Sürekli-Zaman Sinyallerinin Matematiksel Tanımlanması

Tipik Sürekli-Zaman Sinyalleri 2

Süreklilik ve Sürekli-Zaman Sinyalleri Karşılaştırması Zamanda sürekli olan fonksiyonların hepsi sürekli-zamanlıdır, fakat sürekli-zamanlı fonksiyonların hepsi zamanın sürekli fonksiyonu değildir. 3

Sürekli-Zaman Sinüzoidleri Acos2t / T 0 g t Acos2 f 0 t Acos 0 t Amplitude Period Phase Shift Cyclic Radian (s) (radians) Frequency Frequency (Hz) (radians/s) 4

Sürekli-Zaman Üstelleri t / gt Ae Amplitude Time Constant (s) 6

Karmaşık Sinüzoidler 7

Signum (İşaret) Fonksiyonu Tam Gösterim sgnt 1, t 0 0, t 0 1, t 0 Sık Kullanılan Gösterim Signum fonksiyonu, bir anlamda, bağımsız değişkeninin işaretinin göstergesidir. 9

Birim Basamak Fonksiyonu ut 1, t 0 1/ 2, t 0 0, t 0 The g(t).u(t) product sinyal signal çarpımının gt u tneticesi, sanki g(t) sinyalinin t=0 turned anında açıldığı on at time şeklinde t 0. düşünülebilir. can be thought of as the signal gt 10

Birim Basamak Fonksiyonu Birim basamak fonksiyonu matematiksel olarak zamanda belirli bir ana kadar sıfır olan ve o andan sonra sıfır olmayan bir sinyali tanımlayabilir. v RC i t t V b u t V b / R v C t V b e t/ RC u t t/ RC 1 e u t 11

Birim Rampa Fonksiyonu ramp t t, t 0 0, t 0 t ud t u t 12

Birim Rampa Fonksiyonu Sinüs dalgası ile rampa fonksiyonunun çarpımı 13

Dürtü (Impulse) Fonksiyonuna Giriş Diktörtgensel Define a function t 1/ a, t a / 2 darbe fonksiyonu 0, t a / 2 be finite and continuous at t 0. Let g(t) another t=0 da function sonlu ve gsürekli t bir fonksiyon olsun ve (t) ile çarpılsın 14

Dürtü (Impulse) Fonksiyonuna Giriş The area under the product of the two functions is As the width of t 1 lim A g 0 a0 lim a0 a A 1 a a/2 a/2 gt dt approaches zero, a/2 dt g0lim a a g 0 a/2 a0 1 The continuous-time unit impulse is implicitly defined by g0 t gt dt 15

Birim Adım ve Birim Dürtü approaches a unit approaches a unit impulse. As a approaches zero, g t step andg t The unit step is the integral of the unit impulse and the unit impulse is the generalized derivative of the unit step. 16

Dürtünün Grafik Gösterimi Dürtüler diğer fonksiyonlar gibi çizilemezler, çünkü bağımsız değişkeni sıfır olduğunda değeri tanımsızdır. Dürtüyü çizmek için dik bir ok kullanılır. Dürtünün gücü okun yanına parantez içinde yazılır veya okun yüksekliği dürtünün gücünü gösterir. 17

Dürtünün Özellikleri Örnekleme The Sampling Özelliği Property gt t t 0 dt g t 0 Örnekleme The sampling özelliği property fonksiyonun extracts bir the noktadaki value of a değerini function at verir. a point. Ölçekleme The Scaling Özelliği Property a t t 0 1 a t t 0 Bu This özellik property dürtünün illustrates diğer that olağan the matematiksel impulse is different fonksiyonlardan from farklı ordinary olduğunun mathematical göstergesidir. functions. 18

Ölçekleme Özelliği Örneği 19

Periyodik Birim Dürtü Periyodik The unit birim periodic dürtünün impulse tanımı, is defined n tamsayı by olmak üzere T t n t nt, denklemi n an integer ile verilir. Periyodik The periodic birim impulse dürtü, eş is a uzaklıkta sum of infinitely birim dürtü many dizisinden uniformlyspaced katarıdır. oluşan dürtü impulses. 20

Periyodik Dürtü 21

Birim Dikdörtgen Fonksiyonu rectt 1, t 1/ 2 1/ 2, t 1/ 2 0, t 1/ 2 ut 1/ 2 ut 1/ 2 The g(t).rect(t) product signal sinyallerinin gt rectçarpımı, t can be sanki thought g(t) of as sinyali the signal t=-1/2 gt anında turned "açılmış" on ve at t=+1/2 time t anında 1/ "kapatılmış" 2 and turned gibi back düşünülebilir. off at time t 1/ 2. 22

Fonksiyonların Birleşimi 23

Fonksiyonları Kaydırma ve Ölçekleme 1/16 Bir fonksiyon grafiksel olarak aşağıdaki gibi tanımlanmış olsun and ve let gt 0, t 5 olsun 25

Fonksiyonları Kaydırma ve Ölçekleme 2/16 Genlik Ölçekleme, gt Ag t 26

Fonksiyonları Kaydırma ve Ölçekleme 3/16 Zamanda Time kaydırma, shifting, t t t 0 27

Fonksiyonları Kaydırma ve Ölçekleme 4/16 Zamanda Time ölçekleme, scaling, t t / a 28

Fonksiyonları Kaydırma ve Ölçekleme 5/16 Multiple Aynı anda transformations kaydırma ve gt Ag t t 0 a ölçekleme A Değişimler multiple transformation ardışık adımlar can şeklinde be done yapılabilir in steps amplitude scaling, A tt /a gt Agt Ag t ttt 0 a Ag t t 0 a The Değişimlerin sequence of sırası the steps önemlidir. is significant Sıranın değişmesi neticeyi değiştirir. g t amplitude scaling, A Ag t ttt 0 Ag t t 0 tt /a Ag t a t 0 Ag t t 0 a 29

Fonksiyonları Kaydırma ve Ölçekleme Aynı Simultaneous anda kaydırma scaling ve and ölçekleme shifting gt Ag t t 0 a 6/17 30

Fonksiyonları Kaydırma ve Ölçekleme 7/16 Simultaneous Aynı anda kaydırma scaling ve and ölçekleme, shifting, Ag(bt-t 0 ) t 0 31

Fonksiyonları Kaydırma ve Ölçekleme 8/16 32

Fonksiyonları Kaydırma ve Ölçekleme 9/16 If g 2 t Ag 1 t t 0 / w what are A, t 0 and w? 33

Fonksiyonları Kaydırma ve Ölçekleme 10/16 Height +5 2 A 0.4, g 1 Width +6 2 w 1/ 3 0.4g 1 Shift left by 5/3 t 0 5 / 3 0.4g 1 t 0.4g 1 t t 0.4g 1 3t 3t 0.4g 1 3t 5 / 3 34

Fonksiyonları Kaydırma ve Ölçekleme 11/16 If g 2 t Ag 1 wt t 0 what are A, t 0 and w? 35

Fonksiyonları Kaydırma ve Ölçekleme 12/16 Height +5 2 A 0.4 g 1 Shift left 5 t 0 5 0.4g 1 t 0.4g 1 t t 0.4g 1 t 5 Width +6 to +2 w 3 0.4g 1 t 5 0.4g 1 3t 5 36

Fonksiyonları Kaydırma ve Ölçekleme 13/16 If g 2 t Ag 1 wt t 0 what are A, t 0 and w? 37

Fonksiyonları Kaydırma ve Ölçekleme 14/16 Height +5 3 A 0.6 g 1 Width +6 3 w 2 0.6g 1 Shift Right 1/2 t 0 1/ 2 0.6g 1 t 0.6g 1 t 0.6g 1 t 2t 2t 0.6g 1 2t 1/ 2 38

Fonksiyonları Kaydırma ve Ölçekleme 15/16 If g 2 t Ag 1 t / w t 0 what are A, t 0 and w? 39

Fonksiyonları Kaydırma ve Ölçekleme 16/16 Height +5 3 A 0.6 g 1 t 0.6g 1 t t 1 Shift Left 1 t 0 1 0.6g 1 t 0.6g 1 Width +6 3 w 1/ 2 0.6g 1 t 1 0.6g 1 2t 1 40

17 February 2015 Örnek 2 3 3 cos 2 3 cos ) ( ) ( 2 3 cos ) ( 0 0 0 0 0 t t e e t t e t t x t y t e t x t t t t t 41

Transformations of Signals Name Time reversal Time scaling y(t) x(-t) x(at) Time shifting x(t-t 0 ) Amplitude reversal Amplitude scaling Amplitude shifting -x(t) Ax(t) x(t)+b 42

Kompozit Video Sinyali Yatay sync sinyali (pulse) kare fonksiyonu ile tanımlanabilir. Renk sinyali de (color burst) kare fonksiyonu ile çarpılan bir sinüzoid ile tanımlanabilir. 43

BPSK İkili Veri Sinyali BPSK, sinüzoid döngü silsilelerinin iletimidir. Bu döngülerin polariteleri iletilecek veri tarafından belirlenir. Veri dikdörtgen silsileleri ile tanımlanabilir. BPSK sinyali, veri silsilesi ile taşyıcı sinüzoid sinyalinin çarpımıdır. 44

EKG Dalga Biçimi An EKG waveform can be reasonably approximated by four linear functions in the QRS interval and the P and T pulses can be approximated by Gaussian waveforms. 45

http://www.lon-capa.org/~mmp/applist/doppler/d.htm 46

Türev Alma 47

İntegral Alma 48

Çift ve Tek Sinyaller Even Functions gt gt Odd Functions gt g t 49

Fonksiyonların Çift ve Tek Kısımları The even part of a function is g e t g t g t Bir fonksiyonun çift kısmı,. 2 The odd part of a function is g o t g t g t Bir fonksiyonun tek kısmı,. 2 A Çift function kısmı sıfır whose olan even bir part fonksiyon is zero tektir is odd ve and tek a kısmı function whose sıfır olan odd bir part fonksiyon is zero is da even. çifttir. The Çift derivative fonksiyonun of an türevi even tektir function ve tek is fonksiyonun odd and the derivative türevi of çifttir. an odd function is even. The Çift integral fonksiyonun of an integrali even function tek fonksiyon is an odd artı function, bir sabittir plus a constant, ve tek fonksiyonun and the integral integrali of an de odd çifttir. function is even. 50

Fonksiyonların Çift ve Tek Kısımları 51

Çift ve Tek Fonksiyonların Çarpımları Two Even Functions 52

Çift ve Tek Fonksiyonların Çarpımları An Even Function and an Odd Function 53

Çift ve Tek Fonksiyonların Çarpımları An Even Function and an Odd Function 54

Çift ve Tek Fonksiyonların Çarpımları Two Odd Functions 55

Çift ve Tek Fonksiyonların İntegrali a a gt dt a 2 gt dt gt dt 0 0 a a 56

Çift ve Tek Fonksiyonların İntegrali 57

Periyodik Sinyaller If g(t) a function periyodik g(t) bir is periodic, fonksiyon g ise, t n g bir t tamsayı nt where ve n T is any fonksiyonun integer and periyodu T is a olmak period üzere, of the g(t) function. = g(t + The nt) dir. minimum Bir fonksiyonun positive value kendini of T for tekrar which ettiği gten küçük gt Tpozitif is called aralığa the fundamental temel periyot, period T 0, adı T 0 of verilir. the Temel çevrimsel frekans f function. The reciprocal of 0 da temel periyodun tersi, yani the fundamental period is the fundamental f 0 =1/ T 0 dır. frequency f 0 1/ T 0. Periyodik olamayan fonksiyonlara aperiyodik adı verilir. 58

Periyodik Fonksiyonların Toplamı Periyodik fonksiyonların toplamının periyodu, toplanan fonksiyon periyodlarının ortak katlarının en küçüğüdür (OKEK). Eğer ortak kat sonsuz ise o zaman toplam fonksiyonu aperiyodiktir. 59

OKEK http://web.eecs.utk.edu/~roberts/webappendices/b-leastcommmult.pdf 60

ADC Dalga Biçimi Analog-dijital çeviricilerde görülebilecek dalga biçimlerine örnekler. Negatif adım fonksiyonu ile sıfıra döndürülen rampa fonksiyonunun periyodik tekrarı olarak veya üçgen şekilli dalganın periyodik tekrarı olarak ifade edilebilirler. 61

Transformatör Gerilimi ve Akımı Çekirdek doyumuna ulaşmış bir dağıtım trafosundaki akım ve gerilim yukarıda verilmiştir, mavi eğri gerilim, kırmızı ise akımdır. Akım bir sinüzoit artı alternatif periyodik darbeler şeklinde yaklaşık modellenebilir. Bu darbeler dar üçgenler olabileceği gibi dürtü de olabilir. 62

Sinyal Enerjisi ve Gücü x(t) sinyalinin sinyal enerjisi, The signal energy of a signal x t E x xt 2 dt is 63

Sinyal Enerjisi ve Gücü 64

Sinyal Enerjisi ve Gücü Find the signal energy of xt 2rectt / 2 4 rect E x xt 2 dt 2rectt / 2 4 rect E x 2rectt / 2 4 rect 2 t 1 4 2 dt t 1 4 t 1 4 u t 2 ut 2 2 dt t 1 E x 4 rect 2 t / 216rect 2 4 16rectt / 2rect 2 2 t 1 4 t 1 E x 4 rectt / 2dt 16 rect 4 dt 16 rectt / 2rect 2 1 E x 4 dt 16 dt 16 dt 8 48 32 24 1 1 2 1 1 2 dt t 1 4 dt 65

Sinyal Enerjisi ve Gücü Bazı sinyaller sonsuz enerjili olabilir (zamanda-sonlu Some signals have infinite signal energy. In that case olmadıkları için). Bu tür sinyaller için, sinyal enerjisi It yerine is more sinyalin convenient ortalama to deal sinyal with gücü average daha signal kullanışlıdır. power. The x(t) sinyalinin average signal ortalama power sinyal of a signal gücü şöyle x t tanımlanır: 1 P x lim T T T /2 T /2 is xt 2 dt the average signal power is Periyodik For a periodic bir x(t) signal sinyali x t için ortalama sinyal gücü şöyledir: xt 2 dt P x 1 T T where burada T is sinyalin any period herhangi of the bir signal. periyodudur. 66

Sinyal Enerjisi ve Gücü Sonlu sinyal enerjisine sahip sinyallere enerji sinyali adı verilir. Sonsuz sinyal enerjisine ancak sonlu ortalama sinyal gücüne sahip sinyaller de güç sinyali olarak adlandırılır.. 67

Sinyal Enerjisi ve Gücü Find the average signal power of a signal xt with fundamental period 12, one period of which is described by xt ramp t / 5 P x 1 T P x 1 12 xt 2 dt 1 T 12 0 t 2 25 dt 1 4 8, 4 t 8 rampt / 5 2 dt 1 12 4 300 t 3 / 3 0 4 0 64 / 3 300 0 4 t / 5 2 dt 16 225 0.0711 68