DERS 6. Çok Değişkenli Fonksiyonlarda Maksimum Minimum

Transkript

1 DERS Çok Değişkenli onksionlarda Maksimum Minimum.. Yerel Maksimum Yerel Minimum. z denklemi ile tanımlanan iki değişkenli bir onksionu ve bu onksionun tanım kümesi içinde ab R verilmiş olsun. Tanım. Eğer ab i merkez kabul eden bir dairesel bölgedeki her için ab ise bu takdirde ab e nin bir erel maksimum değeri denir. z abab ab değeri nin bir erel maksimum değeri ise nin ab ab civarındaki graiği anda görüldüğü gibi olacaktır. ab Tanım. Eğer ab i merkez kabul eden bir dairesel bölgedeki her için ab ise bu takdirde ab e nin bir erel minimum değeri denir. z ab değeri nin bir erel minimum değeri ise nin ab ab civarındaki graiği anda görüldüğü gibi olacaktır. abab ab Bir onksionun erel maksimum vea erel minimum değerleri tanım kümesindeki hangi noktalarda ortaa çıkabilir? Bir değişkenli onksionlar için de anı soruu sormuş ve anıtlamıştık. İki değişkenli onksionlar için bu sorunun anıtı aşağıdaki teoremde verilmektedir. Bu anıtın bir değişkenli durumda verilen anıta ne kadar benzadiğine dikkat ediniz. Teorem. ab nin erel maksimum vea erel minimum değeri ise ve ab ab kısmi türevleri varsa ab ab dır.

2 Ders. 8 Örnek. z onksionu için erel minimum değeridir. Teoremde iade edildiği üzere her iki kısmi türev de noktasında değerini alırlar. - z -. z Tanım. ab ab olan ab noktalarına onksionunun kritik noktaları denir. Eğer tanım kümesindeki her için kısmi türevleri mevcut olan iki değişkenli bir onksion ise nin erel maksimum vea minimum değerleri kritik noktalarda ortaa çıkacaktır. Ancak erel maksimum vea minimum değere ol açmaan kritik noktalar da olabilir. Tanım 4. Eğer ab nin bir kritik noktası akat erel maksimum vea erel minimumu değilse ab ab noktasına nin bir eer noktası denir. Örnek. z - için noktası bir eer noktasıdır. Gerçekten ve olup a akın her a için a a > ve her b için b b < dır. Dolaısıla noktası ne erel maksimum ne de erel minimum değere ol açmaan bir kritik noktadır. Bir onksionun bir kritik noktasının erel maksimum vea erel minimum değer vea eer noktasına ol açıp açmadığını aşağıdaki teoremde iade edilen ikinci türev testi ile belirleebiliriz. Teoremİkinci Türev Testi. ab noktası z ile verilen onksionunun bir kritik noktası olsun. Arıca ab i merkez kabul eden bir dairesel bölgenin her noktasında nin tüm ikinci mertebeden türevleri mevcut olsun ve tanımlansın. Bu takdirde A ab B ab C ab a AC - B > ve A < ise ab erel maksimumdur b AC - B > ve A > ise ab erel minimumdur c AC - B < ise ab ab eer noktasıdır d AC - B ise bu test geçersizdir.

3 Maksimum Minimum 87 Örnek. z onksionunu ele alalım. Kritik noktaları bulmak için birinci mertebeden kısmi türevleri hesaplaıp sııra eşitlioruz. Buradan görüoruz ki noktası nin bir kritik noktasıdır. Şimdi ikinci türev testini ugulaalım. A B C AC B. 4 > A > AC B > ve A > olduğundan nin erel minimum değeridir. Örnek 4. z onksionunun kritik noktalarını araştırırsak denklemlerinin çözümünden 4 noktasının nin bir kritik noktası olduğunu görürüz. İkinci türev tesitini ugulaalım. A 4 B 4 C 4 AC B. 4 > A < AC B > ve A < olduğundan 4 4 nin erel maksimum değeridir. Örnek 5. z onksionunun kritik noktalarını araştıralım. Birinci mertebeden kısmi türevleri sıır apan değerlerini buluoruz. m m.

4 Ders. 88 Bölece nin dört adet kritik noktası bulunur: - -. İkinci türev testi için ikinci mertebeden kısmi türevleri hesaplaalım. için noktası ikinci türev testini ugulaalım. C B A. > > A B AC Buradan 4 değerinin nin bir erel minimum değeri olduğu görülür. Benzer şekilde - ve noktaları eer noktaları olup 4 - değeri nin bir erel maksimum değeridir. Örnek. z onksionu için de önceki örneklerde aptıklarımızı tekrarlaalım. Birinci mertebeden kısmi türevlerden denklemlerini elde ederiz. Bu iki denklemi ortak çözmek için ikinci denklemden elde edilip birinci denklemde nin bu değeri erleştirilirse bulunur. Dolaısıla kritik noktalar ve 8 noktalarıdır. İkinci türev testi için ikinci mertebeden kısmi türevleri hesaplaalım.

5 Maksimum Minimum 89 8 noktası için : A B C AC B. < eer noktasıdır. noktası için : A 8 B 8 C 8 AC B. > A > erel minimumdur... Maksimum - Minimum Problemleri. Bu kesimde günlük aşamda karşılaşılabilecek maksimum minimum problemlerine örnekler vereceğiz. Örnek. İki bölmeli üstü açık dikdörtgenler prizması şeklinde 48 cm hacimli bir küçük karton kutu apılmak istenior. Bu iş için kullanılacak karton levhanın alanının minimum olması için kutunun boutları ne olmalıdır? Kullanılacak levhanın alanının minimum olması istenior. Kutunun boutlarını şekilde görüldüğü gibi ve z ile gösterelim. Bu takdirde kutu için kullanılacak levhanın alanı z A z z olur. Diğer andan kutunun hacmi 48 cm olduğundan 48 z ve buradan z 48/ olduğu görülür. Bölece A alanı iki değişkene bağlı olarak iade edilebilir: 44 9 A A. Problemin doğası gereği > ve > olmalıdır. Şimdi problemimiz A A nin minimum değerini belirlemektir. A nın birinci mertebeden kısmi türevlerini hesaplaalım A A.

6 Ders. 9 Bu türevler > ve > olan her için tanımlıdır. A nın minimum değeri kritik noktalar arasında ortaa çıkacaktır. 44 A 9 A Yukarıdaki hesaplamalar bir tek kritik nokta bulunduğunu gösterior: 4. Problemin doğasından bu noktanın erel minimum değere ol açacağı görülmekle beraber ikinci türev testi ugulanınca A A A B A C 4 A C B 4 > A > ve bölece A değeri A nın erelminimum değeridir. O 4 halde kullanılacak levha miktarının minimum olduğu 48 cm hacimli kutunun boutları 4 z cm ve kullanılacak levhanın alanı da 7 cm olmalıdır. Örnek. Bir ılda bin tane A türü ve bin tane B türü ürün üreten bir irmanın ıllık gideri C 4 5 milon YTL ve ıllık geliri R 5 4 milon YTL olmaktadır. Bu irmanın ıllık kârının maksimum olması için ılda kaç bin adet A türü ve kaç bin adet B türü ürün üretmesi gerekir? Maksimum kâr ne olur? Çözüm. Kâr onksionu olup P R C P 4 P denklem sisteminin çözümünden

7 Maksimum Minimum 9 4 kritik noktası elde edilir. İkinci türev testi P AC B A P 4 B 48 > A < P 4 C P in P nin maksimum değeri olduğunu gösterir. Dolaısıla ılda bin adet A ve 4 bin adet B türü ürün üretilirse maksimum kâr elde edilir. Maksimum kâr 8 milon YTL dir. Örnek. Poziti reel saılardan oluşan z saı üçlüsündeki saıların toplamı z dur. Bu saı üçlülerinden hangisi için z çarpımı maksimum olur? Çözüm. z koşulundan z elde edilir. Problemimiz > ve > olmak üzere onksionunun minimum değerini bulmaktır. Birinci mertebeden kısmi türevler denklem sistemini verir. Burada ikinci denklem birinci denklemden çıkarılırsa ve buradan da olması gerektiği görülüraksi halde ve z olması gerekir ve bu z > olmasıla çelişir. Birinci denklemde alalım ve denklemi çözelim. > koşulundan. O halde noktası nin kritik noktasıdır. İkinci türev testini ugulaalım. A B C AC B 4 > A <. Sonuç olarak değeri ninerel maksimum değeridir; z olup z çarpımının minimum olduğu z değerleri z dur.

8 Ders. 9.. Lagrange Çarpanları Yöntemi. Pratikte karşılaşılan çok değişkenli maksimum ve minimum problemlerinden pek çoğunun çözümünü veren Lagrange Çarpanları öntemini aşağıdaki örnek problem üzerinde açıklaacağız. Örnek. Şekilde görüldüğü gibi uzun bir duvarın önünde bir taraı duvar ve diğer üç taraı tel örgü ile çevrili dikdörtgen biçiminde bir alan oluşturulmak istenior. Bu iş için en çok 4 m tel örgü kullanılabilecektir. Oluşturulacak alanın maksimum olması için dikdörtgenin boutları ne olmalıdır? Maksimum alan ne olur? Problemin çözümü için dikdörtgenin boutlarını ve ile gösterelim. O zaman oluşturulan alan A ; kullanılacak tel örgünün uzunluğu 4 m olur. Bu ve üzerinde bir kısıtlamadır. Şimdi problemimizi matematiksel olarak şöle ormüle edebiliriz: z nin g - 4 kısıtlaması altında maksimum değerini bulunuz. Problemimizin çözümünü bir süre için erteleerek konu ile ilgili bazı temel tanım ve bilgilerri sunalım. Tanım. z nin g kısıtlaması altında maksimum vea minimum değerini bulunuz. biçiminde iade edilmiş problemlere kısıtlamalı maksimizason vea minimizason problemleri denir. g koşuluna problem kısıtı denir. Örnek de bir kısıtlamalı maksimizason problemi söz konusudur. z nin g kısıtlaması altında maksimum vea minimum değerini bulunuz. biçiminde iade edilmiş bir kısıtlamalı maksimizason vea minimizason probleminin çözümü için tanımlanır. g Tanım. Yukarıda tanımlanan onksionuna ilgili problemin Lagrange onksionu ve onksionu tanımlaan iadedeki sembolüne Lagrange Çarpanı denir. Kısıtlamalaı maksimizason ve minimizason problemlerinin çözümünde Lagrange ın aşağıdaki teoremi kullanılır.

9 Maksimum Minimum 9 TeoremLagrange. g kısıtlaması altında z nin herhangi bir erel maksimum vea minimum değeri ab ise ab noktası aşağıdaki denklemler sisteminin bir çözümüdür:. Örnek deki problemimizin Lagrange onksionu 4 dir. Lagrange Teoremi ni ugulaalım Demek ki maksimum alan için dik dörtgenin bou m eni m olmalıdır. Maksimum alan 7 m dir. Örnek. z nin kısıtlaması altında minimum değerini bulunuz. Burada problem kısıtını g biçiminde iade ederek Lagrange onksionu nun g olduğunu görürüz. Lagrange Teoremi ni ugulaalım. 5. Bölece onksionunun kısıtlaması altında minimum değeri 55 5 dir. Burada onksionunun olan her noktasındaki değerinin 5 den büük olduğunu gözlemleebilirsiniz.

10 Ders. 94 Örnek deki problemin çözümünde elde edilen sonucu aşağıdaki graikten izleebilirsiniz. z z Örnek. z 5 nin 4 bulunuz. kısıtlaması altında maksimum değerini Problem kısıtını g 4 biçiminde iade edersek Lagrange onksionu g 5 4 olur. Bu takdirde 4 4. Bölece onksionunun 4 kısıtlaması altında maksimum değeri 7 dir. Burada onksionunun 4 olan her noktasındaki değerinin 7 den küçük olduğunu gözlemleebilirsiniz.

11 Maksimum Minimum 95 Örnek teki problemin çözümünde elde edilen sonucu aşağıdaki graikten izleebilirsiniz. z 5 7 z Lagrange çarpanları önteminin ugulanabileceği problemlere bir örnek te ekonomiden verioruz. Örnek 4. Bir irmanın üretmee karar verdiği eni bir ürün için birimlik iş gücü ve birimlik ham madde ve teçhizat atırımı apılması durumunda o üründen üretebileceği ürün saısı N Cobb Douglass onksionu olarak belirlenior. Bir birimlik iş gücü 45 YTL; bir birimlik hammadde ve teçhizat 9 YTL olarak düşünüldüğüne ve bu iş için 45 YTL arıldığına göre üretilen ürün saısının maksimum oması için bu meblağın ne kadarı iş gücü için ne kadarı ham madde ve teçhizat için tahsis edilmelidir? Çözüm. Bu problemin matematiksel modeli iş gücü için birimlik ham madde ve teçhizat için birimlik atırım apıldığı varsaılarak

12 Ders. 9 N onksionunu kısıtlaması altında maksimize ediniz. biçiminde iade edilebilir. Bölece Lagrange çarpanları önteminde N g N g İlk iki denklemden okedilirse elde edilir. Üçüncü denklem kullanılarak /9 45/ /9 5 5 / Eğer 5 5 birimlik iş gücü 5 birimlik ham madde ve teçhizat atırımı apılırsa maksimum saıda ürün üretilir ki bu maksimum saı dır. N

13 Maksimum Minimum 97 Problemler. İlgili teoremi kullanarak verilen onksionun erel ekstremumlarını bulunuz. a 4 b 4 c ç d e 4 g e. Ambalaj işi apan bir şirket karton levhadan aşağıdaki şekilde gösterilen apıda bölmeli 4 cm hacimli kutular üretmek istemektedir. Bu biçimde bir kutunun üretiminde kullanılan malzeme miktarının minimum olması için kutunun boutları ne olmalıdır?. A ve B türü olmak üzere iki tür hesap makinesi üreten bir irmanın ılda bin tane A ve bin tane B türü hesap makinesi üretmesi durumunda ıllık gideri C 9 5 ve geliri de R birim para olmaktadır. Bu irmanın ıllık kârının maksimum olması için her tür hesap makinesinden kaç adet üretmesi gerekir? Maksimum kâr ne olur? 4. Düz bir platoda bulunan A B ve C kentlerine hizmet vermek üzere bir baz istasonu kurulacaktır. Platoda erleştirilen bir Kartezen koordinat sistemine göre kentlerin konumu andaki şekilde gösterilmiştir. Baz istasonunun P noktasına erleştirileceği varsaıılırsa P den A B ve C kentlerine olan uzaklıkların kareleri toplamının minimum olması için ve ne olmalıdır? Bu durumda baz istasonunun her üç kente olan uzaklığını bulunuz. A B P C 5. Posta idaresi postaa verilecek kutuların şekilde görüldüğü gibi uzunluğu ile çevre uzunluğunun toplamı cm. i geçmeecek biçimde olmasını istemektedir. Bu koşulları sağlaan ve hacmi maksimum olan kutunun boutlarını bulunuz. uzunluk çevre uzunluğu

14 Ders. 98. Bir kırtasie mağazasında A ve B türü olarak adlandırılan iki tür kalem satılacaktır. Mağaza A türü kalemlerden her birini YTL e B türü kalemlerden her birini 8 YTL e mal etmektedir. Yapılan araştırmalar bir A türü kalemin satış iatı YTL ve bir B türü kalemin satış iatı YTL olarak belirlendiği takdirde A türü kalemlerden hatada s B türü kalemlerden de hatada t 44 4 adet satılabileceğini göstermiştir. a ve olması durumunda hatalık satışı belirleiniz. b ve olması durumunda hatalık satışı belirleiniz. c Hatalık kârın maksimum olması için A ve B türü kalemlerin satış iatı ne olmalıdır? Maksimum kâr ne olur? 7. Lagrange Çarpanları öntemi ile çözünüz. a onksionunun kısıtlaması altında maksimum değerini bulunuz. b onksionunun 4 5 kısıtlaması altında minimum değerini bulunuz. c onksionunun 8 kısıtlaması altında maksimum değerini bulunuz. d Toplamları olan reel saı ikilileri arasında çarpımı maksimum olan ikilii bulunuz. e z z onksionunun z 8 kısıtlaması altında maksimum değerini bulunuz. z z onksionunun z kısıtlaması altında maksimum değerini bulunuz 8. İki model televizon üreten bir irma A model televizonlardan hatada adet B model televizonlardan hatada adet üretmesi durumunda hatalık toplam gideri C birim parabp olmaktadır. Eğer irmanın hatada her iki türden ürettiği televizonların toplam saısının 9 olması isteniorsa giderin minimum olması için hatalık üretim programı ne olmalıdır? Minimum gider nedir? 9. Bir irmanın üretmee karar verdiği eni bir ürün için birimlik iş gücü ve birimlik ham madde ve teçhizat atırımı apılması durumunda o üründen üretebileceği ürün saısı N.4. Cobb Douglass onksionu olarak belirlenior. Bir birimlik iş gücü 5 YTL; bir birimlik hammadde ve teçhizat 75 YTL olarak düşünüldüğüne ve bu iş için 5 YTL arıldığına göre üretilen ürün saısının maksimum oması için bu meblağın ne kadarı iş gücü için ne kadarı ham madde ve teçhizat için tahsis edilmelidir?. Beşinci problemi Lagrange Çarpanları Yöntemi ile çözünüz.