Merkezi Yığılma ve Dağılım Ölçüleri

Ebat: px

Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "Merkezi Yığılma ve Dağılım Ölçüleri"

Su Koz
9 yıl önce
İzleme sayısı:

1 Merkezi Yığılma ve Dağılım Ölçüleri hafta Merkezi eğilim ölçüleri, belli bir özelliğe ya da değişkene ilişkin ölçme sonuçlarının, hangi değer etrafında toplandığını gösteren ve veri grubunu özetleyen ölçülerdir. Grupların ölçülecek özellik bakımından yorumlanmasını kolaylaştırır. MERKEZİ EĞİLİM ÖLÇÜLERİ Mod Medyan Aritmetik Ortalama Ölçülen özellikle ilgili en yüksek frekansa sahip değerdir. Sıralanmış bir veri grubunun tam ortasındaki değerdir. Puanların toplanarak kişi sayısına bölünmesiyle bulunur. MERKEZİ YIĞILMA (EĞİLİM, VASAT) ÖLÇÜLERİ 1

2 Mod Bir dağılımda en çok tekrarlanan yani en fazla frekansa sahip değere mod denir. Az sayıda veriye dayalı olarak hesaplandığından yeterince güvenilir bilgi vermez. ÖRNEK:, 16, 0, 0, 0, 80, 80 f=1 f=1 f=3 f= Bu sayı dizisinde 0 değeri 3 kez tekrar ettiği için yani frekansı 3 olduğu için, bu dizinin modu 0 dir. Mod Bir frekans dağılımında bütün değerlerin frekansı aynı ise bu frekans dağılımının modu yoktur.,, 4,4, 7,7, 9,9 f= f= f= f=

3 Mod Bir dizi ölçümde ardışık en büyük frekansa sahip iki değerin modu, bu iki değerin ortalamasına eşittir. 1,1, 3,3, 5,5,5, 7,7,7, 10, 13, 15 f= f= f=3 f=3 f=1 f=1 f=1 Bu dizinin modu = 6 olur. Mod Bir dizi ölçümde ardışık olmayan iki değer en fazla frekansa sahipse bu dizinin iki farklı modu vardır. 1,1, 14, 18,18,18, 19, 0,0,0, 5, 3 f=3 f=3 3

4 Medyan (Ortanca) Bir dizi ölçüm büyükten küçüğe veya küçükten büyüğe sıralandıktan sonra diziyi tam ortadan ikiye bölen değere medyan (ortanca) denir. Medyanın kullanılabilmesi için ölçmenin en az sıralama düzeyinde olması gereklidir. Medyan, ölçme sonuçlarına ilişkin dağılımdaki uç değerlerden ve bu değerlerin sayısal büyüklüklerinden etkilenmez. Bu özelliği, medyanın diğer merkezi eğilim ölçülerinden üstün olan yönüdür. Medyan (Ortanca) Medyanı bulmak için; Ölçümde yer alan veri sayısına n dersek ve n tek ise, n +1 ortancanın bulunduğu değerdir. Örnek:, 3, 5, 6, 7, 9, 10 şeklinde sıralı halde verilmiş olan puan dağılımının ortancası, = 4. değer (yani 6) ortancadır. 4

5 Medyan (Ortanca) Medyanı bulmak için; Ölçümde yer alan veri sayısına n dersek ve n çift ise, n n. değer ve. değerlerinin ortalaması ortancadır. +1 Örnek: 5, 8, 10, 14, 3, 34 şeklinde sıralı halde verilmiş olan puan dağılımının ortancası, 6. değer 10, 6 = = 4. değer = 1 Aritmetik Ortalama Verilerin tamamının veri sayısına bölünmesi ile elde edilen değere aritmetik ortalama denir. Aritmetik ortalama, ölçme sonuçlarının ağırlık merkezidir. Ortanca ve mod değerlerinde olduğu gibi, sadece bir kaç veri değil, bir dağılımda yer alan tüm ölçme sonuçlarını dikkate aldığından, dağılım hakkında daha fazla bilgi verir. X + X X n 1 n X = formülüyle hesaplanır. 5

6 AĞIRLIKLI ORTALAMA Sınıflandırılmamış bazı veri kümelerinde verilerin önem dereceleri farklı olabilir. Bu farkların etkisi de ağırlık biçiminde hesaplamaya katılarak Ağırlıklı Ortalama elde edilir. Ağırlıklı ortalama aşağıdaki eşitlik ile hesaplanmaktadır. Örnek: Bir öğrencinin bir dönem boyunca aldığı derslere ilişkin ders kredisi ve not değerleri aşağıda verilmektedir. Kredisi Harf Notu Not Değeri Kredi x Not Matematik 4 BA 3,5 14 Okuma Becerileri BB 3 6 Kimya I 4 CB,5 10 Fizik I 4 CC 8 Türk Dili I AA 4 8 KREDİ TOP 16 TOPLAM 46 Ağırlıklı Ort=46/16=,87 6

7 Merkezi değişim ölçüleri genellikle merkezi eğilim ölçüleriyle birlikte yorumlanır ve ölçme sonuçlarının vasat değer etrafında nasıl yayılım gösterdiğine ilişkin bilgi verir. Bir gruptaki öğrencilerin ölçülen özellik bakımından değişimini görebilmek için kullanılan merkezi değişim ölçüleri ranj (Dizi genişliği), çeyrek sapma ve standart sapmadır. MERKEZİ DAĞILMA ÖLÇÜLERİ Ranj(Dizi Genişliği) Bir veri grubunda en büyük ölçme sonucu ile en küçük ölçme sonucu arasındaki farka ranj denir. Ranjın değerini, dağılımdaki uç değerler belirler. Ranjın hesaplanması kolaydır. Ancak sadece dağılımdaki uç değerler üzerinden hesaplandığı ve dağılımdaki diğer değerleri göz ardı ettiği için kullanışsız bir ölçüdür. Ranj = En büyük ölçüm En küçük ölçüm Merkeze yığılma ölçüsü olarak sadece modun kullanılabildiği verilerde dağılım ölçüsü olarak da ranj kullanılır. 7

8 Ranj(Dizi Genişliği) ÖRNEK 10, 60, 64, 64, 78, 85, 90 en küçük puan en büyük puan Ranj, = 80 olur. Bir gruptaki ranjın büyük çıkması grubun heterojenliğini gösterir. Bu da ölçülen özellik bakımından testin ayırtediciliğinin iyi olduğunu gösterir. Aynı zamanda testin ayırtediciliğini artırdığı için testin güvenilir olduğunu gösterir. Ayırtedicilik için ranj en az testteki soru sayısının yarısı kadar olmalıdır. Örneğin 40 soruluk bir testten ranjın 40/ = 0 den büyük olması gerekir. Örnek 8

1.11.013 Örnek Standart Sapma Standart sapma, ölçme sonuçlarına ilişkin dağılımı niteleyen ve dağılımdaki ölçme sonuçlarının yayılımı hakkında bilgi veren bir istatistiktir.

9 Örnek Standart Sapma Standart sapma, ölçme sonuçlarına ilişkin dağılımı niteleyen ve dağılımdaki ölçme sonuçlarının yayılımı hakkında bilgi veren bir istatistiktir. Standart sapma ne kadar büyük olursa puanların yayılımı o kadar geniş olur. Bu durum aynı zamanda ölçülen özellik açısından grubun heterojen (farklı) yapıya sahip olduğunu gösterir. 9

10 Standart sapma hesaplanırken aşağıdaki işlem sırası izlenir: Aritmetik ortalama hesaplanır.( X ) Her ölçümün aritmetik ortalamadan farkı alınır. ( ) X i X Farkların kareleri alınıp toplanır. ( ( X i X ) ) Bulunan toplam öğrenci sayısına bölünerek ölçümlere ait varyans elde edilir. ( ( X ) i X S = ) n 1 Hesaplanan varyansın karekökü alınır. ( ( ) = X i X S ) n 1 Standart Sapmanın Hesaplanması için Örnek Çalışma Tablosu x x-x (x-x) ,5 = -6, ,5 = -4, ,5 = -3, ,5 = -, ,5 = 1,5 1 17,5 = 3,5 17,5 = 4,5 5 17,5 = 7,5 4,5 0,5 1,5 6,5,5 1,5 0,5 56,5 Toplam 0,00 17 S = 17 =

11 Standart sapmanın büyük olduğu durumlar: Ölçme aracının ediciliği yüksektir. Grup heterojendir. Puanlar arasındaki farklar fazladır. Öğrenci puanlarının grup ortalamasından farkı fazladır. Standart sapmanın küçük olduğu durumlar: ölçme aracının ayırt ediciliği düşüktür. Grup homojendir. Puanlar arasındaki farklar azdır. Öğrenci puanlarının grup ortalamasından farkı azdır 11

1.11.013 Çeyrek Sapma Bir puan dizisindeki yüzde 75 lik sıraya denk gelen puan ile yüzde 5 lik sıraya denk gelen puanın farkının yarısına eşittir.

12 Çeyrek Sapma Bir puan dizisindeki yüzde 75 lik sıraya denk gelen puan ile yüzde 5 lik sıraya denk gelen puanın farkının yarısına eşittir. Çeyrek sapma Q75 = Yüzde 5 lik değer Q5 = Yüzde 5 lik değer formülüyle hesaplanır. Q = Q75 Q5 Çeyrek Sapma (örnek) Sıra Puan Öncelikle puanlar küçükten büyüğe doğru sıralanır. Sıralanan puanlar dört parçaya (çeyreklere) ayrılır. İlk çeyrek ve son çeyrek atıldıktan sonra geriye kalan puanların en yükseğinden en düşüğü çıkarılarak ikiye bölünür. Yani ¼. Ve ¾. Değerler arasındaki yarısıdır. Q Q 5 = = 4 75 = = 4 N N N = 4 3. değer olan 40 3N = 4 9. değer olan 80 Q75 Q Q = = 0 1

Benzer belgeler

Genel olarak test istatistikleri. Merkezi Eğilim (Yığılma) Ölçüleri Merkezi Dağılım (Yayılma) Ölçüleri. olmak üzere 2 grupta incelenebilir.

3.SUNUM Genel olarak test istatistikleri Merkezi Eğilim (Yığılma) Ölçüleri Merkezi Dağılım (Yayılma) Ölçüleri olmak üzere 2 grupta incelenebilir. 2 Merkezi Eğilim Ölçüleri, belli bir özelliğe ya da değişkene