34. Dörtgen plak örnek çözümleri

Transkript

1 34. Dörtgen plak örnek çözümleri Örnek 34.1: Teorik çözümü Timoshenko 1 tarafından verilen dört tarafından ankastre ve merkezinde P=100 kn tekil yükü olan kare plağın(şekil 34.1) çözümü 4 farklı model için SEM2015 programı ile yapılacak, sonuçlar teorik çözüm ile karşılaştırılacaktır. Malzeme: =30 10,=0.30 Plak kalınlığı: =0.10 P=100 kn L=4 m Şekil 34.1: Dört kenarı ankastre kare plak(perspektif görünüş) Z Y X Plak X ve Y eksenlerine göre simetrik olduğundan dörtte biri modellenecektir. a L=4 m t=0.10 m Bu kenardaki noktalar X etrafında dönemez Bu kenardaki noktalar Y etrafında dönemez P=25 kn Z Dört kenarı ankastre kare plağın dörtte biri(perspektif görünüş) Y Bu kenarlardaki noktalar çökmez ve dönmez X Teorik çözüm: Plak merkezinde çökme: Timoshenko plak merkezindeki çökmeyi =0.3 için: = (( ) = olarak vermektedir. Buna göre = (!.% ) = dir. %!! &!.!.! "# a noktasında moment: Timoshenko plağın a noktasında birim boya yayılı mesnet momentini M a=m y=0.1257p (üst lifte çekme) olarak vermektedir. Buna göre M a=m y= =12.57 knm/m dir. a noktasındaki gerilme: ) * =) ++ =, -. - / (mukavemet) genel bağıntısından hesaplanabilir. I atalet momenti 1xt plak kesitinde hesaplanır: 0 1 =!. = z=+t/2=0.1/2=0.05 m dir (üst lif için). Buna göre ) * =) ++ =.35 :; 6.%%! =7547 olur. Bu gerilme değerini programın aynı noktada hesaplayacağı ) < ++ gerilmesi ile doğrudan karşılaştırabiliriz. Plağın dörtte birinin hesap modelleri 2x2=4 eleman ağı 4x4=16 eleman ağı 6x6=36 eleman ağı 8x8=64 eleman ağı Programın çıktıları yukarıdaki 4 farklı model için aşağıda kısmen verilmiş, plak merkezindeki çökme ve a noktasındaki moment ve gerilme teorik çözüm ile karşılaştırılmıştır. 1 Timoshenko, S., Plak ve kabuklar teorisi(tercüme M. İnan v.d.), İTÜ yayını, 1964, sayfa 220 Ahmet TOPÇU, Sonlu Elemanlar Metodu, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, , Sayfa 284

2 Ahmet TOPÇU, Sonlu Elemanlar Metodu, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, , Sayfa 285

3 Model Plak merkezinde A mm Örnek 34.1 sonuçları karşılaştırma: Hata % A noktasında moment M y knm/m Hata % a noktasında gerilme B CC kn/m 2 2x x x x Teorik Hata % Örnek 34.2: Teorik çözümü Timoshenko 1 tarafından verilen, dört tarafından ankastre ve p=6.25 kn/m 2 üniform yayılı yükü etkisindeki kare plağın(şekil 34.2) çözümü 3 farklı model için SEM2015 programı ile yapılacaktır. Malzeme: =30 10,=0.30 Plak kalınlığı: =0.10 Yük: p=6.25 kn/m 2 (tüm elemanlarda) t=0.10 m L=4 m Teorik çözüm: Plak merkezinde çökme: Timoshenko plak merkezindeki çökmeyi, =0.3 için, = =!.!%6 >#? olarak vermektedir. Buna göre = =!.!%6.3 4? %!! &!. = dir..a noktasında moment: Timoshenko plağın a noktasında birim boya yayılı mesnet momentini, =0.3 için, M a=m y= pl 2 (üst lifte çekme) olarak vermektedir. Buna göre M a=m y= =5.13 kn. m/m dir. 1 Timoshenko, S., Plak ve kabuklar teorisi(tercüme M. İnan v.d.), İTÜ yayını, 1964, sayfa 220 Ahmet TOPÇU, Sonlu Elemanlar Metodu, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, , Sayfa 286

4 a noktasındaki gerilme: ) * =) ++ =, -. - / (mukavemet) genel bağıntısından hesaplanabilir. I y atalet momenti 1xt plak kesitinde hesaplanır: 0 1 =!. = z=+t/2=0.1/2=0.05 m dir (üst lif için Buna göre ) * =) ++ =, - /=. - 3.%% :; 6.%%! = olur. Bu gerilme değerini programın aynı noktada hesaplayacağı ) < ++ gerilmesi ile doğrudan karşılaştırabiliriz. 2x2=4 eleman ağı 4x4=16 eleman ağı 8x8=64 eleman ağı Ahmet TOPÇU, Sonlu Elemanlar Metodu, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, , Sayfa 287

5 Plak merkezinde çökme mm Örnek 34.2 sonuçları karşılaştırma: Hata % A noktasında moment knm/m Hata % a noktasında gerilme kn/m 2 2x x x Teorik Hata % Örnek 34.3: Şekil 34.3 de görülen kare plak C30/37 betonu ile inşa edilecektir. Plağın merkezinde tabanı 2x ve yüksekliği 1.80 m olan su deposu vardır. Plak kendi yükü p plak=16.40 kn/m 2 dir. Plak ortasındaki çökme ve bazı elemanlardaki iç kuvvet ve gerilmeler 8x8 eleman ağı kullanarak hesaplanacaktır. t=0.15 m L=4 m Malzeme: =32 10,=0.20 Plak kalınlığı: =0.15 Yükler: p plak=16.40 kn/m 2 (tüm elemanlarda) E FG>H =I JK h JK =10 1.8=18.00 MN/ (sadece deponun oturduğu elemanlarda) Deponun oturduğu elemanlar 1 m 8x8=64 eleman ağı(plağın ¼ ü) Ahmet TOPÇU, Sonlu Elemanlar Metodu, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, , Sayfa 288

6 Örnek 34.4: Şekil 34.4 de görülen kare plak C30/37 betonu ile inşa edilecektir. Plağın merkezinde 2x boşluk vardır. Plak yükü 23.8 kn/m 2 dir. Eleman kuvvetleri ve yer değiştirmeleri hesaplanacak, sonuçlar kısmi olarak verilecektir. Boşluk L=4 m Boşluk 1 m 1 m Malzeme: =32 10,=0.20 (tüm elemanlarda) Plak kalınlığı: =0.001 (boşluktaki tüm elemanlarda) =0.15 (boşluk dışındaki tüm elemanlarda) Yükler: p plak=0 kn/m 2 (boşluktaki tüm elemanlarda) p plak=23.8 kn/m 2 (boşluk dışındaki tüm elemanlarda) Ahmet TOPÇU, Sonlu Elemanlar Metodu, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, , Sayfa 289

7 Boşluktaki elemanların modellenmesi: 1) Boşluk olan bölgede hiçbir eleman ve nokta tanımlanmaz. Bu gerçek modeldir. Ancak, düzenli numaralama yapılamadığı için veri hazırlamak zorlaşır(model a). 2) Düzenli numaralandırmayı bozmamak için boşluk bölgesinde de nokta ve elemanlar varmış gibi modelleme yapılabilir. Boşluktaki elemanların yükü=0, plak kalınlığı t çok küçük(örneğin t=0.001 m) seçilir(model b) 1. Bu model sonuçların biraz farklı çıkmasına neden olur. Her iki modelin kısmi sonuçları aşağıda verilmiştir. Karşılaştırılırsa hemen hemen aynı olduğu görülür. Boşluk Boşluktaki nokta ve elemanlar 1 m 1 m 1 m 1 m Model a eleman ağı(plağın ¼ ü) Model b eleman ağı(plağın ¼ ü) Model a nın kısmi sonuçları 1 Eleman kalınlığı t nin çok küçük seçilmesi elemanın çok esnek davranacağı anlamındadır. t nin aşırı küçük(örneğin t= m seçilmesi teorik olarak daha doğrudur, ancak bu nümerik soruna; yani süreklilik denklemlerinin tekil olmasına neden olabilir. Ahmet TOPÇU, Sonlu Elemanlar Metodu, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, , Sayfa 290

8 Model a nın kısmi sonuçları Model b nın kısmi sonuçları Ahmet TOPÇU, Sonlu Elemanlar Metodu, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, , Sayfa 291

9 Model b nın kısmi sonuçları Ahmet TOPÇU, Sonlu Elemanlar Metodu, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, , Sayfa 292

10 Örnek 34.5: Aşağıda görülen kare plak C30/37 betonu ile inşa edilecektir. Plak köşe noktasında 0.40x0.40 m kesitli kolonlara oturmaktadır. Plak kalınlığı 0.30 m, plak düzgün yayılı yükü kn/m 2 dir. Plak ortasındaki ve kenar ortasındaki çökme 10x10 eleman ağı kullanılarak hesaplanacaktır. Kolon 0.4 Kolon Malzeme: =32 10,=0.20 Plak kalınlığı: =0.30 Yük: kn/m 2 (tüm elemanlarda) Mesnet koşulları: 1, 2, 3,,11 noktaları X etrafında dönemez(simetri) 1, 12, 34, 45,, 111 noktaları Y etrafında dönemez(simetri) 97, 98, 99, 108, 109, 110, 119, 120, 121 noktaları çökemez ve dönemez(rijit kolon varsayımı) 10x10=100 eleman ağı(plağın ¼ ü) Plak ortasında kuvvetler Plak kenar ortasında kuvvetler Kolon köşesinde kuvvetler Plak ortasında çökme-dönme Plak kenar ortasında çökme-dönme Ahmet TOPÇU, Sonlu Elemanlar Metodu, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, , Sayfa 293

11 Örnek 34.6: Aşağıda görülen konsol plak C30/37 betonu ile inşa edilecektir.. Plak kalınlığı 0.17 m, plak düzgün yayılı yükü kn/m 2 dir. X=2, Y=0 noktasındaki çökmesi ve X=0, Y=0 noktasındaki P <GJQG mesnet momenti aşağıda görülen eleman ağı kullanılarak hesaplanacaktır 1. Plak X eksenine göre simetrik olduğundan yarısı modellenmiştir. Malzeme: =32 10,=0.20 Plak kalınlığı: =0.17 Yük: kn/m 2 (tüm elemanlarda) Mesnet koşulları: 1, 6, 16, 21 noktaları çekemez ve dönemez (ankastre) 2, 3, 4, 5 noktaları X etrafında dönemez (simetri) 4x0.5= 2x0.25 2x0.75 4x4=16 eleman ağı(plağın yarısı) P <GJQG : Mesnet ortasında moment : Konsol ucunda çökme 1 Analitik çözüme göre =0.0025, P <GJQG = MN/ dir. Bak: Ahmet TOPÇU, Sonlu Elemanlar Metodu, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, , Sayfa 294

12 Örnek 34.7: Aşağıda düşey kesiti görülen betonarme su deposu C30/37 betonu ile inşa edilecektir. Düşey panellerin hepsi de dört tarafı ankastre plak olarak çalışır. Plaklar, şiddeti derinlikle artan ve plak düzlemine dik etkiyen üçken yayılı su basıncı etkisindedir. Bir plağın çözümü yapılacak, en büyük mesnet ve açıklık momentleri belirlenecektir. 3.5 m 3.5 m 4 m 0.30 m 0.30 m 0.30 m 4 m su h su 4 m 4 m Betonarme su deposu düşey kesiti Plağın düşey doğrultuda simetri ekseni vardır, yarısı aşağıdaki gibi modellenebilir. Plak tabanındaki su basıncı I JK h JK = =35.00 MN/ dir. Plak yükü düzgün yayılı olmak zorunda olduğundan her elemanın ortalama düzgün yayılı yükü hesaplanarak şekilde gösterilmiştir. Y Bu kenardaki noktalar çökemez ve dönemez 4 m 8x0.5=4 m Bu kenardaki noktalar çökemez ve dönemez kn/m 2 Bu kenardaki noktalar çökemez dönemez X 4x0.5= Düşey plağın yarısının 4x8 modeli ve ortalama su basıncı Bu kenardaki noktalar Yetrafında dönemez(simetri) Malzeme: =32 10,=0.20 Plak kalınlığı: =0.30 Yük: 32.5 kn/m 2 (1, 2, 3, 4 nolu elemanlarda), 27.5 kn/m 2 (5, 6, 7, 8 nolu elemanlarda),, 2.5 kn/m 2 (25, 26, 27, 28 nolu elemanlarda), 0.00 kn/m 2 (29, 30, 31, 32 nolu elemanlarda) Mesnet koşulları: Şekil üzerinde gösterilmiştir Plağın alt kenarında X etrafında oluşan en büyük mesnet momenti Ahmet TOPÇU, Sonlu Elemanlar Metodu, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, , Sayfa 295

13 Plağın sol ve sağ(simetri) kenarında Y etrafında oluşan en büyük mesnet momenti X ve Y etrafında oluşan en büyük açıklık momentleri Plağın üst kenarında X etrafında oluşan en büyük mesnet momenti Y m knm/m knm/m X En büyük mesnet ve açıklık momentleri(sem işaret kuralına göre) Ahmet TOPÇU, Sonlu Elemanlar Metodu, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, , Sayfa 296