SIMÜLASYON DERS SORUMLUSU: DOÇ. DR. SAADETTIN ERHAN KESEN. Ders No:5 Rassal Değişken Üretimi

Transkript

1 SIMÜLASYON DERS SORUMLUSU: DOÇ. DR. SAADETTIN ERHAN KESEN Ders No:5

2 RASSAL DEĞIŞKEN ÜRETIMI Bu bölümde oldukça yaygın bir biçimde kullanılan sürekli ve kesikli dağılımlardan örneklem alma prosedürleri üzerinde durulacaktır. Daha önceki tartışmalar ve örnekler genel olarak belirsizlik içeren faaliyetlerin modellenmesinde istatistiksel dağılımların faydaları üzerineydi. Örneğin varışlar arası zamanlar kuyruktaki servis zamanları ve bir ürüne olan talep genellikle tahmin edilemez (en azından bir yere kadar). Genellikle, bu değişkenler bazı bilinen istatistiksel dağılımlara uyan rassal değişkenler olarak modellenir ve varsayılan dağılımın parametrelerini tahmin etmek için ve varsayılan istatistiksel modelin geçerliliğini test etmek için istatistiksel prosedürler mevcuttur. 2/60

3 RASSAL DEĞIŞKEN ÜRETIMI Bu bölümde bir dağılımın tam olarak belirlendiği kabul edilecek ve simülasyon modelinin girdisi olarak kullanılacak bu dağılımdan örneklemler üretmenin yolları araştırılacaktır. Bu bölümde amaç en etkin tekniklerin bir özetini vermek yerine rassal değişken üretmek için yaygın olarak kullanılan teknikleri açıklamaktır. Pratikte bir çok simülasyon model kurucusu program kütüphanesindeki mevcut rutinleri kullanacak yada kullanılan simülasyon dilinin içine gömülü rutinleri kullanacaktır. Ancak bazı programlama dilleri tüm dağılımlar için rutinler içermemekte ve bazı bilgisayar kurulumları rassal-değişken-üretme rutinlerine sahip değildir ki bu durumda model kurucu kabul edilebilir bir rutin geliştirmek zorundadır. Böyle bir durumun ortaya çıkma şansı düşük olsa da rassal değişken üretiminin nasıl gerçekleştiğini bilmek önemlidir. 3/60

4 RASSAL DEĞIŞKEN ÜRETIMI Bu bölümde ters dönüşüm tekniği, konvolüsyon metodu ve kabulret tekniği incelenecektir. Burada anlatılan tüm teknikler düzgün rassal sayılar olan R 1, R 2, lerin elimizde hazır olduğunu ve her bir R i rassal değişkeninin aşağıdaki olasılık yoğunluk fonksiyonuna sahip olduğunu kabul etmektedir. 1, 0 x 1 f R x = 0, d. d. Ve birikimli dağılım fonksiyonu 0, x < 0 F R x = x, 0 x 1 1, x > 1 Bu bölümde R ve R 1, R 2, (0,1) aralığında düzgün dağılmış rassal sayıları temsil etmektedir. 4/60

5 TERS DÖNÜŞÜM TEKNIĞI (INVERSE TRANSFORMATION TECHNIQUE) Ters dönüşüm tekniği üstel, düzgün, Weibull ve üçgen dağılım ile ampirik dağılımlardan örneklem almak için kullanılabilirler. Ayrıca kesikli dağılımlardan örneklem alınmasında kullanılan önemli bir tekniktir. Teknik üstel dağılım için detaylı olarak anlatılacak ve sonrasında diğer dağılımlar için uygulanacaktır. Hesaplama kolaylığı açısından her zaman en etkini olmasa bile en basit tekniktir. 5/60

6 TERS DÖNÜŞÜM TEKNIĞI (ÜSTEL DAĞıLıM) Üstel dağılımın olasılık yoğunluk fonksiyonu (oyf) hatırlanacağı üzere aşağıdaki gibidir: f x = λe λx, x 0 0, x < 0 ve birikimli dağılım fonksiyonu (bdf) aşağıdaki gibidir: x F x = f t dt = 1 e λx, x 0 0, x < 0 λ parametresi birim zamandaki oluşum sayısının ortalaması olarak yorumlanabilir. Örneğin, eğer varışlar arası zamanlar X 1, X 2, X 3, λ oranına sahip üstel dağılıma uysalardı λ birim zamandaki ortalama varış sayısı veya varış oranı olarak yorumlanabilirdi. Herhangi bir i değeri için 6/60 E X i = 1 λ

7 TERS DÖNÜŞÜM TEKNIĞI (ÜSTEL DAĞıLıM) Böylece 1 λ ortalama varışlar arası zamandır. Burada amaç üstel dağılıma sahip X 1, X 2, X 3, değerlerini üretmek için bir prosedür geliştirmektir. Ters dönüşüm tekniği en azından prensip olarak herhangi bir dağılım için kullanılabilir ancak özellikle birikimli dağılım fonksiyonu F x in tersi olan F 1 x kolayca hesaplanabildiğinde oldukça etkin bir tekniktir. Üstel dağılım için ters dönüşüm tekniğinin kullanımına ilişkin prosedür aşağıda adım-adım gösterilmiştir. 7/60

8 TERS DÖNÜŞÜM TEKNIĞI (ÜSTEL DAĞıLıM) Adım 1. Arzu edilen X rassal değişkeninin cdf sini hesapla. Üstel dağılım için cdf F x = 1 e λx, x 0. Adım 2. X in bölgesi üzerinde F x = R olarak ata. Üstel dağılım için, x 0 bölgesinde 1 e λx = R olur. X bir rassal değişken olduğu için (bu durumda üstel dağılıma uyar) 1 e λx de rassal değişkendir. Adım 3. F x = R denkleminde X i R cinsinden bul. Üstel dağılım için çözüm aşağıdaki gibi yapılır: 1 e λx = R e λx = 1 R λx = ln 1 R X = 1 λ ln 1 R 8/60

9 TERS DÖNÜŞÜM TEKNIĞI (ÜSTEL DAĞıLıM) Yukarıdaki son eşitlik üstel dağılım için rassal-değişken üreticisi olarak bilinir. Genel olarak, yukarıdaki eşitlik X = F R olarak yazılır. Değerler dizisinin üretimi Adım 4 deki gibi olacaktır. Adım 4. Gerektiği kadar R 1, R 2, R 3, düzgün rassal sayılar üret ve istenilen rassal değişkenleri aşağıdaki şekilde üret. X i = F 1 R i Üstel durum için, F 1 R = 1 λ ln 1 R şeklindedir: Böylece X i = 1 λ ln 1 R i i = 1, 2, 3, Yukarıdaki denklemde 1 R i yerine R i yazılabilir. Böylece X i = 1 λ ln R i i = 1, 2, 3, 9/60

10 TERS DÖNÜŞÜM TEKNIĞI (ÜSTEL DAĞıLıM: ÖRNEK) Aşağıdaki tablo rassal sayılar dizisini ve hesaplanan üstel değişkenleri X i vermektedir λ = 1. i R i 0,1306 0,0422 0,6597 0,7965 0,7696 X i 0,1400 0,0431 1,078 1,592 1,468 Aşağıdaki şekil (a) da düzgün dağılımdan elde edilmiş 200 adet rassal sayının R 1, R 2,, R 200 histogramını vermektedir. Şekil (b) ise 200 adet üretilen üstel rassal değişkene X 1, X 2,, X 200 ilişkin histogramı vermektedir. Bu ampirik histogramları Şekil (c) ve Şekil (d) de verilen teorik yoğunluk fonksiyonlarıyla karşılaştırınız. Burada verildiği üzere histogram dağılım fonksiyonunun bir tahminidir. 10/60

11 TERS DÖNÜŞÜM TEKNIĞI (ÜSTEL DAĞıLıM: ÖRNEK) 11/60

12 Aşağıdaki şekil ters dönüşüm tekniğinin grafiksel olarak yorumlanması amacıyla hazırlanmıştır. Buradaki birikimli dağılım fonksiyonu F x = 1 e λx olarak verilmiştir λ = 1 için. F x ile X 1 değeri üretmek için ilk olarak 0 ile 1 arasında bir R 1 rassal sayısı üretilir. Sonra R 1 den bdf nin grafiğine yatay bir çizgi çizilir ve X 1 i elde etmek için x-eksenine dik bir çizgi indirilir. 12/60

13 TERS DÖNÜŞÜM TEKNIĞI (DÜZGÜN DAĞıLıM) a, b aralığında tanımlı düzgün dağılmış bir X rassal değişkenini dikkate alalım. X i üretmek için makul bir tahminin aşağıdaki gibi olabileceği düşünülebilir. X = a + b a R R nin daima (0, 1) aralığında bir rassal sayı olduğunu hatırlayalım. X için oyf aşağıdaki gibidir: 1 f x = b a, a x b 0, diğer durumda Adım 1. X için bdf aşağıdaki gibi verilir: 0, x < a x a F x = b a, a x b 1, x > b Adım 2. F x = x a b a = R olarak ata. Adım 3. Yukarıdaki denklemde X çekildiğinde X = a + b a R elde edilir. 13/60

14 TERS DÖNÜŞÜM TEKNIĞI (WEIBULL DAĞıLıMı) Weibull dağılımı genellikle makineler ve elektronik parçaların arızalanana kadar geçen zamanın modellenmesinde kullanılmaktadır. X weibull rassal değişkeni için oyf aşağıdaki gibidir: β x β 1 f x = e x δ β, x 0 δ δ 0, diğer durumda Burada β şekil ve δ ölçek parametrelerini göstermektedir. Weibull rassal değişkeni üretmek için aşağıdaki adımlar takip edilir: Adım 1. Weibull rassal değişkeni için bdf F x = 1 e x δ β, x 0 şeklindedir. Adım 2. F x = 1 e x δ β = R olarak ata. Adım 3. Yukarıdaki denklemde X çekildiğinde X = δ ln 1 R elde edilir. 14/60 1 β

15 TERS DÖNÜŞÜM TEKNIĞI (ÜÇGEN DAĞıLıM) Aşağıdaki oyf ye sahip bir X rassal değişkeni düşünelim. x, 0 x 1 f x = 2 x, 1 < x 2 0, diğer durumda Bu dağılım uç nuktaları (0,2) ve tepe değeri 1 olan üçgen dağılıma uymaktadır. 15/60