T.C. ERCİYES ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

Transkript

1 T.C. ERCİYES ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ KİRİŞSİZ DÖŞEMELİ BETONARME YAPILARIN YATAY KUVVETLER ALTINDA RİJİTLİK DEĞERLERİNİN YAPAY SİNİR AĞLARI İLE ANALİZİ Tezi Hazırlayan Ahmet ÖZBAYRAK Tezi Yöneten Yrd. Doç. Dr. Yaşar UĞUR İnşaat Mühendisliği Anabilim Dalı Yüksek Lisans Tezi Eylül 2008 KAYSERİ

2

3 T.C. ERCİYES ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ KİRİŞSİZ DÖŞEMELİ BETONARME YAPILARIN YATAY KUVVETLER ALTINDA RİJİTLİK DEĞERLERİNİN YAPAY SİNİR AĞLARI İLE ANALİZİ Tezi Hazırlayan Ahmet ÖZBAYRAK Tezi Yöneten Yrd. Doç. Dr. Yaşar UĞUR İnşaat Mühendisliği Anabilim Dalı Yüksek Lisans Tezi Eylül 2008 KAYSERİ

4 i

5 ii TEŞEKKÜR Tez çalışmamı tamamlamamda bana her türlü teşvik ve destek veren danışmanım Sayın Yrd. Doç. Dr. Yaşar UĞUR a sonsuz teşekkür borçluyum. Bu çalışmayı hayatım boyunca benden maddi ve manevi desteklerini esirgemeyen aileme, ayrıca babam Merhum Mükremin ÖZBAYRAK a ithaf ediyorum.

6 iii KİRİŞSİZ DÖŞEMELİ BETONARME YAPILARIN YATAY KUVVETLER ALTINDA RİJİTLİK DEĞERLERİNİN YAPAY SİNİR AĞLARI İLE ANALİZİ Ahmet ÖZBAYRAK Erciyes Üniversitesi, Fen Bilimleri Enstitüsü Yüksek Lisans Tezi, Eylül 2008 Tez Danışmanı: Yrd. Doç. Dr. Yaşar UĞUR ÖZET Yüksek lisans tezi olarak gerçekleştirilen bu çalışmada; Kirişsiz Döşemeli Betonarme Yapıların Yatay Kuvvetler Altında Rijitlik Değerlerinin Yapay Sinir Ağları ile Analizi konusu araştırılmıştır. Kirişsiz döşemeli sistemler, kirişler olmaksızın doğrudan doğruya kolonlara oturan döşeme sistemleridir. Bu çalışma kapsamında önce döşeme sistemleri genel olarak ele alınmış, sonra kirişsiz döşemeli sistemler hakkında açıklayıcı bilgiler sunulmuş daha sonra düşey yükler altında ülkemiz standart ve şartnamelerince benimsenmiş farklı çözüm yöntemleri örnekler üzerinden anlatılmıştır. Yatay deprem kuvvetleri altında ise; Eşdeğer Çerçeve, Ünlüoğlu nun moment geçiş katsayıları kullanarak geliştirdiği yöntem ve Sonlu Elemanlar tabanlı SAP2000 yazılımı ile sistem analiz edilmiştir. Kirişsiz döşemeli sistemlerin yatay kuvvetler altında analizinde alışılmış yöntemlerin kullanılması ya çok zaman alıcıdır ya da hata yapılması olasılığı yüksektir. Yapay Sinir Ağları çok karmaşık problemleri önce problemi öğrenerek sonra öğrendiği bilgileri hatırlama özelliği ile bir dizi basit işlemler ile analiz eder ve hızlı bir şekilde sonuca ulaşarak hesap zamanını kısaltır. Bu çalışmanın sonucunda Yapay Sinir Ağları nın yatay kuvvetler etkisi altında, kirişsiz döşemelerin sonuç tasarım momentlerini ihmal edilebilecek hata oranları ile öğrendiği gözlenmiştir. Literatürde yatay kuvvetler etkisi altında, kirişsiz plak döşemeli sistemlerin Yapay Sinir Ağları ile analizine rastlanmamıştır. Anahtar Kelimeler: Plaklar, Döşemeler, Betonarme, Yapay Sinir Ağları, Sonlu Elemanlar Yöntemi.

7 iv ANALYSIS OF RIGIDITY OF REINFORCED CONCRETE FLAT SLABS WITH ARTIFICIAL NEURAL NETWORKS UNDER LATERAL LOADS Ahmet ÖZBAYRAK Erciyes University, Graduate School of Natural and Applied Sciences Master of Science Thesis, September 2008 Thesis Supervisor: Assist. Prof. Dr. Yaşar UĞUR ABSTRACT In this Master of Science thesis, Analysis of Rigidity of Reinforced Concrete Flat Slabs with Artificial Neural Networks under Lateral Loads is analyzed. Flat slabs are the type of slabs which were carried directly by columns without beams. In this study, primarily information about the slabs systems and the flat slabs is given and then different analysis s methods under vertical loads, accepted by national standards and codes are explained through examples. Under lateral earthquake loads the system is analyzed by three different methods. These are; Equivalent Frame Analysis, Unluoglu s Moment Distribution Coefficients Method and Finite Element Method based SAP2000 Computer Programme Analysis. Conventional methods used for the analysis of rigidity of reinforced concrete flat slabs under lateral loads are sometimes too tedious or too long causing many errors and time spending. However Artificial Neural Networks can simplify many complex problems. Once the Artificial Neural Networks learns a problem, it is able to remember the previous information through a series of procedures. This reduces the design time compared with other conventional methods. Therefore in this research, Artificial Neural Networks is used in the design of Reinforced Concrete Flat Slab Systems. At the end of this research it is observed that Artificial Neural Networks can learn the Rigidity of Reinforced Concrete Flat Slab problems with a negligible ratio of error. There are many applications of Artificial Neural networks in Civil Engineering. However no researches have been recorded yet in literature for the analysis of the Rigidity of Reinforced Concrete Flat Slab Systems. Keywords: Plates, Slabs, Reinforced Concrete, Artificial Neural Networks, Finite Elements Method.

8 v İÇİNDEKİLER KABUL VE ONAY...i TEŞEKKÜR...ii ÖZET...iii ABSTRACT...iv KISALTMALAR VE SİMGELER...viii TABLOLAR LİSTESİ...xi ŞEKİLLER LİSTESİ...xii 1. BÖLÜM GİRİŞ BÖLÜM BETONARME DÖŞEMELER VE ANALİZ YÖNTEMLERİ Giriş, Tanımlar, Yükler ve Kabuller Betonarme Döşemelerin Sınıflaması Yapısal Analizlerine İlişkin Genel İlkeler Kirişsiz Döşemeler ile İlgili Genel Bilgiler Kirişsiz Döşemelerin Analizine Genel Bakış Kirişsiz Döşemelerin Moment Katsayıları Yöntemiyle Analizi Kirişsiz Döşemelerde Zımbalama Etkisi Kirişsiz Döşemelerin Boyut ve Donatılarına İlişkin Koşullar Kirişsiz Döşemelerin Eşdeğer Çerçeve Yöntemi ile Analizi Döşemelerde Sehim Kontrolü BÖLÜM EŞDEĞER ÇERÇEVE YÖNTEMİ VE KİRİŞSİZ DÖŞEMELERİN YATAY YÜKLERE GÖRE HESABI Muto Yöntemi Sayısal Örnek Kolon ve Kirişlerin Atalet Momentleri ve Rijitlikleri Sonuç Momentler...44

9 vi 4.BÖLÜM KİRİŞSİZ DÖŞEMELİ SİSTEMLERİN YATAY KUVVETLER ALTINDA ANALİZİ Kirişsiz Döşemeli Sistemlerde Rijitliklerin Hesabı Kolonlara Birim Moment Uygulanması ve Deplasmanlarının Tutulması Kolonlara Dağıtılan Momentlerin Değerlendirilmesi Elde Edilen (α) Moment Geçiş Katsayılarını Kullanarak Kirişsiz Sistemlerin Çözümü Moment Denge denklemlerinin Kurulması Örnek Problem Sonuç Momentler BÖLÜM SONLU ELEMANLAR YÖNTEMİ İLE KİRİŞSİZ PLAK DÖŞEMELERİN YAPISAL ANALİZİ Sonlu Elemanlar Yöntemi Sonlu Elemanlar Yöntemi ile Eğilmeye Çalışan İnce Plakların Analizi İnce Plak Teorisine Kısa Bir Bakış Plak Sonlu Elemanları SAP2000 Yazılımı İle Sonlu Elemanlar Analizi SAP2000 Yazılımı ile Kirişsiz Plak Döşemelerin Analizi Sonuç Momentler BÖLÜM EŞDEĞER ÇERÇEVE YÖNTEMİ, ÜNLÜOĞLU YÖNTEMİ VE SAP 2000 YÖNTEMİ İLE BULUNAN SONUÇ TASARIM MOMENTLERİNİN KARŞILAŞTIRILMASI BÖLÜM KİRİŞSİZ PLAK DÖŞEMELERİN YATAY KUVVETLER ETKİSİ ALTINDAKİ RİJİTLİK DEĞERLERİNİN ÇOK KATMANLI YAPAY SİNİR AĞLARI İLE ANALİZİ Giriş...96

10 vii 7.2. Yapay Sinir Ağları Yapay Sinir Ağı Hücresi Aktivasyon Fonksiyonları Yapay Sinir Ağları Modelleri Yapay Sinir Ağlarının Eğitilmesi Yapay Sinir Ağlarında Öğrenme Algoritmaları Geri Yayılmalı Öğrenme Algoritması Levenberg- Marquardt Algoritması Yatay Yükler Etkisi Altındaki Kirişsiz Plak Döşemelerin Yapay Sinir Ağları İle Tasarım Momentlerinin Hesabı Uygulama İstatistiksel Parametreler BÖLÜM SONUÇLAR VE ÖNERİLER KAYNAKLAR EKLER ÖZGEÇMİŞ...130

11 viii KISALTMALAR VE SİMGELER A km A s a e a B b b 1,b 2 b w C c c 1 c 2 D D d E e x, e y e F a F d f f p f f ctd f ywd f cd f yd G GYA H i h hi h f I c I s I sb J(x) j i j ci K K sb K c K t K ec k ab, k ba : Asal donatıya dik kısa mesnet donatısı alan ve aralığı : Donatı alanı : Düğüm noktası serbestliğinden oluşan vektör : Tüm düğüm noktalarındaki serbestlikleri içeren vektör : Düğüm noktası serbestliğini şekil değiştirmelere bağlayan matris : Döşeme birim genişliği : Zımbalama çevresini içine alan en küçük dikdörtgenin boyutları : Diş genişliği : Net beton örtüsü : Kolonun çerçeve doğrultusundaki boyutu : Kolonun çerçeveye dik doğrultudaki boyutu : Elastisite matrisi : Eğilme rijitlikleri : Döşeme faydalı yüksekliği : Elastisite modülü : x ve y yönündeki dışmerkezlilikler : Dişli döşemelerde dişler arasındaki serbest açıklık : Döşeme tasarım yükü : Tasarım eksenel yükü : Aktivasyon fonksiyonu : Düğüm noktası yüklerinden oluşan vektör : Elemanların üzerindeki yüklerin düğüm noktalarına olan katkılarının eklenmesiyle oluşturulan vektör : Betonun tasarım çekme dayanımı : Etriye donatısının tasarım akma gerilmesi : Betonun tasarım basınç dayanımı : Donatı hesap akma gerilmesi : Kayma modülü : Geri yayınım algoritması : i.katın yüksekliği : Kirişsiz plaklar için döşeme kalınlığı : i. katın döşeme kalınlığı : Döşeme kalınlığı : Kolon kesiti atalet momenti : Eşdeğer çerçeve yönteminde döşeme atalet momenti : Eşdeğer çerçeve yönteminde döşeme + kiriş atalet momenti : Jacobian matris : i. katta döşemenin atalet momenti : i. kat kolonlarının atalet momenti : Sistem rijitlik matrisi : Döşeme + kiriş elemanının eğilme rijitliği : Kolon eğilme rijitliği : Kiriş burulma rijitliği : Eşdeğer kolon eğilme rijitliği : Döşeme ya da döşeme ve kiriş elemanı için rijitlik katsayıları

12 ix L : Yer değiştirmeleri şekil değiştirmelere bağlayan lineer operatör LM : Levenberg -Marquardt algoritması l x, l y : Yatay yüke dik ve paralel döşeme boyutları l s : Akstan aksa olan kısa kenar açıklığı l l : Akstan aksa olan uzun kenar açıklığı l sn : Kısa kenar doğrultusundaki serbest açıklık l ln : Uzun kenar doğrultusundaki serbest açıklık l 1 : Çerçeve doğrultusundaki döşeme açıklığı l 2 : Çerçeve genişliği M A : Eğilme momenti M d : Tarsım açıklık momenti M x, M y : x ve y doğrultularındaki birim genişlik için eğilme momentleri M A, M B, M C, M D : Kolonlara uygulanan momentler m : Döşemenin uzun kenarının kısa kenarına oranı m : İki yönde çalışan plakların açıklık ve mesnet momenti katsayısı N : Şekil fonksiyonları matrisi N 1, N 2 : Zımbalamada, üst ve alt kolon eksenel yükleri n : Giriş sayısı okh (mse22) : Ortalama karesel hata omgh (mare22) : Ortalama mutlak göreceli hata P d : Döşeme yayılı yükü R : Doğrudan sistem düğüm noktalarına etkitilen yüklerden oluşan vektör R² : Belirginlik katsayısı r i, r j : i ve j döşemeleri için dağıtma katsayıları S s : Çekme donatısı aralığı S l : Dağıtma donatısı aralığı s : Yüzey kuvvetlerinden oluşan birim alana gelen kuvvet vektörü T : Burulma momenti TK a, TK b : Döşeme ya da döşeme + kiriş elemanı için taşıma katsayıları t : Kirişli ve dişli döşemeler için döşeme kalınlığı t 0 : Tabla kalınlığı u : Yer değiştirme fonksiyonlarından oluşan vektör u p : Zımbalama çevresi u i,v i : i.katta kolon boyutları u, v : Kolon kesiti boyutları V d : Tasarım kesme kuvveti V cr : Kesmede çatlama dayanımı V pd : Tasarım zımbalama kuvveti V pr : Zımbalama dayanımı V, V : Kesitin birim genişliğine gelen kesme kuvvetleridir x y W X YSA α α AA, α BB,..., α DD : Ağırlıklar matrisi : Girişler Matrisi : Yapay Sinir Ağı : İki yönde çalışan plaklar için açıklık ve mesnet momenti geçiş katsayıları : Moment geçiş katsayıları (Birinci indis moment uygulanan kolonu, ikinci indis momentin geçtiği kolonu gösterir.

13 x α t : Sıcaklık genleşme katsayısı β : İki yönde çalışan plaklar için sehim katsayısı β m : Eşit açıklıklı tek yönde çalışan plaklar için moment katsayıları γ : Zımbalama dayanımını azaltan bir katsayı : Gecikme süresi T : Sıcaklık farkı M : Mesnet momentinin hesabı için gerekli fark momenti δ o : Döşemenin ortasındaki çökme değeri δ : Her iki doğrultudaki donatı oranları toplamı δi : i.katın rölatif deplasmanı ε : Şekil değiştirme vektörü ε 0 ν ρ ρ d ρ l, ρ s σ σ 0 ψ n,i ψ x, ψ y Ω a, Ω b : İlkel şekil değiştirme vektörü (örneğin sıcaklık değişimi) : Poisson oranı : Çekme donatısı oranı : Dağıtma donatısı alanı ve oranı : Her bir doğrultudaki donatı oranı : Gerilme vektörü : İlkel gerilme vektörü : α moment geçiş katsayılarının geldiği kolonların i.kattaki döşeme ile birleştiği düğüme ait dönme açıları : Sistemdeki düğüm noktalarının x ve y eksenleri etrafındaki dönmeler : Döşeme ya da döşeme ve kiriş elemanı için moment katsayıları

14 xi TABLOLAR LİSTESİ Tablo 2.1. Döşemelerdeki ekonomik açıklık ve hareketli yük değerleri Tablo 2.2. Tek açıklı kirişte sehim ve moment için katsayılar Tablo 2.3. Kirişsiz plak döşemelerin boyut ve donatılarına ilişkin koşullar...26 Tablo 2.4. Döşeme ya da (döşeme + kiriş) elemanı için katsayılar Tablo 2.6. Eğilme elemanlarında sehim hesabı gerektirmeyen (h f / l s ) oranı...36 Tablo 3.1. Kolon alt ve üst momentlerinin hesap tablosu...43 Tablo 6.1. Kolon ve döşemelere ait moment değerleri Tablo 7.1. Çok katmanlı ysa da kullanılan eğitme ve test verileri...98 Tablo 7.2. Eğitme verilerinin istatistiksel parametreleri Tablo 7.3. Test verilerinin istatistiksel parametreleri Tablo 7.4. Eğitme verilerinin korelâsyonu Tablo 7.5. Test verilerinin korelâsyonu Tablo 7.6. YSA analiz sonuçları Tablo 7.7. SAP2000 ve YSA nın sonuç momentlerinin kıyaslanması

15 xii ŞEKİLLER LİSTESİ Şekil 2.1. İki boyutlu düzlemsel taşıyıcı elemanlar....6 Şekil 2.2. Döşeme sistemleri...9 Şekil 2.3. Döşemelerin mesnet koşullarına ilişkin sınıflaması Şekil 2.4. Çift doğrultuda çalışan plakta yaklaşık hesap için düşünülen şeritler Şekil 2.5 Kirişsiz döşemelerde (m 0 ) momentinin iki doğrultuda değişimi Şekil 2.6. Döşemenin kolon ve orta şeritlere ayrılması Şekil 2.7. Döşemenin mesnet koşullarına göre mesnet ve açıklık momentleri...20 Şekil 2.8. Döşeme momentlerinin kolon ve orta şeride dağıtılması Şekil 2.9. Kirişsiz döşemelerde zımbalama çevresi...22 Şekil Zımbalama çevresi için özel durumlar...23 Şekil Moment yönlerine göre dışmerkezliliğin hesabı Şekil Kirişsiz döşemelerde tabla, kolon başlığı ve kolon boyutlarına ilişkin sınırlar Şekil Yapının eşdeğer çerçevelere ayrılması Şekil Eşdeğer çerçevenin hesabında kullanılan elemanlar...28 Şekil Eşdeğer çerçeve yönteminde dikkate alınan şeritler...29 Şekil Başlıksız ve tablasız kirişsiz döşemelerde döşeme elemanının özellikleri...30 Şekil Tablalı kirşsiz döşemelerde döşeme elemanının özellikleri Şekil Tablalı + başlıklı kirişsiz döşemelerde döşeme elemanının özellikleri Şekil Atalet momenti hesabı için karşılaşılabilecek tablalı kesitler...31 Şekil Kolon rijitliği hesabı için dikkate alınacak kesitler ve özellikleri Şekil Farklı durumlar için burulma elemanı kesitleri Şekil 3.1. Döşemenin eşdeğer çerçevelere ayrılması...38 Şekil 3.2. Kolon ve kiriş eğilme rijitlik katsayılarının hesabı...39 Şekil 3.3 Katlara gelen deprem kuvvetleri ve yapının (x) yönündeki kesiti...40 Şekil 3.4. Kalıp planı...41 Şekil.3.5. Kenar ve iç akslara ait moment grafikleri (knm)...44 Şekil 4.1. Her bir kolon için (α) rijitlik katsayıları...47 Şekil 4.2. Kenar ve iç çerçevedeki kolonların döşeme ile birleştiği düğümlerin dönme açılarına ait indisler...49 Şekil 4.3. Tavan kalıp planı...51 Şekil 4.4 Katlara gelen deprem kuvvetleri ve yapının (x) yönündeki düşey kesiti...52 Şekil 4.5. Kenar ve iç akslara ait moment grafikleri (knm) Şekil 5.1. Bir, iki ve üç boyutlu sonlu eleman örnekleri...60 Şekil 5.2. Eğilme etkisindeki ince plakta yer değiştirmeler ve iç kuvvetler...61 Şekil serbestlik dereceli plak sonlu eleman koordinat eksenleri ve serbestlikleri Şekil 5.4. Çubuk eleman lokal eksen takımı ve eksenlerin pozitif işaret kuralı....67

16 xiii Şekil 5.5. Angle (α): (2) ekseninin (1) ekseni etrafında saat dönüşünün tersi yönünde döndüğü birim derecelik açı...67 Şekil 5.6. İç kuvvetlerin eksenler doğrultusundaki pozitif yönleri Şekil 5.7. Shell eleman lokal ekseni...68 Şekil 5.8. Membran eleman kuvvetleri Şekil 5.9. Plak a ait sonlu eleman momentleri...69 Şekil Modelin üç boyutlu görünümü Şekil Katlara gelen deprem kuvvetleri ve yapının (x) yönündeki kesiti Şekil Yeni model ara yüzü Şekil Aks bilgi girişi Şekil Farklı koordinatlardaki aks sistemi...74 Şekil Malzeme türünün seçimi...74 Şekil Malzeme özelliklerinin belirlenmesi...75 Şekil Kolon kesit özelliklerinin tanımlanması...76 Şekil İlk iki kat için kolon kesitleri...76 Şekil Son iki kat için kolon kesitleri Şekil Döşeme malzeme cinsi ve kalınlıkları Şekil Farklı koordinatlardaki aks uzaklıkları Şekil Kolon elemanlarının oluşturulması...79 Şekil Kolonların diğer akslara kopyalanması Şekil Döşeme elemanlarının çizilmesi...80 Şekil Döşemelerin diğer akslara kopyalanması Şekil Mesnet şartlarının belirlenmesi...81 Şekil Yükleme tipinin seçilmesi ve adlandırılması...81 Şekil Yükleme çeşidi ve ekseni Şekil Analiz menüsü Şekil Kuvvetleri/gerilmeleri göster menüsü...83 Şekil Sonuç diyagramları çizdirme Şekil Sonuç tasarım eğilme momentleri (knm)...84 Şekil Kenar ve iç akslara ait...85 Şekil 6.1. İç aks döşeme sağ taraf momentleri...89 Şekil 6.2. İç aks döşeme sol taraf momentleri Şekil 6.3. Dış aks döşeme sağ taraf momentleri Şekil 6.4. Dış aks döşeme sol taraf momentleri...91 Şekil 6.5. (A) kolonu üst momentleri...91 Şekil 6.6. (A) kolonu alt momentleri...92 Şekil 6.7. (C) kolonu üst momentleri...92 Şekil 6.8. (C) kolonu alt momentleri...93 Şekil 6.9. (B) kolonu üst momentleri...93 Şekil (B) kolonu alt momentleri...94 Şekil (D) kolonu üst momentleri...94 Şekil (D) kolonu alt momentleri Şekil 7.1. Basit bir sinir hücresi Şekil 7.2. Sinir sisteminde bilgi akışı Şekil 7.3. Temel yapay sinir ağı hücresi Şekil 7.4. Eşik aktivasyon fonksiyonu Şekil 7.5. Doğrusal aktivasyon fonksiyonu

17 xiv Şekil 7.6. Logaritma sigmoid aktivasyon fonksiyonu Şekil 7.7. İleri beslemeli yapı Şekil 7.9. İleri beslemeli çok katmanlı sinir ağı Şekil SAP2000 yazılımı ile hesaplanan ve yapay sinir ağları uygulaması ile bulunan eğilme momentleri ilişkisi...115

18 1. BÖLÜM GİRİŞ Katları birbirinden ayıran, kat yüklerini varsa kirişlere yoksa doğrudan kolonlara aktaran iki boyutlu yatay düzlemsel taşıyıcı elemanlara döşeme denir. Döşemelerin türleri ve kalınlıkları açıklığa ve taşıdığı yüklere bağlı olarak değişebilir. Malzeme olarak betonarmenin kullanıldığı döşemelere ise Betonarme Döşemeler denir. Binalarda başlıca döşeme sistemleri; kirişli döşemeler, kirişsiz döşemeler ve dişli ya da nervürlü döşemeler olmak üzere üç ana başlık altında incelenir. Döşemeler tabliye ya da tabliye plağı olarak da anılır. Döşemeler binalarda katları bir birinden ayırarak üzerine düşey ve yatay doğrultuda gelen yükleri karşılar. Binalarda düşey doğrultuda elemanların kendi ağırlığı, kaplama, yalıtım, şap ve sıva gibi kalıcı ölü yükleri ve taşıdığı eşya ve insan gibi ayrıca teras katlarda kar yükü gibi hareketli yükleri taşır. Köprülerde ise döşemeler taşıyıcı sistemin en önemli kısımlarından bir tanesidir. Kendi ağırlığı, kaplamalar, korkuluklar ve elektrik direkleri gibi kalıcı ölü yükleri ve araç yükleri gibi hareketli yükleri düşey doğrultuda karşılar. Yatay doğrultuda ise deprem yüklerini karşılar. Döşemeler düşey yükleri kirişli ve dişli döşemelerde kendisini taşıyan kirişlere buradan da kolonlara ya da perdelere aktarırken kirişsiz döşemelerde doğrudan kolonlara ve varsa perdelere aktarır. Yatay yükleri ise kendisini taşıyan düşey taşıyıcı elemanlara rijitlikleri oranında aktarır. Bunun için döşemeler yeterli rijitlikte olmalıdır. Döşemeler rijit diyafram gibi davranabiliyorsa yeterli, rijitliğe sahip demektir. Döşemelerin analizi, taşıma yeteneklerinden tam olarak yararlanabilmek bakımından, iki boyutlu yükleme durumu göz önüne alınarak yapılmalıdır. Bu analiz elastik plaklar

19 2 teorisi ile gerçekleştirilebilir. Elastik plak teorisi yeter derecede gelişmiş olmakla birlikte bu durum aslında betonarme döşemelerin elastik davrandığı kabulüne dayanmaktadır. Oysa çabuk ve kolay hesap yapabilmek açısından bazı özel durumların dışında yaklaşık yöntemlerin dışında analizler gerçekleştirilir. Döşemelerin türleri, analiz yöntemleri ve yapım teknikleri hakkında ikinci bölümde ayrıntılı bilgiler verilecektir. Bu yüksek lisans tez çalışması kapsamında; Kirişsiz Döşemeli Betonarme Yapıların Yatay Kuvvetler Altında Rijitlik Değerlerinin Yapay Sinir Ağları ile Analizi başlıklı çalışma gerçekleştirilmiştir. Ele alınan modelde yatay yükler etkisi altındaki kirişsiz döşemeli sistemlerde kolonlar arasındaki moment dağılımları, döşeme ve kolon rijitliklerine bağlı olarak incelenmiştir. Ayrıca kirişsiz döşemeli sistemlerin yatay yükler etkisi altındaki çözümleri için farklı çözüm yöntemleri ve bu konu ile ilgili yönetmelikler ortaya konmuştur. Ele alınan model dört katlı kirişsiz plak döşemeli betonarme bir yapıdır. Ele alınan model üç farklı yöntem ile analiz edilmiş ve elde edilen sonuç tasarım moment değerleri grafik olarak karşılaştırılmıştır. Daha sonra ele alınan modelin analizi yapay sinir ağları uygulaması gerçekleştirilmiştir. Yapay sinir ağları uygulaması için çok sayıda veri bulunması gerekir. Yeterli sayıda veri yoksa kullanılacak veriler uygun, güvenilir ve geçerli yöntemlerle elde edilebilir. Her üç yöntemin bir biri ile karşılaştırması çok sayıda veri üretebilmek ve bu verilerin doğruluğunu ve güvenilirliğini saptamak için gerçekleştirilmiştir. Yapay sinir ağları insan beyninin işleyişini taklit ederek yeni sistem oluşturmaya çalışan bir yaklaşımlardır. YSA yapılarının kaynağı biyolojik sinir ağlarının çalışma prensibidir. YSA bir problemi matematiksel yaklaşımlarla çözmez fakat önce problemi öğrenir sonra edindiği deneyimleri kullanarak problemi çözer. Yapay sinir ağları nın inşaat mühendisliğinde birçok uygulama alanı vardır. Kirişsiz Döşemeli Betonarme Yapıların Yatay Kuvvetler Altında Rijitlik Değerlerinin Yapay Sinir Ağları ile Analizi ve modellenmesine ilişkin literatürde herhangi bir çalışmaya rastlanmamıştır.

20 3 Tezin Düzeni, Amaç ve Yöntem: Birinci bölümde betonarme döşemeler ile genel bilgiler verilmiştir. Bu bölümde ayrıca tezin adı, kapsamı ve izlenen yol hakkında yine genel bilgiler sunulmuştur. İkinci bölümde döşeme sistemleri ele alınarak ön bilgiler verilmiştir. Döşeme sistemleri ile ilgili ön bilgilerin sunumundan sonra asıl araştırma konusu olan Kirişsiz Döşemeler hakkında ayrıntılı bilgi verilmiştir. Kirişsiz döşemelerin kullanıldığı yerler, tercih nedenleri, üstün ve zayıf yönleri yine bu bölümde anlatılmıştır. Kirişsiz döşemelerin düşey yükler altındaki davranışı, analiz yöntemleri ve ülkemizde ve dünyada geçerli olan yönetmelik koşulları ile ilgili bilgiler de yine burada sunulmuştur. Üçüncü bölümde çalışmanın asıl kapsamı olan kirşsiz döşemelerin yatay deprem kuvvetleri ile analizi için gerekli olan farklı analiz yöntemlerinin incelenmesine girilmiştir. Bunlardan ilki eşdeğer çerçeve yöntemi kabul ve hesap esasları ile betonarme yapılar için yeterli hassasiyete sahip ve aynı zamanda hesabı çabuk ve kolay olan Muto yöntemi analizidir. Analiz bir örnek üzerinde uygulanmıştır. Bu örnek çalışma diğer bölümlerde de model olarak kullanılmıştır. Dördüncü bölümde farklı bir kabul ile moment geçiş katsayıları kullanılarak kirişsiz döşemeli sistemlerin yatay kuvvetler etkisi altındaki rijitlik değerlerinin hesabı konusu ele alınmıştır. Ele alınan model bu bölümde anlatılan yöntem ile çözülmüştür. Beşinci bölümde önce sonlu elemanlar yöntemi ile ilgili genel bilgiler verilmiştir. Sonra sonlu elemanlar yönteminde gerilme analizi anlatılarak, sonlu elemanlar tabanlı SAP2000 yazılımı ile analizlerin genel esasları hakkında bilgiler sunulmuştur. Sonra bu bölümde kirişsiz döşemelerin SAP2000 yazılımı ile analizi daha önceki bölümlerde ele alınan model üzerinde gerçekleştirilmiştir. Örnek problemin çözümünün her adımı yazılımın ara yüzleri kullanılarak görsel olarak adım adım anlatılmıştır. Altıncı bölümde önceki bölümlerde ele alınan modelin çözümünün sonuçları karşılaştırmalı bir tablo ile verilmiş ve model üzerindeki her bir kolonun alt ve üst momentleri ile döşemelerin sağ ve sol mesnetlerindeki moment değerleri yine karşılaştırmalı grafikler üzerinde sunulmuştur. Yedinci bölümde yapay sinir ağları hakkında önce genel bilgiler verilmiş sonra yapay sinir ağlarının üstün yanları, zayıf yanları, uygulama ve kullanım alanları ve yapay sinir ağları ile analizlerin gerçekleştirilme aşamaları anlatılmıştır. Yine bu bölümde yapay sinir ağları uygulaması için SAP2000 yazılımı ile çok sayıda veri üretilmiştir. Bu

21 4 çalışma kapsamı için üretilen eğitme ve test verileri tablolar halinde verilmiştir. Daha sonra ele alınan model için yapay sinir ağları uygulaması gerçekleştirilmiş ve uygulamanın adımları anlatılmıştır. Bu veriler kullanılarak yapılan analiz sonucunda bulunan sonuç tasarım momentlerin doğruluğu ve güvenilirliği değerlendirilerek istatiksel parametreleri tablolar halinde sunulmuştur. Sekizinci bölümde ise bu çalışmanın sonuçları sunulmuş ve değerlendirmesi yapılmıştır. Çalışma kaynakça ve eklerin sunumu ile tamamlanmıştır. Bu çalışma; Erciyes Üniversitesi, Fen Bilimleri Enstitüsü; İnşaat Mühendisliği Ana Bilim Dalında Yüksek Lisans tezi olarak Kirişsiz Döşemeli Betonarme Yapıların Yatay Kuvvetler Altında Rijitlik Değerlerinin Yapay Sinir Ağları ile Analizi başlığı ile yapılmış olup başlıkta sözü edilen hususun gerçekleştirilmesi amacıyla yapılmıştır. Çalışmanın sonucunda sözü edilen rijitlik değerlerinin yapay sinir ağları ile analizinin mümkün olduğu görülmüştür. Çalışmada yöntem olarak analitik yöntemler ve bilgisayar modellemesi ve simülasyonu kullanılmıştır. Deneysel çalışma kapsam dışı tutulduğu için yapılmamıştır.

22 2. BÖLÜM BETONARME DÖŞEMELER VE ANALİZ YÖNTEMLERİ 2.1. Giriş, Tanımlar, Yükler ve Kabuller Giriş: Bu bölümde betonarme döşemeler, betonarme döşemelerin türleri ve betonarme döşemelerin başlıca analiz yöntemleri incelenecektir. Tanımlar: Birinci bölümde döşemeler; Katları birbirinden ayıran, kat yüklerini varsa kirişlere yoksa doğrudan kolonlara aktaran iki boyutlu yatay düzlemsel taşıyıcı elemanlara döşeme denir şeklinde tanımlanmıştı. Döşemeler yatay doğrultuda yer aldığı için yapıların kat aralarını belirler ve yapıyı aynı zamanda yatay yüklere karşı rijitleştirir. Döşemeler kirişlerle birlikte betonlandıkları için kiriş kesitlerinin tablalı olarak oluşmasını ve bu şekilde çalışmasını sağlar. Döşemelerin daha kapsamlı bir tanımını yapabilmek için önce plak ve levha gibi taşıyıcı elemanların tanımını yapmak gerekir. Kalınlığı diğer iki boyutunun yanında daha küçük olan iki boyutlu düzlemsel taşıyıcı elemanlara plak ya da levha denir. Bu tür iki boyutlu düzlemsel taşıyıcı elemanlar kalınlığına dik doğrultudaki enleri ve boyları doğrultusunda uzanan eksenlerinin, belirlediği orta düzlemleri ile tanımlanır. Bir başka deyişle plak ya da levha ekseninden değil orta düzleminden söz edilir. Yükleri, Şekil 2.1 de görülebileceği üzere, orta düzlemlerine dik doğrultuda karşılayan elemanlara plak, orta düzlemlerine paralel doğrultuda taşıyan elemanlara ise levha denir. Döşemeler ise plağın, kirişli sistemlerde kirişler tarafından taşınan düzlemsel kısmını, kirişsiz döşemelerde doğrudan kolonlar tarafından taşınan kısmını ve dişli ya da

23 6 nervürlü döşemelerde ise plak ile birlikte diş ya da nervür denilen küçük kirişleri ile birlikte anılan kısmını kapsayan iki boyutlu elemanlardır. Şekil 2.1. İki boyutlu düzlemsel taşıyıcı elemanlar. (a) Plak (b)levha. Yükler: Bu çalışma kapsamında betonarme döşemelere düşey ve yatay doğrultuda etkiyen başlıca yükler olarak; düşey doğrultuda döşemenin kendi öz ağırlığı, döşeme kaplamaları, sıva ve benzeri gibi kalıcı ölü yükler ve döşemelerin taşıdığı hareketli yükler ile yatay doğrultuda etkiyen deprem yükleridir. Tüm yüklerin statik olarak etkidiği kabul edilmiştir. Yapının taşıdığı insan ve eşya yükleri dışında kalan hareketli yükler ve deprem yüklerinin dinamik analizi çalışma kapsamının dışında tutulmuştur. Kabuller: Bu çalışma kapsamında ince elastik plaklar teorisine uygun olarak ele alınan betonarme döşemeler incelenecektir. Analizde uygulamalı mekanik ve elastisite teorisinin dayandığı tüm ilkeler geçerli kabul edilmiştir. Buna göre ele alınan modelde; Hooke yasası, Birinci mertebe teorisi, Süperpozisyon ilkesi, Saint Venant ilkesi, ve Bernoulli- Navier hipotezi geçerlidir. Bu kabuller nedeniyle bu tür elemanlara ince elastik plaklar denir [1], [2], [3] ve [4]. Bu tanımlar, ilkeler ve yükler altında çalışmanın kabulleri şöylece sıralanabilir. 1- Ele alınan model, ince elastik plaklar teorisi ile ince elastik plakların klasik eğilme teorisine uygun davranan betonarme döşemelerdir.

24 7 2- Düşey doğrultuda etkiyen öz ağırlık, kalıcı ölü yükler ve taşınan hareketli yükler ile yatay doğrultuda etkiyen deprem yükleri statik olarak etki etmektedir. 3- Malzeme lineer elastiktir. Bir başka deyişle Hook yasası geçerlidir. 4- Birinci mertebe teorisi ve Süperpozisyon İlkesi geçerlidir. 5- Saint Venant ilkesi geçerlidir. Buna göre ele alınan modelde statik değişikliklerin dar bir bölge içerisinde kaldığı kabul edilecektir. 6- Bernoulli-Navier hipotezi geçerlidir. Düzlem kesitlerin, deformasyondan sonra da düzlem kalmaya devam edeceği ve elastik eğriye dikliğini koruduğu kabul edilecektir. 7- Poisson oranı dikkate alınmıştır. Beton, betonarme ve öngerilmeli beton için µ=0.20 alınacaktır. Bunlardan başka kesitlerin betonarme hesabında ise taşıma gücü hesap ilkeleri geçerli kabul edilmiştir. Buna göre; 8- Donatı çeliğinin çekme ve basınçta elasto-plastik davrandığı kabul edilmiştir. 9- Donatı ile kendisini saran beton arasındaki kenetlenme ve yapışmanın tam aderans olduğu ve bir başka deyişle donatıdaki birim şekil değişimi ile aynı düzlemdeki beton lifindeki birim şekil değişiminin birbirine eşit olduğu kabul edilmiştir. 10- Betonun çekme dayanımının olmadığı ve kesitin tarafsız ekseninin çekme bölgesindeki en dış lifine kadar olan bölgede betonda çekme gerilmelerinin olmadığı dolayısıyla çekme gerilmelerinin tamamen donatı tarafından karşılandığı kabul edilmiştir. 11- Yapısal analizde olduğu gibi betonarme kesit hesaplarında da Bernoulli- Navier hipotezinin geçerli olduğu ve bir başka deyişle beton ve donatıda oluşan şekil değiştirmelerin tarafsız eksen ile doğru orantılı olduğu ve taşıma gücüne erişildiğinde tarafsız eksene en uzak beton basınç lifindeki birim kısalmanın ε cu = alınıp betona uygulanan basınç dağılımının gerçek dağılım değil fakat eşdeğer basınç bloğu olduğu kabul edilmiştir [5], [6], [7] ve [8].

25 Betonarme Döşemelerin Sınıflaması Döşemeler başlıca; kirişli plak döşemeler, nervürlü ya da dişli döşemeler ve kirişsiz plak döşemeler olmak üzere üç ana başlık altında incelenir. 1. Kirişli plak döşemeler, Tek doğrultuda yük aktaran kirişli döşemeler, İki doğrultuda yük aktaran kirişli döşemeler, 2. Dişli döşemeler, Tek doğrultuda çalışan dişli döşemeler, i. Dolgusuz dişli döşeme (Nervürlü döşeme), ii. Dolgu bloklu dişli döşeme (Asmolen döşeme), İki doğrultuda çalışan dişli döşemeler (Kaset döşemeler). 3. Kirişsiz plak döşemeler, Kirişsiz döşemeler, Tablalı kirişsiz döşemeler, Başlıklı kirişsiz döşemeler, Tablalı ve başlıklı kirişsiz döşemeler, Burada sözü edilen döşeme türlerine ilişkin şematik şekiller, aşağıdaki Şekil 2.2 de gösterilmiştir. Döşeme sisteminin seçiminde etkili olan unsurların başında; kullanım amacı, yükleme durumu, hareketli yüklerdeki özel durumlar, deprem durumu, fayda ve maliyet oranı, ekonomik açıklıklar, yapının mimarisi ve mimari değişikliklere elverişliliği, yapıda konsol döşemelerin bulunması ve teknik personelin tasarımı gibi unsurlar gelir. Tablo 2.1 de döşemelerdeki ekonomik açıklık ile hareketli yük değerleri arasındaki ilişki görülmektedir [8] ve [9].

26 9 (a) (b) (c) (d) Şekil 2.2. Döşeme sistemleri. (a) Kirişsiz plak döşeme, (b) Tablalı kirişsiz plak döşeme, (c) Sıralı kirişli döşeme, (d) Tek doğrultuda çalışan dişli döşemeler.

27 10 (e) (f) (g) (h) Şekil 2.2. Döşeme sistemleri (devamı). (e) Çift doğrultuda çalışan dişli döşeme, (f) Tek doğrultuda çalışan kirişli döşeme, (g) Çift doğrultuda çalışan kirişli döşeme, (h) Tek doğrultuda çalışan kirişsiz döşemeler.

28 11 Tablo 2.1. Döşemelerdeki ekonomik açıklık ve hareketli yük değerleri [8] ve [9]. Ekonomik Olduğu Döşeme Sistemi Hareketli yük Açıklık (m) (kn/m 2 ) Bir Doğrultuda Çalışan Kirişli Döşemeler İki Doğrultuda Çalışan Kirişli Döşemeler Dişli Döşemeler Tablasız Ve Başlıksız Kirişsiz Döşemeler Başlıklı Kirişsiz Döşemeler Kaset Döşemeler Yukarıda yapılan döşeme sınıflaması ayrıntılı olarak açıklanabilir. Kirişli döşemelerde, döşeme ve kirişler birbirinden bağımsız olarak boyutlandırılır. Kirişli döşemeler mesnet koşullarına ve boyutlarına göre bir ya da iki doğrultuda yük aktarabilir. Bu tür döşemeler yüklerini kolonlar yerine çevre kirişi ya da hatıllar aracılığı ile duvarlara aktarıyorsa yine kirişli döşemeler olarak anılır. Ana kirişlere mesnetli, nervür ya da diş olarak adlandırılan birbirine paralel sık kirişlerin taşıdığı plaklardan oluşan döşemelere ise nervürlü veya dişli döşemeler denir. Nervürlü döşemeler bir doğrultuda yük aktarır. Nervür ya da dişlerin birbirine dik olarak yer aldığı döşeme sistemlerine ise kaset döşemeler denir. Doğrudan kolonlara ya da perdelere mesnetli döşemelere ise kirişsiz döşemeler denir. Kirişsiz döşemeler, kendisini taşıyan kolonlar ya da perdeler arasında kirişler olmadan doğrudan kolonlara oturan iki doğrultuda donatılı olarak yapılan eğilmeye dayanıklı betonarme plaklardır. Taşıdığı hareketli yüklerin çok değişik ve belirlenmesi oldukça güç olduğu için döşemelerin üzerindeki yükler düzgün yayılı alansal yük olarak kabul edilir [6] ve [7] Yapısal Analizlerine İlişkin Genel İlkeler TS500 de döşemenin akstan aksa olan kısa kenar uzunluğu (l s ), serbest açıklığı ise(l sn ) olarak ifade edilmektedir [10]. Döşemenin akstan aksa olan uzun kenar uzunluğu (l l ), serbest açıklığı ise (l ln ) olarak ifade edilmektedir. Serbest açıklık içten içe açıklık olarak da ifade edilir. Döşeme kalınlığı için kirişli ve dişli döşemelerde (t) sembolü, kirişsiz döşemelerde plak kalınlığı için (h) sembolü kullanılmıştır.

29 12 Basit mesnetli düzgün yayılı yük etkisi altındaki bir kirişte meydana gelen çökme ( δ o ),yayılı yük (p d ), kiriş hesap açıklığı (l), kiriş malzemesinin elastisite modülü (E) ve kirişin atalet momenti (I) ile gösterilmek üzere; β 4 p d l δ o= 384 E I (2.1) denklemi ile hesaplanır. İki doğrultuda çalışan plakların açıklık ve mesnet momentleri sırasıyla; pl M = m 2 2 (2.2a) pl X = (2.2b) m ifadeleri ile hesaplanır. Buradaki (β) sehim ve (m) moment katsayıları aşağıdaki Tablo 2.2 den alınabilir [8] ve [10]. Tablo 2.2. Tek açıklı kirişte sehim ve moment katsayıları. Mesnetleme Biçimi (β) (m) Katsayısı Mesnette Açıklıkta Her İki Tarafı Sabit Mesnet 5 8 Bir Taraf Sabit Diğer Taraf Ankastre /9 Her İki Tarafı Ankastre Mesnet Döşeme hesaplarında mesnetleme durumu göz önüne alınarak sürekli kenar, süreksiz kenar ve serbest uç olarak üçe ayrılmaktadır. Döşemelerin mesnet koşullarının gösterim biçimi Şekil 2.3 de verilmiştir [10]. Her iki doğrultuda oluşan yer değiştirmelerin orta noktada eşitlenmesinden, hesap yükünün şeritler tarafından taşınan kısımları aşağıdaki bağıntılar yardımı ile hesaplanabilir [7]. p l 4 d s p = ve dx l s l l p l 4 p = d l dy l s l l (2.3) Başka döşemelerle komşuluğu olmayan bir döşemede, birbirine dik iki düzgün yayılı yük etkisi altında meydana gelen yer değiştirmeler sonucu, döşemenin ortasında ( δ o ) çökmesi meydana gelir ve her iki yönde kenarlara doğru çökme değeri azalır.

30 13 Şekil 2.3. Döşemelerin mesnet koşullarına ilişkin sınıflaması. Çift doğrultuda çalışan plakta yaklaşık hesap için düşünülen şeritler Şekil 2.4 de gösterildiği biçimde döşemelerin ortasından geçtiği varsayılan kirişler gibi düşünülebilir. Şekil 2.4. Çift doğrultuda çalışan plakta yaklaşık hesap için düşünülen şeritler Kirişsiz Döşemeler ile İlgili Genel Bilgiler Kat döşemelerinin kirişler aracılığı ile değil doğrudan kolonlara ya da perde gibi düşey taşıyıcı elemanlara oturan döşemelere kirişsiz döşemeler, bu şekilde oluşturulan yapı sistemlerine ise kirişsiz döşemeli sistemler denir.

31 14 Kirişli döşemelerde bölme duvarlarının kirişlerin geçtiği akslar üzerinde yer alması gerekeceğinden kat planında ileride değişikliklere gidilmesi çoğu zaman söz konusu değildir. Kirişli döşemeli sistemlerde kiriş yüksekliği serbest kat yüksekliğini düşürecektir. Kirişli döşemelerde tavandan ısıtma, havalandırma ve iklimlendirme kanalları gibi herhangi bir tesisatın geçmesi tesisatın kiriş alt seviyesinden geçmesi anlamı taşıdığından bu durum da ayrıca kat yüksekliğinin azalmasına neden olacaktır. Bu tür unsurlar mekânların rahat ve etkin kullanılmasını engelleyen unsurlardır. Oysa kirişsiz döşemeli sistemlerde ileride ortaya çıkabilecek gereksinimler doğrultusunda mimari kat planında birbirinden farklı mimari çözümlere gidilebilmesi söz konusu olabilir. Düz bir tavan elde edilmiş olduğu için tesisatlar kat yüksekliğini azaltmadan geçirilebilir. Böyle durumlarda kirişsiz plak döşemelerin seçimi uygun olacaktır. Bunlar kirişsiz döşemelerin seçilmesinde önemli etmenlerdir. Kirişsiz döşemeler yapı yüksekliğini az tutulması gereken yerlerde, kirişlerden arındırılmış düz bir tavan istenen yapılarda ya da bölme duvarı olmayan büyük çalışma alanı istenen depo gibi yerlerde bölme duvarları hafif ve gerektiği zaman değiştirilen bölmeli büro yapılarında, fazla derine inmesi istenmeyen temelleri olan yapıların bodrum kat tavanlarında ve benzeri durumlarda yapılan döşeme sistemidir. Kiriş olmadığı için kalıp ve donatı işçiliği basittir buna karşılık daha fazla plak kalınlığı ve donatı gerektirebilir. Bu nedenle ekonomikliği; yapının kullanış amacı, yüklerin durumu ve büyüklüğü açıklığın miktarı ve işçiliğin diğer döşeme sistemleri ile kıyaslanması gibi unsurlara göre değişebilir [6] ve [7]. Birbirine dik eksenlere yerleştirilmiş ve oldukça düzgün sıralanmış kolonların bulunması durumunda kirişsiz döşemeler tercih edilebilir. Kirişsiz döşemelerde döşeme gözleri kare formunda ya da kareye yakın formda yapılacak olursa yükler iki doğrultuda eşit ya da eşite yakın yayılacağından sehimlerin küçük çıkması sağlanabilir [7]. Kirişsiz döşemeli sistemlerde kolonlarla bunları birleştiren döşeme şeritlerinin eksenlerinin oluşturduğu çerçeveler düşey ve yatay yükleri karşılar bu nedenle yapı taşıyıcı sistemi oluşturulurken birbirine dik eksenlere göre yerleştirilmiş ve oldukça düzenli bir biçimde sıralanmış kolonların bulunmasına dikkat edilmelidir. Kolonların ya da duvarların gelişigüzel olması ve belirli bir eksen sistemi üzerinde olmaması durumunda çözümü güç durumlar ortaya çıkacağından başkaca sorunlara neden olabilir. Böyle durumlarda kirişsiz döşeme yapımı üzerinde asla durulmamalıdır [6] ve [7].

32 15 Yatay doğrultuda etkiyen deprem kuvvetleri nedeniyle kenar ve köşe kolonlarda doğabilecek eğilme momenti etkilerini azaltmak için döşeme kenarları boyunca çevre kirişi yapılabilir. Merdiven boşlukları çevresinde de çevre kirişi yapılması yoluna gidilebilir. Bu tür kirişlerin yapılması sistemin kirişli döşeme olarak anılmasını gerektirmez [7]. Ayrıca yatay yüklerin karşılanmasında perdelerin kullanılması uygun olacaktır. Yatay deprem kuvvetleri, döşemeler ile perdelerin birleştiği yerlerde büyük zorlamalar oluşturacaktır. Yükün bu perdelere iletilmesine hesaplarda ve yapımda özen gösterilmesi gerekir. Bunun için perdelerin bulunduğu bölgelerde ve özellikle perdeler dış kenarda yer alıyorsa perde ve kolonların bir çevre kirişi ile bağlanması uygun olacaktır. Böylece döşemelerden daha rijit eleman olan kirişler aracılığı ile yatay kuvvetlerin bir kısmı sorunsuz olarak perdelere iletilmiş olur [6]. Kısaca Türk Deprem Yönetmeliği olarak bilinen Bayındırlık ve İskan Bakanlığı nın Afet Bölgelerinde Yapılacak Yapılar Hakkında Yönetmelik, Bina taşıyıcı sisteminde betonarme perdeler yer almıyorsa sadece üçüncü ve dördüncü derece deprem bölgelerinde ve yapı toplam yüksekliğinin 13.0 m den küçük olduğu (H N < 13 m) durumda yapılabileceğini belirtmektedir [11]. Deprem güvenliği bakımından birinci ve ikinci derece deprem bölgelerinde yapılacak, kirişsiz döşemeli yapı sistemlerinde deprem hasarlarını azaltmak bakımından betonarme perdelerin kullanılması gerektiği açıktır. Adı geçen yönetmelik ayrıca dişli döşemelerde olduğu gibi kirişsiz döşemelerin de süneklik düzeyi yüksek kolonlar için verilen koşullardan herhangi birinin sağlanamaması durumunda süneklik düzeyi normal sistemler olarak dikkate alınmasını belirtir [11]. Kirişsiz döşemeli sistemlerde yüklerin etkisi ile kolon başlarında zımbalama etkisi oluşur. Zımbalama etkisi plak kalınlığının belirlenmesinde etkilidir. Kirişli döşemelerde kirişler döşemelerden daha rijit olduğu için böyle bir durum ortaya çıkmaz. Kirişsiz döşemelerde yük iletimini uygun duruma getirmek için kolon başları ya tablalarla kalınlaştırılır ya da başlık yapılır veya hem tabla hem de başlık yapılabilir. Zımbalama kuvvetinin durumuna göre; kirişsiz plak döşemeler, başlıklı kirişsiz döşemeler, tablalı kirişsiz döşemeler ve başlıklı ve tablalı kirişsiz döşemeler olmak üzere dört farklı şekilde uygulanabilir [5], [6], [7], [8] ve [9]. Kolonların başlıksız ve tablasız olduğu kirişsiz döşemeler yükün az olduğu ve zımbalama etkisinin doğmasının düşük bir olasılık olduğu durumlarda seçilir. Fabrika ve atölye gibi yapılarda

33 16 makinelerden doğan ağır tekil yüklerin ve titreşimlerin etki ettiği yapılarda kolonları tablalı ve başlıklı olan mantar döşemeler seçilebilir. Ancak bazı kaynaklarda bu tür yapılarda kirişsiz döşemelerin kullanılmaması gerektiği önerilmiştir [8]. Tabla ve başlık kullanılması kirişsiz döşemelerin diğer döşeme türlerine göre bazı üstünlüklerini ortadan kaldırır [7]. Zımbalamaya etkiyen faktörler; yük, aks aralıkları, dinamik yükler ve yatay yükler olabilir. Kirişsiz döşemelere tabla ve başlık yapılması durumunda diğer döşemelere olan üstünlüklerinin bir kısmını kaybedebilir. Öte yandan katlarda kenar çevrelere kiriş yapılması, hatta merdiven boşlukları çevresinde de kiriş kullanılması bazı sakıncalı durumları ortadan kaldırabilir [6] ve [7]. Kolon başlarının bulunduğu kısımlarda yeterli döşeme kalınlığı bulunmadığı takdirde donatının yoğun olması nedeniyle beton iyi yerleştirilemeyebilir. Bu durum zımbalama etkisinin doğmasına neden olabilir. Yahut betonda yeterli dayanım elde edilmeden kalıp sökülmesinden dolayı yine zımbalama etkisi doğabilir. Zımbalama kırılması ani ve gevrek bir kırılmadır. Göçen kat bir alt kata düştüğü için taşıyıcı sistemin ani yıkılmasına, böylece can ve mal kaybına neden olur. Yapı planında ortalarda yer alan kolonlarda zımbalama yükü her ne kadar köşe ve kenar kolonlara göre daha fazla ise de orta kolonlar bölgesinde yükün iletilmesi için kullanılan alan hem daha fazladır hem de kolonlara iletilen eğilme momenti etkisi normal kuvvete göre daha azdır. Köşe ve kenar kolonlarda iletilen eğilme momenti etkisi daha büyüktür ve etkinin iletilmesinde gerekli olan zımbalama alanı daha küçüktür. Bu nedenle köşe ve kenar kolonlarda zımbalama etkisi iç kolonlardan daha önemli hale gelir. Zımbalama etkisi tabla, başlık, hem tabla hem de başlık yapılarak karşılanabildiği gibi döşeme kalınlığı artırılarak yahut kolon boyutları büyütülerek de karşılanabilir. Zımbalama dayanımının belirlenmesi için TS 500 Betonarme Yapıların Hesap ve Tasarım Kuralları standardı uyulması gerekli önemli koşullar belirlemiştir [10]. Bu konu üzerinde ayrıca durulacaktır. Zımbalama dayanımı çelik donatı ya da profiller kullanılarak da artırılabilir. Bunu için döşeme kalınlığının en az 250 mm olması gerekir. Döşeme kalınlığı arttırılarak zımbalama dayanımı elde edilecekse bu artış başlangıçta hesaplanan döşeme kalınlığının %50 sini aşmamalıdır. Kolon başlarının bulunduğu bölgelerde altta ve üstte her iki doğrultuda yer alan döşeme donatıları ve ayrıca kolon donatıları bulunduğu için ek olarak konacak zımbalama donatıları beton dökmeyi güçleştirecektir. Bu durum

34 17 aderansı azaltıp, bölgenin zayıflamasına neden olacak ve asıl zımbalama sorununun doğmasına neden olacaktır. Bunun için zımbalama donatısı yerine döşeme kalınlığını artırmak, kolon boyutunu artırmak, kolon başlarına tabla ya da başlık yapmak daha uygun olacaktır. Binalarda genellikle dış duvarlar bulunduğu için kirişler sehim yapacak olursa bu önemli bir sakınca doğurmaz, kirişsiz döşemeli sistemlerde dış kolonları birleştirecek bir çevre kirişi yapılırsa bu uygun olacaktır. Merdivenlerin ve asansörlerin yer aldığı kısımlardaki kolonları birleştiren bir kirişin yapılması da oldukça yararlı olacaktır [6]. Kirişsiz döşemeli sistemlerde kirişler gibi rijit elemanlar bulunmadığı için düşey sehimlerin sınırlandırılması önemlidir. Bunun için plak kalınlığı arttırılabilir. Ancak kalınlığı arttırılmış plaklarda da sehimler oluşur. Döşeme plaklarının kareye yakın oluşturulmasıyla yükün her iki doğrultuda yayılması sağlanabilir ve böylece sehimler küçük tutulabilir [6]. Bu açıklamalardan sonra kirişsiz döşemelerin üstün ve zayıf yönleri şöylece sıralanabilir. Üstün yönleri; kalıp imalatı ve işçiliği kolaydır, mekânları rahat ve etkin kullanma olanağı sağlar, iyi ısı ve ses yalıtımı sağlar. Zayıf yönleri ise depreme karşı dayanımı düşüktür, kolonlarla döşemelerin birleştiği noktalarda zımbalama etkisinin doğma olasılığı yüksektir, daha fazla donatı ve beton kullanımı gerektirebilir ve yatay yük taşıyıcı elemanlara daha fazla ihtiyaç duyulmasını ortaya çıkarır Kirişsiz Döşemelerin Analizine Genel Bakış Kirişsiz döşemelerin çalışması ana fikir olarak Şekil 2.5 de verildiği üzere bir doğrultudaki bir (M 0 ) momentinin iki doğrultuda değişimi şeklindedir. Buradaki şekilde (M 0 ) eğilme momentinin, kolonları birleştiren (1-1) ve açıklık ortasından geçen (2-2) eksenleri doğrultusundaki eğilme momentleri ile bunlara dik doğrultudaki kolonları birbirine bağlayan (a-a) ile açıklık ortasından geçen (b-b) eksenleri üzerindeki eğilme momentleri şematik olarak verilmiştir [6] ve [7]. (1-1) ve (2-2) doğrultularındaki şeritler bunlara dik doğrultuda yer alan (a-a) doğrultusundaki şeritlere mesnetli sürekli kiriş gibi davranır. Eğilme momentleri bu davranışa uygun olarak açıklıkta pozitif ve mesnette negatif olacaktır.

35 18 Şekil 2.5 Kirişsiz döşemelerde (M 0 ) momentinin iki doğrultuda değişimi. Burada yük kolonları birleştiren (1-1) mesnet şeridinden doğrudan kolonlara geçmektedir. Yükün bir kısmı da (2-2) açıklık ortası şeridi doğrultusunda yayılarak buna dik doğrultudaki ve mesnet kabul ettikleri (a-a) şeridi ile kolonlara aktarılmaktadır. Ayrıca (b-b) şeridi boyunca da (2-2) eksenine dik doğrultuda eğilme momenti yayılmaktadır. (1-1) ve (2-2) şeritleri boyunca yayılan momentlerin kıyaslamasından kolon şeridinde momentlerin daha büyük değerler aldığı ve kolona yakın bölgelerde arttığı gözlenebilir. Benzer durum (a-a) ve (b-b) şeritleri boyunca da gözlenebilir. Sözü edilen (M 0 ) momentinin hesabı ve iki doğrultuda değişimi için Moment Katsayıları Yöntemi ve Eşdeğer Çerçeve Yöntemi gibi yöntemler kullanılabilir. Her iki yöntem de TS 500 Betonarme Yapıların Hesap ve Tasarım Kuralları standardınca benimsenmiştir [10] Kirişsiz Döşemelerin Moment Katsayıları Yöntemiyle Analizi Kirişsiz döşemelerin moment katsayıları yöntemiyle analizi için bazı koşullara uyulması gerekir[5], [6], [7],ve [8]. Bunlar şöylece sıralanabilir. İç mesnet momentlerinin çok büyük olmaması için her iki doğrultuda da en az üç açıklık bulunmalıdır, Döşemeler kare formuna daha yakın olmalıdır, en azından döşemenin uzun kenarının kısa kenarına oranı ikiden küçük olmalıdır, Komşu iki döşemenin aynı doğrultudaki açıklıkları arasındaki fark büyük açıklığın %33 den fazla olmamalıdır,

36 19 Hareketli yükün, ölü yüke oranı ikiden büyük olmamalıdır, Herhangi bir kolonun çerçeve aksına göre dış merkezliliği, moment hesaplanan doğrultudaki açıklığın %10 undan fazla olmamalıdır, Tüm düşey yükler düzgün yayılı yük olmalıdır. Kirişsiz Döşemelerin Moment Katsayıları Yöntemi ile Hesap Aşamaları: 1. Aşama: Döşeme, Şekil 2.6 da görüldüğü gibi kolon ve orta şeritlere ayrılarak, her iki taraftaki döşeme açıklıklarından küçük olanın dörtte biri kolon şeridine, hesap yapılan doğrultuya dik döşeme açıklığının yarısı da orta şeride katılır. Şekil 2.6. Döşemenin kolon ve orta şeritlere ayrılması. 2. Aşama: Kirişsiz döşemelerin çalışmasının bir doğrultudaki bir (M 0 ) momentinin iki doğrultuda değişimi şeklindedir olarak belirtilmişti. Bu moment, kolon şeridi ve orta şerit tek bir şerit gibi ele alınarak denklem (2.4) de verilen ifade ile hesaplanır. (p M = 0 l )l 8 2 d 2 n (2.4)

37 20 Burada; (l 2 ) hesap doğrultusuna dik iki komşu açıklığın ortalamasını, (l n ) hesap yapılan doğrultuda kolonların arasındaki serbest açıklığı, (l 1 ) ise akstan aksa olan uzaklık olup, l n < 0.65 l 1 ise; l n =0.65 l 1 (2.5) alınmalıdır. 3. Aşama: İki kolon arasındaki her döşemenin açıklık ve mesnet momentleri, kenar veya iç açıklık olması durumuna göre, çeşitli katsayılarla toplam statik momentin çarpılması ile bulunur. Uygulamada genel olarak döşemeler kolondan kolona alınmıştır. Perdeye saplanması veya duvar üzerine mesnetlenmesi durumu Şekil 2.7 de ayrıca gösterilmiştir. Şekil 2.7. Döşemenin mesnet koşullarına göre mesnet ve açıklık momentleri.

38 21 4. Aşama: Belirlenen mesnet momentlerinin iç mesnetlerde (%75) i kolon şeridine (%25) i ise orta şeride dağıtılır. Kenar mesnetlerde çevre kirişi yoksa momentlerin tamamı kolon şeridine, varsa iç mesnetlerdeki durum geçerlidir. Açıklıklarda ise hesaplanan açıklık momentlerinin (%60) ı kolon şeridine, (%40) ı ise orta şeride verilmektedir. TS500 döşeme plağı için hesaplanan M 0 momentinde değişiklik yapılmamak kaydıyla, mesnet ve açıklık momentlerinde (%10) kadar değişiklik yapılabileceğine izin vermektedir [10]. Kirişsiz döşemelerin ortak mesnetlerinde moment dengelemesine gidilmez, büyük olan moment tasarım momenti olarak kullanılır. Şekil 2.8. Döşeme momentlerinin kolon ve orta şeride dağıtılması Kirişsiz Döşemelerde Zımbalama Etkisi Kirişsiz döşemelerde kolon çevresinde tabla ve veya başlık yoksa yük altında kayma gerilmeleri, dolayısıyla asal çekme gerilmeleri betonun çekme gerilmelerini aşabilir ve zımbalama adı verilen ani ve gevrek kırılma oluşabilir. Zımbalama, yapının bir anda yerle bir olmasına neden olur [5], [6], [7], [8] ve [10]. Zımbalama denetiminin hesap aşamaları şöyledir. 1. Aşama: Zımbalama çevresinin belirlenmesi.

39 22 Kolon yüzünden (45 o ) lik bir eğimle meydana gelen çatlağın, tam ortasından geçtiği varsayılan doğrunun döşeme üzerindeki izdüşümü, zımbalama çevresini gösterir. Bu durumda kolon yüzünden (d/2) mesafe alınması halinde, u p = 2 ( b 1 + b 2 ) (2.6) bağıntısı kolonun dört tarafının döşeme olması halinde kullanılabilir. Kolonun kenarda, köşede veya dairesel olması durumunda bu formül kolayca düzenlenebilir. Kolonun iki doğrultuda eğilme altında bulunması durumunda, momentin büyük olduğu doğrultuda kolon boyutu da büyük seçilir. Şekil 2.9. Kirişsiz döşemelerde zımbalama çevresi. Tablalı kirişsiz döşemelerde çatlağın tabla sınırları dışında olacağı düşünülerek (d/2) uzaklığı tabla bitiminden alınır. Aynı şekilde başlık olması durumunda (d/2) uzaklığı başlık boyutuna eklenmektedir. Eğer başlık eğimi (45 o ) den az ise tablasız ve başlıksız durumda olduğu gibi (d/2) uzaklığı kolon yüzünden alınır. Bu uzaklıklar Şekil 2.9 da görülebilir. TS500 e göre kolon yüzünden (5d) uzaklığında boşluk bırakılması gerekiyorsa zımbalama çevresi hesaplanırken dikkate alınmalıdır [10]. Bir diğer husus da kolon geometrisinin farklı olması ya da kolon yerine perde kullanılması durumunda ortaya çıkmaktadır. Bu durum Şekil 2.10 da verilmiştir.

40 23 Şekil Zımbalama çevresi için özel durumlar. 2. Aşama: Döşeme tasarım yükünün bileşkesinin belirlenmesi. Zımbalama çevresinin içinde kalan alana etkiyen döşeme tasarım yükünün bileşkesi denklem (2.7) da verilen ifade ile hesaplanır. F a = pdb1b 2 (2.7) 3. Aşama: Tasarım eksenel yükünün belirlenmesi. Zımbalamaya maruz kalabilecek kolona bu kat döşemesinden aktarılacak tasarım eksenel yükü, alt ve üst kat kolonlarındaki eksenel yüklerin farkı ile denklem (2.8) de verilen ifade ile hesaplanır. F d = N2- N 1 (2.8) Kolonlara gelen yüklerin bilinmemesi halinde, döşemeyi kolonlar arasında eşit parçalara bölerek oluşturulan alanlara bağlı olarak hesaplanacak kolona gelen yük denklem (2.9) de verilen ifade ile belirlenebilir. F d = p d A k (2.9) 4. Aşama: Tasarım zımbalama kuvvetinin belirlenmesi. Tasarım zımbalama kuvveti denklem (2.10) da verilen ifade ile belirlenir. V pd = F d - F a (2.10) 5. Aşama: (γ ) katsayısının belirlenmesi. Bu katsayı zımbala dayanımını azaltan bir katsayı olup birden büyük olamaz ( γ 1). TS 500 de kolonların dış merkezliliğinden dolayı eksenel yüke göre tasarımına izin verilmez [10]. Kolonda minimum düzeyde bir moment dikkate alınacaktır, eğer moment ihmal edilebilecek bir düzeyde ise (γ =1) alınabilir [5]. Dışmerkezliliğin dikkate

41 24 alınması ile (γ ) katsayısının hesabı için (x) ve (y) yönünde etkiyen eğilme momentlerine bağlı olarak her iki yönde (e x ) ve (e y ) nin belirlenmesi gerekir. Döşeme eğilme momentleri (M d1 +M d2 ) ve (M d1 -M d2 ) dengelenmemiş eğilme momentleridir. TS 500 de iç mesnetlerde daha kesin hesap yapılmadığı durumlarda, 2 ' ' ' ( ) ( ) 2 g q l2 ln g l2 ln M=0.07 p p - p (2.11) ifadesi hesaplanması gerektiği belirtilir [10]. Hesaplanan moment eğilme rijitliklerine göre alt ve üst kolon arasında paylaştırılır. Burada (p ), ( l ) ve ( l ) kısa olan komşu ' ' ' g 2 n açıklıkların değerlerini göstermektedir. Dışmerkezlilik hesabında bu dengelenmemiş momentin (%40) ı burulma momenti olarak kabul edilmekte ve dışmerkezlik hesabında kullanılabilmektedir. Şekil Moment yönlerine göre dışmerkezliliğin hesabı. 0,4 (M d1+ M d2) 0,4 (Md1- M d2) e x = ve e y = (2.12) N2- N1 N2- N1 (γ ) Katsayısı, döşeme köşesinde ve kenarında olmayan kolonlar için; 1 γ = (2.13) e x + ey 1 + 1,5 b b 1 2 ifadesi ile kolayca belirlenir. Orta kolonlar dışındaki diğer kolonlarda ise γ katsayısı; 1 γ = (2.14) e 1 + η u p d W m ifadesi ile belirlenmektedir. Burada (e x ) ve (e y ) x ve y yönündeki dışmerkezlilikler, (b 1,b 2 ) zımbalama çevresini içine alan en küçük dikdörtgenin boyutları, (u p ) zımbalama çevresi, (W m ) zımbalama çevresinde kalan alanın dayanım momenti, (η) düzensizlik katsayısıdır.

42 25 6. Aşama: Zımbalama dayanımının belirlenmesi. V pr = γ f ctd u p d (2.15) 7. Aşama: Denetim yapılması. Zımbalama dayanımı, tasarım zımbalama kuvvetinden küçük olursa uygulanabilecek çözümler şunlardır. Döşeme kalınlığı arttırılabilir, Kolon boyutları arttırılabilir, Beton kalitesi arttırılabilir, Tabla veya kolon başlığı yapılabilir yahut da Zımbalama donatısı kullanılabilir. TS500 de zımbalama donatısı kullanılarak döşemenin zımbalama dayanımının arttırılmasından kaçınılması gerektiği vurgulanmaktadır [10]. Bununla birlikte TS500 e göre arttırılmış zımbalama dayanımı, hesap sonucu bulunan zımbalama dayanımı değerinin (1.5) katını aşmaması gerekir ve döşeme kalınlığının zımbalama donatısı kullanılacaksa bunun da en az (0.25 m) olması gerektiği belirtilmiştir. Zımbalama donatısından başka çözüm yolu bulunamaması halinde güvenli tarafta kalmak bakımından (f yd ) yerine (0.5f yd ) kullanılması önerilmektedir. Çünkü betonun donatı yoğunluğundan dolayı gerektiği şekilde yerleştirilememesi ve aderansın oluşmaması bu bölgenin zayıflamasına neden olabilir. Şekil Kirişsiz döşemelerde tabla, kolon başlığı ve kolon boyutlarına ilişkin sınırlar.

43 Kirişsiz Döşemelerin Boyut ve Donatılarına İlişkin Koşullar TS500 standardında, kirişsiz döşemelerin kalınlığının tablasız kirişsiz döşemelerde h f >l n /30 (0.18 m), tablalı kirişsiz döşemelerde h f >l n /35 (0.14 m) ve tasarım yaklaşık yöntemlerle yapılıyorsa h f >l l /30 (0.12 m) olması öngörülmektedir [10]. Sehim oluşmasını önlemek için döşeme kalınlığı, h min h = l ( f ) / (2.16) f f l n yd koşulunu sağlayacak şekilde seçilmesi gerekir. Burada h f (cm), l ln (cm), f yd (kg/cm 2 ) cinsindendir. Ayrıca minimum donatı oranı ve aralığı, max f ρ ρ min = (BÇIII - BÇIV), s s = min (1.5h ; 0.2m) olarak öngörülmüştür. Kirişsiz plak döşemelerin boyut ve donatılarına ilişkin koşullar Tablo 2.3 de verilmiştir [7] ve [10]. Tablo 2.3. Kirişsiz plak döşemelerin boyut ve donatılarına ilişkin koşullar [7] ve [10].

44 Kirişsiz Döşemelerin Eşdeğer Çerçeve Yöntemi ile Analizi İlk kez Peabody tarafından önerilen eşdeğer çerçeve çözümü, Corley ve Jirsa] tarafından sadece düşey yükler için 1970 de yayımlanan çalışmayla geliştirilmiş ve 1971 de Eşdeğer Çerçeve Yöntemi olarak A.B:D yönetmeliklerinde yer almıştır [12]. Daha sonra Vanderbilt tarafından yatay yükler için geliştirilmiştir [13]. TS500 de kirişsiz plak döşemelerin çözümünde kullanılan Moment Katsayıları Yöntemi koşullarından herhangi birinin sağlanamaması durumunda, Eşdeğer Çerçeve Yönteminin kullanılması bir seçenek olarak verilmiştir [10]. Şekil Yapının eşdeğer çerçevelere ayrılması. Eşdeğer çerçevenin kapsadığı elemanlar kolonlar, döşeme + kiriş elemanı ve burulma elemanıdır. Kirişsiz döşemelerde, sadece döşeme elemanından oluşan burulma etkisi hesaplanacaktır. Eşdeğer çerçeve yöntemini diğer yöntemlere göre üstün kılan unsur, kolona dik yönde saplanan elemanın burulma rijitliğinin hesaplanmasıdır. Momentler kesitlere elastik hesapla dağıtılmakta olup döşeme boyutları ve yük durumu açısından herhangi bir sınırlama yapılmamaktadır. Kirişsiz plak döşemelerde tabla ve/veya kolon

45 28 başlığı yapılması durumunda atalet momentindeki değişimler dikkate alınabilmektedir. Elverişsiz yüklemeler etkisinde momentlerin belirlenmesinde Cross yöntemi kullanılabilir. Kirişli döşemelerde, (döşeme + kiriş) elemanı dikkate alındığından hesaplanan momentler rijitlikleri oranında bu elemanlara paylaştırılır. Kirişler için ayrıca çözüm yapmaya gerek yoktur. Şekil Eşdeğer çerçevenin hesabında kullanılan elemanlar. Eşdeğer çerçeveler kolon eksenlerinden geçen düzlemde bulunur ve kısa doğrultuda kolonlar arasındaki açıklığın yarısına kadar uzanır. Kolonların planda içte veya dışta bulunmasına göre iç ve dış eşdeğer çerçeveleri ortaya çıkar. Hesaplarda, Şekil 2.15 de görüleceği üzere, kolon şeridi ve orta şerit olmak üzere iki tür hesap şeridi oluşturulur. Döşeme kalınlığının belirlenmesinde sehim ve zımbalama kontrolü yapılarak, fazla donatıya ihtiyaç göstermeyecek bir döşeme kalınlığının veya kolon boyutunun hesaplanması yerinde olur. (Döşeme + Kiriş) sisteminin (K sb ) eğilme rijitliğinin

46 29 belirlenmesinde esas alınacak kesitler her bir durum için gösterilmiştir. Yapı elemanlarındaki rijitlik değişimi, statik hesapta moment dağıtma katsayılarının ve ankastrelik momentinin bulunmasında kullanılır. Şekil Eşdeğer çerçeve yönteminde dikkate alınan şeritler. (Döşeme + Kiriş) elemanının brüt beton kesitinin atalet momenti mesnet yüzleri arasında hesap edilir. Mesnetler arası kesitteki değişiklerin hesaba katılması gerekir. Eşdeğer çerçevede kolon, kolon başlığı ve perde mesnet olarak tanımlanabilir. Fakat kiriş mesnet olarak kabul edilmez. (döşeme + kiriş) elemanının kesit atalet momenti mesnet yüzünden mesnet eksenine kadar olan bölgede, kesitin mesnet yüzündeki değerinin (1-c 2 /l 2 ) 2 değerine bölünmesiyle, büyütülerek elde edilir. Böylece gusse durumu da göz önüne alınmış olur. Başlıksız ve tablasız kirişsiz döşemelerde döşeme elemanının özellikleri Şekil 2.16 da, tablalı kirşsiz döşemelerde döşeme elemanının özellikleri Şekil 2.17 de, (tablalı + başlıklı) kirişsiz döşemelerde döşeme elemanının özellikleri Şekil 2.18 de ve atalet momenti hesabı için karşılaşılabilecek tablalı kesitlere ait şekiller Şekil 2.19 da verilmiştir.

47 30 Şekil Başlıksız ve tablasız kirişsiz döşemelerde döşeme elemanının özellikleri. Şekil Tablalı kirşsiz döşemelerde döşeme elemanının özellikleri.

48 31 Şekil Tablalı + başlıklı kirişsiz döşemelerde döşeme elemanının özellikleri. Şekil Atalet momenti hesabı için karşılaşılabilecek tablalı kesitler. Kolon yüksekliği (l c ) boyunca kolon kesit atalet momentinin değiştiği kabul edilir. Moment dağıtma katsayıları ve ankastrelik momentinin hesaplanmasında eşdeğer rijitlik değişimini gösteren tablolardan yararlanılabilir. Döşeme ya da (döşeme + kiriş) elemanı için katsayılar Tablo 2.4 de, kolonların rijitlik ve taşıma katsayıları ise Tablo 2.5 de verilmiştir.

49 32 Tablo 2.4. Döşeme ya da (döşeme + kiriş) elemanı için katsayılar. Boyut Oranları Moment Katsayısı Rijitlik Katsayısı Taşıma Katsayısı c 1a / l 1 C 1b / l 1 Ω a Ω b k ab k ba TK a TK b 0,00 0,083 0,083 4,00 4,00 0,050 0,050 0,05 0,083 0,084 4,01 4,04 0,504 0,500 0,10 0,082 0,086 4,03 4,15 0,513 0,499 0,00 0,15 0,081 0,089 4,07 4,32 0,528 0,498 0,20 0,079 0,093 4,12 4,56 0,548 0,495 0,25 0,077 0,097 4,18 4,88 0,573 0,491 0,30 0,075 0,102 4,25 5,28 0,603 0,484 0,35 0,073 0,107 4,33 5,78 0,638 0,478 0,05 0,084 0,084 4,05 4,05 0,503 0,503 0,10 0,083 0,086 4,07 4,15 0,513 0,503 0,15 0,081 0,089 4,11 4,33 0,528 0,501 0,05 0,20 0,080 0,092 4,16 4,58 0,548 0,499 0,25 0,078 0,096 4,22 4,89 0,573 0,494 0,30 0,076 0,101 4,29 5,30 0,603 0,489 0,35 0,074 0,107 4,39 5,80 0,638 0,481 0,10 0,085 0,085 4,18 4,18 0,513 0,513 0,15 0,083 0,088 4,22 4,36 0,528 0,511 0,10 0,20 0,082 0,091 4,27 4,61 0,548 0,508 0,25 0,080 0,095 4,34 4,93 0,573 0,504 0,30 0,078 0,100 4,41 5,34 0,602 0,498 0,35 0,075 0,105 4,50 5,85 0,637 0,491 0,15 0,086 0,086 4,40 4,40 0,526 0,526 0,20 0,084 0,090 4,46 4,65 0,546 0,523 0,15 0,25 0,083 0,094 4,53 4,98 0,571 0,519 0,30 0,080 0,099 4,61 5,40 0,601 0,513 0,35 0,078 0,104 4,70 5,92 0,635 0,505 0,20 0,088 0,088 4,72 4,72 0,543 0,543 0,20 0,25 0,086 0,092 4,79 5,05 0,568 0,539 0,30 0,083 0,097 4,88 5,48 0,597 0,532 0,35 0,081 0,102 4,99 6,01 0,632 0,524 0,25 0,090 0,090 5,14 5,14 0,563 0,563 0,25 0,30 0,088 0,095 5,24 5,58 0,592 0,556 0,35 0,085 0,100 5,36 6,12 0,626 0,548 0,30 0,30 0,092 0,092 5,69 5,69 0,585 0,585 0,35 0,090 0,097 5,83 6,26 0,619 0,576 0,35 0,35 0,095 0,095 6,42 6,42 0,609 0,609

50 33 Kolon ekseni boyunca değişen atalet momentinin hesabında brüt beton kesiti göz önüne alınır. Başlıklı kolonlarda, atalet momentinin iki uçtaki değeri hesap edilip, arada doğrusal değişim kabul edilebilir. (Döşeme + Kiriş) taşıyıcı elemanı içinde kalan kolon kısmında atalet momenti sonsuz rijit kabul edilir. Kolon rijitliği hesabı için dikkate alınacak kesitler ve özellikleri Şekil 2.20 de verilmiştir. Şekil Kolon rijitliği hesabı için dikkate alınacak kesitler ve özellikleri. Burulma elemanının rijitliğinin hesabında göz önüne alınacak genişlik, kolon veya varsa kolon başlığının çerçeve doğrultusundaki kesit boyutu ile çerçeveye dik doğrultuda kolona saplanan kiriş ve döşemenin oluşturduğu tablalı kesitten büyük olanı alınır. Burulma elemanlarının rijitlikleri: 3 ( x y) C = Σ / x y/3 (2.17) (y) dikdörtgen kesit parçasının uzun kenarı ve (x) kısa kenarı olmak üzere 3 ( l { l } ) K = Σ 9 E t cs C / 2 1- c 2/ 2 (2.18) şeklinde hesaplanır. Kesit, dikdörtgen parçalara bölünerek (C) katsayısını en büyük veren bölünme şekli hesaba esas alınır. Eşdeğer kolon rijitliği, burulma elemanının burulma rijitliği ile kolon eğime rijitliğinin toplanması ile bulunur. Kayma modülü yerine elastiklik modülü kullanıldığı için formülde ek olarak bir (9) katsayısı kullanılmıştır.

51 34 t t a b 0,00 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00 1,20 1,40 1,60 1,80 2,00 2,20 2,40 2,60 2,80 3,00 3,50 4,00 4,50 5,00 6,00 7,00 Tablo 2.5. Kolonların rijitlik ve taşıma katsayıları (l c / l n ). 1,05 1,10 1,15 1,20 1,25 1,30 1,35 1,40 1,45 k c 4,20 4,40 4,60 4,80 5,00 5,20 5,40 5,60 5,80 TK 0,57 0,65 0,73 0,80 0,87 0,95 1,03 1,10 1,17 k c 4,31 4,62 4,95 5,30 5,65 6,02 6,40 6,79 7,20 TK 0,56 0,62 0,68 0,74 0,80 0,85 0,91 0,96 1,01 k c 4,38 4,79 5,22 5,67 6,15 6,65 7,18 7,74 8,32 TK 0,55 0,60 0,65 0,70 0,74 0,79 0,83 0,87 0,91 k c 4,44 4,91 5,42 5,96 6,54 7,15 7,81 8,50 9,23 TK 0,55 0,59 0,63 0,67 0,70 0,74 0,77 0,80 0,83 k c 4,49 5,01 5,58 6,19 6,85 7,56 8,31 9,12 9,98 TK 0,54 0,58 0,61 0,64 0,67 0,70 0,72 0,75 0,77 k c 4,52 5,09 5,71 6,38 7,11 7,89 8,73 9,63 10,60 TK 0,54 0,57 0,60 0,62 0,65 0,67 0,69 0,71 0,73 k c 4,55 5,16 5,82 6,54 7,32 8,17 9,08 10,07 11,12 TK 0,53 0,56 0,59 0,61 0,63 0,65 0,66 0,68 0,69 k c 4,58 5,21 5,91 6,68 7,51 8,41 9,38 10,43 11,57 TK 0,53 0,55 0,58 0,60 0,61 0,63 0,64 0,65 0,66 k c 4,60 5,26 5,99 6,79 7,66 8,61 9,64 10,75 11,95 TK 0,53 0,55 0,57 0,59 0,60 0,61 0,62 0,63 0,64 k c 4,62 5,30 6,06 6,89 7,80 8,79 9,87 11,03 12,29 TK 0,52 0,55 0,56 0,58 0,59 0,60 0,61 0,61 0,62 k c 4,63 5,34 6,12 6,98 7,92 8,94 10,06 11,27 12,59 TK 0,52 0,54 0,56 0,57 0,58 0,50 0,59 0,60 0,60 k c 4,65 5,37 6,17 7,05 8,02 9,08 10,24 11,49 12,85 TK 0,52 0,54 0,55 0,56 0,57 0,58 0,58 0,59 0,59 k c 4,66 5,40 6,22 7,12 8,11 9,20 10,39 11,68 13,08 TK 0,52 0,53 0,55 0,56 0,56 0,57 0,57 0,58 0,58 k c 4,67 5,42 6,26 7,18 8,20 9,31 10,53 11,86 13,29 TK 0,52 0,53 0,54 0,55 0,56 0,56 0,56 0,57 0,57 k c 4,68 5,44 6,29 7,23 8,27 9,41 10,66 12,01 13,48 TK 0,52 0,53 0,54 0,55 0,55 0,55 0,56 0,56 0,56 k c 4,69 5,46 6,33 7,28 8,34 9,50 10,77 12,15 13,65 TK 0,52 0,53 0,54 0,54 0,55 0,55 0,55 0,55 0,55 k c 4,71 5,50 6,40 7,39 8,48 9,69 11,01 12,46 14,02 TK 0,51 0,52 0,53 0,53 0,54 0,54 0,54 0,53 0,53 k c 4,72 5,54 6,45 7,47 8,60 9,84 11,21 12,70 14,32 TK 0,51 0,52 0,52 0,53 0,53 0,52 0,52 0,52 0,52 k c 4,73 5,56 6,50 7,54 8,69 9,97 11,37 12,89 14,57 TK 0,51 0,52 0,52 0,52 0,52 0,52 0,51 0,51 0,51 k c 4,75 5,59 6,54 7,60 8,78 10,07 11,50 13,07 14,77 TK 0,51 0,51 0,52 0,52 0,51 0,51 0,51 0,50 0,49 k c 4,76 5,63 6,60 7,69 8,90 10,24 11,72 13,33 15,10 TK 0,51 0,51 0,51 0,51 0,50 0,50 0,49 0,49 0,48 k c 4,78 5,66 6,65 7,76 9,00 10,37 14,88 13,54 15,34 TK 0,51 0,51 0,51 0,50 5,00 0,49 0,48 0,48 0,47

52 35 8,00 9,00 k c 4,78 5,68 6,69 7,82 9,07 10,47 12,01 13,70 15,54 TK 0,51 0,51 0,50 0,50 0,49 0,49 0,48 0,47 0,46 k c 4,80 5,71 6,74 7,89 9,18 10,61 12,19 13,93 15,83 TK 0,50 0,50 0,50 0,49 0,48 0,48 0,47 0,46 0,45 Döşeme + kiriş elemanının kolona giren kısmı burulma rijitliğini arttırdığı için, aynı doğrultudaki kolon boyutunu içeren bir ifade ile bölünmüştür. Momentin hesap edildiği doğrultuda kiriş varsa, burulma elemanın rijitliği artacağından, K ta = K t I sb / I s (2.19) burulma rijitliği (2.19) ifadesi ile bulunur. Burada (I s = l 2 hf 3 /12) döşemenin atalet momentidir. Eşdeğer çerçevenin statik hesabında, eğilme momentleri dağılımına burulma elemanlarının etkisi önemlidir. Döşeme ile beraber kiriş elemanının bulunması eşdeğer kolon rijitliğini etkiler. 1 / K ec = ( 1 / ΣK c ) + ( 1 / ΣK t ) (2.20) ( )( ) ( ) ( ) K ec = K ct +K cb K ta +K ta / K ct +K cb + K ta +K ta (2.21) burada (K ct ) ve (K cb ) kolonların alt ve üst kısımlarına ait rijitlik ifadeleridir. (K ta + K at ) iki tarafa uzanan burulma elemanlarının rijitliklerini gösterir. Statik çözüm yapılırken hareketli yüklerin en elverişsiz durumu dikkate alınmalıdır. Kesit hesaplarında bulunan açıklık ve mesnet momentleri, hareketli yükün sabit yüke oranı (3/4) ü geçmediği durumlarda hareketli yükün tüm açıklıkta aynı anda var olduğu kabul edilerek, aynı şekilde kullanılabilir. Farklı durumlar için burulma elemanı kesitleri Şekil 2.21 de verilmiştir Döşemelerde Sehim Kontrolü Döşemeler sehime duyarlı yük taşımıyorsa, döşeme yüksekliğinin açıklığına oranı Tablo 2.6 da verilen değerlerden daha büyükse sehim hesabı yapılmayabilir. Sehim hesabına ilişkin koşullar kirişlerdekine benzer şekildedir.

53 36 Şekil Farklı durumlar için burulma elemanı kesitleri. Tablo 2.6. Eğilme elemanlarında sehim hesabı gerektirmeyen (h f / l s ) oranı. Döşeme Basit Mesnetli Kenar Açıklık İç Açıklık Konsol Tek Doğrultuda Çalışan Döşeme 1/20 1/25 1/30 1/10 İki Doğrultuda Çalışan Döşeme 1/25 1/30 1/35 - Dişli Döşeme 1/15 1/18 1/20 1/8

54 3. BÖLÜM EŞDEĞER ÇERÇEVE YÖNTEMİ VE KİRİŞSİZ DÖŞEMELERİN YATAY YÜKLERE GÖRE HESABI Eşdeğer çerçeve yöntemi; kirişli ve kirişsiz döşeme sistemleri için kullanılabilen bir analiz yöntemidir. Bu sistemde esas olan döşemelerin eşdeğer çerçevelere ayrılarak çözüm yapılmasıdır. Kolon şeridi ve açıklık şeridi olmak üzere çerçevenin kısa kenarına bağlı olarak hesap şeritleri oluşturulur. Taşıyıcı sistemin iki doğrultudaki tüm eşdeğer çerçevelerin çözümünün gerçekleştirilmesi oldukça uygun bir analiz olacaktır. Kirişsiz plak döşemelerde kolonlar arasındaki eğilme momenti geçişinde döşemeler etkili olur. Çözüm yöntemi olarak sistemdeki elemanların eğilme rijitlikleri hesaplanarak, ilgili yüklemeler sonucu oluşan eğilme momenti, kolon ve açıklık şeritlerine dağıtılır. Bu bölümde eşdeğer çerçeve yöntemindeki kabuller ile yatay deprem kuvvetlerinden oluşan eğilme momentleri düşey taşıyıcı kolonlara betonarme için yeter bir hassasiyete sahip ve aynı zamanda hesabı kolay ve çabuk olan muto yöntemi ile dağıtılacaktır. Ünlüoğlu, Kirişsiz Döşemeli Sistemlerde Yatay Kuvvetler Etkisi Altında Rijitlik Değerlerinin Araştırılması başlıklı moment geçiş katsayıları kullanarak analizi gerçekleştirilen bir çalışma gerçekleştirmiştir [14]. Bu bölümde eşdeğer çerçeve yöntemi ile kirişsiz döşemelerin yatay yüklere göre hesabı gerçekleştirilecek ve bulunan sonuçlar bir sonraki bölümde ele alınan ve Ünlüoğlu tarafından geliştirilen moment geçiş katsayılarını kullanarak analizi gerçekleştirilen yöntem ile karşılaştırılacaktır. [14]. Daha sonra, problem beşinci bölümde sonlu elemanlar yöntemi tabanlı SAP2000 yazılımı ile tekrar ele alınacaktır. SAP2000 yazılımı günümüzde mühendislik hesapları için oldukça yaygın olarak benimsenmiş bir yazılımdır [15]. Her üç yöntemin sonuçları karşılaştırılacaktır. Buradaki amaç ileriki bölümlerde gerçekleştirilecek olan yapay sinir

55 38 ağları uygulaması için çok sayıda veri elde etmektir. Her üç yöntemin bir biri ile karşılaştırması ise bu verilerin; bilinen geçerli ve güvenilirliği kanıtlanmış yöntemlerle; doğruluğunun saptanması için yapılacaktır. Şekil 3.1. Döşemenin eşdeğer çerçevelere ayrılması Muto Yöntemi Muto yöntemi literatürde (D) değerleri yöntemi olarak da anılır. Yöntemin esası rüzgâr ve deprem gibi binaya her kat döşemesi hizasında etki eden yatay yüklerin aşağı katlara doğru toplanması ile katlar arasındaki (V) kesme kuvvetlerinin bulunmasına dayanır.

56 39 Çerçevelerin düşey yüklere göre hesabı yapılırken hesaplanmış olan (k i ) kiriş eğilme rijitliği, (k c ) kolon eğilme rijitliği ile aşağıda verilmiş olan formüller yardımı ile (k ) değerleri hesaplanır. Şekil 3.2. Kolon ve kiriş eğilme rijitlik katsayılarının hesabı. Hesaplanan bu (k ) değerleri ile yukarda verilmiş olan formüller kullanılarak (a) katsayıları hesaplanır. Bulunan bu (a) değerleri ile (k c ) kolon eğilme rijitliklerinin çarpımı ile (D) değerleri hesaplanır. Her kattaki (V) kesme kuvveti o katın kolonlarına (D) katsayıları ile orantılı olarak dağıtılarak her kolona gelen (T) kesme kuvvetleri bulunur. Kolonlardaki moment sıfır noktalarının yeri, kolon alt ucuna uzaklığının kolon boyuna oranını veren ve (k ) katsayıları yardımı ile alınan (y 0 ) değerleri yardımı ile bulunur. Kolon uç momentleri, her kolona gelen (T) kesme kuvvetleri, (y 0 ) değerleri ve (h) kolon yükseklikleri yardımı ile; M alt =T.(y 0.h) ve M üst =T.(1-y 0 ).h (3.1) ifadeleri ile hesaplanır. Kirişlerde moment sıfır noktaları ortada kabul edilerek her düğüm noktasındaki kolon momentleri toplamı o noktadaki kiriş eğilme rijitlikleri ile orantılı olarak dağıtılır.

57 Sayısal Örnek Şekil 3.3 Katlara gelen deprem kuvvetleri ve yapının (x) yönündeki kesiti. Yukarıda şekilde verilen dört katlı kirişsiz plak döşemelerden oluşan yapının, deprem yüklemesi sonucu oluşan momentlerin hesaplanması ve kolonlara dağıtılması, eşdeğer çerçeve yönteminin esasları kullanılarak, muto yöntemi ile gerçekleştirilecektir. Kat yüksekliği ilk katta dört metre, sonraki katlarda üçer metre olarak alınmıştır. Kolon boyutları ilk iki katta (0.25x0.60) m, son iki katta ise (0.25x 0.40) m boyutundadır. Katlara etkiyen yatay deprem kuvvetleri yukarıdaki şekilde olduğu gibidir.

58 41 Şekil 3.4. Kalıp planı Muto yöntemi kolon ve kiriş atalet momentleri temel alınarak, yatay kuvvetlerden oluşan momentlerin hesap edilmesinden ibarettir. Buradaki tek fark kiriş yerine döşemelerin eşdeğer çerçeve yöntemi esas alınarak atalet momentlerinin hesaplanmasıdır. Problemin çözümünde sistemin simetrisinden faydalanılmıştır. Döşeme kalınlığı 150 mm olarak alınmıştır. (x) yönündeki aks aralıkları 4.0 m ve (y) yönündeki aks aralıkları ise 5.0 m dir. Sistemde simetri göz önünde bulundurularak dört

59 42 temel kolon tanımlanmıştır. Dış kolon şeridinde olanlara (A) ve (C), iç kolon şeridinde olanlara ise (B) ve (D) adı verilmiştir Kolon ve Kirişlerin Atalet Momentleri ve Rijitlikleri Kolonlar; A401, C402, B403, D404, A301, C302, B303, D I c = 12 3 =13.33dm 4, dm k c = = m 4 B405, D406, B305, D I c = 12 3 =6.66dm 4, 6.66 dm k c = = m 4 A201, C202, B203, D I c = 12 3 =45dm 4, 45 dm k c = =15 3 m 4 B205, D I c = 12 3 =22.5dm 4, 22.5 dm k c = =7.5 3 m 4 A101, C102, B103, D I c = 12 3 =45dm 4, 45 dm k c = = m 4 B105, D I c = 12 3 =22.5dm 4, 22.5 dm k c = = m 4 Kirişler; (Dış kolon ve iç kolon şeridi genişliği temel alınarak döşeme kiriş gibi düşünülmüştür.) Dış kolon şeridi : I b = = dm, dm k = = m 4 İç kolon şeridi : I b = = 7.03dm, 7.03 dm k = = m 4

60 43

61 Sonuç Momentler Şekil.3.5. Kenar ve iç akslara ait moment grafikleri (knm).

62 4.BÖLÜM KİRİŞSİZ DÖŞEMELİ SİSTEMLERİN YATAY KUVVETLER ALTINDA ANALİZİ Bu bölümde kirişsiz plak döşemeli sistemlerin yatay kuvvetler etkisi altında rijitlik değerlerinin hesabı ele alınmıştır. Kirişsiz döşemeli sistemlerin analizinde yatay ve düşey yüklerin döşemeyi taşıyan kolonlara aktarılması konusunda yapılan farklı kabuller, elemanların boyutlandırmasını etkileyebilen unsurlardır. Daha önce üçüncü bölümde eşdeğer çerçeve yöntemi ile çözülen örnek bu bölümde Ünlüoğlu nun 1985 de yaptığı çalışma esas alınarak ele alınmıştır [14]. Aynı örnek problem beşinci bölümde sonlu elemanlar yöntemi tabanlı SAP2000 yazılımı ile tekrar ele alınacak ve her üç yöntemin sonuçları karşılaştırılacaktır. Buradaki amaç sonraki bölümlerde gerçekleştirilecek olan yapay sinir ağları uygulaması için çok sayıda veri elde etmektir. Her üç yöntemin bir biri ile karşılaştırması ise bu verilerin; bilinen geçerli ve güvenilirliği kanıtlanmış yöntemlerle; doğruluğunun saptanması için yapılacaktır Kirişsiz Döşemeli Sistemlerde Rijitliklerin Hesabı Ünlüoğlu yöntemi kirişsiz döşemeler aracılığı ile kolonlar arasındaki moment dağılım miktarlarının belirlenerek sonuç tasarım momentlerinin bulunmasında kullanılmaktadır. Kirişsiz döşemeli sistemlerin yatay yükler etkisi altında kolonlarda oluşan momentleri, çerçeveli sistemlerde olduğu gibi tek bir doğrultuda değildir. Komşu kolonlara da önemli miktarda moment aktarılır. Komşu kolonlardan daha ötesine ise moment geçişi ihmal edilebilecek kadar küçük olmaktadır. Bu yöntemde aynı doğrultudaki kolonların arasındaki uzaklıklar eşit olmalı, (x) ve (y) doğrultusundaki kolonların arasındaki mesafelerin oranı ise (0.5) ile (1.50) arasında olmalıdır. Çözüm yönteminde, bu aralıkta çıkan değerlere göre (α) moment geçiş katsayıları kullanılarak hesap yapılmaktadır. Analizde (x) ve (y) yönündeki simetri eksenlerinden faydalanılarak çözüme katılacak kolon sayısı en aza indirgenir. Köşe, kenar ve orta kolonlar kullanılarak simetri eksenine

63 46 göre bir çözüm sistemi oluşturulur. Çözüm hakkında dört tip kolon ele alınarak oluşturulmuş bir sistem üzerinde bilgi verilecektir. Planda köşelerde bulunan kolonlar (A), yatay kuvvetler doğrultusuna dik kenarda bulunan kolonlar (B), yatay kuvvetlerin doğrultusuna paralel kenarlarda bulunan kolonlar (C) ve içte bulunan kolonlar ise (D) tipi kolon olarak adlandırılmıştır Kolonlara Birim Moment Uygulanması ve Deplasmanlarının Tutulması Sistemde birim moment uygulanan her bir kolon için farklı sınır şartları vardır. Kolonlara birim moment uygulanırken herhangi bir kolona geçen momenti bulmak için bu kolonun tutulması gerekir. Kolonu sınırlayan düğüm noktalarında bütün deplasmanların tutulması gereklidir. Birim moment uygulanan kolonlarda ise momentin uygulandığı eksen üzerinde (ψ y ) dönmesi serbest bırakılmış, (ψ x ) dönmesi ve (w) çökmesi tutulmuştur. Buna karşılık kolon ekseni üzerinde bulunmayan diğer düğüm noktalarında (ψ y ) dönmesi ve (w) çökmesi serbest bırakılmış fakat bu noktalarda (ψ x ) dönmeleri tutulmuştur Kolonlara Dağıtılan Momentlerin Değerlendirilmesi Birim moment uygulanan ve dönüşü serbest bırakılmış bir kolondan diğer kolonlara geçen momentlerden yararlanılarak (α) moment geçiş katsayıları bulunabilir. Buna göre kolon eksenine uygulanan birim moment, kolon ekseninde meydana gelen dönme açısı ve komşu kolonlardan geçen momentlerden yararlanarak yanal, çapraz ve karşı kolonlara giden (α) moment geçiş katsayıları hesaplanır. (α) geçiş katsayıları aşağıdaki ifadeler yardımı ile hesaplanır. Burada (α) nın birinci indisi tutulan kolonu, ikinci indisi ise moment geçişi olan komşu kolonları ifade etmektedir. (B) kolonuna birim moment uygulanması halinde sistem (x-x) eksenine göre simetrik olmaktadır. Bu durumda (A), (C) ve (D) kolonlarında (M A ), (M C ) ve (M D ) momentleri ve (B) kolonunda da (ψ B ) kadar bir dönme oluşacaktır. 24.M B α BB = (4.1) E.h 3.ψ B.l y l x (αba), (αbc) ve (αbd), geçiş katsayıları (M A ), (M C ) ve (M D ) momentlerinden faydalanılarak aşağıdaki Şekil 4.1 de görüldüğü biçimde elde edilebilir.

64 47 24.M A α BA = (4.2) E.h 3.ψ B.l y l x 24.M C α BC = (4.3) E.h 3.ψ B.l y l x 24.M D α BD = (4.4) E.h 3.ψ B.l y l x Şekil 4.1. Her bir kolon için (α) rijitlik katsayıları.

65 48 (A) ve (C) kolonlarına birim moment uygulandığında ise kuvvet doğrultusuna paralel olmalarından dolayı döşeme atalet momentinin yarısının alınması gerekir. Fakat hesaplarda kolaylık olması açısından (α) moment geçiş katsayılarının atalet momenti tam olarak alınmıştır. Değişik (l y /l x ), (u/l x ) ve (v/l y ) oranları için yapılan çözümlerin değerlendirilmesinden elde edilen (α) moment geçiş katsayıları Ek 1 deki tablolar da gösterilmiştir Elde Edilen (α) Moment Geçiş Katsayılarını Kullanarak Kirişsiz Sistemlerin Çözümü Elde edilen (α) moment geçiş katsayılarını açı metodu denklemlerinde kullanarak kirişsiz sistemlerin yatay yükler etkisi altındaki çözümleri elde edilebilir. Bu sistemlerin çözümünde genel olarak her kat için yatay denge denklemleri yazılır ve kolonların döşeme ile birleştiği düğüm noktalarında ise moment denge denklemleri kurulur. Moment denge denklemlerinde ise döşemenin etkisi, bulunan (α) moment geçiş katsayıları kullanılarak hesaba katılır. Moment denge denklemlerinin kurulumu bir örnek ile açıklanacaktır. Bunun için Şekil 4.1 de görülen sistem ele alınacaktır. Sistemdeki simetri ve antimetriden dolayı, her katta yatay deplasman dışında on altı bilinmeyen (dönme) yerine dört bilinmeyen (dönme) alınabilir. Buna göre (i) inci kata ait (ψ 1,i ), (ψ 2,i ), (ψ 3,i ) ve (ψ 4,i ) dönme açılarında ikinci indis katları, birinci indis ise (i) inci kata ait düğüm noktalarının numaralarını gösterir Moment Denge denklemlerinin Kurulması Kurulacak denklemlerde işaretler moment, çubuk uç ve çubuk eksen dönüş açıları ile kesme kuvvetlerinin saat dönüş yönünde pozitif olduğu kabulüne göre seçilmiştir. Sistemin simetrisinden yararlanarak, sistemin dörtte biri için her katta dört adet moment denge denklemi yazılabilir. Buna göre (i) inci katta (A) kolonunun döşeme ile birleştiği düğüm noktasındaki moment denge denklemi; h i : (i) inci katın döşeme kalınlığı, H i : (i) inci katın yüksekliği, l x, l y : Yatay yüke dik ve paralel döşeme boyutları, u i,v i : (i) inci katta kolon boyutları, δ i : (i) inci katın rölatif deplasmanı,

66 49 J i : (i) inci katta döşemenin atalet momenti, J ci : (i) inci kat kolonlarının atalet momenti, α: (A) kolonuna komşu olan kolonlardan, (A) kolonuna gelen moment geçiş katsayıları, ψ n,i : (α) moment geçiş katsayılarının geldiği kolonların (i) inci kattaki döşeme ile birleştiği düğüme ait dönme açılarını gösterir. Şekil 4.2. Kenar ve iç çerçevedeki kolonların döşeme ile birleştiği düğümlerin dönme açılarına ait indisler.

67 50 l.h 3 y i J i = (4.5) 12 v.u 3 i i J ci = (4.6) 12 Kurulacak denklemlerde işaretler; moment, çubuk uç ve çubuk eksen dönüş açıları ile kesme kuvvetlerinin saat dönüş yönünde pozitif olduğu kabulüne göre seçilmiştir. (i) inci katta (A) kolonunun döşeme ile birleştiği düğüm noktasındaki moment denge denklemi; J i J ci J ci+1 E.J i E..α AA ψ 1,i + α CA.ψ +α BA.ψ +α DA.ψ l x H i H i+1 l x ( 2,İ 3,İ 4,İ ) J ci J ci+1 J ci J ci+1 +2.E.ψ 1,i-1+.ψ1,i+1-6.E.δ 2 i+.δ 2 i+1 =0 H i H i+1 H i H i+1 (4.7) Yatay denge denklemleri ise çubuk sistemlerde olduğu gibi yazılabilir. Sistemin dörtte biri için yazılan yatay denge denklemi, E.J ( 1,i-1 1,i 2,i-1 2,i 3,i-1 3,i 4,i-1 4,i ) i -6. ψ +ψ +ψ +ψ +ψ +ψ +ψ +ψ 2 H i i E.J i Q k a t + n δ 3 i = H i 4 (4.8) n: Dörtte bir sistemdeki kolon sayısını göstermektedir. Moment denge denklemleri ve yatay denge denklemlerin çözümünden yararlanarak bütün deplasmanlar elde edilir. Buradan elemanların uç kuvvetleri belirlenir Örnek Problem Bu yapının simetri eksenleri göz önüne alınarak kurulması gereken denklem sayısı yirmi dördü moment denge denklemi, dördü yatay denge denklemi olmak üzere toplam yirmi sekiz adettir. Yapıya etkiyen deprem yükleri üçüncü derece deprem bölgesine göre hesap edilmiştir. Döşeme kalınlıkları her katta 150 mm ve kolon boyutlarından yatay kuvvetlere paralel olan kenarlar ilk iki katta 0.4 m, son iki katta ise 0.6 m dir.

68 51 Burada dikkat edilmesi gereken husus (3-3) aksında bulunan (B) ve (D) kolonları simetri ekseninde bulunduğundan, bu düğümlere ait moment denge denklemleri kurulurken bu akstaki döşeme ve kolon atalet momentleri yarım olarak alınmıştır. Denklemlerin kurulumunda dinamik hesap için gerekli olacak rijitlik matrisini doğrudan hesaplayabilmek için denklemler (δ) relatif deplasmanları yerine (u) kat deplasmanlarına bağlı olarak yazılmıştır. Buna göre kolon ve döşeme boyutlarına bağlı olarak tablolardan alınan (α) moment geçiş katsayıları da yerleştirilerek moment ve yatay denge denklemleri aşağıdaki biçimde yazılır. Şekil 4.3. İlk iki ve üst katların kat döşemeleri (tavan) kalıp planı.

69 52 Şekil 4.4 Katlara gelen deprem kuvvetleri ve yapının (x) yönündeki düşey kesiti. Moment denge denklemlerinin kurulması; 1.kat moment denge denklemleri: 1.kat 1-1 aksı (A) kolonu ucunda yazılan moment denge denklemi; 22233,98.ψ 1, ,55.ψ 2,1-61,88.ψ 3,1 + 47,11.ψ 4, ψ 1, u u 2 = 0 1.kat 1-1 aksı (C) kolonu ucunda yazılan moment denge denklemi; 505,55.ψ 1, ,28.ψ 2,1 + 46,41.ψ 3,1-57,66.ψ 4, ψ 2, u u 2 = 0 1.kat 2-2 aksı (B) kolonu ucunda yazılan moment denge denklemi;

70 53-61,88.ψ 1,1 + 46,41.ψ 2, ,86.ψ 3,1-852,19.ψ 4, ψ 3, u u 2 = 0 1.kat 2-2 aksı (D) kolonu ucunda yazılan moment denge denklemi; 47,11.ψ 1,1-57,66.ψ 2, ,19.ψ 3, ,72.ψ 4, ψ 4, u u 2 = 0 1.kat 3-3 aksı (B) kolonu ucunda yazılan moment denge denklemi; -15,47.ψ 3,1 +46,41.ψ 4, ,02.ψ 5,1 +426,09.ψ 6,1 +888,89ψ 5, ,5.u u 2 = 0 1.kat 3-3 aksı (D) kolonu ucunda yazılan moment denge denklemi; 47,11.ψ 3,1-10,55.ψ 4,1 +426,09.ψ 5, ,45.ψ 6, ψ 6, ,5.u u 2 = 0 2.kat moment denge denklemleri: 2.kat 1-1 aksı (A) kolonu ucunda yazılan moment denge denklemi; 16789,54.ψ 1, ,55.ψ 2,2-61,88.ψ 3,2 +47,11.ψ 4, ψ 1, ,78.ψ 1, u u ,78.u 3 = 0 2.kat 1-1 aksı (C) kolonu ucunda yazılan moment denge denklemi; 505,55.ψ 1, ,84.ψ 2,2 +46,41.ψ 3,2-57,66.ψ 4, ψ 2, ,78.ψ 2, u u ,78.u 3 = 0 2.kat 2-2 aksı (B) kolonu ucunda yazılan moment denge denklemi; -61,88.ψ 1,2 + 46,41.ψ 2, ,41.ψ 3,2-852,19.ψ 4, ψ 3, ,78.ψ 3, u u ,78.u 3 = 0

71 54 2.kat 2-2 aksı (D) kolonu ucunda yazılan moment denge denklemi; 47,11.ψ 1,2 57,66.ψ 2, ,19.ψ 3, ,27.ψ 4, ψ 4, ,78.ψ 4, u u ,78.u 3 = 0 2.kat 3-3 aksı (B) kolonu ucunda yazılan moment denge denklemi; -15,47.ψ 3,2 +46,41.ψ 4, ,80.ψ 5,2 +426,09.ψ 6, ψ 5,1 +888,89.ψ 5, u1-2111,11.u 2 888,89.u 3 = 0 2.kat 3-3 aksı (D) kolonu ucunda yazılan moment denge denklemi; 47,11.ψ 3,2-10,55.ψ 4, ,09.ψ 5, ,23.ψ 6, ψ 6, ,89.ψ 6, u1-2111,11.u 2 888,89.u 3 = 0 3.kat moment denge denklemleri: 3.kat 1-1 aksı (A) kolonu ucunda yazılan moment denge denklemi; 8345,10.ψ 1,3 +505,55.ψ 2,3-61,88.ψ 3,2 +47,11.ψ 4, ψ 1, ,78.ψ 1, ,78.u ,78.u 4 = 0 3.kat 1-1 aksı (C) kolonu ucunda yazılan moment denge denklemi; 505,55.ψ 1, ,39.ψ 2,3 +46,41.ψ 3,3-57,66.ψ 4, ψ 2, ,78.ψ 2, ,78.u ,78.u 4 = 0 3.kat 2-2 aksı (B) kolonu ucunda yazılan moment denge denklemi; -61,88.ψ 1,3 +46,41.ψ 2, ,97.ψ 3,3-852,19.ψ 4, ψ 3, ,78.ψ 3, ,78.u ,78.u 4 = 0

72 55 3.kat 2-2 aksı (D) kolonu ucunda yazılan moment denge denklemi; 47,11.ψ 1,3 57,66.ψ 2,3 +852,19.ψ 3, ,8.ψ 4, ψ 4, ,7.ψ 4, ,78.u ,78.u 4 = 0 3.kat 3-3 aksı (B) kolonu ucunda yazılan moment denge denklemi; -15,47.ψ 3,3 +46,41.ψ 4, ,38.ψ 5, ,09.ψ 6, ψ 5,2 +888,89.ψ 5, ,89.u 2 888,89.u 4 = 0 3.kat 3-3 aksı (D) kolonu ucunda yazılan moment denge denklemi; 47,11.ψ 3,3-10,55.ψ 4,3 +426,09.ψ 5, ,01.ψ 6, ψ 6, ,89.ψ 6, ,89.u 2 888,89.u 4 = 0 4.kat moment denge denklemleri: 4.kat 1-1 aksı (A) kolonu ucunda yazılan moment denge denklemi; 4789,5.ψ 1,4 +505,55.ψ 2,4-61,88.ψ 3,4 +47,11.ψ 4, ,78ψ 1, ,78.u ,7.u 4 = 0 4.kat 1-1 aksı (C) kolonu ucunda yazılan moment denge denklemi; 505,5.ψ 1, ,84.ψ 2,4 +46,41.ψ 3,4-57,66.ψ 4, ,7ψ 2, ,78.u ,78.u 4 = 0 4.kat 2-2 aksı (B) kolonu ucunda yazılan moment denge denklemi; -61,88.ψ 1,4 +46,41.ψ 2, ,4.ψ 3,4-852,19.ψ 4, ,78ψ 3, ,7.u ,7.u 4 = 0 4.kat 2-2 aksı (D) kolonu ucunda yazılan moment denge denklemi;

73 56 47,11.ψ 1,4-57,66.ψ 2,4 +852,19.ψ 3, ,27.ψ 4, ,7ψ 4, ,7.u ,7.u 4 =0 4.kat 3-3 aksı (B) kolonu ucunda yazılan moment denge denklemi; -15,47.ψ 3,4 +46,41.ψ 4, ,02.ψ 5,4 +426,09.ψ 6,4 +888,8ψ 5,3 +888,8.u 3 888,89.u 4 = 0 4.kat 3-3 aksı (D) kolonu ucunda yazılan moment denge denklemi; 47,11.ψ 3,4-10,55.ψ 4,4 +426,09.ψ 5, ,23.ψ 6,4 +888,89ψ 6,3 +888,89.u 3 888,89.u 4 = 0 Yatay denge denklemlerinin kurulması; 1.kat yatay denge denklemi: -2625(ψ 1,1 + ψ 2,1 + ψ 3,1 + ψ 4,1 + ψ 5,1 /2+ψ 6,1 /2)-6000(ψ 1,2 + ψ 2,2 + ψ 3,2 + ψ 4,2 + ψ 5,2 /2+ ψ 6,2 /2)+28437,5.u u 2 =9,025/4 2.kat yatay denge denklemi: -6000(ψ 1,1 +ψ 2,1 +ψ 3,1 +ψ 4,1 +ψ 5,1 /2+ψ 6,1 /2)-4226,26(ψ 1,2 + ψ 2,2 +ψ 3,2 +ψ 4,2 +ψ 5,2 /2+ ψ 6,2 /2)+1777,7(ψ 1,3 +ψ 2,3 +ψ 3,3 +ψ 4, +ψ 5,3 /2+ψ 6,3 /2) u u u 3 =15,7/4 3.kat yatay denge denklemi: -1777,78(ψ 1,1 +ψ 2,1 +ψ 3,1 +ψ 4,1 +ψ 5,1 /2+ψ 6,1 /2)+1777,7(ψ 1,3 +ψ 2,3 +ψ 3,3 +ψ 4,3 +ψ 5,3 /2 + ψ 6,3 /2)-5925,9.u ,9.u ,9.u 4 =22,562/4 4.kat yatay denge denklemi:

74 ,78(ψ 1,1 +ψ 2,1 +ψ 3,1 +ψ 4,1 +ψ 5,1 /2+ψ 6,1 /2)-1777,78(ψ 1,2 +ψ 2,2 +ψ 3,2 +ψ 4,2 +ψ 5,2 /2 + ψ 6,2 /2)-5925,9.u ,9.u 4 =24,139/4 Buradan elde ettiğimiz sonuçlar yardımıyla, kirişsiz plak döşemelerin, kolonlara yatay yüklerden oluşan momentleri hangi değerlerde aktardığını hesaplayabiliriz.

75 4.7. Sonuç Momentler Şekil 4.5. Kenar ve iç akslara ait moment grafikleri (knm).

76 5. BÖLÜM SONLU ELEMANLAR YÖNTEMİ İLE KİRİŞSİZ PLAK DÖŞEMELERİN YAPISAL ANALİZİ Sonlu elemanlar yöntemi son zamanların en yaygın hesaplama yöntemlerinden bir tanesidir. Bilgisayarların hızlı gelişimine paralel olarak gelişen sayısal hesap yöntemleri içinde çok önemli bir yer tutar. Mühendislik problemlerinin analitik çözümleri sadeleştirilmiş matematik modeller ile elde edilebilir. Ancak uygulamada karşılaşılan pek çok mühendislik problemi için analitik çözüm her zaman mümkün olmayabilir. Örneğin düzgün olmayan geometri, karışık sınır koşulları, üniform olmayan yüklemeler, lineer olmayan malzeme davranışı gibi nedenlerle bazen çözümlerin elde edilmesi güçleşmekte veya olanaksız hale gelmektedir. Sonlu elemanlar yönteminin kullanılması halinde bu gibi durumlara ait yaklaşık çözümler kolaylıkla elde edilebilir. Sayısal yöntemlerin pek çoğunda çözüm, bilinmeyen büyüklüklerin bölge içinde belirli noktalardaki yaklaşık değerlerinin bulunmasına yöneliktir. Bir başka deyişle çözüm, bölgedeki bu seçilmiş noktalardaki değerlerin bulunması işlemine indirgenmektedir. Bu küçük parçalar bir araya gelerek asıl yapıyı temsil ederler. Böylece tüm yapıyı bir seferde çözmek yerine, bu küçük parçalar için çözüm yapılıp bir araya getirilerek asıl bölgeye ait çözüm elde edilebilmektedir. Bu suretle küçük parçalar için yapılan basit yaklaşımlar ile bölgenin tümü için kabul edilebilir sonuçlar elde etmek mümkün olabilmektedir. Ancak daha iyi sonuç elde edebilmek için asıl yapıyı daha da küçük parçalara bölmek, bir başka değişle daha çok sayısal veri işlemek gerekir. Bu ise bilgisayar programlarının kullanımını gerektirir. Bu çalışmada sonlu elemanlar yöntemi hakkında genel açıklayıcı bilgiler verilecek olup analiz ise SAP2000 hazır yazılımı ile gerçekleştirilecektir.

77 Sonlu Elemanlar Yöntemi Sonlu elemanlar yöntemi, analizi yapılacak yapıyı ya da elemanlarını çok sayıda küçük sonlu elemanlara bölerek, çözüm yoluna gider. Bir, iki veya üç boyutlu olabilen bu elemanlar düğüm noktası adı verilen noktalarda birbirlerine bağlanır. Bir problemin sonlu elemanlar yöntemi ile çözümde aranan büyüklüklerin, düğüm noktalarındaki yer değiştirmelerinin, sayısal değerleri ile elde edilir. Eleman düğüm noktalarındaki yer değiştirmelerin sayısal değerleri düğüm nokta serbestlikleri olarak adlandırılır. Şekil 5.1. Bir, iki ve üç boyutlu sonlu eleman örnekleri. a) Bir boyutlu çubuk eleman, b) İki boyutlu dikdörtgen eleman, c) İki boyutlu üçgen eleman, d) Üç boyutlu dikdörtgen prizma (tuğla) eleman. Aranan büyüklüğün eleman içindeki değişimi için seçimi kolay sürekli fonksiyonlar seçilir. Bu fonksiyonlara elemanın yer değiştirme şeklini tanımladığı için genel olarak şekil fonksiyonları denir. Seçilen fonksiyonların eleman içindeki davranışa katkıları, düğüm noktalarındaki aranan büyüklükler cinsinden tayin edilir. Bir başka deyişle çözüm yapılıp düğüm noktalarındaki bilinmeyenler elde edildikten sonra eleman içindeki değişim belirlenmiş demektir. Sonlu Eleman içinde davranışı iyi bir şekilde temsil eden fonksiyonlar yardımıyla oluşturulan elemana ait özellikler asıl yapı için bir araya getirildiğinde tüm yapıyı iyi bir yaklaşımla temsil eder. Çoğu mühendislik problemlerinin çözümünde karşılaşılan; çözüm bölgesinin düzensiz geometriye sahip olması, karışık ve süreksiz sınır koşullarının varlığı, yüklemenin üniform olmaması, süreksiz ve tekil yüklerin varlığı, malzemenin heterojen (beton gibi) olması ve anizotrop (ahşap gibi) olması gibi analitik çözümlerde çözümü güçleştiren problemler sonlu elemanlar yöntemi yardımıyla kolaylıkla çözülebilir. Sonlu elemanlar

78 61 yöntemi lineer ve lineer olmayan sistemlere, keza statik problemlerde olduğu gibi dinamik problemlere de uygulanabilir Sonlu Elemanlar Yöntemi ile Eğilmeye Çalışan İnce Plakların Analizi İnce Plak Teorisine Kısa Bir Bakış Plaklar; orta düzlemine dik olarak yüklenen iki boyutlu düzlemsel taşıyıcılardır. Kalınlıkları diğer iki plan boyutu yanında küçük olan ve bu suretle iki boyutlu olarak hesap edilen plaklara ince plak denir. Kalınlığın ortasından geçen düzleme plak orta düzlemi denir. İnce plaklarda genellikle klasik küçük yer değiştirme teorisini esas alan Kirchoff teorisi kullanılır. Bu teoride yapılan kabuller şunlardır. 1-Plak çökmeleri kalınlığı yanında küçüktür. 2-Malzeme lineer elastiktir. Bir başka deyişle Hook yasası geçerlidir. 3-Birinci mertebe teorisi ve Süperpozisyon ilkesi geçerlidir. 4-Bernoulli-Navier hipotezi geçerlidir. Düzlem kesitlerin, deformasyondan sonra da düzlem kalmaya devam edeceği ve elastik eğriye dikliğini koruduğu kabul edilecektir. Kayma şekil değiştirmeleri ihmal edilmiştir. 5- Plak orta düzlemine dik gerilme bileşeni σ zz sıfırdır. 6- Şekil değiştirmiş düzlemin herhangi bir kesitindeki eğimi küçük olup, eğimin karesi birin yanında ihmal edilebilir. Aşağıdaki Şekil 5.2 de (xoy) düzleminde bulunan ve (z) düzleminde (p) yükü ile yüklenmiş bir plakta yer değiştirme ve iç kuvvetler, pozitif yönleri ile gösterilmiştir. Şekil 5.2. Eğilme etkisindeki ince plakta yer değiştirmeler ve iç kuvvetler.

79 62 İnce plakta gerilme şekil değiştirme bağıntıları aşağıdaki gibidir: M x 2 2 w w = D( + ν ) (5.1a) 2 2 x y M y 2 2 w w = D( ν + ) (5.1b) 2 2 x y M yx = M xy = D 1 2 w ) x y ( ν (5.1c) 2 2 w w Vx = D ( + ) x x 2 y 2 (5.2a) 2 2 w w Vy = D ( + ) y x 2 y 2 (5.2b) 3 Eh = 2 12(1 ν ) D (5.3) Plak diferansiyel denklemi; w w w q Kw = (5.4) x x y y D olup, burada K[kN/m 3 ] yatak katsayısıdır Plak Sonlu Elemanları İnce plakların eğilmesi problemi için kullanılabilecek bir sonlu eleman modeli her bir düğüm noktasında en az üç adet serbestlik bulundurur. Bunlar Şekil 5.3 de verilmiş olup düğüm noktasının çökmesi ve iki eksen etrafında dönmesidir. (i) düğüm noktası yer değiştirme vektörü (5.5a) bağıntısı ile dönmeleri çökmelere bağlayan ilişkiler (5.5b) ve (5.5c) ile verilmiştir. Plak probleminin, şekil değiştirme vektörü (5.6) eğriliklerden, gerilme vektörü (5.7) ise momentlerden ibarettir. { a e i } { w θ θ } T = (5.5a) i x i yi w θ x = (5.5b) y y w = x θ (5.5c)

80 63 Şekil serbestlik dereceli plak sonlu eleman koordinat eksenleri ve serbestlikleri. 2 w 2 x 2 T w ε x y xy = (5.6) 2 y 2 w 2 x y { } = { χ} = { χ χ χ } { } = { M } = { M M M } T σ (5.7) x Elastisite matrisi (5.8) bağıntısı ile verilmiştir. Burada; { σ} [ D]{ ε} y xy = (5.8) [ D ] 1 = D ν 0 ν dır. 1 ν 2 Bu bağıntılar yardımı ile plak sonlu elemanlar ifadeleri bulunur. Örneğin on iki serbestlikli dikdörtgen plak sonlu elemanında şekil fonksiyonlarının tanımlanması için on iki terimli çökme fonksiyonu seçilir. Bu fonksiyon üçüncü dereceden tam polinoma ait tüm terimleri ihtiva ettiği gibi daha yüksek mertebeden iki terim daha bulundurur. u = w = α + α x + α y + α x + α xy + α y + α x + α x y e α xy + α y + α x y + α xy (5.9)

81 64 Şekil fonksiyonunun tanımı hatırlanırsa (5.5 a, b ve c) bağıntıları yardımıyla on iki serbestlik dereceli plak eleman için Şekil fonksiyonları matrisi, [N] oluşturulur. Bununla yer değiştirme fonksiyonu; yazılabilir. { u } = w = [ N ] { a} e (5.10) Burada; şekil fonksiyonları matrisi [N], (1x12) lik bir matris olup, { } e a matrisi ise, (12x1) boyutunda düğüm noktası uç serbestliklerinden oluşan eleman uç yer değiştirmeleri vektörüdür. Bir düğüm noktasında yukarıda verilen; ( w ϑ, ϑ, ) düğüm noktası serbestliklerine ek x y olarak ( ϑ xy 2 = w / x y ) serbestliğini de alıp 16 serbestlik dereceli dikdörtgen plak sonlu elemanını üretebilmek söz konusudur. Yukarıda sözü edilen on iki serbestlik dereceli sonlu elemanlar ifadesi, ince plakların hesabında kullanılabilecek en basit eleman olup hemen hemen en fazla kullanılan plak sonlu eleman modelidir. Eleman lineer operatör matrisi [ ], şekil değiştirme ve yer değiştirme bağıntısı, [B] matrisi ve gerilme şekil değiştirme bağıntıları aşağıda verilmiştir; { ε } = [ ]{ u } = [ ][ N ]{ a} e = [ B]{ a} e (5.11a) { } = 2 2 x 2 2 y 2 2 x y (5.11b) [ B] = [ ][ N ] (5.11c) e { σ } = [ D ] ({ ε} { ε } + { σ } =[ D][ B]{ a} [ D]{ ε } + { } 0 ) 0 0 σ 0 (5.12) Yukarıdaki bağıntılar yardımıyla genel formülasyona uygun olarak eleman rijitlik matrisi kolayca elde edilir. T e [ k] [ B] [ D][ B] dxdy = (5.13) A

82 65 Eleman bazında; [ k ] e { a} e = { f } e (5.14) yazılabilir. Burada; e e e e { f } = { f } ε { f } + { f } { } e q + f PL (5.15) 0 σ 0 olup dış etkilere ait bileşenlerin integral ifadeleri aşağıda verilmiştir: e { f } [ N ] q dx dy q A T =, (5.16a) T e { f } = [ B] [ D]{ ε } dx dy, (5.16b) ε 0 A T 0 e { f } = [ B] { σ } dx dy (5.16c) σ 0 A T { } [ N ] { f } 0 e PL = p f (5.16d) Eleman gerilme matrisi, [S], [ ] [ D][ B] S = (5.17) olarak elde edilir. Tüm sistem için denge denklemleri aşağıdaki gibi yazılır: [ K ] { a} = { f } + { R} (5.18) Burada [K] sistem rijitlik matrisi, { a }, tüm düğüm noktalarındaki serbestlikleri (bilinmeyenleri) içeren vektör, { f } elemanların üzerindeki yüklerin düğüm noktalarına olan katkılarının eklenmesiyle oluşturulan vektör, {R} ise doğrudan sistem düğüm noktalarına etkitilen yüklerden oluşan vektörü göstermektedir. Ekte on iki serbestlik dereceli ince plak sonlu eleman için rijitlik ve gerilme matrisleri verilmiştir SAP2000 Yazılımı İle Sonlu Elemanlar Analizi SAP2000, mühendislik alanında kullanılan sistemlerin modellemesi, analizi ve boyutlandırması amacı ile hazırlanmış olan, sonlu elemanlar tabanlı genel amaçlı bir yazılımdır. SAP2000 yazılımı, matris-deplasman yöntemini kullanır [user manual].

83 66 SAP2000 yazılımı ile analizin işlem sırası şöylecedir. Birim sistemi seçilir, Yapı aks sistemi oluşturulur, Malzeme özellikleri atanır, Kesit özellikleri atanır, Statik ya da dinamik yük gurupları ve kombinasyonları tanımlanır, Mesnet koşulları belirlenir, Eleman kuvvet bağları ve rijit bölge tanımları yapılır, Yüklemeler yazılıma girilir, Analiz seçenekleri seçilir, Analiz gerçekleştirilir, Sonuçlar grafik olarak incelenir ve beklenmeyen sonuçlar varsa araştırması yapılır, Sonuçların dosya kayıtlarına ulaşarak sonuçların değerlendirilmesi.[um]. Bu bölümde SAP2000 sonlu elemanlar yazılımı ile analizin işlem sırası anlatılacaktır. Önce yazılımın genel esasları üzerinden tanımlama yapılacak bunu izleyen kısımda plaklar için uygulama yapılacaktır. Kolon ve kiriş elemanlar için çubuk (frame) eleman tipleri kullanılacaktır. Çubuk elemanı, (i) ve (j) gibi iki düğüm noktası arasını doğru bir çizgi ile ifade eder. Genel olarak, bir çubuk elemanı bağlandığı her bir düğüm noktasında üçü yer değiştirme ve üçü dönme olmak üzere altışar serbestliğe sahiptir. Yazılımda her çubuk elemanın bir lokal ekseni vardır. Lokal eksene bağlı olarak en kesit özellikleri, atalet momentleri, malzeme özellikleri gibi veri girişi yapılır. Sonra elemanlara ait iç kuvvetler ve kesit zorları bu eksen takımı aracılığı ile değerlendirilir. İşaret kuralı olarak Şekil 5.4 de gösterildiği üzere lokal eksende sağ el işaret kuralı geçerlidir. Buna göre eksenlerin pozitif yönleri Şekil 5.4 de verilmiştir.

84 j i Y Z X 3 Şekil 5.4. Çubuk eleman lokal eksen takımı ve eksenlerin pozitif işaret kuralı. Burada (1) ekseni çubuğun eksenini tanımlar ve (i) ucundan (j) ucuna doğrudur. Varsayılan (Default) olarak eleman düşey değilse (2) ekseni (1-z) düzlemindedir. Eleman düşeyse (2) ekseni pozitif (x) yönündedir. Şekil 5.5 de (α) açısı (Angle α); (2) ekseninin, (1) ekseni etrafında saat dönüşünün tersi yönünde döndüğü birim derecelik açı tanımlanmıştır. α 2 1 Z Y X 3 Şekil 5.5. Angle (α): (2) ekseninin (1) ekseni etrafında saat dönüşünün tersi yönünde döndüğü birim derecelik açı. SAP2000 de analiz yapıldığında sonuçların eksenler doğrultusundaki adlandırmaları şöylece gerçekleştirilir. M 33 (x) yönündeki eğilme momenti değeri, M 22 (y) yönündeki eğilme momenti değeri, V 22 (x) yönündeki kesme kuvveti değeri, V 33 (y) yönündeki kesme kuvveti değeri, T burulma değeri ve P eksenel kuvvet değerini ifade eder. Bu durum şekil 5.6 da gösterilmiştir.

85 68 2 P M 33 M 22 i i i j j j P M 33 M 22 V 2 V 3 T i 1 i j 3 1 V i j j T V 2 Şekil 5.6. İç kuvvetlerin eksenler doğrultusundaki pozitif yönleri. Her shell elemana ait lokal eksen takımı vardır. SAP2000 yazılımı sadece dikdörtgen ve dört ucunda birer düğüm noktası olan sonlu elemanlar kullanır. Bu düğüm noktaları üçü dönme ve diğer üçü çökme olmak üzere toplam altı adet serbestlik derecesine sahiptir. Düğüm noktalarının ve sonlu eleman parçalarının birer etiketi vardır. Sistemin çözümü için kullanılan eksen takımı ve sözü edilen etiketlendirme shell eleman lokal eksen için aşağıdaki Şekil 5.7 de verilmiştir. Oluşturulacak çözüm matrisinin boyutunun küçük olmasına çalışılır. Bunun için shell elemana ait etiketlerin otomatik olarak düzenlenmesi gerekir. Yapılabilecek düzenlenme hesap süresini on kat kadar kısaltabilir. Şekil 5.7. Shell eleman lokal ekseni.

86 69 Shell (kabuk) elemanı; membran ve plak (eğilme) elemanın birleştirilmesi ile oluşturulur. Şekil 5.8`de bir membran elemana ait kuvvetler verilmiştir. Buradaki F11 ve F22 lokal eksen takımına göre oluşan membran kuvvetlerinden çekme ve basınç gerilmesidir. F12 ve F21 ise kayma kuvvetleridir. Şekil 5.8. Membran eleman kuvvetleri. Plak a ait eğilme ve burulma momentleri Şekil 5.9`da verilmiştir. Burada; M11`e (1) aksı yönünde oluşan eğilme momentidir. M11 eğilme momenti sağ el kuralı kullanılarak (2) numaralı eksen aksının kavranması ve elin dönüş yönünde oluşacak şekilde belirlenir. M22 ise (1) numaralı eksen takımında benzer şekilde elde edilecek eğilme momentidir. M12 ve M21 burulma momentlerinin yönleri ise yine Şekil 5.9 da verilmiştir. Şekil 5.9. Plak a ait sonlu eleman momentleri.

87 70 SAP2000 yazılımında Shell (kabuk) elemanlarına ait (V13), (V23) ve (Vmax) kesme kuvvetleri ve (S11), (S21), (S12), (Smax), (Svm), (S13), (S23) ve (Smax) gerilmeleri verilmektedir. Yüzeye dik doğrultudaki kayma gerilmeleri yazılımın thick plate (kalın plak) özelliği kullanılarak elde edilebilir. Lokal akslar üzerinden doğru moment ve kesme kuvvetini bulabilmek mümkündür. SAP2000 yazılımında (1) numaralı eksen kırmızı, (2) numaralı eksen beyaz ve (3) numaralı eksen mavi olarak görünür. Döşemelerin sonlu elemanlar ile modellemesinde (shell) elemanını gerekli ve yeterli sayıda sonlu eleman parçasına (mesh) bölmek gerekir. Çok sayıda mesh lere bölmek hassasiyeti arttırmasına karşın hesap süresini uzatabileceği gibi yüksek kapasiteli bilgisayar ve yazılım da gerektirebilir SAP2000 YAZILIMI İLE KİRİŞSİZ PLAK DÖŞEMELERİN ANALİZİ Bu bölümde Şekil 5.10 da verilen ve Şekil 5.11 de taşıyıcı sistemin (x) yönündeki düşey kesiti verilen dört katlı betonarme bir yapının SAP2000 yazılımı ile düşey ve yatay yükler altında analizi gerçekleştirilecektir. Yapının her kattaki döşeme kalınlığı 150 mm, (x) yönündeki aks aralıkları 4.0 m ve (y) yönündeki aks aralıkları 5.0 m olarak alınmıştır. İlk kat yüksekliği 4.0 m daha sonraki katlar ise 3.0 er metredir. Kolon boyutları ilk iki katta 0.25 x 0.60 m sonraki iki katta ise 0.25 x 0.40 m olarak boyutlandırılmıştır. Analizde betonun elastisite modülü 20x10 3 MPa olarak alınmıştır. Sistemin çözümünde düşey doğrultuda yapı ölü yükleri ve yatay doğrultuda deprem kuvvetleri dikkate alınmıştır. SAP2000 yazılımında (x) yönünde etkiyen yatay yükler tanımlanırken, yatay yüklere paralel (y) ekseninde bulunan kolonların düğüm noktalarına, bu kata etkiyen toplam yatay kuvvetler bölünerek paylaştırılmıştır. Döşemeler sonlu elemanlara ayrılırken aksların kesişme noktalarına göre, kolonlardan oluşan çerçeveler içine tanımlanarak bölünmüştür. Sonlu elemanlar tabanlı SAP2000 yazılımı çıktısında döşeme momentleri, çerçeve sistemlerde olduğu gibi doğrusal değildir. Yalnızca diğer çözüm yöntemleri ile karşılaştırma yapmak amacı ile düğüm

88 71 noktasındaki toplam momentlerin sıfır olması kabulünden döşeme momentleri hesaplanmıştır. Şekil Modelin üç boyutlu görünümü.

89 72 Şekil Katlara gelen deprem kuvvetleri ve yapının (x) yönündeki kesiti. Modelin Oluşturulması: Dosya (File) menüsündeki Yeni (New) model seçeneği tıklatılarak Yeni Model (New Model) ara yüzü, Şekil 5.12 de görüldüğü üzere açılır. Buradan ele alınan probleme uygun model seçilir. Bunun yerine sadece aks tanımlanarak sistemi kullanıcı tarafından modellenebilir. Bu ara yüzde aynı zamanda birim sistemi de seçilir.

90 73 Şekil Yeni model ara yüzü. Bu problem için (knm) seçildikten sonra sistemin aks sayısını ve mesafelerini girmek için yukarıdaki açılır ekrandan Sadece Aks (Grid Only) ara yüzü açılarak, ekrana gelen Yeni Koordinat ve Aks Sistemi (New Coord/Grid) ileti kutusundaki aks bilgileri aşağıdaki Şekil 5.13 deki gibi doldurulur. Şekil Aks bilgi girişi.

91 74 (OK) düğmesi tıklatıldığında, sistemin (x-y) ve (x-y-z) koordinatlarındaki aks sistemini veren ara yüz açılır. Bu ara yüz Şekil 5.14 de görüldüğü üzere iki bölümden oluşmaktadır. Ekranda gri renkte görülen çizgiler aks çizgilerini temsil etmektedir. Şekil Farklı koordinatlardaki aks sistemi. Malzeme Özelliklerinin Tanımlaması: (Define) menüsünden (Materials) seçeneği tıklatıldığında farklı yapı malzemelerin bulunduğu Malzemeleri Tanımlayınız (Define Materials) ara yüzü açılır. Şekil 5.15 de görülen bu menüden Beton (Conc) seçeneği tıklatılarak malzeme olarak beton seçilir. Şekil Malzeme türünün seçimi.

92 75 Malzeme özelliklerini tanımlamak için Malzemeyi Düzenle/Göster (Modify/Show Material) düğmesi tıklanır ve Şekil 5.16 da görülen Malzeme Özelliği Verisi (Material Property Data) ara yüzü açılır. Burada Betonarme (Conc) olarak tasarım yapılan sistemin birim ağırlık ve kütle bilgileri değiştirilmeden sadece elastisite modülü knm olarak girilir. Şekil Malzeme özelliklerinin belirlenmesi. Kesit Özelliklerinin Tanımlanması ve İlgili Akslara Atanması: Yapının karkasını oluşturan betonarme elemanların kesit özelliklerinin tanımlanması için Tanımla (Define) menüsünden Çerçeve/Kablo Kesitler (Frame/Cable Sections) seçeneği tıklandığında aşağıdaki Şekil 5.17 de görülen Çerçeve Özellikleri (Frame Properties) ileti kutusu gelir.

93 76 Şekil Kolon kesit özelliklerinin tanımlanması. Elemanın şeklini belirlemek için Eklemek için Malzeme Tipini Seçiniz (Choose Property Type For Add) ikinci açılır menüsünden Dikdörtgen Ekleyiniz (Add Rectangular) seçeneği tıklanır. Sonra kolonlara ait ilk iki kat için kesit bilgileri Yeni Özellik Ekleyiniz (Add New Property) düğmesi tıklanarak aşağıdaki Şekil 5.18 de görüldüğü üzere gerekli bilgiler girilir. Şekil İlk iki kat için kolon kesitleri. Son iki katın kesit bilgilerinin tanımlanmasında yukarıda anlatılan işlemler tekrar edilir ve aşağıdaki Şekil 5.19 da görüldüğü gibi kolon kesitleri tanımlanır.

94 77 Şekil Son iki kat için kolon kesitleri. Kolon kesitleri tanımlandıktan sonra döşeme kesit bilgilerini girmek için Tanımla (Define) menüsündeki açılır ileti kutusundan Şekil 5.20 deki Kesit Alanları (Area Sections) seçilir. Açılan pencereden Kesitleri Düzenle/Göster (Modify/Show Section) düğmesi tıklanarak döşeme ile ilgili bilgileri tanımlanır. Şekil Döşeme malzeme cinsi ve kalınlıkları.

95 78 Döşeme kalınlığı 0.15 m seçilerek kesit bilgileri yukarıda gibi tanımlanır. Aks sistemi tanımlanırken tüm kat yükseklikleri 3.0 m olarak girilmişti. Fakat ilk kat yüksekliği 4.0 m olduğundan dolayı aşağıdaki Şekil 5.21 de görüldüğü üzere düzeltme yapılarak, sistemin geometrisine son hali verilir. Kat yüksekliğinde değişiklik yapmak için Tanımla (Define) menüsünden Sistem Koordinatları (Coordinate/Grid Systems) tıklanarak Sistemi Düzenle/Göster (Modify/Show System) düğmesi tıklanır. Açılan pencerede Şekil 5.21 de görülen isimlerinin ve aks uzaklıklarının yazılı olduğu menü gelir. Buradan (z) düğmesi seçilerek aks uzaklıkları güncellenir. Şekil Farklı koordinatlardaki aks uzaklıkları. Kesit özellikleri tanımlandıktan sonra akslara atanmasına geçilir. Çubuk elemanlar (z-y) ekseninde bir aks da çizilerek diğer akslara aşağıdaki Şekil 5.23 de verilen ekranda gösterildiği gibi kopyalanarak çoğaltılır. Döşeme elemanları da çubuk elemanlarda olduğu gibi (x-y) ekseninde bir katta çizilerek diğer katlara kopyalanmıştır. Döşeme elemanları kolonların tanımlandığı düğüm noktalarının arasında çizilmiştir. Bir kattaki döşeme toplam on iki parçadan oluşmaktadır, ayrıca mesh yapılmamıştır.

96 79 Kolonları çizmek için yazılımdaki Çiz (Draw) menüsünden Çerçeve/Kablo (Frame/Cable) seçeneği tıklanarak aşağıdaki Şekil 5.22 de olduğu gibi çizilir. Şekil Kolon elemanlarının oluşturulması. (z), (y) düzleminde çizilen kolonları diğer akslara kopyalamak için (edit) menüsünden Tekrarla (Replicate) komutu tıklanarak aşağıdaki Şekil 5.23 de verildiği biçimde tanımlanır. Şekil Kolonların diğer akslara kopyalanması.

97 80 Döşeme elemanları Çiz (Draw) menüsünden Çabuk Alan Elemanı Çizimi (Quick Draw Area Element) seçilerek (x-y) planında, zemin katta kolonlarla sınırları belirlenen akslar arasına Şekil 5.24 de görüldüğü gibi çizilir. Şekil Döşeme elemanlarının çizilmesi. (x), (y) düzleminde çizilen döşemeleri diğer akslara kopyalamak için edit menüsünden Tekrarla (Replicate) komutu tıklanarak aşağıdaki Şekil 5.25 de verildiği biçimde tanımlanır. Şekil Döşemelerin diğer akslara kopyalanması.

98 81 Mesnet Koşullarının Tanımlanması: Atama (Assign) menüsünden Bağ Koşulu (Joint Restraint) seçildiğinde aşağıdaki Şekil 5.26 da görülen ileti kutusu açılır. Tüm düğmeleri seçili konuma getirerek (Fast Restraints) menüsünden ilk düğme tıklanarak tüm kolonlar için mesnet koşulu ankastre olarak tanımlanır. Şekil Mesnet şartlarının belirlenmesi. Deprem Yüklerinin Atanması: Deprem yüklerini tanımlamak için Tanımla (Define) menüsünden Yükleri Tanımla (Define Loads) tıklanarak aşağıdaki Şekil 5.27 de görülen ara yüz açılır. Burada Yeni Yük Ekle (Add New Load) düğmesi ile Deprem yüklemesi ile ilgili yükleme tipi ve bilgi girişi verilir. Şekil Yükleme tipinin seçilmesi ve adlandırılması.

99 82 Şekil 5.11 deki yatay yükler, her kattaki düğüm noktalarına paylaştırılarak deprem yüklemesi yapılır. Düşey yükler ise atanan kesitlere bağlı olarak yazılım tarafından analize katılmaktadır. Örnek olarak (z-y) ekseninde son katta en dış akstaki düğüm noktaları seçilmiş ve Atama (assign) menüsünden Düğüm Noktası Yükleri (Joint Loads) seçilerek Kuvvetler (Forces) yazılıma girilir. Yükleme Durumu aşağıdaki şekilde Şekil 5.28 de görülmektedir. Şekil Yükleme çeşidi ve ekseni. Statik analiz için Analiz (Analyze) menüsünden Analiz Parametrelerini Çalıştırmak için Kur (Set Analysis Cases to Run) menüsü seçilir. Açılan pencere aşağıda Şekil 5.29 da görülebilir. Şimdi Çalıştır (Run Now) düğmesi tıklatıldığında yazılım analiz yapmaya başlar. Şekil Analiz menüsü.

100 83 Sonuçları görüntülemek için aşağıdaki Şekil 5.30 verilen Göster (Display) menüsünden Kuvvetleri/Gerilmeleri Göster (Show Forces/Streses) ve arkasından Şekil 5.31 de verilen Çerçeveler/Kablolar (Frames/Cables) seçeneği tıklanarak çubuk elemanlar için diyagram çizdirme menüsü açılır. Şekil Kuvvetleri/gerilmeleri göster menüsü. Şekil Sonuç diyagramları çizdirme.