1, }, {1, 3}, {3, 4}} ise, (V, E) çizgesini, olarak görsellefltirebiliriz. Bu çizge tek parça olmad ndan, bu çizge tekparça çizge de ildir, iki ayr parçadan oluflmufltur, birbiriyle ba nt l olan {1,, 3, 4} parças ve tek bafl na duran {5} parças. 1 3 Çizgeyi nas l görsellefltirdi imizin hiçbir önemi yoktur elbette. Noktalar istedi imiz gibi kâ da yerlefltirebiliriz. ralar ndaki kenarlar istedi imiz gibi çizebiliriz, ister bir do ru parças olarak, ister bir e ri olarak. Örne in, e er noktalar kümesi V = {1,, 3, 4, 5, 6} Köfle ya da dü üm dendi i de olur. 3 V(G) nin V si ngilizce uç nokta, köfle demek olan vertex sözcü ünün V sidir. 4 Çizgi, ba nt, ayr t dendi i de olur. 5 E(G) nin E si ngilizce kenar demek olan edge sözcü ünün E sidir. C 4 B 5 D ise ve tek say larla çift say lar aras nda bir kenar varsa, yani kenarlar kümesi E = {{1,}, {1,4}, {1,6}, {3,}, {3,4}, {3,6}, {5,}, {5,4}, {5,6}} ise, (V, E) çizgesini afla daki flekillerden herhangi biri olarak görsellefltirebiliriz: Çizgeleri yukardaki gibi görsel olarak ifade etmenin büyük avantajlar olsa da, nokta say s çok olan çizgeleri görsel olarak ifade etmek kolay olmayabilir. Uç noktalar ve B olan bir kenar {, B} diye yazaca m za k saca B olarak yazarsak yaz l m m z sadeleflir. Elbette, bu yaz l mla, B = B eflitli i geçerlidir. Yukardaki çizge tan m n n sadece yal n çizgeler için geçerli oldu unu unutmay n. Örne in ve B noktalar aras nda iki ayr kenar n oldu u bir çizgede bu iki kenar n her ikisini birden {, B} olarak gösteremezdik. Çizgelerin Önemi. Çizgeler son derece önemlidir. Ünlü Çizgeler K n çizgesi, tüm kenarlar n varoldu u n noktal çizgedir. Bunlara tamçizge denir. K 1 K K 3 K 4 K 5 C n çizgesi, her noktaya tam iki kenar de en tekparça n noktal çizgelerdir. Bunlara döngü denir. C 1 C C 3 C 4 C 5 K n,m çizgesi, noktalar n ve m elemanl olmak üzere iki ve B kümesine ayr lm fl, daki her noktan n B deki her noktaya ba land baflka da kenar olmayan çizgedir. K n,m ye ikiparça ya da iki B kümeli tamçizge denir. K 3,4 çizgesi 3 11

12 Kapak Konusu: Çizgeler Tek Hamlede Çizilen Çizgeler fla daki çizgeyi elinizi kâ ttan en fazla iki kez kald rarak (yani en fazla üç çizimde, yani üç hamlede) ve ayn kenardan iki kez geçmeyerek çizebilir misiniz? Çizebilirseniz nas l çizersiniz, çizemezseniz neden çizemezsiniz? Bu sorunun yan t olumsuzdur. Yandaki çizge el kâ ttan en fazla iki kez kald r larak ve iki kez ayn kenar n üstünden geçmeyerek (ama iki kez ayn noktadan geçmeye hakk m z var) çizilemez. Bunu kan tlayal m. Çizgede sekiz nokta var. Ve her noktaya üçer kenar de iyor; daha matematiksel deyiflle her noktan n derecesi 3. Bunu akl m zda tutal m, birazdan gerekecek. Daha do rusu, noktalar n derecelerinin tek say olduklar gerekecek. Çizimin ortas nda oldu umuzu varsayal m. Bir noktaya do ru ilerliyoruz... O noktaya ulaflt k... fiimdi o noktadan ç kmam z gerekiyor. Demek ki, çizimin ortas nda geçti imiz her noktaya derece kazand r r z: o noktaya ulaflt m zda ve o noktadan uzaklaflt m zda. Öte yandan çizime bafllad m z ve çizimi bitirdi imiz noktalara yaln zca 1 derece kazand r r z. Demek ki hiç elimizi kald rmazsak, elde etti imiz çizimin noktalar n n en fazla ikisi d fl nda hepsinin derecesi çift olmak zorundad r. Sonuç olarak elimizi en fazla iki kez kald rarak (yani en fazla üç çizimde) çizebilece imiz çizgelerin noktalar n n en fazla alt s n n derecesi tek olabilir. Oysa, sorumuzdaki çizgede derecesi tek olan tam sekiz nokta var, dolay s yla o çizge üç çizimde çizilemez. sl nda tek çizimde, elimizi kald rmadan çizebilece imiz çizgelerin tek dereceli noktas ya hiç olmaz ya da sadece iki tane olabilir; e er çizimi bafllad m z yerde bitiriyorsak her nokta çift dereceli olmal, e er çizimi bafllad m z yerde bitirmiyorsak sadece iki noktan n derecesi tek olabilir: çizime bafllad m z ve çizimi bitirdi imiz nokta. Yandaki çizgeyi, hemen hemen her ilkokul ö rencisinin bildi i üzere, elimizi hiç kald rmadan çizebiliriz. Nitekim bu çizgede derecesi tek olan iki nokta vard r, en alttaki iki nokta. Bundan da çizime bu noktalardan birinden bafllay p di erinde bitirmemiz gerekti i anlafl l r. Soru: Hangi çizgeleri elimizi kald rmadan tek hamlede çizebiliriz? E er çizge tekparça de ilse, yani birbiriyle ba- nt s olmayan birkaç (birden fazla) altçizgeden olufluyorsa, örne in çizgede baflka hiçbir noktaya ba lanmam fl bir nokta varsa, çizge elbette tek bir hamlede çizilemez. Yukardaki soruyu tekparça olan çizgeler için sormal y z. Demek ki, iki kez ayn kenardan geçmeyecek biçimde tek hamlede çizilen çizgeler tekparça olmal lar ve bu çizgelerin tek dereceli nokta say s ya 0 ya da olmal. E er yolculuk bafllad m z noktada sona eriyorsa, o zaman her noktan n derecesi çift olmal. E er yolculuk bafllad m z noktada sona ermiyorsa, o zaman yolculu un bafllad ve sona erdi i noktalar n dereceleri tek olmal, di er noktalar n dereceleri çift olmal. Bunun tersi do ru mu? Yeni Soru: Tek dereceli nokta say s n n 0 ya da oldu u tekparça çizgeler tek hamlede (el kald rmadan) her kenardan sadece bir kez geçilerek çizilebilir mi? Yan t evet tir. Bunu bir sonraki Euler Turu yaz s nda görece iz. Yukarda söylediklerimizin hepsi, iki nokta aras nda birden fazla kenar n oldu u ya da bir noktadan gene ayn noktaya giden tekdöngülerin oldu u çizgeler için de geçerlidir. 1

13 Kapak Konusu: Çizgeler Euler Turu Çizge kuram n n bilinen en eski sorusu Königsberg köprü problemi dir. Yukarda, Königsberg deki Pregel nehrinin ve karalar aras nda geçifli sa layan yedi köprünün plan n görüyorsunuz. Bu yedi köprünün herbirinden sadece bir kez geçecek bir yolculuk mümkün müdür? Euler 1736 da bunun mümkün olmad n göstermifltir: Kara parçalar n (yani nehrin iki yakas n ve iki adac ) dört noktayla, yedi köprüyü de bu noktalar aras na koyaca m z kenarlarla gösterirsek çizgesini 1 elde ederiz. Her köprüden tam bir kez geçmek demek, yukardaki çizgenin her kenar ndan tam bir kez geçecek bir yolculuk bulmak demektir. Bir önceki yaz da da gördü ümüz üzere bu mümkün de ildir, çünkü derecesi tek olan nokta say s 0 ya da de ildir. Her kenardan tam bir kez geçen ve bafllad noktaya geri dönen yolculuklara Euler turu denir. Euler turu olan çizgelerin tekparça ve her noktas - n n çift dereceli olmas gerekti ini biliyoruz, bir 1 Bu yaz da iki nokta aras nda birden fazla kenar n oldu u çizgeleri de kabul edece iz. Hatta çizgelerimizde, baflka bir noktadan geçmeden, bir noktadan gene ayn noktaya giden tekdöngüler de, yani gibi kenarlar da olabilir. Bir önceki yaz da tan mland üzere, noktas n n derecesi, noktas na de en kenar say s d r. E er bir kenarsa, bu kenar n n derecesine katar. E er B ise ve çizgede B kenar varsa, bu kenar ya 1 derece katar. önceki yaz da görmüfltük bunu. fiimdi bu iki koflulun çizgede Euler turu olmas için yeterli oldu unu kan tlayaca z. Teorem [Euler, 1736]. Her noktas n n derecesinin çift oldu- u sonlu ve tekparça bir çizgede Euler turu vard r. Önce bir önsav: Önsav. Her noktas n n derecesinin en az iki oldu u bir çizgede, bafllad noktaya dönen ve hiçbir kenardan iki kez geçmeyen bir yolculuk vard r. Kan t: Dikkat edilirse önsav m z yolculu un her kenardan ya da her noktadan geçece ini söylemiyor. 0 çizgenin herhangi bir noktas olsun. 0 noktas ndan bafllayan bir yolculu a ç kaca z. Önce 0 dan 0 a ba l herhangi bir 1 noktas na gidelim. Yolculu umuza devam ediyoruz: 1, 0 a ba l ; ama derecesi en az iki oldu undan 1 e bir baflka yol daha de meli. Diyelim 1, noktas na 0 1 yolundan de iflik bir yolla ba l, diyelim 1. fiimdi 0 1 diye bafllad m z yolculu a 1 den ye giderek devam edelim. Yolculu umuza devam ediyoruz:, 1 e ba l, ama derecesi en az iki oldu undan ye bir baflka yol daha de meli, diyelim 3. fiimdi 0 1 diye bafllad m z yolculu umuza den 3 e giderek devam edelim. Yolculu umuza devam ediyoruz: 3, ye ba l ; ama derecesi en az iki oldu undan 3 e bir baflka yol daha de meli, diyelim 3 4. Yolculu umuza 3 ten 4 e giderek devam edelim. Bu yolculu u böylece sürdürelim. 13

14 diye bir yolculuktay z, ve her i için i i+1 i+1 i+. Çizge sonlu oldu undan, bir zaman sonra ayn noktaya ikinci kez rastlamal y z. Örne in 4 = 7 olabilir, hatta 8 = 9 olabilir. Daha önce geçti imiz bir noktaya ilk rastlad m zda dural m. Bu (birbirine eflit olan) ilk noktay ve aras ndaki yolu alal m. Örne in ilk nokta eflitli i 4 ve 7 de rastlan yorsa, yolunu ele alal m. Bu yol bafllad noktaya (örne imizde 4 ) geri döner (örne imizde 7 = 4 noktas na) ve iki kez ayn kenardan geçmez. 1-6 noktal Noktal Euler Çizgeleri Euler Teoremi nin Kan t : Çizgemize G diyelim. Kan t m z G nin kenar say s na göre tümevar mla olacak. Çizgemiz tekparça oldu undan, derecesi 0 olan nokta yoktur. Dolay s yla her noktan n derecesi en az ikidir (ve çifttir). Bir önceki önsava göre çizgede ayn kenardan iki kez geçmeyen ve bafllad noktaya geri dönen bir yolculuk vard r. C böyle bir yolculuk olsun. E er C, G deki tüm kenarlar içeriyorsa C bir Euler turudur ve iflimiz bitmifltir. çermiyorsa G den C deki kenarlar ç kard m zda, G den daha az kenara sahip, muhtemelen birkaç parça ve yine her noktas n n derecesi çift olan bir H çizgesi elde ederiz noktal C H Tümevar m varsay m na göre, H çizgesinin her parças nda bir Euler turu vard r. yr ca H çizgesinin her parças n n C ile ortak en az bir noktas olmal d r, yoksa G tekparça olamazd. G de arad - m z Euler turunu flöyle elde edelim: C deki kenarlar izleyelim ve H çizgesinin bir noktas na gelince o noktan n bulundu u parçan n Euler turunu izleyip ayn noktaya geri dönelim ve C de ilerlemeye devam edelim. C deki bafllad m z noktaya dönünce G nin Euler turunu tamamlam fl oluruz

15 Bir önceki sayfada her kenar n n derecesinin çift oldu u n =, 3, 4, 5, 6, 7 noktal tekparça yal n çizgeleri bulacaks n z. Bunlara Euler çizgeleri denir. Her kenardan bir kez geçerek ve el kald rmadan tek hamlede çizilen çizgeleri saptayal m flimdi. Bir önceki yaz da gördü ümüz üzere bu tür çizgeler tekparça olmal ve derecesi tek olan 0 ya da noktas olmal. fiimdi görece imiz üzere, bu koflullar, çizgenin her kenar ndan bir kez geçerek tek hamlede çizilebilmesi için yeterlidir. Teorem. Tek dereceli nokta say s n n 0 ya da oldu u tekparça çizgeler tek hamlede (el kald rmadan) her kenardan sadece bir kez geçilerek çizilebilir. Kan t: Çizgemize G diyelim. E er tek dereceli nokta say s 0 ise, yani her noktan n derecesi çift ise, bu, Euler in yukarda kan tlad m z teoremi. fiimdi çizgede tek dereceli sadece iki nokta oldu unu varsayal m. Bu noktalara ve B diyelim. ve B aras na yeni bir kenar ekleyelim (aralar nda kenar varsa da ekleyelim, an msarsan z çizge tan m - m z bu yaz da daha genifl, iki nokta aras nda birden çok kenar oldu u çizgeleri de kabul ediyoruz.) Elde etti imiz çizgeye H ad n verelim. Elbette H nin her noktas n n derecesi çifttir. yr ca H tekparçad r, çünkü G nin kendisi tekparça, bir kenar eklemekle tekparçal k bozulmaz, tam tersine çizge daha da tekparça olur! Demek ki, yukarda kan tlad m z Euler in teoremine göre H nin bir Euler turu vard r. Bu Euler turuna istedi imiz kenardan bafllayabilece imize dikkatinizi çekeriz. Tura, G ye ekledi imiz B kenar yla bafllayal m. Tur B diye bafllay p gene da bitiyor. Bu Euler turundan en bafltaki B kenar n atarsak, G de her kenardan sadece bir kez geçen (B de bafllay p da biten) bir yolculuk bulmufl oluruz. Bu teoremimiz de kan tlanm flt r. yr k Döngülerin Bileflimi Olan Çizgeler Bir döngü, bafllad noktaya geri dönen ve ayn noktadan iki kez geçmeyen bir yolculuktur. Teorem. Bir çizgenin kenarlar n n, ortak kenar olmayan döngülerin kenarlar n n bileflimi olmas için yeter ve gerek koflul, her noktan n derecesinin çift olmas d r. 1 0 i Kan t: Döngülerin noktalar n n derecesi oldu undan, koflul gereklidir. fiimdi koflulun yeterli oldu unu kan tlayal m. Önce her noktas n n derecesi çift olan bir çizgede bir döngü bulal m. k yn noktadan iki kez geçmeyen en uzun yolu alal m. Bu yol k olsun ( i ler yolun noktalar, geçildikleri s rayla dizilmifller, hiçbiri bir di erine eflit de il.) 0 n derecesi çift oldu- undan 0 a ba l 1 den baflka bir nokta daha olmal. Bu noktaya B diyelim. fiimdi B k yoluna bakal m. Bu yol, ayn noktadan geçmeyen en uzun yoldan daha uzun, dolay s yla ayn noktadan iki kez geçmeli ve ikinci kez geçilen nokta elbette B noktas olmal. Diyelim B = i, i > 1. fiimdi B i bir döngüdür. Çizgede bir döngü bulduk. Bu döngünün kenarlar n çizgeden ç kar rsak daha az kenarl ve her noktas n n derecesi gene çift olan bir çizge buluruz. Yukarda yapt m z bu çizgeyle yapal m. kinci bir döngü buluruz. Bu döngüyü de ç karal m çizgeden, ve böylece kenar kalmayana dek devam edelim. Çizgemizin kenarlar, bu teker teker att m z döngülerin kenarlar n n bileflimidir. 15

16 n Noktal Çizge Say s o çizge: Bir Noktal Çizgeler: Sadece bir tane var. flte ki Noktal Çizgeler: ki noktal iki çizge var. flte: 1 1 Üç Noktal Çizgeler: Üç noktal sekiz çizge var. flte: Noktalar adland r lm fl çizge say s (örne imizde 8), noktalar adland r lmam fl çizge say s ndan (örne imizde 4) çok daha fazla (haliyle...) n Noktal Çizge Say s. Genel olarak n noktal çizge say s n bulal m. Noktalar m z 1,,..., n diye adland ral m. Herhangi iki nokta aras nda bir kenar olup olmad na karar verece iz. {1,,, n} noktalar kümesinde n = n(n 1)/ tane nokta çifti vard r. Herbir nokta çifti için kenar var ya da kenar yok yarg s n verece iz. Yani n(n 1)/ tane evet ya da hay r karar verece iz. Demek ki n noktal toplam n(n 1)/ tane çizge vard r. Örne in n = 3 ise, 3(3 1)/ = 3 = 8 çizge vard r, yukar da görüldü ü gibi E er n = 100 ise, çizge say s 100(100 1)/ = 4950 dir, yani 1491 haneli bir say ds z Üç Noktal Çizgeler. Yukarda teker teker herbirini çizdi imiz üç noktal 8 çizgeye geri dönelim. E er bu 8 çizgenin noktalar n n adlar n silersek geriye sadece 4 çizge kal r: ds z Dört Noktal Çizgeler. fiimdi n = 4 olsun. 6 oldu undan, noktalar adland r lm fl 4 = çizge say s 6 = 64 d r. Hepsini çizmeyece iz, hatta hiçbirini çizmeyece iz, merakl s varsa çizsin... Noktalar n adlar n silelim Çizge say s gene azal r, 11 e iner. flte o 11 çizge: Noktalar adland r lmam fl çizge say s n bulmak kolay de ildir. Bu soru 1850 lerde ilk olarak rthur Cayley taraf ndan sorulmufltur. Daha sonralar Cayley bu problemi belirli bir karbon atomuna sahip C n H n+ alkanilerini sayma problemine uygulam flt r. (n tane C noktas, herbirinin derecesi 4 ve n + tane H noktas ve herbirinin derecesi 1. Bu koflullar sa layan rthur Cayley kaç çizge vard r?) Noktalar adland r lmam fl çizge say s Pólya Say land rma Yöntemi denilen bir yöntemle hesaplanabilir. Bu 16

17 konuya Noktas z Çizgeleri Saymak yaz m zda de inece iz. ds z Befl Noktal Çizgeler. E er n = 5 ise, adland r lmam fl noktal 34 çizge vard r. flte o 34 çizge [RW]: 5 Noktal Çizgeler n G n = n ads z noktal çizge say s Çeflitli kaynaklarda bulunan bu say lar n do rulu unu kontrol etmedik! Say lar n korkunç bir h zla artt belli. Daha fazla bilgi, /cgi-bin/access.cgi/as/njas/sequences/eis.cgi?num = ve SimpleGraph.html sitelerinde bulunabilir Tekparça Çizge Say s. Her iki nokta aras nda en az bir yolun bulundu u çizgelere tekparça çizge demifltik. n =, 3, 4, 5 için tekparça çizgeler afla da: Çizgenin alt ndaki.3.4 gibi kodlar aç klayal m. Örne in.3.4 kodu, dereceli nokta oldu unu 1, 3 dereceli nokta oldu unu ve 4 dereceli 1 nokta oldu unu söylüyor..3.4 kodlu çizgede 1 dereceli nokta yok. Çizgeler bu kodlara göre s ralanm fllar. En baflta 0 5, yani kodlu çizge, sonra 0 3 1, yani kodlu çizge En sonda da 4 5, yani kodlu çizge yn koddan birkaç de iflik çizge olabilir, örne in 1. 3 kodlu iki de iflik çizge var. Küçük nokta say s için durum flöyle: 1 Bir noktan n derecesi o noktaya de en kenar say s d r. Tekparça çizge say s toplam çizge say s ndan (yani G n den) daha azd r elbet, ama ne kadar daha azd r? n noktal tekparça çizge say s na T n diyelim. Küçük n ler için T n say s n n de erini bir sonraki sayfadaki çizelgede bulacaks n z [RW]. 17

18 n T n = n ads z noktal tekparça çizge say s (Bknz. Görüldü ü gibi T n say lar G n lerden çok çok küçük de il, hatta onlara oldukça yak n. T n /G n say lar 1 e yak nsarlar, ve görüldü ü üzere oldukça çabuk yak nsarlar. Bir baflka deyiflle, rastgele sonlu bir çizge tekparçad r, yani n büyüdükçe, n noktal bir çizgenin tekparça olma olas l artar. Bu konuya Sonlu Rastgele Çizgeler yaz s nda de inece iz. O yaz da daha neler neler görece iz! Örne in, n artt kça, n noktal rastgele bir çizgenin düzlemsel olma olas l düfler, 0 a yak nsar. Gene n artt kça, bir noktadan herhangi bir baflka noktaya tek bir noktadan geçerek ve kenarlar takip ederek (yani iki ad mda) gidebilirsiniz, çok büyük bir olas l kla Bir baflka deyiflle rastgele bir çizgenin çap dir. Bunlar, son y llar n çok canl araflt rma konusu olan Rastgele Çizgeler Kuram na girer. n T n /G n 1 1 0, 5 3 0, 5 4 0, , , , , , , , , , , , , , ,99986 Sonsuz rastgele çizgelerden geçen say m zda Bir Tane Rastgele Çizge Var adl yaz m zda sözetmifltik. Bu say da bol bol sonlu rastgele çizgelerden sözedece iz. Bu say lar [RW] den al nm flt r. ncak tekparça çizge say s toplam çizge say s ndan daha fazla olamayaca ndan, [RW] nin n = 3 için verdi i bu say larda bir hata olmal. kiparça Tamçizgelerin Kenar Say s n tane nokta alal m. Bu n noktay iki kampa ay ral m. Bir kampta a, öbür kampta b nokta olsun. Demek ki a + b = n. Kamplara s ras yla ve B diyelim. kamp ndaki noktalar n hepsini birbirine ba layal m. B kamp ndaki noktalar n da hepsini birbirine ba layal m. ma kamp ndaki hiçbir noktay B kamp ndaki bir noktaya ba lamayal m. Böylece bir çizge elde ederiz, birbirinden ayr k iki parçadan oluflan bir çizge Örne in n = 7, a = 3, b = 4 için afla daki çizgeyi elde ederiz: B n verilmiflse, hangi a ve b için bu çizgenin kenar say s maksimumdur ve hangi a ve b için bu çizgenin kenar say s minimumdur? Benzer sorular üç de iflik kampa ayr lm fl noktalar için yan tlamaya çal fl n. 18 dland r lm fl n noktal n(n 1)/ tane çizge oldu unu gördük. Peki, n noktal ve m kenarl kaç çizge vard r? Olas kenar say m z n(n 1)/. Bu olas n(n 1)/ kenardan m tanesini seçmemiz gerekiyor. Demek ki n noktal m kenarl çizge say s nn ( 1)/ m dir. Bir Oyun ki kifli bir G çizgesi üzerinde oyun oynuyorlar. Oyunun kural flöyle: Birinci oyuncu bir a noktas n seçer. kinci oyuncu a noktas na bitiflik bir b noktas seçer, ab yolu oluflturur. Tekrar birinci oyuncuya s ra gelir, b noktas na bitiflik bir c noktas seçerek abc yolu oluflturur. Yol oluflturacak nokta seçebilen son oyuncu oyunu kazan r. Daha önce seçilmifl bir yolu seçmek yasak. a. G çizgesi mükemmel efllemesi olan (bknz. sayfa 1) bir çizge olsun. Bu durumda ikinci oyuncu oyunu kazanmak için hangi stratejiyi izlemelidir? b. G çizgesinin mükemmel efllemesi olmas n. Birinci oyuncu kazanmak için hangi stratejiyi izlemelidir?

19 Kapak Konusu: Çizgeler aç ve Orman Döngü sü olmayan çizgelere orman denir. Bir döngü, bafllad noktaya geri dönen ve iki kez ayn noktadan geçmeyen bir yolculuktur. aç ise tekparça bir ormand r; yani a aç, döngü bar nd rmayan tekparça çizgedir. Tahmin edilece i üzere, ormanlar a açlardan (en az bir a açtan) oluflur. Örne in afla daki çizge üç a açtan oluflmufl bir ormand r. açlar, en basit, en yal n, en sade çizgelerdir diyebiliriz. Kolay kan tlanan ilginç özellikleri de vard r. Örne in, bir a ac n herhangi iki noktas birbirine tek ve tek bir yolla ba l d r. ac n iki noktas iki de iflik yolla ba lanm fl olsa, bu iki yoldan kolayl kla bir döngü elde edilebilir. Çizge kuram nda bir soruyu önce a açlar için yan tlamak bafllang ç noktas olarak kabul edilir; amaç daha sonra o soruyu genel olarak çizgeler için kan tlamakt r. Bu nedenle a açlar için do ru oldu u gösterilmifl ama a aç olmayan bir çizge için do ru olup olmad bilinmeyen birçok san vard r. n noktal bir a ac n kenar say s n bulal m. Yukar daki orman n a açlar n soldan sa a T 1, T, T 3 diye adland r rsak, T 1 in nokta say s = 4, T 1 in kenar say s = 3 T nin nokta say s =, T nin kenar say s = 1 T 3 ün nokta say s = 5, T 3 ün kenar say s = 4 eflitliklerini farkederiz. n noktal bir a ac n n 1 kenar olmas gerekti ini tahmin etmiflsinizdir: Teorem 1. n noktal bir a ac n n 1 kenar vard r. Bir a açtan derecesi 1 olan noktalar ve o noktalara de en kenarlar atal m. Geriye gene bir a aç kal r. Bu a açtan da derecesi 1 olan noktalar ve o noktalara de en kenarlar atal m. Bu iflleme böyle devam edelim. Geriye ya bir nokta kal r ya da hiç kalmaz. E er geriye bir nokta kal rsa, geriye kalan o noktaya a ac n merkezi denir. Bafllad m z a aca T 0, daha sonra elde etti imiz a açlara s ras yla T 1, T,... dersek, T 0 n her eflyap dönüflümü (geçen say da tan mland bu kavram) T i a açlar n gene kendine götürmek zorundad r. 19 Kan t: Kan t m z nokta say s üzerine tümevar mla yapaca z. n = 1 ise, a ac m z tek noktal kenars z bir çizge olmak zorunda oldu undan teoremimiz bu fl k için do rudur. fiimdi n > 1 olsun ve 0 < r < n ise, her r noktal a ac n r 1 kenar oldu unu varsayal m (tümevar m varsay m ). n noktal bir T a ac n ele alal m. T nin bir kenar n silelim (ama kenar n uç noktalar n silmeyelim.) Böylece T den daha az kenarl ve iki a açtan oluflmufl bir orman elde ederiz. Bu iki a ac n nokta say lar na n 1 ve n diyelim. Elbette n 1 + n = n dir. Tümevar m varsay m ndan dolay bu iki küçük a açta n 1 1 ve n 1 kenar vard r. Dolay s yla T a ac nda (n 1 1) + (n 1) + 1 = n 1 + n 1 = n 1 tane kenar vard r. Bir Sonuç. En az n kenarl n noktal bir çizgede bir döngü vard r. Bir Baflka Sonuç. n noktal bir çizgenin en az n kenar varsa o zaman o çizgede mutlaka bir döngü vard r. açlarla ilgili di er bir özellik de fludur: Teorem. En az iki noktal sonlu bir a açta derecesi 1 olan en az iki nokta vard r. Kan t: ac m za T ad n verelim. T a ac ndaki en uzun yolu ele alal m. Bu yol da bafllay p B de bitsin. Bu yol en uzun yol oldu undan ve B noktalar n n dereceleri 1 olmak zorundad r. Bunlar kolay sonuçlard. fiimdi daha zor bir sonucu kan tlayaca z, a açlar sayaca z. Cayley e ithaf edilen bir problem olan noktalar adlan-

20 d r lm fl a aç say s n bulaca z. lk yaz da noktalar adland r lm fl çizgelerden söz etmifltik. Okurun haf zas n tazelemek aç s ndan bir örnek verelim: fla daki adland r lm fl a açlar n ilk üçü ayn adland r lm fl a açt r, dördüncüsü ilk üçünden de ifliktir. 1 3 Noktalar adland r lmam fl olsayd dördünün de birbirinden fark kalmayacakt. Teorem (Cayley, 1889). n noktal n n tane noktalar adland r lm fl a aç vard r. fiimdiye kadar gördü ümüz teoremlerin kan tlar oldukça kolayd. Bu teoremin kan t hiç de kolay de ildir. Prüfer ve Clarke n bulduklar kan t aç klayaca z. n = için sonuç belli: noktal tek bir a aç vard r. Bundan böyle n 3 eflitsizli ini varsayal m. Noktalar adland r lm fl n noktal her a aç için, terimleri {1,,..., n} kümesinden olan bir (a 1, a,..., a n ) dizisi bulaca z. Yöntemimiz, noktalar adland r lm fl n noktal a açlarla, terimleri {1,,..., n} kümesinden olan n uzunlu- undaki diziler aras nda bir eflleme verecek. Bu biçimde yaz lm fl n n adet dizi oldu undan sonucu elde etmifl olaca z. Önce noktalar adland r lm fl her T a ac na karfl l k gelen (a 1, a,..., a n ) biçimindeki diziyi nas l elde edece imizi aç klayal m. Nokta adlar n n 1,,..., n oldu unu varsayal m. b 1, derecesi 1 olan (bknz. Teorem ) ad en küçük nokta olsun. a 1 de b 1 in bitiflik oldu u tek nokta olsun. Dizimizin ilk terimine a 1 yaz p, b 1 noktas n ve ona bitiflik kenar silip n 1 noktal yeni a aca bakal m ve ayn ifllemi bu yeni a aca uygulayal m. Bu ifllemi sadece iki nokta kalana kadar uygularsak arad m z (a 1, a,..., a n ) dizisini elde ederiz. Bu yöntemle elde edilmifl dizi, T a ac n n Prüfer dizisi diye adland r lm flt r. Örnek: Yandaki a aç için s ras yla 1, 13, 51 ve 54 kenarlar - n silip a açlar n elde ederiz. T a ac n n eflleflti i dizi (1, 1, 5, 5) dizisidir. fiimdi terimleri {1,,..., n} olan herhangi bir (a 1, a,..., a n ) dizisinin hangi a aca karfl l k geldi ini bulal m. b 1 bu dizide görünmeyen en küçük nokta olsun. a 1 ve b 1 noktalar aras na bir kenar koyal m. rd ndan diziden a 1 i kald r p n 3 terimli yeni diziye bakal m ve b 1 i yok say p yöntemimizi yeni diziye uygulayal m. Bu flekilde ad m ad m a ac n kenarlar n belirleyebiliriz. Son ad mda ise hâlâ daha kullanabilece imiz at lmam fl son iki nokta aras na kenar koyarak a ac m z tamamlar z. Örnek: (1,, 1, 4) dizisine bu yöntemi uygulayarak eflleflti i T a ac n bulal m. Dizimiz dört terimli oldu una göre noktalar kümesi {1,, 3, 4, 5, 6} olacak. Dizinin ilk noktas 1, görünmeyen en küçük noktas 3 tür. Dolay s yla 13 çizece imiz ilk kenar. Yeni dizimiz (, 1, 4). Bu sefer 3 ü dikkate almayaca z, yani noktalar kümemizin {1,, 4, 5, 6} oldu unu varsayaca z. Yeni dizimizin ilk terimi, dizide görünmeyen en küçük nokta da 5. Demek ki 5 de bir kenar. yi dizimizden silip geri kalan (1, 4) dizisini ele alal m. 3 ve 5 noktalar n art k kullanmayaca z. 1 dizinin ilk terimi, ise dizide görünmeyen en küçük nokta, dolay s yla 1 di er bir kenar olacak. rt k, 3 ve 5 noktalar n kullanmayaca z. Son dizi (4) dizisi, dizide görünmeyen en küçük nokta 1, demek ki 14 di er bir kenar olacak. 1 de kullanmayaca m z noktalar aras na eklendi. Son ad mda, kullanabilece imiz kalan iki nokta aras na bir kenar koyaca z, yani 46 da bir kenar. Demek ki (1,, 1, 4) dizisi a ac yla eflleflir. lk yöntemi uygulayarak bu a ac n eflleflti i dizinin (1,, 1, 4) oldu unu kontrol edebilirsiniz. Bu iki yöntem noktalar adland r lm fl n noktal a açlarla, terimleri {1,,..., n} kümesinden olan n uzunlu undaki diziler aras nda eflleme vermektedir. Demek ki noktalar adland r lm fl n noktal a aç say s n n dir. 5 0