OLİMPİK GEOMETRİ ALTIN NOKTA YAYINEVİ MATEMATİK OLİMPİYATLARINA HAZIRLIK ÖMER GÜRLÜ KONU ANLATIMLI - ÖRNEK ÇÖZÜMLÜ

Ebat: px

Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "OLİMPİK GEOMETRİ ALTIN NOKTA YAYINEVİ MATEMATİK OLİMPİYATLARINA HAZIRLIK ÖMER GÜRLÜ KONU ANLATIMLI - ÖRNEK ÇÖZÜMLÜ"

Ata Nazmi
7 yıl önce
İzleme sayısı:

1 OLİMPİK GEOMETRİ MATEMATİK OLİMPİYATLARINA HAZIRLIK KONU ANLATIMLI - ÖRNEK ÇÖZÜMLÜ ÖMER GÜRLÜ ALTIN NOKTA YAYINEVİ İZMİR

2 İÇİNDEKİLER 1. TEMEL ÇİZİMLER ÜÇGENLER (Üçgende Açılar, Üçgende Açı Kenar Bağıntısı, Üçgenlerin Eşliği, İkizkenar ve Eşkenar Üçgen, Üçgenin Çevrel Çemberi ve Sinüs Teoremi, Açıortay Teoremi, Kenarortay Teoremi, Üçgenin Yükseklikleri, Üçgenlerin, Benzerliği, Üçgenin Teoremleri) A) ALIŞTIRMALAR B) ALIŞTIRMALAR ÇOKGENLER VE DÖRTGENLER (Çokgenler, Dörtgenler, Yamuk, Paralelkenar, Eşkenar Dörtgen, Dikdörtgen, Kare, Deltoid) A) ALIŞTIRMALAR B) ALIŞTIRMALAR İZOMETRİ VE TRANSFORMASYONLAR A) ALIŞTIRMALAR B) ALIŞTIRMALAR ÇEMBERLER (Çemberde Uzunluk, Çemberde Açılar, Kuvvet Ekseni, Kuvvet Merkezi, Teğetler Dörtgeni, Kirişler Dörtgeni) A) ALIŞTIRMALAR B) ALIŞTIRMALAR TRİGONOMETRİ A) ALIŞTIRMALAR B) ALIŞTIRMALAR ALANLAR (Üçgende Alanlar, Çokgenin Alanı, Dörtgenlerin Alanı, Dairenin Alanı, Çemberlerin Benzerliği) A) ALIŞTIRMALAR B) ALIŞTIRMALAR GEOMETRİK YER A) ALIŞTIRMALAR GEOMETRİK EŞİTSİZLİLER A)ALIŞTIRMALAR B) ALIŞTIRMALAR ALIŞTIRMALARIN ÇÖZÜMLERİ KAYNAKÇA

3 BÖ LÜM 3 ÇOKGENLER VE DÖRTGENLER "...Eğer uygulama veya işlev unsurları açısından hoşa giden ya da son derece dengeli olan bir forma ulaşılmışsa, orada Altın Oran'ın bir fonksiyonunu arayabiliriz... Altın Oran, matematiksel hayal gücünün değil de, denge yasalarına ilişkin doğal prensibin bir ürünüdür. Mehmet Suat Bergil

4 OLiMPiK GEOMETRi 3. BÖLÜM 1-Çokgenler Tanım: n N + ve n 3 olmak üzere, aynı düzlemdeki yalnız A 1, A 2, A 3,, A n noktalarında kesişen ve herhangi üç noktası doğrusal olmayan [A 1 A 2 ], [A 2 A 3 ], [A 3 A 4 ],, [A n A 1 ] doğru parçalarının birleşim kümesine, çokgen denir. A 1, A 2, A 3,, A n noktalarına çokgenin köşeleri, bu noktaları birleştiren [A 1 A 2 ], [A 2 A 3 ], [A 3 A 4 ],, [A n A 1 ] doğru parçalarına da çokgenin kenarları denir. Çokgenlerde, bir kenarın uç noktalarına komşu köşeler, iki kenara da komşu kenarlar denir. Çokgenler kenar sayısının sonuna gen eki getirilerek adlandırılır. altıgen gibi. Bir çokgenin komşu iki kenarının oluşturduğu açılara, çokgenin iç açıları, Bir iç açının komşu bütünlerine de dış açı denir. Bir çokgenin iç bölgesinde alınan herhangi iki noktayı birleştiren doğru parçası hiçbir zaman çokgenin kenarlarını kesmiyorsa bu çokgene dışbükey çokgen, çokgenin bazı kenarlarını kesiyorsa içbükey çokgen denir. Bir çokgenin komşu olmayan iki köşesini birleştiren doğru parçasına çokgenin bir köşegeni denir. n(n 3) n kenarlı bir çokgenin köşegen sayısı C(n,r) n= dir. 2 n kenarlı bir çokgende, köşegen tanımına göre, bir köşeden geçen köşegen sayısı (n 3) tanedir. Bir köşeden geçen bu köşegenler çokgeni (n 2) tane yarık üçgensel bölgeye ayırır. Teorem: n kenarlı bir çokgenin iç açıları toplamı; (n 2).180 dir. 140 Tübitak Ulusal Matematik Olimpiyatlarına Hazırlık

5 3. BÖLÜM ÇOKGENLER VE DÖRTGENLER - Gokgen İspat: Şekildeki gibi n kenarlı dışbükey çokgenin iç bölgesinde bir O noktası alıp köşelerle birleştirdiğimizde n tane üçgen oluşur.bu üçgenlerin içaçıları toplamından O tam açısını çıkardığımızda n-genin iç açılar toplamı; n =(n 2).180 bulunur. Not: n kenarlı bir çokgenin tek çizilebilmesi için, çokgenin en az (2n 3) tane elemanı bilinmeli ve bunlardan en az (n 2) tanesi uzunluk, (n 1) tanesi açı olmalıdır. Tanım: Tüm kenar uzunlukları ve iç açılarının ölçüleri eşit olan çokgenlere düzgün çokgen denir. Her düzgün çokgenin bir çevrel ve iç teğet çemberi vardır. Örnek: ABCDEF düzgün altıgeninin AF kenarı üzerinde ve F köşesi A ile X arasında ve m(xécd)=45 olacak şekilde bir X noktası seçiliyor. Buna göre, m(céxe) kaç derecedir? A)15 B) 20 C) 25 D) 30 E) 45 Çözüm: Düzgün Çokgen ABCDEF düzgün altıgeninde [AC] [AX] ve m(xécd)=45 olduğundan AC = AX = AE olup, m(eéax)=30 ve m(aéxe)=m(aéex)=75 den m(céxe)=30 bulunur. Cevap D Tübitak Ulusal Matematik Olimpiyatlarına Hazırlık 141

6 OLiMPiK GEOMETRi 3. BÖLÜM Örnek: Köşeleri eş açılı ABCDEF altıgeninin kenarları üzerinde bulunan AXYZ karesi için, X [BC], Y [DE] ve Z [EF] dir. AB =40 ve EF =41(ñ3 1) olduğuna göre, karenin bir kenarının uzunluğu kaçtır? A) 29ñ3 B) ñ2+ ñ3 C) 20ñ3+16 D) 20ñ2+13ñ3 E) 21ñ6 2 2 Çözüm: m(zéye)=x için m(déef)=120 olduğundan m(eézy)=60 x olur. Bu şekilde devam edildiğinde, m(féza)=x+30, m(féaz)=30 x, m(xéab)=x ve m(aéxb)=60 x bulunur. AXYZ kare olduğundan Y EZ A BX tir. Buna göre, AB = EY =40 tır. Y den FE ye A dan CB ye inilen dikmelerin ayakları sırası ile L ve M olsun. Bu durumda [MA [EF={K} için, [EK] [KM] dir. Buna göre, A ZK Z YL dir. KF =a için FZ =20ñ3 a ve ZE =añ3 20 dir. EF =añ ñ3 a=41(ñ3 1) dir. Bu son eşitlikten a=21 ve M XA LZY olduğundan ZL = MX =21ñ3 olup MAX dik üçgeninde Pisagor teoreminden AX =29ñ3 bulunur. Tanım: 2-Dörtgenler Cevap A Herhangi üçü doğrusal olmayan A,B,C,D gibi sıralı dört nokta verildiğinde [AB], [BC], [CD], [DA] doğru parçalarının birleşimine dörtgen denir. A,B,C,D noktaları dörtgenin köşeleri, [AB], [BC], [CD], [DA] doğru parçaları dörtgenin kenarları ve AB =a, BC =b, CD =c, 142 Tübitak Ulusal Matematik Olimpiyatlarına Hazırlık

7 OLiMPiK GEOMETRi 3. BÖLÜM Örnek: BK 5 ABCD karesinin [AB] ve [CD] kenarları üzerinde sırasıyla K ve M noktaları = ve AK 4 CM =8 olacak şekilde alınıyor. [AC] köşegeni üzerinde ML = KL olacak şekilde L noktası alın- MD ıyor. [MK] [BD]={P} olduğuna göre, m(képl) nedir? A) 15 B) 22,5 C) 30 D) 45 E) 60 Çözüm: [AC] köşegeni üzerinde ML = KL olacak şekilde L noktası, [KM] nin orta dikmesinin [AC] yi kestiği noktadır. [KM] nin orta noktası N olsun. Buna göre, [LN] [KM] dir. Karenin köşegenlerinin kesişim noktasına O dersek, [AC] [BD] olduğundan LONP dörtgeni kirişler dörtgenidir. m(néop)=m(nélp)=α ise m(lépn)=90 α dır. m(aéon)=90 α olduğundan, m(lépn)=m(aéon) dur. Köşeleri iki paralel doğru üzerinde olan doğru parçalarının orta noktalarını birleştiren doğru parçası paralel doğrulara paralel olacağından, [ON]//[AB] dir. m(béao)=45 =m(aéon) =90 α ise α=m(képl) =45 dir. O halde, m(képl)=45 olur. Cevap D 170 Tübitak Ulusal Matematik Olimpiyatlarına Hazırlık

8 Alıştırmalar 3.1 (Çokgenler - Dörtgenler) 1. Bir ABCD dışbükey dörtgeninde m(béac)=30, m(aédc)=150 ve m(aécd)=20 dir. AB = BD olduğuna göre, m(débc) kaç derecedir? A) 60 B) 45 C) 36 D) 30 E) 22,5 (RUMO ) 2. ABCD karesinin [BC] ve [CD] kenarları üzerinde m(aékb)=m(aékl) olacak şekilde sırasıyla K ve L noktaları alınıyor. Buna göre m(kéal)kaç derecedir? A) 60 B) 45 C) 36 D) 30 E) 22,5 3. Bir ABCD karesinin [BC] ve [CD] kenarları üzerinde sırasıyla E ve F noktaları alınıyor. [AE] [DB]={G} olmak üzere, [FG] [AE] dir. [FG] üzerinde AK = EF olacak şekilde seçilen bir K noktası için m(eékf) kaç derece olur? A) 90 B) 105 C) 120 D) 135 E) Kenar uzunluğu 12 olan ABCD karesi 144 eş birim kareye bölünüyor. Merkezi karenin merkezi ve yarıçapı 6 birim olan bir çember çizildiğinde, 144 birim kareden kaç tanesi çember tarafından kaplanır? A)76 B) 80 C) 84 D) 88 E) ABCD dörtgeninde BC = CD = DA =1, m(déab)=135 ve m(aébc)=75 olduğuna göre, AB kaçtır? M 6 M 3 M 3 M 2 M 6 M 2 A) B) C) D) ñ3 ñ2 E) ñ3+ñ Tübitak Ulusal Matematik Olimpiyatlarına Hazırlık 171

9 OLiMPiK GEOMETRi 3. BÖLÜM 6. Dışbükey bir ABCDE beşgeninin tüm kenarları eşit uzunluktadır. m(ëa)=m(ëb)=90 ise m(ëe)kaç derecedir? A)90 B) 108 C) 120 D) 144 E) 150 (AMC ) 7. ABCD eşkenar dörtgeninin köşeleri AEF üçgeninin kenarları üzerindedir. AF 5 DF = ise kaçtır? AE 6 BE A) ñ B) C) 1 D) E) ABCD paralelkenarında m(céde)=25, m(déec)=110 ve m(aéeb)=70 dir. Buna göre, m(eébc)kaç derecedir? A) 15 B) 20 C) 25 D) 30 E) Bir ABCD paralelkenarında m(ëa)<90 dir. AB =4, AD =3 tür. [DC] üzerinde DE =1 ve [AD] üzerinde AF =1 olacak şekilde sırasıyla E ve F noktaları alınıyor. [BE] [CF]={G} EG olduğuna göre, oranı kaçtır? GB A) B) C) D) E) Tübitak Ulusal Matematik Olimpiyatlarına Hazırlık

Benzer belgeler

Bu e-kitabın her hakkı saklıdır. Tüm hakları Ali Selim YAMAN a aittir. Kısmen de olsa alıntı yapılamaz.metin, biçim ve sorular elektronik, mekanik,

Bu e-kitabın her hakkı saklıdır. Tüm hakları Ali Selim YAMAN a aittir. Kısmen de olsa alıntı yapılamaz.metin, biçim ve sorular elektronik, mekanik, fotokopi ya da herhangi bir kayıt sistemiyle çoğaltılamaz,