ATARDAMAR DARALMALARININ BASINÇ KAYBINA OLAN ETKİSİ THE EFFECT OF THE ARTERIAL STENOSES TO THE PRESSURE LOSS K. Melih GÜLEREN*, Ü. Nazlı TEMEL*, Ali PINARBAŞI* *) Cumhuriyet Üniversitesi, Mühendislik Fakültesi, Makina Mühendisliği Bölümü, 58140, Sivas, Türkiye ÖZET Bu çalışmada atardamar daralmalarının yapmış olduğu basınç kaybı sayısal olarak incelenmiştir. Sağlıklı bir atardamar ile karşılaştırıldığında daralma oranına göre basınç kaybının logaritmik olarak değiştiği bulunmuştur. Bu bulgu matematiksel olarak (%) ( A DO(%) B) Δ Pmax = e + şeklinde formülüze edilmiştir. Buna göre % 50 oranındaki bir daralmanın yol açtığı basınç kaybı % 18 civarındadır. Daralma oranı % 70 olduğunda ise bu kayıp 2 kattan daha fazla olmaktadır. Bu anlamda koroner damarlarının birinde % 70 oranındaki bir daralma olan bir hastanın kalbine eklenecek yük miktarı 2 kattan daha fazla olduğu düşünülebilir. Akışkanlar mekaniği yönünden bakıldığında % 70 daralma oranında orta ve yüksek Reynolds sayılarında ana akışta bir ters yönelme ve buna paralel olarak ikincil akışlarda ise simetrik burgaçlar gözlemlenmiştir. Anahtar Kelimeler: Pulsatil laminer akış, damar daralması, kan akışı, sayısal analiz. ABSTRACT In this study, the pressure loss caused by the arterial stenotic flow is examined. It is found that pressure loss varies logarithmically with the contraction ratio when the healthy artery is considered. This variation is formulized mathematically as (%) ( A DO(%) B) Δ Pmax = e +. According to this, the pressure loss caused by a contraction ratio of 50 % is approximately 18 %. If the contraction ratio is 70 %, the pressure loss becomes more then two fold. In this respect, it can be thought that a contraction ratio of 70 % of one of the arteries causes an additional load of more than two fold on the heart of a patient. From the point of fluid mechanics, for a contraction ratio of 70 % at moderate and high Reynolds numbers, a reverse flow in the primary flow and correspondingly symmetrical vortices in the secondary flow are observed. Keywords: Pulsatile laminer flow, arterial stenosis, blood flow, numerical analysis. 563
1. GİRİŞ Normal durumlarda atardamarlar, her kalp atışında değişen kan basıncına uygun olarak daralıp-genişleyen esnek bir yapıya sahiptirler. Bu özellikleriyle atardamarlar, dolaşımdaki kan miktarını düzenlemek gibi önemli bir görevi üstlenmektedirler. Damar sertliği olarak da bilinen Arterioskleroz, atardamar çeperinin içerisinde anormal ölçüde tortuların birikmesiyle atardamar çeperinin sertleşmesi ve esneklik özelliğinin kaybedilmesi olarak bilinen bir hastalıktır. Damar çeperinin sertleşmesinin ardından, çeperden damar içine doğru aterom plaklar adı verilen oluşumlar büyüyerek damar kesitinin daralmasına neden olmaktadır. Bu plakların artması damarların tıkanma sürecini hızlandırmakta, daralmadan dolayı basınç kaybını artırmakta ve kalbe ek yük getirerek kalp krizi riski oluşturmaktadır. Daralan atardamar kesitlerindeki akış yapısının incelenmesi birçok araştırmacının ilgisini çekmiş ve bu konuda birtakım çalışmalar yapılmıştır. Ahmet ve Giddens [1], Gürlek ve ark.[2], Zhang ve Kleinstreuer [3], Neofytou ve Drikakis [4], Younis ve Berger [5] farklı damar daralma modelleri üzerinde deneysel ve sayısal çalışmalar yapmışlardır. Bu çalışmalar genel olarak göz önüne alındığında, atardamar daralmalarının neden olduğu basınç kaybının daralma modellerine göre değişimi ve kalp üzerinde ne kadar ek yük getirebileceği açık bir şekilde gösterilmemiştir. Bu çalışmada, bu eksikliğin giderilmesi amacıyla, gerçek plak oluşumuna benzer kosinüs fonksiyonuna sahip beş farklı daralma modeli için akışın, nabız atışına da uygun olarak düşük Reynolds sayılarında (Re D <1000) sıkıştırılamaz, laminer, viskoz, üç boyutlu ve Newtonian olması durumundaki zamana bağlı sayısal analizi FLUENT programı kullanılarak gerçekleştirilmiştir. Visual C++ programı kullanılarak kodlanan nabız atışı, FLUENT akış benzetimi programına uyarlanmıştır. Bu çalışmada temel olarak basınç kaybının daralma modellerine göre belirlenmesinin yanı sıra, damar boyunca ve damarlara dik kesitlerde akışın değişimi de ele alınmaktadır. 2. MATERYAL VE METOT Çalışmada kullanılan daralma modellerinin damar boyunca kesit görüntüsü ve ilgili geometrik büyüklükler sırasıyla Şekil 1. ve Şekil 2. de verilmiştir. Şekil 1. de de gösterildiği gibi daralma modelleri yüzde olarak verilmiştir. Buna göre, örneğin % 30 luk 564
Şekil 1. Daralma modelleri bir daralma modeli sağlıklı bir damarın kesit alanına göre % 30 luk bir kapanma oranını göstermektedir. Farklı damar daralma geometrisi için, daralma dereceleri daralma oranı (DO) ile belirlenmiştir. Kapalı Alan 4D (D d) DO = = 100 (1) 2 Tüm Alan D Daralma oranı; %0 (sağlıklı damar), %30, %50, %70 ve %90 olmak üzere beş farklı daralma geometrisi için incelemeler yapılmıştır. Şekil 2. ye bakılacak olursa, daralma yüksekliği d, kosinüs fonksiyonu sonucu daralma genişliği πd, damar çapı D, girişten daralmaya kadar olan mesafe 30D ve daralmadan çıkışa kadar olan mesafe 60D olarak modellenmiştir. Bu mesafeler girişte ve çıkışta uygulanacak olan sınır şartlarının akışa etki edecek fiziksel olmayan etkileri en aza indirmek için uzun tutulmuştur. Ayrıca literatürde verilmiş olan 12 cm lik koroner atardamar uzunlukları ile uyum içerisindedir. Yine literatürde verilmiş olan bilgiler ışığında damar çapı koroner atardamar çaplarına yakın olarak 3 mm alınmıştır. Şekil 2. Daralma ölçüleri 565
2.1. Modeller ve Ağ Yapısı Şekil 2. de verilen geometrik ölçüler ve Denklem (1) deki DO ifadesi göz önüne alınarak beş farklı damar daralma modeli ve bu modellere ilişkin ağ yapıları GAMBIT programı kullanılarak üç boyutlu olarak oluşturulmuştur. Şekil 1. de %30, %50, %70, %90 daralma oranına sahip damar daralma modelleri üst üste gösterilmiştir. Beşinci model olarak ele alınan damar modeli Şekil 1. de ayrıca gösterilmemiş olup, %0 DO na sahip sağlıklı damar modelidir. Fiziksel olmayan sayısal hataları en aza indirmek için tüm daralma modellerinde dikdörtgen prizmatik elemanlar kullanılmıştır. Yine bu hatalardan kaçınmak için ağ yapısında büyük değişimli hücreler kullanılmamıştır. 2.2. Sayısal Yöntem ve Sınır Koşulları Bu çalışmada damar içindeki kan akışı Newtonian akış kabulü ile çözülmüştür. Bununla birlikte kalbin periyodik olarak çalışması sonucu damarlar içerisindeki akışın zamana bağlı bir değişim göstermesi gerektiği oldukça açıktır. Üç boyutlu zamana bağlı akış için sıkıştırılamaz ve viskoz akış için süreklilik ve Navier-Stokes denklemleri sırasıyla (2) ve (3) te verilmiştir: 1Dρ + V = 0 ρ Dt (2) DV 2 ρ = P+ρ g+μ V Dt (3) Yukarıdaki denklemlerin sayısal olarak çözülmesi sonlu hacimler yöntemine dayalı FLUENT programı kullanılarak gerçekleştirilmektedir. Akış alanındaki her bir dikdörtgen prizmatik eleman için yukarıdaki denklemlerin integrasyonu alınarak elde edilen cebirsel denklemler, iteratif çözücü ile çözülmektedir. İlk önce, üç boyutlu akış alanı için Navier- Stokes denklemleri mevcut basınç ve kütlesel debi kullanarak çözülerek hız alanı elde edilir. Daha sonra, elde edilen hızların süreklilik denklemini sağlamaması durumunda süreklilik ve Navier-Stokes denklemlerinden Poisson tipi bir basınç düzeltme denklemi elde edilerek çözümü yapılır. Böylelikle basınç alanı ve süreklilik denklemini sağlayacak şekilde hız alanı güncellenmiş olur. Bir önceki iterasyonda elde edilen değerlere olan yakınsama kontrol edilir. Eğer yakınsama belirlenen değerinden daha küçükse iterasyon sona erer aksi takdirde iterasyona devam edilir. 566
Denklemlerin sayısal olarak çözülebilmesi için uygun sınır koşulları gerekmektedir. Damar girişindeki akışı tanımlamak için, akışın periyodik artan azalan (pulsatil) değişimine uygun olarak parabolik laminer hız profili uygulanmıştır. U max 2 ( ) ( ( )) ( ) u(t,r) = 1 cos 2πt T 1 r R π (4) Burada U max, akışın alabileceği maximum hızı, t anlık zamanı, T bir nabız için geçen süreyi, r damarın merkezinden çepere doğru olan radyal koordinatı, R ise damar yarıçapını göstermektedir. Damar çıkışında ise basınç hariç bütün akış değişkenleri için difüzyon akısının sıfır olduğu sınır koşulu uygulanmıştır. Damar çeperinde ise kaymama prensibine dayalı duvar (u=0, v=0, w=0) sınır koşulu uygulanmıştır. 3. ARAŞTIRMA SONUÇLARI VE TARTIŞMA Analize başlamadan önce ağ yapısının yeterliliğinin ve zaman adımı büyüklüğünün uygun seçilip seçilmediğinin belirlenmesi gerekmektedir. Bunun için elde edilen sonuçların ağ yapısına ve seçilen zaman adımına göre değişmediğinin gösterilmesi gerekmektedir. Sonuçların ağ yapısından bağımsız olduğunu göstermek için % 90 DO na sahip geometri göz önüne alınarak üç farklı derecede (Seyrek, Orta, Sık) ağ oluşturulmuştur. Bu ağ yapılarına ait toplam hücresel eleman sayıları seyrek ağ için 27412, orta ağ için 234080, sık ağ için 466620 dir. Bu ağ yapılarının damar boyunca kesitsel görünümü Şekil 3. te verilmiştir. Şekil 3. %90 DO için farklı ağ yapıları (a) Seyrek, (b) Orta, (c) Sık 567
Kalbi dakika da 80 kez atan bir insan için, kalbin çalışmasının periyodu T=0.75 s olur. Zaman adımı olarak bir periyotluk sürenin 1/100 ü (Δt=0.0075s) alınmıştır. Şekil 4. de damar giriş ve çıkışı arasındaki basınç farkının (mmhg) boyutsuz zamana göre (t * =Δt/T) değişimi üç farklı ağ yapısı için gösterilmektedir. Şekil incelendiğinde orta ve sık ağ yapılarının birbirine yakın, seyrek ağ yapısının farklı olduğu görülmektedir. Gereksiz sıklıkta ağ yapısının çözümleme süresini uzatacağı gerçeğini de göz önüne alarak orta sıklıktaki ağ yapısının yeterli bir düzeyde olduğunu ve basınç değişimi sonuçlarının ağ yapısından bağımsız olduğu düşünülebilir. Şekil 4. %90 DO için basınç değişiminin ağ yapılarına göre değişimi Benzer biçimde sonuçların seçilen zaman adımından bağımsız olduğunu göstermek için % 90 DO na sahip geometri için üç farklı zaman adımı için çözümleme yapılmıştır. Üç farklı zaman adımı olarak bir periyotluk sürenin sırasıyla 1/100 ü (0.0075s), 1/200 ü (0.00375s) ve 1/400 ü (0.001875s) alınmıştır. Şekil 5. de damar giriş ve çıkışı arasındaki basınç farkının (mmhg) boyutsuz zamana göre değişimi üç farklı zaman adımı için gösterilmektedir. Şekil 5. incelendiğinde elde edilen sonuçların zaman adımından bağımsız olduğu görülmektedir. Bu nedenle zaman adımı olarak 0.0075 saniyenin seçilmesi uygun görülmüştür. Bu çalışmanın bundan sonraki gösterilecek sonuçlar için ağ ve zaman adımı Şekil 3. ve 4. teki sonuçlar ışığında sırasıyla 234080 sonlu hücre ve 1/100 T alınmıştır. Bu çalışmadaki esas vurgu damarında daralma olan bir hastanın kalbi için getirilecek ek yükü göstermek olacaktır. Şekil 5. sağlıklı bir damarın yanı sıra daralma oranına göre giriş ve 568
Şekil 4. %90 DO için basınç değişiminin zaman adımına göre değişimi çıkış arasındaki basınç farkını göstermektedir. Buna göre % 30 luk bir daralmadaki basınç değişimi sağlıklı bir damara göre oldukça az olmaktadır. % 50 lik bir daralmada basınç değişimi belirgindir. % 70 lik bir daralmada ise basınç değişimi oldukça belirgin ve nabız periyodunun hemen hemen tüm diliminde hissedilmektedir. Sağlıklı bir damara göre hem % 30 hem de % 50 lik daralmalardaki basınç değişimi ise nabız periyodunun t 2.3 anından başladığı söylenebilir. % 90 lik bir daralmada ise basınç değişimi diğer daralmalara göre karşılaştırılamayacak düzeyde fazladır. Şekil 5. Basınç değişiminin daralma oranlarına göre değişimi Şekil 5. kalp için daralmalar tarafından eklenen yükü bütün bir zaman diliminde göstermektedir. Şekil 6. da ise Şekil 5. teki maksimum değerlerin sağlıklı damara göre yüzdelik değişimi gösterilmektedir. Dolayısıyla Şekil 6. daralmaların getirmiş olduğu ek yükü 569
daha net söyleme imkanı tanımaktadır. Dikkat edilecek olursa, Şekil 6. nın y-ekseni logaritmik alınmıştır. Sağlıklı damara göre daralmalardaki maksimum basınç değişimi değerleri göz önüne alındığında logritmik bir eksene göre düzgün bir doğru çıkmaktadır. Bu doğrunun matematiksel olarak ifadesi mümkündür: ( (%) ) Δ P = e + (5) max (%) A DO B Burada A=0.106 ve B=-2.375 olmaktadır. Bu formülasyona göre herhangi bir daralma oranına göre maksimum basınç değişimini bulmak mümkündür. Şekil 6. Daralma oranlarının sağlıklı bir damara göre maximum basınçtaki değişimi Atardamar daralmalarındaki akış ayrıca ana ve ikincil akışlar yönünden de incelenebilir. Burada ana akış, akışın sadece x-ekseni boyuncaki hızı, ikincil akış ise y- ve z- eksenindeki hızların bileşimi ile karekterize edilebilir. Bu anlamda Şekil 7. ve Şekil 8 de sırası ile ana ve ikincil akışlar literatürde kritik daralma oranı olarak kabul edilen % 70 DO için gösterilmiştir. Burada ana akışlar eş hız bölgeleri, ikincil akışlar ise hız vektörleri ile ifade edilmiştir. Akış simetriğinden dolayı sadece y > 0 bölgesi ve toplam 7 adet kesit alınmıştır. Her şekilde toplam 3 alt şekil olup, bunlar sırası ile düşük, orta ve yüksek lokal Reynolds (Re) sayıları için oluşturulmuştur. Düşük Re sayısında (Şekil 7(a). ve 8(a)) ana akış tam daralma kesitinde x = 0 bir jet görünümünde olup daha sonra düzgün dağılımlı bir şekilde damar boyunca devam etmekte, ikincil akışlar ise sadece x=d kesitinde belirgin olup, merkezden damar çeperlerine doğru yönelmektedir. Orta Re sayısında (Şekil 7(b). ve 8(b)) ana akış düşük Re sayısında olduğu gibi tam daralma kesitinde x = 0 bir jet görünümündedir. Fakat akışta bu kesitten sonra geriye doğru bir yönelme olmaktadır. 570
Şekil 7. %70 DO için damar boyunca ana akıştaki zamana göre değişim (a) t=0.18, (b) t=0.32, (c) t=0.47 Şekil 8. %70 DO için damar boyunca ikincil akıştaki zamana göre değişim (a) t=0.18, (b) t=0.32, (c) t=0.47 571
Geriye dönen bu akış x=7/3 kesiti civarlarında sona ermekte ve düşük Re sayısında olduğu gibi düzgün dağılımlı bir halde damarı izlemektedir. Bu Re sayısında ikincil akışlar ise (Şekil 8(b)) düşük Re sayısındaki halinden oldukça farklıdır. x=d kesitinde simetrik iki adet burgaç görülmektedir. Tüm bir kesit düşünüldüğünde burgaç sayısı dört olmaktadır. x=7/3d kesitinde ise sadece tek bir burgaç (tüm kesit için iki) görülmektedir. Daha sonraki kesitleri takiben hem ikincil akışkanların şiddeti hem de burgaç varlığı azalıp yok olmaktadır. Yüksek Re sayısında (Şekil 7(c). ve 8(c)) ana akış orta ve düşük Re sayısında olduğu gibi tam daralma kesitinde x = 0 bir jet görünümündedir. Daha sonraki gelişim orta Re sayısındaki değişime oldukça benzemektedir. Fakat ters akış x=11/3d kesitine kadar uzanmaktadır. İkincil akışlardaki değişim ise yine orta Re sayısındaki gibidir. Fakat burda da simetrik burgaçlar x=11/3d kesitinde bile rahatlıkla görülebilmektedir. 4. KAYNAKLAR [1] AHMAD, S.A., GIDDENS, D.P., Flow Disturbance Measurements Through a Constricted Tube at Moderate Reynolds Numbers. Journal of Biomechanics, 16, s955-963,1983. [2] GURLEK, C., GULEREN, K.M., AYDIN, K., PINARBASI, A., Steady Laminar Flow Computation Through Vascular Tube Constrictions Proceedings of ESDA, 2002, July 8-11, Istanbul, Turkey. [3] ZHANG, Z., KLEINSTREUER, C., Low-Reynolds Number Turbulent Flows in Locally Constricted Conduits: A Comparison Study. Journal of American Institude of Aeronautics and Astronautics, 41, 5, s831-840, 2003. [4] NEOFYTOU, P., DRIKAKIS, D., Effect of Blood Models on Flows Through a Stenosis. Int. J. Num. Meth. Fluids, 43, s597-635, 2003. [5] YOUNIS, B.A., BERGER, S.A., Turbulence Model for Pulsatile Arterial Flows. J. Biomech. Engng., 126, s578-584, 2004. 572