MONTE CARLO. Prof. Dr. Niyazi MERİÇ. Ankara Üniversitesi Nükleer Bilimler Enstitüsü Enstitü Müdürü

MONTE CARLO Prof. Dr. Niyazi MERİÇ Ankara Üniversitesi Nükleer Bilimler Enstitüsü Enstitü Müdürü

MONTE CARLO NEDİR? Monte Carlo Metodu, istatistiksel teknikler kullanarak bir deneyi veya olayı bilgisayar ortamında taklit etmektir. Prof. Dr. Niyazi MERİÇ 2

Temel Örnekleme İlkesi : gelen değer x geliş sayısı L(x) 6 3 5 4 4 3 +.. Toplam 10 atış Prof. Dr. Niyazi MERİÇ 3

Temel Örnekleme İlkesi : Lmax L(x) L(x) : Sıklık Fonksiyonu a xo b Şekil.1 Prof. Dr. Niyazi MERİÇ 4

Temel Örnekleme İlkesi : b a L max L(x)dx f(x) f(x) : olasılık yoğunluk fonksiyonu a xo b Şekil.2 Prof. Dr. Niyazi MERİÇ 5

Geliş sayısı Geliş sayısı/toplam Atış (10) 4 0,4 3 4 5 6 Gelen sayı 0,3 4 5 6 Gelen sayı Şekil.1 L(x) : Sıklık Fonksiyonu Şekil.2 f(x) : olasılık yoğunluk fonksiyonu f(6) + f(5) + f(4) = 0,3 + 0,4 + 0,3 = 1 q Prof. Dr. Niyazi MERİÇ 6

Bir olayın olma olasılığı daima 0 ile 1 arasındadır!!! a ile b arasındaki herhangi bir olayın olma olasılığı: f ( x) b a L(X) L(x)dx (a-b) aralığındaki tüm olasılıkların toplamı 1 dir!!! b a f(x)dx 1 Prof. Dr. Niyazi MERİÇ 7

a < x < b Değişkenin a ile x arasında herhangi bir değerde olma olasığı q, 0 ile 1 arasında düzgün bir dağılım gösterir!! x q P(x) x a f(x)dx a b a F(x)dx F(x)dx Prof. Dr. Niyazi MERİÇ 8

Ters Dönüşüm Yöntemi: P( x) q P 1 ( q) x Reddetme Yöntemi: r(x) Reddedilen Bölge f(x) Kabul Edilen Bölge a b x Şekil.3 Prof. Dr. Niyazi MERİÇ 9

q f ( x) r( x) X değerinin sıklığının f(x) olduğu düşünülerek x kabul edilir. Değilse reddedilir ve işlem tekrarlanır. Böylece r(x) dağılımlı x değerlerinden f(x) dağılımlı x değerleri elde edilmeye çalışılır. Prof. Dr. Niyazi MERİÇ 10

Ortalama Serbest Yol Uzunluğu ve Etkileşmenin Türü Bir fotonun iki etkileşme arası gidebildiği ortalama uzaklığa ortalama serbest yol denir. Fotonun serbest yolu, toplam tesir kesitine dolayısı ile enerjisine bağlıdır. Prof. Dr. Niyazi MERİÇ 11

x Io I I I o e T x T comp foto ray μ T : Ortamın, toplam lineer azalım katsayısı olarak bilinen birim uzunluk başına etkileşme olasılığıdır. μ Comp, μ Ray, μ Foto : Sırası ile Compton saçılma, Rayleigh saçılma ve Fotoelektrik soğurma için lineer azalım katsayılarıdır. Prof. Dr. Niyazi MERİÇ 12

Ortalama serbest yol uzunluğu ve etkileşmenin türü Bir fotonun iki etkileşme arası gidebildiği ortalama uzaklığa ortalama serbest yol denir. Fotonun serbest yolu, toplam tesir kesitine dolayısı ile enerjisine bağlıdır. I 0 şiddetindeki bir foton demeti x kalınlığındaki ortamı geçtiğinde şiddeti, şeklinde azalır. Burada I I0 e Tx T Comp Ray Foto q x x 1 x e Tx q ln( ) T Olasılık Yoğunluk fonksiyonu f(x) I0e x0 I0e x 0 ' Tx Tx e T Tx Homojen bir ortam içersinde ilerleyen bir fotonun, x kadar yol aldýktan sonra etkileþme yapma olasılığı Tx q f( x) dx e dx 0 0 x ' T x x x Foto Ray Comp ln( q ) 1 Foto ln( q ) 2 Ray ln( q ) 3 Comp

I Bu fonksiyonun (0-x ) aralığında herhangi bir değeri alma olasılığı: x xo x x' ln( q) x : Fotonun ortalama serbest yol uzunluğu x' x x' x Etkileşti Etkileşmeden kaçtı Prof. Dr. Niyazi MERİÇ 14

x' x' x' Foto Ray Comp ln( q Foto ln( q Ray 1 2 ln( q ) ) 3 Comp ) Fotonun maddeye girdikten sonra yapacağı ilk etkileşme türü bu denklemlerden elde edilen ortalama serbest yolların en kısa olanı ile belirlenir. Böylece her fotonun hem ortalama serbest yolu hem de yapacağı etkileşmenin türü örneklenmiş olur. Prof. Dr. Niyazi MERİÇ 15

5 cm kalınlığındaki su maddesi üzerine enerjisi 90 kev olan fotonlar geliyor. Bu enerjide Fotoelektrik = 0.0042 (1/cm) Compton = 0.0068 (1/cm) = 0.1770 (1/cm) Rayleigh = 0.1661 (1/cm) ise Monte Carlo yöntemini kullanarak su maddesini geçen fotonların sayısını bulunuz. I ( 1 Foton ) q 1 = 0.3194 q 2 = 0.6617 I x x 0 Foto Ray e μ ln( T ln( x 1 2 ) ) 10 e 0.1770 ln( ) ln( ) 3 x 1.61 Comp q 3 = 0.7653 < 5 q Foto q Ray q ln( ln( 0.3194 0.0042 0.6617 0.0068 ) ) 0.7653 0.1661 x5 271.7 60.72 Comp Prof. Dr. Niyazi MERİÇ 163 4

MONTE-CARLO METODU İLE NOKTA KAYNAK x FOTON TAKİBİ z 228cm MADDE A x L x H DEDEKTÖR W A z y y Prof. Dr. Niyazi MERİÇ 17

(3) z N (1) M z 3 3. E z 1 z 1 (5) L z 1 4 B D z 2 2 B (2) C F W 1 B. B 5 (4) 0 g 1) Etkileşme yapmadan Kaçtı 2) Foto Elektrik Olay 3) Compton & Rayleigh 4) Geri Kaçtı 0 Kaynak y 5) Kenarlardan Kaçtı x

Etkileşme noktası maddenin içinde ise??? 1. Fotoelektrik olay 2. Compton Saçılması 3. Rayleigh Saçılması Prof. Dr. Niyazi MERİÇ 19

Fotoelektrik Olay Foton ilk etkileşme noktasında soğuruldu. N N N 1.fotoelektron E h E k b Karakteristik radyasyon Pozitif iyon Fotoelektronun enerjisi etkileşme noktasında depolanırken etkileşen foton sayısı bir Prof. Dr. Niyazi MERİÇ 20 arttırılır ve foton takibine son verilir!!

Compton Saçılması Geri tepen elektron N N Saçılan foton Pozitif iyon E e E E' Geri tepen elektronun enerjisi E ' E 1 2 m c 0 E (1 cos ) Saçılan Fotonun Enerji ile sapma açısı arasındaki bağıntı Prof. Dr. Niyazi MERİÇ 21

) ( 1) cos ' ' ( ) ' )( sin( ), ( 2 2 2 0 v S E E E E E E r d d E C m com ), ( ) ( 1 Z v S n v S i i N i i m cos 1 ).1433( 29 2 0 c m E v Compton Saçılması Geri tepen elektron enerjisi etkileşme yerinde soğuruldu Saçılan foton için saçılma açısı ve enerjisi, Compton saçılma fonksiyonu ile düzeltilmiş Klein-Nishina denkleminden örneklenir. Prof. Dr. Niyazi MERİÇ 22

Rayleigh Saçılması atom atom atom uyarılmış Prof. Dr. Niyazi MERİÇ 23

Rayleigh Saçılması d Koh 2 2 F( E, ) r sin (1 cos ) F 2 ( v, d F 2 ( v, Z) 0 Z N i1 2 ni Fi ) Su için ( v, Z) 2 ( v, Z) ( v, Z) F F F 2 2 2 H O Prof. Dr. Niyazi MERİÇ 24

1. Fotoelektrik Olay Foton ilk etkileşme noktasında soğuruldu. 2. Rayleigh Saçılması d Koh 2 2 2 F( E, ) r 0 sin (1 cos ) F ( v, Z) d 2 F ( v, Z) N 2 ni Fi i1 Su İçin 2 2 2 F ( v, Z) 2FH ( v, Z) FO ( v, Z) 3. Compton Saçılması ' ' d Com 2 E E E 2 F( E, ) r 0 sin( )( )( cos 1) Sm( v) ' d E E E ' E E E 1 (1 cos ) 2 m0 c N Sm v nisi v Zi i1 v ( ) (, ) Saçıcı ortamın bir molekülü için Compton Saçılma Fonksiyonu E 29. 1433( ) 1 cos 2 m0 c A 0

Fotoelektrik olayın olduğu yerde bütün enerjiyi biriktir Gelecek etkileşme yerini belirle Fotoelektrik olay Bir sonraki fotonu izle Koherant Saçılma Etkileşme tipini belirle Compton Saçılması Form faktör ile düzeltilmiş Thomson denkleminden saçılma açısını örnekle Etkileşme yerinde e - enerjisini biriktir. Fotonu izle. Veya Foton enerjisi < 5 kev ise enerjiyi biriktir ve bir sonraki fotonu izle Compton saçılma fonksiyonu ile düzeltilmiş Klein-Nishina denkleminden, saçılma açısını örnekle

Rayleigh Saçılması Etkileşmeden geçen foton Fotoelektrik Soğurma Compton Saçılması Enerji Prof. Dr. Niyazi MERİÇ 27

ÖN - ARKA fantom girişinde havadaki doz, D DGHD E T, M, D Göz D Göz = E T M - 9 1.6x10 (erg/kev) 100(erg/g.rad) MC = D Göz / D DGHD Prof. Dr. Niyazi MERİÇ 28

Çizelge(1): Monte Carlo yöntemi ile 25 x 25 cm 2 demet alanında deri giriş dozuna göre elde edilen DGHO değerleri Tüp Voltajı (kvp) Sol 20 x 20 (cm 2 ) Sağ Sol 25 x 25 (cm 2 ) Sağ 70 1.4020.092 0.2030.063 1.4380.093 0.2080.064 75 1.4010.088 0.2080.050 1.4440.094 0.2180.063 80 1.4040.098 0.2580.068 1.4720.170 0.2390.068 85 1.3170.142 0.1910.073 1.3420.190 0.1430.073 90 1.3130.125 0.2200.055 1.2710.266 0.1820.056 100 1.3210.111 0.2290.051 1.3790.196 0.1980.100 Prof. Dr. Niyazi MERİÇ 29

Çizelge (2): Monte Carlo Analizi ile ön-arka pozisyon için havada giriş dozuna göre elde edilen DGHO değerleri Tüp Voltajı (kvp) Sol 20 x 20 (cm 2 ) Sağ Sol 25 x 25 (cm 2 ) Sağ 70 0.0120.003 0.0140.004 0.0180.004 0.0150.003 75 0.0160.004 0.0160.005 0.0170.007 0.0160.006 80 0.0230.007 0.0210.007 0.0270.005 0.0270.005 85 0.0230.006 0.0240.008 0.0260.008 0.0270.007 90 0.0230.010 0.0230.010 0.0250.010 0.0240.009 100 0.0190.012 0.0200.011 0.0260.011 0.0260.010 Prof. Dr. Niyazi MERİÇ 30

Çizelge(3): Ön-arka (focal nokta-fantom mesafesi 65 cm) ve solsağ (focal nokta - fantom mesafesi 76 cm) pozisyonda, bir dakikalık skopi ve DSA görüntüsü başına fantom girişinde havadaki doz Hava Dozu (mgray) Sol-sağ Ön-arka DSA/frame 0.660.01 2.0620.011 Skopi/dakika 5.900.14 17.220.16 Prof. Dr. Niyazi MERİÇ 31

SORU: Bir göz hastasına 1.5 dakika sol-sağ skopisi yapılmış, 26 tane ön-arka ve 24 tane de solsağ DSA görüntüsü çekilmiştir. Bu koşullarda bu hastanın göz merceklerinin aldığı Doz hesaplayınız. Prof. Dr. Niyazi MERİÇ 32

Cevap: Bu koşullarda x-ışınlarının sol-sağ ve ön-arka durumlarda hasta kafasının olduğu yerde havada oluşturduğu doz değerleri Çizelge(3) kullanılarak aşağıdaki gibi hesaplanır: Ön-arka: Bu durumda bir DSA görüntüsü çekildiğinde havada oluşacak doz 2.0620.011 mgray dir. 26 tane DSA görüntüsü alındığına göre havadaki doz DSA: 26 x (2.0620.011) = 53.610.29 mgray olur. Sol-sağ: Bu durumda 1.5 dakika skopi, 24 tane de DSA görüntüsü alınmıştır. Bir dakikalık skopi yapıldığında havadaki doz değeri 5.900.14 mgray, bir DSA görüntüsü çekildiğinde ise havadaki doz değeri 0.660.01 mgray dir. Bu durumda, skopi ve DSA çekimleri sonucunda havadaki doz skopi: 1.5 x (5.900.14) = 8.850.21 mgray DSA: 24 x (0.660.01) = 15.840.24 mgray dır. Prof. Dr. Niyazi MERİÇ 33

Sol göz: Sol-sağ pozisyonda sol göz için 80 ve 85 kvp tüp voltajına karşılık gelen DGHO değerleri sırasıyla 1.4720.170 ve 1.3420.190 (Çizelge 2), ön-arka durumunda 85 kvp deki DGHO değeri ise 0.0260.008 (Çizelge 2) dir. Sol gözde hem sol-sağ durumunda yapılan skopi ve DSA çekimleri hem de ön-arka pozisyonda yapılan DSA çekimiyle doz soğurulmaktadır. Sol-sağ pozisyonda skopi ve DSA dan dolayı havada soğurulan doz miktarları sırasıyla 8.850.21 mgay ve 15.840.24 mgray, ön-arka pozisyonda ise 53.610.29 mgray dir. O halde sol gözde soğurulan toplam doz: skopi: (1.4720.170)x(8.850.21) = 13.031.81 mgray DSA: (1.3420.190)x(15.840.24)+(0.0260.008)x(53.610.29)=22.653.77 mgray Toplam:(13.031.81)+(22.653.77) = 35.685.58 mgray olarak bulunur. Prof. Dr. Niyazi MERİÇ 34

Sağ göz: Sol-sağ pozisyonda sağ göz için 80 ve 85 kvp tüp voltajlarına karşılık gelen DGHO değerleri sırasıyla 0.2390.068 ve 0.1430.073 (Çizelge 1), ön-arka pozisyonda 85 kvp deki DGHO değeri ise 0.0270.002 (Çizelge 2) dir. Sol göz için verilen havadaki doz değerleri kullanılarak sağ gözde soğurulan doz miktarı skopi: (0.2390.068) x (8.850.21) = 2.12 0.65 mgray DSA: (0.1430.073)x(15.840.24)+(0.0270.007)x(53.610.29) = 3.661.63 mgray Toplam: (2.120.65) + (3.661.63) = 5.772.28 mgray olarak bulunur. Prof. Dr. Niyazi MERİÇ 35

Çizelge 4. Yetişkinlerde göz merceğinde deterministik etkiler için beklenen eşik değerleri Etki Eşdeğer doz (tek bir ışınlanma sonucu) (msv) Toplam eşdeğer doz (Uzayan Işınlamalar sonucu) (msv) Yıllık Doz Hızı (yüksek fraksiyonlu veya uzayan ışınlamalar sonucu) (msv / yıl) Opasiteler 500-2000 5000 100 Katarakt 5000 8000 150 Prof. Dr. Niyazi MERİÇ 36

DOZUN DOLAYLI HESABI Deri yüzeyinden daha derinlerde ve X-ışını demetinin merkezi ekseni üzerinde bulunan organlarda soğurulan dozlar, hastanın fiziksel özellikleri ve ışınlama koşulları (kvp, mas, alan büyüklüğü, kaynak-fantom mesafesi) biliniyorsa doku-hava oranı (Tissue Air Ratio (TAR)) kullanılarak, eksen dışında kalanlar ise izodoz eğrileri yardımıyla elde edilebilir.

F a F W o W m d m Hava Y SU Y d X X W d D TAR(d,Wd, kvp) = D X / D X ' D TAR( d, W, E)( / ) x d d ab su doku Prof. Dr. Niyazi MERİÇ 38

Gerisaçılma faktörü ( B ) Şekil de d m derinliğindeki Y noktası dozun maksimum olduğu yeri gösterir. Maksimum doz derinliği foton enerjisine bağlıdır ve enerji arttıkca artar. Teşhis radyolojisinde kullanılan enerji bölgesinde genellikle d m sıfıra eşit kabul edilir. Geri saçılma faktörü, doku hava oranının d = 0 daki özel bir durumudur ve B(W 0,kVp) = TAR(d = 0,W 0,kVp) = D Y / D Y şeklinde ifade edilir. Gerisaçılma faktörü, fantomdan yüzeye geri saçılan fotonları ifade eder. Bu fotonlar yüzeyde doz artışına sebeb olur. Bu faktör genellikle hastada deri dozunun hesaplanmasında kullanılır. Prof. Dr. Niyazi MERİÇ 39

SORU : Suyun 0 ve 2 cm derinliği için TAR değerleri hesaplanmak isteniyor. Bunun için focal noktadan 100 cm uzaklığa bir su fantomu yerleştiriliyor. Su fantomunun uzerindeki demet çapı 10x10 cm2 ye ayarlandıktan sonra şutlama yapılıyor ve su fantomunun 0 ve 2 cm derinliklerine yerleştirilen TLD lerden sırası ile 229.41 nc ve 179.62 nc sonuçları okunuyor. Daha sonra su fantomu kaldırılıyor ve tekrar şutlama yapılıyor. Bu durumda 0 ve 2 cm derinliğe karşılık gelen aynı noktalarda fakat havadaki TLD lerden sırasıyla 180.92 nc ve 172.33 nc sonuçları okunuyor. Deney yapılan X-ışını tüpü için 100 kvp de HVL değeri 3.5 mm Al, f faktörü 0.896 ve TLD için kalibrasyon faktörüde 5.66 (mrad) olarak bulunduğuna göre suyun 0 ve 2 cm derinliklerine karşılık gelen TAR değerleri nedir? Prof. Dr. Niyazi MERİÇ 40

CEVAP : R= 100 cm x-ışını Kaynağı R= 100 cm x-ışını Kaynağı f TLD = 5.66 f su = 0.896 f hava = 0.873 A = 10 x 10 cm2 YS TLD = 229.41 nc A = 10 x 10 cm2 YH TLD = 180.92 nc K XS TLD = 179.62 nc K XH TLD = 172.33 nc D Su,0 = 229.41*5.66*0.896=1163.41 mrad D Su,2 = 179.62*5.66*0.896=910.93 mrad D Hava,0 = 180.92*5.66*0.873 = 893.95mRad D Hava,2 = 172.33*5.66*0.873 = 851.49mRad TAR D D su,0 1163.41 su,2 910.93 1.30 TAR 1. 07 2 893.95 851.49 0 Hava,0 D D Hava,2

cm Sudaki doz (mrad) Havadaki ışınlama (mr) Havadaki Doz (mrad) TAR 0 1163.41 1024.00 893.95 1.30 2 910.93 975.36 851.49 1.07 Prof. Dr. Niyazi MERİÇ 42

cm Doku - Hava oranı. HVL = 3.5 mmal, 100 kvp, A = 10x10 cm Sudaki doz (mrad) Havadaki Doz (mrad) TAR 0 1163.41 893.95 1.301 2 910.93 851.49 1.070 4 612.40 812.07 0.754 6 403.82 775.24 0.521 8 255.65 740.91 0.345 10 178.76 708.81 0.252 12 104.27 678.78 0.154 14 77.82 650.53 0.120 16 58.04 624.07 0.093 18 29.32 599.22 0.049 Prof. Dr. Niyazi MERİÇ 43

SORU Fokal noktadan 100 cm uzaklıktaki bir su fantomunun giriş noktasında demet çapı 10x10 cm 2 olarak ölçülüyor. Su fantomunun giriş yüzeyinden 16 cm derinlikte bir noktada soğurulan doz Rad cinsinden nedir? (NOT: Bu noktada Havadaki doz 624.07 mrad olarak bulunuyor) Prof. Dr. Niyazi MERİÇ 44

CEVAP D = 0.093 * 624.07= 58.04 mrad D = 58.04*10-3 Rad = 0.058 Rad Prof. Dr. Niyazi MERİÇ 45

Ödev Fokal noktadan 100 cm uzaklıktaki bir su fantomunun giriş noktasında demet çapı 10x10 cm 2 olarak ölçülüyor. Su fantomunun giriş yüzeyinden 16 cm derinlikte 1 cm kalınlığındaki bir dilimde soğurulan doz 0.058 Rad olduğuna göre bu noktada soğurulan enerji kaç kev dir? Prof. Dr. Niyazi MERİÇ 46