Yıldız Teknik Üniversitesi İktisat Bölümü Ekonometri II Ders Notları Ders Kitabı: J.M. Wooldridge, Introductory Econometrics A Modern Approach, 2nd. ed., 2002, Thomson Learning. Ch. 8: Değişen Varyans 1 SEKK (OLS) de değişen varyans ne gibi sorunlara yol açar? CH.3 ve CH.5 de gördüğümüz gibi, regresyonda betaların sapmasızlık (unbiasedness) ve tutarlılık (consistency) özellikleri MLR.1-MLR.4 varsayımlarına bağlıydı ve homoscedasticity (MLR.5) varsayımına ihtiyaç duymuyorlardı. Örneğin, önemli bir değişkenin dışarıda bırakılması sapma ve tutarsızlığa yol açtığı halde değişen varyans açmamaktadır. 4 Ch.8 : Değişen Varyans (Heteroscedasticity) Ch. 3, MLR.5: sabit varyans (homoscedasticity) varsayımı, gözlenemeyen hata terimi u nun açıklayıcı x değişkenlerine koşullu varyansının sabitliği anlamına geliyordu. Eğer anakütlenin (population) farklı kesimlerinde bu varyans değişiyorsa varsayım sağlanamıyor demektir. Örneğin, bir tasarruf fonksiyonu regresyonunda eğer tasarrufları etkileyen gözlenemez faktörlerin (u) varyansı gelir düzeyiyle birlikte değişiyorsa heteroscedasticity var demektir. 2 Peki, sapmaya ve tutarsızlığa yol açmıyorsa, homoscedasticity yi neden Gauss-Markov varsayımları arasına katıyoruz? Yanıt : Çünkü bu varsayım yoksa sapmalı çıkacaktır. Betaşapkaların standart hataları (se) doğrudan bu varyanslardan elde edildiği için, heteroscedasticity varsa t istatistikleri ve onlara dayanan güven aralıkları geçerli olmayacaktır. OLS t istatistiği heteroscedasticity varsa t dağılımı izlemeyecektir. Benzer şekilde F istatistiği F dağılımı izlemeyecek, LM istatistiği asimtotik ki kare dağılımı izlemeyecektir. Üstelik sorun büyük örneklem kullanmakla da aşılamayacaktır. 5 Ch 3 ve 4 de doğrusal SEKK (OLS) tahmininde homoscedasticity varsayımının t, F testleri yapabilmek ve güven aralıkları oluşturmak için gerekli olduğunu gördük. Büyük örneklem hacimleri için bile bu gereklilik vardır. Bu bölümde değişken varyansın olup olmadığını nasıl anlayacağımızı ve heteroscedasticity varsa ne gibi çözüm yolları geliştireceğimizi göreceğiz. 3 Yine, OLS tahmin edicilerin BLUE olduğunu söyleyen Gauss-Markov teoremi de kuvvetli bir şekilde homoscedasticity varsayımına bağlıdır. Bu varsayım olmaksızın OLS nin asimtotik etkinliği (asymptotical efficiency) de kaybolur. 8.4 de göreceğimiz gibi, heteroscedasticity altında OLS den daha etkin tahmin ediciler mevcuttur. Örneklem görece olarak büyükse OLS test istatiklerini, asimtotik olarak geçerli olacak şekilde düzeltmeye tabi tutmak mümkün olacaktır. 6 2nd ed. 1
Değişen varyanstan etkilenmeyen (heteroscedasticity-robust) standart hatalar Hipotez testleri değişen varyans durumunda geçerli olmuyorsa, OLS den tamamen vaz mı geçeceğiz? Hayır! Son 20 yılda ekonometride değişen varyans altında standart hataların nasıl düzeltileceği konusunda önemli gelişmeler kaydedildi. Biçimi bilinmeyen heteroscedasticity nin varlığında betaşapkaların se lerini, t, F ve LM istatistiklerini nasıl bir düzeltmeye tabi tutacağımızı artık biliyoruz. Basit regresyonda beta(1) in OLS tahmin edicisini yazalım : Yine basit regresyonda var (β1hat) de şuna eşitti : 7 10 Heteroscedasticity dan etkilenmeyen (robust) yöntemler sayesinde u ların varyansı sabit olsun ya da olmasın en azından büyük örneklemlerrde hipotez testleri yapabileceğiz. Heteroscedasticity den etkilenmeyen varyans hesaplama formülleri çok karmaşık olduğu için burada türetmeyeceğiz. Hazır ekonometri paket programlarında bu yöntemler mevcuttur. (8.2), homoscedasticity altında basit regresyon için hesaplanan varyansın heteroscedasticity altında geçerli olmayacağını gösteriyor. Beta1hat in standart hatası (se) doğrudan Var(β1hat) in karekökü olduğu için heteroscedasticity altında (8.2) nin tahminini bir şekilde yapmamız gerektir. White (1980) bunun nasıl yapılacağını gösterdi. 8 11 Bu basit regresyon modelinde Gauss-Markov varsayımlarının ilk dördünün gerçekleştiğini varsayalım. Eğer hata terimlerinde heteroscedasticity varsa şöyle yazacağız :, orijinal regresyonumuzun artıkları olsun. Herhangi bir biçim (form) altında ortaya çıkan heteroscedasticity (ki, bu, homoscedasticity yi özel bir hal olarak içerir) için Var(β1hat) in geçerli bir tahmini şudur : σ 2 formülündeki i alt-endeksi,hata terimleri varyansının x i değerlerine bağlı olarak değiştiğini göstermektedir. 9 (8.3) veriden kolayca hesaplanabilir. (8.3) ün geçerli bir varyans tahmini olduğunun teorik dayanağı şudur : (8.3) ün örnek hacmi n ile çarpılmış hali olasılık olarak ifadesine yakınsar. 12 2nd ed. 2
Büyük sayılar yasası ve merkezi limit teoremine dayanan bu yakınsama, standart hataların hipotez testleri ve güven aralıkları için kullanılabilmesinin gerekçesini oluşturur. Çoklu regresyon için de MLR.1-MLR.4 varsayımları altıda benzer bir formül yazılabilir: (8.6) dan görüldüğü gibi, homoscedasticity varsayımı altında hesaplanan se ler (parantez içinde) ile heteroscedasticity den etkilenmeyen se ler (köşeli parantez içinde) test sonuçlarını değiştirecek kadar farklı çıkmamışlardır.ama bu her zaman böyle çıkmaz. (8.6) daki regresyondan da görüldüğü gibi heteroscedasticity den etkilenmeyen se ler (robust se s) geleneksel se lerden büyük ya da küçük olabilmektedirler. (8.4) ün kareköküne değişen varyanstan etkilenmeyen standart hatalar (heteroscedasticityrobust standard errors) 13 denir. Ancak, genellikle robust se ler geleneksel se lerden daha büyük çıkma eğilimindedirler. 16 White (1980) dan önce Eicker (1967) ve Huber (1967) de bu tür sağlam (robust) standart hatalar üzerinde çalışmışlardı. Bu yüzden bazen bu yöntemle bulunan standart hatalara White, Huber ve Ecker standart hataları da diyoruz. Bazen (8.4) ün karekökü alınmadan önce df düzeltmesi yapılarak (8.4) n/(n-k-1) ile çarpılır. Heteroscedasticity den etkilenmeyen se ler hesaplandıktan sonra bunları kullanarak Heteroscedasticity den etkilenmeyen t istatistiklerini hesaplayabiliriz. (bkz s.251) 14 (8.6) daki robust se ler, kitlede ne tür bir heteroscedasticity olduğu, hatta heteroscedasticity olup olmadığı bile bilinmeden hesaplanan asimtotik olarak geçerli se lerdir. Uygulamada çoğu kez heteroscedasticity den etkilenmeyen (robust) se ler geleneksel se lerden daha geçerlidir. Buna rağmen ikisi de hesaplanır. Çünkü, robust se ler örneklem büyükken kullanılır. Küçük örneklerde ise, eğer homoscedasticity ve artıkların normal dağıldığı varsayımları geçerli ise hesaplanan t istatistiği t 17 dağılımı izler, dolayısıyla t dağılımını kullanırız. Değişen varyanstan etkilenmeyen standart hatalar köşeli parantez içinde gösterilmiştir. 15 Regresyonda her iki se lerin verilmesinin bir amacı da, test sonuçlarının se tanımına göre değişip değişmediğini görmektir. Örneğin, (8.6) da test sonuçları se tanımına göre değişmemektedir, yani, se türüne karşı hassas değildir. Se ve t değerlerine benzer şekilde, F ve LM istatistiklerini de heteroscedasticity den etkilenmeyecek şekilde (heteroscedasticity-robust F statistics or Wald statistics) hesaplayabiliriz. (bkz. ss. 252-255) 18 2nd ed. 3
Değişen-varyans (heteroscedasticity) testleri Heteroscedasticity den etkilenmeyen (robust) se lerden hesaplanan t değerleri asimptotik olarak t dağılmıştır, dolayısıyla, başka herhangi bir teste ihtiyaç duymadan t testlerimizi yaparız. Ancak, yine de veride heteroscedasticity olup olmadığını bilmek isteriz. Bunun için çeşitli testler geliştirilmiştir. Eğer heteroscedasticity varsa OLS artık BLUE değildir, best (min varyans) özelliği kaybolmuştur. 19 Eğer H o yanlış ise, u 2 nin x lere koşullu beklenen değeri herhangi bir x in, (x(j),bir fonksiyonu olabilir. En basit yaklaşım şöyle bir doğrusal fonksiyon varsaymaktır : H o daki homoscedasticity varsayımı burada şu hali alır : (8.12) de artık terim v, x lerden bağımsız ise, ki öyle varsayacağız, (8.13) ü F veya LM istatistiği hesaplayarak test edebiliriz. 22 Çok sayıda heteroscedasticity testi geliştirilmiştir. Burada, geleneksel (usual) OLS istatistiklerini geçersiz kılan heteroscedasticity nin tespitine yönelik modern testler göreceğiz. MLR.1-MLR.4 varsayımları geçerli olsun. Böylece OLS tahmin edicileri sapmasız ve tutarlı olacaktır. Model : u 2 normal dağılmasa bile asimptotik olarak F ve LM istatistiklerini kullanabiliriz. (8.12) yi, u yerine örnek regresyonunu artıklarını (uhat) kullanarak tahmin edeceğiz : H o a MLR.5 in sağlandığı hipotezini koyacağız : (8.14) ün determinasyon katsayısını, F istatistiğini hesaplayacağız: kullanarak 20 k, (8.14) deki bağımsız değişken sayısıdır. 23 Eğer belli bir anlamlılık düzeyinde veriler H o ı reddetmemize olanak vermiyorsa heteroscedasticity yoktur ya da ciddi bir sorun değildir diyeceğiz. u ların koşullu beklenen değerinin sıfır olduğunu varsaydığımız için, Var(u x)=e(u2 x) dir. Dolayısıyla, (8.11) şöyle de yazılabilir : LM istatistiği ise şuna eşittir: Ho doğru iken, LM istatistiği, asimtotik olarak dağılmıştır. Bu testin LM versiyonu Breusch_Pagan(BP) heteroscedasticity testi diye bilinir. Adımlar : Demek ki, homoscedasticity varsayımının ihlal edilip edilmediğinin testi, u 2 nin x lerden birisi ya da bazılarıyla ilişkili olup olmadığının testine dönüşmektedir. 21 24 2nd ed. 4
ÖRNEK: k=3 için White testi şu regresyonun tahminine dayanır : Bu regresyon bize kitlede hata terimleri varyansının değişken olup olmadığı konusunda bilgi vermaz. BP testi yapacağız. (8.17) nin artıkları karelerinin x ler üzerine regresyonunun R 2 si 0.1601 dir. n=88, k=3. Buradan F=5.34 (p:0.002), LM=14.09 (p:0.0028). Demek ki, H o ı kabul edemeyeceğiz, heteroscedasticity var. (8.17) deki se lere güvenemeyiz. 25 Breusch-Pagan testiyle kıyaslarsak, bu denklemdeki bağımsız değişken sayısının 6 değişken daha fazla olduğunu görürüz. White testi LM istatistiğini kullanır. (8.19) da sabit hariç tüm δ(j) katsayılarının aynı anda sıfır olup olmadığını test eder. Bu örnekte 9 kısıt test edilmektedir. 28 Ch.6 da değişkenlerin log alınması halinde heteroscedasticity nin azalacağını söylemiştik. Gerçekten (8.18) deki regresyonda BP testi sonuçları şöyle çıkmaktadır: F=1.41 (p:0.245), LM=4.22 (p:0.239). Yani, log regresyon biçiminde heteroscedasticity çıkmamaktadır. Bu hipotez için F testi de yapabilirdik. Her iki test de asimtotik geçerliliğe sahiptir. x sayısının 6 olduğu bir regresyonda White testi 27 açıklayıcı değişken kullanır. Bu, serbestlik derecesi kaybına yol açar. White testinin zayıf yanı budur. White testini daha az açıklayıcı değişken kullanarak yapmak mümkündür. (8.19) un sağ tarafında açıklayıcı değişken olarak çok sayıda x, x kare ve x lerin çapraz çarpımını kullanmak yerine OLS regresyonumuzdan elde ettiğimiz yhat i ve onun karesini kullanabiliriz. Zira, yhat, x lerin doğrusal bir fonksiyonudur : 26 29 WHITE Heteroscedasticity testi Ch. 5 de, Gauss-Markov varsayımlarının tümünün sağlanması halinde OLS standart hatalarının ve test istatistiklerinin asimtotik olarak geçerli olacaklarını gördük. Bu, homoscedasticity varsayımının, daha zayıf şu varsayımla yer değiştirebileceği anlamına gelir: u2, tüm bağımsız değişkenlerle, x(j), onların kareleriyle, x(j)2, ve çapraz çarpımlarıyla, x(j)*x(h), j h, ilişkisizdir. Bu fikir White (1980) heteroscedasticity testinin esasını oluşturdu. Test, OLS se lerini ve test istatistiklerini geçersiz kılan heteroscedasticity biçimlerinin (forms) testine yöneliktir. 27 Bu denklemde her iki tarafın karesini alırsak, sağ tarafda x lerin kareleri ve birbirleriyle çapraz çarpımları olacaktır. Yani, (8.19) un sağ tarafına benzeyecektir. O halde, heteroscedasticity yi şöyle test edebiliriz : (8.20) de y nin değil yhat in kullanıldığı unutulmamalı. Zira x lerin ve tahmin edilen beta katsayılarının doğrusal bir fonksiyonu olan y değil yhat dir. H o hipotezi F ya da LM istatistiği ile test edilebilir : 30 2nd ed. 5
Bu testte, orijinal modeldeki x sayısı ne olursa olsun, sadece 2 kısıt vardır. Böylece, testin orijinal halindeki serbestlik derecesi (df) kaybı burada söz konusu değildir. yhat y nin x e koşullu beklenen değeri olduğu için, yhat = E(y x), (8.20) deki test, varyansın bu koşullu beklenen değerle birlikte değiştiği durumlarda oldukça yararlı bir testtir. (8.20), White testin özel bir hali olarak görülebilir. Zira (8.20), (8.19) daki parametreler üzerine kısıtlar koyar. 31 Ağırlıklı EKK (Weighted Least Squares) Bölüm 8.3 deki testlerden biriyle heteroscedasticity yi tesbit etmiş olalım. Bir almaşık, Bölüm 8.2 de gördüğümüz heteroscedasticity den etkilenmez (robust) se ve test istatistikleri hesaplamaktır. Ancak, bu robust se leri hesaplamadan önce heteroscedasticity nin türünü tahmin etmeliyiz. Ne türden bir heteroscedasticity olduğunu belirleyebilirsek, OLS den daha etkin tahmin ediciler bulabileceğiz. 34 Heteroscedasticity çarpan bir sabit cinsinden biliniyor olsun x, (8.10) daki tüm açıklayıcı değişkenleri temsil etsin. unu varsayalım : 32 Burada, h(x), x lerin herhangi bir fonksiyonudur ve heteroscedasticity yi belirler. Varyans pozitif olacağı için, tüm x değerleri için, h(x) >0 olacaktır. Burada, h(x) fonksiyonunun bilindiğini varsayacağız. Bilinmeyen kitle varyansıσ 2 yerine onun örnekten bulunan tahminini kullanacağız. 35 Yukarıdaki heteroscedasticity testlerini yaparken MLR.1-MLR.4 varsayımlarımızın sağlandığını varsayıyoruz. Sağlanmazsa, örneğin, regresyonun fonksiyonel biçimi yanlış belirlenmiş ise (ihmal edilmiş değişken varsa ya da log-log yerine level model seçilmişse vs.), heteroscedasticity testi varyans sabitken bile Ho ı reddedebilir. Bu yüzden, ekonometriciler heteroscedasticity testlerini yanlış biçim seçimi (misspecification) testleri olarak değerlendirirler. Ancak, biçim (form) seçimi doğrudan başka testler kullanılarak test edilmeli. Yanlış biçim seçimi heteroscedasticity den daha ciddi bir sorundur. 33 Örneğin, şu basit tasarruf fonksiyonunu ele alalım : Burada, h(inc) = inc dır. Hata terimleri varyansı gelir seviyesine orantılı olarak değişmektedir. Gelir arttıkça tasarruflardaki değişkenlik artacaktır (β 1 > 0 ise). Gelir (inc) her zaman pozitif olduğu için (8.23) deki varyans da pozitif olacaktır. u ların gelire koşullu standart sapması olacaktır. 36 2nd ed. 6
(8.21) deki enformasyondan β ların tahmini için nasıl yararlanabiliriz? Orijinal denklemimiz (8.24) de hata terimleri heteroscedastic dir. Bu regresyonu öyle dönüştürmeliyiz ki, hata terimleri homoscedastic olsun ve diğer Gauss-markov koşullarını da sağlasın. h(i), x(i) nin bir fonksiyonu olduğu için, nin x e koşullu beklenen değeri sıfırdır. Ayrıca oluğu için, nin x e koşullu varyansı dir. 37 (8.26), parametreler bakımından doğrusaldır (linear). Dolayısıyla, MLR.1 varsayımını sağlar. Rasgele örnek (random sampling) varsayımımız yine korunmaktadır. u*(i), x* a göre koşullu olarak, sabit varyansa (σ2) sahiptir. Demek ki, eğer orijinal regresyonumuz Gauss-markov varsayımlarından 4 ünü sağlıyorsa, (8.26) bu varsayımların tümünü sağlayacaktır. Eğer u(i) ~ N ise, u* da N dağılacak, böylece dönüştürülmüş regresyon tüm CLRM varsayımlarını (MLR.1-MLR.6) sağlamış olacaktır. (8.26) nın beta tahminleri (β1*,..., βk*) orijinal modelin betalarından farklı olacaktır. Bu β* lar genelleştirilmiş en küçük kareler (GEKK) tahminidir : generalized least squares (GLS) estimators. 40 38 Burada, GLS tahmin edicilerini hata terimlerindeki değişken varyansı düzeltmek için kullandık. Ch.12 de diğer GLS tahmin edicileri de göreceğiz. Dönüştürülmüş regresyon tüm klasik model varsayımlarını sağladığı için bu regresyondan elde edeceğimiz standart hatalar (se), t ve F istatistikleri geçerli tahminlerdir. GLS tahmin ediciler (β* lar) BLUE oldukları için OLS tahmin edicilerinden (βhat ler) daha etkindirler. Dönüştürülmüş regresyonun yorumunu orijinal regresyonun ışığında yapmamız gerektiğini unutmamalıyız. (8.26) nın R 2 si F istatistiğinin hesabında kullanılır. Ancak, artık uyumun iyiliğinin bir ölçüsü değildir. Dönüştürülmüş regresyonun R 2 si x* ların y* daki değişmelerin % ne kadarını açıkladığını gösterir, ki, bu da fazla bir anlam ifade etmez. 41 (8.26) daki dönüştürülmüş regresyondan elde edilen beta tahminleri OLS ninkelerine göre daha etkin olacaktır. Dönüştürülmüş regresyonun sabiti, eski (orijinal) sabitin ile çarpımından meydana gelmektedir. Tasarruf örneğinde dönüştürülmüş regresyon şöyledir : Ağırlıklandırılmış EKK (Weighted least Squares, WLS) Heteroscedasticity yi düzeltmek için kullandığımız GLS tahmin edicileri Ağırlıklı En Küçük Kareler tahmin edicileri (weighted least squares (WLS) estimators) adını alır. Zira, β* lar (GLS estimators) ağırlıklandırılmış artık kareleri toplamını minimize eder. Her bir u(i) kare, ile ağırlıklandırılmıştır. Yüksek varyansa sahip u lar daha küçük ağırlığa sahiptirler. 39 42 2nd ed. 7
OLS de tüm u lar aynı (eşit) ağırlığa sahiptir. Dolayısıyla, ana kitlenin tümünde hata terimleri varyansı aynı olduğunda OLS minimum varyanslı (en iyi- best) tahmini verecektir. WLS beta katsayılarını şu denklem minimize olacak şekilde seçer : (8.27) de 1/h(i) nin kare kökünü parantez içine dahil edersek, ağırlıklandırılmış artık kareler toplamının dönüştürülmüş regresyonun SSR sine eşit olduğunu görürüz. : 43 Denklemlere eklenen demografik faktörler hem tek tek (t testi) hem de bir arada (F testi) anlamsız çıkmaktadırlar. Demek ki, ilk denklem, yani sadece gelirin açıklayıcı değişken olarak alınması yeterli olmaktadır. Marjinal tasarruf oranı olarak hangisini (0.147 ya da 0.172) alacağımız çok büyük farklılık yaratmayacaktır. Örnek hacmi küçük olduğu için (sadece 100 aile) bulunan katsayılardan birisi için oluşturacağımız %95 lik güven aralığı diğer katsayıyı da içerecektir. Pratikte varyansın x lerden hangisine bağlı olarak değiştiğini genellikle bilemeyiz. Örneğin, yukarıda varyans gelire değil de eğitim düzeyine ya da yaşa bağlı olarak da değişebilirdi. Pek çok durumda var(y x 1, x 2,..., x k ) konusunda 46 kesin bilgiye sahip değilizdir. OLS, WLS in özel bir halidir. Her bir u(i) kareye, başka bir ifadeyle her bir gözleme aynı ağırlığı verir. GLS, her bir u(i) kareyi var(u(i) x) nin tersi ile ağırlıklandırır. Regresyon doğrusundan (düzleminden) uzak gözlemler cezalandırılmış olur. Tablo 8.1, aynı örneğe ait verilere (SAVING.RAW) OLS ve WLS uygulanması ile elde edilmiş regresyonları içeriyor. n=100 aile (1970). WLS uygularken varyansın (8.23) deki gibi olduğunu varsayıyoruz. OLS marjinal tasarruf eğilimini (marginal propensity to save) 0.147 bulurken WLS 0.172 buluyor. İki regresyonun R2 leri birbirleriyle mukayese 44 edilemezler. ehir ya da ülke düzeyinde adam başına ortalama veriler (gelir, tüketim, araba sayısı vs.) kullanıyorsak, bireysel regresyonlar Gaussmarkov varsayımlarını sağladıklarında, adam başına regresyonların artıkları heteroscedastic olacaktır. Örneğin, çeşitli ülkelerin kişi başına geliri, tasarrusu vs. Kullanılıyorsa, nüfusu büyük olan ülkelere ait artıkların varyansı küçük olacaktır. Bu durumda WLS de ağırlık olarak ülke nüfuslarını kullanabiliriz. Örnek : şehirler düzeyinde bira tüketimi regresyonu : beerpc :kişi başına (per capita, pc) bira tüketimi (ounces), incpc: kişi başına gelir. 47 ehirler-düzeyinde adam başına bira tüketimi regresyonu : 45 Bu regresyonun artıkları değişken varyansa sahiptir. ehir nüfuslarını ağırlık olarak kullanıp WLS tahmin edebiliriz. Burada, gözlemleri şehir nüfuslarıyla ağırlıklandırırken bireysel regresyonların homoscedastic olduğunu varsayıyoruz. Eğer bireysel regresyonların artıkları da değişken varyansa sahipse, o zaman, ne tür ağırlıklar kullanacağımız heteroscedasticity nin biçimine bağlı 48 olacaktır. 2nd ed. 8
Bu nedenle, kişi başına verilerin kullanıldığı araştırmalarda daha çok heteroscedasticity den etkilenmeyen (robust) se tahminleri verilir Feasible GLS (FGLS) / Estimated GLS (EGLS) Yukarıdaki örneklerde, heteroscedasticity nin çarpan biçiminde olduğunu bildiğimizi varsaymıştık. Oysa, pratikte çoğu kez bunu bilmeyiz. Yani, h(x(i)) fonksiyonun biçimini bilemeyiz. Ancak, örnekten bu fonksiyonun parametrelerini tahmin edebiliriz. Böylece, h(i) yerine onun örnekten elde edilen tahminini,, kullanabiliriz. Bu durumda elde edilen tahmin ediciler FGLS ya da EGLS adını alır. 49 52 Heteroscedasticity pek çok farklı biçimde modellenebilir. Ancak burada oldukça esnek özelliklere sahip şu üssel (exponential) modeli göreceğiz : Burada (8.30) un avantajı her zaman pozitif bir varyans tahmini verebilmesidir. (8.12) deki doğrusal alternatifler bu koşulu sağlamaz 50 1. WLS de tüm değişkenler (kuklalar da dahil) e bölünecektir.yani, kullanılacak ağırlık hhat in karekökünün tersidir, hhat in tersi değil. 2. Sabit terim beta(0).( ) şeklinde tahmin edilecektir. ÖRNEK: (8.36) nolu regresyon şöyle tahmin edilmiştir: Cigs/hhat^0.5= beta(0).(1/hhat^0.5)+beta(1).log(income)/ hhat^0.5+..+beta(5).age2/hhat^0.5+ beta(6).restaurn/hhat^0.5 53 (8.30) da δ ları şöyle tahmin edeceğiz : 51 54 2nd ed. 9
807 gözleme ait yhat in 13 ü negatif çıkmıştır. Doğrusal modellerin bazen negatif tahmin verdiklerini biliyoruz. Ancak, negatif değerler toplamın %2 sinden azdır. Önemli bir sorun oluşturmuyor. Ne gelir ne de sigara fiyatı istatistiksel olarak anlamlıdır. Üstelik etkileri çok ufaktır. Örneğin, eğer gelir %10 artarsa, bir günde içilen sigara sayısı (0.880 / 100)*(10) = 0.088 sigara kadar artmaktadır. Bir yıllık ilave bir eğitim içilen günlük sigara sayısını yarım sigara kadar azaltmaktadır. İstatistiksel olarak anlamlıdır. Sigara içmek yaşla karesel (quadratic) biçimde ilişkilidir. Tiryakilik 42.83 yaşa kadar yaşla birlikte artmakta sonra azalmaktadır : 0.771 / [2 (0.009)] = 42.83. Restoranlarda sigara yasağı ortalama günlük tüketimi 3 sigara kadar azaltmaktadır. 55 LPM modelinde hata terimlerinin varyansı değişkendir. Robust se ler hesaplamamız gerekmektedir. 58 (8.35) de heteroscedasticity var mı? Breusch-Pagan regresyonu {uhat2 nin, x1,..., xk üzerine regresyonu} 0.040 büyüklüğünde bir R 2 veriyor. LM = 807x (0.040) = 32.28. Serbestlik derecesi 6 olan Ki kare dağılımının tablo değeri = 12.59. H o red. Heteroscedasticity lehine çok güçlü kanıt var. FGLS kullanarak modeli yeniden tahmin edelim: 56 Doğrusal olasılık modelinin (LPM) WLS ile tahmini LPM de y nin koşullu varyansı şuna eşittir: Burada, p(x), başarı olasılığını (y=1 olma olasılığı) göstermektedir. Varyans x lere bağlı olarak değiştiği için WLS kullanabiliriz. 59 Gelirin etkisi şimdi biraz daha büyük ve istatistiksel olarak anlamlıdır. Diğer değişkenlerin katsayıları biraz değişti, ancak sonuçlar yine aynı. Tiryakilik eğitimle ters yönlü ilişkili, yaşla karesel ilişki içinde ve restoran yasağı tüketimi 57 düşürüyor. (8.39) da bilinmeyen kitle beta ları yerine OLS betahat tahminlerini (ki, bunlar sapmasız tahmin edicilerdir) kullanabiliriz. Bu halde, (8.39) yhat i verecektir. Buradan bulduğumuz yhat i (8.38) de yerine koyarak her bir i gözlemi için ayrı bir koşullu varyans bulmuş oluruz: Artık, tüm gözlemleri ile çarparak Bölüm 8.4 de gördüğümüz feasible GLS yöntemini uygulayabiliriz. 1 den büyük ya da 0 dan küçük (negatif) yhat çıkmış ise, bunları 0.99 ve 0.01 olarak alıp daha sonra WLS uygulamamız gerekecektir. 60 2nd ed. 10
61 62 2nd ed. 11