CHAPTER 1 INTRODUCTION NUMBER SYSTEMS AND CONVERSION. Prof. Dr. Mehmet Akbaba CME 221 LOGİC CİRCUITS

CHAPTER 1 INTRODUCTION NUMBER SYSTEMS AND CONVERSION Prof. Dr. Mehmet Akbaba CME 221 LOGİC CİRCUITS 1 Prof. M. Akbaba Digital Logic 10/12/2015

This Chapter includes: Digital Systems and Switching Circuits Number Systems and Conversion Binary Arithmetic 2 Prof. M. Akbaba Digital Logic 10/12/2015

DIGITAL SYSTEMS AND SWITCHING CIRCUITS Figure 1-1: Switching circuit 3 Prof. M. Akbaba Digital Logic 10/12/2015

Prof. M. Akbaba Digital Logic 4 0 0 1 1 1 1... R d R d R d R d S n n n n...... 2 2 1 1 0 0 1 1 1 1 R d R d R d R d R d R d S n n n n 1. Number Systems In a number system a number S, with base value (taban değeri) R and weighting coefficients (ağırlık katsayıları) d, can be represented as (without decimal digits (tam sayı)): Fractional numbers (kesirli sayılar) similarly can be represented as: 10/12/2015

I. Decimal (onluk, on tabanlı) number system Base in decimal system is 10 and wighting coefficients are numbers from 0 to 9 (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. The standard form is: n n 1 1 0 1 2 D d 10 d 10... d 10 d 10 d 10 d 10... n n 1 1 0 1 2 For example a decimal number 523 can be represented as: (R=10, d 2 =5, d 1 =2, d 0 =3) 523= 5x10 2 +2x10 1 +3x10 0 =500+20+3 II. Binary (ikili, iki tabanlı) number system İn Binary number system weight coefficients are numbers 0 and 1 and base is 2. In this system each step is one BIT (BInary DigiT). For example 100110 is a binary number. Leftmost digit is the most significant bit (MSB) (first 1 (red) ) in the above example) and the rightmost digit is the less significant bit (LSB) (last 0 (blue) in above example) 5 Prof. M. Akbaba Digital Logic 10/12/2015

In the binary number system if we denote the number with B the general form of representation is; B d n 2 n Example: d n n 1 1 0 1 2 12... d12 d02 d 12 d 22... 1011.101 = 1x2 3 + 0x2 2 + 1x2 1 + 1x2 0 + 1x2-1 + 0x2-2 + 1x2-3 MSB: Most significant bit MSB 1001011 LSB III. Octal (sekizli, sekiz tabanlı) number system Base in octal system is 8 and the weights are from 0 to 7 (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7). The standard form is: n n 1 1 0 1 2 O d 8 d 8... d 8 d 8 d 8 d 8... n n 1 1 0 1 2 Example: O= (76.45) 8 = 7x8 1 +6x8 0 +4x8-1 +5x8-2 LSB: Less significant bit 6 Prof. M. Akbaba Digital Logic 10/12/2015

IV. Hexadecimal (onaltılı, onaltı tabanlı) number system Base in hexadecimal (or shortly hex) system is 16 and weights are from 0 to 15 (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F). The standard form is: H d n 16 n d n n 1 1 0 1 2 116... d116 d016 d 116 d 216... (A=10, B=11, C=12, D=13, E=14, F=15) Examples: H= (26.75) 16 = (2x16 1 +6x16 0 +7x16-1 +5x16-2 ) 10 H=(A5D.2C) 16 =(10x16 2 +5x16 1 +13x16 0 +2x16-1 +12x16-2 ) 10 7 Prof. M. Akbaba Digital Logic 10/12/2015

NUMBER CONVERSION Division Result Remainder 1271 / 2 = 635 1 635 / 2 = 317 1 317 / 2 = 158 1 158 / 2 = 79 0 79 / 2 = 39 1 39 / 2 = 19 1 19 / 2 = 9 1 9 / 2 = 4 1 4 / 2 = 2 0 2 / 2 = 1 0 1 1 LSB MSB Therefore (1271) 10 =(10011110111) 2 Prof. Dr. Mehm Akbaba BLM221 8 10/12/2015

NUMBER CONVERSION 9 Prof. M. Akbaba Digital Logic 10/12/2015

10 Prof. M. Akbaba Digital Logic 10/12/2015

Turkish convension for number conversion: SIMPLIFICATION OF NOTATION IN NUMBER CONVERSION Convert (256.45) 10 to binary sistem: Therefore (256) 10 = (100000000) 2 Division Remainder 11 Prof. M. Akbaba 256 /2=128 0 128 /2=64 0 64 /2=32 0 32 /2=16 0 16 /2=8 0 8 /2=4 0 4 /2=2 0 2 /2=1 0 1 1 Digital Logic 10/12/2015

Therefore (256) 10 = (100000000) 2 Fractional part: 0. 45 0.9 0.8 0.6 0.2 0.40 0.8 2 2 2 2 2 2 2 X... X... X... X... X... X... X... 0.90 1.8 1.6 1.2 0.4 0.8 1.6 (0.45) 10 =(0.0111001) 2 0/2+1/4+1/8+1/16+1/128=0+0.25+0.125+0.0625+0.0078= 0.4453 0.45 Therefore (256.45) 10 (100000000.0111001) 2 12 Prof. M. Akbaba Digital Logic 10/12/2015

Another Example Convert (256.45) 10 to base 6 : Division Remainder 256 /6=42 4 42/6=7 0 7/6=1 1 1 1 Therefore (256) 10 = (1104) 6 =1*6 3 +1*6 2 +0*6 3 +4*6 0 =216+36+0+4*1=256 13 Prof. M. Akbaba Digital Logic 10/12/2015

Fractional part: 0. 45 0.70 0.20 0.20 0.20 6 6 6 6 6 X... X... X... X... X... 2.70 4.20 1.20 1.20 1.20 Threfore (0.45) 10 =(0.24111) 6 2/6+4/62 + 1/63 +1/64 +1/65=0.3333+0.1111+0.0046+0.0007716+0.0001286=0.45 Therefore (256.45) 10 (1104.24111) 6 14 Prof. M. Akbaba Digital Logic 10/12/2015

SIMPLIFICATION OF NOTATION IN NUMBER CONVERSION EXAMPLE: COVERT (269.125) 10 to: a) Binary b) Hex a) To binary: 269/2=134 remainder=1 134/2= 67 remainder=0 67/2=33 remainder=1 33/2=16 remainder=1 16/2=8 remainder=0 8/2=4 remainder=0 4/2=2 remainder=0 2/2=1 remainder =0 1/2=0 remainder=1 15 Logic Circuits Prof.Dr. M. Akbaba 10/12/2015

THEREFORE (269) 10 = (100001101) 2 (1x2 8 +0x2 7 +0x2 6 +0x2 5 +0x2 4 +1x2 3 +1x2 2 +0x2 1 +1x2 0 = =256+0+0+0+0+8+4+1=269) Fractional part: 0.125x2=0.250, whole number=0 0.250x2=0.500, whole number=0 0.500x2=1.00, whole number=1 Hence: (269.125) 10 =(100001101.001) 2 16 Logic Circuits Prof.Dr. M. Akbaba 10/12/2015

b) To hexadecimal 269/16=16 remainder= 13 16/16=1 remainder=0 1/16=0 remainder=1 Therefore (269) 10 =(10D) 16 Fractional part: 0.125x16=2.000 whole number part=2 Hence: (269.125) 10 =(10D.2) 16 (1x16 2 +0x16 1 +13x16 0 +2x16-1 =256+0+13+0.125=269.125) 17 Logic Circuits Prof.Dr. M. Akbaba 10/12/2015

Example: Convert (673.124) 8 to binary and then to hexadecimal number system. 6 10 = 110 2, 7 10 = 111 2, 3 10 = 011 2, 1 10 = 001 2, 2 10 = 010 2, 4 10 = 100 2 (673.124) 8 = (110 111 011.001 010 100) 2 To convert to hex we group binary number 4 by 4: (673.124) 8 = (0001 1011 1011. 0010 1010 0) 2 1 11(B) 11(B). 2 10(A) (Correspondence of each group) Therefore (673.124) 8 =(1BB.2A) 16 18 Prof. M. Akbaba Digital Logic 10/12/2015

BINARY ARITHMETIC Arithmetic operations in digital systems are usually done in binary, because design of logic circuits to perform binary arithmetic is much easier than for decimal. Binary arithmetic is carried out in much the same way as decimal, except the addition and multiplication tables are much simpler. 19 Prof. M. Akbaba Digital Logic 10/12/2015

The addition table for binary numbers is: 0 + 0 =0 0 + 1 = 1 1 + 0 = 1 1 + 1= 0 and carry 1 to the next column Carrying 1 to a column is equivalent to adding 1 to that column. 20 Prof. M. Akbaba Digital Logic 10/12/2015

Example: Add 13 10 and 11 10 in binary. 1 1 1 1 Carries 13 10 = 1 1 0 1 11 10 = 1 0 1 1 1 1 0 0 0 =24 10 1000=1x2 3 +0x2 2 +0x2 1 +0x2 0 =8+0+0+0=8 100=1x2 2 +0x2 1 +0x2 0 =4+0+0+0=4 1=1x2 0 =1 [ (1101) 2 =(13) 10 ] 1000=1x2 3 +0x2 2 +0x2 1 +0x2 0 =8+0+0+0=8 10=1x2 1 +0x2 0 =2+0=2 1=1x2 0 =1 [ (1011) 2 =(11) 10 ] 21 Prof. M. Akbaba Digital Logic 10/12/2015

11000=1x2 4 +1x2 3 +0x2 2 +0x2 1 +0x2 0 =16+8+0+0+0=24 Example 2: Add decimal numbers 64 and 99 in binary addition 1 Carrie 64 10 = 1 0 0 0 0 0 0 + 99 10 = 1 1 0 0 0 1 1 163 10 = 1 0 1 0 0 0 1 1 1x2 7 +0x2 6 +1x2 5 +0x2 4 +0x2 3 +0x2 2 +1x2 1 +1x2 0 = =128+0+32+0+0+0+2+1=163 10 (10100011) 2 =(163) 10 (binary 10100011 = decimal 163) 22 Prof. M. Akbaba Digital Logic 10/12/2015

Binary Subtraction The subtraction table for binary numbers is 0 0 = 0 0 1 = 1 and borrow 1 from the next column 1 0 = 1 1 1 = 0 Borrowing 1 from a column is equivalent to subtracting 1 from that column. 23 Prof. M. Akbaba Digital Logic 10/12/2015

Examples of Binary Subtraction a) 1 Indicates a borrow from the third column 1 1 1 0 1-1 0 0 1 1 1 0 1 0 24 Prof. M. Akbaba Digital Logic 10/12/2015

b) (notice how the barrow propagates from column to column in this example. In order to borrow 1 from the second column, we must in turn borrow 1 from the third column, etc. ) 1 1 1 1 borrows 1 0 0 0 0-1 1 1 1 0 1 25 Prof. M. Akbaba Digital Logic 10/12/2015

c) An alternative to binary subtraction is the use of 2 s complement arithmetic, as will be discussed later. 1 1 borrows 1 1 1 0 0 1-1 1 1 1 0 1 1 0 26 Prof. M. Akbaba Digital Logic 10/12/2015

Binary multiplication The multiplication table for binary numbers is 0 x 0 = 0 0 x 1 = 0 1 x 0 = 0 1 x 1 = 1 27 Prof. M. Akbaba Digital Logic 10/12/2015

Binary multiplication example The following example illustrates multiplication of 13 10 by 11 10 in binary: 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 =143 10 28 Prof. M. Akbaba Digital Logic 10/12/2015

When doing binary multiplication, a common way to avoid carries greater than 1 is to add in the partial products one at a time as illustrated by the following example: 1 1 1 1 multiplicand 1 1 0 1 multiplier 1 1 1 1 1st partial product 0 0 0 0 2nd partial product (0 1 1 1 1) sum of first two partial products 1 1 1 1 3rd partial product (1 0 0 1 0 1 1) sum after adding 3rd partial product 1 1 1 1 4th partial product 1 1 0 0 0 0 1 1 final product (sum after adding 4th partial product) 29 Prof. M. Akbaba Digital Logic 10/12/2015

Binary Division a) Divide 110 2 by 10 2 in binary 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 (Answer) 30 Prof. M. Akbaba Digital Logic 10/12/2015

b) Divide 10100 2 by 101 2 in binary: 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 (Answer) 31 Prof. M. Akbaba Digital Logic 10/12/2015

c) Divide 145 10 by 11 10 in binary: 145 10 =10010001 2 11 10 =10010001 2 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 (Answer) The quotient is 1101 and remainder 10 32 Prof. M. Akbaba Digital Logic 10/12/2015

d) Divide 25 10 by 8 10 (=3.125 10 ) 11.001 1000 11001 1000 01001 1000 0001000 1000 0000 33 Prof. M. Akbaba Digital Logic 10/12/2015

e) Full divide 29 10 by 6 10 up to four factional digits 100,1101 110 11101 110 001010 110 01000 110 001000 110 0010 34 Prof. M. Akbaba Digital Logic 10/12/2015

ÖRNEK: (41.6875)10 sayısını ikili sisteme çeviriniz. Tamsayı kısmı 41 / 2 = 20, kalan = 1 20 / 2 = 10, kalan = 0 10 / 2 = 5, kalan = 0 5 / 2 = 2, kalan = 1 2 / 2 = 1, kalan = 0 1 / 2 = 0, kalan = 1 (41) 10 = (101001) 2 Kesirli kısım 0.6875 2 = 1.3750 tamsayı = 1 0.3750 2 = 0.7500 tamsayı = 0 0.7500 2 = 1.5000 tamsayı = 1 Example in Turkish 0.5000 2 = 1.0000 tamsayı = 1 (0.6875) 10 = (1011) 2 (41.6875) 10 = (101001.1011) 2 35 Prof. M. Akbaba Digital Logic 10/12/2015

REPRESENTATION OF NEGATIVE NUMBERS In most computers to represent both the positive and and negative numbers, the first bit in a word is used as sign bit. 0 is used for positive numbers and 1 is used for negative numbers. In n bit word first bit is sign bit and n-1 bits represents the amplitude. For example 00101 represents +5 and 10101 Represents -5. Different codes are possible to represent negative numbers. For example: 36 Prof. M. Akbaba Digital Logic 10/12/2015

1000 represents minus zero in sign and magnitude System, where as - 8 in the 2 s complement system. 2 s complement and 1 s complement systems are special systems to represent negative numbers. Using one of these systems subtraction of numbers are easily performed using rules of addition, as will be discussed later in this section. 2 s complement of a number -N is defined as: N* = 2 n N (2 s complement) n: number of digits used For n=4, -N is represented by 16-N. For example -3 is represented by 16-3=13=(1101) 2 (2 s complement of -3) (sign bit is not complemented) For n=4, -5 in 2 s complement =16-5=11=(1011) 2 37 Prof. M. Akbaba Digital Logic 10/12/2015

Positive numbers remain in their natural form. 1 s complement of an integer -N is defined as: N=(2 n -1)-N (1 s complement) (1-3) In 1 s complement, for n=4, -5 is represented by 16-1-5 =10 =1010 2. As a shortcut 1 s complement of a negative number can be obtained by complementing each bit, i.e., replacing 0 with 1 and 1 with 0. For example +6 = 0110 2 and -6 in 1 s complement is 1001. -6=1110 2-6 in 1 s complement=1001 Notice that sign bit is not complemented. 38 Prof. M. Akbaba Digital Logic 10/12/2015

2 s complement can be obtained in two ways: 1) Get 1 s complement and add 1 +3 = 0011 2. 1 s complement of -3 is 1100 1 s complement 1 add 1 1101 2 s complement 2) Start from right and keep the digits same until first 1. Then complement all bits to the left of the first 1 (simplest way). +3 = 0011 2-3= 1011 2 and 2 s complement of -3 is: 1101 Table 1.1 shows 1 s and 2 s complements for n=4. 39 Prof. M. Akbaba Digital Logic 10/12/2015

Sayı Sistemlerinin İncelenmesi 1.3 Sekizli (Octal) Sayı Sistemi Taban değeri sekiz olan ve 0-7 arası (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7) değer alan sayı sistemidir. Genel ifadesi; O= d n 8 + d n-1 8 n-1 +... + d 1 8 1 + d 0 8 0 + d -1 8-1 + d_ 2 8-2 +... şeklinde olur. Örnek: X= (47.2) 8 X= 4x8 1 +7x8 0 +2x8-1 KBUZEM 40 12.10.2015

Sayı Sistemlerinin İncelenmesi 1.4 Onaltılı (Hexadecimal) Sayı Sistemi Taban değeri 16 olan ve 0-15 arası (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F) değer alan sayı sistemidir. Genel ifadesi; (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A=10, B=11, C=12, D=13, E=14, F=15) H= d n 16 n + d n-1 16 n-1 +... + d 1 16 1 + d 0 16 0 + d -1 16-1 + d -2 16-2 +... olur. 12.10.2015

Sayı Sistemlerinin İncelenmesi Örnekler: a) H=(2A.C) 16 =2x16 1 +10x16 0 +12x16-1 b) H= (26.75) 16 = (2x16 1 +6x16 0 +7x16-1 +5x16-2 ) 10 c) H=(A5D.2C) 16 =(10x16 2 +5x16 1 +13x16 0 +2x16-1 +12x16-2 ) 10 KBUZEM 42 12.10.2015

Sayı Sistemlerinin Dönüştürülmesi 2. Sayı Sistemlerinin Dönüştürülmesi 2.1 Onluk sayıların ikili, sekizli ve onaltılı sayılara dönüştürülmesi Onluk sayı sisteminde tamsayıyı diğer sayı sistemine dönüştürmek için onluk sayı dönüştürülecek sayıya sürekli bölünür ve sondan başa doğru kalan yazılır. KBUZEM 43 12.10.2015

Sayı Sistemlerinin Dönüştürülmesi Onluk sayıların ikilik sayılara dönüştürülmesi ÖRNEK 1 : (53) 10 sayısını ikili sayı sistemine çeviriniz. 53 / 2 = 26, kalan = 1 En küçük bit (LSB: Less Significant Bit) 26 / 2 = 13, kalan = 0 13 / 2 = 6, kalan = 1 6/ 2 = 3, kalan = 0 3 / 2 = 1, kalan = 1 1/ 2 = 0, kalan = 1 En büyük bit (MSB: Most Significant Bit) KBUZEM 44 12.10.2015

Sayı Sistemlerinin Dönüştürülmesi Tam sayı kısmı için sıralama aşağıdan yukarıya doğrudur. (53) 10 = (110101) 2 Örnek 2: (1271) 10 dönüştürelim. sayısını ikili sayıya Çözüm: KBUZEM 45 12.10.2015

Sayı Sistemlerinin Dönüştürülmesi İşlem Bölüm Kalan 1271 / 2 = 635 1 635 / 2 = 317 1 317 / 2 = 158 1 158 / 2 = 79 0 79 / 2 = 39 1 39 / 2 = 19 1 19 / 2 = 9 1 9 / 2 = 4 1 4 / 2 = 2 0 2 / 2 = 1 0 1 1 KBUZEM 46 12.10.2015

Sayı Sistemlerinin Dönüştürülmesi Sonuç olarak kalan kolonunu aşağıdan yukarıya doğru sıralarsak; (1271) 10 = (10011110111) 2 eşitliği bulunur. Kesirli onluk sayılar ikili sayıya dönüştürülürken kesirli kısım sürekli 2 ile çarpılır. Çarpım sonucunda elde edilen sayının tam sayı kısmı yazılır. kesirli kısım 2 ile yeniden çarpılır. Bu işleme kesirli kısım 0 değerine (veya 0 a çok yakın bir değere) ulaşıncaya kadar devam edilir. 12.10.2015

Sayı Sistemlerinin Dönüştürülmesi Kesirli onlu sayılar ikili sayılara dönüştürülürken kesir kısmı 2 ile çarpılır. tam kısmı kaydedilir ÖRNEK 2 : (41.6875) 10 sayısını ikili sisteme çeviriniz. Tamsayı kısmı 41 / 2 = 20, kalan = 1 20 / 2 = 10, kalan = 0 10/ 2 = 5, kalan = 0 5/ 2 = 2, kalan = 1 1/ 2 = 1, kalan = 0 1/ 2 = 0, kalan = 1 12.10.2015

Sayı Sistemlerinin Dönüştürülmesi Kalan kolonu aşağıdan yukarıya doğru sıralanırsa: (41) 10 = (101001) 2 Kesirli kısım 0.6875 *2 = 1.3750 tamsayı = 1 0.3750 *2 = 0.7500 tamsayı = 0 0.7500 *2 = 1.5000 tamsayı = 1 0.5000 *2 = 1.0000 tamsayı = 1 Kesirli kısım için sıralama yukarıdan aşağıya doğrudur. (0.6875) 10 = (1011) 2 (41.6875) 10 = (101001.1011) 2 12.10.2015

Sayı Sistemlerinin Dönüştürülmesi Örnek 3: (0.65) 10 sayısını ikili sayı sistemine çevirelim. Tam sayı Kısım yok. Sadece kesirli kısım vardır. 0.65 * 2 = 1.30 1 (s1) 0.30 * 2 = 0.60 0 (s2) 0.60 * 2 = 1.20 1 (s3) Sıralama yönü yukarıdan aşağıya doğru olduğundan s1, s2, s3 sıralaması takip edilir. Sonuç; (0.65) 10 (0.101) 2 12.10.2015

Sayı Sistemlerinin Dönüştürülmesi Onluk sayıların sekizlik sayılara dönüştürülmesi ÖRNEK 1: (46) 10 sayısını sekizli sayıya dönüştürün 46 / 8 = 5, kalan = 6 5/ 8 = 5, kalan = 5 (46) 10 = (56) 8 Kesirli sayılar sekizli sayıya çevrilirken kesirli kısım 8 ile çarpılarak devam edilir. Tam sayı kısımlar alınıp yukarıdan aşağıya sıralanır. 12.10.2015

Sayı Sistemlerinin Dönüştürülmesi ÖRNEK 1: (46.15) 10 sayısını sekizli sayıya dönüştrün. Tamsayı Kısmı Kesirli Kısım, 46/ 8 = 5, kalan = 6 0.150* 8 = 1.200, tamsayı= 1 5/ 8 = 5, kalan = 5 0.200 * 8 = 1.600 tamsayı =1 0.600 * 8 = 4.800 tamsayı = 4 (53.15) 10 = (56.114) 8 (Daha fazla hassasiyet istenirse kesirli kısım için işlem devam ettirilebilir) 12.10.2015

Sayı Sistemlerinin Dönüştürülmesi Onluk sayıların onaltılık sayılara dönüştürülmesi ÖRNEK 1: (46) 10 sayıyı onaltılık sayıya dönüştürün. 46/16 = 2, kalan = 14 2/ 16 = 0, kalan = 2 (46) 10 = (2E) 16 Kesirli kısım 16 ile çarpılarak çikan sayının tam sayı kısmı alınıp yukarıdan aşağıya doğru sıralanır. 12.10.2015

Sayı Sistemlerinin Dönüştürülmesi ÖRNEK 2: (220.975) 10 sayıyı onaltılık sayıya dönüştrün. Tamsayı kısmı 220 / 16 = 13 kalan = 12 (C) 13 / 16 = 0 kalan = 13 (D Kesirli kısım 0.975x16 = 15.600 tamsayı = 15 (F) 0.600x16 = 9.600 tamsayı = 9 0.600 x 16 = 9.600 tamsayı = 9 (220.975) 10 = (DC.F99) 16 12.10.2015

Sayı Sistemlerinin Dönüştürülmesi 2.2. İkili Sayıların Dönüştürülmesi İkili sistemdeki bir sayı her basamağının ağırlık katsayısı ile çarpılıp bulunan değerlerin toplanması ile onlu sayı sistemine dönüştürülür. ÖRNEK: (10111.101) 2 sayısını onlu sayıya dönüştürünüz. (10101.101) 2 = 1 x 2 4 + 0 x 2 3 + 1 x 2 2 + 1 x 2 1 + 1 x 2 0, 1 x 2-1 + 0 x 2-2 + 1 x 2-3 = 16 + 4 + 1, 0.5 + 0.125 = (23.625) 10 12.10.2015

Sayı Sistemlerinin Dönüştürülmesi İkili Sayıların Onaltılı Sayılara Dönştürülmesi İkili sayılar onaltılı sayıya dönüştürürken sayıların tam kısmı sağdan sola doğru, kesirli kısım ise soldan sağa doğru dörderli grup olarak düzenlenir. Sonra her bir sayı kendi katsayısı ile çarpılarak sonuç bulunur. ÖRNEK: (11101.101) 2 sayısını onaltılı sayıya çeviriniz. (11101.101) 2 = 0 x 2 3 + 0 x 2 2 + 0 x 2 1 + 1 x 2 0 1 x 2 3 + 1 x 2 2 + 0 x 2 1 + 1 x 2 0, 1 x 2 3 + 0 x 2 2 + 1 x 2 1 = (1D.A) 16 12.10.2015

Sayı Sistemlerinin Dönüştürülmesi 2.3 Sekizli Sayıların Dönüştürülmesi Sekizli Sayıların İkili Sayılara dönüştürülmesi Sekizli sayılar ikili sayılara dönüştürürken her basamağın ikili sayıdaki karşılığı yazılır. ÖRNEK: (673.124) 8 sayısını ikili sayıya dönüştürün. 6= 110, 7 = 111, 3 = 011, 1 = 001, 2 = 010, 4 = 100 (673.124) 8 = (110 111 011.001 010 100) 2 12.10.2015

Sayı Sistemlerinin Dönüştürülmesi Sekizli Sayıların Onlu Sayılara dönüştürülmesi Sekizli sayı onlu sayıya dönüştürürken her bir basamaktaki sayı kendi katsayısı ile çarpılır ve toplam bulunur. ÖRNEK : (32.12) 8 sayısını onlu sayıya çeviriniz (32.12) 8 = 3 x 8 1 + 2 x 8 0, 1 x 8' 1 + 2 x 8-2 = 24 + 2, 0.125 + 0.03125 = (26.15625) 10 12.10.2015

Sayı Sistemlerinin Dönüştürülmesi Sekizli Sayının Onaltılı Sayıya dönüştürülmesi Sekizli sayıyı onaltılı sayıya dönüştürmenin en kolay yolu sekizli sayıyı ikili sayıya dönüştrüp sonra onaltılı sayıya dönştürmektir (İkili sayıya dönüştürüldükten sonra 4 lü guruplar alınır). ÖRNEK : (32.12) 8 sayısını onaltılı sayıya dönüştürün. 3= 011, 2 = 010, 1 = 001, 2 = 010 (32.12) 8 = (011 010.001 010) 2 = 0 x 2 3 + 0 x 2 2 + 0 x 2 1 + 1 x 2 0 1 x 2 3 + 0 x 2 2 + 1 x 2 1 + 0 x 2 0, 0 x 2 3 + 0 x 2 2 + 1 x 2 1 + 0 x 2 0 1 x 2 3 = (1A.28) 16 12.10.2015

Sayı Sistemlerinin Dönüştürülmesi 2.4 Onaltılı sayıların Dönüştürülmesi Onaltılı sayıların ikili sayılara dönüştürülmesi Onaltılı sayılar ikili sayılara dönüştürürken onaltılı sayının her basamağındaki sayının ikili sayı karşılığı 4 bit olarak yazılır. ÖRNEK: (32.12) 16 sayısını ikili sayıya dönüştürün 3= 0011, 2 = 0010, 1 = 0001, 2 = 0010 (32.12) 16 = (0011 0010. 0001 0010) 2 12.10.2015

Sayı Sistemlerinin Dönüştürülmesi Onaltılı sayıların sekizli sayıya dönüştürülmesi Onaltılı sayıları sekizli sayıya dönüştrmenin en kolay yolu onaltılı sayıyı önce ikili sayıya dönüştürüp sonra sekizli sayıya dönüştürmektir. ÖRNEK: (32.12) 16 sayısını sekizli sayıya dönüştürün. = (0011 0010. 0001 0010) 2 (32.12) 16 = (62.044) 8 12.10.2015

Sayı Sistemlerinin Dönüştürülmesi Onaltılı sayıların onlu sayıya dönüştürülmesi Onaltılı sayı onlu sayıya çevrilirken her bir basamaktaki sayı kendi katsayısı ile çarpılır ve toplam bulunur. ÖRNEK: (32.12) 16 sayısını onlu sayıya dönüştürün (32.12) 16 = 3 x 16 1 + 2 x 16 0, 1 x 16-1 + 2 x 16-2 = 48 + 2, 0.0625 + 0.00781 = (50.0703) 10 12.10.2015

Sayı Sistemlerinde Hesaplama 3.0 Sayı Sistemlerinde Hesaplama Bütün sayı sistemlerinde işaret (+ veya -) kullanılabilir ve aşağıdaki bağıntılar bütün sayı sistemlerinde uygulanabilir. 1) +a + (+b) = a + b 2) +a + (-b) = a - b 3) +a - (+b) = a - b 4) +a - (-b) = a + b 12.10.2015

Sayı Sistemlerinde Hesaplama 3.1 İkili (Binary) Sayı Sisteminde Toplama İkili sayılarda toplama onlu sayılarda olduğu gibi basamak basamak toplamak suretiyle yapılır. Binary (ikili) sayı sisteminde toplama kuralı aşağıdaki gibidir: 0+0=0, 0+1=1, 1+0=1, 1+1=0 ve bir önceki (bir soldaki) kolona 1 ekle 0 + 0 =0 0 + 1 = 1 1 + 0 = 1 1 + 1= 0 ve bir önceki kolona 1 ekle 12.10.2015

Sayı Sistemlerinde Hesaplama ÖRNEK 1: (111) 2 sayısı ile (011) 2 sayısını toplayınız. 1 1 1 Eklemeler 1 1 1 + 0 1 1 10 1 0 12.10.2015

Sayı Sistemlerinde Hesaplama ÖRNEK 2: (1101.110) 2 + (0110.101) 2 + (1111.111) 2 sonucunu bulunuz. 1101.110 0110.101 + 1111.111 100100.010 Örnek 3: Desimal 64 ve 99 sayılarını binary (ikili) sayı sistemi kullanarak toplayınız. (carrie: elde) 12.10.2015

Sayı Sistemlerinde Hesaplama 1 Carrie 64 10 = 1 0 0 0 0 0 0 + 99 10 = 1 1 0 0 0 1 1 163 10 = 1 0 1 0 0 0 1 1 1x2 7 +0x2 6 +1x2 5 +0x2 4 +0x2 3 +0x2 2 +1x2 1 +1x2 0 =128+0+32+0+0+0+2+1=163 10 (10100011) 2 =(163) 10 (binary 10100011 = desimal 163) 12.10.2015

Sayı Sistemlerinde Hesaplama 1.İkili (Binary) Sayı Sisteminde Çıkarma İkili sayılarda çıkarma onlu sayılara benzer olarak yapılır. 0-0 = 0, 1-0 = 1, 1-1 = 0, 0-1 = 1 (Borç 1, bir soldaki kolondan 1 borç alınır ) ÖRNEK: (1101.110) 2 - (0110.101) 2 sonucunu bulunuz. 1101.110-0110.101 0111.001 12.10.2015

Sayı Sistemlerinde Hesaplama 1.İkili (Binary) Sayı Sisteminde Çıkarma İkili sayılarda çıkarma onlu sayılara benzer olarak yapılır. 0-0 = 0, 1-0 = 1, 1-1 = 0, 0-1 = 1 (Borç 1, bir soldaki kolondan 1 borç alınır ) ÖRNEK: (1101.110) 2 - (0110.101) 2 sonucunu bulunuz. 1101.110-0110.101 0111.001 12.10.2015

Sayı Sistemlerinde Hesaplama İkili sayılarda sayının sıfırdan küçük olması durumunda doğrudan çıkarma işlemi uygulanamamaktadır. Bunun yerine tümleyen aritmetiğine göre çıkarma işlemi uygulanmaktadır. İkili sayılarda sayının sıfırdan küçük olması durumunda doğrudan çıkarma işlemi uygulanamamaktadır. Bunun yerine tümleyen aritmetiğine göre çıkarma işlemi uygulanmaktadır. ÖRNEK 1: (11) 2 sayısını (111001) 2 sayısından çikartınız. (barrow: Borç) 12.10.2015

Sayı Sistemlerinde Hesaplama ÖRNEK 1: (11) 2 sayısını (111001) 2 sayısından çikartınız. (barrow: Borç) 1 1 borrows 1 1 1 0 0 1-1 1 1 1 0 1 1 0 12.10.2015

Sayı Sistemlerinde Hesaplama Örnek 2: 1 1 1 1 borrows 1 0 0 0 0-1 1 1 1 0 1 12.10.2015

İkili Sayı Sisteminde (Binary) Çarpma Binary çarpmanın temeli aşağıdaki gibidir: 0 x 0 = 0 0 x 1 = 0 1 x 0 = 0 1 x 1 = 1 73 10/12/2015 BLM221-B Mantik Devreleri Hafta 1-2 Ek Notlar Prof. Dr. Akbaba

Örnek 1 13 10 ve 11 10 sayılarının binary çarpımını bulalım: 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 =143 10 74 10/12/2015 BLM221-B Mantik Devreleri Hafta 1-2 Ek Notlar Prof. Dr. Akbaba

Sayı Sistemlerinde Hesaplama Örnek 2: Binary çarpma yaparken eldeleri şaşırmadan doğru yapmak için ara çarpımlar yapmak kolaylık sağlar. 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1. ara çarpım 0 0 0 0 2. ara çarpım (0 1 1 1 1) 1. ve 2. ara çarpımların toplamı 1 1 1 1 3. ara çarpım (1 0 0 1 0 1 1) 3. ara çarpımdan sonraki toplam 1 1 1 1 4. ara çarpım 1 1 0 0 0 0 1 1 Sonuç 12.10.2015

İkili Sayı sisteminde (Binary) Bölme Binary bölme normal ondalık sayıdaki bölme gibidir Örnek 1: 110 2 sayısını 10 2 sayısına bölelim ( binary bölme) 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 (Sonuç) 76 10/12/2015 BLM221-B Mantik Devreleri Hafta 1-2 Ek Notlar Prof. Dr. Akbaba

Sayı Sistemlerinde Hesaplama Örnek 2: Sayısını 25 10 8 10 sayısına binary olarak bölelim (=3.125 10 ) 11.001 1000 11001 1000 01001 1000 0001000 1000 0000 12.10.2015

REFEENCES 1. Hüseyin EKİZ, Mantık Devreleri, Değişim Yayınları, 4. Baskı, 2005 2. Prof. M. Akbaba Mantık Devreleri Notları 3.Thomas L. Floyd, Digital Fundamentals, Prentice-Hall Inc. New Jersey, 2006 4.M. Morris Mano, Michael D. Ciletti, Digital Design, Prentice-Hall, Inc.,New Jersey, 1997 10/12/2015