1 Lineer Diferansiyel Denklem Sistemleri

Transkript

1 Outline İçindekiler 1 Lineer Diferansiyel Denklem Sistemleri Lineer sistem türleri (iki bilinmeyenli iki denklem) Normal Formda lineer denklem sistemleri (İki bilinmeyenli iki denklem) 2 3 Homojen lineer sistemler için temel özellikler. 3 4 Sabit katsayılı homojen lineer sistemler Durum: Ayrık Reel kökler Durum: Eşit Reel kökler Durum: Kompleks eşlenik kökler Lineer Diferansiyel Denklem Sistemleri Şu ana kadar bir bilinmeyenli bir diferansiyel denklemleri inceledik. Şimdi ise iki bilinmeyen fonksiyonu bulunan iki diferansiyel denklemi genel olarak n bilinmeyen fonksiyonu bulunan n diferansiyel denklemi inceleyeceğiz. Daha önce Diferansiyel denklem sistemlerini tanıtmak ile başlayalım. 1.1 Lineer sistem türleri (iki bilinmeyenli iki denklem) x y bilinmeyen fonkiyonlar olmak üzere birinci mertebeden değişken katsayılı lineer diferansiyel denklem sistemi genel olarak, a 1 (t)x + a 2 (t)y + a 3 (t)x + a 4 (t)y = F 1 (t) (1) b 1 (t)x + b 2 (t)y + b 3 (t)x + b 4 (t)y = F 2 (t) şeklinde yazılır. Burada t bağımsız değişkendir. (1) sistemini özel olarak şeklinde yazılır bu forma Normal form denir. x = a 11 (t)x + a 12 (t)y + F 1 (t) (2) y = a 21 (t)x + a 22 (t)y + F 2 (t) x = t 2 x + (t + 1)y + t 3 y = te t x + t 3 y e t

2 1. mertebeden değişken katsayılı lineer diferansiyel denklemi x = 5x + 7y + t 2 y = 2x 3y + 2t 1. mertebeden, sabit katsayılı bir sistemdir. n sayıda diferansiyel denklemden oluşan sistemi genel olarak, şeklinde yazılır. x 1 = a 11(t)x 1 + a 12 (t)x a 1n (t)x n + F 1 (t) x 2 = a 21(t)x 1 + a 22 (t)x a 2n (t)x n + F 2 (t) (3) x n = a n1 (t)x 1 + a n2 (t)x a nn (t)x n + F n (t)... 2 Normal Formda lineer denklem sistemleri (İki bilinmeyenli iki denklem) Tanım : x = a 11 (t)x + a 12 (t)y + F 1 (t) (4) y = a 21 (t)x + a 22 (t)y + F 2 (t) sistemine homojen olmayan, iki bilinmeyenli sistem denir. durumunda sisteme homojen sistem denir. homojen sistemdir F 1 (t) = 0, F 2 (t) = 0 x = 2x y y = 3x + 6y x = 2x y 5t y = 3x + 6y 4 homojen olmayan sistemdir. Teorem: a 11 (t), a 12 (t), a 21 (t), a 22 (t), F 1 (t), F 2 (t) fonksiyonları sürekli fonksiyonlar ise (4) sisteminin bir tek çözümü vardır. x = f (t) y = g(t) 2

3 3 Homojen lineer sistemler için temel özellikler. homojen sistemini ele alalım. Tanım: x = a 11 (t)x + a 12 (t)y (5) y = a 21 (t)x + a 22 (t)y x = f 1 (t) y = g 1 (t) x = f 2 (t) y = g 2 (t) fonksiyonları (5) sisteminin lineer bağımsız çözümleri olsun. Bu durumda f 1 (t) f 2 (t) g 1 (t) g 2 (t) determinantına bu fonksiyonların Wronskianı denir W(t) ile gösterilir. Teorem: x = f 1 (t) y = g 1 (t) x = f 2 (t) y = g 2 (t) fonksiyonları (5) sisteminin lineer bağımsız çözümleri olması için gerek yeter koşul f 1 (t) f 2 (t) g 1 (t) g 2 (t) 0 olmasıdır. Teorem x = f 1 (t) y = g 1 (t) 3

4 x = f 2 (t) y = g 2 (t) fonksiyonları (5) sisteminin lineer bağımsız çözümleri olsun. Bu durumda fonksiyonuna sistemin genel çözümü denir. fonksiyonları x = c 1 f 1 (t) + c 2 f 2 (t) y = c 1 g 1 (t) + c 2 g 2 (t) x = e 5t y = 3e 5t x = e 3t y = e 3t x = 2x y y = 3x + 6y homojen sisteminin lineer bağımsız bir çözümleri olduğunu gösteriniz. Buna göre genel çözümü belirtiniz. Çözüm: W(t) = e 5t 3e 5t e 3t e 3t = 2e8t 0 olduğundan lineer bağımsızdır. x(t) = c 1 e 5t + c 2 e 3t y(t) = 3c 1 e 5t c 2 = 0 fonksiyonu genel çözümdür. 4

5 4 Sabit katsayılı homojen lineer sistemler. x = a 11 x + a 12 y (6) y = a 21 x + a 22 y homojen sistemini ele alalım. Sabit katsayılı homojen denklemin çözümünü x = Ae λt (7) y = Be λt olarak arayalım. Buna göre x = Aλe λt y = Bλe λt türevlerini (6) sisteminde yerine yazarsak sistemini elde ederiz. e λt 0 olduğundan Aλe λt = a 11 Ae λt + a 12 Be λt Bλe λt = a 21 Ae λt + a 22 Be λt (a 11 λ)a + a 12 B = 0 (8) a 21 A + (a 22 λ)b = 0 sistemi elde edilir. Sistemin sıfırdan farklı çözümün olması için (a 11 λ) a 12 a 21 (a 22 λ) = 0 olması gerekir. Buna göre λ 2 (a 11 + a 22 )λ + a 11 a 22 a 12 a 21 = 0 (9) denklemini elde ederiz. Tanım: (9) denklemine diferansiyel sistemin karakteristik denklemi denir. Bu denklem ikinci dereceden bir cebirsel denklem olduğuna göre, denklemin λ 1, λ 2, gibi iki tane kökü olmalıdır. Bu kökler birer birer denklem (6)da yerine konursa her defasında bir özel çözüm elde edilecektir. Buna göre denklemin köklerine göre çözümü irdeleyelim. 5

6 4.1 1.Durum: Ayrık Reel kökler 1.Durum: Ayrık Reel kökler. Teorem: λ 1 λ 2, karakteristik denklem (9) nin ayrık reel kökleri olsun. x = A 1 e λ 1t y = B 1 e λ 1t x = A 2 e λ 2t y = B 2 e λ 2t fonksiyonları (6) sisteminin lineer bağımsız çözümleridir genel çözüm olarak yazarız. Burada c 1, c 2 keyfi sabitlerdir. x = c 1 A 1 e λ 1t + c 2 A 2 e λ 2t y = c 1 B 1 e λ 1t + c 2 B 2 e λ 2t x = 6x 3y y = 2x + y sisteminin çözümünü bulunuz. Çözüm: Sisteme karşılık gelen lineer cebirsel denklemler (6 λ)a 3B = 0 2A + (1 λ)b = 0 sisteme karşılık gelen karaktestik denklem (6 λ) 3 2 (1 λ) = 0 köklerdir. λ 1 = 3 için elde edilen cebirsel denklem λ 2 7λ + 12 = 0 λ 1,2 = 3, 4 3A 3B = 0, 2A 2B = 0 A = B = 1 6

7 için x(t) = e 3t y(t) = e 3t çözümdür. λ 2 = 4 için elde edilen cebirsel denklem için çözümdür. 2A 3B = 0, 2A 3B = 0 2A = 3B = 6 x(t) = 3e 4t y(t) = 2e 4t x(t) = e 3t y(t) = e 3t x(t) = 3e 4t y(t) = 2e 4t fonksiyonları sisteminin lineer bağımsız çözümleridir genel çözüm olarak yazarız. sisteminin çözümünü bulunuz. x = c 1 e 3t + 3c 2 e 4t y = c 1 e 3t + 2c 2 e 4t x = 2x + 7y y = 3x + 2y x(0) = 9 y(0) = 1 7

8 Çözüm: Sisteme karşılık gelen lineer cebirsel denklemler ( 2 λ)a + 7B = 0 3A + (2 λ)b = 0 sisteme karşılık gelen karaktestik denklem ( 2 λ) 7 3 (2 λ) = 0 köklerdir. λ 1 = 5 için elde edilen cebirsel denklem için çözümdür. λ 2 = 5 için elde edilen cebirsel denklem için çözümdür. λ 2 25 = 0 λ 1,2 = 5, 5 3A + 7B = 0, 3A + 7B = 0 3A = 7B = 21 x(t) = 7e 5t y(t) = 3e 5t 7A + 7B = 0, 3A 3B = 0 A = B = 1 x(t) = e 5t y(t) = e 5t x(t) = 7e 5t y(t) = 3e 5t 8

9 x(t) = e 5t y(t) = e 5t fonksiyonlar. sisteminin lineer bağımsız çözümleridir genel çözüm x = 7c 1 e 5t + c 2 e 5t y = 3c 1 e 5t + c 2 e 5t olarak yazarız. x(0) = 9 y(0) = 1 başlangıç koşullarından 7c 1 + c 2 = 9 3c 1 + c 2 = 1 c 1 = 1, c 2 = 2 x = 7e 5t + 2e 5t, y = 3e 5t + 2e 5t çözümdür Durum: Eşit Reel kökler 2.Durum: Eşit Reel kökler. Teorem: λ, karakteristik denklem (9) nin eşit tekrar eden reel kökü olsun. x = Ae λt y = Be λt x = (A 1 t + A 2 )e λt y = (B 1 t + B 2 )e λt fonksiyonlar. (6) sisteminin lineer bağımsız çözümleridir genel çözüm x = c 1 Ae λt + c 2 (A 1 t + A 2 )e λt y = c 1 Be λt + c 2 (B 1 t + B 2 )e λt 9

10 olarak yazarız. Burada c 1, c 2 keyfi sabitlerdir. x = 4x y y = x + 2y sisteminin çözümünü bulunuz. Çözüm: Sisteme karşılık gelen lineer cebirsel denklemler (4 λ)a B = 0 A + (2 λ)b = 0 sisteme karşılık gelen karaktestik denklem (4 λ) 1 1 (2 λ) = 0 köklerdir. λ 1 = 3 için elde edilen cebirsel denklem λ 2 6λ + 9 = 0 λ 1,2 = 3 için çözümdür. Ve diğer lineer bağımsız çözüm şeklindedir. Bunu denklemde yerine yazdığımızda A B = 0, A B = 0 A = B = 1 x(t) = e 3t y(t) = e 3t x(t) = (A 1 t + A 2 )e 3t y(t) = (B 1 t + B 2 )e 3t e 3t (A 1 + 3A 1 t + 3A 2 ) = 4(A 1 t + A 2 )e 3t (B 1 t + B 2 )e 3t e 3t (B 1 + 3B 1 t + 3B 2 ) = (A 1 t + A 2 )e 3t + 2(B 1 t + B 2 )e 3t (A 1 B 1 )te 3t + (A 2 A 1 B 2 )e 3t = 0 (A 1 B 1 )te 3t + (A 2 B 1 B 2 )e 3t = 0 (A 1 B 1 ) = 0, A 2 A 1 B 2 = 0 A 1 B 1 = 0, A 2 B 1 B 2 = 0 (10) 10

11 Bu denklemleri sağlayacak şekilde keyfi olarak A 1 = 1, B 1 = 1, A 2 = 1, B 2 = 0 seçebiliriz. Bu durumda x(t) = e 3t y(t) = e 3t x(t) = (t + 1)e 3t y(t) = te 3t fonksiyonları sisteminin lineer bağımsız çözümleridir genel çözüm olarak yazarız. x = c 1 e 3t + c 2 (t + 1)e 3t y = c 1 e 3t + c 2 te 3t x = 6x 4y y = x + 2y x(0) = 2 y(0) = 3 sisteminin çözümünü bulunuz. Çözüm: Sisteme karşılık gelen lineer cebirsel denklemler (6 λ)a 4B = 0 A + (2 λ)b = 0 sisteme karşılık gelen karaktestik denklem (6 λ) 4 1 (2 λ) = 0 köklerdir. λ 1 = 4 için elde edilen cebirsel denklem λ 2 8λ + 16 = 0 λ 1,2 = 4 2A 4B = 0, A 2B = 0 A = 2B = 2 A = 2, B = 1 11

12 için x(t) = 2e 4t y(t) = e 4t çözümdür. Ve diğer lineer bağımsız çözüm şeklindedir. Bunu denklemde yerine yazdığımızda şeklindedir. x(t) = (A 1 t + A 2 )e 4t y(t) = (B 1 t + B 2 )e 4t e 4t (A 1 + 4A 1 t + 4A 2 ) = 6(A 1 t + A 2 )e 4t 4(B 1 t + B 2 )e 4t e 4t (B 1 + 4B 1 t + 4B 2 ) = (A 1 t + A 2 )e 4t + 2(B 1 t + B 2 )e 4t (2A 1 4B 1 )t + (2A 2 A 1 4B 2 ) = 0 (A 1 2B 1 )t + (A 2 B 1 2B 2 ) = 0 (2A 1 4B 1 ) = 0, (2A 2 A 1 4B 2 ) = 0 (A 1 2B 1 ) = 0, A 2 B 1 2B 2 = 0 A 1 = 2B 1 = 2A 2 4B 2 = 2 A 1 = 2, B 1 = 1, A 2 = 3, B 2 = 1 x(t) = (2t + 3)e 4t y(t) = (t + 1)e 4t x(t) = 2e 4t y(t) = e 4t x(t) = (2t + 3)e 4t y(t) = (t + 1)e 4t fonksiyonları sisteminin lineer bağımsız çözümleridir genel çözüm x = 2c 1 e 4t + c 2 (2t + 4)e 4t y = c 1 e 4t + c 2 (t + 1)e 4t olarak yazarız. x(0) = 2 y(0) = 3 12

13 koşullarından 2c 1 + 3c 2 = 2, c 1 + c 2 = 3 c 1 = 7, c 2 = 4 x = 14e 4t 4(2t + 3)e 4t y = 7e 4t 4(t + 1)e 4t Durum: Kompleks eşlenik kökler 3.Durum: Kompleks eşlenik kökler. Teorem: λ 1 = a + ib λ 2 = a ib, karakteristik denklem (9) nin kompleks eşlenik kökleri olsun. ya x = (A 1 + ia 2 )e at (cos bt + isinbt) y = (B 1 + ib 2 )e at (cos bt + i sin bt) x = e at (A 1 cos bt A 2 sin bt) y = e at (B 1 cos bt B 2 sin bt) x = e at (A 2 cos bt + A 1 sin bt) y = e at (B 2 cos bt + B 1 sin bt) fonksiyonları (6) sisteminin lineer bağımsız çözümleridir genel çözüm x = c 1 e at (A 1 cos bt A 2 sin bt) + c 2 e at (A 2 cos bt + A 1 sin bt) y = c 1 e at (B 1 cos bt B 2 sin bt) + c 2 e at (B 2 cos bt + B 1 sin bt) olarak yazarız. Burada c 1, c 2 keyfi sabitlerdir. x = 3x + 2y y = 5x + y 13

14 sisteminin çözümünü bulunuz. Çözüm: Sisteme karşılık gelen lineer cebirsel denklemler (3 λ)a + 2B = 0 5A + (1 λ)b = 0 sisteme karşılık gelen karaktestik denklem (3 λ) 2 5 (1 λ) = 0 köklerdir. λ 1 = 2 + 3i için elde edilen cebirsel denklem için λ 2 4λ + 13 = 0 λ 1,2 = 2 + 3i, 2 3i (1 3i)A + 2B = 0, 5A (1 + 3i)B = 0 (1 3i)A = 2B A = 2, B = 1 + 3i x = 2e 2t (cos 3t + i sin 3t) çözümdür. Burada reel sanal kısımları ayırdığımızda y = ( 1 + 3i)e 2t (cos 3t + i sin 3t) x = 2e 2t cos 3t y = e 2t ( cos 3t 3 sin 3t) x = 2e 2t sin 3t y = e 2t (3 cos 3t sin 3t) fonksiyonları sisteminin lineer bağımsız çözümleridir genel çözüm olarak yazarız. x = 2c 1 e 2t cos 3t + 2c 2 e 2t sin 3t y = c 1 e 2t ( cos 3t 3 sin 3t) + c 2 e 2t (3 cos 3t sin 3t) x = 7x 4y y = 2x + 3y x(0) = 2 y(0) = 1 14

15 sisteminin çözümünü bulunuz. Çözüm: Sisteme karşılık gelen lineer cebirsel denklemler (7 λ)a 4B = 0 2A + (3 λ)b = 0 sisteme karşılık gelen karaktestik denklem (7 λ) 4 2 (3 λ) = 0 köklerdir. λ 1 = 5 2i için elde edilen cebirsel denklem için λ 2 10λ + 29 = 0 λ 1,2 = 5 2i, 5 + 2i (2 + 2i)A 4B = 0, 2A + ( 2 + 2i)B = 0 (2 + 2i)A = 4B A = 4, B = 2 + 2i x(t) = 4e (5 2i) t = 4e 5t (cos 2t i sin 2t) y(t) = (2 + 2i)e(5.2i)t = (2 + 2i)e 5t (cos 2t i sin 2t) çözümdür. Burada reel sanal kısımları ayırdığımızda x = 4e 5t cos 2t y = e 5t (2 cos 2t + 2 sin 2t) x = 4e 5t sin 2t y = e 5t (2 cos 2t 2 sin 2t) fonksiyonlar. sisteminin lineer bağımsız çözümleridir genel çözüm olarak yazarız. x = 4c 1 e 5t cos 2t + 4c 2 e 5t sin 2t y = c 1 e 5t (2 cos 2t + 2 sin 2t) + c 2 e 5t (2 cos 2t 2 sin 2t) x(0) = 2 y(0) = 1 15

16 başlangıç koşullarından 4c 1 = 2 2c 1 + 2c 2 = 1 c 1 = 1 2, c 2 = 1 x = 7e 5t + 2e 5t y = 3e 5t + 2e 5t x = 2e 5t cos 2t 4e 5t sin 2t y = 1 2 e5t (2 cos 2t + 2 sin 2t) e 5t (2 cos 2t 2 sin 2t) çözümdür. 16