Bölüm 5: Sonlu Kontrol Hacmi Analizi

Transkript

1 Bölüm 5: Sonlu Kontrol Hacmi Analizi

2 Reynolds Transport Teoremi (RTT) Temel korunma kanunları (kütle,enerji ve momentumun korunumu) doğrudan sistem yaklaşımı ile türetilmiştir. Ancak, birçok akışkanlar mekaniği problemlerinde, kontrol hacmi analizleri sistem analizinden daha çok tercih edilir (aynı sebeple Euler tanımlaması genellikle Lagrange tanımlamasından daha fazla tercih edilir). Bundan dolayı, bir sistemden kontrol hacmine korunma kanunlarının çevrimine ihtiyacımız var. Bu durum Reynolds transport teoremi (RTT) ile başarılır. 2 Bölüm 5: Sonlu Kontrol Hacmi Analizi

3 Reynolds Transport Teoremi (RTT) 3 Bölüm 5: Sonlu Kontrol Hacmi Analizi

4 Reynolds Transport Teoremi (RTT) : Hareketsiz, Şekil değiştirmeyen KH için Sistemin B özelliğinin zamanla değişim oranı Kontrol hacminin B özelliğinin zamanla değişim oranı = + Kütle giriş-çıkışı ile KH nin B özelliğinde meydana gelen net değişim Mass Momentum Energy Angular momentum B, Kapsamlı özellikler m E mv b, kapsamlı özellikler 1 V e H r V 4 Bölüm 5: Sonlu Kontrol Hacmi Analizi

5 Kütlenin Korunumu Denklemi: Hareketsiz, Şekil değiştirmeyen KH için B = m Sistemin kütlesinin zamanla değişim oranı = KH kütlesinin zamanla + değişim oranı KH yüzeylerinden net kütlesel akış 5 Bölüm 5: Sonlu Kontrol Hacmi Analizi

6 Kütlenin Korunumu Denklemi: Hareketsiz, Şekil değiştirmeyen KH için Kütlenin Korunumu: Süreklilik Denklemi 6 Bölüm 5: Sonlu Kontrol Hacmi Analizi

7 Kütlenin Korunumu Denklemi: Hareketsiz, Şekil değiştirmeyen KH için Kütlenin Korunumu: Süreklilik Denklemi Akış sürekli ise 7 Bölüm 5: Sonlu Kontrol Hacmi Analizi

8 Kütlenin Korunumu Denklemi: Hareketsiz, Şekil değiştirmeyen KH için Kütlenin Korunumu: Süreklilik Denklemi Ortalama hız Ortalama hız 8 Bölüm 5: Sonlu Kontrol Hacmi Analizi

9 Örnek 5.1: Kütlenin Korunumu: Zamandan bağımsız sıkıştırılamaz akış Bir işçi 3 m yüksekliğine ve 1.8 m x 1.8 m kare tabana sahip dikdörtgen prizması tankın içerisinde bakım işlemi yapmaktadır. Temiz hava tanka 20 cm çapındaki bir hortumdan girmekte ve tankı duvara iliştirilmiş 10 cm çapındaki delikten terk etmektedir. Sürekli ve sıkıştırılamaz akış durumu için: a) tank için hava eğişim oranını (m 3 /s), b) b) tanka giren ve bu değişim oranında, çıkan havanın hızının belirleyiniz. V 1 V 2 NOT: Uygulamada, kapalı alanların havalandırılmasında ortam havasının her 3 dakikada bir değiştirilmesi tavsiye edilir. Çıkan Giren 9 Bölüm 5: Sonlu Kontrol Hacmi Analizi

10 Örnek 5.2: Kütlenin Korunumu: Uniform olmayan hız profili Yarıçapı R olan düz bir boruda sürekli, sıkıştırılamaz, laminer su akışı gerçekleşmektedir. (1) kesitinde, hız profili uniform olup hız U sabit değerine eşittir ve akış boru içerisinde her yerde boru eksenine paraleledir. (2) kesitinde hız profili boru cidarında sıfır hıza ve merkezde u max maksimum değerine ve eksenel simetriye sahip parabolik dağılıma sahiptir. a) U ve u max arasındaki ilişki nasıldır? b) Kesit (2) de V 2 ve u max arasındaki ilişki nasıldır. Ortalama hız Çıkan Giren 10 Bölüm 5: Sonlu Kontrol Hacmi Analizi

11 Örnek 5.2: Kütlenin Korunumu: Uniform olmayan hız profili Yarıçapı R olan düz bir boruda sürekli, sıkıştırılamaz, laminer su akışı gerçekleşmektedir. (1) kesitinde, hız profili uniform olup hız U sabit değerine eşittir ve akış boru içerisinde her yerde boru eksenine paraleledir. (2) kesitinde hız profili boru cidarında sıfır hıza ve merkezde u max maksimum değerine ve eksenel simetriye sahip parabolik dağılıma sahiptir. a) U ve u max arasındaki ilişki nasıldır? b) Kesit (2) de V 2 ve u max arasındaki ilişki nasıldır. 11 Bölüm 5: Sonlu Kontrol Hacmi Analizi

12 Örnek 5.3: Kütlenin Korunumu: Zamana bağlı akış Bir hendekte çalışan işçiler yeni bir su hattı inşa etmektedirler. Hendeğin boyu 3 m, genişliği 1.5 m ve derinliği m dir. Hendeğin bir kavşakta bulunması nedeni ile araçlardan çıkan egsoz gazlarındaki CO 2 hendeğe dakikada 0.24 m 3 debi ile girmektedir. CO 2 yoğunluğu havanın yoğunluğundan büyük olması nedeniyle, hendeğin dibine çökmekte işçilerin soluduğu havanın yukarı doğru itilmesine neden olmaktadır. CO 2 ve havanın birbirine karışmadığını kabul ederek: a) Herhangi bir anda hendekteki CO 2 değerinin zamanla değişimini hesaplayınız, b) CO 2 seviyesinin işçileri tamamen kaplayacak derinlik olan 1.8 m ye ulaşması için gerekli süreyi hesaplayınız. Çıkan Giren 12 Bölüm 5: Sonlu Kontrol Hacmi Analizi

13 Örnek 5.4: Kütlenin Korunumu: Zamana bağlı akış m çapında, m yüksekliğinde ve üst yüzeyi atmosfere açık silindirik bir tank başlangıçta su ile tamamen doludur. Tankın taban kenarında bulunan boşaltma tapası çekiliyor ve 1.27 cm çapındaki bir su jeti dışarıya fışkırıyor. Su jetinin ortalama hızı V = 2gh bağıntısı ile verilmektedir. Burada, h tank içindeki suyun delik merkezinden olan yüksekliği, g ise yer çekimi ivmesi. Tank içerisindeki su seviyesinin m yüksekliğe düşmesi için geçecek olan süreyi bulunuz. Çıkan Giren 13 Bölüm 5: Sonlu Kontrol Hacmi Analizi

14 Kütlenin Korunumu Denklemi: Hareketli KH için Eğer Kontrol Hacmi uniform olarak V KH hızı ile hareket ediyor ise Kontrol Hacmi ile hareket eden bir gözlemci, akışkanın V b bağıl hızı ile Kontrol Hacminden geçtiğini görür. 14 Bölüm 5: Sonlu Kontrol Hacmi Analizi

15 Örnek 5.5: Kütlenin Korunumu: Hareketli Kontrol Hacmi Şekildeki uçak 971 km/h hızla hareket etmektedir. Uçak motorunun ön giriş alanı 0.8 m 2 ve içeri giren havanın yoğunluğu kg/m 3 tür. Karada bulunan durgun bir gözlemci uçak motoru egsoz gazlarının motordan 1050 km/h hızla ayrıldığını gözlemlemiştir. Motor egsoz alanı m 2 ve eksoz gazlarının yoğunluğu kg/m 3 olduğu bilinmektedir. Motora giren yakıtın debisini kg/h cinsinden belirleyiniz. V uçak = 971 km/h V 2 = 1050 km/h V 1 V uçak = 971 km/h Daimi akış Çıkan Giren 15 Bölüm 5: Sonlu Kontrol Hacmi Analizi

16 Örnek 5.6: Kütlenin Korunumu: Şekil Değiştiren Kontrol Hacmi Q sızıntı = 0.1 Q 2 L Kontrol Hacmi V piston =? A piston = 500 mm 2 Q 2 = 300 cm 2 /dk Çıkan Giren 16 Bölüm 5: Sonlu Kontrol Hacmi Analizi

17 Lineer Momentum Denklemi: Hareketsiz, Şekil değiştirmeyen KH için Newton un 2. Kanunu : Bir sisteme uygulanan kuvvetlerin bileşkesi, sistemin lineer momentumunun zamanla değişim oranına eşittir. 17 Bölüm 5: Sonlu Kontrol Hacmi Analizi

18 Lineer Momentum Denklemi: Hareketsiz, Şekil değiştirmeyen KH için RTT : B = mv LMD: 18 Bölüm 5: Sonlu Kontrol Hacmi Analizi

19 Lineer Momentum Denklemi: Hareketsiz, Şekil değiştirmeyen KH için Sistemin kütlesinin lineer momentumunun zamanla değişim oranı = KH nin lineer + momentumunun zamanla değişim oranı KH yüzeylerinden geçen net lineer momentum akışı 19 Bölüm 5: Sonlu Kontrol Hacmi Analizi

20 Lineer Momentum Denklemi: Hareketsiz, Şekil değiştirmeyen KH için LMD: N2K: LMD: 20 Bölüm 5: Sonlu Kontrol Hacmi Analizi

21 Lineer Momentum Denklemi: Hareketsiz, Şekil değiştirmeyen KH için LMD: Daimi Akış Daimi akış için Lineer Momentum Denklemi 21 Bölüm 5: Sonlu Kontrol Hacmi Analizi

22 Örnek 5.7: Lineer Momentum Denklemi: Akış doğrultusunda değişim Şekilde görüldüğü gibi, yatay bir su jeti üniform V 1 = 3 m/s hızla lüleyi terk ederek kanada çarpmaktadır ve bir θ açısı ile bükülmektedir. Yerçekimi ve viskoz etkiler ihmal edildiği durumda kanadı sabit tutmak için gerekli kuvveti bulunuz. A 1 = A 2 = m 2 Daimi akış Çıkan Giren 22 Bölüm 5: Sonlu Kontrol Hacmi Analizi

23 Örnek 5.8: Lineer Momentum Denklemi: Etkin Basınçların Uygulanması Şekilde gösterilen 90 o daralan dirsek içinden daimi olarak su akmaktadır. Dirseğin girişindeki mutlak basınç 220 kpa olup, kesit alanı 0.01 m 2 dir. Çıkışta kesit alanı m 2 ve hız 16m/s dir. Dirsek suyu atmosfere tahliye etmektedir. Dirseği yerinde tutmak için gerekli kuvveti belirleyiniz. Daimi akış 22 Bölüm 5: Sonlu Kontrol Hacmi Analizi

24 Örnek 5.9: Lineer Momentum Denklemi: Açılı dirsek Şekildeki 30 o lik redüksiyon dirseğinin içinden su akmaktadır. Dirseği yerinde tutmak için gerekli kuvvetin x ve y bileşenlerini bulunuz. (Akış daimi ve sıkıştırılamaz) y P 1 W d W su x Rx Ry P 2 Daimi akış 25 Bölüm 5: Sonlu Kontrol Hacmi Analizi

25 Örnek 5.10: Lineer Momentum Denklemi: Ağırlık, basınç ve hızda değişim Daimi akış Şekilde görüldüğü gibi, bir laboratuar lavabo musluğunun ucuna iliştirilen bir lüleden 0.6 litre/s debi ile su akmaktadır. Lülenin giriş ve çıkış çapları sırası ile 16 mm ve 5 mm dir ve lüle ekseni dükey konumdadır. Lülenin kütlesi 0.1 kg ve lüledeki suyun kütlesi kg dır. Kesit (1) deki basınç 464 kpa ise lüleyi yerinde tutmak için gerekli kuvveti belirleyiniz. 23 Bölüm 5: Sonlu Kontrol Hacmi Analizi

26 Örnek 5.11: Lineer Momentum Denklemi: Basınç ve akış yönünde değişim Yatay bir düzlemde, şekildeki 180 derecelik kıvrımlı borudan su akmaktadır. Akış kesit alanı 0.01 m 2 değerine sahip olup sabittir. Akış hızı eksenel olup kıvrım içindeki her yerde 15 m/s dir. Kıvrıma giriş ve çıkışta mutlak basınç değerleri sırası ile 207 kpa ve 165 kpa dır. Kıvrımlı boruyu yerinde tutmak için gerekli kuvvetin x ve y bileşenlerini bulunuz. Daimi akış 24 Bölüm 5: Sonlu Kontrol Hacmi Analizi

27 Örnek 5.12: Lineer Momentum Denklemi: Hidrostatik Basınç Kuvveti Açık bir kanaldaki su, bir bent kapağı ile tutulmaktadır. Kapak üzerindeki yatay su kuvvetini karşılaştırınız. a) kapak kapalı olduğu zaman b) kapak açık olduğu zaman Akışın daimi, sıkıştırılamaz, 1 ve 2 kesitindeki hızların üniform olduğunu ve basınçalrın hidrostatik olduğunu kabul ediniz. Daimi akış 25 Bölüm 5: Sonlu Kontrol Hacmi Analizi

28 Örnek 5.13: Lineer Momentum Denklemi: Bir Uydunun Yeniden Konumlandırılması Yörüngedeki bir uydunun kütlesi m uydu = 5000 kg dır ve V o sabit hızı ile hareket etmektedir. Uydunun yörüngesini değiştirmek için, üzerine yerleştirilen bir roketteki katı yakıtın reaksiyonundan açığa çıkan m y = 100 kg gaz, uydunun V o hızına ters yönde V f = 3000 m/s hız ile atılmaktadır. Yakıtın boşaltılma hızı 2s süreyle sabit tutulmaktadır. a) Bu iki saniyelik periyot da uydunun ivmesini, b) bu zaman periyodunda uydunun hızındaki değişimi c) uyduya etki eten itme kuvvetini belirleyiniz. Dış kuvvet yok Kütle girişi yok 25 Bölüm 5: Sonlu Kontrol Hacmi Analizi

29 Örnek 5.14: Lineer Momentum Denklemi: Pompa şaftı Su, Şekilde gösterildiği gibi merkezkaç bir pompaya 0.2 m 3 /s debi ve 5 m/s hız ile eksenel doğrultuda girmekte ve yatayla 60 o yaparak atmosfere atılmaktadır. Çıkış alanı giriş alanının yarısına eşit ise mile eksenel doğrultuda etkiyecek kuvveti belirleyin. Akışı uniform, daimi ve sıkıştırılamaz kabul edin. Daimi akış 25 Bölüm 5: Sonlu Kontrol Hacmi Analizi