Merkezi Eğilim ve Dağılım Ölçüleri

Ebat: px

Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "Merkezi Eğilim ve Dağılım Ölçüleri"

Pembe Derici
8 yıl önce
İzleme sayısı:

1 Merkezi Eğilim ve Dağılım Ölçüleri

2 Soru Öğrencilerin derse katılım düzeylerini ölçmek amacıyla geliştirilen 16 soruluk bir test için öğrencilerin ilk 8 ve son 8 soruluk yarılardan aldıkları puanlar arasındaki korelasyon «0.83» olarak hesaplanmıştır. Buna göre testin tümüne ait güvenirlik katsayısı kaçtır?

soruluk yarılardan aldıkları puanlar arasındaki korelasyon «0.

3 2009 KPSS Bir araştırmacı çoklu zeka alanlarını ölçmek için geliştirdiği çok boyutlu testi, dil bilimi, matematik, resim, heykel, müzik, beden eğitimi bölümlerindeki öğrencilere uygulamıştır. Uygulama sonucunda farklı bölümlerdeki öğrencilerin kendi alanları ile ilgili sorulardan yüksek, diğer alanlardaki sorulardan ise daha düşük puan aldıkları belirlenmiştir. Bu bilgiye göre ölçme aracı için aşağıdakilerden hangisi söylenebilir? A) Amaca hizmet etme derecesi düşüktür B) Hata düzeyi düşüktür C) Geçerliği Yüksektir D) Kullanışlığı Yüksektir E) GüvenirliğiDüşüktür

Uygulama sonucunda farklı bölümlerdeki öğrencilerin kendi alanları ile ilgili sorulardan yüksek, diğer alanlardaki sorulardan ise daha düşük

4 Sosyal bilimlerde yapılan çeşitli ölçme uygulamaları (tutum, algı) sonucunda sayısal değerler (puanlar) elde edilir. Bu puanlar katılımcıların tutumlarının ya da algılarının sayısal ifadesidir ve genelde her bir katılımcının değerlendirilmesinde kullanılır. Bununla birlikte ölçme sonuçları, uygulandığı grubun tümü hakkında da bilgi verir ve hem bireylerin hem de araştırma yapılan grubun değerlendirilmesinde kullanılır.

Bu puanlar katılımcıların tutumlarının ya da algılarının sayısal ifadesidir ve genelde her bir

5 Ölçme sonuçlarının betimlenmesi, özetlenmesi, birbirleri ile karşılaştırılması ve yorumlanması, bunlar üzerinde çeşitli istatistiksel işlemlerin yapılmasını gerektirmektedir. Ölçme sonuçları ilk elde edildiklerinde çok sayıda ve düzensizdirler. Bu yüzden bunları yorumlamak ve sonuç çıkarmak mümkün değildir. Bu aşamada veriler üzerinde yapılacak ilk iş onların düzenlenmesidir.

Ölçme sonuçları ilk elde edildiklerinde çok sayıda ve düzensizdirler.

6 Verilerin Düzenlenmesi Verilerin düzenlenmesinde yapılması gereken onların belli bir ölçüte göre sıraya konulmasıdır. Sıralama büyükten küçüğe ya da küçükten büyüğe doğru yapılabilir. Düzenlenmiş verilerin yorumlanması ve daha anlamlı hale getirilmesi için merkezi eğilim ve merkezi dağılım ölçülerinden yararlanılmaktadır.

Sıralama büyükten küçüğe ya da küçükten büyüğe doğru yapılabilir.

7 Merkezi Eğilim Ölçüleri Konum ölçüleri ya da bir grup ölçüme ilişkin tipik puanlar olarak da bilinen merkezi eğilim ölçüleri, ilgilenilen değişkene ait bir grup ölçümün ortalama durumunu yansıtır.

8 Merkezi eğilim ölçüleri,puan dağılımında verilerin hangi puan etrafında toplandığı hakkında bilgi veren ve veri grubunu özetleyen değerlerdir.

9 Örneğin istatistik testinden alınan sonuçlara göre sınıfın başarı düzeyi, ortalama bir öğrenci düşünülerek tek bir ölçü ile betimlenebilir. En sık kullanılan merkezi eğilim ölçüleri Aritmetik ortalama, Ortanca ve Mod dur.

10 Mod (Tepe Değer) Bir veri grubunda en çok tekrar eden ölçme sonucuna mod denir. Mod, verilerin en çok tekrar eden değer etrafında toplandığını ifade eden bir ölçüdür. Veri grubunu betimlemede, tüm verilerden ziyade en çok tekrar eden verinin kullanılmasından dolayı mod, diğer merkezi eğilim ölçülerine kıyasla veriler hakkında en az bilgi veren ölçüdür.

Veri grubunu betimlemede, tüm verilerden ziyade en çok tekrar eden verinin

11 Gruplanmamış Seriler İçin Mod 10 öğrencinin bir sınavdan aldıkları puanlar sırasıyla 80, 72, 65, 73, 72, 57, 41, 72, 41 ve 65'tir. Bu veri grubu için mod kaçtır? 41, 41, 57, 65, 65, 72, 72, 72, 73, 80 f=3

12 Eğer puan dizisinde her puan aynı frekansa sahipse o puan dizisinin modu yoktur. Bir seride birden fazla mod olabilir. Bu durumda değişken çok modlu olarak nitelendirilir. Böyle durumlarda mod, verilerin toplandığı grup hakkında bilgi vermez. Bu gibi durumlarda mod kullanılmaz.

Bu durumda değişken çok modlu olarak nitelendirilir.

13 Örnek Bir fabrikada çalışan endüstri mühendislerinin bildiği yabancı dil sayıları aşağıda verilmiştir. Buna göre bu mühendislerin bildiği yabancı dil sayısının modunu hesaplayınız. a) 2,0,1,2,0,1,0 Mod: 0 (3 kez) b) 1,0,1,2,0,1,0 Mod: 0 ve 1 (3 Kez) c) 2,0,1,2,0,1 Mod:Yok

Buna göre bu mühendislerin bildiği yabancı dil sayısının modunu

14 Gruplanmış Seriler İçin Mod Aşağıdaki tabloda bir Samsung bayisindeki LCD televizyonların ekran boyutlarına göre satış miktarları verilmiştir. Frekans dağılımının modunu hesaplayınız. Ekran Satış Adedi

boyutlarına göre satış miktarları verilmiştir.

15 Medyan (Ortanca) Büyüklük sırasına göre düzenlenmiş (küçükten büyüğe yada büyükten küçüğe) puanlar dizisinin tam ortasına düşen puandır. Ölçülen değerler küçükten büyüğe ya da büyükten küçüğe doğru dizildiği zaman grubun, dizinin tam ortasındaki,yani yüzde ellinci puan veya ölçümüdür.

Ölçülen değerler küçükten büyüğe ya da büyükten küçüğe doğru dizildiği

17 Örnek Ölçüm1 Ölçüm2 Ölçüm3 Ölçüm4 Ölçüm Öncelikli olarak veri seti düzenlenir (küçükten büyüğe ya da büyükten küçüğe) Ölçüm1 Ölçüm2 Ölçüm3 Ölçüm4 Ölçüm Ölçüm1 Ölçüm2 Ölçüm3 Ölçüm4 Ölçüm

büyükten küçüğe) Ölçüm1 Ölçüm2 Ölçüm3 Ölçüm4 Ölçüm5 140 128

18 Örnek İstatistik I dersini alan 10 öğrencinin vize notları aşağıdaki gibi sıralanmıştır. Buna göre vize notları için medyan değerini hesaplayınız. Öğrenci Vize Notu Öğrenci Vize Notu

Buna göre vize notları için medyan değerini hesaplayınız.

19 Veri seti 10 kişiden oluştuğu için (10/2)=5. ve (10/2) + 1= 6. Öğrenci Vize Notu Öğrenci Vize Notu (68+79)/ = 73,

20 İstatistik I dersini alan 9 öğrencinin vize notları aşağıdaki gibi sıralanmıştır. Buna göre vize notları için medyan değerini hesaplayınız. Öğrenci Vize Notu Öğrenci Vize Notu

21 Gruplanmış Seriler İçin Medyan Gruplanmış serilerde medyan değeri hesaplanırken veri setinin tam orta noktasının hangi gruba ait olduğunu belirlemek için kümülatif frekans sütunu oluşturulur. Sıra numarası belirlendikten sonra o sıra numarasına ait grup medyan değeri olarak ifade edilir.

22 Aşağıdaki tabloda bir Samsung bayisindeki LCD televizyonların ekran boyutlarına göre satış miktarları verilmiştir. Frekans dağılımının medyanını hesaplayınız. Ekran f

23 Ekran F = Kümülatif Frekans Veri frekansı 20 n/2 ve (n/2)+1 nci gözlem değerlerine karşılık gelen değerler (10 ve 11 nci sıra ) 82 olduğundan medyan değeri 82 dir.

24 Aritmetik Ortalama Bir dizi ölçümün aritmetik ortalaması, bir dağılımdaki puanların toplamının ölçüm sayısına bölünmesiyle hesaplanır. Aritmetik ortalama gruplandırılmış ve gruplandırılmamış veriler için ayrı formüller kullanılarak hesaplanır.

25 Gruplandırılmamış ve Tekrarlı Ölçümlerin Olmadığı Durumlarda

26 Gruplandırılmamış ve Tekrarlı Ölçümlerin Olduğu Durumlarda

27 Örnek 1[Gruplandırılmamış-Tekrarsız] X=6

28 Örnek 2 [Gruplandırılmamış-Tekrarlı] Ölçüm (X) Frekans(f) /Dakika Öğrencilerin verilen metni okuma hızlarına ilişkin bilgi yanda verilmiştir. Verilen bilgilere göre öğrencilerin ortalama okuma hızı nedir?

29 Ölçüm (X) Frekans(f) fx N=25 =104

30 Mod, Medyan ve Aritmetik Ortalama Karşılaştırılması Aynı puan dağılımı için hesaplanacak tipik puanlar genellikle birbirinden farklı olacaktır. Mod, medyan ve Aritmetik ortalamanın eşit olması için, dağılımın mükemmel bir şekilde simetrik olması gerekmektedir.

31 Mod, medyan ve Aritmetik ortalama arasındaki büyük farklar, dağılımın bir yöne yatmış olduğunu gösterir.

32 Merkezi Dağılım (Değişim Ölçüleri) Bir puan dağılımı betimlemede kullanılan diğer bir ölçü, dağılım ölçüleridir. Dağılım ölçüleri, verilerin yığılma gösterdikleri noktadan ne kadar uzakta olduklarını, başka bir deyişle merkeze yığılma ölçüsüne göre ne kadar dağıldıklarını belirten bir sayıdır. Başlıca dağılım ölçüleri; ranj ve standart sapmadır.

33 RANJ Bir veri grubunda en büyük ölçme sonucu ile en küçük ölçme sonucu arasındaki farka ranj denir. Ranj sembollerle aşağıdaki gibi gösterilebilir. Ranj = X EB -X EK X EB : En büyük ölçme sonucu X EK : En küçük ölçme sonucu

34 Ranj, veri grubundaki iki değere (en büyük ve en küçük) bağlı olduğundan verilerin dağılımı hakkında fazla bilgi vermez. Bu yüzden çok kullanışlı değildir. Merkeze yığılma ölçüsü olarak sadece modun kullanılabildiği verilerde dağılım ölçüsü olarak da ranj kullanılır.

35 Örnek 7 öğrencinin yabancı dil testinden aldıkları puanlar, 75, 53, 81, 55, 67, 39, 49 olsun. Bu veri setinin ranjı nedir? Ranj = X EB -X EK = =36

36 Standart Kayma(Sapma) Bir veri grubundaki ölçme sonuçlarının aritmetik ortalamadan farklarının karelerinin aritmetik ortalamasının kareköküne standart kayma denir. Standart kayma, bir veri grubunda verilerin aritmetik ortalamadan ne kadar uzaklaştığının ortalama bir ölçüsünü verir. Bir veri grubu için merkezi eğilim ölçüsü olarak aritmetik ortalamanın kullanıldığı durumlarda dağılma ölçüsü olarak standart kayma kullanılır.

37 Standart kayma aşağıdaki formülle hesaplanır. Bu formülde S standart kaymayı, X i ölçülen özelliğin değerlerini (ölçme sonuçlarını), X ölçme sonuçlarının aritmetik ortalamasını, n de veri sayısını göstermektedir

38 Örnek Bir testten öğrencilerin almış oldukları puanlar 25, 19, 21, 14, 15, 13, 11, 22 olsun. Bu ölçme sonuçlarının standart kaymasını hesaplayınız.

39 Bu sorunun çözülmesi için aşağıdaki gibi bir işlem tablosunun hazırlanması işlemleri kolaylaştırır X X-X (X- X ) 2 X X-X (X- X ) 2

40 Verilerin aritmetik ortalaması; AO = ( )/8= 140/8= 17,5dir x x-x (x-x) ,5 = -6,5 42, ,5 = -4,5 20, ,5 = -3, ,5 = -2,5 12,25 6,25 S = = ,5 = 1,5 2, ,5 = 3,5 12, ,5 = 4,5 20, ,5 = 7,5 56, ,00 172

41 Varyans Diğer bir dağılım ölçüsü olan varyans hesaplanan standart sapma değerinin karesinin alınması ya da standart sapma formülündeki karekökün işleme dahil edilmemesi suretiyle elde edilir. Standart sapma için yapılmış olan açıklamalar varyans için de geçerlidir.

42 Türkçe dersi vize sınavına gire 8 öğrencinin notları 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 şeklindedir. Bu öğrenci grubunun mod, medyan, aritmetik ortalama, standart kayma ve varyans değerlerini hesaplayınız.

43 Ortalamamız {( )/8} = 5 olacaktır. Her bir değerin ortalamadan farkını bulup karesini alırız, ve bu kareleri toplayıp toplam gözlem sayısına böler, sonucun kare kökünü alarak standart sapmaya ulaşırız. ( )/8 = 4 ve 4 ün de kare kökü 2 dir.

Benzer belgeler

Merkezi Yığılma ve Dağılım Ölçüleri

1.11.013 Merkezi Yığılma ve Dağılım Ölçüleri 4.-5. hafta Merkezi eğilim ölçüleri, belli bir özelliğe ya da değişkene ilişkin ölçme sonuçlarının, hangi değer etrafında toplandığını gösteren ve veri grubunu