Eksenel Yükleme Amaçlar

Transkript

1 Eksenel Yükleme Amaçlar Geçtiğimiz bölümlerde eksenel yüklü elemanlarda oluşan normal gerilme ve normal şekil değiştirme konularını gördük, Bu bölümde ise deformasyonların bulunması ile ilgili bir metot inceleyeceğiz. Bu yöntemi kullanarak, denge denklemlerinin yeterli olmadığı durumlarda mesnet reaksiyonlarının hesabının nasıl yapılacağını göreceğiz. Ayrıca termal gerilme ve bu gerilmeden kaynaklı şekil değişimi de incelenecek.

2 Eksenel Yükleme Saint-Venant Prensibi Geçtiğimiz bölümlerde, kesit içindeki gerilme ve birim şekil değiştirme kavramlarından bahsetmiştik. Ayrıca, gerilme ve şekil değiştirme arasında malzeme türüne bağlı olarak matematiksel bir ilişki olduğunu göstermiştik(σ-ε diyagramları). Malzeme, lineer bölgede kaldığında σ-ε ilişkisinin Hooke yasası ile ifade edilebildiğini göstermiştik. Yanda ekseni doğrultusunda yüklenmiş çubuğu ele alalım:

3 Eksenel Yükleme Saint-Venant Prensibi Şekil değiştirme gerilme ile ilişkili olduğuna göre, şunu demek mümkün: yükün uygulandığı noktadan uzaklaştıkça, şekil değiştirmeler dolayısıyla gerilmeler daha üniform(düzgün yayılı) bir duruma dönüşmektedir. Bu uzaklık en az en kesitin en büyük boyu kadar olmalıdır! Bu kural tüm yükleme durumları ve elemanlar için geçerli değildir. Örnek olarak ince çeperli plaka elemanlar verilebilir.

4 Eksenel Yükleme Saint-Venant Prensibi Belli bir derinliğe ulaştıktan sonra, tekil yükleme sanki düzgün yayılı yükleme gibi en kesiti zorlamaktadır:

5 Eksenel Yükleme Saint-Venant Prensibi Saint-Venant prensibini (Barre de Saint-Venant, 1855, Fransız) şöyle özetleyebiliriz: Bir elemandaki gerilme dağılımını incelemek istediğimizde, yüklemenin yapıldığı yere yakın gerilmelerin incelenmesine gerek yoktur. Yüklemenin yapıldığı noktadan yeterli bir uzaklıkta oluşan düzgün yayılı gerilmenin incelenmesi gerilme analizi için yeterli olmaktadır. İstenirse bu mesafe tam olarak elastisite teorisinden faydalanılarak hesaplanabilir. Yüklemenin olduğu bölgedeki gerilmeler farklı bir şekilde incelenmelidir. Yük Etkiyor

6 Eksenel Yüklü Elemanlarda Elastik Deformasyon Gerilme şekil değiştirme ve Hooke yasasını kullanarak, eksenel yüklü bir elemanın şekil değişiminin hesaplanması için bir denklem geliştirilecek. Aşağıda verilen kesit alanı değişken genel çubuk elemanını ele alalım: Bu elemana uçlarından tekil kuvvetler ve eleman ekseni boyunca ise yayılı eksenel yükler etkimektedir. Yayılı yükü, örneğin, çubuğun ağırlığı veya sürtünme kuvveti olarak düşünmek mümkün.

7 Eksenel Yüklü Elemanlarda Elastik Deformasyon Saint-Venant prensibi gereği üniform gerilmelerin olduğu bir bölgeyi inceleyelim. Kesit yöntemi kullanarak dx uzunluğunda ve A(x) en kesit alanına sahip bir parça çıkartalım: P(x) kuvveti, dx elemanını kesikli çizgilerle gösterilen şekilde deforme edecektir. Bu durumda, bu parçada oluşacak gerilme ve şekil değiştirme aşağıdaki gibi hesaplanabilir: P( x) σ = ve ε = Ax ( ) dδ dx

8 Eksenel Yüklü Elemanlarda Elastik Deformasyon Bu değerlerin orantılılık limitini geçmediğini kabul edersek(malzeme lineer elastik bölgede), Hooke yasası ile bunları birleştirme mümkündür: σ = Eε P( x) dδ =E Ax ( ) dx dδ = P( xdx ) AxE ( ) Çubuğun toplam boy değişimini bulmak istersek, her iki tarafı çubuk boyunca integre edebiliriz: δ = L P( xdx ) AxE ( ) 0

9 Eksenel Yüklü Elemanlarda Elastik Deformasyon δ = Burada δ çubuk üzerinde bir noktanın diğer bir noktaya göre rölatif yer değiştirmesi olarak tanımlanır. L P( xdx ) 0 AxE ( ) Yukarıdaki formülün özel bir hali çubuğun sabit en kesitinin olması ve sabit eksenel kuvvete maruz kalması durumudur: δ = PL AE

10 Eksenel Yüklü Elemanlarda Elastik Deformasyon Eğer eleman birden fazla farklı noktalara etkiyen eksenel kuvvete maruz kalıyorsa, bu durumda eksenel şekil değiştirme denklemi aşağıdaki formu alır: δ = PL AE

11 Eksenel Yüklü Elemanlarda Elastik Deformasyon δ = PL AE Yukarıdaki denklemi uygulayabilmek için, pozitif yön kabulü yapmak gerekir. Çubuğun boyunda uzama yaratan kuvvete ve şekil değişimine pozitif işaret vereceğiz. Tersi için ise negatif işaret verilecek.

12 Eksenel Yüklü Elemanlarda Elastik Deformasyon Yukarıdaki çubuğun toplam eksenel şekil değişimini bulmak için aşağıdaki formülü uygulamak gerekmektedir(neden?): δ = PL AE Eksenel iç kuvvetler

13 Örnek -1 Şekildeki çelik kolon, üzerine etkiyen eksenel yüklere maruzdur. A AB = 1 in 2 ve A BD =2in 2 enkesitalanlarınasahiptir.çelikmalzemesininelastisitemodülüe= 29(10 3 )kip/in 2 isekolondaanok.meydanagelenyerdeğişimiveb ninc yegöre yer değişimini bulunuz (1 kip = 4448 kn ve 1 in = 2.54 cm ve 1 ft = cm eşittir). Birimler arası ilişkiler: 1 in 2 = cm 2 ( m 2 ) kip/in 2 = ~200 GPa 1 ft= 12 in = cm

14 Örnek 1 (devam) İç kuvvetler kesit yöntemi ile hesaplanır: Eksenel iç kuvvetler

15 Örnek 1 (devam) İşaret kabulünü de dikkate alarak, A noktasında oluşan eksenel toplam yer değişimi aşağıdaki gibi hesaplanır: B C Benzer şekilde B nin C ye göre yer değişimi de hesaplanır(mesnet aşağıda C ye yakın): Burada B, C den uzaklaşmaktadır, çünkü sonuç pozitiftir.

16 Örnek -2 Aşağıdagösterilenmekanizma400mm 2 alanasahipalüminyumabtüpündenve bunun içinden geçen 10 mm çapa sahip çelik çubuk elemandan oluşmaktadır. Çubuk eleman rijit bir plaka ile tüpe uçlarından bağlanmıştır. Çubuğa 80 kn luk çekme kuvveti etkidiğinde, C ucunun yer değiştirmesi ne kadar olmaktadır. E ç =200GPaveE al =70GPa dır. Çelik(10 mmçap) Alüminyum(400 mm 2 alan)

17 Örnek 2 (devam) İç Kuvvetler: Aşağıdaki serbest cisim diyagramına referansla, elemanlarda oluşan iç kuvvetleri bulabiliriz. Bu durumda, tüpte basınç, çubuk elemanda ise çekme kuvvetleri oluşmaktadır.

18 Örnek 2 (devam) Yer Değiştirme: İlk önce C ucunun B ucuna göre yer değiştirmesini hesaplamamız gerekmekte(dikkat edilirse B ucu şekil değiştirmekte). Pozitif işaret, C nin B ye göre sağa hareket ettiğini göstermektedir, çünkü çubuk uzamaktadır. B noktasının A sabit noktasına göre hareketi ise aşağıdaki gibidir:

19 Örnek 2 (devam) B ve C nin yer değiştirmelerinin ikisi de sağa doğru olduğuna göre, C noktasının A sabit noktasına göre hareketi aşağıdaki gibi bulunur:

20 Örnek -3 ABrijitkirişişekildegösterilençapı20mmolançelikACkolonunaveçapı40mm olan alüminyum BD kolonuna oturmaktadır. 90 kn luk yükün etkidiği F noktasındaki düşey yer değiştirmeyi hesaplayınız. E ç =200GPaveE al =70GPa dır.

21 Örnek 3 (devam) İç Kuvvetler: Kolonlardaki basınç kuvvetleri AB kirişinin dengesi incelenerek bulunur. Bu kuvvetler kolonlarda gelişen iç kuvvetlere eşit olacaktır: A B C D AC nin Yer Değiştirmesi: A ucunun yer değiştirmesinden hesaplanır.

22 Örnek 3 (devam) BD nin Yer Değiştirmesi: B ucunun yer değiştirmesinden hesaplanır. Aşağıdaki diyagram kirişin eksenel orta çizgisinin yapmış olduğu yer değiştirmeyi göstermektedir, üçgenlerin benzerliğinden, F noktasının düşey yer değiştirmesi hesaplanabilir:

23 Süperpozisyon Prensibi Süperpozisyon prensibi, karmaşık bir yüklemeye maruz bir elemanın herhangi noktasındaki gerilme veya yer değiştirmenin hesabında kullanılır. Süperpozisyon prensibi şunu der, yüklemeler parçalara bölündüğünde bir noktadaki gerilme veya yer değiştirme, ayrı ayrı yükleme parçalarının meydana getirdiği gerilme ve yer değiştirmelerin toplamına eşittir. Süperpozisyon prensibinin geçerli olabilmesi için aşağıdaki iki şartın sağlanması gerekmektedir: Kuvvetgerilmeve yerdeğiştirmeilelineerorantılıolmakzorunda.örneğinσ=p/ave δ=pl/(ae).p,σveδilelineerbirilişkiyesahiptir. Kuvvet, elemanın orijinal geometrisini önemli ölçüde değiştirmemelidir (birinci mertebe teorisi), çünkü değişirse yandaki ilişki sağlanmaz: P( d) Pd1+ Pd2

24 Statikçe Belirsiz Eksenel Yüklü Elemanlar Süperpozisyon Prensibinin Kullanımı Eksenel yüklü bir eleman iki ucundan aşağıdaki gibi mesnetli ise reaksiyon kuvvetlerinin bulmak için denge denklemleri yeterli değildir: + F = 0; F + F P= 0 B A (1) FB ve FA reaksiyonlarını tek bir denklemle çözemediğimiz için bu çubuğa statikçe belirsiz çubuk(problem) denmektedir.

25 Statikçe Belirsiz Eksenel Yüklü Elemanlar Süperpozisyon Prensibinin Kullanımı Gerekli olan ekstra denklemi yazabilmek için deformasyonların dikkate alınması gerekmektedir. Deformasyonlarla ilgili bu ekstra şarta uygunluk (compatibility) veya kinematik şart denir. Bu problem için uygunluk şartı aşağıdaki gibi yazılabilir: A δ A/ B = 0 Bu denklem kuvvet-yer değiştirme ilişkisi kullanılarak ifade edilebilir: F L F L A AC AE B BC = AE A ve B uçları mesnetli olduğundan birbirlerine göre hareket yok! 0 (2) B AE yi sabit alırsak, (1) ve (2) nolu denklem çözülerek, reaksiyon kuvvetleri hesaplanabilir. F P A L CB = B = L F P L AC L Sonuçlar poz. olduğu için yönler doğrudur.

26 Eksenel Yüklü Elemanlar için Kuvvet Yönteminin Kullanılması 0 = δ P -δ B (Uygunluk şartı) 0= (1) Denge denkleminin düşey yönde uygulanması ile =0= + (2) (1) ve(2) denklemleri çözülürse = = F B dedengedeklemindenf A yıyerinekonarak bulunabilir.

27 Örnek -4 Aşağıda verilen çelik çubuk 10 mm çapındadır. Yüklenmeden önce A noktasına sabitlenmiştir. Yük etkimeden önce B ucuyla duvar arasında 0.2 mm boşluk mevcuttur. P = 20 kn kuvvet şekildeki gibi etkidiğinde, A ve B noktalarında gelişecekreaksiyonkuvvetlerinihesaplayınız.e ç =200GPa dır.

28 Örnek 4 (devam) Denge: Kuvvet etkidikten sonra, B ucunun duvara değeceği kabul edilecek. Bu durumda, iki uçta iki adet reaksiyon kuvveti oluşacaktı. Serbest cisim diyagramı kullanarak çubuğun denge denklemi yazılabilir: 3 ( ) + (1) F = 0; F F N = 0 x A B

29 Örnek 4 (devam) Uygunluk Şartı: Yükleme B noktasını B noktasına hareket ettirmiştir. Bu noktadan sonra ise hareket duvar tarafından engellenmektedir. Bu durumda çubuk için uygunluk şartı aşağıdaki gibi yazılabilir: δ B/ A = m Bu yer değiştirme, bilinmeyen reaksiyon kuvvetleri cinsinden de yazılabilir, aşağıdaki şekle referansla: A B

30 Örnek 4 (devam) veya Denklem (1) ve (2) yi çözersek, bilinmeyen reaksiyon kuvvetlerini buluruz: Not: Sonuçlar pozitif olduğu için yönler doğru seçilmiştir. Eğer F B negatif çıksaydı, o zaman problem statikçe belirli bir probleme dönüşecekti. Neden? Başta bir kabulle yola çıkmıştık, neydi bu kabul?

31 Örnek 4 Kuvvet Yöntemi ile Çözüm δ P δ B = m + =0

32 Örnek -5 Üç adet çelikten yapılmış çubuk, şekilde gösterilen rijit kirişi pinli (mafsallı) birleşimlerle tutmaktadır. Kirişe şekildeki gibi 15 kn luk bir kuvvet etkidiğinde, çubuklarda gelişen kuvvetleri hesaplayınız? AB ve EF çubukları 50 mm 2 ve CD çubuğuise30mm 2 alanasahiptir.

33 Örnek 5 (devam) Uygunluk Şartı: Yükleme ACE çizgisini (kiriş merkezinden geçen eksenel çizgi ile temsil edilmiştir), A C E eğik çizgisi haline getirecektir. Yer değiştirmeler birbirleriyle benzer üçgenler kullanılarak ilişkilendirilebilir: Uygunluk(kinematik) şartı! Kirişin rijit olması kabuülüne dayanıyor

34 Örnek 5 (devam) Denge Şartı: Kirişin serbest cisim diyagramı aşağıda gösterilmiştir. Dikkat edilirse problem statikçe belirsizdir, çünkü üç adet bilinmeyen ve sadece iki adet denge denklemi vardır. Bu denklemler:

35 Yük şekil değiştirme ilişkilerini kullanarak, yukarıdaki denklem kuvvetler cinsinden yazılabilir: Örnek 5 (devam) (3) Denklemler (1), (2) ve (3) birlikte çözülürse, çubuk kuvvetleri elde edilir. Dikkat edilirse uygunluk denklemi kullanılarak, gerekli olan ekstra bir denklem daha elde edilmiştir.