MAT223 AYRIK MATEMATİK

Transkript

1 MAT223 AYRIK MATEMATİK Saymanın Temelleri 1. Bölüm Emrah Akyar Anadolu Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü, ESKİŞEHİR Öğretim Yılı

2 Ayşe nin Doğum Günü Partisi Saymanın Temelleri Ayşe nin Doğum Günü Partisi Ayşe altı arkadaşını doğum günü partisine davet eder: Bora, Cenk, Derya, Ebru, Fahri ve Gazi 2/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

3 Ayşe nin Doğum Günü Partisi Saymanın Temelleri Ayşe nin Doğum Günü Partisi Ayşe altı arkadaşını doğum günü partisine davet eder: Bora, Cenk, Derya, Ebru, Fahri ve Gazi Soru Hepsi birbirleriyle tokalaştığına göre toplam kaç tokalaşma olmuştur. 2/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

4 Ayşe nin Doğum Günü Partisi Bora Ben 6 kişi ile tokalaştım. Aslında her birimiz 6 kişi ile tokalaştı. Toplamda 7 kişi olduğumuza göre tokalaşma olmuştur. 7 6 = 42 3/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

5 Ayşe nin Doğum Günü Partisi Bora Ben 6 kişi ile tokalaştım. Aslında her birimiz 6 kişi ile tokalaştı. Toplamda 7 kişi olduğumuza göre tokalaşma olmuştur. 7 6 = 42 Derya Bu sayı fazla gibi! Senin yaklaşımını kullanırsak 2 kişilik bir grupta toplam 2 tokalaşma olurdu ki bu doğru değil (2 kişi içerisinde 1 tokalaşma olur). Her tokalaşma iki kez sayılıyor! Bu nedenle Bora nın bulduğu sayı 2 ye bölünmeli. Yani, = 42 2 = 21 tokalaşma yapıldı. 3/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

6 Ayşe nin Doğum Günü Partisi Davetlilerin masada nereye oturacağına dair bir anlaşmazlık çıkar (Herkes Ayşe nin yanına oturmak istiyor). Bunun üzerine, 4/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

7 Ayşe nin Doğum Günü Partisi Davetlilerin masada nereye oturacağına dair bir anlaşmazlık çıkar (Herkes Ayşe nin yanına oturmak istiyor). Bunun üzerine, Ayşe Her yarım saatte bir yerlerimizi değiştirelim. Ta ki herkes her yere oturuncaya kadar. 4/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

8 Ayşe nin Doğum Günü Partisi Davetlilerin masada nereye oturacağına dair bir anlaşmazlık çıkar (Herkes Ayşe nin yanına oturmak istiyor). Bunun üzerine, Ayşe Her yarım saatte bir yerlerimizi değiştirelim. Ta ki herkes her yere oturuncaya kadar. Gazi bu senin doğum günü partin olduğuna göre sen hep baş köşede oturmalısın. 4/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

9 Ayşe nin Doğum Günü Partisi Davetlilerin masada nereye oturacağına dair bir anlaşmazlık çıkar (Herkes Ayşe nin yanına oturmak istiyor). Bunun üzerine, Soru Ayşe Her yarım saatte bir yerlerimizi değiştirelim. Ta ki herkes her yere oturuncaya kadar. Gazi bu senin doğum günü partin olduğuna göre sen hep baş köşede oturmalısın. Bu durumda Ayşe nin yeri sabit kalmak şartıyla kaç farklı oturuş düzeni mümkündür? 4/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

10 Ayşe nin Doğum Günü Partisi Ayşe nin sağına (ilk sandalyeye) 6 davetliden herhangi birisi oturabilir. 5/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

11 Ayşe nin Doğum Günü Partisi Ayşe nin sağına (ilk sandalyeye) 6 davetliden herhangi birisi oturabilir. Şimdi ikinci sandalyeyi düşünelim: 5/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

12 Ayşe nin Doğum Günü Partisi Ayşe nin sağına (ilk sandalyeye) 6 davetliden herhangi birisi oturabilir. Şimdi ikinci sandalyeyi düşünelim: 1 Eğer Bora ilk sandalyede ise ikinci sandalyeye kalan 5 davetliden herhangi biri oturabilir. 5/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

13 Ayşe nin Doğum Günü Partisi Ayşe nin sağına (ilk sandalyeye) 6 davetliden herhangi birisi oturabilir. Şimdi ikinci sandalyeyi düşünelim: 1 Eğer Bora ilk sandalyede ise ikinci sandalyeye kalan 5 davetliden herhangi biri oturabilir. 2 Eğer Cenk ilk sandalyede ise ikinci sandalyeye kalan 5 davetliden herhangi biri oturabilir. 5/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

14 Ayşe nin Doğum Günü Partisi Ayşe nin sağına (ilk sandalyeye) 6 davetliden herhangi birisi oturabilir. Şimdi ikinci sandalyeyi düşünelim:. 1 Eğer Bora ilk sandalyede ise ikinci sandalyeye kalan 5 davetliden herhangi biri oturabilir. 2 Eğer Cenk ilk sandalyede ise ikinci sandalyeye kalan 5 davetliden herhangi biri oturabilir. 6 Eğer Gazi ilk sandalyede ise ikinci sandalyeye kalan 5 davetliden herhangi biri oturabilir. 5/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

15 Ayşe nin Doğum Günü Partisi Ayşe nin sağına (ilk sandalyeye) 6 davetliden herhangi birisi oturabilir. Şimdi ikinci sandalyeyi düşünelim:. 1 Eğer Bora ilk sandalyede ise ikinci sandalyeye kalan 5 davetliden herhangi biri oturabilir. 2 Eğer Cenk ilk sandalyede ise ikinci sandalyeye kalan 5 davetliden herhangi biri oturabilir. 6 Eğer Gazi ilk sandalyede ise ikinci sandalyeye kalan 5 davetliden herhangi biri oturabilir. O halde ilk iki sandalye için farklı durum söz konusudur. }{{} 5 + }{{} }{{} 5 = 6 5 = 30 Bora Cenk Gazi 5/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

16 Ayşe nin Doğum Günü Partisi Şimdi ilk iki sandalyede kim oturursa otursun 3. sandalye için benzer şekilde 4 farklı durumun söz konusu olduğunu söyleyebiliriz. Buradan ilk üç sandalye için = 120 farklı durum ortaya çıkar. 6/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

17 Ayşe nin Doğum Günü Partisi Şimdi ilk iki sandalyede kim oturursa otursun 3. sandalye için benzer şekilde 4 farklı durumun söz konusu olduğunu söyleyebiliriz. Buradan ilk üç sandalye için = 120 farklı durum ortaya çıkar. Bu şekilde devam edilecek olursa, = 720 farklı biçimde oturulabilir. Her yarım saatte bir yer değiştirseler bu 360 saat yani 15 gün eder. 6/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

18 Ayşe nin Doğum Günü Partisi Şimdi ilk iki sandalyede kim oturursa otursun 3. sandalye için benzer şekilde 4 farklı durumun söz konusu olduğunu söyleyebiliriz. Buradan ilk üç sandalye için = 120 farklı durum ortaya çıkar. Bu şekilde devam edilecek olursa, = 720 farklı biçimde oturulabilir. Her yarım saatte bir yer değiştirseler bu 360 saat yani 15 gün eder. Soru Ayşe de herhangi bir yere oturabilseydi kaç farklı oturma düzeni söz konusu olurdu? 6/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

19 Ayşe nin Doğum Günü Partisi Şimdi ilk iki sandalyede kim oturursa otursun 3. sandalye için benzer şekilde 4 farklı durumun söz konusu olduğunu söyleyebiliriz. Buradan ilk üç sandalye için = 120 farklı durum ortaya çıkar. Bu şekilde devam edilecek olursa, = 720 farklı biçimde oturulabilir. Her yarım saatte bir yer değiştirseler bu 360 saat yani 15 gün eder. Soru Ayşe de herhangi bir yere oturabilseydi kaç farklı oturma düzeni söz konusu olurdu? Ayşe nin oturduğu sandalyeye partideki 7 kişiden herhangi birisi oturabileceği, onun yanındaki sandalyeye kalan 6 kişiden herhangi biri oturabileceği,... için = /58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

20 Ayşe nin Doğum Günü Partisi Dans zamanı! Soru Çiftler bir kız ve bir erkekten oluşmak kaydıyla kaç farklı çift oluşturulabilir? 7/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

21 Ayşe nin Doğum Günü Partisi Dans zamanı! Soru Çiftler bir kız ve bir erkekten oluşmak kaydıyla kaç farklı çift oluşturulabilir? 3 kız (Ayşe, Derya, Ebru) ve 4 erkek (Bora, Cenk, Fahri, Gazi) olduğuna göre 3 4 = 12 farklı çift oluşturulabilir. 7/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

22 Ayşe nin Doğum Günü Partisi Fahri Herkes parasını ortaya koysun ve sayısal loto oynayalım. Uygun sayıda kupon doldurursak hangi sayılar çekilirse çekilsin büyük ikramiyeyi kazanabiliriz. (Baya uyanıkmış!) 8/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

23 Ayşe nin Doğum Günü Partisi Fahri Herkes parasını ortaya koysun ve sayısal loto oynayalım. Uygun sayıda kupon doldurursak hangi sayılar çekilirse çekilsin büyük ikramiyeyi kazanabiliriz. (Baya uyanıkmış!) Sayısal lotoda büyük ikramiyenin kazanılabilmesi için katılımcıların 1, 2,..., 49 sayıları içerisinden belirlenecek olan 6 sayıyı bilmesi gerekir. 8/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

24 Ayşe nin Doğum Günü Partisi Fahri Herkes parasını ortaya koysun ve sayısal loto oynayalım. Uygun sayıda kupon doldurursak hangi sayılar çekilirse çekilsin büyük ikramiyeyi kazanabiliriz. (Baya uyanıkmış!) Sayısal lotoda büyük ikramiyenin kazanılabilmesi için katılımcıların 1, 2,..., 49 sayıları içerisinden belirlenecek olan 6 sayıyı bilmesi gerekir. Soru Büyük ikramiyenin kazanılabilmesi için kaç farklı kolon oynamak gerekir? 8/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

25 Ayşe nin Doğum Günü Partisi Gazi Az önceki farklı oturuş problemine benziyor: 9/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

26 Ayşe nin Doğum Günü Partisi Gazi Az önceki farklı oturuş problemine benziyor: Ayşe bir sayı belirlesin ve kuponu Bora ya versin. Bora da bir sayı belirleyip Cenk e ve bu şekilde devam edelim. Böylece, Ayşe nin 49 seçeneği var. Ayşe hangi sayıyı seçerse seçsin Bora kalan 48 sayıdan birini seçebilir. Böyle devam edersek, farklı kolon oynamamız gerekir. 9/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

27 Ayşe nin Doğum Günü Partisi Gazi Az önceki farklı oturuş problemine benziyor: Ayşe bir sayı belirlesin ve kuponu Bora ya versin. Bora da bir sayı belirleyip Cenk e ve bu şekilde devam edelim. Böylece, Ayşe nin 49 seçeneği var. Ayşe hangi sayıyı seçerse seçsin Bora kalan 48 sayıdan birini seçebilir. Böyle devam edersek, farklı kolon oynamamız gerekir. Ayşe Gazi yanılıyorsun! Bu daha çok el sıkışma problemine benziyor. 9/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

28 Ayşe nin Doğum Günü Partisi Ayşe Eğer senin söylediğin yöntemi kullanırsak aynı kolonu birden Ayşe Bora... fazla kez oynayabiliriz. Mesela, seçmiş Ayşe Bora... olsun. Bir sonraki seferde olması mümkün. 10/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

29 Ayşe nin Doğum Günü Partisi Ayşe Eğer senin söylediğin yöntemi kullanırsak aynı kolonu birden Ayşe Bora... fazla kez oynayabiliriz. Mesela, seçmiş Ayşe Bora... olsun. Bir sonraki seferde olması mümkün. Cenk Peki 7, 23, 31, 34, 40 ve 48 sayılarından oluşan kolon bu yöntemle kaç kez elde edilir? 10/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

30 Ayşe nin Doğum Günü Partisi Ayşe Eğer senin söylediğin yöntemi kullanırsak aynı kolonu birden Ayşe Bora... fazla kez oynayabiliriz. Mesela, seçmiş Ayşe Bora... olsun. Bir sonraki seferde olması mümkün. Cenk Peki 7, 23, 31, 34, 40 ve 48 sayılarından oluşan kolon bu yöntemle kaç kez elde edilir? Ayşe bu 6 sayıdan herhangi birisini işaretlediğinde Bora kalan 5 sayıdan herhangi birisini işaretleyebilir. Buna göre bu sayılardan oluşan kolon bu yöntemle kez elde edilir /58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

31 Ayşe nin Doğum Günü Partisi O halde kolon içerisindeki her bir kolon kez tekrar ettiğinden farklı kolon söz konusudur = Bu kadar kolonu oynamaya ne para yeter ne de zaman! 11/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

32 Ayşe nin Doğum Günü Partisi Sayısal lotodan vazgeçip Ayşe, Bora, Cenk ve Derya briç oynamaya karar verirler. 12/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

33 Ayşe nin Doğum Günü Partisi Sayısal lotodan vazgeçip Ayşe, Bora, Cenk ve Derya briç oynamaya karar verirler. Cenk Bana yine aynı el geldi! 12/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

34 Ayşe nin Doğum Günü Partisi Sayısal lotodan vazgeçip Ayşe, Bora, Cenk ve Derya briç oynamaya karar verirler. Cenk Bana yine aynı el geldi! Derya Bu çok zor bir ihtimal! 12/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

35 Ayşe nin Doğum Günü Partisi Sayısal lotodan vazgeçip Ayşe, Bora, Cenk ve Derya briç oynamaya karar verirler. Cenk Bana yine aynı el geldi! Derya Bu çok zor bir ihtimal! Briç, bir deste (52 kart) kağıdın oyunculara 13 er 13 er dağıtılmasıyla oynanan bir oyun olduğuna göre, Soru Briçte kaç farklı el söz konusudur? 12/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

36 Ayşe nin Doğum Günü Partisi Sayısal lotodan vazgeçip Ayşe, Bora, Cenk ve Derya briç oynamaya karar verirler. Cenk Bana yine aynı el geldi! Derya Bu çok zor bir ihtimal! Briç, bir deste (52 kart) kağıdın oyunculara 13 er 13 er dağıtılmasıyla oynanan bir oyun olduğuna göre, Soru Briçte kaç farklı el söz konusudur? Ayşe Loto probleminin bir benzeri: Cenk in kartları birer birer aldığını düşünelim. İlk kart destedeki 52 karttan herhangi birisi olabilir. İlk kart ne olursa olsun ikinci kart kalan 51 karttan biri olabilir. Böyle devam edilecek olursa 13 kart için farklı durum söz konusudur /58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

37 Ayşe nin Doğum Günü Partisi Derya Ancak bu durumda her el yine birden fazla kez sayılmış olur. 13/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

38 Ayşe nin Doğum Günü Partisi Derya Ancak bu durumda her el yine birden fazla kez sayılmış olur. Gerçekten de Cenk elindeki kağıtları dizip kağıtları Ebru ya gösterse Ebru kağıtların hangi sırada geldiğini bilemez. Tahmin etmeye çalışsa ilk kart için 13, ikinci kağıt için 12, bu şekilde devam edilse Cenk bu kağıtları farklı sırada almış olabilir. Bu durumda briçteki farklı el sayısı = olur. Gördüğün gibi bu ihtimal gerçekten çok az. 13/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

39 Ayşe nin Doğum Günü Partisi Sonuçta 6 davetli satranç oynamaya karar verirler (Ayşe hakem olur). 14/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

40 Ayşe nin Doğum Günü Partisi Sonuçta 6 davetli satranç oynamaya karar verirler (Ayşe hakem olur). Soru Bu durumda birbirleriyle kaç farklı maç yapabilirler? 14/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

41 Ayşe nin Doğum Günü Partisi Sonuçta 6 davetli satranç oynamaya karar verirler (Ayşe hakem olur). Soru Bu durumda birbirleriyle kaç farklı maç yapabilirler? A B C 8 0Z0Z0Z0Z 7 Z0Z0Z0Z0 6 0Z0Z0Z0Z 5 Z0Z0Z0Z0 4 0Z0Z0Z0Z 3 Z0Z0ZkZ0 2 0Z0ZqZ0Z 1 Z0Z0J0Z0 a b c d e f g h 8 0Z0Z0Z0Z 7 Z0Z0Z0Z0 6 0Z0Z0Z0Z 5 Z0Z0Z0Z0 4 0Z0Z0Z0Z 3 Z0Z0ZkZ0 2 0Z0ZqZ0Z 1 Z0Z0J0Z0 a b c d e f g h 8 0Z0Z0Z0Z 7 Z0Z0Z0Z0 6 0Z0Z0Z0Z 5 Z0Z0Z0Z0 4 0Z0Z0Z0Z 3 Z0Z0Z0Z0 2 0Z0Z0Z0Z 1 Z0ZQJ0S0 a b c d e f g h 14/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

42 Ayşe nin Doğum Günü Partisi Bora Bu problem daha önce tartıştığımız oturma düzeni ile ilgili probleme benziyor. 6 kişi 6 sandalyeye kaç farklı şekilde oturabilir? Bu sorunun cevabının da 720 olduğunu söylemiştik. 15/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

43 Ayşe nin Doğum Günü Partisi Bora Bu problem daha önce tartıştığımız oturma düzeni ile ilgili probleme benziyor. 6 kişi 6 sandalyeye kaç farklı şekilde oturabilir? Bu sorunun cevabının da 720 olduğunu söylemiştik. Cenk Ancak aynı satranç tahtası başındaki iki kişinin yer değiştirmesi bir şeyi değiştirmez. Bora nın söylediği sayı doğru değil! Fazla! 15/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

44 Ayşe nin Doğum Günü Partisi Bora Bu problem daha önce tartıştığımız oturma düzeni ile ilgili probleme benziyor. 6 kişi 6 sandalyeye kaç farklı şekilde oturabilir? Bu sorunun cevabının da 720 olduğunu söylemiştik. Cenk Ancak aynı satranç tahtası başındaki iki kişinin yer değiştirmesi bir şeyi değiştirmez. Bora nın söylediği sayı doğru değil! Fazla! Derya Hatta aynı iki kişi A masasında da oynasa, B masasında da oynasa bir şey değişmeyecektir. 15/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

45 Ayşe nin Doğum Günü Partisi Ebru O halde bu 3 masa değişik şekilde yerleştirilebileceğinden ve masalardaki kişiler iki değişik şekilde oturabileceğinden aynı çiftler = 8 farklı oturuş şekliyle masada aynı maçı yapacaklar. 16/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

46 Ayşe nin Doğum Günü Partisi Ebru O halde bu 3 masa değişik şekilde yerleştirilebileceğinden ve masalardaki kişiler iki değişik şekilde oturabileceğinden aynı çiftler = 8 farklı oturuş şekliyle masada aynı maçı yapacaklar. Fahri Dolayısıyla aynı maç serisi için 6 8 = 48 farklı yerleşim düzeni mümkündür. Böylece (2 2 2) (3 2 1) = = 15 farklı şekilde maç yapabilirler. 16/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

47 Kümeler Saymanın Temelleri Kümeler Tanım Nesnelerin bir (iyi tanımlanmış) topluluğuna küme denir. Bir kümeyi oluşturan nesnelere ise bu kümenin elemanları denir. 17/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

48 Kümeler Saymanın Temelleri Kümeler Tanım Nesnelerin bir (iyi tanımlanmış) topluluğuna küme denir. Bir kümeyi oluşturan nesnelere ise bu kümenin elemanları denir. Örnek Bir iskambil destesinde bulunan kartlar. 17/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

49 Kümeler Saymanın Temelleri Kümeler Tanım Nesnelerin bir (iyi tanımlanmış) topluluğuna küme denir. Bir kümeyi oluşturan nesnelere ise bu kümenin elemanları denir. Örnek Bir iskambil destesinde bulunan kartlar. Ayşe nin doğum günü partisine katılanlar (Bu kümeyi P ile gösterelim). 17/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

50 Kümeler Saymanın Temelleri Kümeler Tanım Nesnelerin bir (iyi tanımlanmış) topluluğuna küme denir. Bir kümeyi oluşturan nesnelere ise bu kümenin elemanları denir. Örnek Bir iskambil destesinde bulunan kartlar. Ayşe nin doğum günü partisine katılanlar (Bu kümeyi P ile gösterelim). 6 sayıdan oluşan sayısal loto kolonları. 17/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

51 Kümeler Saymanın Temelleri Kümeler Tanım Nesnelerin bir (iyi tanımlanmış) topluluğuna küme denir. Bir kümeyi oluşturan nesnelere ise bu kümenin elemanları denir. Örnek Bir iskambil destesinde bulunan kartlar. Ayşe nin doğum günü partisine katılanlar (Bu kümeyi P ile gösterelim). 6 sayıdan oluşan sayısal loto kolonları. R, gerçel sayılar kümesi. 17/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

52 Kümeler Saymanın Temelleri Kümeler Tanım Nesnelerin bir (iyi tanımlanmış) topluluğuna küme denir. Bir kümeyi oluşturan nesnelere ise bu kümenin elemanları denir. Örnek Bir iskambil destesinde bulunan kartlar. Ayşe nin doğum günü partisine katılanlar (Bu kümeyi P ile gösterelim). 6 sayıdan oluşan sayısal loto kolonları. R, gerçel sayılar kümesi. Q, rasyonel sayılar kümesi. 17/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

53 Kümeler Saymanın Temelleri Kümeler Tanım Nesnelerin bir (iyi tanımlanmış) topluluğuna küme denir. Bir kümeyi oluşturan nesnelere ise bu kümenin elemanları denir. Örnek Bir iskambil destesinde bulunan kartlar. Ayşe nin doğum günü partisine katılanlar (Bu kümeyi P ile gösterelim). 6 sayıdan oluşan sayısal loto kolonları. R, gerçel sayılar kümesi. Q, rasyonel sayılar kümesi. Z, tam sayılar kümesi. 17/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

54 Kümeler Saymanın Temelleri Kümeler Tanım Nesnelerin bir (iyi tanımlanmış) topluluğuna küme denir. Bir kümeyi oluşturan nesnelere ise bu kümenin elemanları denir. Örnek Bir iskambil destesinde bulunan kartlar. Ayşe nin doğum günü partisine katılanlar (Bu kümeyi P ile gösterelim). 6 sayıdan oluşan sayısal loto kolonları. R, gerçel sayılar kümesi. Q, rasyonel sayılar kümesi. Z, tam sayılar kümesi. Z +, negatif olmayan tam sayılar kümesi. 17/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

55 Kümeler Saymanın Temelleri Kümeler Tanım Nesnelerin bir (iyi tanımlanmış) topluluğuna küme denir. Bir kümeyi oluşturan nesnelere ise bu kümenin elemanları denir. Örnek Bir iskambil destesinde bulunan kartlar. Ayşe nin doğum günü partisine katılanlar (Bu kümeyi P ile gösterelim). 6 sayıdan oluşan sayısal loto kolonları. R, gerçel sayılar kümesi. Q, rasyonel sayılar kümesi. Z, tam sayılar kümesi. Z +, negatif olmayan tam sayılar kümesi. N, pozitif tam sayılar (doğal sayılar) kümesi. 17/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

56 Kümeler Saymanın Temelleri Kümeler Tanım Nesnelerin bir (iyi tanımlanmış) topluluğuna küme denir. Bir kümeyi oluşturan nesnelere ise bu kümenin elemanları denir. Örnek Bir iskambil destesinde bulunan kartlar. Ayşe nin doğum günü partisine katılanlar (Bu kümeyi P ile gösterelim). 6 sayıdan oluşan sayısal loto kolonları. R, gerçel sayılar kümesi. Q, rasyonel sayılar kümesi. Z, tam sayılar kümesi. Z +, negatif olmayan tam sayılar kümesi. N, pozitif tam sayılar (doğal sayılar) kümesi., boş küme. 17/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

57 Kümeler A bir küme ve b de bu kümenin bir elemanı ise bu durum b A 18/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

58 Kümeler A bir küme ve b de bu kümenin bir elemanı ise bu durum b A, elemanı değil ise b / A şeklinde gösterilir. 18/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

59 Kümeler A bir küme ve b de bu kümenin bir elemanı ise bu durum b A, elemanı değil ise b / A şeklinde gösterilir. Bir A kümesinin eleman sayısı A ile gösterilir (bazı kaynaklarda n(a) gösterimi de kullanılmaktadır). 18/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

60 Kümeler A bir küme ve b de bu kümenin bir elemanı ise bu durum b A, elemanı değil ise b / A şeklinde gösterilir. Bir A kümesinin eleman sayısı A ile gösterilir (bazı kaynaklarda n(a) gösterimi de kullanılmaktadır). Buna göre P = 7, Z = ve = 0 olur. 18/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

61 Kümeler A bir küme ve b de bu kümenin bir elemanı ise bu durum b A, elemanı değil ise b / A şeklinde gösterilir. Bir A kümesinin eleman sayısı A ile gösterilir (bazı kaynaklarda n(a) gösterimi de kullanılmaktadır). Buna göre P = 7, Z = ve = 0 olur. Kümeler P = {Ayşe,Bora,Cenk,Derya,Ebru,Fahri,Gazi} şeklinde elemanları (küme) parantez(i) içerisinde listelenerek 18/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

62 Kümeler A bir küme ve b de bu kümenin bir elemanı ise bu durum b A, elemanı değil ise b / A şeklinde gösterilir. Bir A kümesinin eleman sayısı A ile gösterilir (bazı kaynaklarda n(a) gösterimi de kullanılmaktadır). Buna göre P = 7, Z = ve = 0 olur. Kümeler P = {Ayşe,Bora,Cenk,Derya,Ebru,Fahri,Gazi} şeklinde elemanları (küme) parantez(i) içerisinde listelenerek ya da şeklinde sözle de tanımlanabilir. P = {Ayşe ve misafirleri} 18/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

63 Kümeler Kümeler çoğunlukla daha geniş bir kümenin bazı özelliklerini sağlayan elemanlarının topluluğu olarak tanımlanır. 19/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

64 Kümeler Kümeler çoğunlukla daha geniş bir kümenin bazı özelliklerini sağlayan elemanlarının topluluğu olarak tanımlanır. Bu durum yine küme parantezi ve : simgesi (bazen de simgesi) yardımıyla gösterilir. {x Z : x 0} = Z +, {x P : x erkek} = {Bora,Cenk,Fahri,Gazi} = E 19/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

65 Kümeler Bir A kümesinin her elemanı B kümesinin de elemanıysa A kümesi B kümesinin alt kümesidir denir (A kümesi B kümesinin tüm elemanlarını bulundurabileceği gibi hiç birisini de bulundurmayabilir). 20/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

66 Kümeler Bir A kümesinin her elemanı B kümesinin de elemanıysa A kümesi B kümesinin alt kümesidir denir (A kümesi B kümesinin tüm elemanlarını bulundurabileceği gibi hiç birisini de bulundurmayabilir). A kümesi B kümesinin alt kümesi ise bu durumu A B şeklinde göstereceğiz. 20/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

67 Kümeler Bir A kümesinin her elemanı B kümesinin de elemanıysa A kümesi B kümesinin alt kümesidir denir (A kümesi B kümesinin tüm elemanlarını bulundurabileceği gibi hiç birisini de bulundurmayabilir). A kümesi B kümesinin alt kümesi ise bu durumu A B şeklinde göstereceğiz. Yukarıda tanımlanan kümelere göre, olur. E P, N Z + Z Q R 20/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

68 Kümeler Bir A kümesinin her elemanı B kümesinin de elemanıysa A kümesi B kümesinin alt kümesidir denir (A kümesi B kümesinin tüm elemanlarını bulundurabileceği gibi hiç birisini de bulundurmayabilir). A kümesi B kümesinin alt kümesi ise bu durumu A B şeklinde göstereceğiz. Yukarıda tanımlanan kümelere göre, olur. E P, N Z + Z Q R A B gösterimiyle A kümesinin B kümesinin alt kümesi olduğu ancak B kümesinin tüm elemanlarını bulundurmadığı ifade edilecektir. Dolayısıyla yukarıdaki sayı kümeleri için kullanılan simgesi simgesiyle değiştirilebilir. 20/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

69 Kümeler Verilen iki küme yardımıyla yeni kümeler tanımlayabiliriz: 21/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

70 Kümeler Verilen iki küme yardımıyla yeni kümeler tanımlayabiliriz: İki kümenin arakesiti (kesişimi) her iki kümeye de ait olan elemanların kümesidir. 21/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

71 Kümeler Verilen iki küme yardımıyla yeni kümeler tanımlayabiliriz: İki kümenin arakesiti (kesişimi) her iki kümeye de ait olan elemanların kümesidir. A ve B kümelerinin arakesiti A B şeklinde gösterilir. 21/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

72 Kümeler Verilen iki küme yardımıyla yeni kümeler tanımlayabiliriz: İki kümenin arakesiti (kesişimi) her iki kümeye de ait olan elemanların kümesidir. A ve B kümelerinin arakesiti A B şeklinde gösterilir.d = {x P : x 21 yaşından büyük} = {Ayşe,Bora,Cenk} olsun. D E = {Bora,Cenk} olur. 21/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

73 Kümeler Verilen iki küme yardımıyla yeni kümeler tanımlayabiliriz: İki kümenin arakesiti (kesişimi) her iki kümeye de ait olan elemanların kümesidir. A ve B kümelerinin arakesiti A B şeklinde gösterilir.d = {x P : x 21 yaşından büyük} = {Ayşe,Bora,Cenk} olsun. D E = {Bora,Cenk} olur. Arakesiti boş küme olan kümelere ayrık kümeler denir. 21/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

74 Kümeler Verilen iki küme yardımıyla yeni kümeler tanımlayabiliriz: İki kümenin arakesiti (kesişimi) her iki kümeye de ait olan elemanların kümesidir. A ve B kümelerinin arakesiti A B şeklinde gösterilir.d = {x P : x 21 yaşından büyük} = {Ayşe,Bora,Cenk} olsun. D E = {Bora,Cenk} olur. Arakesiti boş küme olan kümelere ayrık kümeler denir. İki kümenin birleşimi ise elemanları en az bu iki kümenin birinde olan kümedir. 21/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

75 Kümeler Verilen iki küme yardımıyla yeni kümeler tanımlayabiliriz: İki kümenin arakesiti (kesişimi) her iki kümeye de ait olan elemanların kümesidir. A ve B kümelerinin arakesiti A B şeklinde gösterilir.d = {x P : x 21 yaşından büyük} = {Ayşe,Bora,Cenk} olsun. D E = {Bora,Cenk} olur. Arakesiti boş küme olan kümelere ayrık kümeler denir. İki kümenin birleşimi ise elemanları en az bu iki kümenin birinde olan kümedir. A ve B kümelerinin birleşimi A B şeklinde gösterilir. 21/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

76 Kümeler Verilen iki küme yardımıyla yeni kümeler tanımlayabiliriz: İki kümenin arakesiti (kesişimi) her iki kümeye de ait olan elemanların kümesidir. A ve B kümelerinin arakesiti A B şeklinde gösterilir.d = {x P : x 21 yaşından büyük} = {Ayşe,Bora,Cenk} olsun. D E = {Bora,Cenk} olur. Arakesiti boş küme olan kümelere ayrık kümeler denir. İki kümenin birleşimi ise elemanları en az bu iki kümenin birinde olan kümedir. A ve B kümelerinin birleşimi A B şeklinde gösterilir. D E = {Ayşe,Bora,Cenk,Fahri,Gazi} A ve B kümelerinin farkı ise A kümesine ait olup B kümesine ait olmayan elemanların kümesidir. D\E = {Ayşe} 21/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

77 Kümeler A ve B kümelerinin simetrik farkı ise yalnızca A ya da yalnızca B kümesine ait olan elemanların kümesidir. 22/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

78 Kümeler A ve B kümelerinin simetrik farkı ise yalnızca A ya da yalnızca B kümesine ait olan elemanların kümesidir. A ve B kümelerinin simetrik farkı A B ile gösterilir. D E = {Ayşe, Fahri, Gazi} Kümeler üzerindeki kesişim, birleşim ve fark işlemleri sayılar üzerindeki toplama, çarpma ve çıkarma işlemlerine benzer. 22/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

79 Kümeler A ve B kümelerinin simetrik farkı ise yalnızca A ya da yalnızca B kümesine ait olan elemanların kümesidir. A ve B kümelerinin simetrik farkı A B ile gösterilir. D E = {Ayşe, Fahri, Gazi} Kümeler üzerindeki kesişim, birleşim ve fark işlemleri sayılar üzerindeki toplama, çarpma ve çıkarma işlemlerine benzer. Sayılar üzerindeki bu işlemlere benzer olarak kümeler üzerindeki işlemler de bazı kurallara uymak zorundadır. Örneğin, olur. A (B C) = (A B) (A C) (1) 22/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

80 Kümeler (1) eşitliğinin doğruluğunu göstermek için eşitliğin sol tarafındaki keyfi bir elemanın eşitliğin sağ tarafındaki kümeye ait olduğunu ve eşitliğin sağ tarafındaki keyfi bir elemanın da eşitliğin sol tarafındaki kümeye ait olduğunun gösterilmesi gerekir. 23/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

81 Kümeler (1) eşitliğinin doğruluğunu göstermek için eşitliğin sol tarafındaki keyfi bir elemanın eşitliğin sağ tarafındaki kümeye ait olduğunu ve eşitliğin sağ tarafındaki keyfi bir elemanın da eşitliğin sol tarafındaki kümeye ait olduğunun gösterilmesi gerekir. x A (B C) ise x A ve x B C olur. 23/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

82 Kümeler (1) eşitliğinin doğruluğunu göstermek için eşitliğin sol tarafındaki keyfi bir elemanın eşitliğin sağ tarafındaki kümeye ait olduğunu ve eşitliğin sağ tarafındaki keyfi bir elemanın da eşitliğin sol tarafındaki kümeye ait olduğunun gösterilmesi gerekir. x A (B C) ise x A ve x B C olur. x A ve x B veya x C olur. 23/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

83 Kümeler (1) eşitliğinin doğruluğunu göstermek için eşitliğin sol tarafındaki keyfi bir elemanın eşitliğin sağ tarafındaki kümeye ait olduğunu ve eşitliğin sağ tarafındaki keyfi bir elemanın da eşitliğin sol tarafındaki kümeye ait olduğunun gösterilmesi gerekir. x A (B C) ise x A ve x B C olur. x A ve x B veya x C olur. x B ise x A B olur. O halde x (A B) (A C) dir. 23/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

84 Kümeler (1) eşitliğinin doğruluğunu göstermek için eşitliğin sol tarafındaki keyfi bir elemanın eşitliğin sağ tarafındaki kümeye ait olduğunu ve eşitliğin sağ tarafındaki keyfi bir elemanın da eşitliğin sol tarafındaki kümeye ait olduğunun gösterilmesi gerekir. x A (B C) ise x A ve x B C olur. x A ve x B veya x C olur. x B ise x A B olur. O halde x (A B) (A C) dir. x C ise x A C olur. O halde x (A B) (A C) dir. 23/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

85 Kümeler (1) eşitliğinin doğruluğunu göstermek için eşitliğin sol tarafındaki keyfi bir elemanın eşitliğin sağ tarafındaki kümeye ait olduğunu ve eşitliğin sağ tarafındaki keyfi bir elemanın da eşitliğin sol tarafındaki kümeye ait olduğunun gösterilmesi gerekir. x A (B C) ise x A ve x B C olur. x A ve x B veya x C olur. x B ise x A B olur. O halde x (A B) (A C) dir. x C ise x A C olur. O halde x (A B) (A C) dir. Benzer şekilde, olur. x (A B) (A C) ise x (A B) veya x (A C) 23/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

86 Kümeler (1) eşitliğinin doğruluğunu göstermek için eşitliğin sol tarafındaki keyfi bir elemanın eşitliğin sağ tarafındaki kümeye ait olduğunu ve eşitliğin sağ tarafındaki keyfi bir elemanın da eşitliğin sol tarafındaki kümeye ait olduğunun gösterilmesi gerekir. x A (B C) ise x A ve x B C olur. x A ve x B veya x C olur. x B ise x A B olur. O halde x (A B) (A C) dir. x C ise x A C olur. O halde x (A B) (A C) dir. Benzer şekilde, x (A B) (A C) ise x (A B) veya x (A C) olur. x (A B) ise x A ve x B x A ve x B C x A (B C). 23/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

87 Kümeler (1) eşitliğinin doğruluğunu göstermek için eşitliğin sol tarafındaki keyfi bir elemanın eşitliğin sağ tarafındaki kümeye ait olduğunu ve eşitliğin sağ tarafındaki keyfi bir elemanın da eşitliğin sol tarafındaki kümeye ait olduğunun gösterilmesi gerekir. x A (B C) ise x A ve x B C olur. x A ve x B veya x C olur. x B ise x A B olur. O halde x (A B) (A C) dir. x C ise x A C olur. O halde x (A B) (A C) dir. Benzer şekilde, x (A B) (A C) ise x (A B) veya x (A C) olur. x (A B) ise x A ve x B x A ve x B C x A (B C). x (A C) ise x A ve x C x A ve x B C x A (B C). 23/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

88 Kümeler Bu yöntem yerine Venn şemaları da kullanılabilir. 24/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

89 Alt Kümelerin Sayısı Saymanın Temelleri Alt Kümelerin Sayısı Soru n elemanlı bir kümenin alt kümelerinin sayısı nedir? 25/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

90 Alt Kümelerin Sayısı Saymanın Temelleri Alt Kümelerin Sayısı Soru n elemanlı bir kümenin alt kümelerinin sayısı nedir? Eleman sayısı az olan kümeleri inceleyerek başlayalım: 25/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

91 Alt Kümelerin Sayısı Saymanın Temelleri Alt Kümelerin Sayısı Soru n elemanlı bir kümenin alt kümelerinin sayısı nedir? Eleman sayısı az olan kümeleri inceleyerek başlayalım: Küme Alt kümeleri 25/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

92 Alt Kümelerin Sayısı Saymanın Temelleri Alt Kümelerin Sayısı Soru n elemanlı bir kümenin alt kümelerinin sayısı nedir? Eleman sayısı az olan kümeleri inceleyerek başlayalım: Küme Alt kümeleri {a}, {a} 25/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

93 Alt Kümelerin Sayısı Saymanın Temelleri Alt Kümelerin Sayısı Soru n elemanlı bir kümenin alt kümelerinin sayısı nedir? Eleman sayısı az olan kümeleri inceleyerek başlayalım: Küme Alt kümeleri {a}, {a} {a,b}, {a}, {b}, {a,b} 25/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

94 Alt Kümelerin Sayısı Saymanın Temelleri Alt Kümelerin Sayısı Soru n elemanlı bir kümenin alt kümelerinin sayısı nedir? Eleman sayısı az olan kümeleri inceleyerek başlayalım: Küme Alt kümeleri {a}, {a} {a,b}, {a}, {b}, {a,b} {a,b,c}, {a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c} {a,b,c} 25/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

95 Alt Kümelerin Sayısı Saymanın Temelleri Alt Kümelerin Sayısı Soru n elemanlı bir kümenin alt kümelerinin sayısı nedir? Eleman sayısı az olan kümeleri inceleyerek başlayalım: Küme Alt kümeleri {a}, {a} {a,b}, {a}, {b}, {a,b} {a,b,c}, {a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c} {a,b,c} Eleman Sayısı Alt küme sayısı /58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

96 Alt Kümelerin Sayısı Saymanın Temelleri Alt Kümelerin Sayısı Soru n elemanlı bir kümenin alt kümelerinin sayısı nedir? Eleman sayısı az olan kümeleri inceleyerek başlayalım: Küme Alt kümeleri {a}, {a} {a,b}, {a}, {b}, {a,b} {a,b,c}, {a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c} {a,b,c} Eleman Sayısı Alt küme sayısı Yukarıdaki tabloya bakarak n elemanlı bir kümenin 2 n tane alt kümesi olduğu tahmin edilebilir. 25/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

97 Alt Kümelerin Sayısı Bu tahminin doğru olduğunu göstermek hiç de zor değildir. 26/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

98 Alt Kümelerin Sayısı Bu tahminin doğru olduğunu göstermek hiç de zor değildir. a 1,a 2,...,a n n elemanlı bir A kümesinin elemanları olsun. 26/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

99 Alt Kümelerin Sayısı Bu tahminin doğru olduğunu göstermek hiç de zor değildir. a 1,a 2,...,a n n elemanlı bir A kümesinin elemanları olsun. A kümesinin keyfi bir alt kümesi için: 26/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

100 Alt Kümelerin Sayısı Bu tahminin doğru olduğunu göstermek hiç de zor değildir. a 1,a 2,...,a n n elemanlı bir A kümesinin elemanları olsun. A kümesinin keyfi bir alt kümesi için: a 1 bu alt kümeye ait olabilir veya olmayabilir. İki olasılık var. 26/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

101 Alt Kümelerin Sayısı Bu tahminin doğru olduğunu göstermek hiç de zor değildir. a 1,a 2,...,a n n elemanlı bir A kümesinin elemanları olsun. A kümesinin keyfi bir alt kümesi için: a 1 bu alt kümeye ait olabilir veya olmayabilir. İki olasılık var. a 1 bu alt kümeye ait olsa da olmasa da a 2 nin bu alt kümeye ait olması için yine iki olasılık söz konusudur. 26/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

102 Alt Kümelerin Sayısı Bu tahminin doğru olduğunu göstermek hiç de zor değildir. a 1,a 2,...,a n n elemanlı bir A kümesinin elemanları olsun. A kümesinin keyfi bir alt kümesi için: a 1 bu alt kümeye ait olabilir veya olmayabilir. İki olasılık var. a 1 bu alt kümeye ait olsa da olmasa da a 2 nin bu alt kümeye ait olması için yine iki olasılık söz konusudur. O halde sadece a 1 ve a 2 nin bu alt kümeye ait olup olmaması için 2 2 = 4 farklı durum söz konusudur. 26/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

103 Alt Kümelerin Sayısı Bu tahminin doğru olduğunu göstermek hiç de zor değildir. a 1,a 2,...,a n n elemanlı bir A kümesinin elemanları olsun. A kümesinin keyfi bir alt kümesi için: a 1 bu alt kümeye ait olabilir veya olmayabilir. İki olasılık var. a 1 bu alt kümeye ait olsa da olmasa da a 2 nin bu alt kümeye ait olması için yine iki olasılık söz konusudur. O halde sadece a 1 ve a 2 nin bu alt kümeye ait olup olmaması için 2 2 = 4 farklı durum söz konusudur. Benzer şekilde a 3 ün alt kümeye ait olup olmaması için iki durum söz konusudur. 26/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

104 Alt Kümelerin Sayısı Bu tahminin doğru olduğunu göstermek hiç de zor değildir. a 1,a 2,...,a n n elemanlı bir A kümesinin elemanları olsun. A kümesinin keyfi bir alt kümesi için: a 1 bu alt kümeye ait olabilir veya olmayabilir. İki olasılık var. a 1 bu alt kümeye ait olsa da olmasa da a 2 nin bu alt kümeye ait olması için yine iki olasılık söz konusudur. O halde sadece a 1 ve a 2 nin bu alt kümeye ait olup olmaması için 2 2 = 4 farklı durum söz konusudur. Benzer şekilde a 3 ün alt kümeye ait olup olmaması için iki durum söz konusudur. Bu durumda a 1,a 2 ve a 3 için 4 2 = 8 durum söz konusu olur. 26/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

105 Alt Kümelerin Sayısı Bu tahminin doğru olduğunu göstermek hiç de zor değildir. a 1,a 2,...,a n n elemanlı bir A kümesinin elemanları olsun. A kümesinin keyfi bir alt kümesi için: a 1 bu alt kümeye ait olabilir veya olmayabilir. İki olasılık var. a 1 bu alt kümeye ait olsa da olmasa da a 2 nin bu alt kümeye ait olması için yine iki olasılık söz konusudur. O halde sadece a 1 ve a 2 nin bu alt kümeye ait olup olmaması için 2 2 = 4 farklı durum söz konusudur. Benzer şekilde a 3 ün alt kümeye ait olup olmaması için iki durum söz konusudur. Bu durumda a 1,a 2 ve a 3 için 4 2 = 8 durum söz konusu olur.. Bu şekilde devam edilecek olursa n elemanlı bir kümenin tüm alt kümelerinin sayısı 2 n bulunur. 26/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

106 Alt Kümelerin Sayısı Teorem n elemanlı bir kümenin alt kümelerinin sayısı 2 n dir. a S E H b S b S E H E H c S c S c S c S E H E H E H E H {a,b,c} {a,b} {a,c} {a} {b,c} {b} {c} Şekil: {a,b,c} kümesinin alt kümelerinin seçimi için karar ağacı 27/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

107 Alt kümeleri numaralandırmak Alt Kümelerin Sayısı Soru Verilen bir kümenin tüm alt kümelerini 0,1,2,... şeklinde nasıl numaralandırabiliriz? 28/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

108 Alt kümeleri numaralandırmak Alt Kümelerin Sayısı Soru Verilen bir kümenin tüm alt kümelerini 0,1,2,... şeklinde nasıl numaralandırabiliriz? 1. Yöntem ile başlayıp önce tek elemanlı alt kümeleri sonra iki elemanlı ve bu şekilde devam etmek. 28/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

109 Alt kümeleri numaralandırmak Alt Kümelerin Sayısı Soru Verilen bir kümenin tüm alt kümelerini 0,1,2,... şeklinde nasıl numaralandırabiliriz? 1. Yöntem ile başlayıp önce tek elemanlı alt kümeleri sonra iki elemanlı ve bu şekilde devam etmek. Örneğin, A = {a,b,c} kümesinin alt kümeleri şeklinde numaralandırılabilir {a} {b} {c} {a,b}... 28/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

110 Alt kümeleri numaralandırmak Alt Kümelerin Sayısı Soru Verilen bir kümenin tüm alt kümelerini 0,1,2,... şeklinde nasıl numaralandırabiliriz? 1. Yöntem ile başlayıp önce tek elemanlı alt kümeleri sonra iki elemanlı ve bu şekilde devam etmek. Örneğin, A = {a,b,c} kümesinin alt kümeleri şeklinde numaralandırılabilir. 2. Yöntem Sözlük sıralaması {a} {b} {c} {a,b}... 28/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

111 Alt kümeleri numaralandırmak Alt Kümelerin Sayısı Soru Verilen bir kümenin tüm alt kümelerini 0,1,2,... şeklinde nasıl numaralandırabiliriz? 1. Yöntem ile başlayıp önce tek elemanlı alt kümeleri sonra iki elemanlı ve bu şekilde devam etmek. Örneğin, A = {a,b,c} kümesinin alt kümeleri {a} {b} {c} {a,b}... şeklinde numaralandırılabilir. 2. Yöntem Sözlük sıralaması. Küme parantezlerini ve virgül işaretlerini kaldırarak a ab abc ac b bc c şeklinde numaralandırılabilir. 28/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

112 Alt Kümelerin Sayısı Ancak her iki yöntemde ilk başta sorulan soruya kolay bir cevap vermiyor. Örneğin, 10 elemanlı bir kümenin 233. alt kümesini yazabilmek için yukarıdaki listelerin oluşturulması gerekir. 29/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

113 Alt Kümelerin Sayısı Ancak her iki yöntemde ilk başta sorulan soruya kolay bir cevap vermiyor. Örneğin, 10 elemanlı bir kümenin 233. alt kümesini yazabilmek için yukarıdaki listelerin oluşturulması gerekir. 3. Yöntem Bu yöntemi A = {a, b, c} kümesi üzerinde açıklayalım: 29/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

114 Alt Kümelerin Sayısı Ancak her iki yöntemde ilk başta sorulan soruya kolay bir cevap vermiyor. Örneğin, 10 elemanlı bir kümenin 233. alt kümesini yazabilmek için yukarıdaki listelerin oluşturulması gerekir. 3. Yöntem Bu yöntemi A = {a, b, c} kümesi üzerinde açıklayalım: Eğer bir eleman bahsedilen alt kümeye ait ise bu elemanın pozisyonunu 1 alt kümeye ait değilse 0 ile gösterelim. Örneğin {a,c} alt kümesi için 101 gösterimini kullanalım. 29/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

115 Alt Kümelerin Sayısı Ancak her iki yöntemde ilk başta sorulan soruya kolay bir cevap vermiyor. Örneğin, 10 elemanlı bir kümenin 233. alt kümesini yazabilmek için yukarıdaki listelerin oluşturulması gerekir. 3. Yöntem Bu yöntemi A = {a, b, c} kümesi üzerinde açıklayalım: Eğer bir eleman bahsedilen alt kümeye ait ise bu elemanın pozisyonunu 1 alt kümeye ait değilse 0 ile gösterelim. Örneğin {a,c} alt kümesi için 101 gösterimini kullanalım. Böylece A kümesinin her alt kümesi üç karakter uzunluğundaki bir karakter dizisi (string) ile kodlanmış olur. 29/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

116 Alt Kümelerin Sayısı Ancak her iki yöntemde ilk başta sorulan soruya kolay bir cevap vermiyor. Örneğin, 10 elemanlı bir kümenin 233. alt kümesini yazabilmek için yukarıdaki listelerin oluşturulması gerekir. 3. Yöntem Bu yöntemi A = {a, b, c} kümesi üzerinde açıklayalım: Eğer bir eleman bahsedilen alt kümeye ait ise bu elemanın pozisyonunu 1 alt kümeye ait değilse 0 ile gösterelim. Örneğin {a,c} alt kümesi için 101 gösterimini kullanalım. Böylece A kümesinin her alt kümesi üç karakter uzunluğundaki bir karakter dizisi (string) ile kodlanmış olur. Tersi de doğrudur. Yani, her üç karakterlik 0 ve 1 den oluşan karakter dizisine A kümesinin bir alt kümesi karşılık gelir. 29/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

117 Alt Kümelerin Sayısı Onluk sistem İkilik sistem Üç karakterlik kod Alt küme {c} {b} {b, c} {a} {a, c} {a, b} {a, b, c} 30/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

118 Alt Kümelerin Sayısı Onluk sistem İkilik sistem Üç karakterlik kod Alt küme {c} {b} {b, c} {a} {a, c} {a, b} {a, b, c} Artık 10 elemanlı bir kümenin 233. alt kümesini hemen yazabiliriz. 30/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

119 Alt Kümelerin Sayısı Onluk sistem İkilik sistem Üç karakterlik kod Alt küme {c} {b} {b, c} {a} {a, c} {a, b} {a, b, c} Artık 10 elemanlı bir kümenin 233. alt kümesini hemen yazabiliriz. 233 = ( ) 2 olduğu hemen görülebilir. 30/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

120 Alt Kümelerin Sayısı Onluk sistem İkilik sistem Üç karakterlik kod Alt küme {c} {b} {b, c} {a} {a, c} {a, b} {a, b, c} Artık 10 elemanlı bir kümenin 233. alt kümesini hemen yazabiliriz. 233 = ( ) 2 olduğu hemen görülebilir. Küme 10 elemanlı olduğundan karşılık gelen kod olur. 30/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

121 Alt Kümelerin Sayısı Onluk sistem İkilik sistem Üç karakterlik kod Alt küme {c} {b} {b, c} {a} {a, c} {a, b} {a, b, c} Artık 10 elemanlı bir kümenin 233. alt kümesini hemen yazabiliriz. 233 = ( ) 2 olduğu hemen görülebilir. Küme 10 elemanlı olduğundan karşılık gelen kod olur. O halde 233. alt küme olur. {a 3,a 4,a 5,a 7,a 10 } 30/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

122 Alt Kümelerin Sayısı Yukarıdaki durumu genelleştirebiliriz. 31/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

123 Alt Kümelerin Sayısı Yukarıdaki durumu genelleştirebiliriz. n elemanlı bir kümenin alt kümelerini yukarıda yaptığımız gibi tam sayılarla eşleştirelim. 31/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

124 Alt Kümelerin Sayısı Yukarıdaki durumu genelleştirebiliriz. n elemanlı bir kümenin alt kümelerini yukarıda yaptığımız gibi tam sayılarla eşleştirelim. olsun. 0 = (0) 2 1 = (1) 2 {a n }. x = ( } {{ 1} ) 2 {a 1,a 2,...,a n } n tane 31/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

125 Alt Kümelerin Sayısı Yukarıdaki durumu genelleştirebiliriz. n elemanlı bir kümenin alt kümelerini yukarıda yaptığımız gibi tam sayılarla eşleştirelim. olsun. O halde bulunur. 0 = (0) 2 1 = (1) 2 {a n }. x = ( } {{ 1} ) 2 {a 1,a 2,...,a n } n tane x = n 1 = 2 n 1 31/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

126 Alt Kümelerin Sayısı Yukarıdaki durumu genelleştirebiliriz. n elemanlı bir kümenin alt kümelerini yukarıda yaptığımız gibi tam sayılarla eşleştirelim. olsun. O halde bulunur. 0 = (0) 2 1 = (1) 2 {a n }. x = ( } {{ 1} ) 2 {a 1,a 2,...,a n } n tane x = n 1 = 2 n 1 Böylece toplam alt küme sayısının 2 n olduğunu bir başka şekilde daha kanıtlamış olduk. 31/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

127 Alt Kümelerin Yaklaşık Sayısı Saymanın Temelleri Alt Kümelerin Yaklaşık Sayısı Artık 100 elemanlı bir kümenin alt kümelerinin sayısının olduğunu biliyoruz. 32/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

128 Alt Kümelerin Yaklaşık Sayısı Saymanın Temelleri Alt Kümelerin Yaklaşık Sayısı Artık 100 elemanlı bir kümenin alt kümelerinin sayısının olduğunu biliyoruz. Bu oldukça büyük bir sayı ama ne kadar büyük? 32/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

129 Alt Kümelerin Yaklaşık Sayısı Saymanın Temelleri Alt Kümelerin Yaklaşık Sayısı Artık 100 elemanlı bir kümenin alt kümelerinin sayısının olduğunu biliyoruz. Bu oldukça büyük bir sayı ama ne kadar büyük? Soru sayısının kaç basamağı vardır? 32/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

130 Alt Kümelerin Yaklaşık Sayısı Saymanın Temelleri Alt Kümelerin Yaklaşık Sayısı Artık 100 elemanlı bir kümenin alt kümelerinin sayısının olduğunu biliyoruz. Bu oldukça büyük bir sayı ama ne kadar büyük? Soru sayısının kaç basamağı vardır? Bilgisayar ya da hesap makinesi kullanmadan bu sorunun yanıtını verebilir miyiz? 32/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

131 Alt Kümelerin Yaklaşık Sayısı 2 3 = 8 < 10 33/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

132 Alt Kümelerin Yaklaşık Sayısı 2 3 = 8 < 10 ( 2 3 ) 33 < /58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

133 Alt Kümelerin Yaklaşık Sayısı 2 3 = 8 < 10 ( 2 3 ) 33 < < /58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

134 Alt Kümelerin Yaklaşık Sayısı 2 3 = 8 < 10 ( 2 3 ) 33 < < O halde en fazla 34 basamaklıdır. 33/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

135 Alt Kümelerin Yaklaşık Sayısı 2 3 = 8 < 10 ( 2 3 ) 33 < < O halde en fazla 34 basamaklıdır. Diğer taraftan, 33/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

136 Alt Kümelerin Yaklaşık Sayısı 2 3 = 8 < 10 ( 2 3 ) 33 < < O halde en fazla 34 basamaklıdır. Diğer taraftan, 2 10 = 1024 > 1000 = /58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

137 Alt Kümelerin Yaklaşık Sayısı 2 3 = 8 < 10 ( 2 3 ) 33 < < O halde en fazla 34 basamaklıdır. Diğer taraftan, 2 10 = 1024 > 1000 = 10 3 ( 2 10 ) 10 > ( 10 3) 10 33/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

138 Alt Kümelerin Yaklaşık Sayısı 2 3 = 8 < 10 ( 2 3 ) 33 < < O halde en fazla 34 basamaklıdır. Diğer taraftan, 2 10 = 1024 > 1000 = 10 3 ( 2 10 ) 10 > ( 10 3) > /58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

139 Alt Kümelerin Yaklaşık Sayısı 2 3 = 8 < 10 ( 2 3 ) 33 < < O halde en fazla 34 basamaklıdır. Diğer taraftan, yani en az 31 basamaklıdır = 1024 > 1000 = 10 3 ( 2 10 ) 10 > ( 10 3) > /58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

140 Alt Kümelerin Yaklaşık Sayısı 2 3 = 8 < 10 ( 2 3 ) 33 < < O halde en fazla 34 basamaklıdır. Diğer taraftan, yani en az 31 basamaklıdır = 1024 > 1000 = 10 3 ( 2 10 ) 10 > ( 10 3) > Bu bize yaklaşık bir tahmin verebilir. Ancak, biraz hesapla tam basamak sayısını bulabiliriz. 33/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

141 Alt Kümelerin Yaklaşık Sayısı Eğer bir sayı k basamaklı ise bu sayı 10 k 1 sayısı ile 10 k sayısı arasındadır (10 k 1 e eşit olabilir ama 10 k dan kesin küçük olur). 34/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

142 Alt Kümelerin Yaklaşık Sayısı Eğer bir sayı k basamaklı ise bu sayı 10 k 1 sayısı ile 10 k sayısı arasındadır (10 k 1 e eşit olabilir ama 10 k dan kesin küçük olur) sayısının k basamaklı olduğunu kabul edelim. Bu durumda 10 k < 10 k eşitsizliğini sağlayan k sayısını bulmalıyız. 34/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

143 Alt Kümelerin Yaklaşık Sayısı Eğer bir sayı k basamaklı ise bu sayı 10 k 1 sayısı ile 10 k sayısı arasındadır (10 k 1 e eşit olabilir ama 10 k dan kesin küçük olur) sayısının k basamaklı olduğunu kabul edelim. Bu durumda 10 k < 10 k eşitsizliğini sağlayan k sayısını bulmalıyız. 10 tabanında logaritma alırsak, 34/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

144 Alt Kümelerin Yaklaşık Sayısı Eğer bir sayı k basamaklı ise bu sayı 10 k 1 sayısı ile 10 k sayısı arasındadır (10 k 1 e eşit olabilir ama 10 k dan kesin küçük olur) sayısının k basamaklı olduğunu kabul edelim. Bu durumda 10 k < 10 k eşitsizliğini sağlayan k sayısını bulmalıyız. 10 tabanında logaritma alırsak, (k 1)log log 2 < k log 10 34/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

145 Alt Kümelerin Yaklaşık Sayısı Eğer bir sayı k basamaklı ise bu sayı 10 k 1 sayısı ile 10 k sayısı arasındadır (10 k 1 e eşit olabilir ama 10 k dan kesin küçük olur) sayısının k basamaklı olduğunu kabul edelim. Bu durumda 10 k < 10 k eşitsizliğini sağlayan k sayısını bulmalıyız. 10 tabanında logaritma alırsak, olur. (k 1)log log 2 < k log 10 k 1 100log 2 < k 34/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

146 Alt Kümelerin Yaklaşık Sayısı Eğer bir sayı k basamaklı ise bu sayı 10 k 1 sayısı ile 10 k sayısı arasındadır (10 k 1 e eşit olabilir ama 10 k dan kesin küçük olur) sayısının k basamaklı olduğunu kabul edelim. Bu durumda 10 k < 10 k eşitsizliğini sağlayan k sayısını bulmalıyız. 10 tabanında logaritma alırsak, (k 1)log log 2 < k log 10 k 1 100log 2 < k olur. Böylece k 1 tam sayısı 100log 2 sayısının tam değeri olur. 34/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

147 Alt Kümelerin Yaklaşık Sayısı Eğer bir sayı k basamaklı ise bu sayı 10 k 1 sayısı ile 10 k sayısı arasındadır (10 k 1 e eşit olabilir ama 10 k dan kesin küçük olur) sayısının k basamaklı olduğunu kabul edelim. Bu durumda 10 k < 10 k eşitsizliğini sağlayan k sayısını bulmalıyız. 10 tabanında logaritma alırsak, (k 1)log log 2 < k log 10 k 1 100log 2 < k olur. Böylece k 1 tam sayısı 100log 2 sayısının tam değeri olur. Buradan, k 1 = 100log 2 = = 30 34/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

148 Alt Kümelerin Yaklaşık Sayısı Eğer bir sayı k basamaklı ise bu sayı 10 k 1 sayısı ile 10 k sayısı arasındadır (10 k 1 e eşit olabilir ama 10 k dan kesin küçük olur) sayısının k basamaklı olduğunu kabul edelim. Bu durumda 10 k < 10 k eşitsizliğini sağlayan k sayısını bulmalıyız. 10 tabanında logaritma alırsak, (k 1)log log 2 < k log 10 k 1 100log 2 < k olur. Böylece k 1 tam sayısı 100log 2 sayısının tam değeri olur. Buradan, k 1 = 100log 2 = = 30 ve k = 31 bulunur ( log ). 34/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

149 Alt Kümelerin Yaklaşık Sayısı Eğer bir sayı k basamaklı ise bu sayı 10 k 1 sayısı ile 10 k sayısı arasındadır (10 k 1 e eşit olabilir ama 10 k dan kesin küçük olur) sayısının k basamaklı olduğunu kabul edelim. Bu durumda 10 k < 10 k eşitsizliğini sağlayan k sayısını bulmalıyız. 10 tabanında logaritma alırsak, (k 1)log log 2 < k log 10 k 1 100log 2 < k olur. Böylece k 1 tam sayısı 100log 2 sayısının tam değeri olur. Buradan, k 1 = 100log 2 = = 30 ve k = 31 bulunur ( log ). O halde sayı 31 basamaklıdır. 34/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

150 Alt Kümelerin Yaklaşık Sayısı Alıştırma (1.4.1) sayısı ikilik sistemde yazıldığında kaç bit (digit) bulundurur? 35/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

151 Alt Kümelerin Yaklaşık Sayısı Alıştırma (1.4.1) sayısı ikilik sistemde yazıldığında kaç bit (digit) bulundurur? = /58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

152 Alt Kümelerin Yaklaşık Sayısı Alıştırma (1.4.1) sayısı ikilik sistemde yazıldığında kaç bit (digit) bulundurur? = 2 99, = /58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

153 Alt Kümelerin Yaklaşık Sayısı Alıştırma (1.4.1) sayısı ikilik sistemde yazıldığında kaç bit (digit) bulundurur? = 2 99, = 298,..., 2 2 = 1 35/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

154 Alt Kümelerin Yaklaşık Sayısı Alıştırma (1.4.1) sayısı ikilik sistemde yazıldığında kaç bit (digit) bulundurur? = , 2 2 = 298,..., 2 2 = 1 } {{ } 100 kez 35/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

155 Alt Kümelerin Yaklaşık Sayısı Alıştırma (1.4.1) sayısı ikilik sistemde yazıldığında kaç bit (digit) bulundurur? = , 2 2 = 298,..., 2 2 = 1 } {{ } 100 kez olduğundan = ( } {{ 0} ) 2 bulunur. 101 digit 35/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

156 Alt Kümelerin Yaklaşık Sayısı Alıştırma (1.4.2) 2 n nin basamak sayısı için bir formül bulunuz. 36/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

157 Alt Kümelerin Yaklaşık Sayısı Alıştırma (1.4.2) 2 n nin basamak sayısı için bir formül bulunuz. 2 n sayısı k basamaklı olsun. 36/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

158 Alt Kümelerin Yaklaşık Sayısı Alıştırma (1.4.2) 2 n nin basamak sayısı için bir formül bulunuz. 2 n sayısı k basamaklı olsun. Bu durumda daha önce anlattığımız gibi 10 k 1 2 n < 10 k 36/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

159 Alt Kümelerin Yaklaşık Sayısı Alıştırma (1.4.2) 2 n nin basamak sayısı için bir formül bulunuz. 2 n sayısı k basamaklı olsun. Bu durumda daha önce anlattığımız gibi 10 k 1 2 n < 10 k (k 1)log 10 n log 2 < k log 10 36/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

160 Alt Kümelerin Yaklaşık Sayısı Alıştırma (1.4.2) 2 n nin basamak sayısı için bir formül bulunuz. 2 n sayısı k basamaklı olsun. Bu durumda daha önce anlattığımız gibi olur. 10 k 1 2 n < 10 k (k 1)log 10 n log 2 < k log 10 k 1 n log 2 < k 36/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

161 Alt Kümelerin Yaklaşık Sayısı Alıştırma (1.4.2) 2 n nin basamak sayısı için bir formül bulunuz. 2 n sayısı k basamaklı olsun. Bu durumda daha önce anlattığımız gibi olur. Buradan k 1 = n log 2 10 k 1 2 n < 10 k (k 1)log 10 n log 2 < k log 10 k 1 n log 2 < k 36/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

162 Alt Kümelerin Yaklaşık Sayısı Alıştırma (1.4.2) 2 n nin basamak sayısı için bir formül bulunuz. 2 n sayısı k basamaklı olsun. Bu durumda daha önce anlattığımız gibi 10 k 1 2 n < 10 k (k 1)log 10 n log 2 < k log 10 k 1 n log 2 < k olur. Buradan k 1 = n log 2 ya da bulunur. k = n log /58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

163 Diziler Saymanın Temelleri Diziler Yukarıda bir kümenin alt kümelerini, 0 ve 1 lerden oluşan string ifadeler ile kodlamıştık. 37/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

164 Diziler Saymanın Temelleri Diziler Yukarıda bir kümenin alt kümelerini, 0 ve 1 lerden oluşan string ifadeler ile kodlamıştık. Benzer olarak n karakter uzunluğundaki bir string ifadeyi başka sembollerle de oluşturabiliriz. 37/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

165 Diziler Saymanın Temelleri Diziler Yukarıda bir kümenin alt kümelerini, 0 ve 1 lerden oluşan string ifadeler ile kodlamıştık. Benzer olarak n karakter uzunluğundaki bir string ifadeyi başka sembollerle de oluşturabiliriz. Örneğin, 0 ve 1 yerine a,b,c kullanılacak olursa, n karakter uzunluğunda ve birbirinden farklı 3 n string ifade elde edilmiş olur. 37/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

166 Diziler Saymanın Temelleri Diziler Yukarıda bir kümenin alt kümelerini, 0 ve 1 lerden oluşan string ifadeler ile kodlamıştık. Benzer olarak n karakter uzunluğundaki bir string ifadeyi başka sembollerle de oluşturabiliriz. Örneğin, 0 ve 1 yerine a,b,c kullanılacak olursa, n karakter uzunluğunda ve birbirinden farklı 3 n string ifade elde edilmiş olur. Aşağıdaki teorem bunun bir genellemesidir. 37/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

167 Diziler Saymanın Temelleri Diziler Yukarıda bir kümenin alt kümelerini, 0 ve 1 lerden oluşan string ifadeler ile kodlamıştık. Benzer olarak n karakter uzunluğundaki bir string ifadeyi başka sembollerle de oluşturabiliriz. Örneğin, 0 ve 1 yerine a,b,c kullanılacak olursa, n karakter uzunluğunda ve birbirinden farklı 3 n string ifade elde edilmiş olur. Aşağıdaki teorem bunun bir genellemesidir. Teorem k farklı eleman ile oluşturulan n karakter uzunluğunda birbirinden farklı string ifade sayısı k n olur. 37/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

168 Diziler Örnek isim E/K gg/aa/yy il kodu / / İsim : 29 8 (Ğ harfi ile başlayan isimleri göz ardı ediyoruz) 38/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

169 Diziler Örnek isim E/K gg/aa/yy il kodu / / İsim : 29 8 (Ğ harfi ile başlayan isimleri göz ardı ediyoruz) Cinsiyet : 2 38/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

170 Diziler Örnek isim E/K gg/aa/yy il kodu / / İsim : 29 8 (Ğ harfi ile başlayan isimleri göz ardı ediyoruz) Cinsiyet : 2 Doğum Tarihi: 12 38/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

171 Diziler Örnek isim E/K gg/aa/yy il kodu / / İsim : 29 8 (Ğ harfi ile başlayan isimleri göz ardı ediyoruz) Cinsiyet : 2 Doğum Tarihi: (31.02 gibi tarihleri göz ardı ediyoruz) 38/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

172 Diziler Örnek isim E/K gg/aa/yy il kodu / / İsim : 29 8 (Ğ harfi ile başlayan isimleri göz ardı ediyoruz) Cinsiyet : 2 Doğum Tarihi: (31.02 gibi tarihleri göz ardı ediyoruz) /58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

173 Diziler Örnek isim E/K gg/aa/yy il kodu / / İsim : 29 8 (Ğ harfi ile başlayan isimleri göz ardı ediyoruz) Cinsiyet : 2 Doğum Tarihi: (31.02 gibi tarihleri göz ardı ediyoruz) 100 İl kodu: 81 38/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

174 Diziler Örnek isim E/K gg/aa/yy il kodu / / İsim : 29 8 (Ğ harfi ile başlayan isimleri göz ardı ediyoruz) Cinsiyet : 2 Doğum Tarihi: (31.02 gibi tarihleri göz ardı ediyoruz) 100 İl kodu: 81 O halde elde edilebilecek farklı string sayısı olur = /58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

175 Diziler Teorem İlk karakteri k 1 farklı sembol, ikinci karakteri k 2 farklı sembol, ve benzer şekilde n. karakteri ise k n farklı sembol kullanılarak oluşturulan n karakter uzunluğundaki bir string ifade için farklı durum söz konusudur. k 1 k 2 k n 39/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

176 Diziler Teorem İlk karakteri k 1 farklı sembol, ikinci karakteri k 2 farklı sembol, ve benzer şekilde n. karakteri ise k n farklı sembol kullanılarak oluşturulan n karakter uzunluğundaki bir string ifade için farklı durum söz konusudur. k 1 k 2 k n Örnek n basamaklı ve negatif olmayan kaç farklı tam sayı yazılabilir? 39/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

177 Diziler Teorem İlk karakteri k 1 farklı sembol, ikinci karakteri k 2 farklı sembol, ve benzer şekilde n. karakteri ise k n farklı sembol kullanılarak oluşturulan n karakter uzunluğundaki bir string ifade için farklı durum söz konusudur. k 1 k 2 k n Örnek n basamaklı ve negatif olmayan kaç farklı tam sayı yazılabilir? Sayının n basamaklı olması için en soldaki basamağının 0 dan farklı olması gerekir. 39/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

178 Diziler Teorem İlk karakteri k 1 farklı sembol, ikinci karakteri k 2 farklı sembol, ve benzer şekilde n. karakteri ise k n farklı sembol kullanılarak oluşturulan n karakter uzunluğundaki bir string ifade için farklı durum söz konusudur. k 1 k 2 k n Örnek n basamaklı ve negatif olmayan kaç farklı tam sayı yazılabilir? Sayının n basamaklı olması için en soldaki basamağının 0 dan farklı olması gerekir. Yani, soldaki basamak 1,2,...,9 rakamlarından birisi olabilir. 39/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

179 Diziler Teorem İlk karakteri k 1 farklı sembol, ikinci karakteri k 2 farklı sembol, ve benzer şekilde n. karakteri ise k n farklı sembol kullanılarak oluşturulan n karakter uzunluğundaki bir string ifade için farklı durum söz konusudur. k 1 k 2 k n Örnek n basamaklı ve negatif olmayan kaç farklı tam sayı yazılabilir? Sayının n basamaklı olması için en soldaki basamağının 0 dan farklı olması gerekir. Yani, soldaki basamak 1,2,...,9 rakamlarından birisi olabilir. Diğer basamaklar ise 10 rakamdan herhangi biri olabilir. 39/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

180 Diziler Teorem İlk karakteri k 1 farklı sembol, ikinci karakteri k 2 farklı sembol, ve benzer şekilde n. karakteri ise k n farklı sembol kullanılarak oluşturulan n karakter uzunluğundaki bir string ifade için farklı durum söz konusudur. k 1 k 2 k n Örnek n basamaklı ve negatif olmayan kaç farklı tam sayı yazılabilir? Sayının n basamaklı olması için en soldaki basamağının 0 dan farklı olması gerekir. Yani, soldaki basamak 1,2,...,9 rakamlarından birisi olabilir. Diğer basamaklar ise 10 rakamdan herhangi biri olabilir.o halde cevap 9 10 n 1 olur. 39/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

181 Permütasyonlar Saymanın Temelleri Permütasyonlar Ayşe nin doğum günü partisinde davetlilerin sandalyelere kaç farklı şekilde oturabileceğini incelemiştik. 40/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

182 Permütasyonlar Saymanın Temelleri Permütasyonlar Ayşe nin doğum günü partisinde davetlilerin sandalyelere kaç farklı şekilde oturabileceğini incelemiştik. Sandalyeleri 1, 2,..., n şeklinde numaralandırdığımızı düşünelim. 40/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

183 Permütasyonlar Saymanın Temelleri Permütasyonlar Ayşe nin doğum günü partisinde davetlilerin sandalyelere kaç farklı şekilde oturabileceğini incelemiştik. Sandalyeleri 1, 2,..., n şeklinde numaralandırdığımızı düşünelim. Bu durumda n kişiyi bu sandalyelere n (n 1) (n 2) 2 1 = n! farklı şekilde yerleştirebiliriz (dizebiliriz). 40/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

184 Permütasyonlar Saymanın Temelleri Permütasyonlar Ayşe nin doğum günü partisinde davetlilerin sandalyelere kaç farklı şekilde oturabileceğini incelemiştik. Sandalyeleri 1, 2,..., n şeklinde numaralandırdığımızı düşünelim. Bu durumda n kişiyi bu sandalyelere n (n 1) (n 2) 2 1 = n! farklı şekilde yerleştirebiliriz (dizebiliriz). (n!, n objenin farklı dizilimlerinin (permütasyonlarının) sayısı) 40/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

185 Permütasyonlar Saymanın Temelleri Permütasyonlar Ayşe nin doğum günü partisinde davetlilerin sandalyelere kaç farklı şekilde oturabileceğini incelemiştik. Sandalyeleri 1, 2,..., n şeklinde numaralandırdığımızı düşünelim. Bu durumda n kişiyi bu sandalyelere n (n 1) (n 2) 2 1 = n! farklı şekilde yerleştirebiliriz (dizebiliriz). (n!, n objenin farklı dizilimlerinin (permütasyonlarının) sayısı) Teorem n objenin farklı dizilimlerinin (permütasyonlarının) sayısı n! olur. 40/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

186 Permütasyonlar İlk? a b c İkinci? İkinci? İkinci? b c a c a b abc acb bac bca cab cba Şekil: {a, b, c} kümesinin permütasyonları için karar ağacı Açıktır ki, n elemanlı bir küme için en üstteki düğümden çıkan ok sayısı da n olacaktır. Dolayısıyla bir sonraki seviyede n düğüm yer alacak ve bu düğümlerin her birinden n 1 tane ok çıkacaktır. Bu şekilde devam edilecek olursa en alt seviyede n! düğüm yer alır. 41/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

187 Sıralı Alt Kümelerin Sayısı Saymanın Temelleri Sıralı Alt Kümelerin Sayısı Soru 100 atletin katıldığı bir yarışta ilk 10 atletin derecesi dikkate alınacaktır. Buna göre yarışta ilk 10 atlet için kaç farklı sıralama söz konusu olur? 42/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

188 Sıralı Alt Kümelerin Sayısı Saymanın Temelleri Sıralı Alt Kümelerin Sayısı Soru 100 atletin katıldığı bir yarışta ilk 10 atletin derecesi dikkate alınacaktır. Buna göre yarışta ilk 10 atlet için kaç farklı sıralama söz konusu olur? /58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

189 Sıralı Alt Kümelerin Sayısı Saymanın Temelleri Sıralı Alt Kümelerin Sayısı Soru 100 atletin katıldığı bir yarışta ilk 10 atletin derecesi dikkate alınacaktır. Buna göre yarışta ilk 10 atlet için kaç farklı sıralama söz konusu olur? O halde cevap olur /58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

190 Sıralı Alt Kümelerin Sayısı Soruyu genellersek: 43/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

191 Sıralı Alt Kümelerin Sayısı Soruyu genellersek: n atletten ilk k tanesi kaç farklı şekilde sıralanır? 43/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

192 Sıralı Alt Kümelerin Sayısı Soruyu genellersek: n atletten ilk k tanesi kaç farklı şekilde sıralanır? Teorem n elemanlı bir kümenin k elemanlı alt kümeleri n(n 1)(n 2) (n k + 1) farklı şekilde sıralanır. 43/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

193 Sıralı Alt Kümelerin Sayısı Soruyu genellersek: n atletten ilk k tanesi kaç farklı şekilde sıralanır? Teorem n elemanlı bir kümenin k elemanlı alt kümeleri farklı şekilde sıralanır. Diğer taraftan olur. n(n 1)(n 2) (n k + 1) n(n 1)(n 2) (n k + 1) = n! (n k)! 43/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

194 Verilen Büyüklükte Alt Kümelerin Sayısı Teorem n elemanlı bir kümenin k elemanlı alt kümelerinin sayısı olur. n(n 1) (n k + 1) k! = n! k!(n k)! 44/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

195 Verilen Büyüklükte Alt Kümelerin Sayısı Teorem n elemanlı bir kümenin k elemanlı alt kümelerinin sayısı olur. Kanıt. n(n 1) (n k + 1) k! = n! k!(n k)! Az önce n elemanlı bir kümenin k elemanlı alt kümelerinin n! n(n 1) (n k + 1) = farklı şekilde sıralandığını söyledik. (n k)! 44/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

196 Verilen Büyüklükte Alt Kümelerin Sayısı Teorem n elemanlı bir kümenin k elemanlı alt kümelerinin sayısı olur. Kanıt. n(n 1) (n k + 1) k! = n! k!(n k)! Az önce n elemanlı bir kümenin k elemanlı alt kümelerinin n! n(n 1) (n k + 1) = farklı şekilde sıralandığını söyledik. (n k)! Burada sıralamanın önemi olmadığından, her bir alt küme birden fazla kez sayılmış olur (Ayşe nin partisinden biliyoruz ki, aslında her bir k elemanlı alt kümeyi k! kez saydık). 44/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

197 Verilen Büyüklükte Alt Kümelerin Sayısı Teorem n elemanlı bir kümenin k elemanlı alt kümelerinin sayısı olur. Kanıt. n(n 1) (n k + 1) k! = n! k!(n k)! Az önce n elemanlı bir kümenin k elemanlı alt kümelerinin n! n(n 1) (n k + 1) = farklı şekilde sıralandığını söyledik. (n k)! Burada sıralamanın önemi olmadığından, her bir alt küme birden fazla kez sayılmış olur (Ayşe nin partisinden biliyoruz ki, aslında her bir k elemanlı alt kümeyi k! kez saydık). Bu durumda hiçbir sıralama yapmaksızın k elemanlı alt kümelerin sayısı n(n 1) (n k + 1) k! = n! k!(n k)! olur. 44/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

198 Verilen Büyüklükte Alt Kümelerin Sayısı ( ) n = k n! k!(n k)! (n nin k lı kombinasyonu) 45/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

199 Verilen Büyüklükte Alt Kümelerin Sayısı ( ) n = k n! k!(n k)! Sayısal lotoda farklı kolonların sayısı: (n nin k lı kombinasyonu) ( ) /58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

200 Verilen Büyüklükte Alt Kümelerin Sayısı ( ) n = k n! k!(n k)! Sayısal lotoda farklı kolonların sayısı: ( ) 7 Partideki el sıkışma sayısı: 2 (n nin k lı kombinasyonu) ( ) /58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

201 Verilen Büyüklükte Alt Kümelerin Sayısı ( ) n = k n! k!(n k)! (n nin k lı kombinasyonu) ( ) 49 Sayısal lotoda farklı kolonların sayısı: ( ) 6 7 Partideki el sıkışma sayısı: ( ) 2 n sayılarına binom katsayıları da denir (daha sonra detaylı olarak k inceleyeceğiz). 45/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

202 Verilen Büyüklükte Alt Kümelerin Sayısı ( ) n = k n! k!(n k)! (n nin k lı kombinasyonu) ( ) 49 Sayısal lotoda farklı kolonların sayısı: ( ) 6 7 Partideki el sıkışma sayısı: ( ) 2 n sayılarına binom katsayıları da denir (daha sonra detaylı olarak k inceleyeceğiz). ( ) n = 1 n elemanlı bir kümenin bir tane n elemanlı alt kümesi vardır. n 45/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

203 Verilen Büyüklükte Alt Kümelerin Sayısı ( ) n = k n! k!(n k)! (n nin k lı kombinasyonu) ( ) 49 Sayısal lotoda farklı kolonların sayısı: ( ) 6 7 Partideki el sıkışma sayısı: ( ) 2 n sayılarına binom katsayıları da denir (daha sonra detaylı olarak k inceleyeceğiz). ( ) n = 1 n elemanlı bir kümenin bir tane n elemanlı alt kümesi vardır. n ( ) n = 1 n elemanlı bir kümenin bir tane 0 elemanlı alt kümesi vardır ( ). 0 45/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

204 Verilen Büyüklükte Alt Kümelerin Sayısı ( ) n = k n! k!(n k)! (n nin k lı kombinasyonu) ( ) 49 Sayısal lotoda farklı kolonların sayısı: ( ) 6 7 Partideki el sıkışma sayısı: ( ) 2 n sayılarına binom katsayıları da denir (daha sonra detaylı olarak k inceleyeceğiz). ( ) n = 1 n elemanlı bir kümenin bir tane n elemanlı alt kümesi vardır. n ( ) n = 1 n elemanlı bir kümenin bir tane 0 elemanlı alt kümesi vardır ( ). 0 ( ) 0 = 1 Yukarıdaki ifade için de doğrudur. 0 45/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

205 Verilen Büyüklükte Alt Kümelerin Sayısı Teorem Binom katsayıları aşağıdaki özdeşlikleri sağlar: 46/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

206 Verilen Büyüklükte Alt Kümelerin Sayısı Teorem Binom katsayıları aşağıdaki özdeşlikleri sağlar: ( ) ( ) n n = k n k (2) 46/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

207 Verilen Büyüklükte Alt Kümelerin Sayısı Teorem Binom katsayıları aşağıdaki özdeşlikleri sağlar: ( ) ( ) n n = k n k ( ) ( ) ( ) n n 1 n 1 = + k k 1 k (2) (3) 46/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

208 Verilen Büyüklükte Alt Kümelerin Sayısı Teorem Binom katsayıları aşağıdaki özdeşlikleri sağlar: ( ) ( ) n n = k n k ( ) ( ) ( ) n n 1 n 1 = + k k 1 k ( ) ( ) ( ) n n n 2 n = ( ) n n 1 ( ) n n (2) (3) (4) 46/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

209 Verilen Büyüklükte Alt Kümelerin Sayısı Kanıt. Önce (2) özdeşliğini kanıtlayalım. 47/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

210 Verilen Büyüklükte Alt Kümelerin Sayısı Kanıt. Önce (2) özdeşliğini kanıtlayalım. S kümesi n elemanlı bir küme olsun. 47/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

211 Verilen Büyüklükte Alt Kümelerin Sayısı Kanıt. Önce (2) özdeşliğini kanıtlayalım. S kümesi n elemanlı bir küme olsun. (2) eşitliğinin sol tarafı S kümesinin k elemanlı alt kümelerinin sayısını, sağ tarafı ise n k elemanlı alt kümelerinin sayısını gösterir. 47/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

212 Verilen Büyüklükte Alt Kümelerin Sayısı Kanıt. Önce (2) özdeşliğini kanıtlayalım. S kümesi n elemanlı bir küme olsun. (2) eşitliğinin sol tarafı S kümesinin k elemanlı alt kümelerinin sayısını, sağ tarafı ise n k elemanlı alt kümelerinin sayısını gösterir. Bu iki sayının eşit olduğunu görmek için her bir k elemanlı alt kümenin n k elemanlı alt kümeye karşılık geldiğini görmeliyiz. 47/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

213 Verilen Büyüklükte Alt Kümelerin Sayısı Kanıt. Önce (2) özdeşliğini kanıtlayalım. S kümesi n elemanlı bir küme olsun. (2) eşitliğinin sol tarafı S kümesinin k elemanlı alt kümelerinin sayısını, sağ tarafı ise n k elemanlı alt kümelerinin sayısını gösterir. Bu iki sayının eşit olduğunu görmek için her bir k elemanlı alt kümenin n k elemanlı alt kümeye karşılık geldiğini görmeliyiz. n k elemanlı alt kümeleri k elemanlı kümelerin S içindeki tümleyenleri olduğundan bu kümelerden eşit miktarda olması gerekir. 47/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

214 Verilen Büyüklükte Alt Kümelerin Sayısı Şimdi de (3) özdeşliğini kanıtlayalım: 48/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

215 Verilen Büyüklükte Alt Kümelerin Sayısı Şimdi de (3) özdeşliğini kanıtlayalım: n k(n k) = 1 n k + 1 k eşitliğinden yararlanırsak (bu eşitliğin her iki tarafını (n 1)! ile çarpıp, (k 1)!(n k 1)! ile bölersek), 48/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

216 Verilen Büyüklükte Alt Kümelerin Sayısı Şimdi de (3) özdeşliğini kanıtlayalım: n k(n k) = 1 n k + 1 k eşitliğinden yararlanırsak (bu eşitliğin her iki tarafını (n 1)! ile çarpıp, (k 1)!(n k 1)! ile bölersek), ( ) n n! (n 1)! = = k k!(n k)! (k 1)!(n k)! + (n 1)! k!(n k 1)! ( ) ( ) n 1 n 1 = + k 1 k sonucuna ulaşırız. 48/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

217 Verilen Büyüklükte Alt Kümelerin Sayısı Son olarak (4) özdeşliğini kanıtlayalım: 49/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

218 Verilen Büyüklükte Alt Kümelerin Sayısı Son olarak (4) özdeşliğini kanıtlayalım: ( ) n 0 }{{} 0 elemanlı alt kümelerin sayısı 49/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

219 Verilen Büyüklükte Alt Kümelerin Sayısı kü- alt melerin sayısı Son olarak (4) özdeşliğini kanıtlayalım: ( ) ( ) n n }{{} }{{} 0 elemanlı 1 elemanlı kü- alt melerin sayısı 49/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

220 Verilen Büyüklükte Alt Kümelerin Sayısı kü- alt melerin sayısı Son olarak (4) özdeşliğini kanıtlayalım: ( ) ( ) ( ) n n n }{{} }{{} }{{} 0 elemanlmanlı 1 ele- 2 elemanlı kü- alt melerin sayısı kü- alt melerin sayısı 49/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

221 Verilen Büyüklükte Alt Kümelerin Sayısı kü- alt melerin sayısı Son olarak (4) özdeşliğini kanıtlayalım: ( ) ( ) ( ) n n n }{{} }{{} }{{} 0 elemanlmanlı 1 ele- 2 elemanlı kü- alt melerin sayısı kü- alt melerin sayısı ( n + + ) n 1 } {{ } n-1 elemanlı kü- alt melerin sayısı 49/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

222 Verilen Büyüklükte Alt Kümelerin Sayısı ( n + + ) + n 1 } {{ } n-1 elemanlı ( ) n n }{{} n elemanlı alt kümelerin sayısı Son olarak (4) özdeşliğini kanıtlayalım: ( ) ( ) ( ) n n n }{{} }{{} }{{} 0 elemanlmanlı 1 ele- 2 elemanlı alt kümelerimelerimelerimelerin alt kü- alt kü- alt kü- sayısı } sayısı sayısı {{ sayısı } 2 n 49/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

223 Alıştırmalar Alıştırma KALABAK sözcüğündeki tüm harfler kullanılarak, 1 Anlamlı ya da anlamsız kaç farklı kelime elde edilebilir? 50/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

224 Alıştırmalar Alıştırma KALABAK sözcüğündeki tüm harfler kullanılarak, 1 Anlamlı ya da anlamsız kaç farklı kelime elde edilebilir? Çözüm Eğer tüm harfler birbirinden farklı olsaydı. 7 karakterin farklı dizilimlerinin sayısının 7! olduğunu hemen söyleyebilirdik. Verilen sözcükte 3 tane A, 2 tane de K harfi bulunduğundan ve bu harflerin kendi içerisinde yer değiştirmesinin elde edilen kelimeyi değiştirmeyeceği düşünülecek olursa, cevap olarak elde edilir. 7! 3!2! = /58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

225 Alıştırmalar Alıştırma KALABAK sözcüğündeki tüm harfler kullanılarak, 2 Elde edilen bu kelimelerden kaç tanesinde iki A harfi yan yana olur (üç A harfi yan yana olduğunda da iki A harfi yan yana gelmiş olur)? 51/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

226 Alıştırmalar Alıştırma KALABAK sözcüğündeki tüm harfler kullanılarak, 2 Elde edilen bu kelimelerden kaç tanesinde iki A harfi yan yana olur (üç A harfi yan yana olduğunda da iki A harfi yan yana gelmiş olur)? Çözüm İki A harfini birleştirip bunu  ile gösterelim. Bu durumda elimizdeki harfler KÂLBAK olur. Yukarıdan bu harflerle elde edilebilecek anlamlı ya da anlamsız kelimelerin sayısının 6! 2! (  ile A farklı harfler gibi düşünülecek olursa) olduğunu söyleyebiliriz. 51/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

227 Alıştırmalar olur. 51/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi Alıştırma KALABAK sözcüğündeki tüm harfler kullanılarak, 2 Elde edilen bu kelimelerden kaç tanesinde iki A harfi yan yana olur (üç A harfi yan yana olduğunda da iki A harfi yan yana gelmiş olur)? Çözüm İki A harfini birleştirip bunu  ile gösterelim. Bu durumda elimizdeki harfler KÂLBAK olur. Yukarıdan bu harflerle elde edilebilecek anlamlı ya da anlamsız kelimelerin sayısının 6! 2! (  ile A farklı harfler gibi düşünülecek olursa) olduğunu söyleyebiliriz. Fakat  ile A harfi yan yana geldiğinde (yani üç A yan yana geldiğinde) bu harflerin kendi içinde yer değiştirmesi elde edilen kelimeyi değiştirmez. Bu nedenle yukarıdaki sayıdan üç tane A harfinin yan yana geldiği durumların sayısını çıkartmalıyız. Böylece cevap 6! 2! 5! 2! = 300

228 Alıştırmalar Alıştırma KALABAK sözcüğündeki tüm harfler kullanılarak, 3 Elde edilen bu kelimelerden kaç tanesinde iki A harfi yan yana gelmez? 52/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

229 Alıştırmalar Alıştırma KALABAK sözcüğündeki tüm harfler kullanılarak, 3 Elde edilen bu kelimelerden kaç tanesinde iki A harfi yan yana gelmez? Çözüm Elbette yukarıdan cevabın = 120 olduğu açıktır. 52/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

230 Alıştırmalar Alıştırma KALABAK sözcüğündeki tüm harfler kullanılarak, 3 Elde edilen bu kelimelerden kaç tanesinde iki A harfi yan yana Çözüm gelmez? Elbette yukarıdan cevabın = 120 olduğu açıktır. Soruyu yukarıdan bağımsız olarak düşünüp çözelim. 52/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

231 Alıştırmalar Alıştırma KALABAK sözcüğündeki tüm harfler kullanılarak, 3 Elde edilen bu kelimelerden kaç tanesinde iki A harfi yan yana Çözüm gelmez? Elbette yukarıdan cevabın = 120 olduğu açıktır. Soruyu yukarıdan bağımsız olarak düşünüp çözelim. KALABAK sözcüğündeki A harflerini çıkarırsak, içerisinde iki tane K harfli olan 4 harfli bir sözcük kalır. 52/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

232 Alıştırmalar Alıştırma KALABAK sözcüğündeki tüm harfler kullanılarak, 3 Elde edilen bu kelimelerden kaç tanesinde iki A harfi yan yana Çözüm gelmez? Elbette yukarıdan cevabın = 120 olduğu açıktır. Soruyu yukarıdan bağımsız olarak düşünüp çözelim. KALABAK sözcüğündeki A harflerini çıkarırsak, içerisinde iki tane K harfli olan 4 harfli bir sözcük kalır. Bu sözcükten 4! 2! farklı sözcük elde edilebilir. 52/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

233 Alıştırmalar Alıştırma KALABAK sözcüğündeki tüm harfler kullanılarak, 3 Elde edilen bu kelimelerden kaç tanesinde iki A harfi yan yana Çözüm gelmez? Elbette yukarıdan cevabın = 120 olduğu açıktır. Soruyu yukarıdan bağımsız olarak düşünüp çözelim. KALABAK sözcüğündeki A harflerini çıkarırsak, içerisinde iki tane K harfli olan 4 harfli bir sözcük kalır. Bu sözcükten 4! 2! farklı sözcük elde edilebilir. Şimdi.K.L.B.K. ifadesinde. ile işaretlenen yerlerden üç tanesini seçip buralara A harflerini koyarsak, A harfleri yan yana gelmemiş olur. 52/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

234 Alıştırmalar Alıştırma KALABAK sözcüğündeki tüm harfler kullanılarak, 3 Elde edilen bu kelimelerden kaç tanesinde iki A harfi yan yana Çözüm gelmez? Elbette yukarıdan cevabın = 120 olduğu açıktır. Soruyu yukarıdan bağımsız olarak düşünüp çözelim. KALABAK sözcüğündeki A harflerini çıkarırsak, içerisinde iki tane K harfli olan 4 harfli bir sözcük kalır. Bu sözcükten 4! 2! farklı sözcük elde edilebilir. Şimdi.K.L.B.K. ifadesinde. ile işaretlenen yerlerden üç tanesini seçip buralara A harflerini koyarsak, A harfleri yan yana gelmemiş olur. Bu seçimi de ( 5 3) farklı şekilde yapabileceğimizden cevap ( ) 4! 5 = 120 2! 3 olur. 52/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

235 Alıştırmalar Alıştırma BASKETBOL sözcüğündeki harfler birer kez kullanılarak oluşturulabilecek 9 harfli anlamlı ya da anlamsız tüm kelimeler içinden kaç tanesinde tam olarak iki tane ünlü (sesli) harf yan yanadır? Not: A, E ve O ünlü (sesli) harflerdir. Diğer taraftan, BSKTAEBOL istenen türde bir kelimeyken, BESKATBOL, BAEOSKTBL, vb. istenen türden değildir. 53/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

236 Alıştırmalar Çözüm (I. Yol:) Sesli harfleri çıkarıp, A ve E harflerini tek bir harf gibi düşünecek olursak, B, AE,S,K,T,B,L ile hiç bir koşul olmaksızın anlamlı ya da anlamsız üretilebilecek kelimelerin sayısı 7! 2! olur 54/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

237 Alıştırmalar Çözüm (I. Yol:) Sesli harfleri çıkarıp, A ve E harflerini tek bir harf gibi düşünecek olursak, B, AE,S,K,T,B,L ile hiç bir koşul olmaksızın anlamlı ya da anlamsız üretilebilecek kelimelerin sayısı 7! olur (iki tane B harfi 2! olduğundan). 54/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

238 Alıştırmalar Çözüm (I. Yol:) Sesli harfleri çıkarıp, A ve E harflerini tek bir harf gibi düşünecek olursak, B, AE,S,K,T,B,L ile hiç bir koşul olmaksızın anlamlı ya da anlamsız üretilebilecek kelimelerin sayısı 7! olur (iki tane B harfi 2! olduğundan). Tam olarak iki sesli harfin yan yana olması istendiğinden kalan O sesli harfi için ise aşağıda ile işaret edilen 6 yerden biri uygundur. B AE S K T B L Ayrıca, 3 sesli harf biri ikili diğeri tek olacak şekilde iki gruba 2 (3 2) farklı şekilde ayrılabilir (ikilinin kendi içinde yer değiştirmesini de sayıyoruz). Böylece cevap, olur. 7! 2! 6 2 ( ) 3 = 6 27! 2 2! [= 90720] 54/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

239 Alıştırmalar Çözüm (II. Yol:) Hiç bir koşul olmasaydı verilen kelimedeki harflerle üretilebilecek anlamlı ya da anlamsız kelime sayısı 9! 2! olurdu. 55/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

240 Alıştırmalar Çözüm (II. Yol:) Hiç bir koşul olmasaydı verilen kelimedeki harflerle üretilebilecek anlamlı ya da anlamsız kelime sayısı 9! 2! olurdu. Bu sayıdan herhangi iki sesli harfin yan yana gelmediği ve üç sesli harfin yan yana geldiği durumları çıkartırsak, tam olarak iki tane sesli harfin yan yana geldiği durumların sayısını buluruz. 55/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

241 Alıştırmalar Çözüm (II. Yol:) Hiç bir koşul olmasaydı verilen kelimedeki harflerle üretilebilecek anlamlı ya da anlamsız kelime sayısı 9! 2! olurdu. Bu sayıdan herhangi iki sesli harfin yan yana gelmediği ve üç sesli harfin yan yana geldiği durumları çıkartırsak, tam olarak iki tane sesli harfin yan yana geldiği durumların sayısını buluruz. Herhangi iki sesli harfin yan yana gelmediği durumların sayısını bulmak için sesli harfleri çıkaralım. Kalan B,S,K,T,B,L sessiz harfleri ile oluşturulabilecek tüm farklı kelimelerin sayısı 6! 2! olur. 55/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

242 Alıştırmalar Çözüm (II. Yol:) Hiç bir koşul olmasaydı verilen kelimedeki harflerle üretilebilecek anlamlı ya da anlamsız kelime sayısı 9! 2! olurdu. Bu sayıdan herhangi iki sesli harfin yan yana gelmediği ve üç sesli harfin yan yana geldiği durumları çıkartırsak, tam olarak iki tane sesli harfin yan yana geldiği durumların sayısını buluruz. Herhangi iki sesli harfin yan yana gelmediği durumların sayısını bulmak için sesli harfleri çıkaralım. Kalan B,S,K,T,B,L sessiz harfleri ile oluşturulabilecek tüm farklı kelimelerin sayısı 6! 2! olur. Sesli harfleri ise aşağıda ile gösterilen 7 pozisyondan 3 üne yerleştirelim. B S K T B L Bu durumda iki ve üç sesli harf yan yana gelmemiş olur. 55/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

243 Alıştırmalar Çözüm (II. Yol:) Hiç bir koşul olmasaydı verilen kelimedeki harflerle üretilebilecek anlamlı ya da anlamsız kelime sayısı 9! 2! olurdu. Bu sayıdan herhangi iki sesli harfin yan yana gelmediği ve üç sesli harfin yan yana geldiği durumları çıkartırsak, tam olarak iki tane sesli harfin yan yana geldiği durumların sayısını buluruz. Herhangi iki sesli harfin yan yana gelmediği durumların sayısını bulmak için sesli harfleri çıkaralım. Kalan B,S,K,T,B,L sessiz harfleri ile oluşturulabilecek tüm farklı kelimelerin sayısı 6! 2! olur. Sesli harfleri ise aşağıda ile gösterilen 7 pozisyondan 3 üne yerleştirelim. B S K T B L Bu durumda iki ve üç sesli harf yan yana gelmemiş olur. Sesli harflerin kendi arasında yer değiştirebileceği de hesaba katılırsa bu şekildeki kelimelerin sayısı ( 7 6! 3 ) 3! olur. 2! 55/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

244 Alıştırmalar Çözüm (II. Yol:) Şimdi üç sesli harfin yan yana geldiği durumların sayısını bulalım. 56/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

245 Alıştırmalar Çözüm (II. Yol:) Şimdi üç sesli harfin yan yana geldiği durumların sayısını bulalım. 3 sesli harfi tek harf gibi düşünecek olursak, AEO,B,S,K,T,B,L harfleri ile oluşturulabilecek kelime sayısı 7! 2! 3! olur (sesli harfler kendi içinde de yer değiştirebilir). 56/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

246 Alıştırmalar Çözüm (II. Yol:) Şimdi üç sesli harfin yan yana geldiği durumların sayısını bulalım. 3 sesli harfi tek harf gibi düşünecek olursak, AEO,B,S,K,T,B,L harfleri ile oluşturulabilecek kelime sayısı 7! 2! 3! olur (sesli harfler kendi içinde de yer değiştirebilir). Böylece cevap ( ) 9! 7 2! 6! 7! 3! 3! = = ! 2! elde edilir. 56/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

247 Alıştırmalar Alıştırma Altışar kişilik ve özdeş olmayan iki yuvarlak masaya 12 kişi kaç farklı şekilde oturabilir? 57/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

248 Alıştırmalar Alıştırma Altışar kişilik ve özdeş olmayan iki yuvarlak masaya 12 kişi kaç farklı şekilde oturabilir? Çözüm Birinci masada oturacak 6 kişi ( 12 6) farklı şekilde seçilir. 57/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

249 Alıştırmalar Alıştırma Altışar kişilik ve özdeş olmayan iki yuvarlak masaya 12 kişi kaç farklı şekilde oturabilir? Çözüm Birinci masada oturacak 6 kişi ( 12 6) farklı şekilde seçilir. Geriye kalan 6 kişi ise ikinci masada oturur. 57/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

250 Alıştırmalar Alıştırma Altışar kişilik ve özdeş olmayan iki yuvarlak masaya 12 kişi kaç farklı şekilde oturabilir? Çözüm Birinci masada oturacak 6 kişi ( 12 6) farklı şekilde seçilir. Geriye kalan 6 kişi ise ikinci masada oturur. Masalardaki kişiler de (6 1)! farklı şekilde masalarda oturabileceğinden cevap ( ) 12 (5!) 2 [= ] 6 olur. 57/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

251 Saymanın Temelleri Alıştırmalar Alıştırma Her seferinde bir birim sağa ya da yukarı gitmek koşuluyla A noktasından B noktasına kaç farklı şekilde gidilebilir? B A

252 Saymanın Temelleri Alıştırmalar Alıştırma Her seferinde bir birim sağa ya da yukarı gitmek koşuluyla A noktasından B noktasına kaç farklı şekilde gidilebilir? B A

253 Saymanın Temelleri Alıştırmalar Alıştırma Her seferinde bir birim sağa ya da yukarı gitmek koşuluyla A noktasından B noktasına kaç farklı şekilde gidilebilir? B A

254 Saymanın Temelleri Alıştırmalar Alıştırma Her seferinde bir birim sağa ya da yukarı gitmek koşuluyla A noktasından B noktasına kaç farklı şekilde gidilebilir? B A 58/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

255 Saymanın Temelleri Alıştırmalar Alıştırma Her seferinde bir birim sağa ya da yukarı gitmek koşuluyla A noktasından B noktasına kaç farklı şekilde gidilebilir? B Çözüm Her seferinde ya bir birim Sağa ya da bir birim Yukarı gidilebileceğinden ve B noktasına ulaşabilmek için 6 kez sağa, 5 kez de yukarı gidilmesi gerektiğinden SSSSSS } {{ } YYYYY } {{ } 6 tane 5 } {{ tane } 11 tane A karakterlerinin her bir dizilimi bize A noktasından B noktasına bir yol verecektir. 58/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

256 Saymanın Temelleri Alıştırmalar Alıştırma Her seferinde bir birim sağa ya da yukarı gitmek koşuluyla A noktasından B noktasına kaç farklı şekilde gidilebilir? A B Çözüm Her seferinde ya bir birim Sağa ya da bir birim Yukarı gidilebileceğinden ve B noktasına ulaşabilmek için 6 kez sağa, 5 kez de yukarı gidilmesi gerektiğinden SSSSSS } {{ } YYYYY } {{ } 6 tane 5 } {{ tane } 11 tane karakterlerinin her bir dizilimi bize A noktasından B noktasına bir yol verecektir. Bu karakterler de 11! 6!5! = 462 farklı şekilde sıralanır. 58/58 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi