Mühendislik Mekaniği Statik. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş

Ebat: px

Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "Mühendislik Mekaniği Statik. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş"

Esen Sokullu
7 yıl önce
İzleme sayısı:

1 Mühendislik Mekaniği Statik Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş

2 Bölüm 9 Ağırlık Merkezi ve Geometrik Merkez Kaynak: Mühendislik Mekaniği: Statik, R. C. Hibbeler, S. C. Fan, Çevirenler: A. Soyuçok, Ö. Soyuçok.

9. Ağırlık Merkezi ve Geometrik Merkez Basınçlı tanklar tasarlanırken, ağırlık merkezlerinin, hacimleri ve yüzey alanları ile içerdikleri sıvı/gazların uyguladıkları kuvvetlerin hesaplanması

3 9. Ağırlık Merkezi ve Geometrik Merkez Basınçlı tanklar tasarlanırken, ağırlık merkezlerinin, hacimleri ve yüzey alanları ile içerdikleri sıvı/gazların uyguladıkları kuvvetlerin hesaplanması gerekir. Bu bölümde, bu hesaplamaları yapabilmek için gerekli yöntemleri inceleyeceğiz. Aynı analiz yöntemi çizgiler, alanlar ve hacimlerin geometrik merkezini belirlemek için de kullanılacaktır.

4 9.1 Parçacık Sisteminin Ağırlık Merkezi ve Kütle Merkezi Ağırlık Merkezi. Analizimize ayrık parçacıklar sistemi ile başlayıp uygulamayı keyfi şekilli cisimler için geliştireceğiz. Parçacıkların ağırlıkları, yerini belirli bir uygulama noktası olan tek bir (eşdeğer) bileşke ağırlığın alabileceği, bir paralel kuvvetler sistemi oluşturur. Bu uygulama noktasına G ağırlık merkezi denir. Bileşke ağırlık, n tane parçacığın toplam ağırlığına eşit olmalıdır.

5 9.1 Parçacık Sisteminin Ağırlık Merkezi ve Kütle Merkezi Ağırlık Merkezi. Bütün parçacıkların ağırlıklarının x, y ve z eksenlerine göre toplam momentleri, bileşke ağırlığın bu eksenlere göre momentine eşittir.

6 9.1 Parçacık Sisteminin Ağırlık Merkezi ve Kütle Merkezi Kütle Merkezi. Kuvvet etkisi altındaki maddenin hareketi, yani, dinamik ile ilgili problemleri incelemek için, kütle merkezi adı verilen noktanın konumunu belirlemek gerekir. g yerçekimi ivmesi olmak üzere, W = mg dir. Bu ifade, soldaki denklemde yerine yazılıp pay ve paydada g yok edilir. Ağırlık ve kütle merkezi konumlarının çakıştığı görülür. Ancak, parçacıklar sadece yerçekimi etkisindeyse ağırlığa sahip olur. Kütle merkezi ise yerçekiminden bağımsızdır.

7 9.2 Bir Cismin Ağırlık, Kütle ve Geometrik Merkezleri Ağırlık Merkezi. Önceki analizden farklı olarak, burada yer alan parçacıkların her birinin dw diferansiyel ağırlığına sahip olduğu düşünülür ve integrasyon gerekir. γ: özgül ağırlık.

8 9.2 Bir Cismin Ağırlık, Kütle ve Geometrik Merkezleri Kütle Merkezi. denklemi az önce verilen denklemlerde yerine yazılırsa, cismin kütle merkezini belirlemek için kullanılabilen benzer denklemler elde edilebilir. Geometrik Merkez. Geometrik merkezin konumu, bir cismin ağırlık merkezi veya kütle merkezini belirlemek için kullanılan formüllere benzer formdaki formüllerden belirlenebilir. Cismi meydana getiren malzeme homojense, yoğunluk veya özgül ağırlık tüm cisimde sabit olacaktır. Sonuç olarak elde edilen formüller cismin ağırlığından bağımsız olduğundan, geometrik merkezi tanımlar.

9 9.2 Bir Cismin Ağırlık, Kütle ve Geometrik Merkezleri Hacim. Bir cisim, dv hacim elemanlarına bölünürse, cismin hacmi için geometrik merkezin konumu, bu elemanların koordinat eksenlerine göre momentleri alınarak belirlenebilir.

10 9.2 Bir Cismin Ağırlık, Kütle ve Geometrik Merkezleri Alan. Benzer şekilde, bir plaka veya kabuğun yüzey alanının geometrik merkezi, alanı da diferansiyel elemanlarına bölüp, bu alan elemanlarının koordinat eksenlerine göre momentleri alınarak bulunabilir.

11 9.2 Bir Cismin Ağırlık, Kütle ve Geometrik Merkezleri Çizgi. İnce bir çubuk veya tel gibi bir cismin geometrisi çizgi formundaysa, geometrik merkez aşağıdaki formüllerle hesaplanır. Çizginin geometrik merkezi.

12 9.2 Bir Cismin Ağırlık, Kütle ve Geometrik Merkezleri Çizgi. Diferansiyel elemanın uzunluğu Pisagor teoreminden belirlenebilir. Uygulamada, yukarıdaki iki denklemden birisi, integral işlemini basitleştirecek şekilde seçilir.

13 9.2 Bir Cismin Ağırlık, Kütle ve Geometrik Merkezleri Çizgi. Tüm uzunluğu taramak için tek bir integral işlemi yeterli olacaktır.

14 9.2 Bir Cismin Ağırlık, Kütle ve Geometrik Merkezleri Analizde İzlenecek Yol. Aşağıdaki prosedür, bir cismin veya şeklin ağırlık merkezini veya geometrik merkezini tek bir integral işlemi ile belirleme yöntemini vermektedir. Diferansiyel Eleman. Uygun bir koordinat sistemi seçilir ve koordinat eksenleri belirtilir. Sonra, integrasyon için uygun bir eleman seçilir. x, y, z eksenleri kullanılıyorsa, çizgiler için bu dl elemanı bir diferansiyel çizgi parçası olarak gösterilir; alanlar için da elemanı genellikle sonlu uzunluğa ve diferansiyel genişliğe sahip bir dikdörtgendir; hacimler için dv elemanı, ya sonlu yarıçapa ve diferansiyel kalınlığa sahip dairesel bir disk veya uzunluğu ve yarıçapı sonlu olan ve diferansiyel kalınlığa sahip bir kabuktur.

15 9.2 Bir Cismin Ağırlık, Kütle ve Geometrik Merkezleri Boyutlar ve Moment Kolları. Elemanın dl uzunluğu, da alanı veya dv hacmi, şekil sınırlarını tanımlamak için kullanılan koordinatlar cinsinden ifade edilir. İntegrasyonlar. İntegral işlemi, ancak integrali alınacak fonksiyon elemanın diferansiyel kalınlığı ile aynı değişken cinsinden ifade edildiğinde yapılabilir. İntegral sınırları, elemanın diferansiyel kalınlığının iki uç konumundan belirlenir ve böylece, elemanlar toplandığında veya integral alındığında tüm bölge taranmış olur.

16 Örnek 9-1 Şekilde gösterilen bir parabolik yay şeklinde bükülmüş olan çubuğun geometrik merkezinin konumunu belirleyiniz.

17 Örnek 9-1

18 Örnek 9-2 Şekilde gösterilen dairesel tel parçasının geometrik merkezinin konumunu belirleyiniz.

19 Örnek 9-2

20 Örnek 9-3 Şekilde gösterilen üçgenin alanının geometrik merkezinin koordinatını belirleyiniz.

21 Örnek 9-3

22 Örnek 9-4 Şekilde gösterilen çeyrek dairenin geometrik merkezinin yerini belirleyiniz.

23 Örnek 9-4

24 Örnek 9-5 Şekilde gösterilen alanın geometrik merkezinin yerini belirleyiniz.

25 Örnek 9-5

26 Örnek 9-5

27 Örnek 9-7 Şekilde gösterilen taralı alanın y ekseni etrafında döndürülmesi ile oluşan paraboloidin geometrik merkezinin koordinatlarını belirleyiniz.

28 Örnek 9-7

9.3 Bileşik Cisimler Bileşik cisim, dikdörtgen, üçgen, yarım daire, v.s. şeklinde, birbirine bağlı «basit» şekilli cisimler takımından oluşur. Böyle bir cisim genellikle parçalara bölünür.

29 9.3 Bileşik Cisimler Bileşik cisim, dikdörtgen, üçgen, yarım daire, v.s. şeklinde, birbirine bağlı «basit» şekilli cisimler takımından oluşur. Böyle bir cisim genellikle parçalara bölünür. Parçalarının her birinin ağırlık ve ağırlık merkezleri kullanılarak integral işlemine gerek kalmadan tüm parçanın ağırlık merkezi belirlenebilir. Bu yöntem, her bir parçayı bir parçacık olarak ele almayı gerektirir. Bileşik cismin G ağırlık merkezinin koordinatları:

30 9.3 Bileşik Cisimler Beton bariyeri devirmek için gerekli kuvveti hesaplayabilmek için öncelikle G ağırlık merkezi belirlenmelidir.

31 9.3 Bileşik Cisimler Analizde İzlenecek Yol. Parçalar. Çizim yapılarak, cisim basit şekillere sahip sonlu sayıda parçaya bölünür. Parça bir boşluğa veya malzeme içermeyen bir geometrik bölgeye sahipse, parça boşluksuz olarak düşünülür ve boşluk negatif ağırlıklı veya boyutlu ek bir parça gibi ele alınır. Moment Kolları. Çizim üzerinde koordinat eksenleri oluşturulur ve her bir parçanın ağırlık merkezinin veya geometrik merkezinin koordinatları belirlenir. Toplamlar. Ağırlık merkezi denklemleri veya buna benzer geometrik merkez denklemleri uygulanarak koordinatlar belirlenir. Cisim bir eksene göre simetrik ise, merkez bu eksen üzerinde olacaktır.

32 Örnek 9-9 Şekilde gösterilen telin geometrik merkezini belirleyiniz.

33 Örnek 9-9

34 Örnek 9-10 Şekilde gösterilen plak alanının geometrik merkezini belirleyiniz.

35 Örnek 9-10

36 Örnek 9-11 Şekilde gösterilen bileşik cismin kütle merkezini belirleyiniz. Kesik koninin yoğunluğu, yarımkürenin yoğunluğu

37 Örnek 9-11

38 *9.4 Pappus ve Guldinus Teoremleri Pappus ve Guldinus teoremleri, bir dönel cismin yüzey alanını ve hacmini bulmak için kullanılır. Yüzey Alanı Dönel yüzeyin alanı, doğuran eğrinin uzunluğu ile, yüzey oluşurken eğrinin geometrik merkezinin aldığı yolun çarpımına eşittir.

39 *9.4 Pappus ve Guldinus Teoremleri Yüzey Alanı Bu yapıda kullanılması gereken kaplama malzemesinin miktarı, Pappus ve Guldinus Teoremi ile yüzey alanı hesaplanarak tahmin edilebilir.

40 *9.4 Pappus ve Guldinus Teoremleri Pappus ve Guldinus teoremleri, bir dönel cismin yüzey alanını ve hacmini bulmak için kullanılır. Hacim Dönel cismin hacmi, doğuran alan ile hacim oluşurken alanın geometrik merkezinin aldığı yolun çarpımına eşittir.

41 *9.4 Pappus ve Guldinus Teoremleri Hacim Bu silo içindeki malzemenin hacmi, Pappus ve Guldinus Teoremi ile belirlenebilir.

42 Örnek 9-12 Kürenin yüzey alanının A = 4πR 2 olduğunu gösteriniz.

43 Örnek 9-12 Kürenin hacminin V = 4/3 πr 3 olduğunu gösteriniz.

44 Örnek Şekilde gösterilen bütün katı cismin yüzey alanı ve hacmini belirleyiniz.

45 Örnek 9- --

46 Örnek 9- --

Benzer belgeler

Gerçekte yükler yayılı olup, tekil yük problemlerin çözümünü kolaylaştıran bir idealleştirmedir.

STATIK VE MUKAVEMET 4. Ağırlık Merkezi AĞIRLIK MERKEZİ Gerçekte yükler yayılı olup, tekil yük problemlerin çözümünü kolaylaştıran bir idealleştirmedir. Statikte çok küçük bir alana etki eden birbirlerine