İSTATİSTİK DERS NOTLARI BOLÜM 1 TANIMLAR VE KAVRAMLAR Veri. Varlılara ait özelliklerin ölçülüp kaydedilmesi ile elde edilen sayı, harf ya da işaretlerin her birine veri denir. İstatistik biliminin kullandığı veri bu tanıma girer. Günümüzde ses ve görüntü kayıtları da veri olarak kabul edilmiştir. Bu tür verinin işlenmesi özel yöntemler gerektirmektedir. Kişilerle ilgili cinsiyet, yaş, boy uzunluğu, din, ırk ve kişilerin bir olay hakkındaki düşünceleri, ülkelerin nüfusları birer sosyal veri, hava sıcaklığı, nem oranı, rüzgar hızı, deprem şiddeti, nehrin debisi, ışık hızı ve ışık dalga boyu birer doğal veri, bina yüksekliği, asfalt sıcaklığı, bir arabanın hızı birer teknik veridir. Veri, bir olgunun bir özel koşulda ölçülüp kaydedilmesi olarak da yorumlanabilir. Veri türleri. Ölçülebilme ya da sayılabilme özelliğine göre verinin nitel ya da nicel sınıfa ait olduğu kabul edilir. 1) Nitel veri (sayısal olmayan/kalitatif) varlıkların sayısal olarak ölçülemeyen özelliklerinin sınıflandırılması ya da sıralanması ile elde edilir. Örneğin, renk, ırk, din, cinsiyet, eğitim düzeyi, rütbe, gelir düzeyi gibi verilerler nitel veridir. Harf, rakam ya da özel işaretler kullanılarak kayda geçirilen veriye kodlu nitel veri denir. Cinsiyet k ve e harfleriyle, iller sıra numaralarıyla kodlanarak gösterilebilir. Üzerinde matematiksel işlem yapılamaz, yapılsa bile anlamlı değildir. 2) Nicel (sayısal/kantitatif) veri, varlıkların özelliklerinin sayısal olarak ölçülmesi ya da sayılması ile elde edilir. Nicel veri üzerinde anlamlı matematiksel işlemler yapılabilir. Uzunluk, ağırlık, yaş, sıcaklık, zaman, çocuk sayısı, ağaçtaki elma sayısı birer nicel veridir. Burada çocuk sayısı, elma sayısı sayılarak, ağırlık ve sıcaklık ise ölçülerek elde edilmiş nicel verilerdir. Kesikli ve sürekli nicel veri. Sonlu sayıda olup sayımla elde edilen veriye kesikli nicel veri, sonsuz sayıda olup ölçmeyle elde dilen veriye sürekli nicel veri denir. Örneğin 100 kez atılan bir tavla zarında gözlemlenen altı sayısı, ailelerin çocuk sayısı, yapılan sınavlarda başarılı olanların sayısı, kesikli nicel verilerdir. Zaman içinde bir istasyonda ölçülen hava sıcaklığı ve nem oranı, bir örneklemdeki kişilerin boy uzunlukları ve aylık harcamaları birer sürekli nicel veridir. İstatistik(Bilim dalı). İstatistik, veriyi toplayan, özetleyen, yorumlayan, çözümleyen(analiz eden) ve ondan sonuçlar çıkaran bir bilim dalıdır. İstatistiksel bilgi. Verinin özetlenmesi, yorumlanması, çözümlenmesi ve verinin geldiği kitle hakkında çıkarsamalarda bulunulması sonucunda istatistiksel bilgi elde edilir. Kitle(anakütle, popülasyon), araştırmacının ilgilendiği özellikleri taşıyan, aynı türdeki varlıkların tümüdür. Genel tanım olarak kitle öğe dediğimiz aynı türdeki varlıklardan oluşur. Örneğin Ankara daki seçmen kitlesinin öğeleri Ankara daki seçmenlerdir. Seçmen ise en az 18 yaşındaki vatandaşlar olarak tanımlanır. Kadın ve erkek vatandaşlardan oluşur.
Burada kitle, Ankara ile sınırlandırılmıştır. Kitlenin sınırları mekan ve zaman verilerek sınırlanabilir. Kitle Ufuk Üniversitesi öğrencileri ise her bir öğrenci kitlenin bir öğesidir. Bir ürünün tüm potansiyel alıcıları, BİST İstanbul daki tüm hisse senetleri,belli bir şehirdeki tüm seçmenler, bir şirketteki tüm alacak hesapları birer kitledir. Geleneksel olarak kitlenin büyüklüğü N ile gösterilir. Örneklem. Örneklem, kitlenin gözlenmiş bir alt kümesidir. Örneklem büyüklüğü n ile gösterilir. Örneklemin kitleyi yeterince temsil etmesi istenir. Örneklem seçimi için Örneğin, kitle olarak kabul edilmiş Ufuk Üniversitesinin tüm öğrencilerinin bir alt kümesi MAT 101 dersine kayıtlı öğrencilerdir ya da kafeteryada oturan öğrenciler olabilir. Ancak bu örneklemlerin kitleyi yeterince temsil edip etmediği tartışmaya açıktır. Betimsel ve çıkarsamalı istatistik. İstatistik bilimi toplanan veriyi betimler ve verinin geldiği kitle hakkında çıkarsamalarda bulunur. Bu görevi nedeniyle, istatistik bilimi betimsel istatistik, ve çıkarsamalı istatistik olmak üzere iki dalda gelişmiştir. Örneklem hakkındaki tüm bilgileri elde etmek, çözümlemek ve yorumlamak betimsel istatistiğin konusudur. Örneklem bilgilerini kullanarak kitle hakkında sonuçlar çıkarmak çıkarsamalı istatistiğin konusudur. Örneğin üniversiteyi temsil eden 100 kişilik bir örneklemde boy uzunluğu hakkındaki bir çok betimsel istatistik elde edilebilir. Fakültelere göre ortalama boy uzunlukları, erkek ve kız öğrenci ayırımında ortalama boy uzunlukları hesaplanıp tablo ve grafik halinde sunulabilir. Bunlar betimsel istatistiklerdir. Ancak üniversite öğrencilerinin tümüne ait ortalama boy uzunluğu hakkındaki bilgi, çıkarsamalı istatistik yöntemleri kullanılarak elde edilebilir. Örneğin üniversitedeki ortalama boy uzunluğunun 170 cm ile 181 cm arasında olması olasılığı ya da ortalama boy uzunluğunun %95 güven ile bulunduğu aralık hesaplanabilir. Bunun yanında üniversitedeki öğrencilerin ortalama boy uzunluğunun 173 cm den büyük olup olmadığı belirli bir güven düzeyinde test edilebilir. Örneklem. Kitlenin bir alt kümesine örneklem denir. Ufuk Üniversitesi öğrencileri kitle ise, seçilmiş bir veya daha fazla sayıdaki öğrenci grubu örneklemdir. Örnekleme. Maddi olanakların ve zamanın yetersizliği nedeniyle kitleyi oluşturan öğelere ilişkin gözlemleri ve bilgileri elde etmek çoğu zaman mümkün değildir. Bu sebeple kitleye ait tüm öğeleri gözlemlemek yerine seçilen bir örneklem (kitlenin bir alt kümesi) üzerinde gözlem yaparak kitleye ait bilgileri tahmin etme yoluna gidilir. Kitleyi en iyi temsil edecek bir örneklemi seçme işlemine, istatistik biliminde, örnekleme denir. Çeşitli örnekleme yöntemleri örneklem seçilebilir. Burada temel ilke, örneklemin yansız ve tarafsız olarak bir rastgele örnekleme yöntemi kullanarak seçilmesidir. Bu yöntemlere olasılıksal ya da rastgele(rassal) örnekleme yöntemleri denir. Basit(yalın) rastgele(rassal) örnekleme. Basit rastgele örnekleme kitleden n büyüklüğünde bir örneklemi seçme yoludur; öyle ki kitlenin her üyesi yalnız şansa bağlı olarak seçilmeli; bir öğenin seçilmesi başka bir öğenin seçiminde etkili olmamalı; her öğe eşit seçilme şansına sahip olmalı; n büyüklüğünde her örneklemin seçilme şansı aynı olmalıdır. Basit rastgele örnekleme yöntemi kullanarak seçilen örnekleme rastgele(rassal) örneklem denir.
Üniversitemizden rastgele seçilmiş 10 kişilik bir örneklemde her öğrencinin bu örnekleme girme şansı eşittir. Bir öğrencinin seçilme şansı diğer bir öğrencinin girme şansını etkilemez. Bu 10 kişilik örneklemin seçilme şansı ile başka bir 10 kişilik örneklemin seçilme şansı eşittir. Sistematik(atlamalı) örnekleme. Tüm öğeleri(n tane), araştırma konusuyla ilgili olamayacak biçimde dizilmiş olarak olan kitleden n büyüklüğünde rastgele örneklem, 1 ile j=n/n arasından seçilmiş bir sayıdan başlamak üzere her j. öğenin seçilmesi ile elde edilir. N=1000 n=100 olsun j=1000/100=10 olur. 1 ile 10 arasında rastgele sayı 5 olsun. Örnekleme giren öğeler 5, 15,25,35,45,..., 995 numaralı öğeler olur. Elde edilen örneklem kitleyi temsil eder. Diğer rastgele örnekleme yöntemleri. Basit rastgele ve sistematik örnekleme yöntemlerinden başka yaygın olarak kullanılan rastgele örnekleme yöntemleri, küme örneklemesi ve tabakalı örnekleme yöntemleridir. Bu yöntemler daha sonraki bölümlerde ele alınacaktır. Kitle katsayısı ve örneklem istatistiği. Kitle katsayısı(parametre) kitlenin belli bir özelliğini betimleyen sayısal bir ölçüdür. Örneklem istatistiği ya da kısaca istatistik ise örneklemin belli bir özelliğini betimleyen sayısal bir ölçüdür. Örneğin, kitle olarak tanımlanan Ufuk Üniversitesi öğrencilerinin boy ortalaması kitle katsayısı(parametre), Üniversiteyi en iyi temsil eden bir örneklemden hesaplanan boy ortalaması ise bir istatistiktir. Yukarıda tanımını verdiğimiz çıkarsamalı istatistik yöntemleri ile, örneklem istatistiğine dayanarak kitle katsayıları hakkında kara vermenin yolları incelenir. Kitlenin belli bir özelliğine ait kitle katsayısını(parametresini) tam olarak bilmediğimizden bir belirsizlik durumu ile her zaman mevcuttur. Örnekleme dayanarak tahmin edilecek kitle katsayısı her zaman bir hataya sahip olacaktır. Bu hata, bilmediğimiz gerçek kitle katsayısı ile örneklem istatistiği arasındaki farktır. Bu hataya örnekleme hatası denir ve doğal olarak bunu da kesin olarak bilemeyiz. Uygulamalı çözümlemelerde örneklemden kaynaklanmayan örnekleme-dışı hatalar da ortaya çıkabilmektedir. Bu tür hataların ortaya çıkmaması ya da en aza indirilmesi için araştırmacılar gerekli önlemli alırlar. Bunun için kitlenin doğru olarak tanımlanması gerekir. Değişkenler. Değişken bir varlığın bir özelliğidir. Bu özellik aynı türdeki birden fazla varlık üzerinde gözlemlenebilir. Gözlenen özellik aynı olmasına rağmen gözlem değerleri farklılık gösterir. Bu sebeple bir değişken, bu özelliği simgeleyen bir kısaltma harf ya da harf rakam karması ile gösterilir. Örneğin kişilerin yaşları kendilerine sorularak gözlemlenmiş olsun. Burada gözlenen özellik kişinin yaşıdır. Yaş kişiden kişiye göre farklılık gösterir. Yaşı simgeleyen bir değişken x ya da yaş ile gösterilebilir. Bu simgelere değişkenin adı denir. Bir değişken gözlem sayısı kadar sayısal değerler alır. Örneklemdeki kişi sayısı 5 olsun. Yaşı simgeleyen x değişkenin aldığı değerler 35, 50, 27, 41, 24 olabilir. Benzer şekilde bir bölgede belli bir zamanda 5 ölçüm istasyonundan alınan hava sıcaklıkları da bir değişkenle gösterilebilir. Değişken gözlemlerin yani verinin değerini taşırlar. Veride içerilen bilginin türü ve miktarına göre değişkenler çeşitli biçimlerde sınıflandırılabilir. Nitel veri değeri
taşıyan değişkenlere nitel değişken, nicel veri değeri taşıyanlara nicel değişken denir. Nicel değişkenlere sayısal değişkenler de denir. Sayısal değişken, verinin kesikli ya da sürekli olmasına göre kesikli değişken sürekli değişken olabilir. Veri ister nitel ister nitel olsun, değişkenler ölçme düzeyine göre de sınıflandırılır. Ölçme düzeyleri. Gözlemlerin kayıta geçirilmesi her zaman ölçme işlemini gerektirir. Diğer bir deyişle veriyi elde etmek için ölçüm yapmak zorunluluğu vardır. Bunu yapabilmek için önce verinin nitel ya da nicel olup olmadığına karar verilmelidir. Eğer veriyi araştırmacı topluyorsa, nitel ya da nicel veriyi hangi düzeyde ölçeceğine de araştırmacı karar verir. Önceden toplanmış verinin hangi düzeyde ölçüldüğü ise genellikle bellidir. Nitel veride sayıların farkı ölçme anlamı taşımaz farkların bir anlamı yoktur. Gözlemler yalnızca sınıflama ile anlam kazanıyor ve kayda geçirilebiliyorsa sınıflı ölçme düzeyi kullanılır. Diğer durumda, gözlem sınıflansa bile ancak sıralı olduğunda anlam kazanıyorsa bu gözlem sıralı ölçme düzeyinde ölçülür ve kayda geçirilir. Böylece nitel verinin iki ölçme düzeyinden bahsedilebilir: 1. Sınıflı /Nominal ölçme düzeyi 2. Sıralı/Ordinal ölçme düzeyi. Sınıflı/Nominal ölçme düzeyi. Sınıflandırılmış(kategorize edilmiş) veri bu ölçme düzeyinde ölçülür. Bu tür veriye nominal ya da ad ölçekli veri de denir. Sınıflar sıralanmaz ya da sıralanması anlamlı olmaz. Örneğin cinsiyet, dil, ırk, din, medeni durumu gibi kişilere ait bu özellikler nominal ölçme düzeyinde ölçülür. Bu özelliklerin her biri sınıflara ayrılır ve bu sınıflara bir ad veya kot verilir. Örneğin yukarıdaki özelliklerin her birine bir değişken adı verilerek kendi içindeki sınıflar kodlanabilir:cins( k e ), dil( tr, ing, fr ), irk( byz, syh, kzl ), din( msl, kat, ort, pro,..), mdurum( e, b, d ). Kodlamalar rakamlarla da yapılabilir: cins(0,1), dil(1, 2, 3), irk(11,12,13), gibi. Rakamların hangi sınıfları gösterdiği ayrıca belirtilir. Sıralı/Ordinal ölçme düzeyi. Yalnızca sıranın önemli olduğu veriler bu ölçme düzeyinde ölçülür. Bu veriye sıra ölçekli veri de denir. Aslında veri sınıflıdır ancak sıralanabilir özelliktedir. Örneğin asker rütbeleri, renklerin açıktan koyuya doğru sırası, ilköğretimden lisansüstüne kadar kademeli eğitim düzeyleri. Benzer biçimde bir fikre katılma derecesi hiç, biraz, orta, çok, tam hem sınıflama hem de en azdan en fazlaya doğru bir sıralama göstermektedir. Renkler(1= Çok açık yeşil, 2=Açık yeşil, 3=yeşil, 4=Koyu yeşil, 5=Çok koyu yeşil). Burada sayılar yalnızca sıra belirtir. Yeşil, çok açık yeşilin 3 katı değildir. Ancak koyuluk sırası yeşilin üstündedir. Rütbeler en düşükten yükseğe doğru sıralanırsa sıralı ölçme düzeyinde veri elde edilir: 1=Teğmen 2=Üsteğmen 3=Yüzbaşı 4=Yarbay 5=Albay. Eğitim düzeyleri de en düşükten yükseğe doğru sınıflanır ve sıralanırsa elde edilen veri sıralı ölçme düzeyinde ölçülmüş olur: 1=İlköğrenim, 2=Ortaöğrenim, 3=Yükseköğrenim, 4= Yüksek Lisans, 5=Doktora. Sıralamaya araştırmacı karar verir. Araştırmacı isterse çok ayrıntılı sınıfları sıralayabilir. Örneğin araştırmacı eğitim düzeylerini, okuma yazma bilmiyor, ilkokul terk, ilköğrenim, orta, lise, önlisans(2 yıllık), önlisans(4 yıllık), lisans, yüksek lisans, doktora biçiminde de sınıflayıp sıralayabilir. Nicel veri de iki ölçüm düzeyinde elde edilebilir.1. Aralık ölçme düzeyi 2. Oran ölçme düzeyi.
Aralık ölçme düzeyi. Aralık ölçme düzeyinde ölçülmüş veri sıralı sayısal veridir. Nesnelere veya bunları temsil eden değişkenlere verilen sayılar eşit aralık belirler. Örneğin 0 ile 100 derece arasındaki sıcaklık farkı her biri bir derece olan 100 eşit parçaya bölünür. Bu değerler üzerinde oransal karşılaştırma yapılamaz. Örneğin iki gündeki sıcaklık ölçümleri biri diğerinden yüksek ya da düşük denebilir ancak biri diğerinin c katıdır denemez. Buna karşılık değerler arasındaki farklar üzerinde her türlü aritmetik işlem yapılabilir ve farklar karşılaştırılabilir. Ölçek üzerinde sıfır olarak işaretlenen noktası gerçek anlamda sıfır değildir yani yokluk anlamına gelmez. Bu anlamda sıfırın kullanımı isteğe kalmıştır. Diğer bir örnek gelir grupları aralık ölçeğinde verilebilir. En düşük gelir aralığından en yüksek gelir aralığına kadar bir dizi aralık verilebilir. 0 ile 100 arasındaki başarı notları 5 eşit parçaya bölünerek bu ölçüm düzeyinde bir aralık ölçeği oluşturulabilir. Aralık ölçme düzeyinde ölçülmüş bir değişken sıralı ölçme düzeyindeki bir değişkene dönüştürülebilir. Örneğin 100 üzerinden ölçülmüş tamsayı notlar yönetmelikte belirtilen sınırlar kullanılarak harf notlarına dönüştürülebilir. Her harf notunda kaç öğrencinin bulunduğu hesaplanabilir. Oran ölçme düzeyi. Oran ölçme düzeyi gerçek sıfır noktası olan bir aralık ölçüm düzeyidir. En güçlü ölçüm düzeyidir. Ne var ki, nesne ve olgulara ilişkin niteliklerin pek çoğu bu ölçme düzeyinin gerektirdiği koşulları sağlamamaktadır. Bu ölçme düzeyindeki değişkenler üzerinde her türlü matematik işlem yapılabilir. Oran ölçme düzeyinde ölçülmüş bir değişken sıralı ölçme düzeyindeki bir değişkene dönüştürülebilir. Örneğin aylık gelir belirli aralıklardaki gelir gruplarına dağıtılarak her gelir grubundaki kişi sayıları hesaplanabilir. Yukarıda tanımlanan ölçme düzeylerinde ölçu lmüş ve kayda geçirilmis veri, ölçme düzeylerinin adları verilerek tanımlanırlar. Örneğin cinsiyet sınıflandırılmıs(nominal) veri, eğitim düzeyi sıralı(ordinal) veri, sıcaklık aralık verisi, yaş oran verisi olarak tanımlanır. Gözlem ve deney verisi. Gözlem ile belirli özellikler ölçülür. Deney ile özellik üzerine bir işlem uygulanır ve bu işlemin özellik üzerindeki etkisi ölçülür. Örneğin kişilerin dikkat durumları gözlem yapılarak ölçülebilir. Eğer kişilere dikkat dağıtan bir işlem yapılır ve ardından dikkat durumu ölçülürse bu bir deneydir. Kişinin dinlenme veya sakin haldeki kan basıncı ölçümü bir gözlem olmasına karşılık kişide ani korku veya endişe yarattıktan sonra alınan kan basıncı ölçümü gözlem değil deney verisidir. Alıştırmalar. 1. Kişilere ait aşağıdaki özellikler gözlenerek elde edilen verilerden hangileri nitel, hangileri nicel veridir? Cinsiyet, ırk, din, medeni durum, kardeş sayısı, doğduğu il, yaşadığı yer, yaş, boy uzunluğu, göz rengi, ayakkabı numarası, bel çevresi, omuz genişliği, sigara içip içmediği, aylık geliri, oy verdiği parti, bir günde okuduğu gazete sayısı, düzenli okuduğu aylık dergi sayısı, birinci derecede çalıştığı banka, seyrettiği Tv dizileri, evindeki TV sayısı, akıllı telefon kullanıp kullanmadığı.
2. Alıştırma 1 deki nicel verilerin hangileri kesikli hangileri süreklidir? 3. Alıştırma 1 de verilen değişkenler hangi ölçme düzeyinde ölçülebilir? 4. Aylık gelir değişkeninin sınıflı ölçme düzeyindeki bir değişkene dönüştürmek için nasıl bir işlem yapılabilir? 5. Üniversite öğrencilerini konu alan bir kitle ve buna ilişkin bir örneklem tanımı veriniz. 6. Öğrencilerin ülke dış politikası hakkındaki görüşlerini belirlemek istiyorsanız uygun bir kitle ve örneklem tanımlayınız. 7. Üniversitemiz öğrencileri hakkında elde edilebilecek beş tane betimsel istatistik belirleyiniz. Bu istatistiklerden hareket ederek üniversitemizin geneli hakkında ne gibi çıkarsamalar yapılabilir? 8. Üniversitemizdeki öğrencileri temsil edecek bir örneklem elde etmek için nasıl bir yöntem önerirsiniz? 9. Üniversitemizde Siyaset Bilimi ve Uluslararası İlişkiler Bölümü öğrencilerinin oluşturdukları kitleden elde edilen gözlemlerden elde edilen sayısal bilgiye ne ad verilir? 10. Kitle ve örneklem kavramlarına günlük yaşantımızdan veya çevremizden birer örnek veriniz. 11. Parametre ve istatistik kavramlarına birer örnek veriniz. 12. Ankara nın bir ilçesindeki siyasi parti eğilimlerini belirlemek için nasıl bir yol izlersiniz? 13. Üniversitenizde öğrencilerin yönetimden beklentilerini belirlemek için nasıl bir yol izlersiniz? Burada araştırma sorusunu nasıl ifade edersiniz? 14. Derslere geç katılan öğrencilerin gecikme sürelerine ilişkin bir istatistik elde etmek için nasıl bir veri toplama ve değerlendirme planı yaparsınız? 15. Yeni açılmış bir kafenin müşterilerine kısa bir anket uygulanmıştır. Aşağıdaki soruların her birine verilen yanıtlar nitel midir, yoksa sayısal mı? Nitelse ölçme düzeyini belirtiniz. Sayısalsa kesiklimidir yoksa süreklimi? 16. Öğretim üyelerine yapılan bir ankette bir dizi soru sorulmuştur. Her sorudaki verinin türünü belirtiniz. a) Ders yükünüze ilişkin memnuniyetinizi belirtin( çok memnun, memnun, ne memnun ne değil, memnun değil, hiç memnun değil) b) Son beş yılda kaç makale yayımladınız? c) Fakültenizdeki son akademik kurula katıldınız mı? d) Öğretim üyesi değerlendirme süreci düzeltilmesi gerekli mi? 17. Bir kooperatif sitesinde oturanlara site yönetimi bir d,z, soru sormuştur. Her bir sorunun veri türünü belirleyiniz. a) Son bir ayda sosyal tesislerden yararlandınız mı? b) Sitenin güvenlik sistemini değerlendiriniz(çok iyi, iyi, zayıf, çok zayıf) c) Son bir ayda sitenin spor tesislerinden yararlandınız mı? 18. Bir üniversitedeki öğrencilerin, cinsiyeti(e,k), dönemi(1-8), akademik ortalaması (0<AO<=4), fakültesi(1-5) verileri bulunmaktadır. Değişkenlerin ölçme düzeylerini belirtiniz.