SAYILARIN ASAL ÇARPANLARINA AYRILMASI

Transkript

1 ASAL SAYILAR Asal sayılar, 1 ve kendisinden başka pozitif tam böleni olmayan 1' den büyük tamsayılardır. En küçük asal sayı, 2' dir. 2 asal sayısı dışında çift asal sayı yoktur. Yani, 2 sayısı dışındaki tüm asal sayılar tek sayıdır. SAYILARIN ASAL ÇARPANLARINA AYRILMASI Bir tam sayının, asal sayıların çarpımı biçiminde yazılmasına bu sayının asal çarpanlarına ayrılması denir. Bu işlemi yapmak için, ilgili sayının sırasıyla en küçük asal sayıdan başlanarak bölünebilmesi araştırılır. Örnek 72 sayısını asal çarpanlarına ayırınız.

2 ARALARINDA ASAL SAYILAR 1' den başka pozitif ortak böleni olmayan 1' den büyük tamsayılara aralarında asal sayılar adı verilir. Diğer bir deyişle a/b şeklinde yazdığımızda daha fazla sadeleştiremiyorsak a ile b ye aralarında asaldır denir. Aşağıdaki sayı gruplarından hangisi aralarında asaldır? A) 4, 20 B) 6, 21 C) 27, 36, 39 D) 8, 24, 36 E) 3, 5, 25 2x - y ve 3x +y sayıları aralarında asal sayılardır. 2x - y 8 = ise x.y =? 3x + y 12 A) 0 B) 2 C) 4 D) 6 E) 7 BİR TAM SAYININ TAM BÖLENLERİ a, b, c birbirinden farklı asal sayılar ve m, n, k pozitif tam sayılar olmak üzere, A = a m. b n. c k olsun. A yı tam bölen asal sayılar a, b, c dir. A sayısının pozitif tam bölenlerinin sayısı: (m + 1). (n + 1). (k + 1) dir. A sayısının pozitif tam bölenlerinin ters işaretlileri de negatif tam bölenidir. A sayısının tam sayı bölenleri sayısı: 2. (m + 1). (n + 1). (k + 1) dir. A sayısının tam sayı bölenleri toplamı 0 (sıfır) dır.

3 540 sayısının asal sayı bölenlerinin, pozitif ve tam sayı bölenlerinin sayısını bulunuz. 4 6 n sayısının 623 tane asal olmayan pozitif tam böleni varsa n=? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 TAM KUVVETE TAMAMLAMA a ve b birer pozitif doğal sayı, 72.a b 3 olduğuna göre, a ve b nin en küçük değerleri toplamı kaçtır? A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) a b 2 3 koşulunu sağlayan en küçük a ve b pozitif doğal sayıları için a.b=? A) 120 B) 150 C) 180 D) 200 E) 240 k ve n birer doğal sayı, 34! k.3 n olduğuna göre, n nin en büyük değerini bulunuz. A) 12 B) 13 C) 14 D) 15 E) 16 n pozitif bir tamsayı ve 112.n çarpımı bir tam kare olduğuna göre n nin en küçük değeri aşağıdaki aralıkların hangisindedir? A) [6, 15] B) [16, 25] C) [26, 35] D) [36, 45] E) [46, 55]

4 BÖLME A, B, C, K birer doğal sayı ve B 0 olmak üzere, bölme işleminde, A ya bölünen, B ye bölen, C ye bölüm, K ya kalan denir. A = B.C + K dır. Kalan, bölenden küçüktür. (K < B) Kalan, bölümden (C den) küçük ise, bölen (B) ile bölümün (C) yeri değiştirilebilir. K = 0 ise, A sayısı B ile tam bölünebiliyor denir. Yukarıdaki bölme işleminde A, en çok kaçtır? A) 204 B) 165 C) 140 D) 135 E) 130 ab7 gibi üç basamaklı bir sayı, ab gibi iki basamaklı bir sayıya bölünüyor. Bölüm ile kalanın toplamı kaçtır? A) 7 B) 8 C) 10 D) 15 E) 17 Yukarıdaki bölme işleminde A ve B sıfırdan farklı birer rakamı göstermektedir. Bölüm 7, kalan 3 olduğuna göre, A kaçtır? A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9

5 Yukarıdaki kalansız bölme işleminde bölüm, bölünenin 16 katına eşittir. (a 0) Buna göre b böleni kaçtır? A) 0,08 B) 0,0725 C) 0,0625 D) 0,05 E) 0,0125 Bir x doğal sayısı 3 e bölündüğünde bölüm a, kalan 1 dir. a sayısı 8 e bölündüğünde ise kalan 2 dir. Buna göre, x doğal sayısı 24 e bölündüğünde kalan kaçtır? A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 Toplamları 621 olan iki pozitif tamsayıdan büyüğü küçüğüne bölündüğünde bölüm 16, kalan ise 9 dur. Buna göre, büyük sayı kaçtır? A) 570 B) 575 C) 580 D) 585 E) 590 Yukarıdaki bölme işlemlerine göre, L kaçtır? A) 0 B) 1 C) 3 D) 4 E) 7

6 BÖLÜNEBİLME KURALLARI 2 ile Bölünebilme Birler basamağındaki rakamı çift olan sayılar 2 ile tam bölünür. Tek sayıların 2 ile bölümünden kalan 1 dir. 3 ile Bölünebilme Rakamlarının sayısal değerleri toplamı 3 ün katı olan sayılar 3 ile tam bölünür. Bir sayının 3 ile bölümünden kalan, rakamlarının toplamının 3 ile bölümünden kalana eşittir. 4 ile Bölünebilme Bir sayının onlar basamağındaki rakam ile birler basamağındaki rakamın (son iki basamak) belirttiği sayı, 4 ün katı olan sayılar 4 ile tam bölünür.... abc sayısının 4 ile bölümünden kalan bc nin (son iki basamak) 4 ile bölümünden kalana eşittir.... abc sayısının 4 ile bölümünden kalan c + 2.b nin 4 ile bölümünden kalana eşittir. 5 ile Bölünebilme Birler basamağındaki rakam 0 veya 5 olan sayılar 5 ile tam bölünür. Bir sayının 5 ile bölümünden kalan, o sayının birler basamağındaki rakamın 5 ile bölümünden kalana eşittir.

7 8 ile Bölünebilme Yüzler basamağındaki, onlar basamağındaki ve birler basamağındaki rakamların (son üç rakamın) belirttiği sayı 8 in katı olan sayılar 8 ile tam bölünür.3000, 3432, sayıları 8 ile tam bölünür. Birler basamağı c, onlar basamağı b, yüzler basamağı a,... olan sayının 8 ile bölümünden kalan c + 2.b + 4.a toplamının 8 ile bölümünden kalana eşittir. 9 ile Bölünebilme Rakamlarının toplamı 9 un katı olan sayılar 9 ile tam bölünür. Bir sayının 9 ile bölümünden kalan, o sayının rakamları toplamının 9 ile bölümünden kalana eşittir. 10 ile Bölünebilme Birler basamağındaki rakamı 0 (sıfır) olan sayılar 10 ile tam bölünebilir. Bir sayının birler basamağındaki rakam o sayının 10 ile bölümünden kalandır. 11 ile Bölünebilme Bir sayının 11 ile tam olarak bölünebilmesi için sayının rakamlarının altına birler basamağından başlayarak sırasıyla işaretleri yazılır artılı gruplar kendi arasında ve eksili gruplar kendi arasında toplanır genel toplamın da 0 11 veya 11 in katları olması gerekir. Bir sayının 11 ile bölümündeki kalan artılı ve eksili gruplarının toplamının 11 e bölümündeki kalana eşittir. Aralarında asal iki sayıya bölünebilen bir sayı, bu iki sayının çarpımına da tam bölünür. Dolayısıyla, Bir sayının 6 ile tam bölünebilmesi için (6=2.3) hem 2 hem de 3 ile tam bölünebilmesi gerekir. Bir sayının 12 ile tam bölünebilmesi için (12=3.4) hem 3 hem de 4 ile tam bölünebilmesi gerekir.

8 Rakamları birbirinden farklı olan üç basamaklı en büyük tek sayı aşağıdakilerden hangisine kalansız bölünebilir? A) 3 B) 5 C) 6 D) 8 E) 9 Bütün rakamları sıfırdan ve birbirinden farklı olan dört basamaklı en büyük çift sayı aşağıdakilerden hangisi ile kalansız bölünemez? A) 2 B) 3 C) 4 D) 6 E) 9 Birler basamağı 0 olan, 3 ile bölünebilen, iki basamaklı en büyük pozitif doğal sayının, birler basamağı 0 olan, 3 ile bölünebilen, iki basamaklı en küçük pozitif doğal sayıya oranı kaçtır? A) 6 B) 5 C) 4 D) 3 E) 2 15 basamaklı sayısının 9 ile bölümünden elde edilen kalan kaçtır? A) 0 B) 2 C) 4 D) 6 E) 7 Üç basamaklı 84a sayısının 6 ile kalansız bölünebilmesi için, a kaç tane farklı değer alabilir? A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 E) 1 Beş basamaklı 561ab sayısı 30 ile bölünebildiğine göre, a yerine gelebilecek en büyük rakam kaçtır? A) 9 B) 8 C) 7 D) 6 E) 5 Beş basamaklı 3a15b sayısı 45 ile bölünebildiğine göre, a+b toplamının alabileceği en küçük ve en büyük değeri bulunuz (9) (0) ab sayısının 15 ile bölümünden kalan 8 olduğuna ab ikilileri kaç tanedir? Beş basamaklı 74 2 göre, (, ) A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10

9 O.B.E.B-O.K.E.K KAVRAMI İki veya daha fazla sayıyı birlikte tam olarak bölebilen en büyük sayıya bu sayıların ortak bölenlerinin en büyüğü yani OBEB denir. İki veya daha fazla sayıya birlikte bölünebilen en küçük pozitif tamsayıya bu sayıların ortak katlarının en küçüğü yani OKEK denir. a<b olmak üzere; OBEB(a,b) a< b OKEK(a,b) a ve b aralarında asal iki doğal sayı ise OBEB(a,b)=1 ve OKEK(a,b)=a.b dir. a ve b doğal sayıları için a.b=obeb(a,b).okek(a,b) dir. Karşımıza çıkan OBEB ve OKEK problemlerinde küçük parçalardan büyük parçalar oluşturuluyorsa OKEK; büyükten eşit ve küçük parçalar oluşturuluyorsa OBEB kullanılır. 12 ve 16 sayılarının OBEB ve OKEK ini bulunuz. OBEB(12,16)=4 OKEK(12,16)=48 Ortak katlarının en küçüğü 96 olan farklı iki doğal sayının toplamı en çok m ve en az n ise m+n kaçtır? A) 179 B)178 C) 160 D)144 E) 108 Toplamları 26 olan a ve b pozitif tam sayılarının en küçük ortak katı 105 tir. Buna göre, a-b kaçtır? A) 12 B)13 C) 14 D)15 E) 16

10 x ve y aralarında asal sayılardır. OKEK(x,y)=312, 16 =41-y ise x kaçtır? (8) x Boyutları 2,4,6 br olan dikdörtgenler prizması şeklindeki tuğlaların en az kaç tanesi ile altalta,yanyana,üstüste konularak bir küp elde edilir? (36) Boyutları 18, 30 ve 42 cm olan dikdörtgenler prizması biçiminde bir tahta eş küplere ayrılacaktır. Hiç artmayacak şekilde en az kaç küp elde edilir? A) 21 B) 35 C) 70 D) 105 E) 140 Bir tüccar aldığı 24 ton linyit ve 36 ton kok kömürünü birbirine karıştırmadan bir kamyonla deposuna taşıtmak istiyor. Taşıma sırasında kamyonda boş yer kalmaması koşuluyla tüccarın kömürü, a) en az seferde taşıtabilmesi için kaç tonluk kamyon tercih etmesi gerektiğini, (12) b) en az kaç seferde taşıtabileceğini bulunuz. (5) Bir kutudaki kalemlerin sayısının en az 87, en çok 130 olduğu bilinmektedir. Kutudaki kalemler 3 er, 6 şar, 7 şer sayıldığında her seferinde iki kalem artmaktadır. Buna göre, kutuda kaç kalem vardır? A) 108 B) 114 C) 117 D) 120 E) sayısından en az hangi sayı çıkartılmalıdır ki, kalan sayı 3, 5 ve 9 ile tam bölünebilsin?(15)

11 48 litre çiçek yağı, 64 litre mısır özü yağı ve 80 litre zeytinyağı birbirine karıştırılmadan eşit hacimli şişelere boşaltılacaktır. En az kaç şişe gereklidir? A) 9 B) 10 C) 11 D) 12 E) 13 DEĞERLENDİRME SORULARI Çevresi 120 cm olan bir dikdörtgenin kenarları ardışık iki asal sayıdır. Boyu ile eni arasındaki fark kaçtır? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 a 2b 18 b eşitliğinde b nin kaç tam sayı değeri için a asal sayı olur? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 a ve b birer pozitif tam sayı ve ab+a+b=14 ise a+b=? A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) çarpımının sondan kaç basamağının sıfır olduğu ve sayının kaç basamaklı olduğunu bulunuz. A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10 35! + 36! toplamının sondan kaç basamağının sıfır olduğunu bulunuz. A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) 11 a sayısı 7 ile bölündüğünde kalan 2 dir. Buna göre, aşağıdaki sayılardan hangisi 7 ile tam olarak bölünür? A) a-7 B) a+2 C) a+5 D) a+7 E) 2a+7

12 ab iki basamaklı bir sayı ve a b olmak üzere, Yukarıdaki bölmeye göre, a 2 +b 2-2ab nin değeri kaçtır? A) 36 B) 16 C) 9 D) 4 E) 1 x, y, z sıfırdan farklı pozitif birer tamsayı ve olduğuna göre, x in z türünden değeri aşağıdakilerden hangisidir? A) 12z+7 B) 11z+3 C) 6z+3 D) 4z+1 E) 3z+2 6 ile bölünebilen beş basamaklı 4m75n sayısı 5 ile bölündüğünde kalan 3 olmaktadır.buna göre m nin alabileceği değerler toplamı kaçtır? A) 9 B) 12 C) 15 D) 16 E) 18 a b olmak üzere, dört basamaklı a23b sayısı 6 ile tam bölünebildiğine göre, a+b toplamı en çok kaçtır? A) 10 B) 12 C) 13 D) 14 E) 16 x=4m+3=6n+5=8k+7 eşitliklerini sağlayan 200 sayısından büyük,en küçük x doğal sayısı için k kaç olur? (26) 120, 180 ve 210 kilogramlık üç çuval, farklı cins şeker içermektedir. Her çuvaldaki şeker bir kap ile çuvallarda hiç şeker kalmayacak şekilde ve her seferinde kap tam doldurularak boşaltılıyor. Boşaltma işleminde kap en az kaç kez kullanılmıştır? A) 10 B) 13 C) 17 D) 19 E)21 Ortak katlarının en küçüğü 30 olan farklı iki sayının toplamı en çok kaçtır? A) 55 B) 45 C) 33 D) 31 E) 17