MAT223 AYRIK MATEMATİK
|
|
|
- Süleyman Çakır
- 9 yıl önce
- İzleme sayısı:
Transkript
1 MAT223 AYRIK MATEMATİK Saymanın Temelleri 1. Bölüm Emrah Akyar Anadolu Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü, ESKİŞEHİR Öğretim Yılı
2 Ayşe nin Doğum Günü Partisi Saymanın Temelleri Ayşe nin Doğum Günü Partisi Ayşe altı arkadaşını doğum günü partisine davet eder: Bora, Cenk, Derya, Ebru, Fahri ve Gazi 2/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
3 Ayşe nin Doğum Günü Partisi Saymanın Temelleri Ayşe nin Doğum Günü Partisi Ayşe altı arkadaşını doğum günü partisine davet eder: Bora, Cenk, Derya, Ebru, Fahri ve Gazi Soru Hepsi birbirleriyle tokalaştığına göre toplam kaç tokalaşma olmuştur. 2/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
4 Ayşe nin Doğum Günü Partisi Bora Ben 6 kişi ile tokalaştım. Aslında her birimiz 6 kişi ile tokalaştı. Toplamda 7 kişi olduğumuza göre tokalaşma olmuştur. 7 6 = 42 3/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
5 Ayşe nin Doğum Günü Partisi Bora Ben 6 kişi ile tokalaştım. Aslında her birimiz 6 kişi ile tokalaştı. Toplamda 7 kişi olduğumuza göre tokalaşma olmuştur. 7 6 = 42 Derya Bu sayı fazla gibi! Senin yaklaşımını kullanırsak 2 kişilik bir grupta toplam 2 tokalaşma olurdu ki bu doğru değil (2 kişi içerisinde 1 tokalaşma olur). Her tokalaşma iki kez sayılıyor! Bu nedenle Bora nın bulduğu sayı 2 ye bölünmeli. Yani, = 42 2 = 21 tokalaşma yapıldı. 3/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
6 Ayşe nin Doğum Günü Partisi Davetlilerin masada nereye oturacağına dair bir anlaşmazlık çıkar (Herkes Ayşe nin yanına oturmak istiyor). Bunun üzerine, 4/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
7 Ayşe nin Doğum Günü Partisi Davetlilerin masada nereye oturacağına dair bir anlaşmazlık çıkar (Herkes Ayşe nin yanına oturmak istiyor). Bunun üzerine, Ayşe Her yarım saatte bir yerlerimizi değiştirelim. Ta ki herkes her yere oturuncaya kadar. 4/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
8 Ayşe nin Doğum Günü Partisi Davetlilerin masada nereye oturacağına dair bir anlaşmazlık çıkar (Herkes Ayşe nin yanına oturmak istiyor). Bunun üzerine, Ayşe Her yarım saatte bir yerlerimizi değiştirelim. Ta ki herkes her yere oturuncaya kadar. Gazi bu senin doğum günü partin olduğuna göre sen hep baş köşede oturmalısın. 4/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
9 Ayşe nin Doğum Günü Partisi Davetlilerin masada nereye oturacağına dair bir anlaşmazlık çıkar (Herkes Ayşe nin yanına oturmak istiyor). Bunun üzerine, Soru Ayşe Her yarım saatte bir yerlerimizi değiştirelim. Ta ki herkes her yere oturuncaya kadar. Gazi bu senin doğum günü partin olduğuna göre sen hep baş köşede oturmalısın. Bu durumda Ayşe nin yeri sabit kalmak şartıyla kaç farklı oturuş düzeni mümkündür? 4/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
10 Ayşe nin Doğum Günü Partisi Ayşe nin sağına (ilk sandalyeye) 6 davetliden herhangi birisi oturabilir. 5/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
11 Ayşe nin Doğum Günü Partisi Ayşe nin sağına (ilk sandalyeye) 6 davetliden herhangi birisi oturabilir. Şimdi ikinci sandalyeyi düşünelim: 5/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
12 Ayşe nin Doğum Günü Partisi Ayşe nin sağına (ilk sandalyeye) 6 davetliden herhangi birisi oturabilir. Şimdi ikinci sandalyeyi düşünelim: 1 Eğer Bora ilk sandalyede ise ikinci sandalyeye kalan 5 davetliden herhangi biri oturabilir. 5/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
13 Ayşe nin Doğum Günü Partisi Ayşe nin sağına (ilk sandalyeye) 6 davetliden herhangi birisi oturabilir. Şimdi ikinci sandalyeyi düşünelim: 1 Eğer Bora ilk sandalyede ise ikinci sandalyeye kalan 5 davetliden herhangi biri oturabilir. 2 Eğer Cenk ilk sandalyede ise ikinci sandalyeye kalan 5 davetliden herhangi biri oturabilir. 5/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
14 Ayşe nin Doğum Günü Partisi Ayşe nin sağına (ilk sandalyeye) 6 davetliden herhangi birisi oturabilir. Şimdi ikinci sandalyeyi düşünelim:. 1 Eğer Bora ilk sandalyede ise ikinci sandalyeye kalan 5 davetliden herhangi biri oturabilir. 2 Eğer Cenk ilk sandalyede ise ikinci sandalyeye kalan 5 davetliden herhangi biri oturabilir. 6 Eğer Gazi ilk sandalyede ise ikinci sandalyeye kalan 5 davetliden herhangi biri oturabilir. 5/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
15 Ayşe nin Doğum Günü Partisi Ayşe nin sağına (ilk sandalyeye) 6 davetliden herhangi birisi oturabilir. Şimdi ikinci sandalyeyi düşünelim:. 1 Eğer Bora ilk sandalyede ise ikinci sandalyeye kalan 5 davetliden herhangi biri oturabilir. 2 Eğer Cenk ilk sandalyede ise ikinci sandalyeye kalan 5 davetliden herhangi biri oturabilir. 6 Eğer Gazi ilk sandalyede ise ikinci sandalyeye kalan 5 davetliden herhangi biri oturabilir. O halde ilk iki sandalye için farklı durum söz konusudur. }{{} 5 + }{{} }{{} 5 = 6 5 = 30 Bora Cenk Gazi 5/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
16 Ayşe nin Doğum Günü Partisi Şimdi ilk iki sandalyede kim oturursa otursun 3. sandalye için benzer şekilde 4 farklı durumun söz konusu olduğunu söyleyebiliriz. Buradan ilk üç sandalye için = 120 farklı durum ortaya çıkar. 6/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
17 Ayşe nin Doğum Günü Partisi Şimdi ilk iki sandalyede kim oturursa otursun 3. sandalye için benzer şekilde 4 farklı durumun söz konusu olduğunu söyleyebiliriz. Buradan ilk üç sandalye için = 120 farklı durum ortaya çıkar. Bu şekilde devam edilecek olursa, = 720 farklı biçimde oturulabilir. Her yarım saatte bir yer değiştirseler bu 360 saat yani 15 gün eder. 6/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
18 Ayşe nin Doğum Günü Partisi Şimdi ilk iki sandalyede kim oturursa otursun 3. sandalye için benzer şekilde 4 farklı durumun söz konusu olduğunu söyleyebiliriz. Buradan ilk üç sandalye için = 120 farklı durum ortaya çıkar. Bu şekilde devam edilecek olursa, = 720 farklı biçimde oturulabilir. Her yarım saatte bir yer değiştirseler bu 360 saat yani 15 gün eder. Soru Ayşe de herhangi bir yere oturabilseydi kaç farklı oturma düzeni söz konusu olurdu? 6/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
19 Ayşe nin Doğum Günü Partisi Şimdi ilk iki sandalyede kim oturursa otursun 3. sandalye için benzer şekilde 4 farklı durumun söz konusu olduğunu söyleyebiliriz. Buradan ilk üç sandalye için = 120 farklı durum ortaya çıkar. Bu şekilde devam edilecek olursa, = 720 farklı biçimde oturulabilir. Her yarım saatte bir yer değiştirseler bu 360 saat yani 15 gün eder. Soru Ayşe de herhangi bir yere oturabilseydi kaç farklı oturma düzeni söz konusu olurdu? Ayşe nin oturduğu sandalyeye partideki 7 kişiden herhangi birisi oturabileceği, onun yanındaki sandalyeye kalan 6 kişiden herhangi biri oturabileceği,... için = /58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
20 Ayşe nin Doğum Günü Partisi Dans zamanı! Soru Çiftler bir kız ve bir erkekten oluşmak kaydıyla kaç farklı çift oluşturulabilir? 7/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
21 Ayşe nin Doğum Günü Partisi Dans zamanı! Soru Çiftler bir kız ve bir erkekten oluşmak kaydıyla kaç farklı çift oluşturulabilir? 3 kız (Ayşe, Derya, Ebru) ve 4 erkek (Bora, Cenk, Fahri, Gazi) olduğuna göre 3 4 = 12 farklı çift oluşturulabilir. 7/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
22 Ayşe nin Doğum Günü Partisi Fahri Herkes parasını ortaya koysun ve sayısal loto oynayalım. Uygun sayıda kupon doldurursak hangi sayılar çekilirse çekilsin büyük ikramiyeyi kazanabiliriz. (Baya uyanıkmış!) 8/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
23 Ayşe nin Doğum Günü Partisi Fahri Herkes parasını ortaya koysun ve sayısal loto oynayalım. Uygun sayıda kupon doldurursak hangi sayılar çekilirse çekilsin büyük ikramiyeyi kazanabiliriz. (Baya uyanıkmış!) Sayısal lotoda büyük ikramiyenin kazanılabilmesi için katılımcıların 1, 2,..., 49 sayıları içerisinden belirlenecek olan 6 sayıyı bilmesi gerekir. 8/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
24 Ayşe nin Doğum Günü Partisi Fahri Herkes parasını ortaya koysun ve sayısal loto oynayalım. Uygun sayıda kupon doldurursak hangi sayılar çekilirse çekilsin büyük ikramiyeyi kazanabiliriz. (Baya uyanıkmış!) Sayısal lotoda büyük ikramiyenin kazanılabilmesi için katılımcıların 1, 2,..., 49 sayıları içerisinden belirlenecek olan 6 sayıyı bilmesi gerekir. Soru Büyük ikramiyenin kazanılabilmesi için kaç farklı kolon oynamak gerekir? 8/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
25 Ayşe nin Doğum Günü Partisi Gazi Az önceki farklı oturuş problemine benziyor: 9/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
26 Ayşe nin Doğum Günü Partisi Gazi Az önceki farklı oturuş problemine benziyor: Ayşe bir sayı belirlesin ve kuponu Bora ya versin. Bora da bir sayı belirleyip Cenk e ve bu şekilde devam edelim. Böylece, Ayşe nin 49 seçeneği var. Ayşe hangi sayıyı seçerse seçsin Bora kalan 48 sayıdan birini seçebilir. Böyle devam edersek, farklı kolon oynamamız gerekir. 9/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
27 Ayşe nin Doğum Günü Partisi Gazi Az önceki farklı oturuş problemine benziyor: Ayşe bir sayı belirlesin ve kuponu Bora ya versin. Bora da bir sayı belirleyip Cenk e ve bu şekilde devam edelim. Böylece, Ayşe nin 49 seçeneği var. Ayşe hangi sayıyı seçerse seçsin Bora kalan 48 sayıdan birini seçebilir. Böyle devam edersek, farklı kolon oynamamız gerekir. Ayşe Gazi yanılıyorsun! Bu daha çok el sıkışma problemine benziyor. 9/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
28 Ayşe nin Doğum Günü Partisi Ayşe Eğer senin söylediğin yöntemi kullanırsak aynı kolonu birden Ayşe Bora... fazla kez oynayabiliriz. Mesela, seçmiş Ayşe Bora... olsun. Bir sonraki seferde olması mümkün. 10/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
29 Ayşe nin Doğum Günü Partisi Ayşe Eğer senin söylediğin yöntemi kullanırsak aynı kolonu birden Ayşe Bora... fazla kez oynayabiliriz. Mesela, seçmiş Ayşe Bora... olsun. Bir sonraki seferde olması mümkün. Cenk Peki 7, 23, 31, 34, 40 ve 48 sayılarından oluşan kolon bu yöntemle kaç kez elde edilir? 10/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
30 Ayşe nin Doğum Günü Partisi Ayşe Eğer senin söylediğin yöntemi kullanırsak aynı kolonu birden Ayşe Bora... fazla kez oynayabiliriz. Mesela, seçmiş Ayşe Bora... olsun. Bir sonraki seferde olması mümkün. Cenk Peki 7, 23, 31, 34, 40 ve 48 sayılarından oluşan kolon bu yöntemle kaç kez elde edilir? Ayşe bu 6 sayıdan herhangi birisini işaretlediğinde Bora kalan 5 sayıdan herhangi birisini işaretleyebilir. Buna göre bu sayılardan oluşan kolon bu yöntemle kez elde edilir /58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
31 Ayşe nin Doğum Günü Partisi O halde kolon içerisindeki her bir kolon kez tekrar ettiğinden farklı kolon söz konusudur = Bu kadar kolonu oynamaya ne para yeter ne de zaman! 11/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
32 Ayşe nin Doğum Günü Partisi Sayısal lotodan vazgeçip Ayşe, Bora, Cenk ve Derya briç oynamaya karar verirler. 12/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
33 Ayşe nin Doğum Günü Partisi Sayısal lotodan vazgeçip Ayşe, Bora, Cenk ve Derya briç oynamaya karar verirler. Cenk Bana yine aynı el geldi! 12/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
34 Ayşe nin Doğum Günü Partisi Sayısal lotodan vazgeçip Ayşe, Bora, Cenk ve Derya briç oynamaya karar verirler. Cenk Bana yine aynı el geldi! Derya Bu çok zor bir ihtimal! 12/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
35 Ayşe nin Doğum Günü Partisi Sayısal lotodan vazgeçip Ayşe, Bora, Cenk ve Derya briç oynamaya karar verirler. Cenk Bana yine aynı el geldi! Derya Bu çok zor bir ihtimal! Briç, bir deste (52 kart) kağıdın oyunculara 13 er 13 er dağıtılmasıyla oynanan bir oyun olduğuna göre, Soru Briçte kaç farklı el söz konusudur? 12/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
36 Ayşe nin Doğum Günü Partisi Sayısal lotodan vazgeçip Ayşe, Bora, Cenk ve Derya briç oynamaya karar verirler. Cenk Bana yine aynı el geldi! Derya Bu çok zor bir ihtimal! Briç, bir deste (52 kart) kağıdın oyunculara 13 er 13 er dağıtılmasıyla oynanan bir oyun olduğuna göre, Soru Briçte kaç farklı el söz konusudur? Ayşe Loto probleminin bir benzeri: Cenk in kartları birer birer aldığını düşünelim. İlk kart destedeki 52 karttan herhangi birisi olabilir. İlk kart ne olursa olsun ikinci kart kalan 51 karttan biri olabilir. Böyle devam edilecek olursa 13 kart için farklı durum söz konusudur /58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
37 Ayşe nin Doğum Günü Partisi Derya Ancak bu durumda her el yine birden fazla kez sayılmış olur. 13/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
38 Ayşe nin Doğum Günü Partisi Derya Ancak bu durumda her el yine birden fazla kez sayılmış olur. Gerçekten de Cenk elindeki kağıtları dizip kağıtları Ebru ya gösterse Ebru kağıtların hangi sırada geldiğini bilemez. Tahmin etmeye çalışsa ilk kart için 13, ikinci kağıt için 12, bu şekilde devam edilse Cenk bu kağıtları farklı sırada almış olabilir. Bu durumda briçteki farklı el sayısı = olur. Gördüğün gibi bu ihtimal gerçekten çok az. 13/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
39 Ayşe nin Doğum Günü Partisi Sonuçta 6 davetli satranç oynamaya karar verirler (Ayşe hakem olur). 14/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
40 Ayşe nin Doğum Günü Partisi Sonuçta 6 davetli satranç oynamaya karar verirler (Ayşe hakem olur). Soru Bu durumda birbirleriyle kaç farklı maç yapabilirler? 14/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
41 Ayşe nin Doğum Günü Partisi Sonuçta 6 davetli satranç oynamaya karar verirler (Ayşe hakem olur). Soru Bu durumda birbirleriyle kaç farklı maç yapabilirler? A B C 8 0Z0Z0Z0Z 7 Z0Z0Z0Z0 6 0Z0Z0Z0Z 5 Z0Z0Z0Z0 4 0Z0Z0Z0Z 3 Z0Z0ZkZ0 2 0Z0ZqZ0Z 1 Z0Z0J0Z0 a b c d e f g h 8 0Z0Z0Z0Z 7 Z0Z0Z0Z0 6 0Z0Z0Z0Z 5 Z0Z0Z0Z0 4 0Z0Z0Z0Z 3 Z0Z0ZkZ0 2 0Z0ZqZ0Z 1 Z0Z0J0Z0 a b c d e f g h 8 0Z0Z0Z0Z 7 Z0Z0Z0Z0 6 0Z0Z0Z0Z 5 Z0Z0Z0Z0 4 0Z0Z0Z0Z 3 Z0Z0Z0Z0 2 0Z0Z0Z0Z 1 Z0ZQJ0S0 a b c d e f g h 14/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
42 Ayşe nin Doğum Günü Partisi Bora Bu problem daha önce tartıştığımız oturma düzeni ile ilgili probleme benziyor. 6 kişi 6 sandalyeye kaç farklı şekilde oturabilir? Bu sorunun cevabının da 720 olduğunu söylemiştik. 15/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
43 Ayşe nin Doğum Günü Partisi Bora Bu problem daha önce tartıştığımız oturma düzeni ile ilgili probleme benziyor. 6 kişi 6 sandalyeye kaç farklı şekilde oturabilir? Bu sorunun cevabının da 720 olduğunu söylemiştik. Cenk Ancak aynı satranç tahtası başındaki iki kişinin yer değiştirmesi bir şeyi değiştirmez. Bora nın söylediği sayı doğru değil! Fazla! 15/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
44 Ayşe nin Doğum Günü Partisi Bora Bu problem daha önce tartıştığımız oturma düzeni ile ilgili probleme benziyor. 6 kişi 6 sandalyeye kaç farklı şekilde oturabilir? Bu sorunun cevabının da 720 olduğunu söylemiştik. Cenk Ancak aynı satranç tahtası başındaki iki kişinin yer değiştirmesi bir şeyi değiştirmez. Bora nın söylediği sayı doğru değil! Fazla! Derya Hatta aynı iki kişi A masasında da oynasa, B masasında da oynasa bir şey değişmeyecektir. 15/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
45 Ayşe nin Doğum Günü Partisi Ebru O halde bu 3 masa değişik şekilde yerleştirilebileceğinden ve masalardaki kişiler iki değişik şekilde oturabileceğinden aynı çiftler = 8 farklı oturuş şekliyle masada aynı maçı yapacaklar. 16/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
46 Ayşe nin Doğum Günü Partisi Ebru O halde bu 3 masa değişik şekilde yerleştirilebileceğinden ve masalardaki kişiler iki değişik şekilde oturabileceğinden aynı çiftler = 8 farklı oturuş şekliyle masada aynı maçı yapacaklar. Fahri Dolayısıyla aynı maç serisi için 6 8 = 48 farklı yerleşim düzeni mümkündür. Böylece (2 2 2) (3 2 1) = = 15 farklı şekilde maç yapabilirler. 16/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
47 Kümeler Saymanın Temelleri Kümeler Tanım Nesnelerin bir (iyi tanımlanmış) topluluğuna küme denir. Bir kümeyi oluşturan nesnelere ise bu kümenin elemanları denir. 17/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
48 Kümeler Saymanın Temelleri Kümeler Tanım Nesnelerin bir (iyi tanımlanmış) topluluğuna küme denir. Bir kümeyi oluşturan nesnelere ise bu kümenin elemanları denir. Örnek Bir iskambil destesinde bulunan kartlar. 17/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
49 Kümeler Saymanın Temelleri Kümeler Tanım Nesnelerin bir (iyi tanımlanmış) topluluğuna küme denir. Bir kümeyi oluşturan nesnelere ise bu kümenin elemanları denir. Örnek Bir iskambil destesinde bulunan kartlar. Ayşe nin doğum günü partisine katılanlar (Bu kümeyi P ile gösterelim). 17/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
50 Kümeler Saymanın Temelleri Kümeler Tanım Nesnelerin bir (iyi tanımlanmış) topluluğuna küme denir. Bir kümeyi oluşturan nesnelere ise bu kümenin elemanları denir. Örnek Bir iskambil destesinde bulunan kartlar. Ayşe nin doğum günü partisine katılanlar (Bu kümeyi P ile gösterelim). 6 sayıdan oluşan sayısal loto kolonları. 17/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
51 Kümeler Saymanın Temelleri Kümeler Tanım Nesnelerin bir (iyi tanımlanmış) topluluğuna küme denir. Bir kümeyi oluşturan nesnelere ise bu kümenin elemanları denir. Örnek Bir iskambil destesinde bulunan kartlar. Ayşe nin doğum günü partisine katılanlar (Bu kümeyi P ile gösterelim). 6 sayıdan oluşan sayısal loto kolonları. R, gerçel sayılar kümesi. 17/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
52 Kümeler Saymanın Temelleri Kümeler Tanım Nesnelerin bir (iyi tanımlanmış) topluluğuna küme denir. Bir kümeyi oluşturan nesnelere ise bu kümenin elemanları denir. Örnek Bir iskambil destesinde bulunan kartlar. Ayşe nin doğum günü partisine katılanlar (Bu kümeyi P ile gösterelim). 6 sayıdan oluşan sayısal loto kolonları. R, gerçel sayılar kümesi. Q, rasyonel sayılar kümesi. 17/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
53 Kümeler Saymanın Temelleri Kümeler Tanım Nesnelerin bir (iyi tanımlanmış) topluluğuna küme denir. Bir kümeyi oluşturan nesnelere ise bu kümenin elemanları denir. Örnek Bir iskambil destesinde bulunan kartlar. Ayşe nin doğum günü partisine katılanlar (Bu kümeyi P ile gösterelim). 6 sayıdan oluşan sayısal loto kolonları. R, gerçel sayılar kümesi. Q, rasyonel sayılar kümesi. Z, tam sayılar kümesi. 17/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
54 Kümeler Saymanın Temelleri Kümeler Tanım Nesnelerin bir (iyi tanımlanmış) topluluğuna küme denir. Bir kümeyi oluşturan nesnelere ise bu kümenin elemanları denir. Örnek Bir iskambil destesinde bulunan kartlar. Ayşe nin doğum günü partisine katılanlar (Bu kümeyi P ile gösterelim). 6 sayıdan oluşan sayısal loto kolonları. R, gerçel sayılar kümesi. Q, rasyonel sayılar kümesi. Z, tam sayılar kümesi. Z +, negatif olmayan tam sayılar kümesi. 17/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
55 Kümeler Saymanın Temelleri Kümeler Tanım Nesnelerin bir (iyi tanımlanmış) topluluğuna küme denir. Bir kümeyi oluşturan nesnelere ise bu kümenin elemanları denir. Örnek Bir iskambil destesinde bulunan kartlar. Ayşe nin doğum günü partisine katılanlar (Bu kümeyi P ile gösterelim). 6 sayıdan oluşan sayısal loto kolonları. R, gerçel sayılar kümesi. Q, rasyonel sayılar kümesi. Z, tam sayılar kümesi. Z +, negatif olmayan tam sayılar kümesi. N, pozitif tam sayılar (doğal sayılar) kümesi. 17/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
56 Kümeler Saymanın Temelleri Kümeler Tanım Nesnelerin bir (iyi tanımlanmış) topluluğuna küme denir. Bir kümeyi oluşturan nesnelere ise bu kümenin elemanları denir. Örnek Bir iskambil destesinde bulunan kartlar. Ayşe nin doğum günü partisine katılanlar (Bu kümeyi P ile gösterelim). 6 sayıdan oluşan sayısal loto kolonları. R, gerçel sayılar kümesi. Q, rasyonel sayılar kümesi. Z, tam sayılar kümesi. Z +, negatif olmayan tam sayılar kümesi. N, pozitif tam sayılar (doğal sayılar) kümesi., boş küme. 17/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
57 Kümeler A bir küme ve b de bu kümenin bir elemanı ise bu durum b A 18/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
58 Kümeler A bir küme ve b de bu kümenin bir elemanı ise bu durum b A, elemanı değil ise b / A şeklinde gösterilir. 18/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
59 Kümeler A bir küme ve b de bu kümenin bir elemanı ise bu durum b A, elemanı değil ise b / A şeklinde gösterilir. Bir A kümesinin eleman sayısı A ile gösterilir (bazı kaynaklarda n(a) gösterimi de kullanılmaktadır). 18/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
60 Kümeler A bir küme ve b de bu kümenin bir elemanı ise bu durum b A, elemanı değil ise b / A şeklinde gösterilir. Bir A kümesinin eleman sayısı A ile gösterilir (bazı kaynaklarda n(a) gösterimi de kullanılmaktadır). Buna göre P = 7, Z = ve = 0 olur. 18/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
61 Kümeler A bir küme ve b de bu kümenin bir elemanı ise bu durum b A, elemanı değil ise b / A şeklinde gösterilir. Bir A kümesinin eleman sayısı A ile gösterilir (bazı kaynaklarda n(a) gösterimi de kullanılmaktadır). Buna göre P = 7, Z = ve = 0 olur. Kümeler P = {Ayşe,Bora,Cenk,Derya,Ebru,Fahri,Gazi} şeklinde elemanları (küme) parantez(i) içerisinde listelenerek 18/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
62 Kümeler A bir küme ve b de bu kümenin bir elemanı ise bu durum b A, elemanı değil ise b / A şeklinde gösterilir. Bir A kümesinin eleman sayısı A ile gösterilir (bazı kaynaklarda n(a) gösterimi de kullanılmaktadır). Buna göre P = 7, Z = ve = 0 olur. Kümeler P = {Ayşe,Bora,Cenk,Derya,Ebru,Fahri,Gazi} şeklinde elemanları (küme) parantez(i) içerisinde listelenerek ya da şeklinde sözle de tanımlanabilir. P = {Ayşe ve misafirleri} 18/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
63 Kümeler Kümeler çoğunlukla daha geniş bir kümenin bazı özelliklerini sağlayan elemanlarının topluluğu olarak tanımlanır. 19/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
64 Kümeler Kümeler çoğunlukla daha geniş bir kümenin bazı özelliklerini sağlayan elemanlarının topluluğu olarak tanımlanır. Bu durum yine küme parantezi ve : simgesi (bazen de simgesi) yardımıyla gösterilir. {x Z : x 0} = Z +, {x P : x erkek} = {Bora,Cenk,Fahri,Gazi} = E 19/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
65 Kümeler Bir A kümesinin her elemanı B kümesinin de elemanıysa A kümesi B kümesinin alt kümesidir denir (A kümesi B kümesinin tüm elemanlarını bulundurabileceği gibi hiç birisini de bulundurmayabilir). 20/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
66 Kümeler Bir A kümesinin her elemanı B kümesinin de elemanıysa A kümesi B kümesinin alt kümesidir denir (A kümesi B kümesinin tüm elemanlarını bulundurabileceği gibi hiç birisini de bulundurmayabilir). A kümesi B kümesinin alt kümesi ise bu durumu A B şeklinde göstereceğiz. 20/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
67 Kümeler Bir A kümesinin her elemanı B kümesinin de elemanıysa A kümesi B kümesinin alt kümesidir denir (A kümesi B kümesinin tüm elemanlarını bulundurabileceği gibi hiç birisini de bulundurmayabilir). A kümesi B kümesinin alt kümesi ise bu durumu A B şeklinde göstereceğiz. Yukarıda tanımlanan kümelere göre, olur. E P, N Z + Z Q R 20/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
68 Kümeler Bir A kümesinin her elemanı B kümesinin de elemanıysa A kümesi B kümesinin alt kümesidir denir (A kümesi B kümesinin tüm elemanlarını bulundurabileceği gibi hiç birisini de bulundurmayabilir). A kümesi B kümesinin alt kümesi ise bu durumu A B şeklinde göstereceğiz. Yukarıda tanımlanan kümelere göre, olur. E P, N Z + Z Q R A B gösterimiyle A kümesinin B kümesinin alt kümesi olduğu ancak B kümesinin tüm elemanlarını bulundurmadığı ifade edilecektir. Dolayısıyla yukarıdaki sayı kümeleri için kullanılan simgesi simgesiyle değiştirilebilir. 20/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
69 Kümeler Verilen iki küme yardımıyla yeni kümeler tanımlayabiliriz: 21/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
70 Kümeler Verilen iki küme yardımıyla yeni kümeler tanımlayabiliriz: İki kümenin arakesiti (kesişimi) her iki kümeye de ait olan elemanların kümesidir. 21/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
71 Kümeler Verilen iki küme yardımıyla yeni kümeler tanımlayabiliriz: İki kümenin arakesiti (kesişimi) her iki kümeye de ait olan elemanların kümesidir. A ve B kümelerinin arakesiti A B şeklinde gösterilir. 21/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
72 Kümeler Verilen iki küme yardımıyla yeni kümeler tanımlayabiliriz: İki kümenin arakesiti (kesişimi) her iki kümeye de ait olan elemanların kümesidir. A ve B kümelerinin arakesiti A B şeklinde gösterilir.d = {x P : x 21 yaşından büyük} = {Ayşe,Bora,Cenk} olsun. D E = {Bora,Cenk} olur. 21/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
73 Kümeler Verilen iki küme yardımıyla yeni kümeler tanımlayabiliriz: İki kümenin arakesiti (kesişimi) her iki kümeye de ait olan elemanların kümesidir. A ve B kümelerinin arakesiti A B şeklinde gösterilir.d = {x P : x 21 yaşından büyük} = {Ayşe,Bora,Cenk} olsun. D E = {Bora,Cenk} olur. Arakesiti boş küme olan kümelere ayrık kümeler denir. 21/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
74 Kümeler Verilen iki küme yardımıyla yeni kümeler tanımlayabiliriz: İki kümenin arakesiti (kesişimi) her iki kümeye de ait olan elemanların kümesidir. A ve B kümelerinin arakesiti A B şeklinde gösterilir.d = {x P : x 21 yaşından büyük} = {Ayşe,Bora,Cenk} olsun. D E = {Bora,Cenk} olur. Arakesiti boş küme olan kümelere ayrık kümeler denir. İki kümenin birleşimi ise elemanları en az bu iki kümenin birinde olan kümedir. 21/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
75 Kümeler Verilen iki küme yardımıyla yeni kümeler tanımlayabiliriz: İki kümenin arakesiti (kesişimi) her iki kümeye de ait olan elemanların kümesidir. A ve B kümelerinin arakesiti A B şeklinde gösterilir.d = {x P : x 21 yaşından büyük} = {Ayşe,Bora,Cenk} olsun. D E = {Bora,Cenk} olur. Arakesiti boş küme olan kümelere ayrık kümeler denir. İki kümenin birleşimi ise elemanları en az bu iki kümenin birinde olan kümedir. A ve B kümelerinin birleşimi A B şeklinde gösterilir. 21/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
76 Kümeler Verilen iki küme yardımıyla yeni kümeler tanımlayabiliriz: İki kümenin arakesiti (kesişimi) her iki kümeye de ait olan elemanların kümesidir. A ve B kümelerinin arakesiti A B şeklinde gösterilir.d = {x P : x 21 yaşından büyük} = {Ayşe,Bora,Cenk} olsun. D E = {Bora,Cenk} olur. Arakesiti boş küme olan kümelere ayrık kümeler denir. İki kümenin birleşimi ise elemanları en az bu iki kümenin birinde olan kümedir. A ve B kümelerinin birleşimi A B şeklinde gösterilir. D E = {Ayşe,Bora,Cenk,Fahri,Gazi} A ve B kümelerinin farkı ise A kümesine ait olup B kümesine ait olmayan elemanların kümesidir. D\E = {Ayşe} 21/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
77 Kümeler A ve B kümelerinin simetrik farkı ise yalnızca A ya da yalnızca B kümesine ait olan elemanların kümesidir. 22/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
78 Kümeler A ve B kümelerinin simetrik farkı ise yalnızca A ya da yalnızca B kümesine ait olan elemanların kümesidir. A ve B kümelerinin simetrik farkı A B ile gösterilir. D E = {Ayşe, Fahri, Gazi} Kümeler üzerindeki kesişim, birleşim ve fark işlemleri sayılar üzerindeki toplama, çarpma ve çıkarma işlemlerine benzer. 22/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
79 Kümeler A ve B kümelerinin simetrik farkı ise yalnızca A ya da yalnızca B kümesine ait olan elemanların kümesidir. A ve B kümelerinin simetrik farkı A B ile gösterilir. D E = {Ayşe, Fahri, Gazi} Kümeler üzerindeki kesişim, birleşim ve fark işlemleri sayılar üzerindeki toplama, çarpma ve çıkarma işlemlerine benzer. Sayılar üzerindeki bu işlemlere benzer olarak kümeler üzerindeki işlemler de bazı kurallara uymak zorundadır. Örneğin, olur. A (B C) = (A B) (A C) (1) 22/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
80 Kümeler (1) eşitliğinin doğruluğunu göstermek için eşitliğin sol tarafındaki keyfi bir elemanın eşitliğin sağ tarafındaki kümeye ait olduğunu ve eşitliğin sağ tarafındaki keyfi bir elemanın da eşitliğin sol tarafındaki kümeye ait olduğunun gösterilmesi gerekir. 23/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
81 Kümeler (1) eşitliğinin doğruluğunu göstermek için eşitliğin sol tarafındaki keyfi bir elemanın eşitliğin sağ tarafındaki kümeye ait olduğunu ve eşitliğin sağ tarafındaki keyfi bir elemanın da eşitliğin sol tarafındaki kümeye ait olduğunun gösterilmesi gerekir. x A (B C) ise x A ve x B C olur. 23/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
82 Kümeler (1) eşitliğinin doğruluğunu göstermek için eşitliğin sol tarafındaki keyfi bir elemanın eşitliğin sağ tarafındaki kümeye ait olduğunu ve eşitliğin sağ tarafındaki keyfi bir elemanın da eşitliğin sol tarafındaki kümeye ait olduğunun gösterilmesi gerekir. x A (B C) ise x A ve x B C olur. x A ve x B veya x C olur. 23/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
83 Kümeler (1) eşitliğinin doğruluğunu göstermek için eşitliğin sol tarafındaki keyfi bir elemanın eşitliğin sağ tarafındaki kümeye ait olduğunu ve eşitliğin sağ tarafındaki keyfi bir elemanın da eşitliğin sol tarafındaki kümeye ait olduğunun gösterilmesi gerekir. x A (B C) ise x A ve x B C olur. x A ve x B veya x C olur. x B ise x A B olur. O halde x (A B) (A C) dir. 23/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
84 Kümeler (1) eşitliğinin doğruluğunu göstermek için eşitliğin sol tarafındaki keyfi bir elemanın eşitliğin sağ tarafındaki kümeye ait olduğunu ve eşitliğin sağ tarafındaki keyfi bir elemanın da eşitliğin sol tarafındaki kümeye ait olduğunun gösterilmesi gerekir. x A (B C) ise x A ve x B C olur. x A ve x B veya x C olur. x B ise x A B olur. O halde x (A B) (A C) dir. x C ise x A C olur. O halde x (A B) (A C) dir. 23/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
85 Kümeler (1) eşitliğinin doğruluğunu göstermek için eşitliğin sol tarafındaki keyfi bir elemanın eşitliğin sağ tarafındaki kümeye ait olduğunu ve eşitliğin sağ tarafındaki keyfi bir elemanın da eşitliğin sol tarafındaki kümeye ait olduğunun gösterilmesi gerekir. x A (B C) ise x A ve x B C olur. x A ve x B veya x C olur. x B ise x A B olur. O halde x (A B) (A C) dir. x C ise x A C olur. O halde x (A B) (A C) dir. Benzer şekilde, olur. x (A B) (A C) ise x (A B) veya x (A C) 23/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
MAT239 AYRIK MATEMATİK
MAT239 AYRIK MATEMATİK 1. Bölüm Emrah Akyar Eskişehir Teknik Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü, ESKİŞEHİR 2018 2019 Öğretim Yılı Ayşe nin Doğum Günü Partisi Ayşe nin Doğum Günü Partisi Ayşe altı
MAT223 AYRIK MATEMATİK
MAT223 AYRIK MATEMATİK Kombinatoryal Olasılık 5. Bölüm Emrah Akyar Anadolu Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü, ESKİŞEHİR 2014 2015 Öğretim Yılı Olaylar ve Olasılıklar Kombinatoryal Olasılık Olaylar
PERMÜTASYON, KOMBİNASYON. Örnek: Örnek: Örnek:
SAYMANIN TEMEL KURALLARI Toplama Kuralı : Sonlu ve ayrık kümelerin eleman sayılarının toplamı, bu kümelerin birleşimlerinin eleman sayısına eşittir. Mesela, sonlu ve ayrık iki küme A ve B olsun. s(a)=
MAT223 AYRIK MATEMATİK
MAT223 AYRIK MATEMATİK Saymanın Temelleri 1. Bölüm Emrah Akyar Anadolu Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü, ESKİŞEHİR 2014 2015 Öğretim Yılı Ayşe nin Doğum Günü Partisi Saymanın Temelleri Ayşe
MATEMATİK. Doç Dr Murat ODUNCUOĞLU
MATEMATİK Doç Dr Murat ODUNCUOĞLU Mesleki Matematik 1 TEMEL KAVRAMLAR RAKAM Sayıları yazmak için kullandığımız işaretlere rakam denir. Sayıları ifade etmeye yarayan sembollere rakam denir. Rakamlar 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
Ders 2: Küme Teorisi, Örnek Uzay, Permütasyonlar ve Kombinasyonlar
Ders 2: Küme Teorisi, Örnek Uzay, Permütasyonlar ve Kombinasyonlar Küme Kavramı Küme İşlemleri Deney, Örnek Uzay, Örnek Nokta ve Olay Kavramları Örnek Noktaları Sayma Permütasyonlar Kombinasyonlar Parçalanmalar
Temel Kavramlar 1 Doğal sayılar: N = {0, 1, 2, 3,.,n, n+1,..} kümesinin her bir elamanına doğal sayı denir ve N ile gösterilir.
Temel Kavramlar 1 Doğal sayılar: N = {0, 1, 2, 3,.,n, n+1,..} kümesinin her bir elamanına doğal sayı denir ve N ile gösterilir. a) Pozitif doğal sayılar: Sıfır olmayan doğal sayılar kümesine Pozitif Doğal
YENİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK PROGRAMINA UYGUNDUR. YGS MATEMATİK 3. KİTAP MERVE ÇELENK FİKRET ÇELENK
YENİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK PROGRAMINA UYGUNDUR. YGS MATEMATİK 3. KİTAP MERVE ÇELENK FİKRET ÇELENK İÇİNDEKİLER Kümeler 5 44 Fonksiyonlar 1 45 88 Fonksiyonlar 2 89 124 Sayma Kuralları 125 140 Faktöriyel
ÜNİTE 1: TEMEL KAVRAMLAR
MATEMATİK ÜNİTE : TEMEL KAVRAMLAR Temel Kavramlar ADF 0 RAKAM Sayı oluşturmak için kullanılan sembollere... denir. 0 luk sayma düzenindeki rakamlar 0,,,... 8 ve 9 olup 0 tanedir. örnek a, b, c sıfırdan
2. (v+w+x+y+z) 8 ifadesinin açılımında kaç terim vardır? 3. log 5 0, 69897 olduğuna göre 50 10 sayısı kaç basamaklıdır?
Ayrık Hesaplama Yapıları A GRUBU 3.03.0 Numarası Adı Soyadı : CEVAP : ANAHTARI SINAV YÖNERGESİ İşaretlemelerinizde kurşun kalem kullanınız. Soru ve cevap kağıtlarına numaranızı ve isminizi mürekkepli kalem
( ) (, ) Kombinasyon. Tanım: r n olmak üzere n elemanlı bir kümenin r elemanlı her alt kümesine bu n elemanın r li kombinasyonu denir.
Kombinasyon Tanım: r n olmak üzere n elemanlı bir kümenin r elemanlı her alt kümesine bu n elemanın r li kombinasyonu denir. n elemanın tüm r li kombinasyonlarının sayısı; (, ) C n r ( ) r n P n, r n!
sayıların kümesi N 1 = { 2i-1: i N } ve tüm çift doğal sayıların kümesi N 2 = { 2i: i N } şeklinde gösterilebilecektir. Hiç elemanı olmayan kümeye
KÜME AİLELERİ GİRİŞ Bu bölümde, bir çoğu daha önceden bilinen incelememiz için gerekli olan bilgileri vereceğiz. İlerde konular işlenirken karşımıza çıkacak kavram ve bilgileri bize yetecek kadarı ile
Buna göre, eşitliği yazılabilir. sayılara rasyonel sayılar denir ve Q ile gösterilir. , -, 2 2 = 1. sayıdır. 2, 3, 5 birer irrasyonel sayıdır.
TEMEL KAVRAMLAR RAKAM Bir çokluk belirtmek için kullanılan sembollere rakam denir. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sembolleri birer rakamdır. 2. TAMSAYILAR KÜMESİ Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,... }
2. (x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 ) 10 ifadesinin açılımında kaç terim vardır?
Numarası : Adı Soyadı : SINAV YÖNERGESİ İşaretlemelerinizde kurşun kalem kullanınız. Soru ve cevap kağıtlarına numaranızı ve isminizi mürekkepli kalem ile yazınız. Sınavın ilk 30 dakikasında sınıftan çıkılmayacaktır.
TEMEL SAYMA KURALLARI
TEMEL SAYMA KURALLARI SAYMA Toplama Yoluyla Sayma A ve B sonlu ve ayrık kümeler olmak üzere, bu iki kümenin birleşiminin eleman sayısı; s(a,b) = s(a) + s(b) dir. Sonlu ve ayrık iki kümenin birleşiminin
TABAN ARĠTMETĠĞĠ. ÇÖZÜM (324) 5 = = = = 89 bulunur. Doğru Seçenek C dir.
TABAN ARĠTMETĠĞĠ Kullandığımız 10 luk sayma sisteminde sayılar {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} kümesinin elemanları (Rakam) kullanılarak yazılır. En büyük elemanı 9 olan, 10 elemanlı bir kümedir. Onluk sistemde;
KÜMELER. İyi tanımlanmış nesneler topluluğuna küme denir. Bir küme, birbirinden farklı nesnelerden oluşur. Bu nesneler somut veya soyut olabilir.
1 KÜMELER İyi tanımlanmış nesneler topluluğuna küme denir. ir küme, birbirinden farklı nesnelerden oluşur. u nesneler somut veya soyut olabilir. Kümeyi oluşturan nesnelerin her birine eleman(öğe) denir.
SAYILAR DOĞAL VE TAM SAYILAR
1 SAYILAR DOĞAL VE TAM SAYILAR RAKAM: Sayıları ifade etmek için kullandığımız 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sembollerinden her birine rakam denir. Soru: a ve b farklı rakamlar olmak üzere a + b nin alabileceği
BMT 206 Ayrık Matematik. Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 1
BMT 206 Ayrık Matematik Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 1 Kümeler Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 2 Kümeler Kümeler Ayrık Matematiğin en temel konularından biridir Sayma problemleri için önemli Programlama dillerinin
1. BÖLÜM Mantık BÖLÜM Sayılar BÖLÜM Rasyonel Sayılar BÖLÜM I. Dereceden Denklemler ve Eşitsizlikler
ORGANİZASYON ŞEMASI 1. BÖLÜM Mantık... 7. BÖLÜM Sayılar... 13 3. BÖLÜM Rasyonel Sayılar... 93 4. BÖLÜM I. Dereceden Denklemler ve Eşitsizlikler... 103 5. BÖLÜM Mutlak Değer... 113 6. BÖLÜM Çarpanlara Ayırma...
A { x 3 x 9, x } kümesinin eleman sayısı A { x : x 1 3,x } kümesinin eleman sayısı KÜMELER
KÜMELER Küme, nesnelerin iyi tanımlanmış bir listesidir. Kümeyi oluşturan nesnelerin her birine kümenin elemanı denir. Kümeler genellikle A, B, C,... gibi büyük harflerle gösterilir. x nesnesi A kümesinin
Tanım 2.1. X boş olmayan bir küme olmak üzere X den X üzerine bire-bir fonksiyona permütasyon denir.
2. SİMETRİK GRUPLAR Tanım 2.1. X boş olmayan bir küme olmak üzere X den X üzerine bire-bir fonksiyona permütasyon denir. Tanım 2.2. boş olmayan bir küme olsun. ile den üzerine bire-bir fonksiyonlar kümesini
Starboard dosya aç dosyayı seçerek Andropi teach menu içe aktar dosyayı seçiyoruz nesne olarak seç
Not: Starboard programında dosya aç kısmından dosyayı seçerek açabilirsiniz. Yazı karakterlerinde bozulma oluyorsa program kapatılıp tekrar açıldığında yazı düzelecektir. Ben yaptığımda düzelmişti. Andropi
Dikkat: Bir eleman, her iki kümede de olsa bile sadece bir kez yazılır.
KÜMELER Kümelerin birleşimi (A B ): Kümelerin bütün elemanlarından oluşur. Kümelerin kesişimi (A B): Kümelerin ortak elemanlarından oluşur. Kümelerin Farkı (A \ B ) veya (A - B ): Birinci kümede olup ikinci
MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev
MATM 133 MATEMATİK LOJİK Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev 3.KONU Kümeler Teorisi; Küme işlemleri, İkili işlemler 1. Altküme 2. Evrensel Küme 3. Kümelerin Birleşimi 4. Kümelerin Kesişimi 5. Bir Kümenin Tümleyeni
A GRUBU Her bir yüzü düzgün beşgen olan düzgün 12-yüzlünün kaç ayrıtı vardır? A) 30 B) 24 C) 12 D) 36 E) 48
Numarası : Adı Soyadı : SINAV YÖNERGESİ 2. K 5 tam çizgesinin bir kenarı çıkarılarak elde edilen çizgenin köşe noktaları en az kaç renk ile boyanabilir? A) 3 B) 4 C) 2 D) 5 E) 6 İşaretlemelerinizde kurşun
KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 2. ÜNİTE 1. ÜNİT
KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 2. ÜNİTE 1. ÜNİT Kümelerde Temel Kavramlar 1. Kazanım : Küme kavramını açıklar; liste, Venn şeması ve ortak özellik yöntemleri ile gösterir. 2. Kazanım : Evrensel küme,
MAT223 AYRIK MATEMATİK
MAT223 AYRIK MATEMATİK Fibonacci Sayıları 4. Bölüm Emrah Akyar Anadolu Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü, ESKİŞEHİR 2014 2015 Öğretim Yılı Fibonacci nin Tavşanları Fibonacci Sayıları Fibonacci
Rakam : Sayıları yazmaya yarayan sembollere rakam denir.
A. SAYILAR Rakam : Sayıları yazmaya yarayan sembollere rakam denir. Sayı : Rakamların çokluk belirten ifadesine sayı denir.abc sayısı a, b, c rakamlarından oluşmuştur.! Her rakam bir sayıdır. Fakat bazı
ÜNİTE 11 ÜNİTE 9 MATEMATİK. Kümeler. 1. Bölüm: Kümelerde Temel Kavramlar 2. Bölüm: Kümelerde İşlemler. 9. Sınıf Matematik
ÜNİTE 11 ÜNİTE Kümeler 1. Bölüm: Kümelerde Temel Kavramlar 2. Bölüm: Kümelerde İşlemler 9 MATEMATİK 1. ÜNİTEDE HEDEFLENEN KAZANIMLAR 1. BÖLÜM: KÜMELERDE TEMEL KAVRAMLAR Kazanım 9.1.1.1: Küme kavramını
13.Konu Reel sayılar
13.Konu Reel sayılar 1. Temel dizi 2. Temel dizilerde toplama ve çarpma 3. Reel sayılar kümesi 4. Reel sayılar kümesinde toplama ve çarpma 5. Reel sayılar kümesinde sıralama 6. Reel sayılar kümesinin tamlık
TEMEL KAVRAMLAR. SAYI KÜMELERİ 1. Doğal Sayılar
TEMEL KAVRAMLAR Rakam: Sayıları ifade etmeye yarayan sembollere rakam denir. Bu semboller {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} kümesinin elemanlarıdır., b ve c birer rakamdır. 15 b = c olduğuna göre, + b + c
Örnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir?
DİZİLER Tanım kümesi pozitif tam sayılar kümesi olan her fonksiyona dizi denir. Örneğin f : Z + R, f (n )=n 2 ifadesi bir dizi belirtir. Diziler, değer kümelerine göre adlandırı - lırlar. Dizinin değer
XII. Ulusal Matematik Olimpiyatı Birinci Aşama Sınavı
XII. Ulusal Matematik Olimpiyatı Birinci Aşama Sınavı A 1. Köşeleri, yarıçapı 1 olan çemberin üstünde yer alan düzgün bir n-genin çevre uzunluğunun alanına oranı 4 3 ise, n kaçtır? 3 a) 3 b) 4 c) 5 d)
( B) ( ) PERMÜTASYON KOMBİNASYON BİNOM OLASILIK
PERMÜTASYON KOMBİNASYON BİNOM OLASILIK.... n = n! olmak üzere, ( n + )! = 0 n! + n! ise, n kaçtır? (A) ( ) A)0 B) C) D) E). ( n +,) = 6 C olduğuna göre, n kaçtır? (B) A) B)6 C) D)8 E)9. ( n, ). C( n,)
10.Konu Tam sayıların inşası
10.Konu Tam sayıların inşası 1. Tam sayılar kümesi 2. Tam sayılar kümesinde toplama ve çarpma 3. Pozitif ve negatif tam sayılar 4. Tam sayılar kümesinde çıkarma 5. Tam sayılar kümesinde sıralama 6. Bir
Atatürk Anadolu. Temel Kavramlar Üzerine Kısa Çalışmalar
Atatürk Anadolu Lisesi M A T E M A T İ K Temel Kavramlar Üzerine Kısa Çalışmalar KONYA \ SELÇUKLU 01 MATEMATİK 1. TEMEL KAVRAMLAR 1.1. RAKAM Sayıların yazılmasında kullanılan sembollere rakam denir. Onluk
16. 6 kişinin katıldığı bir sınav başarı yönünden kaç farklı şekilde sonuçlanabilir? (64)
SAYMANIN TEMEL İLKESİ 1. Altılık sayma düzeninde dört basamaklı rakamları tekrarsız kaç sayı yazılabilir? (300) 2. 0,1,2,3,4,5,6,7 rakamları ile yazılabilecek 300 ile 700 arasında en çok kaç değişik doğal
MAT223 AYRIK MATEMATİK
MAT223 AYRIK MATEMATİK Çizgeler 7. Bölüm Emrah Akyar Anadolu Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü, ESKİŞEHİR 2014 2015 Öğretim Yılı Çift ve Tek Dereceler Çizgeler Çift ve Tek Dereceler Soru 51 kişinin
Tanım Bir A kümesinin her elemanı, bir B kümesinin de elamanı ise, A kümesine B kümesinin alt kümesi denir.
BÖLÜM 1 KÜMELER CEBİRİ Küme, iyi tanımlanmış ve farklı olan nesneler topluluğudur. Yani küme, belli bir kurala göre verilmiş nesnelerin listesidir. Nesneler reel veya kavramsal olabilir. Kümede bulunan
AYRIK YAPILAR ARŞ. GÖR. SONGÜL KARAKUŞ- FIRAT ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ YAZILIM MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ, ELAZIĞ
AYRIK YAPILAR P r o f. D r. Ö m e r A k ı n v e Y r d. D o ç. D r. M u r a t Ö z b a y o ğ l u n u n Ç e v i r i E d i t ö r l ü ğ ü n ü ü s t l e n d i ğ i «A y r ı k M a t e m a t i k v e U y g u l a
2. K 6 tam çizgesinde kaç farklı mükemmel eşleme vardır? 4. Düzlemsel kodu (planar code) olan ağacın kaç köşe noktası vardır?
Ayrık Hesaplama Yapıları A GRUBU 0.06.01 Numarası :. K 6 tam çizgesinde kaç farklı mükemmel eşleme vardır? Adı Soyadı : SINAV YÖNERGESİ İşaretlemelerinizde kurşun kalem kullanınız. Soru ve cevap kağıtlarına
6. Ali her gün cebinde kalan parasının (2009) a, b ve c farklı pozitif tamsayılar, 9. x, y, z pozitif gerçek sayılar,
1. 9 2 x 2 ifadesinin açılımında sabit x terim kaç olur? A) 672 B) 84 C) 1 D) -84.E) -672 6. Ali her gün cebinde kalan parasının %20 sini harcamaktadır. Pazartesi sabahı haftalığını alan Ali ni Salı günü
TEMEL KAVRAMLAR. a Q a ve b b. a b c 4. a b c 40. 7a 4b 3c. a b c olmak üzere a,b ve pozitif. 2x 3y 5z 84
N 0,1,,... Sayı kümesine doğal sayı kümesi denir...., 3,, 1,0,1,,3,... sayı kümesine tamsayılar kümesi denir. 1,,3,... saı kümesine sayma sayıları denir.pozitif tamsayılar kümesidir. 15 y z x 3 5 Eşitliğinde
YGS - LYS SAYILAR KONU ÖZETLİ ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI
YGS - LYS SAYILAR KONU ÖZETLİ LÜ SORU BANKASI ANKARA ÖN SÖZ Sevgili Öğrenciler, ÖSYM nin son yıllarda yaptığı sınavlardaki matematik sorularının eski sınav sorularından çok farklı olduğu herkes tarafından
KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİT
KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİT Kümelerde Temel Kavramlar 1. Kazanım : Küme kavramını açıklar; liste, Venn şeması ve ortak özellik yöntemleri ile gösterir. 2. Kazanım : Evrensel küme,
TEOG. Sayma Sayıları ve Doğal Sayılar ÇÖZÜM ÖRNEK ÇÖZÜM ÖRNEK SAYI BASAMAKLARI VE SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESİ 1. DOĞAL SAYILAR.
TEOG Sayma Sayıları ve Doğal Sayılar 1. DOĞAL SAYILAR 0 dan başlayıp artı sonsuza kadar giden sayılara doğal sayılar denir ve N ile gösterilir. N={0, 1, 2, 3,...,n, n+1,...} a ve b doğal sayılar olmak
L İ S E S İ MATEMATİK. Kümeler. Üzerine Kısa Çalışmalar
MTEMTİK T T Ü R K N D O L U L İ S E S İ M T E M T İ K Üzerine Kısa Çalışmalar KONY \ SELÇUKLU 017 MTEMTİK KÜMELER (CÜMLELER).1 Küme (Cümle) Kavramı Matematiğin dili mantıktır., matematiğin kendisini anlatabilmesini
14 Nisan 2012 Cumartesi,
TÜRKİYE BİLİMSEL VE TEKNOLOJİK ARAŞTIRMA KURUMU BİLİM İNSANI DESTEKLEME DAİRE BAŞKANLIĞI 17. ULUSAL İLKÖĞRETİM MATEMATİK OLİMPİYATI - 2012 BİRİNCİ AŞAMA SINAVI Soru kitapçığı türü A 14 Nisan 2012 Cumartesi,
kişi biri 4 kişilik, üçü ikişer kişilik 4 takıma kaç farklı şekilde ayrılabilir? (3150)
PERMÜTASYON KOMBİNASYON. A = {,,,,5} kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde 5 elemanı bulunur? (). 7 elemanlı bir kümenin en az 5 elemanlı kaç tane alt kümesi vardır? (9). A { a, b, c, d, e, f, g, h}
14 Nisan 2012 Cumartesi,
TÜRKİYE BİLİMSEL VE TEKNOLOJİK ARAŞTIRMA KURUMU BİLİM İNSANI DESTEKLEME DAİRE BAŞKANLIĞI 17. ULUSAL İLKÖĞRETİM MATEMATİK OLİMPİYATI - 2012 BİRİNCİ AŞAMA SINAVI Soru kitapçığı türü B 14 Nisan 2012 Cumartesi,
ÖZEL EGE LİSESİ 11. MATEMATİK YARIŞMASI 9. SINIF ELEME SINAVI TEST SORULARI 3. (abc) üç basamaklı, (bc) iki basamaklı doğal sayılardır.
. A = {,,,4,5,6 } kümesinin boş olmayan bütün alt kümelerindeki en küçük elemanların aritmetik ortalaması kaçtır? 6 7 8 9 40 A) B) C) D) E) 9 0 0 ÖZEL EGE LİSESİ. MATEMATİK YARIŞMASI. (abc) üç basamaklı,
MAT223 AYRIK MATEMATİK
MAT223 AYRIK MATEMATİK Fibonacci Sayıları 4. Bölüm Emrah Akyar Anadolu Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü, ESKİŞEHİR 2014 2015 Öğretim Yılı Fibonacci nin Tavşanları Fibonacci Sayıları Fibonacci
MAT223 AYRIK MATEMATİK
MAT223 AYRIK MATEMATİK Geometride Kombinatorik 11. Bölüm Emrah Akyar Anadolu Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü, ESKİŞEHİR 2014 2015 Öğretim Yılı Köşegenlerin Arakesiti Geometride Kombinatorik
İÇİNDEKİLER. Mantık Kurallarının Elektrik Devrelerine Uygulanması... 14
İÇİNDEKİLER 1. BÖLÜM MANTIK Giriş... 1 Genel Olarak Mantık... 1 Mantığın Tarihçesi ve Modern Mantığın Doğuşu... 1 Mantık Öğretimin Önemi ve Amacı... 2 Önerme... 3 VE İşlemi (Birlikte Evetleme, Mantıksal
0.1 Küme Cebri. Teorem 1 A ve B iki küme olmak üzere i) (A B) c = A c B c ii) (A B) c = A c B c
0. Küme Cebri Bu bölümde verilen keyfikümeler üzerinde birleşim, kesişim, fark, tümleyen,...gibi özellikleri sağlayan eşitliklerle ilgilenceğiz. İlk olarak De Morgan kurallarıdiye bilinen bir Teoremi ifade
8. 2 x+1 =20 x. 9. x 3 +6x 2-4x-24=0 10.
MAT-1 EK SORULAR-2 1. 6. A)7 B)8 C)15.D)56 E)64 Olduğuna göre x.a)1 B)2 C)3 D)4 E)6 7. 2. Birbirinden farklı x ve y gerçek A)5.B)6 C)7 D)8 E)9 sayıları için; x 2 +2009y=y 2 +2009x eşitliği sağlandığına
3. Herhangi bir G çizgesi için aşağıdaki önermelerden hangi(ler)si her zaman doğrudur?
Ayrık Hesaplama Yapıları A GRUBU.0.05 Numarası : Adı Soyadı : SINAV YÖNERGESİ İşaretlemelerinizde kurşun kalem kullanınız. Soru ve cevap kağıtlarına numaranızı ve isminizi mürekkepli kalem ile yazınız.
SORULAR. 2. Noktaları adlandırılmamış 6 noktalı kaç ağaç vardır? Çizerek cevaplayınız.
MAT3 AYRIK MATEMATİK DERSİ DÖNEM SONU SINAVI 4.0.0 Numarası :..................................... Adı Soyadı :..................................... SORULAR. Prüfer kodu ( 3 3 ) olan ağacı çiziniz.. Noktaları
TEMEL KAVRAMLAR A: SAYI Sayıları ifade etmeye yarayan sembollere rakam denir. Ör: 0,1,2,3,4,5,6 Rakamların çokluk belirtecek şekilde bir araya getirilmesiyle oluşturulan ifadeler ifadesine sayı denir.
1.GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G. vardır. 3) a G için denir) vardır.
1.GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G, ) cebirsel yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir. 1) a, b, c G için a ( b c) ( a b) c (Birleşme özelliği)
TEMEL SAYMA. Bill Gates
Bölüm 1 TEMEL SAYMA YÖNTEMLERİ Firmamızın sahip olduğu tek şey insan düş gücüdür. Bill Gates Bu bölümde fazla kuramsal bilgi gerektirmeyen sayma problemleri üzerinde duracağız. Bu tür problemlerde sayma;
Küme temel olarak belli nesnelerin ya da elamanların bir araya gelmesi ile oluşur
Kümeler Kümeler ve küme işlemleri olasılığın temellerini oluşturmak için çok önemlidir Küme temel olarak belli nesnelerin ya da elamanların bir araya gelmesi ile oluşur Sonlu sayıda, sonsuz sayıda, kesikli
Permütasyon Kombinasyon Binom Olasılık
Permütasyon Kombinasyon Binom Olasılık Saymanın Temel İlkesi: A1, A2,..., A n kümeleri için s( A1 ) = a1, s( A2 ) = a2,.., s( An ) A xa x xa Kartezyen çarpımının eleman sayısı; s( A xa x... xa ) = s( A
TAMSAYILAR. 9www.unkapani.com.tr. Z = {.., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, } kümesinin her bir elemanına. a, b, c birer tamsayı olmak üzere, Burada,
TAMSAYILAR Z = {.., -, -, -, 0,,,, } kümesinin her bir elemanına tamsayı denir. Burada, + Z = {,,,...} kümesine, pozitif tamsayılar kümesi denir. Z = {...,,,,} kümesine, negatif tamsayılar kümesi denir.
Cebir Notları. Permutasyon-Kombinasyon- Binom TEST I. Gökhan DEMĐR, gdemir23@yahoo.com.tr. www.matematikclub.com, 2006
MC www.matematikclub.com, 2006 Cebir Notları Gökhan DEMĐR, gdemir23@yahoo.com.tr Permutasyon-Kombinasyon- Binom TEST I 1. Ankra'dan Đstanbul'a giden 10 farklı otobüs, Đstanbul'- dan Edirne'ye giden 6 farklı
ULUSAL LİSE ÖĞRENCİLERİ ARASI 6.SALİH ZEKİ MATEMATİK ARAŞTIRMA PROJELERİ YARIŞMASI RAPORU HADARİZM SHORTCUT (MATEMATİK) PROJEYİ HAZIRLAYANLAR
ULUSAL LİSE ÖĞRENCİLERİ ARASI 6.SALİH ZEKİ MATEMATİK ARAŞTIRMA PROJELERİ YARIŞMASI RAPORU HADARİZM SHORTCUT (MATEMATİK) PROJEYİ HAZIRLAYANLAR SELİM HADAR DANIŞMAN ÖĞRETMEN SANDRA GÜNER ULUS ÖZEL MUSEVİ
Küme Temel Kavramları
Kümeler Kümeler Küme, matematiksel anlamda tanımsız bir kavramdır. Bu kavram "nesneler topluluğu veya yığını" olarak yorumlanabilir. Bu tanımdaki "nesne" soyut ya da somut bir şeydir; fakat her ne olursa
12-A. Sayılar - 1 TEST
-A TEST Sayılar -. Birbirinden farklı beş pozitif tam sayının toplamı 0 dur. Bu sayılardan sadece ikisi den büyüktür. Bu sayılardan üç tanesi çift sayıdır. Buna göre bu sayılardan en büyüğü en çok kaç
{ x,y x y + 19 = 0, x, y R} = 3 tir. = sonlu kümesinin 32 tane alt kümesinde
1. Aşağıdaki kümelerden hangisi sonsuz küme belirtir? A) A = { x 4 < x < 36,x N} B) B = { x 19 < x,x asal sayı} C) C = { x x = 5k,0 < x < 100,k Z} D) D = { x x = 5, x Z} E) E = { x x < 19,x N}. A, B ve
Örnek Bir zar atıldığında zarın üstünde bulunan noktaların sayısı gözlensin. Çift sayı gelmesi olasılığı nedir? n(s) = 3 6 = 1 2
Bir Olayın Olasılığı P(A) = n(a) n(s) = A nın eleman sayısı S nin eleman sayısı Örnek Bir zar atıldığında zarın üstünde bulunan noktaların sayısı gözlensin. Çift sayı gelmesi olasılığı nedir? Çözüm: S
Görsel Programlama - I Uygulamalı Ödevi
1 Bilgisayar Teknolojileri Bölümü / Bilgisayar Programcılığı Görsel Programlama - I Uygulamalı Ödevi Numara Ad Soyad Program Öğrenci Bilgileri Öğretim Elemanı Öğr.Gör. Aykut Fatih GÜVEN - 2 0 0 9 RİZE
KÜMELER 05/12/2011 0
KÜMELER 05/12/2011 0 KÜME NEDİR?... 2 KÜMELERİN ÖZELLİKLERİ... 2 KÜMELERİN GÖSTERİLİŞİ... 2 EŞİT KÜME, DENK KÜME... 3 EŞİT OLMAYAN (FARKLI) KÜMELER... 3 BOŞ KÜME... 3 ALT KÜME - ÖZALT KÜME... 4 KÜMELERDE
T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A
T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A Contents 1 Denklik Bağıntıları 5 Bibliography 13 1 Denklik Bağıntıları 1 1denklik 1.1 Eşitlik Günlük
Cebir Notları. Kümeler. Gökhan DEMĐR, KÜME KAVRAMI
, 2006 MC Cebir Notları Gökhan DEMĐR, gdemir23@yahoo.com.tr Kümeler KÜME KVRMI Kümenin tanım yoktur. undan dolayı kümeyi tanıtmaya çalışalım. Küme kavramında bir topluluk, bir kolleksiyon ifadesi vardır.
Akademik Personel ve Lisansüstü Eğitimi Giriş Sınavı. ALES / Đlkbahar / Sayısal II / 13 Mayıs Matematik Sorularının Çözümleri
Akademik Personel ve Lisansüstü Eğitimi Giriş Sınavı ALES / Đlkbahar / Sayısal II / 1 Mayıs 01 Matematik Sorularının Çözümleri 1. 9! 8! 7! 9! + 8! + 7! 7!.(9.8 8 1) 7!.(9.8+ 8+ 1) 6 81 9 7. 4, π, π π,14
SONUÇ YAYINLARI. 9. Sınıf Kümeler
9. SINIF SONUÇ YYINLRI 9. Sınıf Kümeler Bu kitabın tamamının ya da bir kısmının, kitabı yayımlayan şirketin önceden izni olmaksızın elektronik, mekanik, fotokopi ya da herhangi bir kayıt sistemiyle çoğaltılması,
1. Bölüm: SIRALAMA (PERMÜTASYON) Bölüm: SEÇME (KOMBİNASYON) Bölüm: BİNOM AÇILIMI Bölüm: OLASILIK...25
1 İçindekiler 1. Bölüm: SIRALAMA (PERMÜTASYON)... 5 2. Bölüm: SEÇME (KOMBİNASYON)...13 3. Bölüm: BİNOM AÇILIMI...21 4. Bölüm: OLASILIK...25 5. Bölüm: FONKSİYONLARIN SİMETRİLERİ VE CEBİRSEL ÖZELLİKLERİ...37
2. Aşağıdaki pseudocode ile verilen satırlar işletilirse, cnt isimli değişkenin son değeri ne olur?
Numarası : Adı Soyadı : SINAV YÖNERGESİ İşaretlemelerinizde kurşun kalem kullanınız. Soru ve cevap kağıtlarına numaranızı ve isminizi mürekkepli kalem ile yazınız. Sınavın ilk 30 dakikasında sınıftan çıkılmayacaktır.
26 Nisan 2009 Pazar,
TÜBİTAK TÜRKİYE BİLİMSEL VE TEKNOLOJİK ARAŞTIRMA KURUMU BİLİM İNSANI DESTEKLEME DAİRE BAŞKANLIĞI 17. ULUSAL MATEMATİK OLİMPİYATI - 2009 BİRİNCİ AŞAMA SINAVI Soru kitapçığı türü A 26 Nisan 2009 Pazar, 13.00-15.30
Örnek 1: 2 x = 3 x = log 2 3. Örnek 2: 3 2x 1 = 2 2x 1 = log 3 2. Örnek 3: 4 x 1 = 7 x 1 = log 4 7. Örnek 4: 2 x = 3 2 x 2 = 3
Soru : f(x) = log x 4 5 fonksiyonunun tanım aralığını bulunuz? a x = b eşitliğinde a ve b belli iken x i bulmaya logaritma işlemi denir. Üstel fonksiyon bire bir ve örten olduğundan ters fonksiyonu vardır.
4. Bir tabakta 3 elma, 4 armut ve 5 portakal vardır.
Saymanın Temel İlkesi Birinci elemanı A 1 kümesinden, ikinci elemanı A 2 kümesinden,..., n inci elemanı A n kümesinden alınmak koşulu ile; kaç değişik sıralı n li yazılabilir? 1. Aşağıdaki problemleri,
Örnek...4 : A = { a, b, c, d, {a}, {b,c}} kümesi veriliyor. Aşağıdakilerin doğru mu yanlış mı olduğunu yazınız.
KÜME KAVRAMI Küme matematiğin tanımsız bir kavramıdır. Ancak kümeyi, iyi tanımlanmış kavram veya nesneler topluluğu diye tarif edebiliriz. Kümeler A, B, X, K,... gibi büyük harflerle gösterilir. Bir kümeyi
MAT223 AYRIK MATEMATİK
MAT223 AYRIK MATEMATİK Gezgin Satıcı Problemi 9. Bölüm Emrah Akyar Anadolu Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü, ESKİŞEHİR 2014 2015 Öğretim Yılı Gezgin Satıcı Problemi Soru n tane şehri olan bir
MAT223 AYRIK MATEMATİK
MAT3 AYRIK MATEMATİK 4 Ders Doç Dr Emrah Akyar Anadolu Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü, ESKİŞEHİR 00 0 Güz Dönemi 3 yüzyılda İtalyan matematikçi Leonardo Fibonacci aşağıdaki soruyu ortaya atmıştır:
Sayılar ve Altın Oranı. Mahmut Kuzucuoğlu. 16 Ağustos 2015
Sayılar ve Altın Oranı Mahmut Kuzucuoğlu Orta Doğu Teknik Üniversitesi Matematik Bölümü matmah@metu.edu.tr İlkyar-2015 16 Ağustos 2015 Ben kimim? Denizli nin Çal ilçesinin Ortaköy kasabasında 1958 yılında
MAT223 AYRIK MATEMATİK
MAT223 AYRIK MATEMATİK Kombinatoryal Olasılık 5. Bölüm Emrah Akyar Anadolu Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü, ESKİŞEHİR 2014 2015 Öğretim Yılı Olaylar ve Olasılıklar Kombinatoryal Olasılık Olaylar
PERMÜTASYON DÜZEY: 1 TEST : P(6, n) = 6! 1. P(6, 2) + P(4, 3)
PERMÜTASYON DÜZEY: 1 TEST : 1 1. P(6, 2) + P(4, 3) işleminin sonucu kaçtır? A) 30 B) 44 C) 50 D) 54 5. P(6, n) = 6! eşitliğini sağlayan n doğal sayılarının kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) {7} B)
14. LİSELERARASI MATEMATİK YARIŞMASI EKİP FİNAL SORULARI
14. LİSELERARASI MATEMATİK YARIŞMASI EKİP FİNAL SORULARI - 008 SORU -1 1 0.7 0.1 0.48 = 0.018 0.8 0. eşitliğini sağlayan sayısı kaçtır? [ 0.15] SORU - c d d c a b 4 c d b b a ifadesinin i i sayısal ldeğeri
YGS MATEMAT K DENEME SINAVI
MATEMAT K DENEME SINAVI I Muharrem ŞAHİN muharrem49@gmail.com Maatteemaatti ikk Deeneemee Sınaavvı I Muhaarrrreem Şaahi in. 9 8 0 0 0 0 5 işleminin sonucu kaçtır? x x 3. 0, 0, 3 0, 0, olduğuna göre, x
SAYILAR MATEMATİK KAF03 BASAMAK KAVRAMI TEMEL KAVRAM 01. İki basamaklı en küçük sayı : İki basamaklı en büyük negatif sayı :.
SAYILAR BASAMAK KAVRAMI İki basamaklı en küçük sayı : İki basamaklı en büyük negatif sayı :. Üç basamaklı rakamları farklı en küçük sayı :. SORU 5 MATEMATİK KAF03 TEMEL KAVRAM 01 Üç basamaklı birbirinden
Örnek...5 : A = { a, b, c, d, e, f } kümesinin 4 lü perm ütas yonlarının kaç tanesinde,
PERMÜTASYON ( SIRALAMA OLAYI ) Birbirinden farklı n tane nesnenin r tanesinin farklı her dizilişine (sıralanışına) n nesnenin r li permütasyonları denir ve P(n,r)= n! (r n) (n r)! biçim inde gösterilir.
Algoritma ve Akış Diyagramları
Algoritma ve Akış Diyagramları Bir problemin çözümüne ulaşabilmek için izlenecek ardışık mantık ve işlem dizisine ALGORİTMA, algoritmanın çizimsel gösterimine ise AKIŞ DİYAGRAMI adı verilir 1 Akış diyagramları
Örnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir? Örnek...4 : Genel terimi w n. Örnek...1 : Örnek...5 : Genel terimi r n
DİZİLER Tanım kümesi pozitif tam sayılar kümesi olan her fonksiyona dizi denir. Örneğin f : Z + R, f (n )=n 2 ifadesi bir dizi belirtir. Diziler değer kümelerine göre adlandırılırlar. Dizinin değer kümesi
A GRUBU Noktaları adlandırılmış K 6 tam çizgesinin tam olarak 3 noktalı kaç tane alt çizgesi vardır? A) 9 B) 20 C) 24 D) 60 E) 160
A GRUBU.. Numarası :............................................. Adı Soyadı :............................................. SINAV YÖNERGESİ İşaretlemelerinizde kurşun kalem kullanınız. Soru ve cevap kağıtlarına
Olasılık, bir deneme sonrasında ilgilenilen olayın tüm olaylar içinde ortaya çıkma ya da gözlenme oranı olarak tanımlanabilir.
5.SUNUM Olasılık, bir deneme sonrasında ilgilenilen olayın tüm olaylar içinde ortaya çıkma ya da gözlenme oranı olarak tanımlanabilir. Günlük hayatta sıklıkla kullanılmakta olan olasılık bir olayın ortaya
olsun. Bu halde g g1 g1 g e ve g g2 g2 g e eşitlikleri olur. b G için a b b a değişme özelliği sağlanıyorsa
1.GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G, ) cebirsel yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir. 1), G de bir ikili işlemdir. 2) a, b, c G için a( bc)
VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ
1.GİRİŞ Bu bölüm lineer cebirin temelindeki cebirsel yapıya, sonlu boyutlu vektör uzayına giriş yapmaktadır. Bir vektör uzayının tanımı, elemanları skalar olarak adlandırılan herhangi bir cisim içerir.
DÖRDÜNCÜ BÖLÜM. 4.1. Aritmetik işlemler
DÖRDÜNCÜ BÖLÜM 4.1. Aritmetik işlemler Bu bölümde öğrencilerin lisede bildikleri aritmetik işlemleri hatırlatacağız. Bütün öğrencilerin en azından tamsayıların toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemlerini
Bu bölümde cebirsel yapıların temelini oluşturan Grup ve özelliklerini inceleyeceğiz.
1 BİR İŞLEMLİ SİSTEMLER Bu bölümde cebirsel yapıların temelini oluşturan Grup ve özelliklerini inceleyeceğiz. 1.1 İŞLEMLER Bir kümeden kendisine tanımlı olan her fonksiyona birli işlem denir. Örneğin Z