İ Ç İ N D E K İ L E R

Transkript

1 I. BÖLÜM: GEOMETRİ İ Ç İ N D E K İ L E R A) ÜÇGENLER Üçgende Açılar...8. Üçgenlerde Eşlik ve Benzerlik Üçgenin Teoremleri:(Öklid, Pisagor, Kosinüs, Stewart, Carnot, Menaleus, Ceva Teoremleri) Açıortay, Kenarortay Teoremleri Üçgenlerde Alan...18 B) ÇOKGENLER (Çokgenler, Düzgün Çokgenler ve Dörtgenler, Yamuk, Paralelkenar, Eşkenar dörtgen, Dikdörtgen, Kare, Deltoid)...0 C) ÇEMBERLER Çemberde Açılar...7. Çemberde Uzunluk ve Dairenin Alanı...9 D) GEOMETRİK EŞİTSİZLİKLER...4 E) KATI CİSİMLER... II. BÖLÜM: SAYILAR TEORİSİ A) SAYILAR Temel Kavramlar Çözümleme ve Taban Aritmetiği Bölünebilme, Aralarında Asal Olma Asal Sayılar Tam Sayının Bölenleri ve EBOB, EKOK B) RASYONEL SAYILAR VE MUTLAK DEĞER C) ÜSLÜ SAYILAR, KÖKLÜ SAYILAR D) ÇARPANLARA AYIRMA E) DENKLEM ÇÖZÜMLERİ F) ORAN ORANTI PROBLEM ÇÖZÜMLERİ Oran Orantı ve Sayı Problemleri Kesir Problemleri Yaş, İşçi Havuz ve Hareket Problemleri Yüzde Problemleri ve Karışım Problemleri G) MODÜLER ARİTMETİK...11 H) FONKSİYONLAR, POLİNOMLAR,. VE. DERECEDEN DENKLEMLER...1 İ) EŞİTSİZLİKLER (ARİTMETİK, GEOMETRİK, CAUCHY SCHWARTZ EŞİTSİZLİKLERİ)...17 J) DİZİLER...19

2 III. BÖLÜM: SONLU MATEMATİK (KOMBİNATORİK) A) PERMÜTASYON, KOMBİNASYON, OLASILIK Saymanının Temel İlkesi, Permütasyon Kombinasyon, Dağılımi...0. Olasılık...0 B) GÜVENCİN YUVASI...04 C) BOYAMA VE OYUNLAR...0 D) SONLU PROBLEMLER...08 IV. BÖLÜM: KLASİK SORULAR ve ÇÖZÜMLERİ...6

3 I. BÖLÜM GEOMETRİ SORULARI A) ÜÇGENLER SORU SAYISI 1. Üçgende Açılar 7. Üçgenlerde Eşlik ve Benzerlik. Üçgenin Teoremleri:(Öklid, Pisagor, Kosinüs, Stewart, Carnot, Menaleus, Ceva Teoremleri) 7 4. Açıortay, Kenarortay Teoremleri 7. Üçgenlerde Alan 6 B) ÇOKGENLER 1. (Çokgenler, Düzgün Çokgenler ve Dörtgenler, Yamuk, Paralelkenar, Eşkenar dörtgen, Dikdörtgen, Kare, Deltoid) 9 C) ÇEMBERLER 1. Çemberde Açılar 7. Çemberde Uzunluk ve Dairenin Alanı 8 D) GEOMETRİK EŞİTSİZLİKLER E) KATI CİSİMLER TOPLAM GEOMETRİ SORU SAYISI 19 Tübitak Ulusal Matematik Olimpiyatları Soru ve Çözümleri

4 -Çemberde Uzunluk ve Dairenin Alanı Soru 1 (1998) [AB] çaplý O merkezli bir yarým çemberin [OB] yarýçapý üzerinde bir D noktasý, BA yayý üzerinde bir C noktasý seçildiðinde, DC = CB = 6 ve DB = 0 koþullarý saðlanýyorsa AB nedir? 7 A) 6 B) 64 C) D) 66 E) 8 Soru (010) Çevreleri ve 6 birim olan iki çemberin yarıçapları arasındaki fark kaç birimdir? A) B) C) D) E) 1 π 6 π Soru (000) Dar açýlý bir ABC üçgeninde [AD] ve [BE] iki yükseklik olmak üzere, [AB] ve [DE] nin orta noktalarý F ve G ile gösterildiðinde, DE = 0 ve AB = 4 ise, FG nedir? A) 6ñ B) 10 C) 8 D)10ñ E) 16 Soru 4 (00) Bir çemberin [AC] ve [BD] kiriþleri birbirine dik; AB = a, CD = b olduðuna göre, çemberin çapý nedir? Soru (00) [AB] çaplý çemberin [DC] kiriþi, [AB] yi P noktasýnda kesiyor. m(bépd) = 60, CP = a, PD = b olduðuna göre, çemberin yarýçapý nedir? Soru 6 (011) [AB] ve [CD] bir çemberin farklı çapları olmak üzere, D den bu çembere çizilen teğet AB doğrusunu B ye göre A ile farklı tarafta yer alan bir E noktasında, BC doğrusunu F noktasında kesiyor. EB / AB = / ve DF = 4 ise, EF nedir? A) B) 4 C) 6 D) 8 E) 10 Tübitak Ulusal Matematik Olimpiyatları Soru ve Çözümleri 9

5 1.BÖLÜM : GEOMETRi SORULARI TOPLAM SORU SAYISI 8 Soru 7 (1997) Bir ABC ikizkenar üçgeninde BC = 16, AB = AC = 17 olup, [AC] çaplý çember [BC] kenarýný D noktasýnda kesmektedir. D noktasýndan bu çembere çizilen teðet [AB] kenarýný bir E noktasýnda kestiðine göre, DE kaçtýr? A) B) 6 C) 6 1 D) 7 E) Soru 8 (1997) Bir kenar uzunluðu a olan bir ABCD karesinin, A ve B köþeleri merkez alýnarak, a yarýçaplý iki tane çeyrek çember çiziliyor. Bu çeyrek çemberlere ve [AB] kenarýna teðet olan çemberin [AB] kenarýna deðdiði nokta G, çeyrek çemberlere deðdiði noktalar E ve F ise EF aþaðýdakilerden hangisidir? a a a a A) B) C) D) E) 4 Soru 9 (1998) [AB] çaplý O merkezli bir çemberin [OB] yarýçapýnýn orta noktasý C, C noktasýndan geçen bir kiriþ [DE], s(bécd) = 4 ve bu çemberin alaný 8π ise, DE aþaðýdakilerden hangisidir? A) 4ñ B) C) 4 D) ñ7 E) ò0 Soru 10 (000) Çap uzunluðu 6 olan [AB] çaplý yarým çemberin [AD] ve [DC] kiriþlerinin her birinin uzunluðu ise, [BC] kiriþinin uzunluðu nedir? 7 A) ñ B) C) D) 4 E) 14 a Soru 11 (001) Ýki farklý noktada kesiþen C 1 ve C çemberlerine sýrayla A ve B noktalarýnda teðet olan t 1 doðrusu ile, çemberlere, yine ayný sýra ile C ve D noktalarýnda teðet olan t doðrusu, P noktasýnda kesiþiyor. BC doðrusu C 1 ve C çemberlerini ikinci kez sýrasýyla E ve F noktalarýnda kesiyor. BP > AP = 18, EF = 1 ve BE = 4 ise, Alan(BPC) / Alan(APC) nedir? M6 M 4 A) B) C) D) E) ñ Soru 1 (001) Bir ABCD dýþbukey kiriþler dörtgeninin köþegenleri L noktasýnda, AD ve BC de K noktasýnda kesiþiyor. AL = a, LD = b ve DK = c ise, BK nedir? ab bc ac ac A) B) C) D) E) c a b b 0 Tübitak Ulusal Matematik Olimpiyatları Soru ve Çözümleri ab

6 TOPLAM ÇEMBERDE SORU SAYISI 8 UZUNLUK VE DAiRENiN ALANI Soru 1 (001) Yarýçapý 1 olan O merkezli bir çember ve OA = 4 olacak þekilde bir A noktasý veriliyor. Çemberin [OA] yý kestiði nokta B; A dan çembere çizilen teðetin çembere deðme noktasý da C ise, O, B ve C noktalarýndan geçen çemberin alaný nedir? π π π π A) B) C) D) E) 4π 4 Soru 14 (00) Bir çemberin [AB] kiriþi, çember üzerinde bulunan bir T noktasýnda çizilen teðete paralel; AT = ve AB = 6 dýr. Çemberin yarýçapý nedir? 7 A) B) C) D) 4 E) 9 8 Soru 1 (007) AB = AC olan bir ikizkenar ABC üçgeninin [AB] kenarýný çap kabul eden bir çember [AC] kenarýný A ve D noktalarýnda, [BC] kenarýný da B ve E noktalarýnda kesiyor. DE = 7 ise, BC nedir? 1 A) 10 B) 7ñ C) D)7ñ E) 14 Soru 16 (008) Kare þeklinde bir kaðýdýn üzerine 1 birim yarýçaplý bir çember nasýl çizilirse çizilsin, özdeþ bir çemberin daha, ilk çemberle en fazla bir noktada kesiþerek çizilebilmesi için kaðýdýn kenar uzunluðunun en az kaç birim olmasý gerekir? A) (ñ+1) B) 4 C) 6 D) ñ E) +ñ Soru 17 (009) Bir çemberin dışındaki bir A noktasından çembere bir teğet ve bir kesen çizilmiştir. B noktası, teğetin değme noktası; C ve D ise, kesenin çemberle kesiştiği noktalardır. BC =4, BD =6 olduğuna göre, AB nin alabileceği en büyük tam sayı değeri nedir? A) 9 B) 10 C) 11 D) 1 E) Hiçbiri Tübitak Ulusal Matematik Olimpiyatları Soru ve Çözümleri 1

7 1.BÖLÜM : GEOMETRi SORULARI TOPLAM SORU SAYISI 8 Soru 18 (009) Kesişen iki çemberin ortak kirişi [AB] dir. A noktasından bu iki çembere çizilen teğetlerin bu çemberleri ikinci kez kestiği noktalar C ve D olmak üzere, BC =ñ, BD =4ñ ise, AB kaçtır? 4M A) ñ6 B) 4ñ6 C) ) D)ñ E) 8M Soru 19 (010) Merkezleri aynı, yarıçapları farklı olan üç düzlemdeş çemberden büyüğüyle ortancası arasında kalan alan S 1, ortancası ile küçüğü arasında kalan alan da S olsun. Ortanca çemberin küçük çembere teğet olan bir kirişinin uzunluğu 4 birim, büyük çemberin ortanca çembere teğet olan bir kirişinin uzunluğu da 10 birimdir. S 1 S kaç birim karedir? A) 1π B) 17π C) 1π D) 1π E) 10π Soru 0 (010) A ve B noktalarından geçen bir çembere A da teğet olan doğru ile AB doğrusuna B de dik olan doğru C noktasında kesişiyor. AB = BC ise, ABC üçgeninin çemberin dışında kalan alanının çemberin içinde kalan alanına oranı nedir? π 6 π 4 A) B) C) D) E) 6 π 4 π π Soru 1 (01) C, [AB] çaplı çemberin dış bölgesinde yer alan bir nokta olmak üzere, AC ve BC doğruları çemberi ikinci kez sırasıyla, D ve E noktalarında kesiyor. AE ve BD doğrularının kesişim noktası F, AB ve CF doğrularının kesişim noktası da G olmak üzere, AF = 1 ve s(eédc) = 60 ise, AG nedir? A) ñ B) 6ñ C) 7ñ D) 8ñ E) Hiçbiri Soru (01) Bir ABC üçgeninde [BC] kenarına D noktasında, AC doğrusuna da A noktasında teğet olan bir çember [AB] kenarını E noktasında kesiyor. BD / AC = ve AE / BD = /6 ise, AD ve CE doğrularının kesişim noktası F için, AF / FD nedir? 16 A) B) C) ñ D) E) 1 4 Tübitak Ulusal Matematik Olimpiyatları Soru ve Çözümleri

8 TOPLAM ÇEMBERDE SORU SAYISI 8 UZUNLUK VE DAiRENiN ALANI Soru (004) ABCD kiriþler dörtgeninin [AC] ve [BD] köþegenlerinin kesiþim noktasý P, AB =, BC = 1, CD = ve CP PA = 1 ise AD kaçtýr? 11 9 A) B) C) D) 4 E) Soru 4 (004) AB = BC olmak üzere, ABC ikizkenar üçgeninin [AB] ve [BC] kenarlarý, bu üçgenin iç teðet çemberine sýrasýyla D ve E noktalarýnda teðettir. AE doðrusu, iç teðet çemberini E dýþýnda F noktasýnda; DF doðrusu da [AC] tabanýný G noktasýnda kesiyor. AC = 4 ise, AG kaçtýr? A) B) 4 C) 6 D) 8 E) 9 Soru (006) Bir çemberin [AC] kirişi ile çembere C noktasında çizilen teğete paralel bir [BD] kirişi E noktasında kesişiyor. AB = BE ve Alan(ADC)=18 ise, Alan(CDE) nedir? A) B) C) 4 D) E) Hiçbiri Soru 6 (011) Köşeleri bir çemberin üstünde yer alan ABCD dışbükey dörtgeninin köşegenleri E noktasında kesişiyor. AC =16, BD =1 ve CéED açısının ölçüsü ile BïC yayının ölçüsünün toplamı 90 ise, çemberin yarıçapı nedir? A) 14 B) 1 C) 11 D) 10 E) 9 Soru 7 (001) Köþeleri bir çember üzerinde bulunan dýþbükey ABCDEF altýgeninde AB = CD = EF olup, AD, BE ve CF köþegenleri bir noktada kesiþiyor. AD ve CE köþegenlerinin kesiþme noktasý H olmak üzere, =a ise, nedir? CH AC HE CE 1 A) B) a C) D) ña E) 1 a Soru 8 (01) Dar açılı bir ABC üçgeninde [AD], [BE] ve [CF] yükseklikleri H noktasında kesişiyor. AH. AD + BH. BE + CH. CF = 71 ve AB + AC = 106 ise, BC nedir? A) 9 B) 8 C) 7 D) 6 E) Tübitak Ulusal Matematik Olimpiyatları Soru ve Çözümleri

9 Soru 1 (00) C-BOYAMA VE OYUNLAR Özdeþ iki pul, 8x8 bir satranç tahtasýnýn karelerine, ikisi birden ne ayný satýr, ne ayný sütun, ne de ayný renkte karelerde bulunacak biçimde, kaç farklý þekilde yerleþtirilebilir? A) 768 B) 784 C) 1008 D) 168 E) 016 Soru (008) Kenar uzunluðu n birim olan bir kübün yüzleri boyanýyor ve küp, n adet birim küp oluþacak þekilde parçalanýyor. Kaç n deðeri için, tek yüzü boyanmýþ birim küplerin sayýsý hiç boyanmamýþ birim küplerin sayýsýna eþit olur? A) 1 B) C) D) 4 E) Hiçbiri Soru (011) Başlangıçta ellerinde, 10, 1, 0 ve şeker bulunan beş öğrenciden her adımda biri elindeki şekerlerin bir kısmını diğer öğrenciler arasında eşit olarak paylaştırıyor. En az kaç adımda öğrencilerin ellerindeki şekerlerin sayısı eşitlenebilir? A) 4 B) C) 6 D) 7 E) 8 Soru 4 (1997) Yazý tahtasýna 1,,, 7,..., 99, 101 sayýlarý yazýlmýþtýr. Her adýmda bu sayýlardan ikisini silerek, onlarýn yerine silinen sayýlarýn toplamýnýn bir eksiði yazýlýyor. Sonlu adýmdan sonra tahtada tek sayý kalacaktýr. Bu sayý nedir? A) 9600 B) C) 1 D) 0 E) 01 Soru (00) Bir çember üstünde beþ renge boyanmýþ n nokta var. Bu beþ renkten hangi farklý ikisini alýrsak alalým, bu renklere boyanmýþ ardýþýk iki nokta bulunuyorsa, n en az kaç olabilir? A) 10 B) 11 C) 1 D) 1 E) 14 Tübitak Ulusal Matematik Olimpiyatları Soru ve Çözümleri 0

10 . BÖLÜM : SONLU MATEMATiK (KOMBiNATORiK) SORULARI TOPLAM SORU SAYISI 1 Soru 6 (006) 1 kiþinin katýldýðý bir satranç turnuvasýnda, her oyuncu, kendi dýþýndaki her oyuncuyla tam olarak bir kez karþýlaþýyor. Her karþýlaþmada kazanan 1, kaybeden 0 puan alýrken, beraberlik durumunda iki oyuncu da 0, er puan kazanýyor. Turnuvanýn bitiminde en az toplam 8 puan alan oyunculara baþarý ödülü veriliyor. En çok kaç oyuncu baþarý ödülü alabilir? A) 4 B) C) 6 D) 7 E) 8 Soru 7 (1996) 101 x 101 kareden oluþan kare þeklindeki bir satranç tahtasýnýn üzerindeki bir taþý bir hamlede bulunduðu kareden bu karenin saðýndaki, solundaki, üstündeki ve altýndaki bitiþik karelerden herhangi birine götürebiliyoruz. Tahtanýn sol alt köþesindeki karede bulunan bir taþýn tam 100 ardýþýk hamle sonunda ulaþabileceði karelerin sayýsý aþaðýdakilerden hangisidir? A) 0.1 B) 1 C).1 D) 101 E) Hiçbiri Soru 8 (1998) Ahmet ile Betül, içlerinden birinin seçtiði bir n tam sayýsý için, an 4 + bn + cn + dn ifadesindeki a, b, c, d tam sayýlarýný sýrayla seçtikleri bir oyun oynarlar. Sýrasý gelen, daha önce seçilmemiþ katsayýlardan birini seçerek yerine 1 ya da 1 koyar. Oyunu, bütün katsayýlar seçildikten sonra elde edilen sayý 6 ile bölünüyorsa Betül; aksi durumda ise, Ahmet kazanýr. Aþaðýdakilerden hangisi doðru deðildir? A) n yi Ahmet seçer ve katsayý seçmeye de Ahmet baþlarsa, Betül oyunu kazanmayý garanti edebilir. B) n yi Ahmet seçer, katsayý seçmeye ise Betül baþlarsa, Ahmet oyunu kazanmayý garanti edebilir. C) n yi Betül seçer ve katsayý seçmeye de Betül baþlarsa, Betül oyunu kazanmayý garanti edebilir. D) n yi Betül seçer, katsayý seçmeye ise Ahmet baþlarsa, Betül oyunu kazanmayý garanti edebilir. E) Hiçbiri Soru 9 (009) Beş futbol takımının katıldığı turnuvada herhangi iki takım kendi aralarında tam olarak bir maç yapıyor. Her maçta kazanan takım, berabere kalan takımlar birer, kaybeden takım ise 0 puan alıyor. Turnuva sonunda dört takımın puanları 1,, ve 8 olduysa, beşinci takımın puanı kaçtır? A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E) Hiçbiri 06 Tübitak Ulusal Matematik Olimpiyatları Soru ve Çözümleri

11 TOPLAM BOYAMA SORU SAYISI 1 VE OYUNLAR Soru 10 (001) Bir bilgisayar oyununda, 0cm x 0cm boyutundaki bir ekranda hareket eden bir karınca, ekranı herhangi bir kenardan terkettiğinde, ekrana, karşı kenardan ve aynı hizadan yeniden giriyor. Bu karıncanın, ekranın sol alt köşesinden yatay uzaklığı 10 cm ve dikey uzaklığı 4 cm olan noktadan hareketle, ekranın aynı köşesinden yatay ve dikey uzaklıkları sırasıyla 40 cm ve 1 cm olan noktaya varması için, ekran üstünde en az kaç cm yol katetmesi gerekir? A) ò1 B) 10ò1 C) 0ñ D) 0ñ E) 0 Soru 11 (00) Bir satranç turnuvasýna katýlan her oyuncu, diðer oyunculardan her biriyle tam olarak bir kez karþýlaþýyor. Her oyunda, yenen oyuncu 1, yenilen ise 0 puan kazanýrken, beraberlik durumunda her oyuncu 1/ puan kazanýyor. Turnuvanýn bitiminde, oyunculardan her birinin, elde ettiði toplam puanýn tam olarak yarýsýný, en düþük toplam puanlý üç oyuncu ile yaptýðý karþýlaþmalarda elde etmiþ olduðu gözleniyor. Bu turnuvaya kaç oyuncu katýlmýþtýr? A) 4 B) C) 6 D) 9 E) 10 Soru 1 (010) Başlangıçta mxn bir satranç tahtasının sol alt köşesinde bir taş bulunuyor. Oyuncular sırayla hamle yaparak, her hamlede taşı sağa veya yukarı doğru en az bir kare kaydırıyorlar. Hamle yapamayan oyuncu oyunu kaybediyor. Oyun, 1x, 14x14, x4, 1x17 ve 9x9 tahtalarda birer kez oynanırsa, bu oyunlardan kaçını ilk hamleyi yapan oyuncu kazanmayı garanti edebilir? A) 4 B) C) D) 1 E) Hiçbiri Soru 1 (011) Başlangıçta tahtada bir n tam sayısı yazılıdır. İki oyuncu sırayla hamle yaparak; her hamlede tahtadaki sayıyı silip yerine o sayıdan büyük olan, ama o sayının iki katını aşmayan bir tam sayı yazıyorlar. Tahtaya 011 sayısını yazan oyuncu oyunu kazanıyor. Oyun n=1,,, 4,, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 1, 1, 14, 1, 16 değerlerinin her biri için birer kez oynanırsa, bu oyunlardan kaçını oyuna başlayan oyuncu kazanmayı garantileyebilir? A) 1 B) 7 C) D) 1 E) Hiçbiri Tübitak Ulusal Matematik Olimpiyatları Soru ve Çözümleri 07

12 C-BOYAMA VE OYUNLAR Çözüm 1 siyah kareden birini seçer ve pullardan birini seçilen bu kareye yerleştiririz. Seçtiğimiz kare koyu renkteki beyaz kare olsun. Diğer pulu bu kare ile aynı satır ve sütunda olmayan siyah kareye yerleştireceğiz demektir. Bu da 8 siyah karenin dışındaki 4 kareye yerleştirebiliriz demektir. O halde, özdeş iki pulu yerleştirebileceğimiz farklı durumların sayısı. 4 = 768 olur. Bu yerleştirme durumu siyah kareler için farklı, beyaz kareler için farklı olduğundan sonuç ile çarpılıp, tekrar ile bölünerek 768 bulunur. İki pul özdeş olduğundan ilk dizilişin yarısı alınır. Fakat beyazlar için yine aynı durum olacaktır. Cevap A Çözüm Tek yüzü boyanmış birim küplerin sayısı = 6. (n ) dir. Hiç boyanmamış birim küplerin sayısı = (n ) dir. 6. (n ) = (n ) eşitliğinden a) n = b) n için 6 = n ve n = 8 elde edilir. O halde, soruda istenen durum n nin iki farklı değeri için sağlanır. Cevap B Çözüm En az 4 adımda öğrencilerin ellerindeki şeker sayıları eşitlenebilir. Daha az adımda olamayacağını gösterelim. Son hamleden önce dört öğrencinin şeker sayısı eşit olmak zorunda. Sondan ikinci hamleden önce şeker sayısı aynı olan öğrenci sayısı olmak zorunda. Devam edersek en az dört adım gerekiyor. Dört adım için örnek ise,. öğrenci 6 şeker tutuyor, birer dağıtıyor. öğreci 7 tutuyor ikişer dağıtıyor. 4. öğrenci 8 tutuyor er dağıtıyor. öğrenci 9 tutuyor 4 er dağıtıyor. Cevap A Tübitak Ulusal Matematik Olimpiyatları Soru ve Çözümleri

13 . BÖLÜM : SONLU MATEMATiK (KOMBiNATORiK) ÇÖZÜMLERi TOPLAM SORU SAYISI 1 Çözüm 4 Bu sayılar a 1, a, a,..., a 1 olup her adımda a i + a j 1 işlemi gerçekleştiriliyor. (i j ve i, j = 1,,,..., 1) Her hangi iki sayı alarak, soruda verilen şartlar paralelinde bu işlem = 0 adımda gerçekleşir = 1 olup her adımda toplamdan 1 eksiltildiğinden, tahtada kalan toplam genel toplamın 0 eksiği olur. O halde, tahtada kalan toplam 1 0 = 1 dir. Cevap C Çözüm Çözüm 1 Bu durumu.çember üzerinde, bu beş renkten hangi farklı ikisini alırsak alalım, bu renklilere boyanmış ardışık iki nokta bulunacak şekilde gösterelim. Renkler; K, B, S, M, Y olsun. Şekildeki gibi K ya komşu B, S ve M, Y renkleri B ye komşu S, Y ve K, M renkleri S ye komşu M, Y ve K, B renkleri M ye komşu S, Y ve B, K renkleri Y ye komşu B, M ve S, K renkleri olacak şekilde yerleştirdiğimizde aranan durum sağlanmış olur. Soruda verilen şartları sağlayan n nin en az değeri 10 olur. Çözüm Her renk diğer iki renkte komşu olmalı, her rengin diğer iki renge komşu olabilmesi için iki defa yazılması gerekir. farklı rengin iki defa yazılması n nin en az 10 olabileceğini gösterir. Cevap A Çözüm 6 1 kişinin katıldığı bir turnuvada, her oyuncu kendi dışındaki her oyuncu ile tam olarak bir kez karşılaşıkarşılaşıyorsa, turnuvadaki karşılaşma sayısı = 66 olup her oyuncu 11 karşılaşma yapar. 1 Her karşılaşmada toplamda 1 puan verildiğinde turnuvada 66 puan dağıtılmış demektir. Bu turnuvada yapılan tüm karşılaşmalarda oyuncular berabere kalsalardı, her bir oyuncu, puan alacaktı. Bir oyuncu karşılaştığı diğer 11 oyuncuya da yenilse oyuncuların 6 şar puanı olacaktı. O halde toplamda oyuncunun diğer 7 oyuncuya hep yenildiğini varsayarsak en çok 7 oyuncunun başarı ödülü alabileceğini göstermiş oluruz. Cevap D 6 Tübitak Ulusal Matematik Olimpiyatları Soru ve Çözümleri

14 TOPLAM BOYAMA SORU SAYISI 1 VE OYUNLAR Çözüm 7 Şekilde görüldüğü gibi, bir karede yukarı gidip aşağı geldiğimizde veya sağa gidip tekrar sola geldiğimizde, * işaretli karetlere uğramayız. Bu durumu x biri kare çizerek durumu inceleyeliriz. Bu durumda uğrayabileceğimiz karelerin sayısı = 1 + ( ) 0. 1 = 1 +. = 1 bulunur. Cevap B Çözüm 8 n yi Ahmet seçer kat sayı seçmeye de Ahmet başlarsa; Ahmet 1,, 4 (mod 6) seçerse, Betül b= a ve d = c alarak toplamın 6 ya bölünmesini sağlar. Ahmet, (mod 6) seçerse, Betül b a ve d = c alarak yine toplamın 6 ya bölünmesini sağlar ve oyunu kazanmayı garantiler. n 0 (mod 6) durumunda Betül her zaman kazanır. n yi Ahmet seçer kat sayı seçmeye de Betül başlarsa; Ahmet n yi n=1 seçer. Betül a ve c yi seçeceğinden Ahmet, b= a seçer ve c = d seçerek toplamın veya olmasını sağlayarak oyunu kazanmayı garantiler. n yi Betül seçerse ve bu seçimini n = 6 alarak yaparsa, Betül oyunu kazanmayı garanti eder. İfade, her 1 veya 1 katsayıları için 6 ile ölüneceğinden c) ve d) seçenekleri doğru olur. Çözüm 9 Cevap E futbol takımı her biri için dört tanesi ile maç yapacağından, bu turnuvada toplam 0 maç yapılır. Dört takımın aldığı puanlara göre, 1.Takım.Takım.Takım 4.Takım.Takım 1 puan puan puan 8 puan 1 B B 1 G G M M B B 1 M Buna göre, G, 7 B ve 6 M olmak üzere 16 maç vardır. Karşılıklı oynanan bir maçta galibiyet sayısı ile mağlubiyet sayısı eşit ve beraberlilk sayısı ise çift olmalıdır. Buna göre,. takımın galibiyeti ( G ) ve 1 beraberliği (1 B) vardır. Bu da x + 1 x 1 = 10 puan demektir. Cevap C Tübitak Ulusal Matematik Olimpiyatları Soru ve Çözümleri 7