ÇALIŞMA SORULARI BÖLÜM 1. VEKTÖRLER

Transkript

1 ÇALIŞMA SORULARI BÖLÜM 1. VEKTÖRLER 1) A î ĵ kˆ ve B 3î ĵ kˆ vektörleri veriliyor. (a) Vektörlerin büyüklüklerini bulunuz ve iki vektörün skaler(nokta) çarpımını yapınız, (b) İki vektörün arasındaki açıyı bulunuz, (c) A B vektörünün z-ekseniyle yaptığı açıyı bulunuz. ) (a) Skaler ve vektörel büyüklük kavramlarını kısaca açıklayınız ve bu büyüklüklere birer örnek veriniz. 1 (b) C (3î 4ĵ) vektörünün birim vektör olup olmadığını gösteriniz. (c) İki vektörün skaler(nokta) 5 çarpımının sıfıra eşit olması ne anlama geldiğini bir cümleyle açıklayınız? 3) A î 3ĵ kˆ ve B 4î ĵ kˆ vektörleri veriliyor. (a) Vektörlerin büyüklüklerini bulunuz, (b) İki vektörün skaler(nokta) çarpımını yapınız, (c) İki vektörün arasındaki açıyı bulunuz, (d) A B? ve A B? işlemlerini yapınız, (e) A x B? vektörel çarpımının sonucunu bulunuz. 4) A 3î ĵ kˆ ve B î 3ĵ kˆ vektörleri veriliyor. (a) Vektörlerin büyüklüklerini bulunuz ve iki vektörün skaler(nokta) çarpımını yapınız, (b) İki vektörün arasındaki açıyı bulunuz, (c) A B vektörünün z-ekseniyle yaptığı açıyı bulunuz. (d) A x B? vektörel çarpımının sonucunu bulunuz. (e) C (î ĵ kˆ ) vektörü bir birim vektör olup olmadığını gösteriniz. 5) Bir küp koordinat sisteminin köşesine her bir kenarı x, y ve z eksenleri ile çakışacak biçimde yerleştirilmiştir. Vektörleri kullanarak (a) z-ekseninin yönündeki kenar (ab doğrusu) ile koordinat sisteminin merkezinden zıt köşeye doğru olan diyagonal (ad doğrusu) arasındaki açıyı hesaplayınız; (b) ac doğrusu (yüzey diyagonali) ile ad doğrusu arasındaki açıyı bulunuz. [1] Cevap: (a) θ=54.7 o (b) θ=35.3 o 6) A ve B vektörlerinin büyüklükleri sırasıyla 4 birim ve 4 birim olarak verilmiştir. Bu iki vektörün çarpımı A xb 6î ĵ olarak verilmiştir. A ve B vektörleri arasındaki açıyı bulunuz. 1

2 7) A 3î ĵ kˆ ; B î 3ĵ ve C î 7ĵ kˆ vektörleri keyfi birim cinsinden verilmişlerdir. (a) (AxB)xC? ifadesini bulunuz. (b) Sonuç vektörünün z-ekseninin pozitif yönüyle yapacağı açıyı hesaplayınız. (c) Bu üç vektörün birbirleriyle dik olup olmadığını araştırınız, (d) (Ax B)xC işleminin sonucunda elde edilecek vektörün C vektörüyle arasındaki açıyı bulunuz. 8) A î 4ĵ kˆ ve B î 5ĵ kˆ vektörleri keyfi birim cinsinden verilmişlerdir. (a) Bu iki vektörün arasındaki açıyı bulunuz. (b) Heriki vektörün z-ekseni ile yaptıkları açıları ve (c) x-y düzlemindeki izdüşümlerinin x-ekseninin pozitif yönü ile yaptıkları açıları hesaplayınız. [3] 9) Bir A vektörünün büyüklüğü 3.5 cm dir ve sayfadan içeriye doğrudur. Bir diğer vektör olan B is bu sayfanın sağ alt köşesinden sol üst köşesine doğrudur. Uygun bir sağ el koordinat sistemi tanımlayarak bu iki vektörün AxB vektörel çarpımının üç bileşenini cm cinsinden bulunuz. Bir vektör diyagramında kullandığınız koordinat sistemini ve A, B ve AxB vektörlerini gösteriniz.[1] Cevap: 10) A ve B vektörleri ortak bir noktadan başlamaktadırlar ve aralarındaki açı Φ dir. (a) Vektör tekniklerinin kullanarak vektör toplamlarının büyüklüğünün aşağıdaki ifade ile verildiğini gösteriniz. A B AB cos (b) Eğer A ve B vektörleri aynı büyüklükteler ise hangi Φ açısı için toplamları A yada B vektörünün büyüklüğüne eşit olacaktır? [1] Cevap: (b)

3 BÖLÜM -3. BİR BOYUTTA VE İKİ BOYUTTA HAREKET 1) Bir parçacığın vektörel konumu zamanla r (3î 6t ĵ)m. ifadesine göre değişmektedir. (a) Hız ve ivme için zamanın fonksiyonları olarak ifadeler bulunuz. (b) t=1 s de parçacığın konumunu ve hızını bulunuz. ) Bir parçacığın hız bileşenleri V x =+4 m/s ve V y =-(6 m/s )t+4 m/s dir. Parçacığın t= s deki hızının ve ivmesinin büyüklüğünü ve hız vektörünün =tan -1 (V y /V x ) doğrultusunu hesaplayınız. 3) Bir sürücü 30 m/s lik sabit hızla giderken aniden karşısına bir çocuk çıkıyor. Çocuğu fark edip frene basıncaya kadar 1 saniyelik bir süre geçiyor ve 5 m/s ivmeyle yavaşlayarak tam çocuğun yanında duruyor. (a) Çocuğu fark ettikten ne kadar zaman sonra araç durur. (b) Sürücü çocuğu gördükten kaç metre sonra otomobil durur? (c) Hareketin konum-zaman ve hız-zaman grafiklerini çiziniz [1] 4) Bir parçacığın vektörel konumu zamanla r= (3i-6t j) m ifadesine göre değişmektedir. (a) Hız ve ivme için zamanın fonksiyonları olarak ifadeler bulunuz. (b) t=1 s de parçacığın konumunu ve hızını bulunuz. 5) Bir golf topuna, bir uçurumun kenarındaki kum tepeciğinden dışarı vurulmaktadır. Zamana göre x ve y koordinatları x= (18 m/s) t ve y= (4 m/s) t (4.9 m/s ) t ifadeleriyle verilmektedir. (a) i ve j birim vektörlerini kullanarak, r konumu için zamana göre vektörel bir ifade yazınız. Sonuçlarınızın türevlerini alarak, zamanın fonksiyonu olarak (b) hız vektörü (c) ivme vektörü için bağıntılar yazınız. Topun t=3 s de, topun (d) konum, (e) hız ve (f) ivme ifadelerini yazmak için şimdi birim vektör notasyonunu kullanınız. [] 6) m. boyundaki bir basketçi, basket topunu yatayla 40 o lik açı yapacak şekilde 10 m/s lik bir hızla atarak doğrudan potadan geçiriyor. Basketçi topu attığı anda potanın 9 m gerisinde olduğuna göre, (a) Top, atıldıktan kaç saniye sonra potadan geçer? (b) Potanın yerden yüksekliği (h) kaç metredir? (c) Topun hareketinin ne türde bir hareket olduğunu kısaca açıklayınız. [] 7) Serbest düşme hareketini birkaç cümleyle açıklayınız. (b) Denizden yüksekliği 15 m olan bir köprüden ilk hızsız olarak bırakılan bir paket hava direnci ihmal edildiğinde kaç saniye sonra suya düşer ve düştüğü andaki hızı nedir? 8) Cudi dağına tırmanırken zirveye yakın bir noktaya kadar gelen amatör dağcılar burada mahsur kalırlar. Dağcılara yardım paketi atmak üzere bölgeye bir uçak gönderilir. Uçak bölgeye yaklaşırken hızını 50 m/s ye düşürerek bölgenin 500 m yukarısından geçecek şekilde alçalır. Buna göre, (a) Uçak dağcıların bulunduğu noktaya yatayda kaç metre yaklaştığında paket bırakılmalıdır ki, paket tam dağcıların olduğu noktaya düşsün? (b) Paketin yere düştüğü andaki hızının büyüklüğünü ve yönünü bulunuz. (c) Uçaktakiler paketin hareketini nasıl görürler? Kısaca açıklayınız. 9) Bir kar topu 36.9 o eğimli bir çatıdan aşağı doğru yuvarlanıyor. Çatının kenarı yerden 1 m yukarıdadır. Top çatının kenarına 10 m/s lik hızla geldiğine göre, (a) Kar topu çatının kenarından kaç saniye sonra aşağıya düşer? (b) Kar topu çatının kenarından ne kadar ne kadar uzağa düşer? (c) Çatının kenarından 4 m uzaklıkta duran m boyundaki adama bu top çarpar mı? (d) Atış hareketinin yörünge denklemini SI biriminde ifade ediniz (sin , cos36,9 0.8).[3] 3

4 10) Batıya doğru 50 km/saat lik hızla giden bir motosikletle kuzeye doğru 10 km/saat lik hızla giden bir otomobil aynı kavşağa doğru yaklaşmaktadırlar. Buna göre motosiklet sürücüsü otomobilin hangi hızla ve hangi yönde hareket ettiğini görür? 11) Bir çamaşır makinesinin kazanı dakikada 100 devir yapmaktadır. Buna göre, (a) Kazanın frekans ve periyodu nedir? (b) Kazanın açısal hızı nedir? (c) Kazanın çapı 40 cm olduğuna göre iç yüzeyindeki bir noktanın çizgisel hızı ve merkezcil ivmesi nedir? 1) Otomobil Hava Yastıkları: İnsan vücudu yüksek ivmeli bir travma (ani duruş) içeren bir kazada en fazla 50 m/s ivme büyüklüğüne dayanabilir. İlk hızı 105 km/sa. olan bir otomobilde kazaya uğrarsanız ve önden açılan hava yastığı sizi durdurursa, hava yastığı hayati tehlikeye yol açmadan sizi en az ne kadar mesafede durdurmalıdır? [1] 13) Bir otomobil ve bir tren 5 m/s hızla paralel yollar boyunca beraber gitmektedirler. Otomobil kırmızı ışık nedeniyle,5 m/s lik düzgün bir ivmenin etkisi altında kalır ve durur. Otomobil 45 s harketsiz kalır. Sonra,5 m/s lik bir ivme ile 5 m/s lik hıza ulaşır. Trenin hızının 5 m/s de kaldığını kabul ederek, otomobil 5 m/s lik hıza ulaştığı zaman trenin ne kadar gerisindedir?[] 14) Yüksek bir binanın damından yukarı doğru bir top attığınızı düşünün. Top elinizden dam kenarı ile aynı hizada ve yukarı doğru 15 m/s lik bir ilk hızla çıkıp sonrada serbest düşüşe geçsin. Dönüşte dam kenarının hemen yanından geçerek yere düşmeye devam etsin. (a) Topun elinizden çıktıktan 1s ile 4 s sonraki konum ve hızını bulunuz, (b) Topun ulaştığı maksimum yüksekliği ve bu yüksekliğe ne zaman ulaştığını ve (c) topun maksimum yükseklikte iken sahip olduğu hızı ve ivmeyi bulunuz. (d) Hareketin y- t ve v-t grafiklerini çiziniz.(g=10 m/s alınız). 4

5 15) Bir sıcak hava balonu 5 m/s lik bir hızla düşey olarak yukarı doğru yol olmaktadır. Yerden 1 m yukarıda olduğu zaman, balondan aşağıya bir paket bırakılır. (a) Paket havada ne kadar süre kalır? (b) Yere düşmeden hemen önce paketin hızı nedir? (c) Balonun 5 m/s lik hız ile alçalması durumunda a) ve b) şıklarını tekrar cevaplayınız.[] Cevap: (a) t=,643 s (b) v=-0,9 m/s (c) t=1,6 s, v=-0,9 m/s 16) Bir sıcak hava balonu 10 m/s lik bir hızla düşey olarak yukarı doğru yol almaktadır. Balondan aşağıya bir paket balona göre 50 m/s hızla şekildeki gibi eğik olarak atılıyor. Paket 1 s sonra yere düştüğüne göre; (a) Paketin yere çarpma hızı kaç m/s dir? (b) Paket atıldığında balonun yerden yüksekliği kaç metredir? (c) Paket atıldığı noktanın yatayında kaç metre uzağa düşer? (d) Paketin düşeydeki hareketi için hız-zaman grafiği çizip, grafikten yararlanarak ivmesini bulunuz (sin30 0.5, cos ve g=10 m/s alınız) 17) Bir futbolcu, toptan 36 m uzaktaki bir kaleye şut çekmekte ve top 3,05 m yükseklikte olan kale üst direğini sıyırarak gitmektedir. Şut çekildiği zaman, top, zemini yatayla 53 lik bir açı altında 0 m/s lik hızla terk etmektedir. (a) Top, kale üst direğinin ne kadar yakınından geçerek düşer? (b)top üst direğe yükselirken mi, yoksa düşerken mi yaklaşır? [] Cevap: (a) y=3,94 m (b) t 1 =1,63 s ve t =,99 s 5

6 18) Bir otomobil 37 eğimli okyanusa bakan dik bir yamaca park edilir. Sürücü otomobilin vitesini boşta bırakır, yani freni etkisizdir. Otomobil durduğu yerden 4 m/s lik sabit bir ivmeyle yamaçtan aşağıya gitmeye başlar ve uçurumun kenarına kadar 50 m yol alır. Uçurumun okyanustan olan yüksekliği 30 m dir. (a) Uçuruma ulaştığında hızının büyüklüğünü ve oraya varması için geçen zamanı, (b) Okyanusa düştüğü zaman otomobilin hızını, (c) Otomobilin hareket halindeki toplam zamanını, (d) Otomobilin okyanusa düştüğü zaman uçurumun dibine göre konumunu bulunuz. Cevap: (a) v=0 m/s, t 1 =5 s (b) v=31,38 m/s (c) t =1,53 s ve t= t 1 +t =6,53 s (d) x=4,48 19) Bir top, düz bir nehir yatağından yukarıya doğru yüksekliği 0 m olan bir uçurumdan, yatayla yukarı doğru 30 lik açıda ateşlenmektedir. Merminin uçurumun dibinden 40 m açığa düştüğü bulunursa ilk hızı nedir? [] Cevap: v 0 =15,6 m/s 0) Yerde duran bir gözlemciye göre açık vagonlu bir yük katarı 13 m/s hızla sağa doğru gitmektedir. Açık vagon üzerinde bulunan bir kişi motosiklete binmektedir. Motosikletin yerdeki gözlemciye göre hızı (a) 18 m/s sağa, (b) 3 m/s sola, (c) sıfır ise vagona göre bağıl hızının büyüklüğü ve yönü nedir?[1] 6

7 1) Bir gemi rıhtıma 45 cm/s hızla yaklaşırken, kıyıdaki bir kulenin tepesinden gemiye yatayla 60 o ve 15 m/s hızla bir alet atılacaktır. Kule gemi güvertesinden 8.75 m daha yüksektir. Bu aletin geminin tam önüne düşmesi için gemi hangi D mesafesinde iken alet atılmalıdır? [1] Cevap: D=5,5 m ) Küçük bir bilye v 0 hızıyla.75 m yükseklikteki yatay bir platformdan yuvarlanarak düşer. Hava direncinden etkilenmez. Şekilde görüldüğü gibi, yerde, platformun kenarından m mesafede büyük bir çukur vardır. Bilyenin doğrudan çukura düşeceği hızın v 0 aralığını bulunuz.[1] Cevap: Min. v 0 =,67 m/s, Mak. v 0 = 4,67 m/s 3) Bir top, düz bir nehir yatağından yukarıya doğru yüksekliği 0 m olan bir uçurumdan, yatayla yukarı doğru 30 lik açıda ateşlenmektedir. Merminin uçurumun dibinden 40 m açığa düştüğü bulunursa, (a) ilk hızı v 0 nedir? (b) atıldığı noktadan en fazla ne kadar yükselir? (c) yere çarptığında hızı ne olur? (d) Hareketin y-t ve v y -t grafiklerini çiziniz(g=10 m/s alınız) 7

8 4) Bir beyzbol topuna büyüklüğü v 0 olan ilk hız verilmiştir; atış açısı atışın yapıldığı eğik düzlemle Φ kadardır. Düzlemin eğim açısı θ dır. (a) Topun eğik düzlem üzerine düştüğü yerin atış noktasından uzaklığını v 0, g, θ ve Φ cinsinden bulunuz. (b) Eğik düzlem üzerinde en uzun erimi veren Φ açısı nedir? [1] (a) (b) 5) 4. problemdeki şekle bakarak, (a) okçu 30 o eğimli bir yamaçta kendisinden 60 m mesafede eğik düzlem üzerinde olan bir hedefe atış yapmaktadır. Okun yaydan çıktığı andaki ilk hızı 3 m/s dir. Tam hedefi vurabilmek için ok yatayla hangi açıda açılmalıdır? Eğer böyle iki açı varsa küçük olanı hesaplayınız. Eğimin sıfır olduğu bir düzlemde okun hangi açıyla atılması gerektiği ile karşılaştırınız. (b) Aynı problemi yatayın altında 30 o lik eğik düzlem için tekrarlayınız. [1] Cevap: (a) θ=30 için Φ=19,3 o (θ+φ=49,3 o ) ve Eğim sıfır old.da Φ=19,3 o bulunur. (b) θ=-30 için Φ=13 o ve θ+φ=-17 o 6) Güneye doğru m/s hızla akan bir nehirde bir adam motorlu sandalla karşı kıyıya gitmek ister. Sandalın suya göre hızı doğu yönünde 4. m/s dir. Nehrin genişliği 800 m dir. (a) Sandalın yere göre hızının yön ve büyüklüğü nedir? (b) Sandalın yere göre hızı nedir? (c) Nehri geçmek için ne kadar zaman gerekir? Cevap: (a) v m/yer =4.7 m/s θ=65 o (b) v m/su =4. m/s, t=190 s (c) v w/yer = m/s, t=190 s, y=380m 8

9 7) (a) 4. sorudaki sandalın başlangıç noktasının tam karşısına ulaşması için pruvası ne yöne çevrilmelidir (Sandalın suya göre hızı gene 4. m/s dir.)? (b) Sandalın yere göre hızı hızı nedir? (c) Nehri geçmek için ne kadar zaman gerekir? Cevap: (a) θ=8,4 o, north of east. (b) v B/Yer =3,7 m/s, (c)t=16 s 8) Doğrusal bir yolda aynı yönde ilerleyen bir otomobil 6 m/s ve bir kamyon 10 m/s sabit hızlarla giderlerken, otomobil sürücüsü kamyonu geçmek istiyor ve otomobil 4 m/s lik ivme ile hızlanmaya başlıyor. Kamyon şöförü bunu fark edince kamyon da m/s ivme ile hızlanıyor ve kamyon 90 m kadar gittiğinde otomobil kamyonu geçiyor. İvmelenmeye başladıkları zamanlar aynı ve tam o anda aralarındaki mesafe d ise, (a) Otomobil kamyonu kaç saniye sonra geçer? (b) Aralarındaki d mesafesi kaç metredir? (c) Otomobil kamyonu geçtiği anda her ikisinin hızları kaç m/s dir? (d) Aynı grafik üzerinde heriki aracın hız-zaman ve konum-zaman grafiklerini çiziniz. (İki araç içinde otomobilin ivmelenmeye başladığı anda (t=0) konumu sıfır olarak alınız. Araçların uzunlukları önemsizdir) 9

10 BÖLÜM 4. NEWTON UN HAREKET YASALARI VE UYGULAMALARI 1) Şekilde görüldüğü gibi, 3.5 kg ve 8 kg kütleli iki blok, sürtünmesiz bir makaradan geçirilen ip ile iki eğik düzlem üzerinde birbirine bağlanmışlardır. Eğik düzlemler sürtünmesizdir. Her bir kütleye etki eden kuvvetleri serbest cisim diyagramında gösteriniz. (a) Sistemin hareket yönünü ve ivmesini, (b) İpteki gerilmeyi bulunuz.[] Cevap: (a) a=. m/s (b) T=7.4 N ) İki blok (m 1 ve m kütleli) şekilde görüldüğü gibi birbirine, sürtünmesiz bir makara üzerinden kütlesi ihmal edilen bir iple bağlanmışlardır. Bloklarla bulundukları yüzeyler arasındaki sürtünme katsayıları sırasıyla 1=0.1 ve =0. olduğuna göre; (a) Her blok üzerine etki eden kuvvetleri serbest cisim diyagramlarında gösteriniz. (b) Sistemin hareket yönünü ve ivmesini bulunuz. (c) İpteki gerilme kuvvetini (T) bulunuz. [3] Cevap: (b) a=1.96 m/s (c) T= 47 N 3) Üç blok şekilde görüldüğü gibi, sürtünmesiz yatay düzlem üzerinde birbiriyle değme halindedir. m 1 kütlesine yatay olarak F kuvveti uygulanıyor. m 1 = kg, m =3 kg, m 3 =4 kg ve F=18 N ise; (a) blokların ivmelerini bulunuz. (b) her blok üzerine etki eden bileşke kuvvetleri bulunuz (c) Bloklar arası temas kuvvetlerini bulunuz.[] Cevap: (a) a= m/s (c) Q= 8 N, P=14 N 10

11 4) Üç blok, Şekil de görüldüğü gibi birbirlerine bağlanmıştır. Masa pürüzlü ve kinetik sürtünme katsayısı 0.35 tir. Kütleler 4 kg, 1 kg ve kg ve makaralar sürtünmesizdir. Her bloğa ait serbest cisim diyagramını çiziniz. (a) Her bloğun ivmesinin büyüklüğünü ve yönünü bulun. (b) İplerdeki gerilmeleri bulunuz. [] Cevap: (a) a=.31 m/s (c) T 1 =30 N, T =4. N 5) m= kg kütleli bir blok şekilde görülen masa üzerindeki =30 o eğimli eğik düzlemin tepesinden h= 0,5 m yükseklikten serbest bırakılıyor. Eğik düzlem sürtünmesizdir ve H= m yüksekliğindeki masaya tutturulmuştur. (a) Bloğun ivmesini bulunuz. (b) Blok eğik düzlemi terkeder etmez hızı nedir? (c) Blok zemine, masadan ne kadar uzakta çarpar? (d) Blok zemine çarpıncaya kadar geçen toplam süre nedir? (e) Bloğun kütlesi yukarıdaki hesaplamaları etkiler mi? (sin30 0.5, cos30 0.8) []. Cevap: (a) a=4.9 m/s (b) v=3.13 m/s (c)t= s ve R=1.35 m (d) Toplam zaman= =1.14 s (e) Etkilemez. 6) Şekilden görüldüğü gibi, hafif bir iple bağlanan iki kütle, sürtünmesiz bir makaradan geçirilmiştir. Eğik düzlem sürtünmesiz, m 1 = kg, m = 6 kg ve (a) Her bir kütle için serbest cisim diyagramı çiziniz, (b) kütlelerin ivmesini, (c) ipteki gerilmeyi, (d) durgun halden harekete geçtiklerini kabul ederek s sonra her kütlenin hızını bulunuz. (sin55 0.8, cos ) []. 11

12 7) m kütleli küçük bir blok sürtünmesiz bir masa üstündedir ve masadaki bir delikten r kadar uzaktadır. Bu bloğa bağlı bir ip delikten geçmektedir ve ucuna M kütleli büyük bir blok asılıdır. Küçük blok v hızı ile ve r yarıçapında bir düzgün dairesel hareket yapmaktadır. Büyük bloğun hareketsiz kalabilmesi için v ne olmalıdır? [1] 8) Kütleleri 4 kg ve 8 kg olan iki blok bir iple bağlı olarak 30 o eğimli bir düzlemden aşağı kaymaktadır. Kütlesi 4 kg olan blokla düzlem arasındaki kinetik sürtünme katsayısı 0.5, kütlesi 8 kg olan blokla zemin arasındaki kinetik sürtünme katsayısı ise 0.35 dir. (a) Blokların ivmelerini hesaplayınız. (b) İpteki gerilimi bulunuz. (c) Blokların yerleri değiştirilip, 4 kg kütleli blok üstte olsaydı ne olurdu?[1] 9) Bir mühendis, arabaların, sürtünmeye güvenmeksizin savrulmadan dönebilecekleri eğimli bir otoyol virajı yapmak istiyor. Başka bir deyişle, yol buzlu olsa bile araba belirlenen hızla kaymadan virajı dönebilmektedir. Bir arabanın böyle bir virajı 14 m/s lik hızla dönebileceğini varsayınız. Virajın yarıçapı da 50 m olsun. Yolun eğimi ( ) kaç derece olmalıdır? [] 1

13 10) m 1 =0.5 kg kütleli bir hava diski bir ipin ucuna bağlanarak sürtünmesiz yatay bir masa üzerinde R=1 m yarıçaplı çembersel yörüngede dolanmaktadır. İpin diğer ucunu masanın ortasındaki delikten geçirildikten sonra Şekilde görüldüğü gibi bir m = kg kütlesi ile denge sağlanmaktadır. (a) İpteki gerilme nedir? (b) Hava diskine uygulanan merkezcil kuvvet nedir? (c) Hava diskinin hızı ne olur? [] 11) Şekildeki 4 kg kütleli blok düşey çıtaya iki iple bağlıdır. Sistem şekildeki gibi çıtanın ekseni etrafında dönerken ipler gerilmektedir ve üst ipteki gerilim 80 N dur. (a) Alt ipteki gerilim nedir? (b) Sistem dakikada kaç devir yapmaktadır? (c) Alt ipim gevşemeye başlayacağı dakikada devir sayısını bulunuz. [1] Çözüm: 1) Küçük bir uzaktan kontrollü arabanın kütlesi 1,6 kg dır. Araba sabit 1 m/s hızla 5 m yarıçaplı bir metal silindir içinde düşey düzlemde dairesel hareket yapmaktadır. Silindir duvarının araba üzerine uyguladığı normal kuvvetin büyüklüğünü (a) silindirin dibindeki A noktasında ve (b) tepesindeki B noktasında nedir? [1] 13

14 13) 14 m yarıçaplı bir dönme dolap merkezinden geçen yatay bir eksen etrafında dönmektedir. Çeperdeki bir yolcunun hızı sabit 7 m/s dir. Bu yolcunun ivmesinin büyüklüğü ve yönü (a) dairesel hareketinin en üst noktasında ve (b) en alt noktasında iken nedir? (c) Dönme dolap bir tam turu ne kadar zamanda alır?[1] 14) Kütlesi m olan küçük bir blok, yarıçapı r olan bir silindir içindedir ve silindir içerisinde düşmeden sabit v hızıyla dönmektedir. Blok ile silindir zemini arası sürtünmeli ve sürtünme katsayısı k dır. Verilenlere göre; (a) Blok ile zemin arasındaki sürtünme katsayısı ve bloğun v hızı nasıl hesaplanır? Çözüm: Öncelikle r yarıçaplı yörüngede düzgün dairesel hareket yapan m kütlesine etki eden kuvvetleri gösteririz. Daha sonra bu kütle için Newton un 1. ve. yasaları sisteme uygulanır ve problem çözülür. Newtonun 1. yasasından Fy fs mg 0 fs mg (1) bulunur. Newtonun. yasasına göre m kütlesinin sabit hızla dönebilmesi için, N kuvvetinin etkisi altında r yarıçapı yönünde bir merkezcil ivmeye sahip olması gerekir. Burada yarıçap yönünde etkiyen net kuvvet sadece N kuvvetidir. Newtonun. yasasına göre; v v Fr m.a r m. N m. () bulunur. r r Bildiğimiz gibi sürtünme kuvveti = (sürtünme katsayısı) x (zemine dik normal kuvvet) olduğundan, f s kn (3) yazabiliriz. Şimdi elimizdeki (1), () ve (3) denklemlerini kullanarak bizden istenenleri hesaplayabiliriz. (1) ve () ifadeleri (3) te yerine yazılırsa, v g.r g.r fs k.n mg k.m mg k veya v (4) r v k İfadeleri bulunur. k ve v yi bu ifadeleri kullanarak bulabiliriz. (b) Eğer yukarıdaki silindir sorusunda m= kg, r=3 m, k=0.3 olursa; (i) v yi bulunuz. (ii) Merkezcil ivme ve periyodu bulunuz. g.r 10.3 v v 10 m / s bulunur. a r m.. m/s bulunur. k 0,3 r 3 3 T= r/v=.3.3/10=1,8 s bulunur. Açısal hız ise =v/r=10/3 rad/s dir. 14

15 15) Kütlesi m olan küçük bir blok bir ters koni içindedir; koni ekseni etrafında döner ve bir devri T zamanında tamamlar. Koni duvarları düşeyle β açısı yapmaktadır. blok ve koni duvarı arasında statik sürtünme katsayısı μ s dir. Bloğun koninin dibinden h kadar yükseklikte hareketsiz kalabilmesi için T nin maksimum ve minimum değerleri nelerdir? [1] Cevap: bulunur. 16) m= kg kütleli bir blok şekilde görülen masa üzerindeki =30 o eğimli eğik düzlemin tepesinden h= 0,5 m yükseklikten serbest bırakılıyor. Eğik düzlem sürtünmesizdir ve H= m yüksekliğindeki masaya tutturulmuştur. (a) Bloğun ivmesini bulunuz. (b) Blok eğik düzlemi terkeder etmez hızı nedir? (c) Blok zemine, masadan ne kadar uzakta çarpar? (d) Blok zemine çarpıncaya kadar geçen toplam süre nedir? (e) Bloğun kütlesi yukarıdaki hesaplamaları etkiler mi? (sin30 0.5, cos30 0.8) []. Cevap: (a) a=4.9 m/s (b) v=3.13 m/s (c)t= s ve R=1.35 m (d) Toplam zaman= =1.14 s (e) Etkilemez. 15

16 17) Kütleleri 4 kg ve 8 kg olan iki blok bir iple bağlı olarak 30 o eğimli bir düzlemden aşağı kaymaktadır. Kütlesi 4 kg olan blokla düzlem arasındaki kinetik sürtünme katsayısı 0.5, kütlesi 8 kg olan blokla zemin arasındaki kinetik sürtünme katsayısı ise 0.35 dir. (a) Blokların ivmelerini hesaplayınız. (b) İpteki gerilimi bulunuz. (c) Blokların yerleri değiştirilip, 4 kg kütleli blok üstte olsaydı ne olurdu?[1] Cevap: 18) Şekildeki A bloğunun ağırlığı 1.4 N, B bloğununki 4. N dur. Tüm yüzeyler arasında kinetik sürtünme katsayısı 0.3 tür. Kütlesiz esnek bir ip sabit bir makaradan geçirilerek kütleler birbirlerine bağlanmıştır. B bloğunu sola doğru sabit hızla çekmek için gerekli F kuvvetinin büyüklüğünü bulunuz. Cevap: F T fab f k 0.40 N 0.40 N 1.68 N.5 N 19) Kütlesi 5 kg olan B bloğu kütlesi 8 kg olan A bloğunun üstündedir ve bloklar yatay bir masadadır. A bloğu ile masa arasında sürtünme yoktur, ancak A ve B arasında statik sürtünme katsayısı 0.75 tir. Hafif bir ip A bloğundan başlayarak kütlesiz ve sürtünmesiz bir makaradan geçer ve ipin diğer ucuna C bloğu asılıdır. Sistem durağan halden serbest bırakıldığında A ve B bloklarının beraber hareket edebilmeleri için C bloğunun kütlesi en fazla ne olabilir? [1] Cevap: 16

17 0) Cevap: 1. Çözüm: Sistemi bütün olarak düşünüp Newtonun. yasasını uygulayarak aşağıdaki gibi sonuca ulaşılır.. Çözüm: Her bir kütleye etki eden kuvvetler gösterilip her kütleye ayrı ayrı Newton un. yasası uygulanırsa da aynı sonuç bulunmalıdır. 17

18 1) Çözüm: 18

19 ) Şekildeki her iki asansör de yukarı yönde m/s lik sabit ivmelerle hareket ediyor. Ortamlar sürtünmesiz olduğuna göre asansörlerin içlerindeki sistemlerin ivmeleri oranı a 1 /a nedir? Cevap: 6/5 3) Şekildeki araba üzerinde bulunan blokların, arabaya göre hareketsiz kalması için F yatay kuvvetinin büyüklüğü ne olmalıdır? Yüzeylerin, tekerleğin ve makaranın sürtünmesiz olduğunu kabul ediniz (İpucu: İpteki gerilmenin m 1 i ivmelendirdiğine dikkat ediniz). Cevap: 4) Şekildeki sistemde, kütleler başlangıçta hareketsiz tutulmaktadır. Bütün yüzeyler, makara ve tekerlekler sürtünmesizdir. F kuvvetinin sıfır olduğunu ve yalnızca m kütlesinin aşağı doğru hareket edebildiğini varsayınız. Kültler serbest bırakıldıktan sonra (a) ipteki T gerilmesini (b) m kütlesinin ivmesini, (c) m 3 kütlesinin ivmesini (d) m 1 kütlesinin ivmesini bulunuz (makaraların araba ile birlikte ivmelendiğine dikkat ediniz) []. (ii) Cevap: (i) 19

20 5) Şekilde görüldüğü gibi, sürtünmesiz yatay masa üzerindeki bir m 1 kütlesi oldukça hafif P 1 makarasından geçen hafif bir iple bağlanmış, sonra da P 1 makarası, P makarasından geçirilen hafif bir iple m kütlesine bağlanmıştır. (a) m 1 kütlesinin ivmesi a 1, m kütlesinin ivmesi a ise, bu ivmeler arasında nasıl bir ilişki vardır? (b) İplerdeki gerilmeler nedir? (c) m 1, m ve g cinsinden a 1 ve a ivmelerini ifade ediniz.[] 6) Şekilde görülen düzenek sistemlerin ivmelerini hesaplamakta kullanılır. Platformdaki bir gözlemci ipe asılı hafif bir topun düşeyle yaptığı açısını ölçer. Hiçbir yerde sürtünme olmadığına göre, (a) açısı ile sistemin ivmesi arasındaki ilişki nasıl bulunur? (b) m 1 =50 kg ve m =150 kg ise nedir? (c) m 1 ve m yi değiştirilebiliyorsanız, oluşturabileceğiniz en büyük açısı nedir? Bunun için m 1 ve m ne olmalıdır?[1] Cevap:(a) (c) (b) 7) Şekilde görüldüğü gibi θ açılı eğik düzlem şeklindeki oyuncak bloğun eğimli yüzeyi çok düzgündür. Blok şekilde gösterilen eksen etrafında döndürülürse, m kütlesi aynı yükseklikte sabit kalabilmektedir. Blok, döner çubuk ucunda döndürüldüğünde m kütlesi blok üzerinde L kadar yükseldiği zaman hızının v glsin ile verildiğini gösteriniz []. 0

21 8) 3.1 gramlık bir madeni para, Şekilde görülen döner disk üzerine yerleştirilen 0 gramlık küçük bir blok üzerine konulmuştur. Blok ile döner disk arasındaki statik sürtünme katsayısı 0.75, kinetik sürtünme katsayısı da 0.64 ise ve aynı zamanda madeni para ile 0 g lık blok arasındaki statik sürtünme katsayısı 0.5, kinetik sürtünme katsayısı 0.45 ise, blok veya madeni paranın kaymadan diskle birlikte dönebilmeleri için, diskin dakikada yapabileceği dönme sayısı nedir?[] 9) Bir eğlence parkında, ekseni etrafında dönen düşey geniş bir silindir vardır. Silindir, içindeki bir kişinin duvarından düşmeden durabilmesine yetecek hızda dönüyor. Şekilde böyle bir silindir görülüyor. Silindir i,le şahıs arasındaki statik sürtünme katsayısı μ s ve silindirin yarıçapı R dir. (a) Şekilde görülen şahsın düşmeden dönebilmesi için maksimum dönme periyodunun T 4 R s / g olduğunu gösteriniz. (b) R=4 m ve μ s =0.4 olması halinde T dönme periyodu için sayısal değer elde ediniz. Silindir dakikada kaç devir yapar? [] 30) Kütlesi m olan küçük bir blok, yarıçapı r olan bir silindir içindedir ve silindir içerisinde düşmeden sabit v hızıyla dönmektedir. Blok ile silindir zemini arası sürtünmeli ve sürtünme katsayısı k dır. Verilenlere göre; (a) Blok ile zemin arasındaki sürtünme katsayısı ve bloğun v hızı nasıl hesaplanır? Çözüm: Öncelikle r yarıçaplı yörüngede düzgün dairesel hareket yapan m kütlesine etki eden kuvvetleri gösteririz. Daha sonra bu kütle için Newton un 1. ve. yasaları sisteme uygulanır ve problem çözülür. Newtonun 1. yasasından Fy fs mg 0 fs mg (1) bulunur. 1

22 Newtonun. yasasına göre m kütlesinin sabit hızla dönebilmesi için, N kuvvetinin etkisi altında r yarıçapı yönünde bir merkezcil ivmeye sahip olması gerekir. Burada yarıçap yönünde etkiyen net kuvvet sadece N kuvvetidir. Newtonun. yasasına göre; v v Fr m.a r m. N m. () bulunur. r r Bildiğimiz gibi sürtünme kuvveti = (sürtünme katsayısı) x (zemine dik normal kuvvet) olduğundan, f s kn (3) yazabiliriz. Şimdi elimizdeki (1), () ve (3) denklemlerini kullanarak bizden istenenleri hesaplayabiliriz. (1) ve () ifadeleri (3) te yerine yazılırsa, v g.r g.r fs k.n mg k.m mg k veya v (4) ifadeleri bulunur. k ve v yi bu ifadeleri r v k kullanarak bulabiliriz. (b) Eğer yukarıdaki silindir sorusunda m= kg, r=3 m, k=0.3 olursa; (i) v yi bulunuz. (ii) Merkezcil ivme ve periyodu bulunuz. a=00/3 m/s, T=1,8 s, =10/3 rad/s 31) Kütlesi m olan küçük bir blok bir ters koni içindedir; koni ekseni etrafında döner ve bir devri T zamanında tamamlar. Koni duvarları düşeyle β açısı yapmaktadır. blok ve koni duvarı arasında statik sürtünme katsayısı μ s dir. Bloğun koninin dibinden h kadar yükseklikte hareketsiz kalabilmesi için T nin maksimum ve minimum değerleri nelerdir? [1] Cevap: Kaynaklar [1] Sears ve Zemansky nin Üniversite Fiziği Cilt 1, Pearson Education Yayıncılık, 1. Baskı,009. [] Serway, Beichner, Çeviri Edit. Kemal Çolakoğlu, Fen ve Mühendislik için Fizik 1, Beşinci baskıdan çeviri, Palme Yayıncılık, 008.