= ε s = 0,003*( ,3979)/185,3979 = 6,2234*10-3

Transkript

1 1) Şekilde verilen kirişte sehim denetimi gerektirmeyen donatı sınırı kadar donatı altında moment taşıma kapasitesi M r = 274,18 knm ise b w kiriş genişliğini hesaplayınız. d=57 cm Malzeme: C25/S420 b w =? F c Sehim denetimi gerektirmeyen donatı sınırı ρ s = 0, F S Donatı oranı ρ = Soruda ρ = ρ s olarak verilmiştir. Bu durumda = 0,235 A S = 0,235 b w d olacaktır. Kiriş yüksekliği h, paspayı d olmak üzere faydalı yükseklik d = h-d = 57 cm olarak verilmiştir. Beton tasarım basınç dayanımı: f cd = f ck / γ mc C25 beton için karakteristik basınç dayanımı f ck = 25 MPa Beton karakteristik basınç dayanımı: f ck Yerinde dökme beton için malzeme katsayısı γ mc = 1,5 Beton için malzeme katsayısı: γ mc f cd = 25/1,5 = 16,67 MPa Yerinde dökme betonlar 1,5 Prefabrike elemanlar 1,4 Betonda kalite denetimi olmadığı zaman 1,7 veya daha büyük Çelik için tasarım akma dayanımı f yd = f yk / γ ms Çeliğin karakteristik akma dayanımı: f yk Beton çeliği için malzeme katsayısı γ ms = 1,15 A S = 0,235* *(b w mm )*(570 mm) S420 çelik için karakteristik akma dayanımı f yk = 420 MPa f yd = 420/1,15 = 365,22 MPa σ s Sehim denetimi gerektirmeyen donatı sınırında donatının akmış olacağı kabulü ile σ s = f yd ve F S = σ s A S = f yd A S yazılabilir. Betonarme çeliğinin elastisite modülü (E s ) 1,9x10 5 MPa ile 2,1x10 5 MPa arasında değişmekle birlikte hesaplarda 2x10 5 MPa alınmaktadır. Donatı tasarım akma şekil değiştirmesi ε yd = f yd / E s = 365,22 / = 1,8261*10-3 Eşdeğer dikdörtgen gerilme bloğu kabulüyle denge denklemleri kullanılarak çözüm yapılırsa, F C = 0,85*f cd *k 1 *c*b w =0,85*(16,67 N/mm 2 )*0,85*(c mm)*(b w mm)=12,044075b w c N (C25 için k 1 =0,85) F S = f yd A S = (365,22 N/mm 2 )* 0,235* *(b w mm )*(570 mm) = 2232,9465b w N Kuvvet dengesinden F C = F S 12,044075b w c = 2232,9465b w Tarafsız eksen derinliği c = 185,3979 mm bulunur. Donatıda akma gerçekleşip gerçekleşmediğinin kontrolü Üçgen benzerliğinden = = 0,003*( ,3979)/185,3979 = 6,2234*10-3 > ε yd M = F S (d- ) Donatı akmıştır. Yapılan kabul doğrudur. M = 2232,9465*b w *(570- ) = ,478*b w Nmm Soruda M = 274,18 knm = 274,18*10 6 Nmm olarak verilmiş olduğundan M = ,478*b w = 274,18*10 6 b w = 249,97 mm 25 cm bulunur. 1 b w d f yd Çelik gerilme-şekil değiştirme grafiği c ε cu = 0,003 ÇEKME ε yd u Bu bölgede Hooke Kanunu geçersizdir.

2 7,5 15 7,5 KIRKLARELİ ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ 2) 7 cm 10 cm Şekilde boyutları verilen boşluklu kesitin moment taşıma kapasitesi M r = 276,675 knm ise A S donatı alanını hesaplayınız. Malzeme: C30/S420 A s 40 cm b w = 30 cm Beton için f cd = f ck / γ mc = 30 / 1,5 = 20 MPa Donatı için f yd = f yk / γ ms = 420 / 1,15 = 365,22 MPa Eşdeğer dikdörtgen gerilme bloğu kabulü ile hesap yapılacak olursa C30 beton sınıfı için k 1 = 0,82 alınmalıdır. Faydalı yükseklik: d = 57 cm = 570 mm Tarafsız eksen derinliği: c Yatay dengeden F C = F S Basınç bloğu derinliği a nın irdelenmesi (a=) Basınç bloğunun hangi bölgede kaldığı belirlenmelidir. I. Durum: a 7 cm olması durumu Basınç alanı = a*b w F C = 0,85*f cd *a*b w =0,85*20*a*300 = 5100a Donatının akmış olduğu kabulüyle F S = A S f yd = A S *365,22 F C = F S olduğundan 5100a = 365,22A S ve a=(365,22/5100)a S M = F S (d - ) = A s f yd (d - ) M= 276,65*10 6 = A s f yd (d - ) A s *365,22*(570-a/2) = A s *365,22*[570-(365,22/5100)A S /2] = 276,675*10 6 denkleminin kökleri hesaplanacak olursa A S1 = 1463,61 ve a 1 =104,81 mm, a 7 cm kabulü geçersiz A S2 = 14455,6 ve a 2 = 1035,19 mm, a 7 cm kabulü geçersiz Bir diğer yolla a=7 cm olması durumunda M=5100*70*(570-70/2)= Nmm=190,995 knm M<M r olduğundan basınç bölgesi genişliğinin 7 cm den büyük olduğu görülür. a=17 cm olduğunda M=190,995+[ 2*0,85*20*75*100*( )]*10-6 =305,745 knm>m r olduğundan basınç bölgesinin 7 cm < a < 17 cm şartını sağlayacağı açıktır. II. Durum: 7 cm < a < 17 cm olması durumu Basınç alanı = 2*a*75+70*150 F C = 0,85*f cd *(2*a*75+70*150) = 0,85*20*(2*a*75+70*150) = 2550a Donatının akmış olduğu kabulüyle F S = A s f yd = A s *365,22 F C = F S olduğundan 2550a = 365,22A S ve a=(365,22a S )/2550 M = F S (d ) = A s f yd (d ) M=2550a*(570-a/2) *(570-35)= a-1275a M=M r 1275a a = 0 denkleminin kökleri a 1 = =142,449 mm (7 cm < a < 17 cm şartını sağlıyor) a 2 = =997,551 mm a=142,449 mm ve A S =(2550a )/365,22=1483,34 mm 2 bulunur. a==142,449 mm olduğunda tarafsız eksen derinliği c=173,72 mm hesaplanır. Buradan donatıdaki birim şekil değiştirme hesap edilirse, üçgen benzerliğinden = 0,003*( ,72)/173,72 = 6,8435*10-3 > ε yd = f yd / E s = 365,22 / = 1,8261*10-3. Donatı akmıştır, yapılan kabul doğrudur. 2

3 3) Malzeme: C16/S220, =2,5 cm ise kesitin pozitif ve negatif moment taşıma kapasitesini bulunuz. 2Φ16 4Φ14 30 cm h=55 cm Beton için f cd = f ck / γ mc = 16 / 1,5 = 10,67 MPa Donatı için f yd = f yk / γ ms = 220 / 1,15 = 191,30 MPa Faydalı yükseklik: d=h-=550-25=525 mm k 1 =0,85 Donatı alanları: 2Φ16 = 402 mm 2 ve 4Φ14 = 616 mm 2 a) Pozitif moment taşıma kapasitesinin bulunması: ε cu =0,003 2Φ16 c- ʹ F C F Sʹ 4Φ14 30 cm h=55 cm F S Kabul: Çekme donatısı akmış, basınç donatısı akmamıştır. Yatay dengeden: F C + F Sʹ = F S F Sʹ = A Sʹ*σ Sʹ = 402*200000*ε Sʹ = 804*10 5 *ε Sʹ N F S = A S *f yd = 616*191,30 = ,8 N Basınç donatısındaki birim şekil değiştirmeyi bulmak için benzer üçgenlerden faydalanılırsa, ε Sʹ/0,003=(c-)/c yazılır ve ε Sʹ=0,003(c-)/c F C + F Sʹ = F S 0,85*10,67*0,85*c* *10 5 *[0,003(c-25)/c]=117840,8 ifadesinden c=30,9375 mm, a==26, mm bulunur. (Diğer kök negatiftir c=-84,2769 mm) ε yd = f yd /E = 191,30/ = 9,565*10-4 Çekme donatısındaki birim şekil değiştirme üçgen benzerliğinden bulunur. 0,003/ ε S = c/() yazılarak ε S =0,003()/c=0,003*(525-30,9375)/30,9375 = 0, değeri, akma birim şekil değiştirmesinden büyük olduğundan çekme donatısı akmıştır. Başlangıçta çekme donatısı için yapılan kabul doğrudur. 3

4 Basınç donatısındaki birim şekil değiştirme ε Sʹ=0,003(c-)/c=0,003(30, )/30,9375=5,7576*10-4 değeri, akma birim şekil değiştirmesinden küçük olduğundan donatı akmamıştır. Basınç donatısı için yapılan kabul de doğrudur. Pozitif moment kapasitesi, M r + ={0,85*10,67*0,85*30,9375*300*(525-26,296875/2)+ 804*10 5 *[0,003(30, )/30,9375]*(525-25)}10-6 M r + =59,768 knm bulunur. b) Negatif moment taşıma kapasitesinin bulunması: 2Φ16 h=55 cm 4Φ14 c- ʹ 30 cm ε cu =0,003 F S F C F Sʹ Kabul I: Çekme donatısı akmamış, basınç donatısı akmıştır. Yatay dengeden: F C + F Sʹ = F S F Sʹ = A Sʹ*f yd = 616*191,30 = ,8 N F S = A S *σ S = 402*200000*ε S Çekme donatısındaki birim şekil değiştirmeyi bulmak için benzer üçgenlerden faydalanılırsa, ε S /0,003=()/c yazılır ve ε S =0,003()/c F S = A S *σ S = 402*200000*0,003()/c F C + F Sʹ = F S 0,85*10,67*0,85*c* ,8=402*200000*0,003(525-c)/c c=168,911 mm (Diğer kök -324,157 mm olup negatiftir). a==0,85*168,911=143,57435 mm ε S =0,003()/c=0,003*( ,911)/168,911=6,3244*10-3 değeri akma birim şekil değiştirmesinden büyük olduğundan çekme donatısı akmıştır, yapılan kabul yanlıştır. Kabul II: Tüm donatılar akmıştır. Yatay dengeden: F C + F Sʹ = F S F Sʹ = A Sʹ*f yd = 616*191,30 = ,8 N F S = A S * f yd = 402*191,30 = 76902,6 N Buradan da c negatif bulunacaktır. Bu kabul de yanlıştır. Kabul III: Çekme donatısı akmış, basınç donatısı akmamıştır. F Sʹ = A Sʹ*E*ε Sʹ= 616*200000*ε Sʹ = 1232*10 5 *ε S ʹ N ve ε Sʹ=0,003*(c-)/c=0,003*(c-25)/c F S = A S * f yd = 402*191,30 = 76902,6 N Yatay dengeden F C + F Sʹ = F S 0,85*10,67*0,85*c* *10 5 *[0,003*(c-25)/c] =76902,6 c=26,1608 mm bulunur. (Diğer kök -152,72 mm) a==22,23668 mm ε Sʹ=0,003*(c-)/c=0,003*(26, )/26,1608=1,33115*10-4 değeri akma birim şekil değiştirmesinden küçük olduğundan basınç donatısı akmamıştır. 4

5 ε S =0,003*()/c=0,003*(525-26,1608)/26,1608=0,0572 değeri akma birim şekil değiştirmesinden büyük olduğundan çekme donatısı akmıştır. Yapılan kabul doğrudur. Negatif moment kapasitesi, M r - ={0,85*10,67*0,85*26,1608*300*(525-0,85*26,1608/2)+ 1232*10 5 *[0,003*(c-25)/c] *(525-25)}10-6 M r - =39,291 knm bulunur. 4) Şekilde verilen iki kesitin moment taşıma kapasiteleri eşit ise, tablalı kesite konulması gereken donatı miktarını bulunuz ve kesit üzerinde gösteriniz. Her iki kesit için de Malzeme: C20/S40 ve =4 cm olarak verilmiştir. 85 cm 12 cm 5Φ12 h=60 cm 48 cm 25 cm 35 cm ε cu =0,003 5Φ12 25 cm h=60cm c F C F S Beton için f cd = f ck / γ mc = 20 / 1,5 = 13,33 MPa Donatı için f yd = f yk / γ ms = 420 / 1,15 = 365,22 MPa Faydalı yükseklik: d=h-=600-40=560 mm k 1 =0,85 ε yd =365,22/200000=1,8261*10-3 A S =565 mm 2 F C = 0,85*f cd *k 1 *c*b w = 0,85*13,33*0,85*c*250=2407,73125*c N Donatının akmış olduğu kabulüyle F S =565*365,22=206349,3 N Yatay dengeden c=85,7028 mm bulunur. Donatıdaki birim şekil değiştirme ε S =(560-85,7028)*0,003/85,7028=0, değeri akma birim şekil değiştirmesinden büyük olduğundan donatı akmıştır, yapılan kabul doğrudur. Moment taşıma kapasitesi M r =206349,3*(560-0,85*85,7028/2)*10-6 =108,04 knm Tablalı kesitte: Moment taşıma kapasiteleri eşit olduğuna göre basınç bölgesi genişliği 12 cm den küçük olacaktır ve kesit dikdörtgen kesit gibi çalışacaktır. F C =0,85*13,33*850*a=9630,925a M r =F C (d-a/2)=9630,925a*(560-a/2)= 108,04*10 6 Basınç bölgesi genişliği a=20,4039 mm (Diğer kök 1099,6 mm olup ilgili alanın dışındadır). Tarafsız eksen derinliği c=a/k 1 =24, mm ε S =0,003*()/c=0,003*(560-24, )/ 24, = 0, değeri akma birim şekil değiştirmesinden büyük olduğundan donatı akacaktır. σ S =f yd 5

6 F S = A S * f yd = F C = 0,85*13,33*850*a = 9630,925a =9630,925*20,4039 A S =(9630,925*20,4039)/365,22 = 538 mm 2 (Seçilen donatı 5Φ12=565 mm 2 ) 2Φ12 montaj donatısı 2Φ12 gövde donatısı 5Φ12 5) Malzeme: C20/S420, paspayı = 3 cm 30 cm g=60 kn/m q=26 kn/m 50 cm A 2 m B 6 m C 2 m D 80 cm 10 cm Kesit geometrisi ve malzemesi verilen kesitte, verilen yükler altında gerekli donatı alanını hesaplayınız. Hesap yükünün bulunması: P d = 1,4g + 1,6q =1,4*60+1,6*26 = 125,6 kn/m Beton için f cd = f ck / γ mc = 20 / 1,5 = 13,33 MPa Donatı için f yd = f yk / γ ms = 420 / 1,15 = 365,22 MPa Faydalı yükseklik: d=h-=600-30=570 mm Kirişin moment diyagramı: 251, ,2 M (knm) 314 B-C açıklığı: B-C açıklığında moment pozitif olduğundan çekme bölgesi kesitin alt kısmında olacaktır ve eğilme momentini karşılayacak donatı kesitin altına yerleştirilecektir. a Basınç bölgesi F C = 0,85*f cd *k 1 *c*b w = 0,85*13,33*0,85*c*300 = 2889,2775c N a= Donatının akmış olduğu kabulüyle F S = A S f yd = A S *365,22 M = F C *(d-/2) = 2889,2775c*(570-0,85c/2) = 314*10 6 Nmm Buradan bulunan c 1,2 = (230,161; 1111,02) olduğundan ilgili bölge içinde bulunan değer göz önüne alınarak c=230,161 mm yazılır. a==0,85*230,161=195,63685 mm olduğundan basınç bölgesinin tablaya kadar ulaşamadığı, dolayısıyla dikdörtgen kesit çözümü yapılacağı görülür. ε S =0,003()/c=0,003*( ,161)/230,161=4, *10-3 ε yd =f yd /E s =365,22/ =1,8261*10-3 ε S > ε yd olduğundan donatı akmıştır. Yapılan kabul doğrudur. F C =F S 2889,2775*230,161=A S *365,22 ifadesinden A S =1820,82 mm 2 bulunur. 6

7 B ve C mesnetleri: B ve C mesnetlerinde oluşan moment negatif olduğundan çekme bölgesi kesitin üst kısmında olacaktır ve eğilme momentini karşılayacak donatı kesitin üstüne yerleştirilecektir. F C =0,85*13,33*800*a M =0,85*13,33*800*a*(570-a/2)=251,2*10 6 Nmm ifadesinden a=50,8908 mm bulunur (Diğer kök 1089,11 mm olarak bulunmuştur. Bu değer kesitin dışında kaldığından aranan değer değildir). a= yazılırsa c=a/k 1 =50,8908/0,85=59,8715 mm bulunur. ε S =0,003()/c=0,003*(570-59,8715)/ 59,8715 = 0,02556 değeri, akma birim şekil değiştirmesi a değerinden büyük olduğundan donatı akacaktır. F S = A S f yd yazılabilir. F C =F S dengesinden, 0,85*13,33*800*50,8908=A S *365,22 yazılarak A S =1263,06 mm 2 bulunur. 7