6. Ders Optik Sabitlerin Frekansa Bağlılığı. n(ω)

Transkript

1 6. Drs Otik Sabitlrin Frkansa Bağlılığı n()

2 Bu bölüü bitirdiğinizd, Otik sabitlrin frkansa bağlılığı, Otik dağını, Gru kırıla indisi, Plaza frkansı knularında bilgi sahibi lacaksınız.

3 Otik sabitlrin frkansa bağlılığının öni Kırıla indisinin h grçk h d sanal kısıları frkansa çk sıkı bağlıdır. Blli bir dalga byunda gçirgn lan başka bir dalgabyunda çk iyi bir sğurucu labilir, Otik dvrnin tasarı aratrlri frkans aralığını içrcktir, Maddnin rngi üzrin düşn dalganın frkansı il ilgilidir. 3

4 Altıncı Drs: İçrik Otik Sabitlrin Frkansa Bağlılığı Dilktrik Orta Sğura Dağıtkanlık Mtal Orta Plaza Frkansı 4

5 Otik sabitlrin Frkansa Bağlılığı- Şidiy kadar, dış lktrik alanın frkansını sabit kabul di rtaın alana tkisini vrn Kutulana Vkörünü (P) bularak rtaın tik aratrlrini tanıladık. Otlktrnikt kullanılan ışık tk bir frkansla sınırlı dğil, gniş bir frkans aralığını içrktdir. Maddnin lktrik duygunluğu χ (dlayısı il kırıla indisi n) frkansa nasıl bağlıdır? Duygunluğun (χ) frkansa bağlılığı klasik dl kullanılarak bulunabilir. Klasik dld (-) yüklü lktrn, (+) yüklü çkirdğ bağlıdır. Dış alan, lktrnu dng nktasından uzaklaştırarak atun yük dağılıını dğiştirir (bağlı lktrnların); bunun snucunda dil nti luşturur. - + E=0 - E 0 + E - µ() + + E() µ() - Alanın yön dğiştirsi il birlikt alandan dlayı luşan dil ntlrinin yönü d dğişir. Dış alanın frkansı düşüks dil ntlri bu dğişi ayak uydurarak alanla salınacak, ancak çk yüksk frkanslarda alana ayak uyduraayarak alanın dğişiini gridn taki dcklrdir. E 0 E() 5

6 Otik sabitlrin Frkansa Bağlılığı- Otik sabitlrin frkansa bağlılığını bulak için önclikl kutulana vktörünün (P) frkansa bağlılığını bulaız grkck. E(t) E µ(e(t)) r P r = ε χ E Kutulana vktörü (P) dil nti cinsindn yazılırsa r r r r P( t) = µ ( t) N = qx( t) N = ε χ( t) E( t) at qn χ( t) = x( E( t)) ε Önclikl yaılası grkn dil ntlri için yrdğiştiryi x( t)? N: At (vya lkül) yğunluğu Duygunluk (χ) yüklrin yrdğiştirsin x(t) bağlı lduğu için rtadaki at vya lküllrin dış alanın frkansına bağlı larak yrdğiştirsi bulunabilirs tik sabitlr d türtilbilir. hsalaak lacaktır. Bunun için atun, lktrnun sabit çkirdk trafında harktin dayanan v kütl-yay sisti gibi düşünüldüğü klasik dli kullanılabilir. 6

7 Otik sabitlrin Frkansa Bağlılığı-3 Işığın +z yönünd (kutulana x-dğrultusunda) rtada ilrldiğini düşünürsk, dalga dnkli r i( kz t+ ) (, ) = E r r φ Gnlik E ˆ = Ei E z t y x E x - k z=0 dilktrik α=sbt z x z=0 F y x=0, q x r r i t E(0, t) = E z=0 nktasında alanın zaana gör dğişii r r z=0 nktasında lktrn üzrin tki dn kuvvt (*) F = E(0, t) Elktrik alan (ışığın) uygulandığında atdaki lktrnların dağılıı dğişir, lktrn dng knuu trafında salını yaaya zrlanır. (*) EM dalganın anytik alanının lktrn üzrin uyguladığı Lrntz kuvvti (qv B), E il B karşılaştırıldığına görsiz hızlarda çk küçük lduğundan düşük hızlarda ihl dilbilir. 7

8 Otik sabitlrin Frkansa Bağlılığı-4 Ata bağlı lktrnun harktini dng nktası trafında harnik titrşi yaan yay gibi düşünbiliriz. F y, q F y = - kx k yay kuvvti x x=0 Bu salını sırasında hıza bağlı larak bir kayı lacaktır. Enrji kaybını dx γ ( ) = γ x& dt Elktrnun harkt dnkli şklind yazabiliriz. Burada γ hızla rantılı kayı katsayısıdır. && x = kx γ x& + F Burada k, gri çağırıcı kuvvt sabiti, lktrnun kütlsi, x lktrnun yrdğiştirsi v F dış is dışarıdan uygulanan kuvvttir (ışık duruunda lktrik kuvvt yani F dış =E). Yukarıdaki dnkl düznlnirs Bu difransiyl dnklin çözüü γ k && x + x& + x = Fdıs dıs şklind yazılabilir.. drcdn, dğrusal, hjn layan difransiyl dnkl x(t)=(hjn kısının çözüü)+(özl çözü) 8

9 Otik sabitlrin Frkansa Bağlılığı-5 Hjn kısının (F dış =0 duruunda) çözüü x h (t): γ k && x + x& + x = 0 Çözüün x ( t) = x şklind lduğunu düşünbiliriz (burada Ω lktrnun salını frkansıdır). Çözüü yukarıdaki hjn dnkld yrin kyarsak k ( Ω + + iω ) = 0 Eğr γ=0 => Hjn kısın açık çözüü +x h x h (t) γ k Ω ± = ± iγ k γ Ω ± = ± 4 k γ γ i( ± ( ) 4 x ( t) = x h Τ=π/ ο γ = 0 t +x h h t iωt Bu tri rznans frkansı dnir. x h (t) γ 0 x h γ/ Τ=π/ Burada (γ/) ifadsi sönü katsayısıdır. t -x h Ortada kayı yk -x h Ortada kayı var 9

10 Otik sabitlrin Frkansa Bağlılığı-6 Özl kısın (F dış 0 duruunda) çözüü x (t): F = E = E i t dıs γ k && x + x& + x = Fdıs = E it Çözüün i t x ( t) = x şklind lduğunu düşünbiliriz (lktrnun, dalganın frkansı il salındığını düşünrk). Bu duruda, lktrnun yrdğiştirsi için aranan çözü: E x ( t) = ( ) γ k ( i + ) Yukarıdaki ifadyi rznans frkansı ( ) cinsindn yazarsak özl çözü: it x ( t) = ( ) E( t) γ i ( + ) 0

11 Otik sabitlrin Frkansa Bağlılığı-7 Gnl çözü x(t)=x h (t)+x (t) T >> T=π/ T= dalganın riydu x h (t>>t) => 0 x (t>>t) => x( t >> T) ( ) E( t) γ i ( + ) Hjn kısın çözüü kısa zaan snunda sıfıra gidr. x(t), lktrnun dış lktrik alandan dlayı (+) yüklü iyna gör görli yrdğiştirsidir. Bundan yla çıkarak dil ntini tanılaaya çalışırsak. Dil nti tanıından, =qd atun dil nti µ at µ = at Kutulana Vktörü P=(Tla dil nt)/haci r P = µ N Burada N biri haci başına düşn at sayısıdır. Kutulana vktörünü r r r P = ε şklind yazabiliriz. χ E = x( t) N r r r r N E( t) P = ε χ E( t) = x( t) N = ( ) χ( ) = ( N) γ ε γ i ( + i ) at ( + ) x( t)

12 Otik sabitlrin Frkansa Bağlılığı-8 Burada N χ( ) = ( ) ε Plaza frkansı cinsindn lktrik duygunluk Elktrik yrdğiştir vktörü D nin tanıından γ i ( + ) kısaltası yaılırsa ( laza frkansı ) χ( ) = γ ( + i ) Buradan, addnin lktrik gçirgnliğinin (ε) frkansa bağlılığı bulunabilir. [ ( )] ε = ε + χ N ε D = εe = εe + P = εe + εχe = ε( + χ )E ε ˆ ε = ε + γ + ( i ) Frkansa bağlı lktrik gçirgnlik γ ε ( i ) ˆ( ε ) = ε + γ ( ) + R ˆ ε ( ) = ε + I ˆ ε ( ) = ( ) ε ( ) γ ( ) + ε [( γ ) ] γ + Hrhangi bir kayı karaşık ε ifadsin ndn laktadır! ε ifadsi n gnl duruu göstrir. Dilktrik v iltkn rtaa gör uyarlanabilir.

13 Dilktrik Orta- Dilktrik Duru (lktrnların ata bağlı lduğu duru) k 0, 0 γ 0 nˆ ( ) ε ε γ ε ( i ) ˆ( ε ) = ε + γ ( ) + γ ( ) = ˆ = + i γ γ ( ) + ( ) + ˆ = + R n ( ) ( ) γ + ( ) ˆ I n ( ) = γ ε ( ) γ ( ) + nˆ( ) = n( ) + ik( ) k n( ) α K( ) 3

14 Dilktrik Orta- Kırıla indisinin grçk v sanal kısılarını frkansa gör grafiğ gçirirsk: Kırıla indisi frkansla artış göstrkt, bir aksiudan snra azalarak > frkansından büyük frkans dğrlrind birdn küçük bir dğr alı, daha snra tarlanarak sabit bir dğr ulaşaktadır. Kırıla indisinin frkansa bağlı lası dağını larak adlandırılır. Dağını bağıntısından dlayı gökkuşağı luşur vya bir rizadan kırılan byaz ışık rnklrin ayrılır. Ykt indisi, çk küçük bir dğrdn başlayarak frkansla yavaş artakta, = dğrind bir aksiua ulaşarak artan frkanslarda tkrar azalarak sıfıra gitktdir. γ n() K() ˆ ( ) = + ( ) R n ( ) ˆ I n ( ) γ + γ ε ( ) = γ ( ) + Düşük frkanslarda n() Yüksk frkanslarda n() R nˆ ( ) = ε / R nˆ ( 0) + n statik statik dğr 4

15 Dilktrik Orta-3 Kırıla indisinin frkansla dğişiin bakılırsa, indisin frkansla arttığı v azaldığı bölglr fark dilir. Bu bölglr nral v anral dağını bölglri dnir. Nral dağınıda kırıla indisi frkans il artar dn < 0 > 0 d n Nral dağını Anral dağını Anral dağınıda kırıla indisi frkans il azalır dn d n n kırızı avi kırızı avi Nral dağını Anral dağını 5

16 Dağıtkanlık (Disrsin)- Nral v anral bölglr n anlaa glir? n Nral dağını Anral dağını n dn > 0 d kırızı avi Nral dağınıda kırıla indisi frkans il artacağından yüksk frkanslı ışığın görcği kırıla indisi daha büyük lacak, daha büyük açılarda kırılacaktır. n dn < 0 d kırızı avi Anral dağınıda kırıla indisi frkans il azalacağından yüksk frkanslı ışığın görcği kırıla indisi daha küçük lacak, daha küçük açılarda kırılacaktır. Byaz ışık n() Nral dağını Byaz ışık n() Anral dağını 6

17 Dağıtkanlık- ın üstündki frkanslarda add rtaındaki hız ışık hızından büyük görünktdir. Bu hız aslında faz hızı lu fiziksl dğildir; bilgi ilt hızı lan gru hızı ışığın bşluktaki hızından küçüktür! Faz Hızı v f = Gru Hızı v g c n k dn = v f ( ) n dk n n() Nral dağını v f < c Anral dağını n < v f v f > c > c 7

18 Dağıtkanlık-3 n 3 n 3 Kırıla indisinin frkansa bağlılığı (dağını) birdn çk frkans bilşnini içirn tik darbnin (uls) rtada ilrlsin sınırlaa gtirir. Darbyi luşturan farklı frkanslardaki dalgaların hr biri farklı hızlarda ilrlycğindn darb bir sür snra gnişlyrk yayvanlaşacaktır. Bu duru özllikl tik iltişii lusuz yönd tkilktdir. Byaz ışık n() n > n k n n k n= n( ) n= z ( k) = v < v k c k n( k) v=c E () Gru hızı v v v 3 v g n() dn = c( n λ ) d λ E () v=c t Slitn: dağınıa uğraayan dalga şkli Gru hızını, bşluktaki hıza bağlayan yukarıdaki ifad tk dalga için yazılan fra bnztilbilir. c dn 8 vg = N ( n λ ) Gru Kırıla İndisi d λ N

19 Sğura (Absrtin)- n() sğura bandı Otik sabitlrin frkansa bağlılığından bir alznin ndn sğurucu lduğunu anlayabiliriz. Rznans frkansına yakın frkanslarda ykt indisi büyük dğrlr alacağından bu bölgd sğura çk büyük lacaktır, bu bölgnin dışındaki frkanslarda is alz sayda lacaktır. Örnğin caın rznans frkansı görünür bölgnin dışında lduğu için ca görünür bölgd ışığı sğuraz laz, bu ndnl saydadır. Görünür Rκ bölg İκ çk küçük bir sğura vardır yüksk frkanslarda sğura büyük lacağından ca sayda laz 9

20 Şidiy kadar tk bir rznans frkans ( ) düşündük. Eğr farklı frkanslarda add içind sğura lursa bu duruda dilktrik sabiti aşağıdaki şkild birdn çk rznans frkansını içrck şkild yazılır. κˆ ( ) = n() Sğura- i ( ( j ) j γ + i γ + i ) 3 K() kızılaltı 3 rötsi 0

21 İltkn Orta- İltknlr için (bağlı lktrnlar vya dillr yrin srbst lktrnlar) yay sabiti k=0 ο =0; fakat γ 0 lduğu için lktrik gçirgnlik ifadsi farklı bir şkil alır: γ ε ( i ) ˆ( ε ) = ε + γ ( ) + =0 ˆ( ε ) ˆ κ ( ) = = nˆ ε ε ifadsi a+ibşklind ynidn düznlnirs γ ε ε ˆ( ε ) = ε + i 4 γ 4 γ + + γ ε ( + i ) ˆ( ε ) = ε 4 γ + R( n ( )) İ n ( ( )) = γ + ( γ ) = 3 γ + Mtal rta

22 Kırıla indisi R ˆ κ( ) = n ( ) = ˆ κ = = I ( ) K ( ) İltkn Orta- Mtal rtada kırıla v yk t indisinin frkansa bağlılığı dilktrik rtadan farklıdır. Grafiklrdn d görüldüğü gibi bağlı lktrnlar ladığı için bir rznans frkansı yktur. γ + Mtallrd kırıla indisi, düşük frkanslarda ngatif bir dğrdn başlayı / şklind artarak sıfırdan gçtiktn snra yüksk frkanslarda sabit bir dğr ulaşır. Kırıla indisinin blli bir frkans dğrinin altında sıfır vya ngatif lası karaşık kırıla indisinin tüüyl sanal lacağına dikkat din. Ykt indisi ( γ ) 3 γ + Rκ İκ / / 3 Mtallrd ykt indisi düşük frkanslarda büyük bir dğrdn başlayarak başlayarak / 3 şklind azalarak, yüksk frkanslarda sıfıra gidr. Bu sbtndir ki yüksk frkanslarda sğura layacağı için tik lanlar tallrdn yaılır.

23 Plaza Frkansı- İltkn rtada dilktrik sabiti κ nın grçk kısının R(κ)=0 lduğu durua bakalı: n() Rκ<0 Rκ >0 R(κ)=0 ˆ R κ( ) n ( ) = = 0 = + γ + γ :Plaza frkansı = N ε N= Srbst lktrn yğunluğu (biri haci başına) >> γ/ duruunda 0 = Mtallrd laza frkansında kırıla indisi sıfır, üstünd zitif, altında is tüüyl sanaldır. Mtallrd laza frkansının altında kırıla indisi tüüyl sanal! 3

24 Plaza Frkansı- Bazı tallrin laza frkansı ( ) v laza dalgabyları (λ ) N π = λ = ε c Mtal Dğrlik N (0 8-3 ) (0 6 Hz) λ (n) Bakır (Cu) Güüş (Ag) Altın (Au) Manganz(Mg) Aluinyu (Al)

25 n Plaza Frkansı-3 Plaza frkansı altındaki frkanslarda dilktrik sabiti ngatif lduğundan kırıla indisi n=iα tüüyl karaşık sayıdır. Bu duruda rtaın tik özlliklri nasıl lur? Rκˆ ˆ R 0 κ < n() Yansıta katsayısını R = n n n + n Rκ<0 Rκ >0 Havadan tal yüzy gln dalga için Yansıta katsayısı R (n = hava, n =iα) R = iα iα + R yansıtıcı bölg sayda bölg Rκ z: karaşık sayı z * z = R iα ( )( iα ) iα = = = () = iα + + iα + iα Yansıta katsayısı (R= lduğundan, dalganın hsi yansıyacak! (Mükl ayna) 5

26 Plaza Frkansı-4 İltkn rtaın bu özlliğinin tknljik uygulaaları ndir? Günştn gln UV ışınları atsfrin üst tabakasındaki atları iynlaştırarak bir çşit laza katanı luştururlar (iynsfr). İynsfr tabakasının laza frkansı MHz rtbsinddir. A > < B C iynsfr atsfr Dünya üzrindki A v B nktaları arasındaki iltişi için kullanılacak EM dalganın frkansı nin altında lalıdır (AM rady dalgaları) R yrkür n EM dalganın frkansı C nktası için is nin üstünd lalıdır (FM dalgaları) AM (MHz) FM 6

27 Plaza Frkansı-5 Yansıta R Gçir T Basit tallr için laza frkansı rötsi bölgddir. Al λ = 80 A ħ (Al)=5.3 V Na λ = 70 A ħ (Na)=5.7 V Plaza frkansı, görünür bölgd tallrin ndn çk iyi yansıtıcı lduklarını da açıklar. Alüinyuun rngi görünür bölgdki bütün ışığı yansıttığından byazısıdır. Altının, srbst lktrnun yanı sıra bant arası gçişi (4 V) civarında lduğundan sarısı rnkt görünür. Alüinyu (Al) v güüş (Ag) yaygın larak ışık yansıtada ayna larak kullanılaktadır. R görünür ışık sğurucu bölg =.5x0 6 Hz byaz ışık Al 7

28 Bakırın Otik Sktruu Yansıta R Görünür bölg ħ =0,8 V Bakır (Cu) ħ =0,8 V Bakırın rnginin (0,8 V) byaz lasını bklriz ancak srbst lktrnların yanında bantlararası gçiştn ( V) dlayı kırızısı rnkt görünür. 8

29 Madd Ortaında Faz v Gru Hızları Dağını bağıntısı n() yakından inclndiğind ilginç özlliklr srgildiği görülür. Örnğin ışığın frkansı rtaın rznans frkansına şit (= ο ) lduğunda kırıla indisi bşluktaki dğrini (n=) alır, üstünd is birdn küçük (n<) bir dğr alır. Bu duru, kırıla indisinin tanıı hatırlandığında, ışığın rtadaki hızının bşluktaki hızından daha büyük lacağı anlaına glktdir ki bu da, ışık hızının bilgi iltiind üst sınır lduğunu öngörn gnl görliliğin snuçları il çlişktdir. n() v f < c v f > c Grçktn d add rtaında bilgi hızı ışık hızından daha büyük laaz! n< duruuna karşı gln hız aslında bilgi ilti hızı dğil dül diliş tk frkanslı bir dalganın faz hızıdır; bu duru ikincil dalgalarla açıklanabilir. 9

30 Madd Ortaında Faz v Gru Hızları Kırıla indisi, add rtaında ilrlyn dalganın (birincil dalgalar), alan tarafından uyarılan rtadaki dillrin yayınladığı aynı frkanslı dalgaların (ikincil dalgalar) girişii snucunda luşan yni dalganın ş faz yüzylrinin hızını, yani faz hızını göstrktdir. Rznans frkansının altında (A) dillrin yayınladıkları ikincil dalgalar ışığın rtada luşturduğu birincil dalgaların grisind (δ<0), rznans frkansının üstünd (C) is birincil dalgaların ilrisinddir (δ>0). Faz hızı, birincil v ikincil dalgaların girişii snucu luşan ş faz yüzylrinin hızı lduğundan rznans frkansının üstünd faz hızı ışık hızından büyük labilktdir. Bilgi ilti hızı faz hızı il dğil dül diliş dalgalarla iltildiğindn bilginin ilti hızı, faz hızının ışık hızından büyük lduğu frkans bölgsind bil ışık hızından daha büyük laaz! v g = v f dn + n d v = / k = c / n f vg = / k n() 90 < φ<80 (A) v=c v<c δ< 0 < ο v f < c v=c A B v=c δ=0 = ο φ() v f > c C φ=80 (B) n= < φ<70 (C) v=c v>c δ > 0 > ο Anral bölgd sğura büyük lduğu için bu aralıkta gru hızı tanıı da bilgi ilti hızı şklind yrulanaaz. birincil dalgalar ikincil dalgalar rtadaki nt dalga 30

31 Sğura v Dağıtkanlık Arasındaki İlişki: Krars-Krnig Bağıntısı Malznin tik özlliklrini blirlyn v karaşık sayı il ifad diln kırıla indisinin grçk v sanal kısıları birbirindn bağısız dğildir. nˆ( ) = n( ) + ik ( ) Grçk v sanal indislrdn birinin frkansa bağlılığı bütün frkans aralıklarında ta larak biliniyr is diğr indis aşağıda vriln Krars-Krnig bağıntısı yardıı il bulunabilir. Grçk kısı (kırıla indisi) K( ) n( ) = + d π P Sanal kısı (ykt indisi) n( ) K( ) = d π P Burada P, intgralin başlıca dğri (rincil valus f intgral) intgral üzrindki tkil nktaların (= ) dahil dildn alınan intgral dğridir v aşağıdaki şkild tanılanır: n ( ) η ( ) ( ) P d li n n = η d + d + η 3

32 Özt Dilktrik rtaın tik özlliklrini rznans frkansı ( ) blirlr. Rznans frkansına yakın bölgd rta sğurucu, bu bandın dışında is rta saydadır. Dilktrik rta ( ) n ( ) = R n ˆ ( ) = + ( ) γ ( ) K ( ) = İ n ˆ ( ) = γ ( ) + γ + n Κ Sğura bandı Mtallrin tik özlliklrini is laza frkansı ( ) blirlr. Srbst taşıyıcıların yğunluğu il rantılı lan rznans frkansının altındaki frkanslarda rta ükl yansıtıcıdır. İltkn rta n ( ) = R n ˆ ( ) = γ + γ ( ) K ( ) = İ nˆ ( ) = 3 γ + Rκ İκ / 3 3

33 UADMK - Açık Lisans Bilgisi Bu drs alzsi öğrn v öğrt yaanlar tarafından açık lisans kasaında ücrtsiz larak kullanılabilir. Açık lisans bilgisi bölüü yani bu bölüdki, bilgilrd dğiştir v sil yaıladan kullanı v gliştir grçklştirillidir. İçrikt gliştir dğiştir yaıldığı takdird katkılar bölüün sadc kl yaılabilir. Açık lisans kasaındaki alzlr dğrudan ya da türvlri kullanılarak glir gtirici faaliytlrd bulunulaaz. Blirtiln kasa dışındaki kullanı açık lisans tanıına aykırı lduğundan kullanı yasadışı larak kabul dilir, ilgili açık lisans sahilrinin v kaunun tazinat hakkı dğası söz knusudur. 33