SEYAHAT PERFORMANSI MENZİL

SEYAHAT PERFORMANSI MENZİL Uçakların ne kadar paralı yükü, hangi mesafeye taşıyabildikleri ve bu esnada ne kadar yakıt harcadıkları en önemli performans göstergelerinden biridir. Bir uçağın kalkış noktasından, iniş yaptığı varış noktasına kadar kat ettiği yer mesafesine uçağın menzili denir. Uçuşun kalkıştan, seyahat irtifaına çıkılana kadar olan tırmanma ve seyahat irtifaından inişe kadar olan alçalma safhası dışında kalan büyük bölümü yatay uçuş olarak gerçekleştirilir. Bu nedenle, menzil performansının incelenmesinde yatay uçuş prensiplerinden faydalanılır. 1. TEMEL KAVRAMLAR 1.1. Özgül Yakıt Sarfiyatı Bir uçağın yakıt verimliliğinin en önemli ölçütü olan özgül yakıt sarfiyatı (specific fuel consumption) birim tepki kuvveti başına birim zamanda harcanan yakıt miktarıdır: (1) Özgül yakıt sarfiyatı, uçuş hızına ve hava sıcaklığına, dolayısıyla uçuş irtifaına bağlı olarak değişir. Bu nedenle, Martinez Val ve Perez [1] seyahat menzili hesaplamaları için özgül yakıt sarfiyatını aşağıdaki gibi ifade etmişlerdir: (2) Seyahat menzili hesaplamalarında basit ve oldukça hassas çözüm sağlayan [2] bu bağıntıda,, özgül yakıt sarfiyatının Mach sayısına bağımlılık üstel değeridir. 'nın değeri düşük by passlı türbofan motorlar için 0,2 0,4; yüksek by passlı türbofan motorlar için 0,4 0,7 mertebesindedir [1]. Shevell [3] by pass oranı 5 6 olan türbofan motorları yüksek by passlı olarak tanımlamaktadır. Torenbeek [4] ise by pass oranı 2'nin altında olan türbofan motorları düşük by passlı; 2'nin üzerinde olanları yüksek by passlı olarak tanımlamaktadır., uçuş ortamındaki hava sıcaklığının mutlak sıcaklık ölçeğindeki değeridir. * indisi ile gösterilen değerler motor imalatçısı tarafından verilen referans değerlerdir. 1.2. Özgül Menzil Özgül menzil (specific range ) sarf edilen birim yakıt miktarı başına kat edilen mesafedir. O halde: (3) Özgül menzil uçak ağırlığına, uçuş irtifaına, uçuş hızına, dolayısıyla Mach sayısına, bağlı olarak değişir. Her uçak için özgül menzilin maksimum olduğu bir Mach sayısı vardır. Özgül menzil bu Mach sayısına kadar artar ve bu Mach sayısından sonra tekrar azalır. Seyahat uçuşu yapan bir uçağın özgül menzili uçuşun başlangıcında daha küçüktür. Uçak yakıt sarfiyatı nedeniyle hafifledikçe özgül menzili de büyür. Ancak, uçuşun başında özgül menzili maksimum yapan Mach sayısı daha büyükken, yakıt 1

sarfiyatı nedeniyle uçak hafifledikçe, uçuşun sonuna doğru özgül menzili maksimum yapan Mach sayısı da küçülür. (Şekil 1) W = sabit h = sabit M MR h = sabit M MR Mach Mach Şekil 1 Özgül menzilin Mach sayısına ve ağırlığa bağlı değişimi Uçağın uçuş irtifaı arttıkça özgül menzili de büyür. Bu sırada, özgül menzili maksimum yapan Mach sayısı da büyür. Ancak, özgül menzil belli bir irtifada maksimuma ulaştıktan sonra, irtifa artsa da büyümez, aksine küçülür. Bu durum yatay uçuş hızları konusunda ele alındığı gibi, maksimum yatay uçuş hızının belli bir irtifada maksimuma çıkması ve ondan sonra azalmasına benzer. Uçuş sırasında yakıt sarfiyatı nedeniyle uçak hafifledikçe, özgül menzili maksimum yapan irtifa da artar. (Şekil 2) M MR W = sabit Mach Şekil 2 Özgül menzilin uçuş irtifaı ile değişimi 1.3. Özgül Menzili En İyi Yapan Uçuş Hızı Hız uçağın birim zamanda kat ettiği mesafeyi gösterdiğine göre, hızı ile zaman farkının çarpımı kat edilen mesafeyi verir. 2

Bu mesafenin kat edilmesi esnasında harcanan yakıt miktarı ise, (1) denkleminden aşağıdaki gibidir: Diğer taraftan, uçak yatay uçuş yaptığına göre tepki, sürüklemeye eşit olacaktır. Bulunan bu değerlerin (3) ile verilen özgül menzil ifadesinde yerine konmasıyla özgül menzili, şu şekilde ifade etmek mümkündür: (4) Uçağın irtifaını değiştirmeden, belli bir hızla uçtuğu düşünülürse, özgül yakıt sarfiyatının sabit olduğu kabul edilebilir, yani Bu durumda özgül menzilin maksimum olabilmesi için aşağıdaki şartın sağlanması gerekir. 1 oranını maksimum yapan hız ise hız sürükleme eğrisine başlangıç noktasından çizilen bir teğet ile belirlenebilir (Şekil 3). Teğetin sürükleme eğrisine temas ettiği A noktasındaki hız, uçağın özgül menzili en iyi yapan hızıdır. Bu hıza özgül menzili en iyi yapan denmesinin nedeni, özgül yakıt sarfiyatının sabit kabul edilmesi, dolayısıyla tam ve kesin olarak özgül menzili maksimum yapan hız olmamasıdır. Şekil 3'den de görüldüğü üzere, özgül menzili en iyi yapan hız ( ), minimum sürükleme hızından daha büyüktür. Bu hıza karşılık gelen Mach sayısı ise özgül menzili en iyi yapan Mach sayısıdır ( ). D A V md V br V Şekil 3 Özgül menzili en iyi yapan hız 3

şeklinde basit parabolik sürükleme poleri olan bir uçak için olduğuna göre için 2 2 (5) ve 2 2 2 4 2 2 2 0 (6) 0 (7) koşullarını sağlayan hız özgül menzili en iyi yapan hızı vermektedir. (6) bağıntısından, (7) şartını da sağlayan özgül menzili en iyi yapan hız 3 2 (8) olarak bulunur. Bir uçağın minimum sürükleme hızının 2 olduğu hatırlanırsa, özgül menzili en iyi yapan hızın, minimum sürükleme hızının 3 1,316 katı olduğu görülmektedir. 3 (9) 2. SEYAHAT MENZİLİ 2.1. Menzil Performansının Denklemi Seyahat uçuşundaki uçağın ağırlığı yakıt sarfiyatı kadar azalır. O halde Bu durumda, özgül menzilin (4) ile ifade edilen hali de göz önünde bulundurulursa, ağırlıktaki azalmaya karşılık uçulan mesafe Uçak yatay uçtuğuna göre taşıması, ağırlığına eşit olacaktır. O halde, uçulan mesafeyi aşağıdaki gibi ifade etmek mümkündür: 4

(10) Bulunan bu ifadeye menzilin diferansiyel denklemi adı verilir. Denklemin sağ tarafının, seyahat uçuşunun başlangıcındaki şartlardan ( indisi ile gösterilen), seyahat uçuşunun sonundaki şartlara ( indisi ile gösterilen) entegre edilmesi halinde, uçağın seyahat menzili bulunur. (11) (10) ve (11) bağıntıları, seyahat menzilin en genel ifadeleridir. 2.2. Menzil Performanslarının Hesaplanması (10) veya (11) bağıntılarıyla ifade edilen menzil denkleminin üç bağımsız değişkeni hız, irtifa (dolayısıyla hava yoğunluğu) ve taşıma katsayısıdır. Bunlardan ikisinin sabit kabul edilmesi halinde (11) integralinin hesaplanması kolaylaşır. Nitekim gerçek uçuşlar da parametrelerin ikisinin sabit tutulmasıyla yapılır. Parametrelerin sabit tutulmasıyla ilgili çok çeşitli varyasyonlar oluşturulabilse de, hem hesap kolaylığı olan, hem de pratikte kullanılan üç farklı uçuş türünden bahsedebiliriz. Bunlar: 1. Sabit irtifada, sabit taşıma katsayısıyla uçuş, 2. Sabit hızda, sabit taşıma katsayısıyla uçuş ve 3. Sabit irtifada, sabit hızla uçuştur. 2.2.1. Sabit irtifada, sabit taşıma katsayısıyla uçuş Bu uçuş türünde, tanımından da anlaşılacağı üzere irtifa ve taşıma katsayısı seyahat uçuşu boyunca sabittir. İrtifa sabit olduğuna göre hava yoğunluğu da sabittir. Taşıma katsayısı sabit olduğundan fines de sabittir. O halde: Yatay uçuşta taşıma ve ağırlık eşit olduğuna göre Buradan, seyahat hızı,, (12) 2 2 Yoğunluk ve taşıma katsayısı sabit olduğuna göre, uçuş hızının sadece yakıt sarfiyatı nedeniyle azalan ağırlığa bağlı olarak değişeceğini görüyoruz. Dolayısıyla, uçuşun başındaki uçak ağırlığı büyük olacağından, yakıt sarfiyatı azaldıkça ağırlıkta azaldığı için hız uçuş boyunca azalacaktır. Özgül yakıt sarfiyatı da sabit kabul edildiği takdirde, (11) integral denklemi 2 5

halini alır. İntegral sadece ağırlığa bağlı kaldığından, bu denklemin çözümü çok kolaydır. Denklemde seyahat uçuşu başındaki uçak ağırlığını, seyahat uçuşu sonundaki uçak ağırlığını göstermektedir. İntegralin çözümü ise, 2 2 1 Menzil için, indisinin kullanılması, sabit irtifada, sabit taşıma katsayısıyla uçuşa ait olduğunu göstermek içindir. Seyahat uçuşunun başındaki uçuş hızı olduğuna göre: 2, 2 1 (13) Seyahat uçuşunda sarf edilen yakıt miktarı Seyahat yakıt oranı dolayısıyla 1 1 O halde, sabit irtifada, sabit taşıma katsayısıyla uçuşun menzil denklemi aşağıdaki gibi olur: Sabit İrtifada, Sabit Taşıma Katsayısıyla Uçuşta Maksimum Menzil, 2 1 1 (14) (14) bağıntısı ile ifade edilen menzilin maksimum olabilmesi için, özgül yakıt sarfiyatı baştan sabit kabul edilmiş olduğuna göre, hız ve fines çarpımının maksimum olması gerektiği açıktır. Yani: olmalıdır. 6

2 2 2 olduğuna göre 2 2 2 2 2 O halde koşulu maksimum menzili verecektir. Bunun için olmalıdır. Burada payın sıfır olması yeterlidir: 0 1 2 2 0 1 2 2 0 Bu denklemin çözümü sonucunda maksimum menzil için 3 4 3 olması gerektiği bulunur. Bulunan bu taşıma katsayısı hız ifadesinde yerine konduğunda 3 2 şeklindeki maksimum menzile uçuş için uçuşun başlangıcındaki hız bulunur. Bu hız aslında (8) bağıntısı ile verilmiş olan en iyi özgül menzili veren hızın seyahat uçuşu başındaki ağırlığa karşılık gelen değeridir. Uçağın ağırlığındaki minimum sürükleme hızı 2 7

olduğuna göre 3 (15) Bulunan hız, taşıma ve sürükleme katsayıları (14) bağıntısında yerine konduğunda, sabit irtifada, sabit taşıma katsayısıyla uçuş için maksimum menzil aşağıdaki gibi elde edilir: Burada maksimum finesin olduğu hatırlanmalıdır., 3 1 1 (16) 1 2 Sabit İrtifada, Sabit Taşıma Katsayısıyla Uçuşta Parametrelerin Değişimi Bu uçuş türünde yakıt sarfiyatı nedeniyle uçak ağırlığı uçuş boyunca azaldığından, irtifa ve taşıma katsayısının sabit tutulabilmesi için hızın da sürekli azaltılması gerekir. Bu da sürekli olarak gaz kesilmesiyle sağlanabilir. Uçuş parametrelerinin değişimleri Şekil 4 de grafik olarak gösterilmiş ve Tablo 1 de başlangıç ve sonuç değerleri olarak sunulmuştur. Bu uçuş türü, uçağın sürekli olarak hız düşürmesi nedeniyle, hava trafik kontrolü, özellikle yol kontrol açısından çok uygun değildir. 1,2 1,0 h/h b, E/E b Bağıl Değerler 0,8 0,6 0,4 V/V b F/F b, W/W b 0,2 0,0 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 f = (W b W)/W b Şekil 4 Sabit irtifada, sabit taşıma katsayısı ile uçuşta, parametrelerin f'e bağlı olarak değişimi 8

Tablo 1 Uçuş değişkenlerinin seyahat uçuşu başlangıcındaki ve sonucundaki değerleri Seyahat uçuşu başında Seyahat uçuşu sonunda İrtifa Fines Ağırlık 1 Uçuş hızı 1 Tepki kuvveti 1 2.2.2. Sabit hızda, sabit taşıma katsayısıyla uçuş Tanımından da anlaşılacağı üzere, bu uçuş türünde, seyahatin başından sonuna kadar uçuş hızı ve taşıma katsayısı sabittir. Taşıma katsayısının sabit olması nedeniyle, fines de sabittir. Özgül yakıt sarfiyatının da sabit kabul edildiği halde, menzili ifade eden integral denklem, 1 Menzil için, indisinin kullanılması, sabit hızda, sabit taşıma katsayısıyla uçuşa ait olduğunu göstermek içindir. Denklemin çözümü Aynı ifade de seyahat yakıt oranı kullanıldığında, 1 ln (17), 1 ln 1 1 (18) Bu basit denkleme çoğunlukla Breguet Menzil Denklemi adı verilmekle beraber, Fransız havacısı Breguet tarafından bulunmuş olduğu konusunda yeterli delil bulunmamaktadır. Ancak, bu bağıntının Coffin ve Devillers tarafından ayrı ayrı ama yaklaşık olarak aynı tarihlerde bulunmuş olduğuna dair kuvvetli deliller bulunmaktadır [5]. Denklemin en önemli özelliği bir uçağın performansını ortaya koyan üç ana unsuru bir araya getirmesidir. Denklemdeki uçağın güç grubu performansını, aerodinamik performansını ve ln yapısal performansını ortaya koyar. Denklem bu özelliğiyle çok disiplinli tasarım optimizasyonunda (multi disciplinary design optimization) amaç fonksiyonu rolünü oynamaktadır. 9

Aerodinamikçinin ideal uçağı Optimizasyon Sonucu Motorcunun ideal uçağı 1 ln Yapıcının ideal uçağı Şekil 5 Tasarım optimizasyonu ve menzil denklemi Sabit Hızda, Sabit Taşıma Katsayısıyla Uçuşta Maksimum Menzil Bu uçuş tekniğinde de maksimum menzile uçuş için / nin maksimizasyonu gerekmektedir. O halde için taşıma ve sürükleme katsayıları 3 4 3 seyahat hızı, aynen (15) denkleminde de ifade edildiği gibi 3 2 3/ olmalıdır. Ancak, sabit hızda, sabit taşıma katsayısıyla uçuşta bu hız uçuş boyunca sabit kalmaktadır. Bu durumda maksimum menzil: veya, 3 2 ln (19), 3 2 ln 1 1 (20) Sabit Hızda, Sabit Taşıma Katsayısıyla Uçuşta Parametrelerin Değişimi Bu uçuş tekniğinde uçak yakıt sarfiyatı nedeniyle ağırlığı azaldıkça seyahat boyunca yükselmektedir. Hız ve taşıma katsayıları sabit olduğundan 2 2 1 10

Sabit hızda, sabit taşıma katsayısıyla uçuşta parametrelerin değişimi Tablo 2 ve Şekil 6 da verilmiştir. Bu uçuş türü gerçek maksimum menzili vermesine rağmen, uçağın seyahat süresince sürekli olarak yükseliyor olması nedeniyle, hava trafik kontrolü bakımından, özellikle yol kontrol uygulamaları için pek uygun değildir. Tablo 2 Uçuş değişkenlerinin seyahat uçuşu başlangıcındaki ve sonucundaki değerleri Seyahat uçuşu başında Seyahat uçuşu sonunda İrtifa Fines Ağırlık 1 Uçuş hızı Tepki kuvveti 1 1,4 h/h b 1,2 Bağıl Değerler 1,0 0,8 0,6 0,4 V/V b, E/E b F/F b, W/W b 0,2 0,0 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 f = (W b W s )/W b Şekil 6 Sabit hava hızıyla, sabit taşıma katsayısıyla uçuşta, parametrelerin f'e bağlı değişimi Basamaklı Seyahat (Step Cruise) Sabit hız ve sabit taşıma katsayısıyla uçuşta, uçağın sürekli yükselen bir yörüngede hareket ettiği ve bütün seyahat uçuşu türleri içinde en uzun menzilin bu uçuş türü ile elde edildiği belirtilmişti. Ancak, bu sürekli yükselişin hava trafik kontrolü bakımından çok pratik olmadığı da belirtilmişti. Bu problemin aşılabilmesi için sürekli yükselen yörüngeye en yakın olan basamaklı seyahat yöntemi kullanılır. Basamaklı seyahat yönteminde uçak önce belli bir irtifada sabit hız ve sabit irtifada 11

uçurulur. Uçak bir miktar hafifledikten sonra bir üst irtifaa tırmandırılır ve o irtifada yeniden sabit hız ve sabit irtifa uçuşuna tabi tutulur. Daha sonra bir kez daha tırmandırılır ve o irtifadan uçuşuna devam ettirilir. Bu sayede uçağın sürekli yükselen yörüngeye yakın bir yörünge ile daha uzağa gitmesi veya daha az yakıt sarfiyatı yapması sağlanır. Bu yöntem özellikle kıtalararası veya kıtaların bir ucundan diğer ucuna yapılan uçuşlarda çok tercih edilen bir yöntemdir. Sabit irtifa, sabit taşıma katsayısıyla uçuş yörüngesi Basamaklı seyahat yörüngesi 2.2.3. Sabit İrtifada, Sabit Hızla Uçuş Şekil 7 Basamaklı seyahat uçuşu Tanımından da anlaşılacağı üzere, bu uçuş tekniğinde sabit irtifada uçuş yapıldığından hava yoğunluğu ve uçuş hızı sabit kalmaktadır: Hem hız, hem de irtifa sabit olduğuna göre, özgül yakıt sarfiyatı da sabit kabul edilebilir. O halde seyahat menzilinin integral denklemi aşağıdaki gibi olur:, Menzil için, indisinin kullanılması, sabit irtifada, sabit hızla uçuşa ait olduğunu göstermek içindir. İntegral denklemdeki sürükleme, ağırlığın fonksiyonu olarak aşağıdaki gibidir: 2 2 Mesafe 12

İntegral denklemin daha sade görünebilmesi için aşağıdaki gibi bir sabitin varlığını kabul edebiliriz: Bu durumda, integral denklem 2, 2 şeklinde ifade edilebilir. Bu durumda integralin çözümünden, menzil denklemi:, 2 arctan arctan (21) İki açının farkı da bir açı olacağına göre Ek 1 de açıklanan yöntemin uygulanmasıyla (21) denklemini, aşağıdaki gibi de ifade edilebiliriz:, 2 arctan (22) Burada arctan ifadesinin de kaldırılması mümkündür. Çünkü arctan lı ifade küçük bir açıyı temsil etmektedir. Bilindiği üzere küçük açılar için aşağıdaki yorumu yapmak mümkündür. tan arctan Bu durumda, (22) denklemi aşağıdaki hale dönüşür: Sabit İrtifada, Sabit Hızla Uçuşta Maksimum Menzil, 2 1 (23) Maksimum menzili sağlayan seyahat uçuşu hızının bulunması için aşağıdaki şartın sağlanması gerekir:, (23) denkleminde, nın yerine değeri konduğunda ve denklemin hıza göre türevi alınıp, sıfıra eşitlendiğinde 0 3 1 2 31/ (24) olarak hesaplanır. Bu hızın menzil denkleminde yerine konmasıyla, maksimum menzil aşağıdaki gibi bulunur: 13

, 3 2 (25) 1 Sabit İrtifada, Sabit Hızla Uçuşta Parametrelerin Değişimi Bu uçuş tekniğinde yakıt sarfiyatı nedeniyle uçak ağırlığı azaldıkça, taşıma katsayısının küçüldüğü, buna bağlı olarak da sürüklemenin, finesin ve gerekli tepki kuvvetinin azaldığı görülmektedir. Uçuş parametrelerinin uçuş boyunca nasıl değiştiği Tablo 3 ve Şekil 8 de özetlenmiştir. Sabit irtifada, sabit hızla uçuş, hem irtifaın hem de hızın sabit kalması nedeniyle, hava trafik kontrolü, özellikle de yol kontrol bakımından en uygun uçuş yöntemidir. Tablo 3. Uçuş değişkenlerinin seyahat uçuşu başlangıcındaki ve sonucundaki değerleri Seyahat uçuşu başında Seyahat uçuşu sonunda İrtifa Fines 43 4 Ağırlık 1 Uçuş hızı Tepki kuvveti 41 43 1,2 1,0 h/h b, V/V b Bağıl Değerler 0,8 0,6 0,4 F/F b E/E b W/W b 0,2 0,0 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 f = (W b W s )/W b Şekil 8. Sabit irtifada, sabit hızla uçuşta, parametrelerin f'e bağlı olarak değişimi 14

2.3. Üç Uçuş Tekniğinde Elde Edilen Seyahat Menzili Performanslarının Karşılaştırılması Seyahat yakıtı oranının tanımından da anlaşılacağı üzere, bu oran daima 1 den küçüktür. Günümüz uçak teknolojisine göre üretilen uçakların boş ağırlık, paralı yük, yakıt ağırlığı dağılımları istatistiki olarak incelendiğinde, en uzun menzilli uçaklarda dahi seyahat yakıtı oranının 0,5 den küçük olduğu görülmektedir. O halde, seyahat yakıt oranı için aşağıdaki kabulü yapabiliriz. 00,5 Sabit irtifada, sabit taşıma katsayısı ile uçuşa ait ve (16) denklemi ile verilen maksimum menzil ifadesi, sabit hızda, sabit taşıma katsayısıyla uçuşa ait ve (20) denklemi ile verilen maksimum menzil ifadesiyle karşılaştırıldığında,, 2 11 ln 1 1 Bu ifadenin sayısal bir incelemesi yapıldığında, 0 dışında, 0 0,5 aralığında, daima olduğu görülür.,, Benzer karşılaştırma, sabit hızda, sabit taşıma katsayısı uçuşuna ait maksimum menzil ve sabit irtifada, sabit hızla uçuşa ait ve (25) denklemi ile verilen maksimum menzil ifadesi arasında da yapıldığında, aşağıdaki durum ortaya çıkacaktır., 1 ln 1 1, Bu ifadenin sayısal incelemesi yapıldığında da, 0 dışında, 0 0,5 aralığında, daima olduğu görülür.,, Sabit irtifada, sabit taşıma katsayısı ile uçuşa ait ve (16) denklemi ile verilen maksimum menzil ifadesi, sabit irtifada, sabit hızla uçuşa ait ve (25) denklemi ile verilen maksimum menzil ifadesi ile karşılaştırıldığında, 2 1 1 1, Bu ifadenin sayısal incelemesi yapıldığında da, 0 dışında, 0 0,5 aralığında, daima olduğu görülür. O halde,, 15

,,, Buradan da belli bir yakıt sarfiyatına karşılık, en uzun menzile sabit hızda, sabit taşıma katsayısıyla uçulabileceği görülmektedir. Ancak, sayısal incelemeler aynı yakıt sarfiyatı için sabit irtifada, sabit taşıma katsayısı ile uçuş tekniğindeki maksimum menzil ve sabit irtifada, sabit hızla uçuş tekniğindeki maksimum menzilin birbirine çok yakın değerlerde olduğunu göstermektedir. da 3 kabul edilerek, üç farklı uçuş tekniğindeki seyahat menzillerinin karşılaştırması yapılmaktadır. 0,40 0,35 0,30 0,25 0,20 0,15 0,10 0,05 0,00 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 h,cl V,CL h,v Şekil 9 Farklı uçuş tekniklerinde maksimum menzillerin karşılaştırılması 16

KAYNAKLAR [1] R. Martinez Val ve E. Perez, «Optimum Cruise Lift Coefficient Initial Design of Jet Aircraft,» Journal of Aircraft, cilt 29, no. 4, p. 712 714, 1991. [2] A. Cavcar, «Constant Altitude Constant Mach Number Cruise Range of Transport Aircraft with Compressibility Effects,» Journal of Aircraft, cilt 43, no. 1, p. 125 131, 2006. [3] R. S. Shevell, Fundamentals of Flight, Prentice Hall, 1989. [4] E. Torenbeek, Synthesis of Subsonic Airplane Design, Delft Univ. Press, 1976. [5] M. Cavcar, «Bréguet Range Equation?,» Journal of Aircraft, cilt 43, no. 5, pp. 1542 1544, 2006. 17