Çözümlü Yüksek Matematik Problemleri Doç. Dr. Erhan Pişkin 2 2. Baskı
Doç. Dr. Erhan PİŞKİN ÇÖZÜMLÜ YÜKSEK MATEMATİK PROBLEMLERİ 2 ISBN 978-605-318-451-5 DOI 10.14527/9786053184515 Kitap içeriğinin tüm sorumluluğu yazarlarına aittir. 2017, PEGEM AKADEMİ Bu kitabın basım, yayım ve satış hakları Pegem Akademi Yay. Eğt. Dan. Hizm. Tic. Ltd. Şti.ye aittir. Anılan kuruluşun izni alınmadan kitabın tümü ya da bölümleri, kapak tasarımı; mekanik, elektronik, fotokopi, manyetik, kayıt ya da başka yöntemlerle çoğaltılamaz, basılamaz, dağıtılamaz. Bu kitap T.C. Kültür Bakanlığı bandrolü ile satılmaktadır. Okuyucularımızın bandrolü olmayan kitaplar hakkında yayınevimize bilgi vermesini ve bandrolsüz yayınları satın almamasını diliyoruz. Pegem Akademi Yayıncılık, 1998 yılından bugüne uluslararası düzeyde düzenli faaliyet yürüten uluslararası akademik bir yayınevidir. Yayımladığı kitaplar; Yükseköğretim Kurulunca tanınan yükseköğretim kurumlarının kataloglarında yer almaktadır. Dünyadaki en büyük çevrimiçi kamu erişim kataloğu olan WorldCat ve ayrıca Türkiye de kurulan Turcademy.com ve Pegemindeks.net tarafından yayınları taranmaktadır, indekslenmektedir. Aynı alanda farklı yazarlara ait 1000 in üzerinde yayını bulunmaktadır. Pegem Akademi Yayınları ile ilgili detaylı bilgilere http://pegem.net adresinden ulaşılabilmektedir. 1. Baskı: Mayıs 2016, Ankara 2. Baskı: Ekim 2017, Ankara Yayın-Proje: Özlem Sağlam Dizgi-Grafik Tasarım: Ayşe Nur Yıldırım Kapak Tasarım: Erkan Pişkin Baskı: Sonçağ Yayıncılık Matbaacılık Reklam San Tic. Ltd. Şti. İstanbul Cad. İstanbul Çarşısı 48/48 İskitler - Ankara (0312 341 36 67) (0535 292 34 31) Yayıncı Sertifika No: 14749 Matbaa Sertifika No: 25931 İletişim Karanfil 2 Sokak No: 45 Kızılay/ANKARA Yayınevi: 0312 430 67 50-430 67 51 Yayınevi Belgeç: 0312 435 44 60 Dağıtım: 0312 434 54 24-434 54 08 Dağıtım Belgeç: 0312 431 37 38 Hazırlık Kursları: 0312 419 05 60 İnternet: www.pegem.net E-ileti: pegem@pegem.net
Önsöz Bu kitap, üniversitelerin eğitim, fen ve mühendislik fakültelerinde okutulan Analiz III IV ve Genel Matematik III IV derslerine yardımcı olmak amacıyla yazılmıştır. Kitap dokuz bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde seriler, ikinci bölümde, çok değişkenli fonksiyonlar, üçüncü bölümde vektör değerli fonksiyonlar, dördüncü, beşinci, altıncı ve yedinci bölümlerde sırasıyla iki katlı, üç katlı, eğrisel ve yüzey integralleri incelenmektedir. Son iki bölüm ise özel fonksiyonlar ve Fourier serilerini içermektedir. Her bölüm, konu ile gerekli tanım ve teoremler verildikten sonra çok sayıda çözülmüş problemden oluşmaktadır. Kitabın kolay okunup, anlaşılabilmesi için gerekli titizliğin gösterilmesine rağmen yine de bazı hatalar olabilir. Bu konuda her türlü uyarı ve eleştiride bulunacak meslektaş ve öğrencilere şimdiden teşekkürlerimi sunarım. Diyarbakır 2016 Erhan PİŞKİN Kitabımızın 2. Baskısında daha önceki baskıda gözden kaçan yazım yanlışları düzeltilmiş ve bazı problemler ilave edilmiştir. Ayrıca Laplace dönüşümü eklenmiştir. Faydalı olması dileğiyle Diyarbakır 2017 Erhan PİŞKİN episkin@dicle.edu.tr
İÇİNDEKİLER Sayfa Önsöz... iii 1. SERİLER. 1 1.1. Seri Kavramı. 1 1.2. Geometrik Seri.. 13 1.3. Pozitif Terimli Seriler için Yakınsaklık Testleri... 21 1.4. Alterne Seriler... 43 1.5. Mutlak ve Şartlı Yakınsaklık..... 44 1.6. Kuvvet Serileri.. 45 1.7. Kuvvet Serilerinin Türev ve İntegrali... 52 1.8. Taylor Serileri... 54 1.9. Binom Serisi.. 63 2. ÇOK DEĞİŞKENLİ FONKSİYONLAR.. 65 2.1. Giriş... 65 2.2. Fonksiyonların Grafikleri... 66 2.3. Limit ve Süreklilik.... 68 2.4. Kısmi Türevler.. 81 2.5. Kapalı Fonksiyonun Türevi... 86 2.6. Zincir Kuralı...... 97 2.7. Yönlü Türevler.. 101
2.8. Tam Diferansiyel... 106 2.9. İki Değişkenli Fonksiyonlar için Taylor Açılımı... 112 2.10. Maksimum ve Minimumlar... 114 2.11. İntegral İşareti Altında Türev Alma.. 130 2.12. Bölge Dönüşümleri... 132 2.13. Fonksiyonel Bağımlılık. 134 2.14. Skaler ve Vektör Alanları.. 135 3. VEKTÖR DEĞERLİ FONKSİYONLAR 143 3.1. Temel Tanımlar..... 143 3.2. Limit ve Süreklilik 146 3.3. Türev. 148 3.4. İntegral.. 152 3.5. Eğrinin Uzunluğu.. 153 3.6. Teğet, Normal ve Binormal Vektörler 156 4. İKİ KATLI İNTEGRALLER... 161 4.1. Temel Tanımlar. 161 4.2. İki Katlı İntegrallerde Bölge Dönüşümleri 187 4.3. İki Katlı İntegralin Uygulamaları....... 196 4.3.1. Alan Hesabı... 196 4.3.2. Hacim Hesabı.... 201 4.3.3. Kütle Hesabı...... 203 4.3.4. Ağırlık Merkezi..... 205
4.3.5. Yüzey Alanlarının Hesabı. 206 5. ÜÇ KATLI İNTEGRALLER. 209 5.1. Temel Tanımlar. 209 5.2. Üç Katlı İntegrallerde Bölge Dönüşümleri... 212 5.3. Üç Katlı İntegrallerin Uygulamaları. 216 5.3.1. Hacim Hesabı.... 216 5.3.2. Kütle Hesabı..... 220 6. EĞRİSEL İNTEGRALLER...... 223 6.1. Birinci Çeşit Eğrisel İntegral. 223 6.2. İkinci Çeşit Eğrisel İntegral... 230 6.3. Eğrisel İntegralin Temel Teoremleri. 233 6.4. Eğrisel İntegralin Uygulamaları.... 239 6.4.1. Alan Hesabı... 239 6.4.2. Yay Uzunluğu Hesabı... 240 6.4.3. Kütle Hesabı.. 241 6.4.4. Ağırlık Merkezi Hesabı..... 242 6.4.5. Eylemsizlik Momenti Hesabı........ 244 6.4.6. İş Hesabı 245 7. YÜZEY İNTEGRALLERİ........ 247 7.1. Birinci Çeşit Yüzey İntegralleri... 247 7.2. İkinci Çeşit Yüzey İntegralleri.. 249
7.3. Yüzey İntegrallerinin Temel Teoremleri..... 252 8. ÖZEL FONKSİYONLAR.. 255 8.1. Gamma Fonksiyonu.. 255 8.2. Beta Fonksiyonu.... 257 8.3. Kesirli Türeve Giriş... 271 9. FOURİER SERİLERİ.... 279 9.1. Fourier Serileri.. 279 9.2. 2π Periyotlu Bir Fonksiyonun Fourier Serisi... 280 9.3. Tek ve Çift Fonksiyonların Fourier Serileri.. 283 9.4. Keyfi Aralıkta Verilen Fonksiyonun Fourier Serisi.. 286 9.5. Parseval Özdeşliği.... 291 10. LAPLACE DÖNÜŞÜMÜ VE UYGULAMALARI..... 293 10.1. Laplace ve Ters Laplace Dönüşümü. 293 10.2. Laplace Dönüşümünün Diferansiyel Denklemlere Uygulanması 302 KAYNAKLAR..... 310 DİZİN... 311
BÖLÜM I SER ILER 1.1. Seri Kavram Tan m. (a n ) bir dizi olmak üzere 1X a n = a 1 + a 2 + ::: + a n + ::: n=1 sonsuz toplam na seri denir. a n serinin genel terimidir. Tan m. Serinin ilk n teriminin toplam na serinin k smi toplamlar dizisi denir ve s n = a 1 + a 2 + ::: + a n = şeklinde gösterilir. Burada s 1 = a 1 ; s 2 = a 1 + a 2 ; s 3 = a 1 + a 2 + a 3. nx k=1 s n = a 1 + a 2 + ::: + a n d r. a k Tan m. Bir serinin k smi toplamlar dizisi bir s say s na yak ns yor ise, yani lim s n = s n!1 ise seriye yak nsak seri ve serinin toplam s dir denir. Yak nsak olmayan seriye raksak seri denir.
2 Çözümlü Yüksek Matematik Problemleri 2 Not. Serinin ilk teriminin 1 den başlama zorunlulu¼gu yoktur. Teorem. Yak nsak bir serinin genel teriminin limiti s f rd r. Yani lim a n = 0 n!1 d r. Ispat. E¼ger serisi yak nsak ise d r. Böylece 1X a n = a 1 + a 2 + ::: + a n + ::: n=1 lim s n = s n!1 s n 1 = a 1 + a 2 + ::: + a n 1 toplam içinde d r. Di¼ger taraftan lim s n 1 = s n!1 d r. Buradan limit al n rsa s n = a 1 + a 2 + ::: + a n 1 + a n {z } s n 1 = s n 1 + a n lim s n = lim (s n 1 + a n ) ; n!1 n!1 buradan bulunur. s = s + lim n!1 a n lim a n = 0 n!1 Not. Bu teoremin karş t do¼gru de¼gildir. Yani genel teriminin limiti s f r olan bir seri yak nsak olmak zorunda de¼gildir.